长沙市南雅中学新高一入学考试数学模拟试卷
湖南长沙2024年新高一入学分班考数学模拟练习及答案
高一入学暨分班检测模拟试卷数学一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.1. 已知 aa 是 √13 的小数部分,则 aa (aa +6) 的值为A. √13B. 4C. 4−√13D. 3√13−62. 如果一个多边形的内角和是它外角和的 4 倍, 那么这个多边形的边数为A. 6B. 8C. 9D. 103.已知点()3,2P a a −−在第二象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A. B.C. D.4.如果外切的两圆1O 和2O 的半径分别为2和4，则半径为6，且与1O 和2O 都相切的圆有（ ）A.4个B.5个C.6个D.7个 5.122022,,x x x …是2022个由1和1−组成的数，122022.202x x x ++…+=，则()()()22212202211.1x x x −+−+…+−=（ ） A.2021 B.4042 C.3640 D.4842 6.某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏"是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm .计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏"中液体的高度为（ ）的A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm7.如果不等式组�4xx −aa ≥03xx −bb <0 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的组合情况(aa ,bb )共有（ ）种．A ．12B ．7C ．9D ．168.定义：平面直角坐标系中，点(),P x y 的横坐标x 的绝对值表示为x ，纵坐标y 的绝对值表示为y ，我们把点(),P x y 的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点(,)P x y 的折线距离，记为M x y =+（其中的“+”是四则运算中的加法）.若拋物线21y ax bx ++与直线y x =只有一个交点M ，已知点M 在第一象限，且24M ≤≤，令2242022t b a =−+，则t 的取值范围为（ ）A.20182019t ≤≤B.20192020t ≤≤C.20202021t ≤≤D.20212022t ≤≤二､填空题：本题共44分，共16分.9. 设点 PP (xx ,yy ) 在第二象限内,且 |xx |=3,|yy |=2 ,则点 PP 关于原点的对称点为___.10.若关于 xx 的分式方程 xx xx−2+2mm 2−xx =2mm 无解,则m 的值为___________. 11.正比例函数12y x =−与反比例函数2k y x=的图像相交于A B ､两点，已知点A 的横坐标为1，当12y y >时，x 的取值范围是___________.12.如图，ABC 中，10,8,6AB BC AC ===，点P 在线段AC 上，以P 为圆心，PA 长为半径的圆与边AB 相交于另一点D ，点Q 在直线BC 上，且DQ 是P 的切线，则PQ 的最小值为___________.三､解答题：本题共4小题，共52分.应写出文字说明､证明过程或演算步骤.13.如图，在同一坐标系中，直线1:1l y x =−+交x 轴于点P ，直线2:3l y ax =−过点P .（1）求a 的值；（2）点M N ､分别在直线12,l l 上，且关于原点对称，说明：点(),A x y 关于原点对称的点A ′的坐标为(),x y −−，求点M N ､的坐标和PMN 的面积.14.如图，在△ABC 中，D 在边AC 上，圆O 为锐角△BCD 的外接圆，连结CO 并延长交AB 于点E ．（1）若∠DBC ＝α，请用含α的代数式表示∠DCE ；（2）如图2，作BF ⊥AC ，垂足为F ，BF 与CE 交于点G ，已知∠ABD ＝∠CBF ．①求证：EB ＝EG ；②若CE ＝5，AC ＝8，求FG +FB 的值．15.）如图，将两个全等的直角三角形△ABD 、△ACE 拼在一起（图1），△ABD 不动．（1）若将△ACE 绕点A 逆时针旋转，连接DE ，M 是DE 的中点，连接MB 、MC （图2），证明：MB ＝MC ．（2）若将图1中的CE 向上平移，∠CAE 不变，连接DE ，M 是DE 的中点，连接MB 、MC （图3），判断并直接写出MB 、MC 的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE 的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB 、MC 的数量关系还成立吗？说明理由．16.在平面直角坐标系中，抛物线2:22(0)l y x mx m m −−−>与x 轴分别相交于A B ､两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，设抛物线l 的对称轴与x 轴相交于点N ，且3OC ON =.（1）求m 的值；（2）将抛物线l 向上平移3个单位，得到抛物线l ′，设点P Q ､是抛物线l ′上在第一象限内不同的两点，射线PO QO ､分别交直线2y =−于点P Q ′′､，设P Q ′′､的横坐标分别为P Q x x ′′､，且4P Q x x ′′⋅=，求证：直线PQ 经过定点.常考答案一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 【答案】：B2 【答案】D.3. 【答案】C4. 【答案】B5 【答案】C6. 【答案】B7 【答案】A ．8. 【答案】C二､填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.9.【答案】(3,-2)10.【答案】m 的值为1或1/211.【答案】{1x x <−或}01x <<12.【答案】4.8三､解答题：本题共4小题，共52分.应写出文字说明､证明过程或演算步骤.13.【答案】（1）3（2）1313,,,2222M N −− ，32PMN S = 【解析】 【分析】（1）由直线1l 求出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入2l 方程中可求出a 的值；（2）由题意设(),1M x x −+ ，则(),1N x x −−，再将点N 的坐标代入直线2l 中可求出x ，从而可求得,M N 两点的坐标，进而可求出PMN 的面积.【小问1详解】对于直线1:1l y x =−+，当0y =时，1x =， 所以()1,0P因为直线2:3l y ax =−过点()1,0P ， 所以03a =−，得3a =，【小问2详解】由3a =得，2:33l y x =− 设(),1M x x −+ ，则(),1N x x −−.又(),1N x x −−在2:33l y x =−上， 所以133x x −=−−，解得12x =−， 则1313,,,2222M N −−所以1313322222PMNS OP OP =⋅+⋅= . 14.【答案】【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题；（2）①结合（1）利用三角形内角和定理即可解决问题；②作EM ⊥BE ，EN ⊥AC ，证明四边形EMFN 为矩形，再根据线段的和差即可解决问题．【解答】（1）解：如图，连结OD ，∵∠DOC ＝2∠DBC ＝2α，又∵OD ＝OC ，∴∠DCE＝90°﹣α；（2）①证明：∵∠ABD＝∠CBF，∴∠EBG＝∠ABD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC，设∠DBC＝α，由（1）得：∠DCE＝90°﹣α，∵BF⊥AC，∴∠FGC＝∠BGE＝α，∴∠EBG＝∠EGB，∴EB＝EG；②解：如图，作EM⊥BE，EN⊥AC，由①得：∠EBG＝α，∠ACE＝90°﹣α，∵BF⊥AC∴∠A＝90°﹣α，∴AE＝CE＝5，∵EN⊥AC，AC＝8，∴CN＝4，∴EN＝3，∵EM⊥BF，NF⊥BF，EN⊥AC，∴四边形EMFN为矩形，∴EN＝MF＝3，∵EB＝EG，EM⊥BG，∴BM＝GM，∴FG+FB＝FM﹣MG+FM+BM＝2FM＝6．