2020年上海黄浦高三一模(期末)数学试卷及答案解析
2020黄浦区高三一模详解
【考点】双曲线
【解析】设双曲线为
x2 a2
−
y2 b2
=1
ABM 为等腰三角形，则 AB 只能为腰，设 B 为顶点，则 BM = AB = 2a
则 M，代入得
4a2 a2
−
3a2 b2
= 1，ba22
=1
双曲线渐近线方程斜率为 1，所以夹角 2
【答案】 2
10.已知函数 y = f ( x) 与 y = g ( x) 的图像关于直线 y = x 对称，若
【考点】复数的运算
【解析】 z = (a − i)(1+ i) = a +1+ (a −1)i 为纯虚数，实部 a +1 = 0,a = −1
【答案】 −1
3. 抛物线 x2 = 8 y 的焦点到准线的距离为__________.
【考点】抛物线的性质
【解析】抛物线 x2 = 8y 的焦点为 (0, 2) ，准线为 y = −2 ，所以距离为 4
【解析】举例 x1 = 0, f (0) = 0 ，所以①; y = 3x + 5x (0, +) 且它为增函数，所以对
任意的 x1 D ，总存在 x2 D 使得 f ( x2 ) f ( x1 ) = 1，所以②正确：正确②；
y = log8 ( x + 2), x0,t ，为增函数且恒大于 0，函数具有性质 M ，所以最大值乘以
黄浦区高三一模数学小题解析
1. 设集合 A = {x | (x +1)(x − 2) 0}，集合 B ={x |1 x 3} ，则 A B = __________.
【考点】集合的运算
【解析】 A = (−1, 2)，所以 A B = (−1,3)
上海市浦东新区2020年高三第一学期期末(高考一模)学科质量检测数学试卷(word解析版)
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据题意：已知时间 时，点 的坐标是 ，得 ，再依据每12秒运动一周得出点 每秒旋转的角度，从而 秒旋转 ，利用三角函数的定义即可得出 关于 的函数解析式，进而可得出函数的单调增区间.
【详解】解：根据题意，
得 ，点 每秒旋转 ，
所以 秒旋转 ， ，
则 ．
【答案】（1） （2） （3）存在，实数 的取值集合为
【解析】
【分析】
（1）求出曲线 的焦点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求求解即可；
（2）设 ， ，表示出直线 的斜率，根据 的范围，求出其范围，进而得到倾斜角的取值范围；
（3）直接求出当直线 ，直线 和当直线 ，直线 时， 的值，当 时，与双曲线联立可得 ，利用弦长公式求出 和 ，利用 列方程求出 的值，验证判别式成立即可得出结果.
11.已知数列 ， ， ，若对于任意的 ， ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为________
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得 ，运用累加法和裂项相消求和可得 ，再由不等式恒成立问题可得 恒成立，转化为最值问题可得实数 的取值范围．
【详解】解：由题意数列 中， ，
即
则有
则有
又对于任意的 ， ，不等式 恒成立，
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13.若命题甲： ，命题乙： ，则命题甲是命题乙的（）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
分别分析甲能否推出乙，乙能否推出甲，即可得命题甲与命题乙的关系.
【详解】解：当 ，即 时， ，故命题甲可推出命题乙；
上海市黄浦区2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷含解析
上海市黄浦区2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数41iz i=+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简z ，由此求得z 对应点所在象限. 【详解】 依题意()()()()41212211i i z i i i i i -==-=++-，对应点为()2,2，在第一象限.故选A. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题.2．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．2B ．2CD【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x 、y 轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率． 【详解】设双曲线C 的渐近线方程为y=kx1k ∴=， ， 得双曲线的一条渐近线的方程为3y =∴焦点在x 、y 轴上两种情况讨论： ①当焦点在x轴上时有： b c e a a ==＝②当焦点在y 轴上时有： 23a c e b a ==＝；∴求得双曲线的离心率 2． 故选：A ． 【点睛】本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线 的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案．3．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π【答案】D 【解析】 【分析】根据底面为等边三角形，取BC 中点M ，可证明BC ⊥平面PAM ，从而BC PM ⊥，即可证明三棱锥P ABC -为正三棱锥.取底面等边ABC ∆的重心为O '，可求得P 到平面ABC 的距离，画出几何关系，设球心为O ，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积. 【详解】设M 为BC 中点，ABC ∆是等边三角形， 所以AM BC ⊥，又因为PA BC ⊥，且PA AM A =I ， 所以BC ⊥平面PAM ，则BC PM ⊥， 由三线合一性质可知,PB PA PC ==所以三棱锥P ABC -为正三棱锥，AB =PA PB PC === 设底面等边ABC ∆的重心为O '，可得226433AO AM '==⨯=，2PO '===， 所以三棱锥P ABC -的外接球球心在面ABC 下方，设为O ，如下图所示：由球的性质可知，PO ⊥平面ABC ，且,,P O O '在同一直线上，设球的半径为R ， 在Rt AOO ∆'中，222AO AO OO ='+'， 即()22162R R =+-， 解得5R =，所以三棱锥P ABC -的外接球表面积为24425100S R πππ==⨯=， 故选：D. 【点睛】本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高，属于中档题.4．()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ）A ．84-B ．84C ．280-D ．280【答案】C 【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式1C k n k kk n T a b -+=，得()712x -展开式的通项为()172kk kk T C x+=-，则()712x x-展开式的通项为()1172kk k k T C x -+=-，由12k -=，得3k =，所以所求2x 的系数为()3372280C -=-.故选C.点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式1C r n r r r n T ab -+=，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出r ，将r 的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.5．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A 26-B ．26+C 62-D 62+【答案】A 【解析】 【分析】先利用最高点纵坐标求出A ，再根据324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求出周期，再将112，π⎛⎫⎪⎝⎭代入求出φ的值.最后将38π代入解析式即可. 【详解】由图象可知A ＝1， ∵324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以T ＝π，∴22T πω==. ∴f （x ）＝sin （2x+φ），将112，π⎛⎫⎪⎝⎭代入得(6sin π+φ）＝1，∴6π+φ22k k Z ππ=+∈，，结合0＜φ2π＜，∴φ3π=.∴()23f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. ∴3384312f sin sin πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 1234sin πππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2634344sin cos cos sin ππππ⎛⎫=--=⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题.6．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么12I I =（ ） A ．4510 B ．4510-C ．32-D ．3210-【答案】D 【解析】 【分析】由1210110I L g -⎛⎫= ⎪⎝⎭得lg 1210L I =-，分别算出1I 和2I 的值，从而得到12I I 的值. 【详解】 ∵1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭， ∴()()1210lg lg1010lg 12L I I -=-=+，∴lg 1210LI =-， 当160L =时，1160lg 121261010L I =-=-=-，∴6110I -=， 当275L =时，2275lg 1212 4.51010L I =-=-=-，∴ 4.5210I -=， ∴36 1.5124.5210101010I I ----===， 故选：D. 【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.7．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（ ）A ．甲得分的平均数比乙大B ．甲得分的极差比乙大C ．甲得分的方差比乙小D ．甲得分的中位数和乙相等【答案】B【解析】 【分析】由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论． 【详解】 对于甲，179888282939185.86x +++++=≈；对于乙，272748189969985.26x +++++=≈，故A 正确；甲的极差为937914-=，乙的极差为997227-=，故B 错误； 对于甲，方差2126S ≈.5，对于乙，方差22106.5S ≈，故C 正确； 甲得分的中位数为8288852+=，乙得分的中位数为8189852+=，故D 正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．8．若不相等的非零实数x ，y ，z 成等差数列，且x ，y ，z 成等比数列，则x yz+=（ ） A ．52-B ．2-C ．2D ．72【答案】A 【解析】 【分析】 由题意，可得2x z y +=，2z xy =，消去y 得2220x xz z +-=,可得2x z =-，继而得到2z y =-，代入即得解 【详解】由x ，y ，z 成等差数列， 所以2x zy +=，又x ，z ，y 成等比数列， 所以2z xy =，消去y 得2220x xz z +-=，所以220x xz z⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得1x z =或2x z =-，因为x ，y ，z 是不相等的非零实数，所以2x z =-，此时2z y =-， 所以15222x y z +=--=-． 故选：A 【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为 A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可以通过题意画出图像并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果。
上海市2020届高三数学各区(16区已全)一模考试汇编：解析几何(解析版)
