高中数学_反证法教学设计学情分析教材分析课后反思
反证法教案高中数学
反证法教案高中数学
一、教学内容：反证法
二、教学目标：
1. 了解反证法的基本概念和应用；
2. 能够灵活运用反证法解决问题。
三、教学重点和难点：
1. 反证法的基本原理和思想；
2. 如何正确运用反证法进行证明。
四、教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等。
五、教学步骤：
1. 引入：通过一个生活中的例子引发学生对反证法的兴趣，引出反证法的概念。
2. 讲解：讲解反证法的基本原理和思想，以及在数学证明中的应用方法。
3. 练习：设计一些简单的例题，让学生通过反证法进行证明。
4. 拓展：提供一些更具挑战性的问题，引导学生灵活运用反证法解决问题。
5. 总结：对本节课内容进行总结，并强调反证法在解决问题中的重要性。
六、课后作业：
1. 完成课堂练习题，并写出解题思路；
2. 查找一些实际问题，尝试用反证法进行证明。
七、教学反思：
在教学中要注重引导学生思考和灵活运用反证法，培养其逻辑思维和解决问题的能力，同时要注重培养学生的合作意识和自主学习能力。
高中数学_反证法(第一课时)教学设计学情分析教材分析课后反思
1.3.2反证法一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程与特点。
二、教学重点：了解反证法的思考过程与特点。
教学难点：正确理解、运用反证法。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：综合法与分析法综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效。
就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述。
因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程。
（二）、探究新课1、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
2、例题探析是无理数。
例1不是无理数，是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，设q,0pp ≠，且p ，q 互素，则q p =2。
所以222q p =。
高中数学_反证法教学设计学情分析教材分析课后反思
2.2.2 《反证法》教学设计一、教学目标（一）知识与技能目标结合熟悉的生活实例和典型的数学命题，帮助学生了解反证法的作用。
（二）过程与方法目标学生通过探究发现，了解反证法的思考过程，特点，并会用反证法思考和证明一些简单的数学问题。
（三）情感态度与价值观通过让学生亲身经历证明的过程，从中逐步体体会反证法的内涵，培养他们的逆向思维。
二、教学重点、难点教学重点：了解反证法的思考过程、特点。
教学难点：对命题的否定的全面、准确考虑以及恰当地寻找矛盾。
三、教具准备多媒体、投影仪。
四、教学方法设问、引导、启发等。
五、教学过程（一）情景导入著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”由“道旁苦李”故事引入课题，问题1：王戎怎么知道李子是苦的？问题2：王戎和其他小朋友判断李子是苦的方法有何不同？王戎的论述运用了什么推理思想？【设计意图】通过对这个问题的解答旨在提升学生的求知欲、探索欲，使学生保持良好、积极的情感体验。
让学生了解反证法是与直接证明不同的一种方法。
问题3：王戎通过反设结论解决了“道旁苦李”的问题，那么我们能否通过王戎的推理思路尝试解决一下问题？为什么在三角形中最多只有一个直角？你会证明吗？【设计意图】学生自主探究,发现用以前的证明方法不能很好的说明问题，激发探究热情。
并通过该例，初步感知反证法的定义，将反证法思想迁移到数学问题中来。
（二）掀起你的盖头来——认识反证法1、定义：反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。
【设计意图】让学生掌握反证法的定义，通过定义感知反证法的步骤。
高中数学人教B版选修2-2《反证法》教学思考
选修2-2《反证法》教学思考一、教材分析1.课标解读：了解间接证明的一种方法——反证法；了解反证法的思维过程与特点.2.教学目标：通过实例，引导学生认识反证法的特点，体会证明的必要性.3.教学重点：反证法的逻辑思维过程及逻辑思维方法.4.教学难点：反证法的应用，但是对证明的技巧性不宜作过高的要求.二、反证法的理论依据与教育意义法国数学家阿达玛曾说过：“反证法的证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法精辟的概括.反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真，所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的.反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会.三、教学思考1.引入部分：证明“设为正整数，如果是偶数，则是偶数”.问题的提出应用了学生比较熟悉又可列举的正整数环境，学生比较容易想到用验证的方法先进行结论的检验，并且在验证的过程中体会整数平方运算的规律，从而寻找一般的并且严谨的证明方式。
