2015届高考数学 集合、常用逻辑用语专题汇编及详细答案

2015届高考数学集合、常用逻辑用语专题汇编1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ文)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，x∈A}，则A∩B ＝()A．{1,4} B．{2,3}C．{9,16} D．{1,2}解析：选A.∵A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，x∈A}，∴B＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．2．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ理)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－5<x<5}，则() A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B解析：选B.∵A＝{x|x>2或x<0}，B＝{x|－5<x<5}，∴A∩B＝{x|－5<x<0或2<x<5}，A∪B＝R.3．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ理)已知集合M＝{x|(x－1)2<4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝()A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}解析：选A.集合M＝{x|－1<x<3，x∈R}，∴M∩N＝{0,1,2}，故选A.4．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ文)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N＝()A．{－2，－1,0,1} B．{－3，－2，－1,0}C．{－2，－1,0} D．{－3，－2，－1}解析：选C.M∩N＝{－2，－1,0}，故选C.5．(2013·高考大纲全国卷理)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()A．3 B．4C．5 D．6解析：选B.由题意可知，集合M＝{5,6,7,8}，共4个元素．6．(2013·高考大纲全国卷文)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝()A．{1,2} B．{3,4,5}C．{1,2,3,4,5} D．∅解析：选B.∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁U A＝{3,4,5}．7．(2013·高考山东卷理)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y |x∈A, y∈A}中元素的个数是()A．1 B．3C．5 D．9解析：选C.当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．8．(2013·高考山东卷文)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁U B＝()A．{3} B．{4}C．{3,4} D．∅解析：选A.∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}．又∁U B＝{3,4}，∴A∩∁U B＝{3}．9．(2013·高考浙江卷理)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁R S)∪T＝() A．(－2,1] B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)解析：选C.因为S＝{x|x>－2}，所以∁R S＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁R S)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．10．(2013·高考浙江卷文)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T＝() A．[－4，＋∞) B．(－2，＋∞)C．[－4,1] D．(－2,1]解析：选D.S∩T＝{x|x>－2}∩{x|－4≤x≤1}＝{x|－2<x≤1}．11．(2013·高考北京卷理)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝() A．{0} B．{－1,0}C．{0,1} D．{－1,0,1}解析：选B.∵A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}且1∉B，∴A∩B＝{－1,0}．12．(2013·高考天津卷理)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝() A．(－∞，2] B．[1,2]C．[－2,2] D．[－2,1]解析：选D.由已知得A＝{x|－2≤x≤2}，于是A∩B＝{x|－2≤x≤1}．13．(2013·高考福建卷文)若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为() A．2 B．3C．4 D．16解析：选C.A∩B＝{1,3}，其子集有∅，{1}，{3}，{1,3}，共4个．14．(2013·高考辽宁卷文)已知集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x||x|<2}，则A∩B＝()A．{0} B．{0,1}C．{0,2} D．{0,1,2}解析：选B.B＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}，A∩B＝{0,1}．15．(2013·高考辽宁卷理)已知集合A＝{x|0<log4x<1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝() A．(0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．(1,2]解析：选D.因为A＝{x|0<log4x<1}＝{x|1<x<4}，B＝{x|x≤2}，所以A∩B＝{x|1<x<4}∩{x|x≤2}＝{x|1<x≤2}．16．(2013·高考湖南卷文)已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(∁U A)∩B＝________.解析：∵U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，∴∁U A＝{6,8}．∴(∁U A)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．