2020年一模汇编——解析几何一、填空题【普陀1】若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 为___________.【答案】2【解析】抛物线的性质：p=1，所以m=2【黄浦3】抛物线28x y =的焦点到准线的距离为___________. 【答案】4【解析】由题抛物线的焦点为(0,2)，准线为直线2x =-，易得焦点到准线的距离为4【青浦3】直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是【答案】6π 【解析】设夹角为θ，则23213cos =⨯=θ，故夹角6πθ=【静安3】若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32和152则1l 与2l 的夹角为_____.【答案】60【解析】1801523260-+=【静安4】若直线l 的一个法向量为(2,1)n =，则若直线l 的斜率k =_____. 【答案】2-【解析】(2,1)n =，则单位向量(1,2)d =-，221k ==-【宝山5】以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 .【答案】9)23(22=++y x【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 【松江5】已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1=PF【答案】4【解析】由椭圆定义得：1226PF PF a +==，又122PF PF =，联立得：1=PF 4【虹口6】抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为_________. 【答案】1【解析】抛物线26x y =的焦点为)23,0(，焦点到直线3410x y +-=的距离33041215d ⨯+⨯-==【杨浦7】椭圆22194x y +=焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠= 【答案】35【解析】因为3a ==，2b ==，所以c ==，所以1(F，2F ，225651PF a =-=-=，所以22212513cos 2155F PF +-∠==⋅⋅【奉贤7】若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为则该双曲线的标准方程为____________.【答案】2219y x -=±【解析】根据双曲线的渐近线方程为3y x =±，可知3b a =或3ab=；由焦距为得出c =222c a b =+，求得,,a b c 的值【普陀8】设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=＞，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP △是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA →→=，则Γ的长轴长等于_________.【答案】【解析】由题知(),0A a -、()0,P a ，设(),Q x x a +，有(),PQ x x =、(),QA a x x a =----， 所以()2x a x =⋅--，解得23x a =-，将(),Q x x a +代入2221x y a +=得22211210x ax a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，整理得Γ的长轴长2a = 【崇明8】若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是__________．【答案】116922=-y x 【解析】由题意得3=a ，5210=÷=c ，16222=-=a c b ，标准方程为116922=-y x【杨浦9】在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:+2C x y =上，则PA PB ⋅的取值范围为___________.【答案】(22+【解析】因为22+2x y =，设)P θθ，则(2,)PA θθ=--，(,1)PB θθ=-，22222cos 2sin PA PB θθθθ⋅=++，22)PA PB θθθϕ⋅=+=++，【崇明9】已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于___________.【答案】81 【解析】两直线互相垂直得1121-=-⋅-ba ，b a 21-=，代入得b b ab )21(-=， 0,0a b >>，最小值为81【宝山9】已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为___________.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=【奉贤9】设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，6ON =，5ON OM =，过点M 作1MM x ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设11OT M M N N =+，则点T 的轨迹方程是______________.【答案】22536x y +=05x x ⎛≠≠ ⎝⎭且【解析】设(),T x y ，点()11,N x y ，则()11,0N x ，又1111,OM y M y ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭11,0M M ⎫=⎪⎭，()110,N N y =，于是1111,OT M M N N x y ⎫=+=⎪⎭，由此能求出曲线C的方程。
2020黄浦数学一模
上海市黄浦区2020届高三一模数学试卷2020.01一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B =U2. 已知(i)(1i)z a =-+（a ∈R ，i 为虚数单位）为纯虚数，则a =3. 抛物线28x y =的焦点到准线的距离为4. 281()x x-的展开式中的系数为 5. 设θ为第二象限的角，3sin 5θ=，则tan2θ的值为 6. 母线长为3，底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为 7. 若无穷等比数列{}n a 满足：234a a a =，5116a =，且n a ∈R （*n ∈N ），则数列21{}n a - 的所有项的和为8. 四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是 （结果用数字作答）9. 已知A 、B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角 为120°，则E 的两条渐近线的夹角为10. 已知函数()y f x =与()y g x =的图像关于直线y x =对称，若2()log (22)x f x x =++， 则满足2()log 3()f x g x >>的x 的取值范围是11. 设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，则称函数()f x 具有性质M ，下列结论：① 函数3y x x =-具有性质M ； ② 函数35x x y =+具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[0,]x t ∈具有性质M ，则510t =；④若3sin 4x ay +=具有性质M ，则5a =；其中正确结论的序号是 12. 已知正六边形123456A A A A A A 的边长为2，点是P 该正六边形上的动点，记12A P A P σ=⋅uuu r uuu r2334455661A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则σ的取值范围是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 方程2153x x=的解集是（ ） A. {2} B. {2,2}- C. {1,1}- D. {i,i}-14. 将函数sin(4)3y x π=+的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移3π个 单位，得到的函数图像的一条对称轴的方程为（ ） A. 12x π=-B. 16x π=C. 4x π=D. 2x π=15. 若函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是偶函数”是“(||)()f x f x =对一切x ∈R 恒成立”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 16. 设曲线E 的方程为22491x y+=，动点(,)A m n 、(,)B m n -、(,)C m n --、(,)D m n -在 E 上，对于结论：① 四边形ABCD 的面积的最小值为48；② 四边形ABCD 外接圆的面积的最小值为25π；下面说法正确的是（ ）A. ①错②对B. ①对②错C. ①②都错D. ①②都对三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在三棱锥P ABC -中，已知PA 、PB 、PC 两两垂直，3PB =，4PC =，且三棱锥P ABC -的体积为10.（1）求点A 到直线BC 的距离；（2）若D 是棱BC 的中点，求异面直线PB 、AD 所成角大小（结果用反三角函数值表示）.18. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos (2)cos a C b c A =-.（1）若3AB AC ⋅=uu u r uuu r，求△ABC 的面积；（2）若B C ∠<∠，求222cos cos B C +的取值范围.19. 某研究所开发了一种新药，测得成人注射该药后血药浓度y （微克/毫升）与给药时间x （小时）之间的若干组数据，并由此得出y 与x 之间的一个拟合函数240(0.60.6)x x y =-（[0,12]x ∈），其简图如图所示，试根据此拟合函数解决下列问题：（1）求药峰浓度与药峰时间（精确到0.01小时），并指出血药浓度随时间的变化趋势； （2）求血药浓度的半衰期（血药浓度从药峰浓度降到其一半所需要的时间）（精确到0.01小时）20. 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上一点(23,1)A -到两焦点距离之和为8，若点B 是椭圆C 的上顶点，点P 、Q 是椭圆C 上异于点B 的任意两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若BP BQ ⊥，且满足32PD DQ =uu u r uuu r 的点D 在y 轴上，求直线BP 的方程；（3）若直线BP 与BQ 的斜率乘积为常数λ（0λ<），试判断直线PQ 是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标，若不经过定点，请说明理由.21. 对于数列{}n a ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{}n a 为P 数列.（1）若{}n a 的前n 项和32n n S =+，试判断{}n a 是否是P 数列，并说明理由； （2）设数列12310,,,,a a a a ⋅⋅⋅是首项为1-，公差为d 的等比数列，若该数列是P 数列，求d 的取值范围；（3）设无穷数列{}n a 是首项为a ，公比为q 的等比数列，有穷数列{}n b 、{}n c 是从{}n a 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，起所有项和分别为1T 、2T ，求{}n a 是P 数列时a 与q 所满足的条件，并证明命题“若0a >且12T T =，则{}n a 不是P 数列”.参考答案一. 填空题1. (1,3)-2. 1-3. 44. 705. 247-6. 2π37. 43 8. 144 9. π210. 2(0,log 15) 11. ②③ 12. [30,36]二. 选择题13. B 14. A 15. C 16. D三. 解答题17．解：（1）因为PA PB PA PC ⊥⊥，，PB PC P ⋂=，所以AP ⊥平面PBC ， ……1分由11(34)1032P ABC V AP -=⋅⋅⋅=，可得5AP =． ………………………………………3分过P 作PE BC ⊥于E ，连AE ，由AP ⊥平面PBC ，可得,AP PE AP BC ⊥⊥， 由BC PE ⊥，BC AP ⊥，可知BC ⊥平面APE ，故BC AE ⊥，………………………4分 又125PE =，所以22127695()5AE =+=， 所以点A 到直线BC 的距离为769．………6分 （2）设F 为棱PC 的中点，连,DF AF ，由,D F 分别是棱,BC PC 的中点，可得DF ∥PB ，所以AD 与DF 的夹角即为异面直线PB 与AD 所成的角． ……………………………………8分 因为AP ⊥平面PBC ，所以AP PD ⊥， 又1322FD PB ==，2229AF AP PF ==+，2222555()522AD AP PD ==+=+，所以22235cos 2AD DF AF ADF AD DF -∠==⋅+， …………………………………………12分 故异面直线,PB AD 所成的角为35arccos． ………………………………………14分 18．解：（1）由cos (2)cos a C b c A =-，可得sin cos (2sin sin )cos A C B C A =-，……1分 即sin()2sin cos A C B A +=，故sin 2sin cos B B A =，又sin 0B ≠，故1cos 2A =，因(0,π)A ∈，故π3A =． ……………………………4分 因为3AB AC ⋅=u u u r u u u r ，所以πcos 33cb =，得6bc =， ……………………………………6分△ABC的面积为1sin 2bc A = ……………………………………………………8分（2）由π3A =，可得2π3B C +=，所以221cos22cos cos 1cos22CB C B ++=++ …………………………………9分34π13cos(2)cos 222322C C C =+-+=， ………………………………11分 又B C ∠<∠，故π2π(,)33C ∠∈，即2π4π2(,)33C ∈，所以sin 2(C ∈，所以22cos cos B C +=3392(,)244C ∈． 即222cos cos B C +的取值范围是39(,)44． …………………………………………14分19．解：（1）令0.6x t =，则2240(0.60.6)40()x x y t t =-=--，……………………2分 240(0.5)1010y t =--+≤，当且仅当0.5t =，即0.6log 0.5[0,12]x =∈时，10y =，故y 的最大值为10，此时0.6log 0.5 1.36x =≈，所以药峰浓度为10(微克/毫升)，药峰时间为1.36小时． …………………6分 由函数简图知，当0.6[0,log 0.5]x ∈时，血药浓度随时间增大而增大；当0.6[log 0.5,12]x ∈时，血药浓度随时间增大而减小． ……………………8分（2）令240()5y t t =--=，可得2108t t -+=， …………………………………10分解得t =或t =，由t =可得0.6log x =………………12分故血药浓度的半衰期为0.60.6log log 0.5 2.40-≈（小时）．…………………14分 20．