15.【分析】（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD＝AE，AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD＝∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD＝∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD＝BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC＝∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM ＝∠BAD ，然后求出∠MBC ＝∠BCM ，再根据等角对等边即可得证；（3）延长BM 交CE 于F ，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB ＝∠MEF ，∠MBD ＝∠MFE ，然后利用“角角边”证明△MDB 和△MEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得MB ＝MF ，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．【解答】证明：（1）如图2，连接AM ，由已知得△ABD ≌△ACE ，∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，∵MD ＝ME ，∴∠MAD ＝∠MAE ，∴∠MAD ﹣∠BAD ＝∠MAE ﹣∠CAE ，即∠BAM ＝∠CAM ，在△ABM 和△ACM 中，�AAAA =AAAA ∠AAAABB =∠AAAABB AABB =AABB ，∴△ABM ≌△ACM （SAS ），∴MB ＝MC ；（2）MB ＝MC ．理由如下：如图3，延长DB 、AE 相交于E ′，延长EC 交AD 于F ，∴BD ＝BE ′，CE ＝CF ，∵M 是ED 的中点，B 是DE ′的中点，∴MB ∥AE ′，∴∠MBC ＝∠CAE ，同理：MC ∥AD ，∴∠BCM ＝∠BAD ，∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠MBC ＝∠BCM ，∴MB ＝MC ；解法二：如图3中，延长CM 交BD 于点T ．∵EC ∥DT ，∴∠CEM ＝∠TDM ，在△ECM 和△DTM 中，�∠AACCBB =∠TTTTBB CCBB =TTBB ∠CCBBAA =∠TTBBTT ， ∴△ECM ≌△DTM （ASA ），∴CM ＝MT ，∵∠CBT ＝90°，∴BM ＝CM ＝MT ．（3）MB ＝MC 还成立．如图4，延长BM 交CE 于F ，∵CE ∥BD ，∴∠MDB ＝∠MEF ，∠MBD ＝∠MFE ， 又∵M 是DE 的中点，∴MD ＝ME ，在△MDB 和△MEF 中，�∠BBTTAA =∠BBCCMM ∠BBAATT =∠BBMMCC BBTT =BBCC，∴△MDB ≌△MEF （AAS ），∴MB ＝MF ，∵∠ACE ＝90°，∴∠BCF ＝90°，∴MB ＝MC ．16.【答案】（1）1m =；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由顶点式求得对称轴，由0x =处函数值求得C 点坐标，根据3OC ON =列方程求解即可；（2）设点,P Q ，结合原点可得直线PO QO ､的解析式，再由2y =−可得点Q P ′′､横坐标，由4P Q x x ′′⋅=可得()1212230x x x x −++=；设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l ′联立之后可得122x x m +=+，12x x n =−，代入()1212230x x x x −++=求得21n m =−−，继而求出答案【小问1详解】解：依题意得：22()2y x m m m =−−−−， ∴抛物线的对称轴为直线x m =，ON m m ∴==，在222y x mx m −−−中，令0x =，则2y m =−−， ()0,2C m ∴−−，22OC m m ∴=−−=+， 3OC ON = ，23m m ∴+=，解得1m =；【小问2详解】将1m =代入抛物线l 得223y x x =−−， 如图，将抛物线l 向上平移3个单位后得到拋物线2:2l y x x ′=−， 点P Q ､是拋物线l ′上在第一象限内不同的两点，∴设点()()22111222,2,,2P x x x Q x x x −−， 由()()22111222,2,,2P x x x Q x x x −−分别可求得：()()122,2OP OQ y x x y x x =−=− 点P Q ′′､在直线2y =−上，∴点1222,2,,222P Q x x −−−−′′ −−， 4p Q x x ′′⋅=1222422x x −−∴⋅=−−，即()()12221x x −−=， 整理得()1212230x x x x −++=， 设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l ′联立得： 222,2,y x x x x mx n y mx n =−−=+ =+ ， 整理得()220x m x n −+−=， 由根与系数的关系可得：12122,x x m x x n +=+=−， ()1212230x x x x −++= ，()2230n m ∴−−++=， 21n m ∴=−−，∴直线PQ 的解析式为()21,21y mx m y m x =−−=−−， ∴当2x =时，1y =−，∴直线PQ 经过定点()2,1−。
南雅中学2021-2022学年高一上学期入学考试数学试题(答案)
南雅中学高一入学考试参考答案一、基础填空题（每小题5分，共计60分）1、下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是________．A ．B ．C ．D ．答案：D2()201222021π82cos 45tan 452⎛⎫--+-+︒+︒ ⎪⎝⎭=________．答案：1543、将抛物线22y x =向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物线解析式为________．答案：()2241y x =+-（或221633y x x =++）4、若关于x 的一元二次方程()222340m x x m -++-=有一个根为0，则实数m =________．答案：2-5、在半径为40cm 的⊙O 中，弦AB ＝40cm ，点P 为圆上一动点，则P 到AB 的距离的最大值为cm ．答案：40203+6、如图，在ABC ∆中AC BC =，点D 和E 分别在线段AB 和线段AC 上，且AD AE =，连接DE ，过点A 的直线GH 与DE 平行，若46C ∠=︒，则GAD ∠的度数为______________答案：56.5︒7、设()f n ＝－3n 2＋8n －1，其中n 为整数，则(n)f 的最大值是________．答案：48、设实数,a b 满足：223,4a b a b +=+=，则2222a b b a +=--________．答案：79、估计1e e ππ⋅+ 2.718e ≈）的值应在________．A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间答案：C 10、锐角三角形ABC 中，2A B ∠=∠，则B ∠的大小范围是________．答案：3045B ︒<<︒11、若方程()2100x px p ++=>的两根之差为1，则p =________．答案：512、已知2x =-，则()()2311x x x x +-+-=________．