离散数学 图论-树

中序遍历（次序：左－根－右) 前序遍历（次序：根－左－右) 后序遍历（次序：左－右－根) b 中序遍历: c b e d g f a I k h j 前序遍历: a b c d e f g h i k j 后序遍历: c e g f d b k i j h a
例：给定二叉树，写出三种访问 结点的序列
是否为根树
(a) (no)
(b) (no)
(c) (yes)
从树根到T的任意顶点v的通 路(路径)长度称为v的层数。 v5的层数为 层。
层数最大顶点的层数称为树 高．将平凡树也称为根树。 右图中树高为（ ）。
v1
v2 v3
v4 v8v5Fra bibliotekv6v7 v10
v9
在根树中，由于各有向边的方向是一 致的，所以画根树时可以省去各边上的所 有箭头，并将树根画在最上方．
等长码：0-000；1-001；2-010；3-011；4-100； 5-101；6-110；7-111. 总权值: W2=3*100=300
4、二叉树的周游（遍历）
二叉树的周游：对于一棵二叉树的每一个结点都访问一次且 仅一次的操作 1）做一条绕行整个二叉树的行走路线（不能穿过树枝） 2）按行走路线经过结点的位臵（左边、下边、右边） 得到周游的方法有三种： 中序遍历（路线经过结点下边时访问结点） 访问的次序：左子树－根－右子树 前序遍历（路线经过结点左边时访问结点） 访问的次序：根－左子树－右子树 后序遍历（路线经过结点右边时访问结点） 访问的次序：左子树－右子树－根
2、根树中顶点的关系
定义：设T为一棵非平凡的根树， v2 ∀vi,vj∈V(T),若vi可达vj,则称vi为 vj的祖先,vj为vi的后代； v4 v5 若vi邻接到vj(即<vi,vj>∈E(T)，称 vi为vj的父亲,而vj为vi的儿子 v8 若vj,vk的父亲相同，则称vj与vk是兄 弟
v1
3、前缀编码 在通信中，常用二进制编码表示符号． 1, 10, 01, 101, 0101 1）等长编码与不等长编码： a, b, c , d , e 不等长编码可以使总电文总长度较短 2）不等长编码中编码的问题：如何识别？ 3) 前缀编码定义：设a1a2，…，an-1an为长为n的符号串， 称其子串a1, a1a2, …， a1a2…an-1分别为该符号串的 长度为1， 2， …， n-1的前缀． 设A＝{b1，b2，…bm }为一个符号串集合，若对于任意的bi， bj∈A (i≠ j) bi与bj互不为前缀，则称A为前缀码． 若符号串bi(i＝1，2，…，m)中只出现0，1两个符号，则 称A为二元前缀码 {1，10，101，0101，1010，0100，01001 }不是前缀码 {1，00，011，0101，01001，01000 } 为前缀码． { 1，01，111，1100，0111 } 不是前缀码
a h d i j
c
例：无向树T中度为4、3、2的结点各一个，其余为树叶，树叶＝？ 4+3+2+k = 2(3+k-1)
4) 阶数n比较小的所有非同构的无向树． 例1：画出6阶所有非同构的无向树． m=n-1=5 从树的节点之和来分析：结点之和为10分配给6个结点 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 2 4 1 1 1 1 3 3 1 1 1 2 2 3 1 1 2 2 2 2 例2：7阶无向树中有3片树叶和1个3度顶点，其余3个顶点的度数均无1和3．试 画出满足要求的所有非同构的无向树． 解答：从树的节点之和来分析：7阶无向树的边数m = （ ）， 于是∑d(vi)＝12＝3＋3 + d(v5)+d(v6)+d(v7) 1 1 1 2 2 2 3 加入2，2，2 如何组成结点的度数序列使之不同构 主要分析：度为3的结点v与其三个邻接点的关系 邻接关系不同就能得到不同构的树 三个邻接点度数：1 1 2 1 2 2 2 2 2
通路长度）．
在所有有t片树叶,带权w1,w2，…,wt的二叉树中, 总权值W(T)最小的二叉树称为最优二叉树 三棵带权二叉树
W(T1)＝2（2+2)+3*3+5*3+3*2＝38 W(T2)＝4(3+5)+3*3+2*2+2＝47 W(T3)＝3*(3+3)+5*2+2(2+2)＝36
2.Huffman算法(在给定权值下,如何构造最优二叉树) 给定实数(权值)：w1，w2，…，wt，按从小到大 排序为w1≤w2≤…≤wt. (1) 连接权为w1,w2的两片树叶,得一个分支点,其权 为w1+w2 (2) 在w1+w2，w3，w4…，wt中选出两个权最小的， 连接它们对应的顶点(不一定是树叶)，得新分支点及 所带的权． (3) 重复(2),直到形成t-1个分支点,t片树叶为止．
v1
v2 v4 v8 v5
二叉 v3 有序 v6 v7 树
v10
v1
v2 v4 v5 v3
