3~~4 微分方程方法建模PPT课件
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《微分方程数学建模》课件
实际问题的转化
了解如何将实际问题转化为数学模型， 培养建模思维。
边界条件的确定
掌握边界条件的重要性，学会确定合适 的边界条件来求解微分方程。
数学建模实例
弹性材料的振动问题
通过建立微分方程模型，分析弹 性材料的振动特性和共振现象。
传染病传播模型
运用微分方程建模技巧，研究传 染病在人群中的传播规律和防控 策略。
《微分方程数学建模》 PPT课件
这份PPT课件将带领您深入了解微分方程数学建模，并探讨其应用与意义。通 过丰富的实例和技巧，让您轻松掌握数学建模的要点。
微分方程数学建模简介
微分方程简述
了解微分方程的基本概念和定义，掌握它在数学建模中的核心作用。
微分方程的应用和意义
探索微分方程在科学、工程和社会问题中的广泛应用，体会它的重要性。
4 高阶线性微分方程
探讨高阶线性微分方程的常见形式和特殊解 法，拓宽解题思路。
5 常系数齐次线性微分方程
学习处理常系数齐次线性微分方程的技巧和 常见应用场景。
建立微分方程模型
1
变量的择和定义
2
学习选择和定义适当的变量来建立准确
和有效的微分方程模型。
3
模型的求解方法
4
了解常见微分方程模型的解法，探索解 析和数值解的求解技巧。
相关教材
推荐一些优秀的教材，帮助 您进一步学习微分方程和数 学建模。
网络资源
介绍一些优质的网络资源， 供您查阅更多有关微分方程 数学建模的资料。
城市汽车拥堵问题的建模
通过建立微分方程模型，解析城 市交通拥堵的成因和调控方案。
总结
1 微分方程数学建模的重要性
总结微分方程在解决实际问题中的重要作用和应用前景。
微分方程的经典模型.ppt
游击作战模型
模型假设
1.不考虑增援，忽略非战斗减员；
2.甲乙双方均以游击作战方式，每一方士兵的活动均具有隐蔽性，对方的
射击行为局限在某个范围考虑可以被认为是盲目的。因此，甲乙双方的战斗减
员率不光与对方的兵力有关，同样设为是正比关系；而且与自己一方的士兵数
有关，这主要是由于其活动空间的限制所引起的，士兵数越多，其分布密度会
y(t)
g(
x,
y)
y
v(t)
x(0) x0 , y(0) y0
正规作战模型
模型假设
1.不考虑增援，并忽略非战斗减员； 2.甲乙双方均以正规部队作战，每一方士兵的活动均公开，处于对方 士兵的监视与杀伤范围之内，一旦一方的某个士兵被杀伤，对方的火力 立即转移到其他士兵身上。
正规作战模型
因此，甲乙双方的战斗减员率仅与对方的兵力有关，简单的设为是
方每次射击的有效面积sy 1平方米，则可得乙方获胜的条件为：
y0 x0
2
2 0.1 0.1 106 2 1100
100
即 y0 x0 10 ，乙方必须10倍于甲方的兵力。
点评与讨论
应用了微分方程建模的思想 这类模型反映了我们描述的对象随时间的变化。
6.3传染病模型
问题的提出 上世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地区流行，被传染的人数与哪
致的一个部队减员），它通常可被设与本方的兵力成正比，比例系数, 0
分别对应甲乙双方； 5.每一方的增援率，它通常取决于一个已投入战争部队以外的因素，甲
乙双方的增援率函数分别以u(t) , v(t) 表示。
模型建立 根据假设得到一般的战争模型
x(t) f (x, y) x u(t)
结合以上两表达式，并代入 c、d 的值，可得游击作战的数学模型
《微分方程模型》PPT课件
房室具有以下特征：它由考察对象均匀分布而成， （注：考察对象一般并非均匀分布，这里采用了一种简 化方法一集中参数法）；房室中考察对象的数量或浓度 （密度）的变化率与外部环境有关，这种关系被称为 “交换”且交换满足着总量守衡。在本节中，我们将用 房室系统的方法来研究药物在体内的分布。在下一节中， 我们将用多房室系统的方法来研究另一问题。两者都很 环境 简单，意图在于介绍建模方法。
器倾翻，图中X点处注入湖中。在采取紧急
措施后，于11:35事故得到控制，但数量不详
B