答案：15-二、提升填空题（每小题3分，共计24分）13、写出一个满足方程116218821x x x x +-++-+的解，x =________．答案：714x ≤≤范围内任何一个数都行14、,x y 均为正整数，且x y <，则满足方程5x y xy ++=的有序实数对(),x y 有________个？答案：215、设152a -+=，则543221a a a a a +++-+=________．答案：152a =16、如果f (a ＋b )＝f (a )·f (b )(a ，b 为实数)且f (1)＝2，则(3)(5)(2019)(2021)=(4)(6)(2020)(2022)f f f f f f f f ++++ ________．答案：50517、如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A （-1,0）、B （-3,1）、C （-2,3）现将△ABC 绕点A 顺时针．．．旋转90°后得到△11AB C ，然后将△11AB C 绕点1B 逆时针．．．旋转90°后得到△112A B C ，然后将△112A B C 绕点2C 顺时针．．．旋转90°后得到△222A B C ，则此时点2A 的坐标为________．答案：()23-，第17题图第18题图18、图中由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成标号分别为1,2,3,4,5的五个封闭区域，如果区域1的面积等于上下两块区域2和3的面积之和，则这两圆的圆心距为________．答案：219、张阿姨家里有两个小孩，已知其中有一个女孩，那另一个也是女孩的概率是________．答案：1320、m 位九年级的同学一起参加围棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此比赛一场。
2025届长沙市南雅中学高考考前模拟数学试题含解析
2025届长沙市南雅中学高考考前模拟数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆2．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12B．3C．2D．23．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[)4+∞，B ．[]06，C ．[]04，D ．[)6+∞，4．复数5i12i+的虚部是 ( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-5．某程序框图如图所示，若输出的120S =，则判断框内为（ ）A ．7?k >B ．6?k >C ．5?k >D ．4?k >6．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m =+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ）A ．14B ．15 C ．13 D ．18 7．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位 8．已知集合{}23100A x x x =--<，集合{}16B x x =-≤<，则AB 等于（ ）A ．{}15x x -<< B ．{}15x x -≤< C ．{}26x x -<<D ．{}25x x -<<9．若()12nx -的二项展开式中2x 的系数是40，则正整数n 的值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．710．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ） A ．14B．4C．5D ．1511．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( ) A ．1B ．2C ．3D ．612．过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． A ．440x y --=B ．440x y +-=C ．440x y ++=D ．440x y -+=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南长沙南雅中学高一下学期入学考试数学试题 含答案
长沙市南雅中学2020年上学期入学考试试卷高 一 数 学时量：120分钟 总分：150分 命题人玉 审题人：一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合{}1,0,1A =−，{}|11B x x =−≤<，则A B = () A ．{}1,0 B ．{}1,0− C ．{}0D ．{}1,0,1−2．命题“存在实数x ，使1x >”的否定形式是()A ．对任意实数x ，都有1x >B ．不存在实数x ，使1x ≤C ．对任意实数x ，都有1x ≤D ．存在实数x ，使1x ≤3．设1,(0)()cos 2,(0)x x f x x x π+≤⎧=⎨<<⎩，则()3f π的值是()A ．12−B ．12C ．3−D ．23−4．ABC ∆中，若()()sin cos cos sin 1A B B A B B −+−≥，则ABC ∆是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．直角三角形或钝角三角形5．如果点(sin ,2cos )P θθ位于第二象限，那么角θ所在象限是 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．已知13212112,log ,log 33a b c −===，则（ ）（A ）a b c>>（B ）a c b >>（C ）c a b>>（D ）c b a>>7.如果33log log 4m n +=，那么m n +的最小值为()A ．4B ．3C ．9D ．188． 已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为π，则该函数的图象()A ．关于直线3x π=对称 B ．关于点(,0)3π对称C ．关于直线6x π=−对称 D ．关于点(,0)6π对称9．函数232sin 12y x π⎛⎫=+− ⎪⎝⎭是( ) A. 最小正周期为2π的奇函数 B. 最小正周期为π的奇函数 C. 最小正周期为2π的偶函数 D.最小正周期为π的偶函数10．已知,,O A B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0,OC →等于( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →11．已知函数1()lg ()2xf x x =−有两个零点21,x x ，则有（ ）A. 021<x xB. 121=x xC. 121>x xD. 1021<<x x12．函数5log ,0()cos ,0x x f x x x π>⎧=⎨<⎩的图象上关于y 轴对称的点共有( )A ．7对B ．5对C ．3对D ．1对二、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡中的对应题号后的横线上．13．cos300= 。
2023-2024学年湖南省长沙市雨花区南雅中学数学高一上期末统考模拟试题含解析
4
5
4 13
∴ (3 , 2 ) ， ( ， 3 ) ，
5
cos 1 sin 1 cos2 2 2 ，
3
3
∴ sin sin 2 sin 2 cos cos 2 sin
11 2 6 2 2 18 3
53 5 3
15
故选：A. 9、B 【解析】利用一元二次方程的解法化简集合化简集合 B ，利用并集的定义求解即可. 【详解】由一元二次方程的解法化简集合，
,
2 ex 1
3 2
,
x x
0 0
（1）求函数 f (x) 的零点；
（2）若实数 t
满足
f
(log2
t)
f
(log2
1) t
2
f
(2)
，求 t
的取值范围.