易于学生思考，同时也很好的激发了学生学习的动机和兴趣.同时严谨的证明对反证法定义的形成提供了强有力的思想支持，学生对一般的证明模式自然易于接受.一般地，由证明转向证明，与假设矛盾，或者与某个真命题矛盾.从而判断为假，推出为真的方法，叫做反证法.2.用例题介绍反证法的思想和证明方法：本节课共设计了四道例题，练习与习题中共8道训练题.例题1、2应用了两千多年前古希腊人用反证法证明的两个事例.例1：求证是无理数.本题是借助有理数的分数表示来处理，有助于加深学生对有理数的认识，思维上也有较高的要求，有利于发散学生思维，同时也和初中数学知识建立了联系，有利于学生建立知识体系，完善思维.本例设计的非常合理.同时在练习A中设计了第2题、练习B中设计了第2题，起到前后呼应、巩固加强理解和应用反证法的效果，同时体现了反证法对“原始”数学概念、公式、定理证明的作用.这一点在必修2立体几何的证明中就有过明显的体现.例如课本42页“直线与平面平行”的定义解释用了反证法的思想；再例课本50页例1：“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”的证明就用了反证法；再例课本51页例3的证明显然也是反证法.对于以上几个例子中出现的命题往往是大家易于接受的概念、公式、定理等，对于这些能容易接受的内容的证明，反证法常常是首先考虑的，充分体现了我们数学学科的严谨性.例2：证明质数有无穷多个.这个例题代数性比较浓，学生仅仅知道质数是什么，除此再没有更深入的认识，在此基础上要证明质数有无穷多个，给学生一种无从入手的感觉，思维跨度太大，失去了应有的训练效果.教师感到教学过程中无从引导,学生感到分析起来无头绪，而且在证明过程中关键等式（其中是互不相同的质数）的出现也很突然，很难想到！所以，建议将此例调整，可以作为课后阅读材料做更详细解释，有利学生开拓学习思维和学习视野.例1和例2是反证法应用中的经典问题，其所蕴含的数学智慧巧妙而不生僻、简洁而不单一，能很好的体现反证法的逻辑思维顺序，但须值得注意的是，例1的分析，学生并不容易自己发现思路，需要老师的引导，这样学生只是在老师的带领下经历了反证法的证题过程，例2对学生整数及整除的把握程度要求较高，与考试差距太大，让学生自己分析问题，经历问题的发展过程更不可能，所以建议调整为学生容易分析的题目：例2：若都是正数，且,求证：和中至少有一个成立.，且两式相加，得，即，这与已知矛盾，故这样的题目易于操作，证明思路清楚，学生容易分析，更能够达到对反证法概念的理解，对证明模式的体会，从而对证明的一般总结才会有亲身经历后的理解.反证法的证题模式可以简要的概括为“否定→推理→否定”.即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”.应用反证法证明的主要步骤是：否定结论→推导出矛盾→结论成立.实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，运用演绎推理，导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.反证法中的“矛盾”主要是指：（1）与假设矛盾；（2）与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；（3）与公认的简单事实矛盾.有了一般思想方法的总结，下面例题的分析学生应该有想法了.例3：证明：1、、2不能为同一等差数列的三项.该例题与前面学习的数列联系密切，思维上也比较好入题，既照顾了本节课的主题反证法，又联系了数列，回扣了旧知，有利于学生思维的养成，属学生易接受的类型，同时也体现了反证法在否定性命题证明中的优势，实际上反证法对唯一性问题、无限性问题、至少与至多问题（如例2）、否定的结论等的证明常常体现得比较给力.建议课后练习中适当设置这方面的练习：（调整方案与顺序后有叙述）例：已知均为实数，且，，，求证：中至少有一个大于0.例：给定实数，且，设函数(其中且)证明：经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于轴.反证法的关键之处在于准确的否定结论，因此对于至少、至多、不可能等问题的叙述要教会学生从补集思想的角度去阐述反证法的逻辑根据.至于结论的否定所包含的内容还要学生像例4那样去分类解决，逐个击破，培养学生分类讨论的意识.同时要让学生牢牢把握证题的反证法方向，从假设入手切忌出现“穿新鞋，走老路”的假反证法.例4：平面上有四个点，没有三点共线.证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形.本题以几何知识为背景设计，在回顾初中平面几何知识的同时，又在证明过程中融合数形结合、分类讨论思想于一体，对学生数学思维和分析问题、解决问题能力的培养都有很好的效果.实际上，在用反证法证题时，如果欲证命题的反面只有一种情况，那么只要将这种情况驳倒即可，这种反证法又叫归谬法；如果结论的反面不仅有一种情况，就必须把所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫穷举法.例4恰好就是这种类型的体现，训练了学生思维的严密性和数学思想方法运用的灵活性.但这一点课后无一针对的练习，建议有所补充.例：求证：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个平面也相交．四、教学反思学生只有亲身经历了知识的发生与发展才能很好的总结升华，才可以将体会汇总成理论，将理论应用于实践.将问题设计的有代表性了、有梯度了，学生能跳跳够得着了，自然有主动有积极，在课堂小结时才能真正有收获.总结应用反证法证明数学命题的一般步骤：1.分清命题的条件和结论；2.做出与命题结论相矛盾的假设；3.从假设出发，应用演绎推理的方法，推出矛盾的结果；4.断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真.五、课后练习练习A：第1题.建议保留原因：考查学生对反证法的基本掌握情况和使用能力。
高中数学新北师大版精品教案《《反证法》教学设计》