的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的量在5~20m3之间。 建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化
并估计：
（1）湖水何时到达污染高峰；
（2）何时污染程度可降至安全水平(<0.05%)
湖泊污染问题分析
设湖水在t时的污染程度为C(t)， X
0t 3 3t 4 t4
现回答上述问题
（1）t 6 代入对应方程，求得
W (6) 57.48247kg
（2）要满足体重不增，即dW (b 16W ) /10000 0
dt
所以b 16W 1657.1256 914 (cal)
因此每天总卡路里摄取量是1200+914＝2114cal
因污染源被截断，故微分方程变为 2000 dC 6C
dt
： 它的特解为
630
C(t) C(30)e 2000
当达到安全水平，即C(t)=0.0005时，可求出 此时的t=T，即
T 30 (2000 / 6) ln(0.0005 / C(30))
解得
T 30 (2000 / 6) ln(0.9564Z)
引例一
数学建模之微分方程方法ppt课件
建模 s(t) i(t) r(t) 1
需建立 i(t),s(t),r(t)的两个方程
23.04.2020
.
26
четверг, 23 апреля
模型4
SIR模型
N [ i ( t t ) i ( t ) ] N ( t ) i ( t ) s t N ( t ) ti
N [ s ( t t) s ( t) ] N ( t) i ( t s ) t
.
一 微分方程的平衡点及稳定性
１．平衡点的概念
设方程组：
dx
dt
f (t, x)
x(t0 ) x0
（1）
如果存在某个常数(向量) x0 使得 f (t; x0 ) 0 ， 则称点 x0 为方程组的平衡点（或奇点）。且称 x x0
为方程组的平凡解（或奇解）。
23.04.2020
.
7
четверг, 23 апреля
x2
提高阈值 1/ 降低
被传染人数比例 x
.
31
четверг, 23 апреля
建立微分方程模型的方法
（1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或 经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
（2）微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系 式，与第一种方法不同的是对微元而不是直 接对函数及其导数应用规律。
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模 N [ i ( t t ) i ( t ) ] N ( t ) i ( t ) s t N ( t ) t
di dt
i(1 i)
i
i(0) i0
~ 日接触率 1/ ~感染期
/ ~ 一个感染期内每个病人的
需建立 i(t),s(t),r(t)的两个方程
23.04.2020
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четверг, 23 апреля
模型4
SIR模型
N [ i ( t t ) i ( t ) ] N ( t ) i ( t ) s t N ( t ) ti
N [ s ( t t) s ( t) ] N ( t) i ( t s ) t
.
一 微分方程的平衡点及稳定性
１．平衡点的概念
设方程组：
dx
dt
f (t, x)
x(t0 ) x0
（1）
如果存在某个常数(向量) x0 使得 f (t; x0 ) 0 ， 则称点 x0 为方程组的平衡点（或奇点）。且称 x x0
为方程组的平凡解（或奇解）。
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.
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четверг, 23 апреля
x2
提高阈值 1/ 降低
被传染人数比例 x
.