21．解答题
（1） lg12.5 lg 5 lg 0.5 ； 8
（2）lg20+log10025
22．已知
f
cos
2
sin
sin
【详解】设 x1
x2
0,
f
(x1)
f
(x2 )
( x1
x2 )
f
(x1) f (x2 ) x1 x2
0，
f (x) 在[0, ) 增函数，
函数 f (x) 的图象是由 f (x 2)的图象向右平移 2 个单位得到，
为 且函数 f x2的图像关于直线x2对称，
所以 f (x) 的图象关于 y 轴对称，即 f (x) 为偶函数，
故选：A. 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，求解时注意根据解析式发现函数为奇函数 及特殊点函数值的正负. 12、B 【解析】中位数的左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，
长沙市南雅中学2023-2024学年高三上学期入学考试数学试题(原卷)
长沙市南雅中学高三年级2023年下学期入学检测数 学时量：120分钟 分值：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知z 是方程2220x x -+=的一个根，则z =（ ）A ．1B C D ．22．集合{}10U x x x *=≤∈N 且，A U ⊆，B U ⊆，且A B ={4，5}，()U B A =ð{1，2，3}，()()U UAB =痧{6，7，8}，则B =（ ）A ．{4，5，6，7}B ．{4，5，6，9}C ．{4，5，9，10}D ．{4，5，6，9，10}3．已知函数()f x 的一条对称轴为直线2x =，一个周期为4，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．sin 2x π⎛⎫⎪⎝⎭B ．cos 2x π⎛⎫⎪⎝⎭C ．sin 4x π⎛⎫⎪⎝⎭D ．cos 4x π⎛⎫⎪⎝⎭4．椭圆222211x y m m+=+（0m >）的焦点为F 1，F 2，上顶点为A ，若∠F 1AF 2=3π，则m=（ ）A ．1B C D ．25．二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大约可以用（ ）（0.301lg 2≈，0.477lg3≈） A ．10117万年B ．10118万年C ．10119万年D ．10200万年6．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1010S =，2030S =，则40S =（ ） A ．60 B ．70 C ．80 D ．1507．某学校有男生600人，女生400人．为调查该校全体学生每天的运动时间，采用分层抽样的方法获取容量为n 的样本．经过计算，样本中男生每天运动时间的平均值为80分钟，方差为10；女生每天运动时间的平均值为60分钟，方差为20．结合数据，估计全校学生每天运动时间的方差为（ ） A ．96 B ．110 C ．112 D ．1288．过直线40x y +-=上一点向圆O ：221x y +=作两条切线，设两切线所成的最大角为α，则sin α=（ ）A ．9B ．9C D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省长沙市南雅中学高中自主招生考试数学试卷
湖南省长沙市南雅中学高中自主招生考试数学试卷1．计算（a2）3÷（a2）2的结果是（）A．a B．a2C．a3D．a4解析：（a2）3÷（a2）2＝a6÷a4＝a2．故选：B．2．向如图所示的正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小三角形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于（）A．16B．14C．38D．58解析：因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是616=38，所以扔沙包1次击中阴影区域的概率等于38．故选：C．3．已知m、n是方程x2+2√2x+1＝0的两根，则代数式2+n2+3mn的值为（）A．9B．±3C．3D．5解析：∵m、n是方程x2+2√2x+1＝0的两根，∴m+n＝﹣2√2，mn＝1，∴√m2+n2+3mn=√(m+n)2+mn=√(−2√2)2+1=√9=3．故选：C．4．在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回家里找到了作业本再去学校；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．则情境a，b 所对应的函数图象分别是（）A．③、②B．②、③C．①、③D．③、①解析：∵情境a：小芳离开家不久，即离家一段路程，此时①②③都符合，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本，即又返回家，离家的距离是0，此时②③都符合，又去学校，即离家越来越远，此时只有③返回，∴只有③符合情境a；∵情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进，即离家越来越远，且没有停留，∴只有①符合，故选：D．5．如果a+1b =1，b+2c=1，那么c+2a等于（）A．1B．2C．3D．4解析：由已知得1b =1﹣a，b＝1−2c，两式相乘，得（1﹣a）（1−2c）＝1，展开，得1−2c −a+2ac=1去分母，得ac+2＝2a两边同除以a ，得c +2a =2． 故选：B ．6．若关于x 的方程1x−1−a2−x =2(a+1)(x−1)(x−2)无解，则a 的值为（ ） A ．−32或﹣2 B ．−32或﹣1 C ．−32或﹣2或﹣1D ．﹣2或﹣1解析：去分母得：x ﹣2+a （x ﹣1）＝2a +2．整理得：（a +1）x ＝3a +4． 当a +1＝0时，解得：a ＝﹣1，此时分式方程无解； 当a +1≠0时，x =3a+4a+1．当x ＝1时，3a+4a+1=1．解得：a =−32，此时分式方程无解； 当x ＝2时，3a+4a+1=2，解得：a ＝﹣2，此时分式方程无解． 故选：C ．7．