答案：{6,8}17．(2013·高考江西卷理)已知集合M＝{1,2，z i}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝()A．－2i B．2iC．－4i D．4i解析：选C.因为M＝{1,2，z i}，N＝{3,4}，由M∩N＝{4}，得4∈M，所以z i＝4，所以z＝－4i.18．(2013·高考江西卷文)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝() A．4 B．2C．0 D．0或4解析：选A.当a＝0时，方程化为1＝0，无解，集合A为空集，不符合题意；当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.19．(2013·高考湖北卷理)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | ⎝⎛⎭⎫12x ≤1，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩∁R B ＝( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2或x >4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4}解析：选C.A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | ⎝⎛⎭⎫12x ≤1＝{x |x ≥0}，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}＝{x |2≤x ≤4}，所以∁R B ＝{x |x <2或x >4}，于是A ∩∁R B ＝{x |0≤x <2或x >4}．20．(2013·高考湖北卷文)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则B ∩∁U A ＝( )A ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5}解析：选B.∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2}，∴∁U A ＝{3,4,5}，∴B ∩∁U A ＝{2,3,4}∩{3,4,5}＝{3,4}21．(2013·高考四川卷文)设集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{－2,2}，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．{2}C ．{－2,2}D ．{－2,1,2,3}解析：选B.A ∩B ＝{1,2,3}∩{－2,2}＝{2}，故选B.22．(2013·高考四川卷理)设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2－4＝0}，则A ∩B ＝( )A ．{－2}B ．{2}C ．{－2,2}D ．∅解析：选A.∵A ＝{x |x ＋2＝0}，∴A ＝{－2}．∵B ＝{x |x 2－4＝0}，∴B ＝{－2,2}．∴A ∩B ＝{－2}．故选A.23．(2013·高考重庆卷文)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}解析：选D.∵A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{1,2,3}，∴∁U (A ∪B )＝{4}．24．(2013·高考重庆卷理)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}解析：选D.∵A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{1,2,3}，∴∁U (A ∪B )＝{4}．25．(2013·高考广东卷)设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝( )A ．{0}B ．{0,2}C ．{－2,0}D ．{－2,0,2}解析：选D.集合M ＝{0，－2}，N ＝{0,2}，故M ∪N ＝{－2,0,2}，故选D.26．(2013·高考广东卷文)设集合S ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，T ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则S ∩T ＝( )A ．{0}B ．{0,2}C ．{－2,0}D ．{－2,0,2}解析：选A.集合S ＝{0，－2}，T ＝{0,2}，故S ∩T ＝{0}，故选A.27．(2013·高考安徽卷文)已知A ＝{x |x ＋1>0}，B ＝{－2，－1，0,1}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．{－2，－1}B ．{－2}C ．{－1,0,1}D ．{0,1}解析：选A.因为集合A ＝{x |x >－1}，所以(∁R A )＝{x |x ≤－1}，则(∁R A )∩B ＝{x |x ≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．28．(2013·高考新课标全国卷文Ⅰ)已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧qC ．p ∧綈qD ．綈p ∧綈q解析：选B.当x ＝0时，有2x ＝3x ，不满足2x <3x ，∴p ：∀x ∈R,2x <3x 是假命题．如图，函数y ＝x 3与y ＝1－x 2有交点，即方程x 3＝1－x 2有解，∴q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2是真命题．∴p ∧q 为假命题，排除A.∵綈p 为真命题，∴綈p ∧q 是真命题．选B.29．(2013·高考山东卷理)给定两个命题p 、q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若綈p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒綈p 但綈pq ，其逆否命题为p ⇒綈q 但綈q p ，∴p 是綈q 的充分不必要条件． 30．(2013·高考山东卷文)给定两个命题p 、q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若綈p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒綈p 但綈p q ，其逆否命题为p ⇒綈q 但綈q p ，∴p 是綈q 的充分不必要条件．31．