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четверг, 23 апреля
建立微分方程模型的方法
（1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或 经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
（2）微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系 式，与第一种方法不同的是对微元而不是直 接对函数及其导数应用规律。
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模 N [ i ( t t ) i ( t ) ] N ( t ) i ( t ) s t N ( t ) t
di dt
i(1 i)
i
i(0) i0
~ 日接触率 1/ ~感染期
/ ~ 一个感染期内每个病人的
微分方程建模.ppt
d2x dy 2
dy dt
(H
感y谢)你的dd观yx看
dy dt
ve
dx dt
22
即有
d2x dy 2
dy dt
(H
y)
ve
把式(3.1)写为 dy dt
vw
代入上式,就得到轨迹方程.这是一个二阶非
dy dx
2
1
线性微分方程,加上初值条件,则初值问题
轴指向正北方。
2019年8月21
感谢你的观看
20
当 t=0 时，导弹位于点O，敌艇位于点 A(0,H)， 其中H=120（km）。
设导弹在t时刻的位置为 P(x(t),y(t))，由题意,
2019年8月21
dx dt
2
dy dt
2
v2
感谢你的观看
(3.1)
21
2019年8月21
感谢你的观看
12
6、模型求解
• 使用各种数学方法或软件包求解数学模型。此部分应包 括求解过程的公式推导、算法步骤及计算结果。为求解 而编写的计算机程序应放在附录部分。有时需要对求解 结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、模型对数 据的稳定性或灵敏度分析等。
2019年8月21
感谢你的观看
dt
dt
vet
x
方程(3.1),(3.3)连同初值条件
(3.2)
(3.3)
x(0) 0, y(0) 0
(3.4)
构成了一个关于时间变量t的一阶微分方程组的初值问题。
为了寻求x与y的关系,要设法消去变量t, 由式(3.2)得
3：微分方程建模法 数学建模精品PPT课件
四.分析法 基本思想：根据对现实对象特性的认识，
分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.
例5.1.4（独家广告模型） 广告是调整商品 销售的强有力的手段, 广告与销售量之间有什 么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？
分析 广告的效果, 可做如下的条件假设： *1. 商品的销售速度会因广告而增大，当商品 在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极 限值；
f
kv k ds dt
可得圆桶的位移和速度分别满足下面的微分方程:
m
d 2s dt 2
mg
gv
k
ds dt
(2)
m dv mg gv kv
dt
(3)
目录(1)
2.由题设这时圆桶受到的阻力应改为 f kv2 k ( ds )2 dt
类似上面,可得这时圆桶的速度应满足如下的微分方程:
m dv mg gv kv2
目录(1)
因 s=90(米),所以解下列方程:
8 < 90 171511 429.744t 171511e0.00250564t
In[]:= FindRoot[90==-171511+429.744429.744t+171511/Exp[0.00250564t],{t,13}]
Out[]:= t ? 13.0001614589966019`
(4)
dt
初始条件为:
ds dt
|t 0
v
|t 0
0,
s
|t 0
0
题设:m=239.46kg,w=0.2058m3,g=9.8m/t2,ρ=1035.71kg/m3,k=0.6
通过Mathematica求圆桶的位移和速度:
In[]:= Chop[DSolve[{m*s’’[t]==m*g-p*g*w-k*s’[t],s[0]==0’
分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.