已知a =√2−1，b =2√2−√6，c =√6−2，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：∵a ﹣b =√2−1﹣（2√2−√6）=√6−（1+√2）≈2.449﹣2.414＞0， ∴a ＞b ；∵a ﹣c =√2−1﹣（√6−2）=√2+1−√6≈2.414﹣2.449＜0，∴a ＜c ；于是b ＜a ＜c ， 故选：B ．8．已知，在面积为7的梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，BC ＝4，P 为边AD 上不与A 、D 重合的一动点，Q 是边BC 上的任意一点，连结AQ 、DQ ，过P 作PE ∥DQ 交AQ 于E ，作PF ∥AQ 交DQ 于F ．则△PEF 面积的最大值是（ ）A ．32B ．38C ．14D ．34解析：设PD ＝x ，S △PEF ＝y ，S △AQD ＝z ，梯形ABCD 的高为h ， ∵AD ＝3，BC ＝4，梯形ABCD 面积为7， ∴{z =12×3×ℎ7=12×(3+4)ℎ，解得：{ℎ=2z =3， ∵PE ∥DQ ，∴∠PEF ＝∠QFE ，∠EPF ＝∠PFD ， 又∵PF ∥AQ ，∴∠PFD ＝∠EQF ，∴∠EPF ＝∠EQF ， ∵EF ＝FE ，∴△PEF ≌△QFE （AAS ）， ∵PE ∥DQ ，∴△AEP ∽△AQD ， 同理，△DPF ∽△DAQ ，∴S △AEP S △AQD=（3−x 3）2，S △DPF S △DAQ=（x3）2，∵S △AQD ＝3，∴S △DPF =13x 2，S △APE =13（3﹣x ）2， ∴S △PEF ＝（S △AQD ﹣S △DPF ﹣S △APE ）÷2， ∴y ＝[3−13x 2−13（3﹣x ）2]×12=−13x 2+x ， ∵y 最大值=0−124×(−13)=34，即y 最大值=34．∴△PEF 面积最大值是34，故选：D ．9．计算：2√48÷√6−√2−1= 2√2−2 ．解析：原式＝2√48÷6−2（√2+1）＝4√2−2√2−2＝2√2−2． 故答案为2√2−2．10．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[23]＝0，[3.14]＝3．按此规定[7−√13]的值为3．解析：∵9＜13＜16，∴3＜√13＜4．∴﹣3＞√13＞−4．∴4＞7−√13＞3．故[7−√13]的值为3．故答案为：3．11．定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作c tanα，即c tanα=角α的邻边角α的对边=ACBC，根据上述角的余切概念，则c tan30°＝√3．解析：c tan30°=√3，故答案为：√3．12．如图，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与反比例函数y2=kx的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是x＜0或1＜x＜4．解析：根据图形，当x＜0或1＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y1＞y2．故答案为：x＜0或1＜x＜4．13．已知关于x 的不等式组{x −n ≥0x −m ＜0的整数解仅为1，2，3，若m ，n 为整数，则代数式1+n−mm−2n÷m 2−n 2m −4mn+4n 的值是 35 ． 解析：不等式整理得：{x ≥nx ＜m，即n ≤x ＜m ，由不等式组的整数解仅有1，2，3，得到m ＝4，n ＝1， 则原式＝1−m−nm−2n •(m−2n)2(m+n)(m−n)=1−m−2n m+n=m+n−m+2nm+n=3nm+n ，当m ＝4，n ＝1时，原式=35． 故答案为：35．14．若一次函数y ＝kx +b ，当﹣3≤x ≤1时，对应的y 值为1≤y ≤9，则一次函数的解析式为 y ＝2x +7或y ＝﹣2x +3 ．解析：（Ⅰ）当k ＞0时，{−3k +b =1k +b =9，解得：{k =2b =7，此时y ＝2x +7，（Ⅱ）当k ＜0时，{−3k +b =9k +b =1，解得：{k =−2b =3，此时y ＝﹣2x +3，综上，所求的函数解析式为：y ＝2x +7或y ＝﹣2x +3．15．如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A ，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A 的横坐标仍是整数，则移动后点A 的坐标为 （﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3） ．解析：如图所示：A 1（﹣1，1），A 2（﹣2，﹣2），A 3（0，2），A 4（﹣2，﹣3），（﹣3，2）（不是四边形，舍去），故答案为：（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3）．16．在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB ＝∠MBC ，则tan ∠ABM ＝ 13 ．解析：如图：延长MN 交BC 的延长线于T ，设MB 的中点为O ，连TO ，则OT ⊥BM ， ∵∠ABM +∠MBT ＝90°，∠OTB +∠MBT ＝90°， ∴∠ABM ＝∠OTB ，则△BAM ∽△TOB ， ∴AMOB =MBBT，即AM MB =OBBT，即MB 2＝2AM •BT ① 令DN ＝1，CT ＝MD ＝K ，则：AM ＝2﹣K ，BM =√4+(2−K)2，BT ＝2+K ， 代入①中得：4+（2﹣K ）2＝2（2﹣K ）（2+K ），解方程得：K 1＝0（舍去），K 2=43．∴AM ＝2−43=23．tan ∠ABM =AM AB=232=13．故答案是：13．17．某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元．