(2013·高考浙江卷理)已知函数f (x )＝A co s (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若f (x )是奇函数，则f (0)＝0，所以co s φ＝0，所以φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故φ＝π2不成立；若φ＝π2，则f (x )＝A co s (ωx ＋π2)＝－As in(ωx )，f (x )是奇函数．所以f (x )是奇函数是φ＝π2的必要不充分条件．32．(2013·高考浙江卷文)若α∈R ，则“α＝0”是“s in α<co s α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若α＝0，则s in α＝0，co s α＝1，所以s in α<co s α，即α＝0⇒s in α<co s α；但当α＝－π2时，有s in α＝－1<0＝co s α，此时α≠0.所以α＝0是s in α<co s α的充分不必要条件．33．(2013·高考北京卷文)“φ＝π”是“曲线y ＝s in(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当φ＝π时，y ＝s in(2x ＋φ)＝s in(2x ＋π)＝－s in 2x ，此时曲线y ＝s in(2x ＋φ)必过原点，但曲线y ＝s in(2x ＋φ)过原点时，φ可以取其他值，如φ＝0.因此“φ＝π”是“曲线y ＝s in(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．34．(2013·高考天津卷文)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件解析：选A.由不等式的性质知(a －b )·a 2<0成立，则a <b 成立；而当a ＝0，a <b 成立时，(a －b )·a 2<0不成立，所以(a －b )·a 2<0是a <b 的充分而不必要条件．35．(2013·高考天津卷理)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切． 其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③解析：选C.对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确． 36．(2013·高考福建卷文)设点 P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当x ＝2且y ＝－1时，满足方程x ＋y －1＝0，即点P (2，－1)在直线l 上．点P ′(0,1)在直线l 上，但不满足x ＝2且y ＝－1，∴“x ＝2且y ＝－1”是“点P (x ，y )在直线l 上”的充分而不必要条件．37．(2013·高考福建卷理)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.∵A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，A ⊆B ，∴a ∈B 且a ≠1，∴a ＝2或3，∴“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．38．(2013·高考陕西卷文)设全集为R, 函数f (x )＝1－x 的定义域为M, 则∁R M 为( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：选B.函数f (x )的定义域M ＝(－∞，1]，则∁R M ＝(1，＋∞)．39．(2013·高考湖南卷)“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <2}，∴A B ，即当x 0∈A 时，有x 0∈B ，反之不一定成立．因此“1<x <2”是“x <2”成立的充分不必要条件．40．(2013·高考辽宁卷)下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列{a n n}是递增数列；p 4：数列{a n ＋3n d}是递增数列． 其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：选D.因为d>0，所以a n ＋1>a n ，所以p 1是真命题．因为n ＋1>n ，但是a n 的符号不知道，所以p 2是假命题．同理p 3是假命题．由a n ＋1＋3(n ＋1)d －a n －3n d ＝4d>0，所以p 4是真命题．41．(2013·高考陕西卷理)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为( )A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选D.由1－x 2≥0，知－1≤x ≤1，∴M ＝[－1,1]，∴∁R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．42．(2013·高考湖北卷)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q解析：选A.依题意得綈p ：“甲没有降落在指定范围”，綈q ：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p )∨(綈q )．43．(2013·高考四川卷)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∉BB ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B 解析：选D.命题p 是全称命题：∀x ∈A,2x ∈B ，则綈p 是特称命题：∃x ∈A,2x ∉B .故选D. 44．(2013·高考重庆卷理)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( )A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0B ．不存在x ∈R ，使得x 2<0C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0 解析：选D.因为“∀x ∈M ，p (x )”的否定是“∃x ∈M ，綈p (x )”，故“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定是“存在x 0∈R ，使得x 20<0”．45．(2013·高考安徽卷)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当x ＝0时，显然(2x －1)x ＝0；当(2x －1)x ＝0时，x ＝0或x ＝12，所以“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．46．(2013·高考陕西卷)设a ，b 为向量，则“|a·b |＝|a||b|”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.