解：（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意知28a =，且221211a b +=，可得4,2a b ==，故椭圆C 的方程为221164x y +=． …………………4分（2）设,BP BQ 的斜率分别为k k ',，则由BP BQ ⊥，可得1k k'=-， ……………5分由222,1164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2(41)160k x kx ++=，所以21641P k x k -=+，同理可得221616414Q k kx k k '-=='++， …………………7分 由32PD DQ =u u u r u u u r ，可知32P Q x x -=，即22161632414k k k k--⋅=⋅++，又0k ≠，可得k =，所以BP的方程为2y =+． …………………10分 （3）设直线PQ 的方程为y mx b =+，代入椭圆C 的方程， 可得222(41)84160m x mbx b +++-=，设,P Q 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，故12221228,4141641mb x x m b x x m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩……………12分 由1212121222(2)(2)BP BQ y y mx b mx b k k x x x x λ--+-+-=⋅=⋅= 可得221212()(2)()(2)0m x x m b x x b λ-+-++-=， …………………14分 所以222224168()(2)(2)04141b mbm m b b m m λ---+-+-=++，又2b ≠， 故222()4(2)8(2)(41)0m b m b b m λ-+-+-+=，可得2814b λλ+=-为定值，故直线PQ 过定点28(0,)14λλ+-． …………………16分21．解：（1）由32n n S =+，可知1123n n n n a S S ++=-=⨯， …………………2分 故1320n n n a S +-=->对一切正整数n 都成立，故{}n a 是P 数列．…………………4分 （2）由题意知，该数列的前n 项和为(1)2n n n S n d -=-+，11n a nd +=-+，……6分 由数列1210,,,a a a L 是P 数列，可知211a S a >=，故公差0d >，213(1)1022n n d S a n d n +-=-++<对满足19n ≤≤中的每一个正整数n 都成立．……8分 ⇔23(1)1022d n d n -++<对于1,9n =都成立． 由2399(1)1022d d ⋅-++<，可得827d <， 故d 的取值范围是8(0,)27． …………………10分 （3）若{}n a 是P 数列，则12a S a aq =<=，若0a >，则1q >，又由1n n a S +>对一切正整数n 都成立，可知11n nq aq a q ->-，即12()n q q-<对一切正整数n 都成立，由1()0n q>，且1lim()0n n q→∞=，故20q -≤，可得2q ≥． …………………12分若0a <，则1q <，又由1n n a S +>对一切正整数n 都成立，可知11nnq aq a q->-，即(2)1n q q -<对一切正整数n 都成立，又当(,1]q ∈-∞-时，(2)1n q q -<当2n =时不成立， 故有(0,1),(2)1q q q ∈⎧⎨-<⎩或2(1,0),(2)1q q q ∈-⎧⎨-<⎩，解得(0,1)q ∈⋃． 所以{}n a 是P 数列时，a 与q 所满足的条件为02a q >⎧⎨≥⎩或0(0,1)a q <⎧⎪⎨∈⋃⎪⎩………14分 下面用反证法证明命题“若0a >且12T T =，则{}n a 不是P 数列”． 假设{}n a 是P 数列，由0a >，可知2q ≥且{}n a 中每一项均为正数， 若{}n b 中的每一项都在{}n c 中，则由这两数列是不同数列，可知12T T <，若{}n c 中的每一项都在{}n b 中，同理可得12T T >． …………………15分 若{}n b 中至少有一项不在{}n c 中且{}n c 中至少有一项不在{}n b 中，设{},{}n n b c ''是将{},{}n n b c 中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为12,T T ''，不妨设{},{}n n b c ''中的最大项在{}n b '中，设为m a ，则2m ≥， 则21211m m T a a a a T -''≤+++<≤L ，故21T T ''<，所以21T T <，故总有12T T ≠，与12T T =矛盾．故{}n a 不是P 数列． …………………18分 (说明：各题的其它解法，请参照上述标准予以评分)。
2020-2021学年上海市浦东新区高三(上)期末数学试卷(一模)
2020-2021学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）n→∞n2n+1=___ ．2.（填空题，4分）半径为2的球的表面积为___ ．3.（填空题，4分）抛物线x 2=-4y 的准线方程为___ ．4.（填空题，4分）已知集合A={x|x ＞0}，B={x|x 2≤1}，则A∩B=___ ．5.（填空题，4分）已知复数z 满足z （1-i ）=4（i 为虚数单位），则|z|=___ ．6.（填空题，4分）在△ABC 中，若AB=2，∠B= 5π12 ，∠C= π4 ，则BC=___ ． 7.（填空题，5分）函数f （x ）=1+log 2x （x≥4）的反函数的定义域为___ ．8.（填空题，5分）在（x+ √2 ）7的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为___ ．（用数字作答）9.（填空题，5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE=AF ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ． 10.（填空题，5分）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 |an+1S n11|=2 ，则数列{a n }的前n 项和为S n 为___ ．11.（填空题，5分）设函数f （x ）=|x-a|- 2x +a ，若关于x 的方程f （x ）=1有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为___ ． 12.（填空题，5分）对于任意的正实数a ，b ，则2√2a+√a 2+9b 25a+3b的取值范围为___ ． 13.（单选题，5分）若a 、b 是实数，则a ＞b 是2a ＞2b 的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.（单选题，5分）若某线性方程组的增广矩阵为 (1282416) ，则该线性方程组的解的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.无数个D.不确定15.（单选题，5分）下列命题中正确的是（ ） A.三点确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥αD.若a 、b 、c 是三条直线，a || b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面 16.（单选题，5分）已知函数 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，则以下4个命题：① f （x ）是偶函数；② f （x ）在[0，+∞）上是增函数； ③ f （x ）的值域为R ；④ 对于任意的正有理数a ，g （x ）=f （x ）-a 存在奇数个零点． 其中正确命题的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.317.（问答题，14分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB=AC=1， ∠BAC =π2，A 1A=4，点M 为线段A 1A 的中点．（1）求直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积；（2）求异面直线BM 与B 1C 1所成的角的大小．（结果用反三角表示）18.（问答题，14分）已知函数 f (x )=sin (ωx +π6) （ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω与f （x ）的单调递增区间；（2）在△ABC 中，若 f (A2)=1 ，求sinB+sinC 的取值范围．19.（问答题，14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前n （n=1，2，3，…，12）个月对某种食材的需求总量S n （公斤）近似地满足S n ={635n (1≤n ≤6)−6n 2+774n −618(7≤n ≤12) ．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量．（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．20.（问答题，16分）已知椭圆C 1： x 24+y 2 =1，F 1、F 2为C 1的左、右焦点．（1）求椭圆C 1的焦距；（2）点Q （ √2 ， √22 ）为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2-y 2=1在第一象限的交点为M （x M ，y M ），椭圆C 1和双曲线C 2上满足|x|≥|x M |的所有点（x ，y ）组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域是D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），则称函数f （x ）在D 上为非减函数．（1）判断f 1（x ）=x 2-4x ，（x∈[1，4]）与f 2（x ）=|x-1|+|x-2|，（x∈[1，4]）是否是非减函数？（2）已知函数g （x ）=2x + a2x−1 在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围．（3）已知函数h （x ）在[0，1]上为非减函数，且满足条件： ① h （0）=0， ② ℎ(x 3)=12h （x ）， ③ h （1-x ）=1-h （x ），求 ℎ(12020) 的值．2020-2021学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）n→∞n2n+1=___ ．【正确答案】：[1] 12 【解析】：由 n 2n+1 = 12+1n，再利用极限运算法则即可得出．【解答】：解： lim n→∞n 2n+1 = lim n→∞12+1n= 12 ， 故答案为： 12 ．【点评】：本题考查了极限运算法则、乘法公式，属于基础题． 2.（填空题，4分）半径为2的球的表面积为___ ． 【正确答案】：[1]16π【解析】：利用球的面积公式，直接求解即可．【解答】：解：球的半径为2，所以球的表面积为：4πr 2=16π 故答案为：16π【点评】：本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题． 3.（填空题，4分）抛物线x 2=-4y 的准线方程为___ ． 【正确答案】：[1]y=1【解析】：由抛物线x 2=-4y 焦点在y 轴的负半轴上，则 p2 =1，即可求得抛物线的准线方程．【解答】：解：抛物线x 2=-4y 焦点在y 轴的负半轴上，则 p 2 =1， ∴抛物线的焦点坐标为（0，-1），准线方程：y=1， 故答案为：y=1．【点评】：本题考查抛物线的方程，考查抛物线的简单几何性质，属于基础题．4.（填空题，4分）已知集合A={x|x＞0}，B={x|x2≤1}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]（0，1]【解析】：可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|x＞0}，B={x|-1≤x≤1}，∴A∩B=（0，1]．故答案为：（0，1]．【点评】：本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．5.（填空题，4分）已知复数z满足z（1-i）=4（i为虚数单位），则|z|=___ ．【正确答案】：[1]2 √2【解析】：直接利用复数的模的运算求出结果．【解答】：解：复数z满足z（1-i）=4，则z=41−i，所以|z|=4|1−i|=√2=2√2．故答案为：2 √2【点评】：本题考查的知识要点：复数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.（填空题，4分）在△ABC中，若AB=2，∠B= 5π12，∠C= π4，则BC=___ ．【正确答案】：[1] √6【解析】：由三角形的内角和即B，C的值，求出A角的值，再由正弦定理可得边BC的值．【解答】：解：A=π−B−C=π−5π12−π4=π3，由正弦定理得ABsinC =BCsinA，所以BC=ABsinAsinC=2sinπ3sinπ4=√6．故答案为：√6．【点评】：本题考查正弦定理的应用，属于基础题．7.（填空题，5分）函数f（x）=1+log2x（x≥4）的反函数的定义域为___ ．【正确答案】：[1][3，+∞）【解析】：直接利用反函数的定义域和值域的关系求出结果．【解答】：解：函数f （x ）=1+log 2x （x≥4）的值域为[3，+∞）， 故其反函数的定义域为[3，+∞）．【点评】：本题考查的知识要点：反函数的定义域与原函数的值域的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.（填空题，5分）在（x+ √2 ）7的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为___ ．（用数字作答） 【正确答案】：[1] 12【解析】：先求出展开式的通项公式，然后根据通项公式判断系数为有理数的情况的个数，再根据古典概率的求法艰苦求解．【解答】：解：因为 (x +√2)7展开式的通项为 T r+1=C 7r x 7−r(√2)r =C 7r 2r2x 7−r，当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数， 而r∈[0，7]（r∈N ），故有r=0，2，4，6满足题意， 所以所求概率 P =48=12 ， 故答案为： 12 ．