由生活中的小问题过渡到数学问题
耶稣有13门徒，
请你证明：其中至少两个人的生日在同一个月。
学生活动2:指定学生仿照葛优选餐馆问题的解决方法，解决本问题。
让学生熟悉反证法的操作过程。
让学生知道怎么做。
以简单实例认识反证法证明思想和证题步骤
引例1、求证：垂直同一直线的两直线平行。
引例2、证明：一个三角形的三个外角中，至多有一个是锐角。
本节课教学法创新之处是：
◆拟从学习心理学的角度出发，对教学方法和学生的学习方法两个方面进行设计。
◆让学生在活动中掌握知识，在活动中培养学习能力。
优化课堂设计，帮助学生快速掌握和学习“反证法”的重难点。
●本节课教学法设计
教学意图
教学素材
学生活动与心理学依据
以一句广告词趣味导入
葛优说：选餐馆就选经济实惠的，哪家人多就选哪家。
课后作业
课本15页题2、3、5。
引导学生复习课堂学习内容、消化课堂内容、自主检测知识掌握情况。
反思
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。反证法不仅在数学证明中发挥着重要的作用，在生活中也有着广泛的运用。将心理学原理应用于教学当中，准确把握教学节奏，合理安排教学内容，可以更好的让学生掌握反证法的思想并运用于学习和生活之中，提高学生素养。
让学生能操作。
以例题训练学生熟练运用反证法证明命题
例1、求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交, 那么和另一条也相交
已知:直线L1，L2，L3在同一平面内,且L1∥L2，L3与L1相交于点P。
求证:L3与L2相交。
例2、已知：a是整数，2整除a2
求证：2能整除a 。
例3、求证：实数是无理数。
高一数学 2.2.2《反证法》教案(新人教A版选修1-2)
§2.2.2反证法一、教学目标：1、知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解 反证法的思考过程、特点。
2、过程与方法:培养学生的辨析能力和分析问题、解决问题的能力；3、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点：了解反证法的思考过程、特点三、教学难点：反证法的思考过程、特点四、教学过程:（一）导入新课：1、复习综合法和分析法的思考过程和特点。
2、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法。
3、思考：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。
你能解释这种现象吗？ 学生尝试用直接证明的方法解释。
采用反正法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上．（二）推进新课1、反证法的特点：一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
2、例题讲解：例1、已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求证||a α。
证明：因为||a b ,所以经过直线a , b 确定一个平面β。
因为a α⊄，而a β⊂，所以 α与β是两个不同的平面．因为b α⊂，且b β⊂， 所以b αβ=.下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈=，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α.例2、求证：2不是有理数 分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如m n（,m n 互质， *,m Z n N ∈∈”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾． 证明：假设2不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数,m n m n=，从而有m =, 因此，222m n =，所以 m 为偶数．于是可设2m k = ( k 是正整数），从而有2242k n =，即所以n 也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！ 由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数．注：正是2的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与 1 是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。
高中数学优质教案 反证法
2.2.2 反证法一、教学目标1、知识目标：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力.2、能力目标：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.3、情感、态度与价值观目标：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想.在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机.二、教学重点.难点重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题.难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据.