若|a ·b |＝|a ||b |，若a ，b 中有零向量，显然a ∥b ；若a ，b 均不为零向量，则|a ·b |＝|a ||b ||co s 〈a ，b 〉|＝|a ||b |，∴|co s 〈a ，b 〉|＝1，∴〈a ，b 〉＝π或0，∴a ∥b ，即|a ·b |＝|a ||b |⇒a ∥b .若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π，∴|a ·b |＝||a ||b |co s 〈a ，b 〉|＝|a ||b |，其中，若a ，b 有零向量也成立，即a ∥b ⇒|a ·b |＝|a ||b |.综上知，“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件．47．(2013·高考江苏卷理)集合{－1,0,1}共有________个子集．解析：由于集合中有3个元素，故该集合有23＝8(个)子集．答案：848．(2013.高考湖南卷)对于E ＝{a 1，a 2，...，a 100}的子集X ＝{a i 1，a i 2，...，a i k }，定义X 的“特征数列”为x 1，x 2，...，x 100，其中x i 1＝x i 2＝...＝x i k ＝1，其余项均为0.例如：子集{a 2，a 3}的“特征数列”为0,1,1,0,0， 0(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”的前3项和等于________．(2)若E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1,1≤i ≤99；E 的子集Q 的“特征数列” q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1,1≤j ≤98，则P ∩Q 的元素个数为________．解析：(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”中共有3个1，其余均为0，该数列为1,0,1,0,1,0,0，…，0.故该数列前3项的和为2.(2)E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100中，由于p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1(1≤i ≤99)，因此集合P 中必含有元素a 1.又当i ＝1时，p 1＋p 2＝1，且p 1＝1，故p 2＝0.同理可求得p 3＝1，p 4＝0，p 5＝1，p 6＝0，….故E 的子集P 的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,1,0，…，1,0，即P ＝{a 1，a 3，a 5，a 7，…，a 99}．E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100中，由于q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1(1≤j ≤98)，因此集合Q 中必含有元素a 1.又当j ＝1时，q 1＋q 2＋q 3＝1，当j ＝2时，q 2＋q 3＋q 4＝1，当j ＝3时，q 3＋q 4＋q 5＝1，…，故q 1＝1，q 2＝q 3＝0，q 4＝1，q 5＝q 6＝0，q 7＝1，….所以E 的子集Q 的“特征数列”为1,0,0,1,0,0,1,0,0，…，0,1，即Q ＝{a 1，a 4，a 7，a 10，…，a 100}．因为100＝1＋(n －1)×3，故n ＝34.所以集合Q 中有34个元素，其下标为奇数的有17个．因此P ∩Q ＝{a 1，a 7，a 13，a 19，…，a 97}，共有17个元素．答案：(1)2 (2)1749．(2013·高考重庆卷)对正整数n ，记I n ＝{1,2，…，n }，P n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k m ∈I n ，k ∈I n . (1)求集合P 7中元素的个数；(2)若P n 的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A 为“稀疏集”，求n 的最大值，使P n 能分成两个不相交的稀疏集的并．解：(1)当k ＝4时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k m ∈I 7中有3个数与I 7中的3个数重复，因此P 7中元素的个数为7×7－3＝46.(2)先证：当n ≥15时，P n 不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A ，B 为不相交的稀疏集，使A ∪B ＝P n ⊇I n .不妨设I ∈A ，则因为1＋3＝22，故3∉A ，即3∈B .同理，6∈A,10∈B ，又推得15∈A ，但1＋15＝42，这与A 为稀疏集矛盾．再证P 14符合要求．当k ＝1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k m ∈I 14＝I 14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A 1＝{1,2,4,6,9,11,13}，B 1＝{3,5,7,8,10,12,14}，则A 1，B 1为稀疏集，且A 1∪B 1＝I 14.当k ＝4时，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k m ∈I 14中除整数外剩下的数组成集⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，32，52，…，132，可求解为下面两稀疏集的并：A 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，52，92，112，B 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，72，132. 当k ＝9时，集合⎩⎨⎧⎪⎪m k ⎭⎬⎫m ∈I 14中除正整数外剩下的数组成集⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，43，53，…，133，143，可分解为下面两稀疏集的并：A 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，43，53，103，133， B 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，73，83，113，143. 最后，集合C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k m ∈I 14，k ∈I 14，且k ≠1，4，9中的数的分母均为无理数，它与P 14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A ＝A 1∪A 2∪A 3∪C ，B ＝B 1∪B 2∪B 3，则A 和B 是不相交的稀疏集，且A ∪B ＝P 14.综上可知，所求n 的最大值为14.注：对P 14的分析方法不是唯一的．。