【点评】：本题考查了二项式定理的简单应用，涉及到古典概率的求法，属于基础题． 9.（填空题，5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE=AF ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ． 【正确答案】：[1][0，1]【解析】：由题意取EF 中点为，然后结合图形的性质和平面向量的运算法则即可求得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【解答】：解：取EF 中点为O ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO 2−OE 2 ， 因为正方形的边长为2，所以 AO =√2，OE ∈[1，√2] ， 所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[0，1] ．故答案为：[0，1]．【点评】：本题主要考查平面向量的运算法则，平面向量的数量积运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．10.（填空题，5分）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 |an+1S n11|=2 ，则数列{a n }的前n 项和为S n 为___ ． 【正确答案】：[1]S n =2n+1-2【解析】：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，由 |an+1S n11|=2 变形可得a n+1-S n =2，令n=1和n=2可得a 2-S 1=a 2-a 1=2和a 3-S 2=a 3-（a 1+a 2）=2，联立两式可得a 1、q ，由等比数列的前n 项和公式可得答案．【解答】：解：根据题意，数列{a n }为等比数列，设等比数列{a n }的公比为q ， 数列{a n }满足 |a n+1S n11|=2 ，则有a n+1-S n =2， 当n=1时，有a 2-S 1=a 2-a 1=2，即a 1q-a 1=2 ①当n=2时，有a 3-S 2=a 3-（a 1+a 2）=2，即a 1q 2-（a 1+a 1q ）=2 ② 联立 ① ② 可得：a 1=2，q=2， 则数列{a n }的前n 项和为S n = a 1(1−q n )1−q =2n+1-2，故答案为：S n =2n+1-2．【点评】：本题考查等比数列的前n 项和，涉及数列的递推公式的应用，属于基础题． 11.（填空题，5分）设函数f （x ）=|x-a|- 2x +a ，若关于x 的方程f （x ）=1有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为___ ． 【正确答案】：[1] {1−2√22，1+2√22，2} 【解析】：由题意，转化为两个函数问题，即设 ℎ(x )=|x −a |+a ，g (x )=2x +1 ，作出图，即可求解实数a 的取值构成的集合．【解答】：解：由方程f （x ）=1，得 |x −a |+a =2x +1 有两个不同的解， 令 ℎ(x )=|x −a |+a ，g (x )=2x +1 ， 则h （x ）=|x-a|+a 的顶点（a ，a ）在y=x 上，而y=x 与 g (x )=2x +1 的交点坐标为（2，2），（-1，-1），联立 {y =−x +2a y =2x +1 得x 2+（1-2a ）x+2=0，由Δ=（1-2a ）2-8=0，解得 a =1−2√22 或 1+2√22， 作出图象，数形结合，要使得 |x −a |+a =2x +1 有两个不同的解， 则实数a 的取值范围是 a =1−2√22 或 1+2√22或2．故答案为 {1−2√22，1+2√22，2} ．【点评】：本题考查了方程有实根问题转化为有交点问题，数形结合思想，和作图的能力，属于中档题． 12.（填空题，5分）对于任意的正实数a ，b ，则2√2a+√a 2+9b 25a+3b的取值范围为___ ．【正确答案】：[1] [√22，1)【解析】：首先利用直线和曲线的位置关系，求出直线的斜率的最小值，进一步求出结果．【解答】：解： 2√2a+√a 2+9b 25a+3b =2√2+√1+9(b a)25+3⋅b a，故可看作 A (3×ba，√1+9(b a)2) 与 B(−5，−2√2) 两点的斜率，其中点A 在y 2-x 2=1（x ＞0，y ＞0）上，故k AB 最小值在相切时取得， 设 y +2√2=k (x +5) ，联立 {y +2√2=k (x +5)y 2−x 2=1，消去y ，可得（k 2-1）x 2+2k （5k-2 √2 ）x+（5k-2 √2 ）2-1=0， 由Δ=26k 2-20 √2 k+7=0，解得 k 1=√22，k 2=713√2 （舍）当 ba →+∞时， k AB =2√2+√1+9(b a)25+3×b a →1，故 2√2a+√a 2+9b 25a+3b 的取值范围是 [√22，1) ． 故答案为： [√22，1) ．【点评】：本题考查的知识要点：基本不等式，关系式的变换，极限的求法，属于中档题．13.（单选题，5分）若a、b是实数，则a＞b是2a＞2b的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：C【解析】：根据题意，结合指数函数的性质，分析可得若a＞b，必有2a＞2b，反之若2a＞2b，必有a＞b，由充分必要条件的定义即可得答案．【解答】：解：根据题意，因为y=2x是增函数，若a＞b，必有2a＞2b，反之若2a＞2b，必有a＞b，则a＞b是2a＞2b的充要条件，故选：C．【点评】：本题考查充分必要条件的判断，涉及指数函数的性质，属于基础题．)，则该线性方程组的解的个数14.（单选题，5分）若某线性方程组的增广矩阵为(1282416为（）A.0个B.1个C.无数个D.不确定【正确答案】：C【解析】：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y即可．【解答】：解：该线性方程组可化为方程x+2y=8，故有无数组解；故选：C．【点评】：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的含义，计算量小，属于较容易的题型．15.（单选题，5分）下列命题中正确的是（）A.三点确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥αD.若a 、b 、c 是三条直线，a || b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面 【正确答案】：D【解析】：利用平面的基本性质及推论可知A ，B 错误，D 正确，再利用直线与平面垂直的判定定理可知选项C 错误．【解答】：解：对于选项A ：不共线的三点确定一个平面，故A 错误， 对于选项B ：由墙角模型可知，显然B 错误，对于选项C ：根据线面垂直的判定定理，若直线l 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l 与平面α垂直，若直线l 与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l 与平面α不垂直，故C 错误，对于选项D ：因为a || b ，所以a 与b 唯一确定一个平面，设为平面α，又c 与a 和b 都相交，所以c 也在平面α内，即直线a 、b 、c 共面，故选项D 正确， 故选：D ．【点评】：本题主要考查了平面的基本性质及推论，考查了空间中线与线的位置关系，是基础题．16.（单选题，5分）已知函数 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，则以下4个命题：① f （x ）是偶函数；② f （x ）在[0，+∞）上是增函数； ③ f （x ）的值域为R ；④ 对于任意的正有理数a ，g （x ）=f （x ）-a 存在奇数个零点． 其中正确命题的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3【正确答案】：B【解析】： ① 由偶函数的定义，举例即可判断； ② 举例即可判断； ③ F （x ）的值域中不含负无理数，故可判断； ④ 根据函数零点即是方程的解，观察解的个数即可判断．【解答】：解： ① 因为 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，所以f （1）=1，f （-1）=-1，所以f （x ）不是偶函数，故错误；② 因为f （3）=3＜f （ √5 ）=5，所以f （x ）在[0，+∞）不是增函数，故错误； ③ 因为 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，显然F （x ）的值域中不含负无理数，故f （x ）的值域不为R ，故错误；④ g （x ）=f （x ）-a 的零点即x=a ，x 为有理数或x 2=a ，x 为无理数， 对于x=a ，x 为有理数，必有解x=a ，对于x 2=a ，x 为无理数，必有解x=± √a 或无解， 故g （x ）=f （x ）-a 有三个零点或一个，故正确； 故选：B ．【点评】：本题主要考查了特殊函数的性质的理解和运用，函数的奇偶性和周期性，属于中档题．17.（问答题，14分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB=AC=1， ∠BAC =π2 ，A 1A=4，点M 为线段A 1A 的中点．（1）求直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积；（2）求异面直线BM 与B 1C 1所成的角的大小．（结果用反三角表示）【正确答案】：【解析】：（1）由V=S △ABC •A 1A ，即可得解；（2）易知∠MBC 或其补角即为所求，再在△MBC 中，由余弦定理求得cos∠MBC 的值，即可．【解答】：解：（1）∵ S △ABC =12×1×1=12 ， ∴V=S △ABC •A 1A= 12 ×4=2． （2）∵BC || B 1C 1，∴∠MBC 或其补角是异面直线BM 与B 1C 1所成的角， 在△MBC 中，BM=CM= √5 ，BC= √2 ，由余弦定理得，cos∠MBC= BM 2+BC2−CM22BM•BC= √1010，∴∠MBC=arccos √1010，故异面直线BM与B1C1所成的角为arccos√1010．【点评】：本题考查棱柱的体积、异面直线夹角的求法，利用平移的思想找出异面直线的夹角是解题的额关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．18.（问答题，14分）已知函数f(x)=sin(ωx+π6)（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω与f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，若f(A2)=1，求sinB+sinC的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由函数的最小正周期可得ω的值，进而求出函数的单调递增区间；（2）由（1）及f（A2）=1可得A的值，由三角形的内角和为π及A的值可得B用C的角表示，再由B的范围，求出sinB+sinC的取值范围范围．【解答】：解：（1）因为f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)的最小正周期为π，所以T=2πω=π，所以ω=2，f（x）=sin（2x+ π6），令2kπ- π2≤2x+ π6≤2kπ+ π2，k∈Z，解得：kπ- π3≤x≤kπ+ π6，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间是[kπ- π3，kπ+ π6]，k∈Z．（2）在△ABC中，若f(A2)=1，由（1）得，f(x)=sin(2x+π6)，所以sin(A+π6)=1因为0＜A＜π，所以A+π6=π2，解得：A= π3，即sinB+sinC=sinB+sin(2π3−B)=32sinB+√32cosB=√3sin(B+π6)，因为0＜B＜2π3，所以π6＜B+π6＜5π6；所以12＜sin(B+π6)≤1，√32＜√3sin(B+π6)≤√3，所以sinB+sinC 的取值范围 (√32，√3] ．【点评】：本题考查三角函数的性质，三角形的角的求法，属于中档题．19.（问答题，14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前n （n=1，2，3，…，12）个月对某种食材的需求总量S n （公斤）近似地满足S n ={635n (1≤n ≤6)−6n 2+774n −618(7≤n ≤12) ．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量．（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）当1≤n≤6时，每月食材显然都够用，当n=7时，因为646×7-S 7=16＞0，第7个月该食材够用，所以，前7个月每月该食材都够用．（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn≥S n 对n=1，2，…，12恒成立，分两种情况，分别求出p 的最小值，再取较大者即可求出结果．【解答】：解：（1）当1≤n≤6时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1到6月都够用，当n=7时，因为646×7-S 7=646×7-（-6×49+774×7-618）=16＞0，第7个月该食材够用， 所以，前7个月每月该食材都够用．（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn≥S n 对n=1，2，…，12恒成立， ① 当1≤n≤6时，pn≥635n 恒成立，可得p≥635，② 当7≤n≤12时，pn≥-6n 2+774n-618恒成立，即 p ≥774−6(n +103n) 恒成立， 因为774-6（n+ 103n） ≤774−6×2√n •103n≈652.2，当且仅当n=103n，即n= √103 ≈10.15时，等号成立，又因为n∈N *，且n≤12，所以当n=10时， 774−6(n +103n) 的最大值为652.2，综上所述，p≥652.2，所以为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．