三、学情分析反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会.四、教学方法探析归纳，讲练结合五、教学过程教学过程：复习：综合法与分析法综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效.就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.分析归纳，抽象概括通过对这两个个问题的解答，有学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.（1）定义：反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.（2）步骤反证法证题的基本步骤：1．假设原命题的结论不成立；（假设）2．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）3．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种).用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论.反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个.归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾.知识应用，深化理解例1、写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”.【设计意图】：能否正确地写出假设，是解决问题的基础和保障(1)互补的两个角不能都大于90°.(2)△ABC中,最多有一个钝角(3)c b a ,,中至少有一个是正数例2：已知三个正数a ，b ， c 成等比数列，但不成等差数列， 求证：c b a ,,不成等差数列.【设计意图】：本例是否定性命题，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法证明本例例3:用反证法证明关于x 的方程0)1(,0344222=+-+=+-+a x a x a ax x ，0222=-+a ax x ，当23-≤a 或1-≥a 时，至少有一个方程有实数根. 【设计意图】：本例是“至少”“至多”等存在性问题.从正面证明，需要分成多种情形讨论，而从反面证明，只要研究一种或少数几种情形.故考虑采用反证法.例4、求证：方程32=x中有且只有一个根.【设计意图】：本题是证明唯一性问题.需要证明两个方面，一是存在性；二是唯一性.当证明的结论中含“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式时，由于假设结论易导出矛盾，故采用反证法证明其唯一性往往比较简单.六、当堂检测1．否定下列命题的结论：（1） 在⊿ABC 中如果AB=AC ，那么∠B=∠C. .（2） 如果点P 在⊙O 外，则d>r （d 为P 到O 的距离，r 为半径）（3） 在⊿ABC 中，至少有两个角是锐角.（4） 在⊿ABC 中，至多有只有一个直角.2．选择题：证明“在⊿ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（）A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”•应先假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律.七、课堂小结1.知识建构2.能力提高3.课堂体验八、课时练与测九、教学反思。
高中数学_反证法教学设计学情分析教材分析课后反思
《反证法》教学设计执教者指导教师教学过程:（一）导入新课：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”这就是著名的“道旁苦李”的故事．实质上王戎的论述，也正是运用了反证法．活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视引导，可以让几位同学说说讨论的结果，最后教师总结．活动成果：熟悉这个故事，却从没想到它其实是反证法的思想体现，学情预测：可能学生以前接触过，应该会很快回答出来．（二）自我探究已知：∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角求证：∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ不都小于60°设计意图通过小例子体会反证法存在的价值，领会反证法证明问题的方法．探究新知活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生的交流．活动成果：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．学情预测：这个问题应该绝大多数能回答出来．（三）归纳知识1.反证法的定义：2.用反证法证明问题的一般步骤是什么设计意图领会反证法的定义及证明问题的方法．理解新知提出问题：反证法的含义是什么？活动设计：先让学生独立思考，总结．活动成果：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法．学情预测：可能表述不准确．（四）新知应用例1 证明：设p为整数，如果p2是偶数, 则p也是偶数变式训练1:证明2不是有理数（提示：任一正有理数都可以写成形如pq（p,q为互质的正整数）的形式．）例2已知：cba,,为△ＡＢＣ的三边，且cab112+=，求证：2π<B变式训练2求证:平面上有四个点，没有三点共线，证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形。