例5.1.4（独家广告模型） 广告是调整商品 销售的强有力的手段, 广告与销售量之间有什 么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？
分析 广告的效果, 可做如下的条件假设： *1. 商品的销售速度会因广告而增大，当商品 在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极 限值；
f
kv k ds dt
可得圆桶的位移和速度分别满足下面的微分方程:
m
d 2s dt 2
mg
gv
k
ds dt
(2)
m dv mg gv kv
dt
(3)
目录(1)
2.由题设这时圆桶受到的阻力应改为 f kv2 k ( ds )2 dt
类似上面,可得这时圆桶的速度应满足如下的微分方程:
m dv mg gv kv2
目录(1)
因 s=90(米),所以解下列方程:
8 < 90 171511 429.744t 171511e0.00250564t
In[]:= FindRoot[90==-171511+429.744429.744t+171511/Exp[0.00250564t],{t,13}]
Out[]:= t ? 13.0001614589966019`
(4)
dt
初始条件为:
ds dt
|t 0
v
|t 0
0,
s
|t 0
0
题设:m=239.46kg,w=0.2058m3,g=9.8m/t2,ρ=1035.71kg/m3,k=0.6
通过Mathematica求圆桶的位移和速度:
In[]:= Chop[DSolve[{m*s’’[t]==m*g-p*g*w-k*s’[t],s[0]==0’
《微分方程建模》PPT课件
h(t) ( H B g t)2 这就是水位与时间的关系。 A2
在h=0，即水放光时
t* A 2H Bg
2.耐用消费品的销售—新产品的销售量
一种耐用消费品进入市场后，一般是开始销得慢，逐渐加快， 当普及了之后，速度又逐步减小，Product Life Cycle产品生 命周期。有人认为应该是钟型曲线，请建模分析一下PLC曲线。
度为8%，在每小层看吸收量，第一层后被吸收量为：
k8%d/n，含量变为： 8%(1- kd )
n
第二层吸收了
k8%(1- kd ) d nn
第二层后浓度 8%(1- kd )-k8%(1- kd ) d
n
nn
= 8%(1 kd )2
n
依此类推，最后第n层后的浓度为
8%(1 kd )n n
从而n→∞即无限细分通过d厘米后出口浓度
建立模型：
记潜在市场人数为K，n(t)为t时刻已购买者的人数， t到t+△t之间△n1为完全由消费者外信息交流造成的增加量, △n2为由消费者内部造成的消费增加量。
假设
假设 所以
△n1与未购买者成正比，即△n1=a(K-n(t)) △t, △n2与未购买者成正比，也与已购买者成正比， △n2=bn(t)(K-n(t))△t,其中a,b为比例系数（常数）
（2）要使出口浓度为1%，8%e-d*ln2/5=1%，则d=15cm
练习： 1.用处理放水问题和耐用消费品销售量的方法推出出口
浓度与吸收层厚度的关系模型。 2.推出线长度为L的单摆的周期计算公式。 马上拿纸做，下课交，做什么程度算什么样。
引入变量t：0 t d 表示厚度的变化，
引入函数f(t)表示通过厚度t后的浓度：8% f (t) f (d)
微分方程ppt课件
F(x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
y f (x, y)
(1.9)
或
M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
14
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推得
c1 v0
c2 H
于是，得到满足上述初值条件的特解为
xx(t()t)H12gt122 gt2c1t v0ct 2
(1.14)
22
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它描述了初始高度为H，初始速度为v0的自由落体运 动规律.
求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值 问题.
于是我们称(1.14)是初值问题
4
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目
录
第一章 初等积方法 第二章 基本定理 第三章 一阶线性微分方程组 第四章 n阶线性微分方程 第五章 定性与稳定性理论简介 第六章 一阶偏微分方程初步
5
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第一讲
第一章 初等积分法
1.1 微分方程和解
300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和 莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学， 是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分 的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相 关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自 于人们探求物质世界运动规律的需求.
12
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例如下面的方程都是常微分方程
dy 2x dx
(1.4)
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➢确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界 上的信息，它们独立于微分方程而成立，用于确定有关 的常数，为了完整、充分地给出问题陈述，应将这些给 定的条件和微分方程一起给出。
3.2 草地水量模型
问题
草地网球比赛常因下雨而被迫中断，只有草坪 的最上层充分干以后，才能够继续比赛。雨停 之后，部分雨水直接渗入地下，部分蒸发到空 气中去。一些机械装置可以用来加速干燥过程， 但为避免损伤草皮，最好让草地自然地变干， 能否建立一个数学模型描述这一干燥过程.
第三章 微分方程方法建模
3.1 微分方程建模 3.2 草地水量模型 3.3 传染病模型 3.4 食饵-捕食者模型
3.1 微分方程建模
微分方程模型属于动态模型
➢ 描述所研究对象特征随时间(空间)的演变过程 ➢ 分析所研究对象特征的变化规律 ➢ 预报所研究对象特征的未来性态 ➢ 研究控制所研究对象特征的手段
3.2 草地水量模型
问题陈述
➢草地开始是干的，突然开始下雨，雨大约 持续c小时, 雨在草地中聚积了h厘米高的水;
➢雨停后，通过渗入、蒸发使草地的积水减 少，最终自然变干，恢复比赛。
➢由此可将研究对象视为草地积单位面积的 水量Q, 它是时间t 的函数.