【点评】：本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题． 20.（问答题，16分）已知椭圆C 1： x 24+y 2 =1，F 1、F 2为C 1的左、右焦点． （1）求椭圆C 1的焦距；（2）点Q （ √2 ， √22）为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2-y 2=1在第一象限的交点为M （x M ，y M ），椭圆C 1和双曲线C 2上满足|x|≥|x M |的所有点（x ，y ）组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求得椭圆的a ，b ，c ，可得焦距2c ；（2）设 l ：y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，三角形的面积公式，解方程可得m ，进而得到直线方程；（3）求得M 的坐标，设N （x ，y ）是曲线C 上一点，运用向量的坐标运算，可得 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3 ，分别讨论M 在椭圆上和双曲线上，化简整理可得所求范围．【解答】：解：（1）由椭圆C 1： x 24+y 2 =1， 可得a=2，b=1，c= √a 2−b 2 = √3 ， 则椭圆C 1的焦距为 2c =2√3 ；（2）由k OQ = 12 ，设 l ：y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4得x 2+2mx+2m 2-2=0， 由Δ=4m 2-8（m 2-1）=8-4m 2＞0，得 |m |＜√2 ， x A +x B =-2m ，x A x B =2m 2-2，所以|AB|= √1+14 • √(−2m )2−4(2m 2−2) = √5 • √2−m 2 ， 又Q 到直线l 的距离为 d =√52由 S △QAB =12d |AB |=|m |√2−m 2=1，m =±1 ，所以 l ：y =12x ±1 ；（3）由 { x 2+4y 2=4 x 2−y 2=1 ，解得 {x M =2√105 y M =√155 ，设N （x ，y ）是曲线C 上一点，则 F 1(−√3 ， 0) ， F 2(√3 ， 0) ， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3−x ， −y) ， NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3−x ， −y) ， 所以 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3 ；当点N 在曲线x 2+4y 2=4（|x|≥|x M |）上时， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1−3y 2 ， 当 y =√155时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−45 ，当y=0时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )max =1 ，所以 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， 1] ；当点N 在曲线x 2-y 2=1（|x|≥|x M |）上时， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y 2−2 ； 当 y =√155时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−45， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， +∞) ；综上， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， +∞) ．【点评】：本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域是D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），则称函数f （x ）在D 上为非减函数．（1）判断f 1（x ）=x 2-4x ，（x∈[1，4]）与f 2（x ）=|x-1|+|x-2|，（x∈[1，4]）是否是非减函数？（2）已知函数g （x ）=2x + a2x−1 在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围．（3）已知函数h （x ）在[0，1]上为非减函数，且满足条件： ① h （0）=0， ② ℎ(x3)=12 h （x ）， ③ h （1-x ）=1-h （x ），求 ℎ(12020) 的值．【正确答案】：【解析】：（1）结合非减函数的定义，即可得出答案．（2）根非减函数的定义，推出2≤x 1＜x 2≤4，则g （x 1）-g （x 2）≤0恒成立，即可得a 的取值范围．（3）由h（1）+h（0）=1，推出h（1）=1，h（13）=h（23）= 12，根据题意可得12≤h（x）≤ 12，推出∀x∈[ 13，23]，h（x）≡ 12，再结合由② 推出，h（12020）= 12h（32020）=…= 164h（7292020）的值．【解答】：解：（1）f1（x）不是，f2（x）是．因为f1（1）＞f1（2），则f1（x）不是[1，4]上的非减函数，f2（x）= {1，1≤x≤2 2，2＜x≤4，∀x1，x2∈[1，2]，且设1≤x1＜x2≤2，则f2（x1）=f2（x2），显然满足f2（x1）≤f2（x2），∀x1，x2∈（2，4]，且设2＜x1＜x2≤4，则f2（x1）=2x1-3＜2x2-3=f2（x2），显然满足f2（x1）≤f2（x2），∀x1∈[1，2]，∀x2∈（2，4]，则f2（x1）=1，f2（x2）=2x2-3＞1，显然满足f2（x1）≤f2（x2），综上所述，f2（x）是[1，4]上的非减函数．（2）∀x1，x2∈[2，4]，设2≤x1＜x2≤4，则g（x1）-g（x2）≤0，g（x1）-g（x2）=2 x1 + 2a2x1 -（2 x2 + 2a2x2）=2 x1 -2 x2 +（2a2x1 - 2a2x2）=2 x1 -2 x2 + 2a2x12x2（2 x2 -2 x1）=（2 x1 -2 x2）（1- 2a2x12x2）≤0，则∀x1，x2∈（2，4]，设2≤x1＜x2≤4，不等式1- 2a2x12x2≥0恒成立，即2a≤2 x1 2 x2，则a≤8．（3）h（1）+h（0）=1，所以h（1）=1，所以h（13）= 12h（1）= 12，h（23）=1-h（13）= 12，得出h（13）=h（23）= 12，∀x∈（13，23），因为函数h（x）在[0，1]上为非减函数，所以h（13）≤h（x）≤h（23），所以12≤h（x）≤ 12，得到∀x∈[ 13，23]，h（x）≡ 12，由② h（x3）= 12h（x）知，h（x）= 12h（3x），h（12020）= 12h（32020）=…= 164h（7292020），所以h（12020）= 1128．【点评】：本题考查函数的非减函数的定义，函数的单调性，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．。
2020届上海市黄浦区高三一模考试(期末考试)数学试题(解析版)
上海市黄浦区2020届高三一模考试（期末考试）数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题满分54分，第7-12题每题满分54分）.1.设集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∪B ＝_____. 【答案】（﹣1，3）.【解析】因为(1)(2)0x x +-<，所以12x -<<，即{}12A x x =-<<； 所以{}13A B x x ⋃=-<<. 故答案为：(1,3)-.2.已知z ＝（a ﹣i ）（1+i ）（a ∈R ，i 为虚数单位）为纯虚数，则a ＝_____. 【答案】﹣1.【解析】()()()i 1i 11i z a a a =-+=++-,因为z 为纯虚数，所以10a +=且10a -≠，解得1a =-. 故答案：1-.3.抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________． 【答案】4【解析】抛物线28x y =的焦点是()0,2,准线方程是2y =-,所以焦点到准线的距离是4.4.在（281)x x-的展开式中，x 的系数是．（用数字作答）【答案】-56【解析】（281)x x -展开式的通项为281631881()()(1)r r r r r rr T C x C x x--+=-=-，令1631r -=，则=5r ，16355188(1)(1)r r r r T C x C x -+=-=-，所以x 的系数是．5.已知α为第二象限的角,3sin 5α=,则tan2α=________. 【答案】247-【解析】因为α为第二象限的角,所以4cos 5α===-,于是有3sin 35tan 4cos 45ααα===--,因此2232()2tan 244tan 231tan 71()4ααα⨯-===----. 故答案为247- 6.母线长为3、底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为_____. 【答案】23π， 【解析】因为圆锥的母线长为3、底面半径为1，所以圆锥的侧面展开图中半径为3，弧长为2π，所以圆心角的弧度数为23π. 故答案为：23π. 7.若无穷等比数列{a n }满足：a 2a 3＝a 4，a 5116=，（n ∈N *），则数列{a 2n ﹣1}的所有项的和为_____. 【答案】43. 【解析】设等比数列的公比为q ，则23411111,16a q a q a q a q ⋅==； 解得111,2a q ==，所以11112n n n a a q --⎛⎫== ⎪⎝⎭；12114n n a --⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以{}21n a -的所有项的和为114141lim (1)416343n n →∞+++=-=. 故答案为：43. 8.四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是_____.（结果用数字作答） 【答案】144.【解析】先选出两位男生组成一个整体有24A 种排法；再排好两个女生有22A 种排法，女生排好共有三个空位，再把男生排进去共有33A 种排法；所以不同排法的种数一共有223423144A A A =.故答案为：144.9.已知A 、B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的两条渐近线的夹角为_____. 【答案】90°. 【解析】因为△ABM 为等腰三角形且顶角为120°， 不妨设M 为第一象限的点,则(2)M a ；把(2)M a 代入双曲线的方程22221(0,0)x y a b a b -=>>可得1b a=；所以渐近线的倾斜角为45︒，两条渐近线的夹角为90︒. 故答案为：90︒.10.已知函数y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的图象关于直线y ＝x 对称，若f （x ）＝x +log 2（2x +2），则满足f （x ）＞log 23＞g （x ）的x 的取值范围是_____. 【答案】（0，log 215）.【解析】因为12222()log (22)log 2log (22)log (42)xxxxx f x x +=++=++=+，所以由2()log 3f x >得1423x x ++>，解得21x >，即0x >； 易知函数()f x 为增函数，因为2()log 3g x <，所以可得22log 3log 31222(log 3)log (42)log 15x f +<=+=；综上可得x 的取值范围是2(0,log 15).11.设函数y ＝f （x ）的定义域为D ，若对任意的x 1∈D ，总存在x 2∈D ，使得f （x 1）•f （x 2）＝1，则称函数f （x ）具有性质M .下列结论：①函数y ＝x 3﹣x 具有性质M ；②函数y ＝3x +5x 具有性质M ；③若函数y ＝log 8（x +2），x ∈[0，t 』时具有性质M ，则t ＝510；④若y 34sinx a+=具有性质M ，则a ＝5.其中正确结论的序号是_____. 【答案】②③.【解析】对于①，当10x =时，不存在2x 满足12()()1f x f x ⋅=，故①不正确； 对于②，由于()0f x >，所以10()f x >，所以具有性质M ，故②正确；对于③，由于8log (2)y x =+为增函数，且0x =时，13y =，所以x t =时必有3y =，所以510t =，故③正确；对于④，由于33[,]44a a y -+∈，若y 34sinx a +=具有性质M ，所以33144a a -+⋅=可得5a =±，故④不正确.故答案：②③.12.已知正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6的边长为2，点P 是该正六边形边上的动点，记σ1A P =•22A P A P +•33A P A P +•44A P A P +•55A P A P +•66A P A P +•1A P ，则σ的取值范围是_____.【答案】[30，36』.【解析】建立直角坐标系，如图所示：，∴1234560020320A A A A A A -（，），（，），（（（（， 设点P （x ，y ），∴12323A P x y A P x y A P x y ==-=-（，），（，），（，，456223231A P x y A P x y A P x y =--=-=+（，），（，），（，， ∴σ1A P =•22A P A P +•33A P A P +•44A P A P +•55A P A P +•66A P A P +•1A P()()(()()(2(2)2332x x y x x y y x x y y =-++--++--+-()(()(()(2211x x y x x y y x x y y +-+-+++-+++22661236x y x =+--+＝6[（x ﹣1）2+（y 2+2』，∵正六边形的中心Q （1，所以S ＝（x ﹣1）2+（y 2表示点P （x ，y ）与点Q（1∴由图可知S 的最大值为4，最小值为3， ∴σ的最大值为36，最小值为30， ∴σ的取值范围是[30，36』. 