《反证法》 说课稿
《反证法》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《反证法》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“反证法”是高中数学选修 2-2 中推理与证明这一章节的重要内容。
推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。
反证法作为一种间接证明的方法，在数学证明中有着广泛的应用。
通过本节课的学习，学生将进一步理解证明的意义和方法，提高逻辑推理能力和数学素养。
同时，反证法的思想也为后续学习数学归纳法等内容奠定了基础。
二、学情分析学生在之前的学习中已经掌握了直接证明的方法，如综合法和分析法，具备了一定的逻辑推理能力。
但是，对于反证法这种间接证明的方法，学生可能会感到陌生和难以理解。
此外，学生在思维上可能存在定式，习惯于从正面思考问题，而反证法需要从反面出发进行推理，这对学生的思维转换能力提出了一定的挑战。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）了解反证法的定义和反证法证明命题的一般步骤。
（2）能够运用反证法证明一些简单的命题。
2、过程与方法目标（1）通过对反证法的学习，培养学生的逆向思维能力和逻辑推理能力。
（2）让学生经历反证法的探究过程，体会“正难则反”的数学思想。
3、情感态度与价值观目标（1）通过反证法的学习，激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索和创新的精神。
（2）让学生感受数学的严谨性，培养学生的辩证唯物主义观念。
四、教学重难点1、教学重点（1）理解反证法的概念和原理。
（2）掌握反证法的一般步骤，并能运用反证法证明简单的命题。
2、教学难点（1）如何正确地提出反设。
（2）如何在推理过程中导出矛盾。
五、教法与学法1、教法（1）启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣和主动性。
（2）讲授法：讲解反证法的概念、步骤和原理，让学生对反证法有初步的了解。
（3）案例教学法：通过具体的案例，让学生体会反证法的应用，加深对反证法的理解。
《反证法》的教学反思
同理OPCD
揭谬：也就是说过点P的两条直线AB、CD都垂直于OP，这与过一点只有一条直线与已知直线垂直相互矛盾。
“转向反设”：略
结论：可知假设AB与CD互相平分不成立，所以AB与CD不能互相平分。
在学生完成例题解答后，我会让其他与黑板上做的不相符的同学发表自己的想法和意见。然后再次强调三步骤的重要性。这时学生们基本上已经掌握了反正有关的证明思想以及证明步骤，和学生一起讨论并归纳了常见词语的反设以及在什么情况下应当采用反证法，并以表格的形式展现给学生，帮助他们记忆。
本节课意在改变传统解题思路的倾向，让学生去发现问题，解决问题。我先把<<三国演义>>中“空城计”的故事以视频的形式展示给学生，一下就吸引了学生的眼球，激发他们学习的兴趣，引导他们在诸葛亮运用“空城计”不战而胜的故事中形成反证法的印象，并共同探讨出反证法的定义：反证法（Proofs by Contradiction,又称归谬法、背理法）,是一种论证方式,他首先假设原命题结论不成立（即在原命题的条件下,结论不成立）,在这个假设下，通过正确的推理得出矛盾,肯定原命题结论的正确性。
《反证法》的教学反思
在数学的教学中，掌握基本概念、基本解题技能是非常重要的。本节课主要的教学目标是了解反证法的基本原理，掌握反证法证明的一般步骤，并且会用反证法证明数学中的一些简单命题。
这节课是在前面学习了综合法与分析法的基础上进行的。综合法是由已知推导结论的直接证明方法；分析法是找与结论等价的命题，从而达到简化的目的。反证法是与前面两种证明法不一样的间接证明法，需要运用逆向思维，这是学习和掌握的一个难点。所以本节课的重点是使学生理解何为反证法，掌握反证法证明的三大步骤，并在实际解题的过程中体会反证法的思想及数学内涵。
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反证法教学设计教学目标：1、通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。
2．感受在什么情况下，需要用反证法证明不等式。
教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题。
教学难点：会用反证法证明简单的命题。
教学过程:一、引入：前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。
也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。
但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。
所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。
其中，反证法是间接证明的一种基本方法。
反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。
具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。
利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。