（1）求两人学习桌和三人学习桌的单价；（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生的需求，设购买两人学习桌x 张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，求出W 与x 的函数关系式；求出所有的购买方案．解析：（1）设每张两人学习桌单价为a 元和每张三人学习桌单价为b 元，根据题意得出： {3a +b =2202a +3b =310，得：{a =50b =70，答：两人学习桌和三人学习桌单价分别为50元，70元 （2）设购买两人学习桌x 张，则购买3人学习桌（98﹣x ）张， 购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，则W 与x 的函数关系式为：W ＝50x +70（98﹣x ）＝﹣20x +6860；根据题意得出：{50x +70(98−x)≤60002x +3(98−x)≥248，由50x +70（98﹣x ）≤6000，解得：x ≥43，由2x +3（98﹣x ）≥248，解得：x ≤46，故不等式组的解集为：43≤x ≤46， 故所有购买方案为：当购买两人桌43张时，购买三人桌55张， 当购买两人桌44张时，购买三人桌54张， 当购买两人桌45张时，购买三人桌53张， 当购买两人桌46张时，购买三人桌52张．18．设a ，b 是任意两个不等实数，规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b ]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值． （1）函数y ＝﹣x 2+4x ﹣2在区间[0，5]上的最小值是 ﹣7 （2）求函数y =(x +12)2+34在区间[0，32]上的最小值．（3）求函数y ＝x 2﹣4x ﹣4在区间[t ﹣2，t ﹣1]（t 为任意实数）上的最小值y min 的解析式． 解析：（1）y ＝﹣x 2+4x ﹣2对称轴为x ＝2，顶点坐标为（2，2），函数图象开口向下 函数图大致象如图1所示：当x ＝5时，函数有最小值，最小值为﹣7．故答案为：﹣7．（2）y =(x +12)2+34，其对称轴为直线x =−12，顶点坐标(−12，34)，且图象开口向上． 其顶点横坐标不在区间[0，32]内，如图2所示．当x ＝0时，函数y 有最小值y min =1． （3）将二次函数配方得：y ＝x 2﹣4x ﹣4＝（x ﹣2）2﹣8 其对称轴为直线：x ＝2，顶点坐标为（2，﹣8），图象开口向上 若顶点横坐标在区间[t ﹣2，t ﹣1]左侧，则2＜t ﹣2，即t ＞4． 当x ＝t ﹣2时，函数取得最小值：y min =(t −4)2−8=t 2−8t +8 若顶点横坐标在区间[t ﹣2，t ﹣1]上，则t ﹣2≤2≤t ﹣1，即3≤t ≤4． 当x ＝2时，函数取得最小值：y min ＝﹣8若顶点横坐标在区间[t ﹣2，t ﹣1]右侧，则t ﹣1＜2，即t ＜3． 当x ＝t ﹣1时，函数取得最小值：y min =(t −3)2−8=t 2−6t +1综上讨论，得y min={t 2−8t +8(t ＞4)−8(3≤t ≤4)t 2−6t +1(t ＜3)．19．如图，P 为等边△ABC 内一点，P A 、PB 、PC 的长为正整数，且P A 2+PB 2＝PC 2，设P A ＝m ，n 为大于5的实数，满m 2n +30m +9n ≤5m 2+6mn +45，求△ABC 的面积．解析：m 2n +30m +9n ≤5m 2+6mn +45， ∴分解因式得：（n ﹣5）（m ﹣3）2≤0，∵n 为大于5的实数，∴m ﹣3＝0，∵即：P A ＝m ＝3，∵P A 2+PB 2＝PC 2，P A 、PB 、PC 的长为正整数，∴PB ＝4，PC ＝5， 设∠P AB ＝Q ，等边三角形的边长是a ，则∠P AC ＝60°﹣Q ， 由余弦定理得：cos Q =AB 2+PA 2−BP 22AB⋅PA=a 2−76a，（1）cos （60°﹣Q ）=PA 2+AC 2−PC 22PA⋅AC=a 2−166a，（2）而cos （60°﹣Q ）＝cos60°cos Q ﹣sin60°sin Q ，=cosQ 2−√3sinQ 2=a 2−166a，（3）将（1）代入（3）得：12(a 2−7)6a−√3sinQ2=a 2−166a，解得：sin Q =26√3asin Q ）2+（cos Q ）2＝1，∴(26√3a)2+(a 2−76a)2=1，令a 2＝t ，∴(25−t)2108t+(t−7)236t=1，解得：t 1＝25+12√3，t 2＝25﹣12√3，由（1）知a ＞0，cos Q ＞0，即a 2−76a＞0，a 2＞7，∴t 2＝25﹣12√3＜7，不合题意舍去，∴t ＝25+12√3，即a 2＝25﹣12√3， 过A 作AD ⊥BC 于D ，∵等边△ABC ，∴BD ＝CD =12a ， 由勾股定理得：AD =√32a ，∴S △ABC =12•a •√32a =√34a 2=9+254√3．答：△ABC 的面积是9+254√3．20．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝2，BC ＝6，AB ＝3．E 为BC 边上一点，以BE 为边作正方形BEFG ，使正方形BEFG 和梯形ABCD 在BC 的同侧．（1）当正方形的顶点F 恰好落在对角线AC 上时，求BE 的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG 沿BC 向右平移，记平移中的正方形BEFC 为正方形B ′EFG ，当点E 与点C 重合时停止平移．设平移的距离为t ，正方形B ′EFG 的边EF 与AC 交于点M ，连接B ′D ，B ′M ，DM ，是否存在这样的t ，使△B ′DM 是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B ′EFG 与△ADC 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围．