故答案为：[30，36』.二、选择题（本大题共有4题，满分20分.）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.方程213x x=5的解集是（） A. {2} B. {2，﹣2}C. {1，﹣1}D. {i ，﹣i }【答案】B 【解析】2212353x x x=-=，解得2x =±.故选：B.14.将函数y ＝sin （4x 3π+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移3π个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为（） A. x 12π=-B. x 16π=C. x 4π=D. x 2π=【答案】A【解析】将函数y ＝sin （4x 3π+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移3π个单位，得到的函数为sin(2)3y x π=-，令232x k ππ-=π+，k Z ∈，解得212k x π5π=+， 由1k =-可得12x π=-.故选：A.15.若函数f （x ）的定义域为R ，则“f （x ）是偶函数”是“f （|x |）＝f （x ）对切x ∈R 恒成立”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，从而可得()()f x f x =； 若()()f x f x =，则()()f x f x -=，即()f x 是偶函数. 故选：C.16.设曲线E 的方程为2249x y +=1，动点A （m ，n ），B （﹣m ，n ），C （﹣m ，﹣n ），D （m ，﹣n ）在E 上，对于结论：①四边形ABCD 的面积的最小值为48；②四边形ABCD 外接圆的面积的最小值为25π.下面说法正确的是（） A. ①错，②对 B. ①对，②错C. ①②都错D. ①②都对【答案】D【解析】因为动点A （m ，n ），B （﹣m ，n ），C （﹣m ，﹣n ），D （m ，﹣n ），所以四边形ABCD 是矩形；不妨设0,0m n >>，则矩形ABCD 的面积为4mn ，因为22491m n +=，所以2249121m n mn=+≥=，即12mn ≥，当且仅当2218,8n m ==时等号成立；所以矩形ABCD 的面积最小值为48.四边形ABCD =所以四边形ABCD 外接圆的面积为()22m n π+，因为22491m n +=，所以()()222222222249491325n m m n m n m n m n π⎛⎫⎛⎫π+=π++=++≥π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2218,8n m ==时等号成立；故选：D.三、解答题（本大题共有5题，满分76分.）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.在三棱锥P﹣ABC中，已知P A，PB，PC两两垂直，PB＝3，PC＝4，且三棱锥P﹣ABC 的体积为10.（1）求点A到直线BC的距离；（2）若D是棱BC的中点，求异面直线PB，AD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. 解：（1）在三棱锥P﹣ABC中，P A，PB，PC两两垂直，∵PB＝3，PC＝4，且三棱锥P﹣ABC的体积为10.∴V P﹣ABC＝V A﹣PBC113432PA=⨯⨯⨯⨯=10，解得P A＝5，过P作PO⊥BC，交BC于O，连结PO，如图，由三垂线定理得AO⊥BC，∵1122PB PC BC PO⨯⨯=⨯⨯，∴PO125PB PCBC⨯===，∴点A到直线BC的距离：AO===.（2）以P为原点，PC，PB，P A所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，5），P（0，0，0），B（0，3，0），C（4，0，0），D（2，32，0），PB =（0，3，0），AD =（2，32，﹣5）， 设异面直线PB ，AD 所成角的大小为θ，则cosθ9251253PB ADPB AD⋅===⋅. ∴异面直线PB ，AD 所成角的大小为arc .18.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＝（2b ﹣c ）cos A. （1）若AB AC ⋅=3，求△ABC 的面积； （2）若∠B ＜∠C ，求2cos 2B +cos 2C 的取值范围. 解：（1）∵a cos C ＝（2b ﹣c ）cos A ，∴由正弦定理可得sin A cos C ＝（2sin B ﹣sin C ）cos A ，可得sin A cos C +sin C cos A ＝sin （A +C ）＝sin B ＝2sin B cos A ， ∵B 为三角形内角，sin B ≠0， ∴cos A 12=， 又∵A ∈（0，π）， ∴A 3π=，∵AB AC ⋅=bc cos A 12=bc ＝3，可得bc ＝6， ∴S △ABC 12=bc sinA 16222=⨯⨯=.（2）∵∠B ＜∠C ，C 23π=-B ，可得B ∈（0，3π），∴2B 6π+∈（6π，56π），∴cos （2B 6π+）∈（， ∴2cos 2B +cos 2C ＝1+cos2B 12322cos C ++=+cos2B 12+cos2（23π-B ）32=+cos2B 14-cos2B B 32=+cos （2B 6π+）∈（34，94）.∴2cos 2B +cos 2C 的取值范围（34，94）. 19.某研究所开发了一种新药，测得成人注射该药后血药浓度y （微克/毫升）与给药时间x （小时）之间的若干组数据，并由此得出y 与x 之间的一个拟合函数y ＝40（0.6x ﹣0.62x ）（x ∈[0，12』），其简图如图所示.试根据此拟合函数解决下列问题：（1）求药峰浓度与药峰时间（精确到0.01小时），并指出血药浓度随时间的变化趋势； （2）求血药浓度的半衰期（血药浓度从药峰浓度降到其一半所需要的时间）（精确到0.01小时）.解：（1）由y ＝40（0.6x ﹣0.62x ）（x ∈[0，12』）， 令0.6x ＝t ，t ∈[0.612，1』，则y ＝40（0.6x ﹣0.62x ）＝40（﹣t 2+t ）， ∴当t 12=∈[0.612，1』，即10.62x=，x 2231lg lg lg -=≈+- 1.36时， y 有最大值10.故药峰浓度为10，药峰时间为1.36小时；由图象可知，注射该药后血药浓度逐渐增加，到1.36小时时达到峰值，然后血药浓度逐渐降低；（2）在y ＝40（0.6x ﹣0.62x ）中，取y ＝5，得40（0.6x ﹣0.62x ）＝5，即﹣8t 2+8t ﹣1＝0，解得t 24=或t 24=（舍），即20.64x=≈0.147，得x0.1470.6lg lg =≈3.72. 故血药浓度的半衰期为3.72﹣1.36＝2.36小时.20.已知椭圆C 的中心在坐标原点焦点在x 轴上，椭圆C 上一点A （，﹣1）到两焦点距离之和为8.若点B 是椭圆C 的上顶点，点P ，Q 是椭圆C 上异于点B 的任意两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若BP ⊥BQ ，且满足3PD =2DQ 的点D 在y 轴上，求直线BP 的方程；（3）若直线BP 与BQ 的斜率乘积为常数λ（λ＜0），试判断直线PQ 是否经过定点.若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.解：（1）由题意设椭圆的方程为：2222x y a b+=1由题意知：2a ＝8，22121a b+=1，解得：a 2＝16，b 2＝4， 所以椭圆的方程为：221164x y +=.（2）由（1）得B （0，2）显然直线BP 的斜率存在且不为零， 设直线BP 为：y ＝kx +2，与椭圆联立整理得：（1+4k 2）x 2+16kx ＝0，x 21614kk-=+，所以P （21614k k -+，222814k k -+）；直线BQ ：y 1k=-x +2，代入椭圆中：（4+k 2）x 2﹣16kx ＝0， 同理可得Q （2164k k +，22284k k-+），由3PD =2DQ 得， ∴3（x D ﹣x P ）＝2（x Q ﹣x D ），∴5x D ＝2x Q +3x P 223248414k kk k =-++，由于D 在y 轴上，所以x D ＝0，∴223248414k kk k=++，解得：k 2＝2，所以k =所以直线BP 的方程为：y ＝x +2.（3）当直线PQ 的斜率不存在时，设直线PQ 方程：x ＝t ，P （x ，y ），Q （x '，y '），与椭圆联立得：4y 2＝16﹣t 2，yy '2164t -=，xx '＝t 2，k BP •k BQ 2y x -=•'2'2'4''y yy y y x xx --++==（）14， 要使是一个常数λ，λ＜0，所以不成立.当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 的方程为：y ＝kx +t ，设P （x ，y ），Q （x '，y '），与椭圆联立整理得：（1+4k 2）x 2+8ktx +4t 2﹣16＝0，x +x '2814kt k -=+，xx '2241614t k -=+， ∴y +y '＝k （x +x '）+2t 2214t k =+，()222221614t k yy k xx kt x x t k-'''=+++=+， ∴k BP •k BQ 2'2'2'42''42y y yy y y t x x xx t ---++-=⋅==+（）（）， 所以由题意得：242t t -=+（）λ，解得：t 2814λλ+=-，所以不论k 为何值，x ＝0时，y 2814λλ+=-， 综上可知直线恒过定点（0，2814λλ+-）. 21.对于数列{a n }，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{a n }为P 数列. （1）若{a n }的前n 项和S n ＝3n +2，试判断{a n }是否是P 数列，并说明理由； （2）设数列a 1，a 2，a 3，…，a 10是首项为﹣1、公差为d 的等差数列，若该数列是P 数列，求d 的取值范围；（3）设无穷数列{a n }是首项为a 、公比为q 的等比数列，有穷数列{b n }，{c n }是从{a n }中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为T 1，T 2，求{a n }是P 数列时a 与q 所满足的条件，并证明命题“若a ＞0且T 1＝T 2，则{a n }不是P 数列”. 解：（1）∵32n n S =+，∴11232n n n n a S S n --=-=⋅≥（），当n ＝1时，a 1＝S 1＝5， 故151232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，，， 的那么当*k N ∈时，12332320k k k k k a S +-=⋅--=-＞，符合题意， 故数列{a n }是P 数列.（2）由题意知，该数列的前n 项和为1112n n n n S n d a nd +-=-+=-+（），， 由数列a 1，a 2，a 3，…，a 10是P 数列，可知a 2＞S 1＝a 1，故公差d ＞0，21311022n n d S a n d n +-=-++（）＜对满足n ＝1，2，3，，9的任意n 都成立，则239911022d d ⋅-++（）＜，解得827d ＜， 故d 的取值范围为8027（，）. （3）①若{a n }是P 数列，则a ＝S 1＜a 2＝aq ， 若a ＞0，则q ＞1，又由a n +1＞S n 对一切正整数n 都成立，可知11n nq aq a q -⋅-＞，即12n q q-＜（）对一切正整数n 都成立， 由1100n n n lim q q∞→=（）＞，（），故2﹣q ≤0，可得q ≥2，； 若a ＜0，则q ＜1，又由a n +1＞S n 对一切正整数n 都成立，可知11n nq aq a q -⋅-＞，即（2﹣q ）q n ＜1对一切正整数n 都成立，又当q ∈（﹣∞，﹣1』时，（2﹣q ）q n ＜1当n ＝2时不成立， 故有0121q q q ∈⎧⎨-⎩（，）（）＜或21021q q q ∈-⎧⎨-⎩（，）（）＜，解得10012q ∈⋃（）（，）， ∴当{a n }是P 数列时，a 与q 满足的条件为02a q ⎧⎨≥⎩＞或010012a q ⎧⎪⎨∈⋃⎪⎩＜（）（，）； ②假设{a n }是P 数列，则由①可知，q ≥2，a ＞0，且{a n }中每一项均为正数， 若{b n }中的每一项都在{c n }中，则由这两数列是不同数列，可知T 1＜T 2； 若{c n }中每一项都在{b n }中，同理可得T 1＞T 2； 若{b n }中至少有一项不在{c n }中且{c n }中至少有一项不在{b n }中， 设{b n '}，{c n '是将{b n }，{c n }中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为T1'，T2'，不妨设{b n'}，{c n'}中最大的项在{b n'}中，设为a m（m≥2），则T2'≤a1+a2+……+a m﹣1＜a m≤T1'，故T2'＜T1'，故总有T1≠T2与T1＝T2矛盾，故假设错误，原命题正确.。
2020届黄浦区高考数学一模试卷(含答案)
A． {2}
B．{2，− 2}
C． {1，− 1}
D．{i，− i}
14．将函数 y
=
sin(4x
+
π) 3
的图像上各点的横坐标伸长为原来的 2
倍，再向右平移
π 3
个单位，得到的函数
图像的一条对称轴的方程为 ·························································································（ ）
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分. 其中第 1~6 题每题满分 4 分，第 7~12 题每题满分 5 分）考生
应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.