需要建立模型求出Q(t)，并能预测下雨 后多长时间t1 ，使Q(t1)=0。
微分方程建模方法
➢ 根据函数及其变化率(导数)之间的关系确定函数 ➢ 根据建模目的和问题分析作出简化假设 ➢ 按照内在规律(模式)或用类比法建立微分方程
3.1 微分方程建模
3.1.1 人的体重 3.1.2 常微分方程建模基本准则
3.1.1 人的体重
问题 研究此人的体重随时间变化的规律
某人的食量是10467（焦/天），其中5038 （焦/天）用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。 在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/ 公斤·天）乘以他的体重(公斤)。
输入＝扣除基本的新陈代谢之后的净重量吸收
净吸收量/天＝10467(焦/天)－5038(焦/天)
输出＝进行运健动身消耗训/天练＝＝时6594焦的29(/(公消焦斤/天耗·天) )×w(t)(公
斤)
导数意义的陈述
体重的变化/天＝净吸收量/天－运动消耗/天
3.1.1 人的体重
模型建立
连续函数w(t)的瞬时关系满足下面关系式
率”(在 放射性问题中)及“边际”(在经济学中)等；
➢ 模式：找出问题遵循的模式，大致可按下面两种方法： 1）利用熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律， 对某些实际问题直接列出微分方程； 2）模拟近似法，在生物、经济等学科中，许多现象所满足 的规律并不清楚，而且现象也相当复杂，但都可以遵循下 面的模式 改变率＝净变化率＝输入假设
1．开始时草地是干的,下雨时只考虑渗透排水,雨停 后水是通过渗透,蒸发排除的,其它因素不考虑。
2．渗透率、蒸发率与草地的水量成正比，不考虑 空气中的湿度与温度；
3．降雨速度为常数。
3.2 草地水量模型
问题分析
开始时
下雨时
若草地是干的，即Q(0)=0。
r米/秒降雨速度
持续c小时
体重的变化/天＝ w(t t) w(t)(公斤/天) t
＝ w/ t（公斤/天）
将两单位换算成统一形式：
公斤/天＝ 焦/天 41868焦/公斤
3.1.1 人的体重
模型建立
由上述分析，体重w(t)满足下面关系式
w t(公 斤 /天 ） 5 4 2 9 （ 焦 4 1 /8 天 6 8 ） 焦 6 /公 9 w （ 斤 焦 /天 ） 两边的物理单位量纲一致，令
草地积了h厘米高的水量
草地水量的改变
水的流入量（降雨过程） 流出量（渗透过程）
停雨后 草地水量的改变 流出量(渗透、蒸发过程) 由此本模型应遵循下面的模式：
草地积水量的改变量＝流入量－流出量 （1）
3.2 草地水量模型
模型建立
A （平方米）: 草地的面积 a 单位时间内单位水量的渗透量 b 单位时间内单位水量的蒸发量
16
即 t , w 平 稳 11 36 00(公 斤 )81.25(公 斤 )
3.1.2 常微分方程建模基
本准则
常微分方程建模应符合下面基本准则：
➢翻译：将研究的对象翻译成为时间变量的连续函数；
➢转化：在实际问题中, 有许多表示导数的常用词，如“速 率”, “增长率”(在生物学、人口学问题研究中), “衰变
3.1.2 常微分方程建模基
本准则
常微分方程建模应符合下面基本准则：
➢ 建立瞬时表达式：微分方程是一个在任何时刻都必须正 确的瞬时表达式。由此根据寻找到问题所遵循的模式， 建立起在自变量时段 t上的函数x(t)的增长量 x表达式
t 0 即得到 d x 的表达式
dt
➢单位：在建模中应注意每一项应采用同样的物理单位；
130106w(t)(130 1w 0 6 0)ex1 pt6 (/10)000