解析：（1）如图①，设正方形BEFG 的边长为x ， 则BE ＝FG ＝BG ＝x ，∵AB ＝3，BC ＝6，∴AG ＝AB ﹣BG ＝3﹣x ， ∵GF ∥BE ，∴△AGF ∽△ABC ， ∴AGAB =GFBC ，即3−x 3=x6，解得：x ＝2，即BE ＝2；（2）存在满足条件的t ，理由：如图②，过点D 作DH ⊥BC 于H ，则BH ＝AD ＝2，DH ＝AB ＝3， 由题意得：BB ′＝HE ＝t ，HB ′＝|t ﹣2|，EC ＝4﹣t ， ∵EF ∥AB ，∴△MEC ∽△ABC ，∴MEAB =ECBC ，即ME 3=4−t 6，∴ME ＝2−12t ，在Rt △B ′ME 中，B ′M 2＝ME 2+B ′E 2＝22+（2−12t ）2=14t 2﹣2t +8， 在Rt △DHB ′中，B ′D 2＝DH 2+B ′H 2＝32+（t ﹣2）2＝t 2﹣4t +13，过点M 作MN ⊥DH 于N ，则MN ＝HE ＝t ，NH ＝ME ＝2−12t ， ∴DN ＝DH ﹣NH ＝3﹣（2−12t ）=12t +1， 在Rt △DMN 中，DM 2＝DN 2+MN 2=54t 2+t +1， （Ⅰ）若∠DB ′M ＝90°，则DM 2＝B ′M 2+B ′D 2， 即54t 2+t +1＝（14t 2﹣2t +8）+（t 2﹣4t +13），解得：t =207，（Ⅱ）若∠B ′MD ＝90°，则B ′D 2＝B ′M 2+DM 2， 即t 2﹣4t +13＝（14t 2﹣2t +8）+（54t 2+t +1），解得：t 1＝﹣3+√17，t 2＝﹣3−√17（舍去），∴t ＝﹣3+√17； （Ⅲ）若∠B ′DM ＝90°，则B ′M 2＝B ′D 2+DM 2， 即：14t 2﹣2t +8＝（t 2﹣4t +13）+（54t 2+t +1），此方程无解， 综上所述，当t =207或﹣3+√17时，△B ′DM 是直角三角形；（3）①如图③，当F 在CD 上时，EF ：DH ＝CE ：CH ，即2：3＝CE ：4，∴CE =83， ∴t ＝BB ′＝BC ﹣B ′E ﹣EC ＝6﹣2−83=43，∵ME ＝2−12t ，∴FM =12t ， 当0≤t ≤43时，S ＝S △FMN =12×t ×12t =14t 2， ②如图④，当G 在AC 上时，t ＝2，∵EK ＝EC •tan ∠DCB ＝EC •DHCH =34（4﹣t ）＝3−34t ，∴FK ＝2﹣EK =34t ﹣1， ∵NL =23AD =43，∴FL ＝t −43，∴当43＜t ≤2时，S ＝S △FMN ﹣S △FKL =14t 2−12（t −43）（34t ﹣1）=−18t 2+t −23；③如图⑤，当G 在CD 上时，B ′C ：CH ＝B ′G ：DH ，即B ′C ：4＝2：3，解得：B ′C =83，∴EC ＝4﹣t ＝B ′C ﹣2=23，∴t =103，∵B ′N =12B ′C =12（6﹣t ）＝3−12t ，∵GN ＝GB ′﹣B ′N =12t ﹣1， ∴当2＜t ≤103时S ＝S 梯形GNMF ﹣S △FKL =12×2×（12t ﹣1+12t ）−12（t −43）（34t ﹣1）=−38t 2+2t −53， ④如图⑥，当103＜t ≤4时，∵B ′L =34B ′C =34（6﹣t ），EK =34EC =34（4﹣t ），B ′N =12B ′C =12（6﹣t ），EM =12EC =12（4﹣t ），S ＝S 梯形MNLK ＝S 梯形B ′EKL ﹣S 梯形B ′EMN =−12t +52． 综上所述：当0≤t ≤43时，S =14t 2， 当43＜t ≤2时，S =−18t 2+t −23； 当2＜t ≤103时，S =−38t 2+2t −53， 当103＜t ≤4时，S =−12t +52．。
南雅中学2022-2023学年高一上学期入学考试数学试题
数学测试满分：120分考试时间：120分钟一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．下列运算正确的是（）A ．()22a b a b+=+B ．()3326a a -=C ．235a b ab +=D ．268a a a ⋅=2．将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（）A ．5°B ．10°C ．15°D ．20°3．已知17a a -=，则1a a +=（）A ．3B ．3±C ．11D ．11±4．世界近代三大数学难题之一哥德巴赫猜想于1742年由哥德巴赫在给欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个奇素数之和。
这个猜想至今没有完全证明，目前最前沿的成果是1966年我国数学家陈景润证明了“1+2”，即他证明了任何一个充分大的偶数，都可以表示为两个数之和，其中一个是素数，另一个或为素数，或为两个素数的乘积，被称为“陈氏定理”。
我们知道素数又叫质数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其他自然数整除的数。
请问同学们，如果我们从不大于8的自然数中任取两个不同的数，这个两个数都是素数有多少种不同的情况？（）A ．6B ．10C ．12D ．165．如果0a b c ++=，且a b c >>．则下列说法中不可能成立的是（）A ．b 为正数，c 为负数B ．a 为正数，b 为负数C ．a 为正数，c 为负数D ．c 为正数，a 为负数6．在线段AB 上有P 、Q 两点，AB =26，AP =14，PQ =11，求BQ 的长（）A ．1B ．23C ．1或23D ．127．一条抛物线2y ax bx c =++的顶点为（4，11-），且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a 、b 、c 中为正数的（）A ．只有aB ．只有bC ．只有cD ．只有a 和b 8．反比例函数1k y x-=与一次函数()1y k x =+（0k ≠，1k ≠）在同一坐标系中的图象只能是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14．根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n 个图形需要2022根小木棒，则n 的值为（）A ．252B ．253C ．336D ．33710．如图所示，已知三角形ABE 为直角三角形，∠ABE =90°，BC 为圆O 切线，C 为切点，CA =CD ，则△ABC 和△CDE 面积之比为（）A ．