1． 设集合 A = {x | (x + 1)(x − 2) 0} ，集合 B = {x |1 x 3} ，则 A B = =
f (x ) log2 3 g(x ) 的 x 的取值范围是
．
11．设函数 y = f (x ) 的定义域为 D ，若对任意的 x1 D ，总存在 x 2 D ，使得 f (x1) f (x 2 ) =1，则称函数
f (x ) 具有性质 M ．下列结论：①函数 y = x 3 − x 具有性质 M ；②函数 y = 3x + 5x 具有性质 M ；③若
是
．
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号
上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分．
13．方程 2x 1 = 5 的解集是 ····························································································（ ） 3x
2019-2020学年上海市黄浦区高考数学一模试卷
上海市黄浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分） 1．（3分）已知全集U=R ，集合，则（∁U B ）∩A= ． 2．（3分）函数的定义域是 ．3．（3分）若复数z 满足（i 为虚数单位），则z= ．4．（3分）已知sin （α+）=，α∈（﹣，0），则tanα= ．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为 ．6．（3分）若函数y=a +sinx 在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a= ．7．（3分）已知向量=（x ，y ）（x ，y ∈R ），=（1，2），若x 2+y 2=1，则|﹣|的最小值为 ．8．（3分）已知函数y=f （x ）是奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=log 2（x +1）．若函数y=g （x ）是y=f （x ）的反函数，则g （﹣3）= ．9．（3分）已知 m ，n ，α，β∈R ，m ＜n ，α＜β，若α，β是函数f （x ）=2（x ﹣m ）（x ﹣n ）﹣7的零点，则m ，n ，α，β四个数按从小到大的顺序是 （用符号“＜“连接起来）．10．（3分）已知点O ，A ，B ，F 分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F 作OB 的平行线，它与椭圆C 在第一象限部分交于点P ，若，则实数λ的值为 ．11．（3分）已知x ∈R ，定义：A （x ）表示不小于x 的最小整数．如，A （﹣1.1）=﹣1．若A （2x•A （x ））=5，则正实数x 的取值范围是 ．祝您高考马到成功！12．（3分）已知点M （m ，0），m ＞0和抛物线C ：y 2=4x ．过C 的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，若=2，且||=||，则m= ．二、选择题（本大题共有4题，满分12分．） 13．（3分）若x ∈R ，则“x ＞1”是“”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．（3分）已知向量，则下列能使成立的一组向量是（ ）A ．B ．C ．D ．15．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．716．（3分）已知a 1，a 2，a 3，a 4是各项均为正数的等差数列，其公差d 大于零，若线段l 1，l 2，l 3，l 4的长分别为a 1，a 2，a 3，a 4，则（ ） A ．对任意的d ，均存在以l 1，l 2，l 3为三边的三角形 B ．对任意的d ，均不存在以为l 1，l 2，l 3三边的三角形 C ．对任意的d ，均存在以l 2，l 3，l 4为三边的三角形祝您高考马到成功！D ．对任意的d ，均不存在以l 2，l 3，l 4为三边的三角形三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）17．（12分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=4，BC=3，E ，F 分别是所在棱AB ，BC 的中点，点P 是棱A 1B 1上的动点，联结EF ，AC 1．如图所示． （1）求异面直线EF ，AC 1所成角的大小（用反三角函数值表示）； （2）求以E ，F ，A ，P 为顶点的三棱锥的体积．18．（12分）如图，已知点A 是单位圆上一点，且位于第一象限，以x 轴的正半轴为始边，OA 为终边的角设为α，将OA 绕坐标原点逆时针旋转至OB ．（1）用α表示A ，B 两点的坐标；（2）M 为x 轴上异于O 的点，若MA ⊥MB ，求点M 横坐标的取值范围．19．（14分）已知函数g （x ）=，x ∈R ，函数y=f （x ）是函数y=g （x ）的反函数．（1）求函数y=f （x ）的解析式，并写出定义域D ； （2）设h （x ）=，若函数y=h （x ）在区间（0，1）内的图象是不间断的祝您高考马到成功！光滑曲线，求证：函数y=h （x ）在区间（﹣1，0）内必有唯一的零点（假设为t ），且﹣1．20．（18分）（理科）定义：若各项为正实数的数列{a n }满足，则称数列{a n }为“算术平方根递推数列”． 已知数列{x n }满足，且，点（x n +1，x n ）在二次函数f （x ）=2x 2+2x的图象上．（1）试判断数列{2x n +1}（n ∈N *）是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；（2）记y n =lg （2x n +1）（n ∈N *），求证：数列{y n }是等比数列，并求出通项公式y n ；（3）从数列{y n }中依据某种顺序自左至右取出其中的项，把这些项重新组成一个新数列{z n }：．若数列{z n }是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列{z n }各项的和为，求正整数k 、m 的值．21．（18分）已知椭圆Γ：+=1（a ＞b ＞0），过原点的两条直线l 1和l 2分别与Γ交于点A 、B 和C 、D ，得到平行四边形ACBD ．（1）当ACBD 为正方形时，求该正方形的面积S ；（2）若直线l 1和l 2关于y 轴对称，Γ上任意一点P 到l 1和l 2的距离分别为d 1和d 2，当d 12+d 22为定值时，求此时直线l 1和l 2的斜率及该定值．（3）当ACBD 为菱形，且圆x 2+y 2=1内切于菱形ACBD 时，求a ，b 满足的关系式．祝您高考马到成功！上海市黄浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）1．（3分）已知全集U=R ，集合，则（∁U B ）∩A={x |﹣1＜x ≤} ．【解答】解：A={x |﹣1＜x ＜1}， ∁U B={x |x ≤}，则（∁U B ）∩A={x |﹣1＜x ≤}，故答案为：{x |﹣1＜x ≤}，2．（3分）函数的定义域是 （1，+∞） ．【解答】解：要使函数有意义，需满足解得x ＞1故答案为：（1，+∞）3．（3分）若复数z 满足（i 为虚数单位），则z= 1+2i ．【解答】解：由，得z=1+2i ． 故答案为：1+2i ．4．（3分）已知sin （α+）=，α∈（﹣，0），则tanα= ﹣2．祝您高考马到成功！【解答】解：∵sin （α+）=cosα，sin （α+）=，∴cosα=， 又α∈（﹣，0）， ∴sinα=﹣，∴tanα==﹣2．故答案为：﹣2．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．【解答】解：设数列中的任意一项为a ，由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，得a=，即1﹣q=q∴q=．故答案为：．6．（3分）若函数y=a +sinx 在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a= 1 ．【解答】解：作函数y=sinx 在区间[π，2π]上的图象如下，，结合图象可知，若函数y=a +sinx 在区间[π，2π]上有且只有一个零点，祝您高考马到成功！则a ﹣1=0， 故a=1； 故答案为：1．7．（3分）已知向量=（x ，y ）（x ，y ∈R ），=（1，2），若x 2+y 2=1，则|﹣|的最小值为 ﹣1 ．【解答】解：设O （0，0），P （1，2）， ∴|﹣|=≥||﹣1=﹣1=﹣1，∴|﹣|的最小值为﹣18．（3分）已知函数y=f （x ）是奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=log 2（x +1）．若函数y=g （x ）是y=f （x ）的反函数，则g （﹣3）= ﹣7 ． 【解答】解：∵反函数与原函数具有相同的奇偶性．∴g （﹣3）=﹣g （3），∵反函数的定义域是原函数的值域， ∴log 2（x +1）=3， 解得：x=7， 即g （3）=7，故得g （﹣3）=﹣7． 故答案为：﹣7．9．（3分）已知 m ，n ，α，β∈R ，m ＜n ，α＜β，若α，β是函数f （x ）=2（x ﹣m ）（x ﹣n ）﹣7的零点，则m ，n ，α，β四个数按从小到大的顺序是 α＜m ＜n ＜β （用符号“＜“连接起来）．【解答】解：∵α、β是函数f （x ）=2（x ﹣m ）（x ﹣n ）﹣7的零点， ∴α、β是函数y=2（x ﹣m ）（x ﹣n ）与函数y=7的交点的横坐标，且m 、n 是函数y=2（x ﹣m ）（x ﹣n ）与x 轴的交点的横坐标，祝您高考马到成功！故由二次函数的图象可知， α＜m ＜n ＜β；故答案为：α＜m ＜n ＜β．10．