w (t) 1 3 0 0 (1 3 0 0 1 6 w 0)e x p ( 1 6 t/1 0 0 0 0 ) 1 6 1 6
3.1.1 人的体重
模型解释
由上述表达可知，随着时间的变化，人的体重最终
趋于一种平稳的值 1300 (公 斤 )
t,t t 时间内(1)式各量的描述:
草地积水量的改变量＝ Q(t)A
流入量－流出量
t 0
lim
t 0
dw130016w dt 10000
w(0) w0
3.1.1 人的体重
模型求解
dw(t) dt
130016w(t) 10000
分离变量法
d(16w(t)) 16dt 130016w(t) 10000
130016w(t) ln
16t
130016w(0) 10000
0到t
积分
1 3 0 0 1 6 w ( t ) 1 3 0 0 1 6 w ( 0 ) e x p ( 1 6 t/ 1 0 0 0 0 )
假设以脂肪形式贮藏的热量100％的有效， 而1公斤脂肪含热量41868焦。
3.1.1 人的体重
问题分析 体重w
时间t
函数w(t) , 连续可微
找到体重w(t)满足的微分方程即可求出函数w(t)
“变化率”
“导数”
微元法
3.1.1 人的体重
进一步分析
由题意可知, “每天”体重变化应满足下面描述 体重的变化＝输入－输出
3.2 草地水量模型
问题
草地网球比赛常因下雨而被迫中断，只有草坪 的最上层充分干以后，才能够继续比赛。雨停 之后，部分雨水直接渗入地下，部分蒸发到空 气中去。一些机械装置可以用来加速干燥过程， 但为避免损伤草皮，最好让草地自然地变干， 能否建立一个数学模型描述这一干燥过程.
第三章 微分方程方法建模
3.1 微分方程建模 3.2 草地水量模型 3.3 传染病模型 3.4 食饵-捕食者模型
3.1 微分方程建模
微分方程模型属于动态模型
➢ 描述所研究对象特征随时间(空间)的演变过程 ➢ 分析所研究对象特征的变化规律 ➢ 预报所研究对象特征的未来性态 ➢ 研究控制所研究对象特征的手段
3.2 草地水量模型
问题陈述
➢草地开始是干的，突然开始下雨，雨大约 持续c小时, 雨在草地中聚积了h厘米高的水;
➢雨停后，通过渗入、蒸发使草地的积水减 少，最终自然变干，恢复比赛。
➢由此可将研究对象视为草地积单位面积的 水量Q, 它是时间t 的函数.
需要建立模型求出Q(t)，并能预测下雨 后多长时间t1 ，使Q(t1)=0。
微分方程建模方法
➢ 根据函数及其变化率(导数)之间的关系确定函数 ➢ 根据建模目的和问题分析作出简化假设 ➢ 按照内在规律(模式)或用类比法建立微分方程
3.1 微分方程建模
3.1.1 人的体重 3.1.2 常微分方程建模基本准则
3.1.1 人的体重
问题 研究此人的体重随时间变化的规律
某人的食量是10467（焦/天），其中5038 （焦/天）用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。 在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/ 公斤·天）乘以他的体重(公斤)。
输入＝扣除基本的新陈代谢之后的净重量吸收
净吸收量/天＝10467(焦/天)－5038(焦/天)
输出＝进行运健动身消耗训/天练＝＝时6594焦的29(/(公消焦斤/天耗·天) )×w(t)(公
斤)
导数意义的陈述
体重的变化/天＝净吸收量/天－运动消耗/天
3.1.1 人的体重
模型建立
连续函数w(t)的瞬时关系满足下面关系式
率”(在 放射性问题中)及“边际”(在经济学中)等；