二、典型例题：例1、已知x>0,y>0,且x+y>2,求证:x y+1与y x+1中至少有一个小于2.思路分析：由于题目的结论是:两个数中“至少有一个小于2”情况比较复杂,会出现异向不等式组成的不等式组,一一证明十分繁杂,而对结论的否定是两个“都大于或等于2”构成的同向不等式,结构简单,为推出矛盾提供了方便,故采用反证法.证明:假设x y+1≥2,y x+1≥2.∵x>0,y>0,则1+y≥2x,1+x≥2y.两式相加,得2+x+y≥2(x+y),∴x+y≤2.这与已知x+y>2矛盾.∴y x+1与x y+1中至少有一个小于2成立.例2、已知a≠0，求证关于x的方程ax=b有且只有一个根。
注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。
议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。
试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？课堂练习：[练习1]已知f(x)是R上的单调递增函数，f(a)＋f(－b) ＜f(－a)＋f(b)．求证：a＜b.[练习2]已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，求证：y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．课时小结：1、利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；、2、在证明中含有“否定性、存在性词语，或者直接证明困难时，可使用反证法证明．3、在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾．反证法学情分析学生在选修2-2中，已经学习了反证法，并亲学会了用反证法证明一些数学问题，本节主要是让学生学会用反证法证明一些不等式有关问题，关键是以下3个问题：1、学生在解决用反证法来证明不等式时不会假设结论不成立，因此在教学中开始就对反设进行深入讨论，加深对反设的练习，让学生真正学会对命题的否定。
2、在反证法中步骤格式化非常关键，教学中应引导学生揭主动总结出反证法整体的的主要步骤，尤其是一些程序化的东西。
3、得到矛盾是反证法的核心问题，例1例2重点讲解了矛盾的推导，让学生自己总结出矛盾的类型。
体会矛盾的本质。
反证法效果分析一、设计意图：根据反证法在高考中的地位及考试要求，本节课的设计意图很明确，就是在降低难度的同时，规范学生的解题步骤。
二、优点：在导学案的设计上有意识的设计“有顺序和无顺序”之间的比较，把学习的主动性还给学生，通过自己的思考与小组的讨论，解决反证法中比较棘手的问题；再通过学生观察总结出反证法基本步骤。
这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
三、缺点：这节课还是“讲”的比较多，在学生讨论时指导得不够到位，应该赋予学生更多的时间，他们更多的自主权。
在今后的教学中，要在学生合作等方面加强指导，注意平时的培养与提高。
四、总结：反证法是一种特殊的证明方法，也是一种基本的证明方法，在不等式证明中占有相当重要地位。
学好反证法有利于数学思维的培养，有利于解释生活中的一些问题。
反证法教材分析知识·巧学1.反证法的意义：先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法.反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾.具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的.记忆要诀用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用下图表示.2.利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步,分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步,作出与所证不等式结论相反的假定；第三步,从条件和假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步,断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原先要证的不等式成立.辨析比较原结论词等于（=）大于(>)小于(<)对所有x成立对任意x不成立至少一个至多一个至少n个至多n个p或q p且q反设词不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)存在某个x不成立存在某个x成立一个都没有至少两个至多n-1个至少n+1个p⌝且q⌝p⌝或q⌝有些不等式，从正面证如果说不清楚，可以考虑反证法.即先否定结论，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原有结论是正确的.学法一得凡是含“至少”“唯一”或含有否定词的命题，大多适宜用反证法.不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容相结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养大家数学式的变形能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.典题·热题知识点一：反证法证明不等式例已知x>0,y>0,且x+y>2,求证:x y+1与y x+1中至少有一个小于2.