v6 v7
v9
v8 v9 v10 v11 v12 v13 v14 v15
二叉 完全 正则 有序 树
(a)
(b)
(c)
四叉树
4、r叉树的子树
定义： 设T为一棵根树，∀v∈ V(T)，
称v及其后代的导出子图Tv为T的以v为根的根子树．
(5)G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到 惟一的一个含新边的初级回路． (6)G是连通的，但删去任何一条边后，所得图不连通． G连通：若存在二个结点无通路，则在二个结点添加边后不会出现回路
3）树的性质
对于给定的无向图—树是边数最小的连通图（m<n-1则不连通） 树是边数最多的无回路图（m>n-1则有回路） 结点的度： Σd(vi) = 2m =2(n-1) 定理：设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有 设：有x片树叶，其余结点度数至少为2 x + 2(n-x) <= 2(n-1) 片树叶
等长的编码一定不是最好的，考虑利用二元前缀码。
3）最优二元前缀码 给定所需编码的字符的频率,构造字符的二元前缀 编码，使其总电文长度为最短－称为最优二元前缀 码。
先利用哈夫曼算法，生成最优二叉树；
再得到最优二元前缀码
例：传输100个八进制的数字，其出现的频率分别为： 0-25%， 1-20%， 2-15%， 3-10%， 4-10%， 5-10%， 6-5%， 7-5%。 用最优二元前缀码传输需要多少二进制数字？ 用等长码传输需要多少二进制数字？ 先得到最优二元前缀码 利用哈夫曼算法， 生成最优二叉树， 以频率为权值， 5,5,10,10,10,15,20,25 6,7,3, 4, 5, 2, 1, 0
2）利用二叉树产生二元前缀码 规定二叉树的左子树的边为0，右子树的边为1
则将从根到叶子结点的通路中边的序列即为叶子 的二元前缀编码
0 0 a b 0 1 1 0 1
a: b: c: d: e:
00 010 011 10 111
d 1
c
1 e
通信中，每个字符出现的频率不同，如何使得 传输效率最高？
3、带权图的最小生成树
(1) 定义5 设无向连通带权图G＝<V，E，W> ，T是G的一棵生成树． T的各边权之和称为T的权，记作W(T)； G的所有生成树中权最小的生成树称为G的最小生成树。 (2) 最小生成树的求法（这里介绍避圈法Kruskal算法) 设n阶无向连通带权圈G＝<V，E, W> 有m条边， 不妨设G中没有环(否则，可以将所有的环先删去)，将m条边按权从小到 大顺序排列，设为e1,e2，…,em； 取e1在T中，然后依次检查e2，e3，…，em.若ej(j≥2)与已在T中的边 不能构成回路，则取ej在T中，否则弃去ej； 算法停止时得到的T为G的最小生成树。
例： 求2，2，3，3，5的最优二叉树
例： 求2，2，3，3，5的最优二叉树 (1) 2，2，3，3，5 (2) 3，3，4，5 (3) 4，5，6 (4) 6，9
3 3 2 2 9 6 4 5 3 15 6 3
最优二叉树总的原则是：权值较大的叶子距根较近， 权值较小的可以距根较远
例：给定一组权值3，5，6，9，11，14，16，18构造 相应的最优二叉树
v3 v6 v7 v10
v9
v1为v5的祖先,v5为v1的后代； v2为v5的父亲,而v5为v2的儿子； v4与v5是兄弟
3、有序树 设T为根树，若将T中层数相同的顶点都标定次序， 则称T为有序树 根据根树T中每个分支点儿子数以及是否有序，可 以将根树分成下列各类： (1)若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉树； 又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树． (2)若T的每个分支点都恰好有r个儿子，则称T为r叉正 则树； 又若T是有序的，则称它为r叉正则有序树． (3)若T是r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高，则 称T为r叉完全正则树， 又若T是有序的，则称它为r叉完全正则有序树。
0 6
7 3
4
5
2
1
5,5,10,10,10,15,20,25 6,7,3, 4, 5, 2, 1, 0 编码：6-0000；7-0001； 3-001；4-010；5-011； 2-100；1-101,0-11
0
6 7 3 4 5 2 1
总权值:（100个字符的bit数）
W(T)=(5+5)*4+(10+10+10+15+20)*3+25*2=285
避圈法Kruskal算法(n-1次)
1
(1) 5 2 1
2 1 (2)
2 1 (3)
4
4
(4)
破圈法
3
5 2 1
(1)
64
3
5 2 1