1：3B ．1：2C 2：2D ．)21-：1第10题图第17题图二、填空题（本大题8小题，每小题4分，共32分）11．按一定规律排列的数据依次为12，45，710，1017，…按此规律排列，则第30个数是________．12．对于实数a ，b ，定义符号min{a ，b }，其意义为：当a b >时，min{a ，b }=b ；当a b<时，min{a ，b }=a ．例如：min{2-，1}=2-，若关于x 的函数y=min{31x -，2x -+}，则该函数的最大值为________．13．火车匀速通过长82米的铁桥用了22秒，如果它的速度加快1倍，通过162米长的铁桥就只用了16秒，求这列火车的长度为________．14．直线1l 过点A （0，2）、B （2，0），直线2l ：y kx b =+过点C （1，0），且把△AOB 分成面积相等的两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，则直线2l 的方程为________．15．已知：0a b >>，且226311a b ab +=，求a b=________．16．正方形边长等于1，通过它的中心引一条直线，已知正方形的四个顶点到这条直线的距离的平方之和恒为定值，则这个定值为________．17．如图，已知直角三角形ABO 中，AO =1，将△ABO 绕点O 点旋转至△A'B'O 的位置，且A'在OB 的中点，B'在反比例函数k y x=上，则k 的值为________．18．在△ABC 中，∠ABC =60°，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB =∠BPC =∠CPA ，且PA =8，PC =6，则PB =________．三、解答题（本大题共7小题，其中19~24题每小题8分，25题10分，共58分）19．解方程：322x x -=+．20．如图，小睿为测量公园的一凉亭AB 的高度，他先在水平地面点E 处用高1.5m 的测角仪DE 测得∠ADC=31°，然后沿EB 方向向前走3m 到达点G 处，在点G 处用高1.5m 的测角仪FG 测得∠AFC=42°．求凉亭AB 的高度．（A ，C ，B 三点共线，AB ⊥BE ，AC ⊥CD ，CD=BE ，BC=DE ．结果精确到0.1m ）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）21．如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E ，使得∠CDE=15°，连接BE ．（1）证明：BE =DE ；（2）延长BE 至F ，使CF =BC ，连接CF ，求证：CE +DE =EF ．22．通过实验研究，专家们发现：初中生听课的注意力指标数是随老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散．学生注意力指标数y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）．当0≤x ≤10时，图象是抛物线的一部分；当10≤x ≤20和20≤x ≤40时，图象是线段．（1）当0≤x ≤10时，求y 关于x 的函数关系式；（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟，问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36？23．若一元二次方程()()2250x a x a --+-=的两个根都大于2，求实数a 的取值范围．24．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，AB ⊥CD ，连接AC ，OD ．（1）求证：∠BOD=2∠A ；（2）连接DB ，过点C 作CE ⊥DB ，交DB 的延长线于点E ，延长DO ，交AC 于点F ．若F 为AC 的中点，求证：直线CE 为⊙O 的切线．25．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接AC ．（1）求点B ，点C 的坐标；（2）如图1，点E （m ，0）在线段OB 上（点E 不与点B 重合），点F 在y 轴负半轴上，OE=OF ，连接AF ，BF ，EF ，设△ACF 的面积为S 1，△BEF 的面积为S 2，S=S 1+S 2，当S 取最大值时，求m 的值；（3）如图2，抛物线的顶点为D ，连接CD ，BC ，点P 在第一象限的抛物线上，PD 与BC 相交于点Q ，是否存在点P ，使∠PQC=∠ACD ，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020-2021学年长沙市南雅中学新高一入学考试数学模拟试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）2020的相反数是（）
A．2020B．1
2020C．﹣2020D．−
1
2020
【解答】解：2020的相反数是：﹣2020．
故选：C．
2．（3分）斑叶兰被列为国家二级保护植物，它的一粒种子重约0.0000005克．将0.0000005用科学记数法表示为（）
A．5×107B．5×10﹣7C．0.5×10﹣6D．5×10﹣6
【解答】解：将0.0000005用科学记数法表示为5×10﹣7．
故选：B．
3．（3分）以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（）A．B．
C．D．
【解答】解：A、主视图是圆，俯视图是圆，故A不符合题意；
B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；
D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意；
故选：D．
4．（3分）下列运算中，正确的是（）
A．x3+x3＝x6B．（ab）3＝a3b3C．3a+2a＝5a2D．a6÷a2＝a3
【解答】解：x3+x3＝2x3，故选项A不合题意；
（ab）3＝a3b3，正确，故选项B符合题意；
3a+2a＝5a，故选项C不合题意；
第1 页共18 页。