思路分析：由于题目的结论是:两个数中“至少有一个小于2”情况比较复杂,会出现异向不等式组成的不等式组,一一证明十分繁杂,而对结论的否定是两个“都大于或等于2”构成的同向不等式,结构简单,为推出矛盾提供了方便,故采用反证法.证明:假设x y+1≥2,y x+1≥2.∵x>0,y>0,则1+y≥2x,1+x≥2y.两式相加,得2+x+y≥2(x+y),∴x+y≤2.这与已知x+y>2矛盾.∴y x+1与x y+1中至少有一个小于2成立.巧解提示凡涉及到证明不等式为否定性命题、唯一性命题或是含“至多”“至少”等字句时，可考虑使用反证法.问题·探究交流讨论探究问题有人说反证法很难，根本想不通；有人说反证法不难，看课本中的例题用起来很简单，那如何体会反证法的难与易呢？探究结论:反证法的应用广泛，只要善于观察和总结，从生活中体会反证法的思想，就不会感觉反证法难懂难用了.反证法观课记录孙老师这节课充分展示了在教师的指引下，以学生为中心，利用学生学习的积极性和主动性来自主、合作、探究的新课改学习模式。
下面我将具体从教学设计、教学实施、教学效果和教学建议等四个方面来谈谈我的看法。
一、评教学设计：1.评教学目标：孙老师以新课标的内容大纲为指导，结合学生已有的认知水平，从知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三个维度确定了本节课的教学目标，并将学习目标、教学重难点一一展示给学生，让学生在学习新课之前就有个整体框架，有侧重点。
重视反证法思想的形成过程和根基；强调反证法的的步骤，培养学生对生活中数学的抽象概括能力。
2.评教学模式：着力构造“自主学习、小组讨论、合作探究”型的民主课堂。
导入通过创设问题情境，引领教学；重点设计探究目标和随堂巩固两大部分，即贯穿自主学习、合作交流、展示点拨三个环节，突破教学关键；由学生进行课堂小结，完成整个教学活动。
教师采用启发引导、合理评价的方式，借助及时反馈，给学生一个循序渐进的发展台阶，也给学生更多探究空间。
以师生、生生合作为动力，以小组活动为基本单位的教学形式，激发了课堂的生命活力。
二、评教学实施：1.评教学过程：为了充分调动学生的积极性和主动性在教学中借鉴基因问题式的学习理论，采取引导发现法，结合问题式教学，构建数学情境，引导学生进行观察讨论、归纳总结，鼓励学生自做自评，激发学生的学习兴趣，真正达到学习有用的数学的目的。
2.评教师的教学基本功和教学素养：这节课展现了教师扎实的教学功底，备课细致、语言精炼、思路清晰、逻辑性强；教学环节过渡自然；教态得体、大方，处理问题过程中，不急不躁，表现出了极高的亲和力与人格魅力。
三、评教学效果：教师注重发挥学生的主体性，采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法让学生分析解决问题，概括本节所学内容，成功的完成了教学要求，达到了教学目标；整堂课教学效率高，同时通过师生互动，充分调动了学生的积极性，使得学生在原有知识的基础上取得进步，能力与思想方面都得到提高。
当堂问题基本当堂解决，学生负担合理。
但是在实施过程中还存在一些值得反思和提高的地方。
四、教学建议：1.教师在课堂上要尽量关注每一位学生的表现和学习注意力，并对学生行为进行及时的评价。
还要恰当运用语言激励引导和最大程度地调动学生学习的积极性，使他们学会学习，积极参与，真正成为学习的主人。
2.对于教学的重难点，可以尝试让学生来举例、让学生来展开探究。
数学来源于生活，又高于生活，教师将实践和理论相结合，和谐统一，实现新课程的数学理念，完成了新课标理念下的教学任务。
这堂课总体而言还是比较完美的。
反证法评测练习一、选择题1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中至少有两个偶数3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是() A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a、b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是()A．a<b B．a≤b C．a＝b D．a≥b6．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线二、填空题7．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．8．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．9．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为____________．10．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设______________．设全体质数为p1、p2、…、pn，令p＝p1p2…pn＋1.显然，p不含因数p1、p2、…、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、…、pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．三、解答题11．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.12．已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于14.反证法教学反思学生只有亲身经历了知识的发生与发展才能很好的总结升华，才可以将体会汇总成理论，将理论应用于实践.将问题设计的有代表性了、有梯度了，学生能跳跳够得着了，自然有主动有积极，在课堂小结时才能真正有收获。