➢ 模式：找出问题遵循的模式，大致可按下面两种方法： 1）利用熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律， 对某些实际问题直接列出微分方程； 2）模拟近似法，在生物、经济等学科中，许多现象所满足 的规律并不清楚，而且现象也相当复杂，但都可以遵循下 面的模式 改变率＝净变化率＝输入假设
1．开始时草地是干的,下雨时只考虑渗透排水,雨停 后水是通过渗透,蒸发排除的,其它因素不考虑。
2．渗透率、蒸发率与草地的水量成正比，不考虑 空气中的湿度与温度；
3．降雨速度为常数。
3.2 草地水量模型
问题分析
开始时
下雨时
若草地是干的，即Q(0)=0。
r米/秒降雨速度
持续c小时
体重的变化/天＝ w(t t) w(t)(公斤/天) t
＝ w/ t（公斤/天）
将两单位换算成统一形式：
公斤/天＝ 焦/天 41868焦/公斤
3.1.1 人的体重
模型建立
由上述分析，体重w(t)满足下面关系式
w t(公 斤 /天 ） 5 4 2 9 （ 焦 4 1 /8 天 6 8 ） 焦 6 /公 9 w （ 斤 焦 /天 ） 两边的物理单位量纲一致，令
草地积了h厘米高的水量
草地水量的改变
水的流入量（降雨过程） 流出量（渗透过程）
停雨后 草地水量的改变 流出量(渗透、蒸发过程) 由此本模型应遵循下面的模式：
草地积水量的改变量＝流入量－流出量 （1）
3.2 草地水量模型
模型建立
A （平方米）: 草地的面积 a 单位时间内单位水量的渗透量 b 单位时间内单位水量的蒸发量
16
即 t , w 平 稳 11 36 00(公 斤 )81.25(公 斤 )
3.1.2 常微分方程建模基
本准则
常微分方程建模应符合下面基本准则：
➢翻译：将研究的对象翻译成为时间变量的连续函数；
➢转化：在实际问题中, 有许多表示导数的常用词，如“速 率”, “增长率”(在生物学、人口学问题研究中), “衰变
3.1.2 常微分方程建模基
本准则
常微分方程建模应符合下面基本准则：
➢ 建立瞬时表达式：微分方程是一个在任何时刻都必须正 确的瞬时表达式。由此根据寻找到问题所遵循的模式， 建立起在自变量时段 t上的函数x(t)的增长量 x表达式
t 0 即得到 d x 的表达式
dt
➢单位：在建模中应注意每一项应采用同样的物理单位；
130106w(t)(130 1w 0 6 0)ex1 pt6 (/10)000
w (t) 1 3 0 0 (1 3 0 0 1 6 w 0)e x p ( 1 6 t/1 0 0 0 0 ) 1 6 1 6
3.1.1 人的体重
模型解释
由上述表达可知，随着时间的变化，人的体重最终
趋于一种平稳的值 1300 (公 斤 )
t,t t 时间内(1)式各量的描述:
草地积水量的改变量＝ Q(t)A
流入量－流出量
t 0
lim
t 0
dw130016w dt 10000
w(0) w0
3.1.1 人的体重
模型求解
dw(t) dt
130016w(t) 10000
分离变量法
d(16w(t)) 16dt 130016w(t) 10000
130016w(t) ln
16t
130016w(0) 10000
0到t
积分
1 3 0 0 1 6 w ( t ) 1 3 0 0 1 6 w ( 0 ) e x p ( 1 6 t/ 1 0 0 0 0 )
假设以脂肪形式贮藏的热量100％的有效， 而1公斤脂肪含热量41868焦。
3.1.1 人的体重
问题分析 体重w
时间t
函数w(t) , 连续可微
找到体重w(t)满足的微分方程即可求出函数w(t)
“变化率”
“导数”
微元法
3.1.1 人的体重
进一步分析
由题意可知, “每天”体重变化应满足下面描述 体重的变化＝输入－输出