（3分）已知点O ，A ，B ，F 分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F 作OB 的平行线，它与椭圆C 在第一象限部分交于点P ，若，则实数λ的值为．【解答】解：如图，A （﹣a ，0），B （0，b ），F （c ，0）， 则P （c ，）， ∴，，由，得，即b=c ，∴a 2=b 2+c 2=2b 2，．则．祝您高考马到成功！故答案为：．11．（3分）已知x ∈R ，定义：A （x ）表示不小于x 的最小整数．如，A （﹣ 1.1）=﹣1．若A （2x•A （x ））=5，则正实数x 的取值范围是 （1，] ．【解答】解：当A （x ）=1时，0＜x ≤1，可得4＜2x ≤5，得2＜x ≤，矛盾，故A （x ）≠1， 当A （x ）=2时，1＜x ≤2，可得4＜4x ≤5，得1＜x ≤，符合题意，故A （x ）=2， 当A （x ）=3时，2＜x ≤3，可得4＜6x ≤5，得＜x ≤，矛盾，故A （x ）≠3，由此可知，当A （x ）≥4时也不合题意，故A （x ）=2 ∴正实数x 的取值范围是（1，] 故答案为：（1，]12．（3分）已知点M （m ，0），m ＞0和抛物线C ：y 2=4x ．过C 的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，若=2，且||=||，则m=．【解答】解：由题意可知：F （1，0），由抛物线定义可知A （x 1，y 1），可知B （x 2，y 2）， ∵=2，可得：2（x 2﹣1，y 2）=（1﹣x 1，﹣y 1），可得y 2=﹣，x 2=，， 解得x 1=2，y 1=±2．||=||，祝您高考马到成功！可得|m ﹣1|=，解得m=．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分12分．）13．（3分）若x ∈R ，则“x ＞1”是“”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【解答】解：由x ＞1，一定能得到 得到＜1，但当＜1时，不能推出x ＞1 （如 x=﹣1时），故x ＞1是 ＜1 的充分不必要条件，故选：A ．14．（3分）已知向量，则下列能使成立的一组向量是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：作为基底不共线即可，祝您高考马到成功！共线， 共线， 不共线， 共线，故选C ．15．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，S=0 满足条件S ＜1000，S=1，k=1 满足条件S ＜1000，S=1+2=3，k=2 满足条件S ＜1000，S=1+2+23=11，k=3 满足条件S ＜1000，S=1+2+23+211，k=4不满足条件S ＜1000，退出循环，输出k 的值为4．故选：A ．16．（3分）已知a 1，a 2，a 3，a 4是各项均为正数的等差数列，其公差d 大于零，若线段l 1，l 2，l 3，l 4的长分别为a 1，a 2，a 3，a 4，则（ ）祝您高考马到成功！A ．对任意的d ，均存在以l 1，l 2，l 3为三边的三角形B ．对任意的d ，均不存在以为l 1，l 2，l 3三边的三角形C ．对任意的d ，均存在以l 2，l 3，l 4为三边的三角形D ．对任意的d ，均不存在以l 2，l 3，l 4为三边的三角形【解答】解：A ：对任意的d ，假设均存在以l 1，l 2，l 3为三边的三角形，∵a 1，a 2，a 3，a 4是各项均为正数的等差数列，其公差d 大于零，∴a 2+a 3＞a 1，a 3+a 1=2a 2＞a 2，而a 1+a 2﹣a 3=a 1﹣d 不一定大于0，因此不一定存在以为l 1，l 2，l 3三边的三角形，故不正确；B ：由A 可知：当a 1﹣d ＞0时，存在以为l 1，l 2，l 3三边的三角形，因此不正确；C ：对任意的d ，由于a 3+a 4，＞a 2，a 2+a 4=2a 1+4d=a 1+2d +a 3＞0，a 2+a 3﹣a 4=a 1＞0，因此均存在以l 2，l 3，l 4为三边的三角形，正确； D ．由C 可知不正确． 故选：C ．三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）17．（12分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=4，BC=3，E ，F 分别是所在棱AB ，BC 的中点，点P 是棱A 1B 1上的动点，联结EF ，AC 1．如图所示． （1）求异面直线EF ，AC 1所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求以E ，F ，A ，P 为顶点的三棱锥的体积．【解答】（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分（6分），第2小题满分（6分）．解：（1）联结AC ，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，有AC ∥EF ．祝您高考马到成功！又∠CAC 1是直角三角形ACC 1的一个锐角， ∴∠CAC 1就是异面直线EF ，AC 1所成的角． 由AB=AA 1=4，BC=3，得AC==5．∴tan ∠CAC 1==，即异面直线EF ，AC 1所成角为arctan ．（2）由题意可知，点P 到底面ABCD 的距离与棱AA 1的长相等． ∵， ∴=．18．（12分）如图，已知点A 是单位圆上一点，且位于第一象限，以x 轴的正半轴为始边，OA 为终边的角设为α，将OA 绕坐标原点逆时针旋转至OB ．（1）用α表示A ，B 两点的坐标；（2）M 为x 轴上异于O 的点，若MA ⊥MB ，求点M 横坐标的取值范围．【解答】解：（1）点A 是单位圆上一点，且位于第一象限，以x 轴的正半轴为始祝您高考马到成功！边，OA 为终边的角设为α，α∈（0，）可得A （cosα，sinα），将OA 绕坐标原点逆时针旋转至OB ．可得B （cos （），sin （）），即B （﹣sinα，cosα）． （2）设M （x ，0），x ≠0， =（cosα﹣x ，sinα），=（﹣sinα﹣x ，cosα）．MA ⊥MB ，可得（cosα﹣x ）（﹣sinα﹣x ）+sinαcosα=0． xsinα﹣xcosα+x 2=0， 可得﹣x=sinα﹣cosα=sin （）∈（﹣1，1）．综上x ∈（﹣1，0）∪（0，1）．点M 横坐标的取值范围：（﹣1，0）∪（0，1）．19．（14分）已知函数g （x ）=，x ∈R ，函数y=f （x ）是函数y=g （x ）的反函数．（1）求函数y=f （x ）的解析式，并写出定义域D ；（2）设h （x ）=，若函数y=h （x ）在区间（0，1）内的图象是不间断的光滑曲线，求证：函数y=h （x ）在区间（﹣1，0）内必有唯一的零点（假设为t ），且﹣1．【解答】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分（7分），第2小题满分（7分）． 解：（1）∵函数g （x ）==1﹣，∴g （x ）∈（﹣1，1）．令y=g （x ）=1﹣，祝您高考马到成功！则=1﹣y ，即，即x=，∴f （x ）=，x ∈（﹣1，1）．证明：（2）由（1）可知，h （x ）==﹣，x ∈（﹣1，0）∪（0，1）．∵h （﹣x ）+h （x ）=﹣﹣+﹣=0，所以，函数h （x ）是奇函数． 当x ∈（0，1）时，单调递减，=﹣1+单调递减，于是单调递减．因此，函数h （x ）单调递减． 依据奇函数的性质，可知，函数h （x ）在（﹣1，0）上单调递减． 又∵h （﹣）=﹣2+lg3＜0，h （﹣）=﹣+lg199＞0，所以，函数h （x ）在区间（﹣1，0）上有且仅有唯一零点t ，且﹣1．20．（18分）（理科）定义：若各项为正实数的数列{a n }满足，则称数列{a n }为“算术平方根递推数列”．已知数列{x n }满足，且，点（x n +1，x n ）在二次函数f （x ）=2x 2+2x的图象上． （1）试判断数列{2x n +1}（n ∈N *）是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由； （2）记y n =lg （2x n +1）（n ∈N *），求证：数列{y n }是等比数列，并求出通项公式y n ；（3）从数列{y n }中依据某种顺序自左至右取出其中的项，把这些项重新组成一个新数列{z n }：．祝您高考马到成功！若数列{z n }是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列{z n }各项的和为，求正整数k 、m 的值．【解答】解：（1）数列{2x n +1}（n ∈N *）是否为算术平方根递推数列，证明如下： ∵点（x n +1，x n ）在二次函数f （x ）=2x 2+2x 的图象上， ∴x n =2x n +12+2x n +1，∴2x n +1=（2x n +1+1）2，∵x n ＞0，n ∈N *， ∴2x n +1+1=，∴数列{2x n +1}（n ∈N *）是否为算术平方根递推数列； （2）∵y n =lg （2x n +1），2x n +1+1=，∴y n +1=y n ，∵y 1=lg （2x 1+1）=1，∴数列{y n }是首项为1，公比为等比数列， ∴通项公式y n =（）n ﹣1（3）由题意可得数列{z n }的首项为，公比为，∴=，∴+=16，若m ﹣1≥3，则+≤+＜+＜16，矛盾，∴m ﹣1≤2， ∵m ﹣1=0或1时，+＞16，∴m ﹣1=2， ∴m=3， ∴k=6．祝您高考马到成功！21．（18分）已知椭圆Γ：+=1（a ＞b ＞0），过原点的两条直线l 1和l 2分别与Γ交于点A 、B 和C 、D ，得到平行四边形ACBD ． （1）当ACBD 为正方形时，求该正方形的面积S ；（2）若直线l 1和l 2关于y 轴对称，Γ上任意一点P 到l 1和l 2的距离分别为d 1和d 2，当d 12+d 22为定值时，求此时直线l 1和l 2的斜率及该定值．（3）当ACBD 为菱形，且圆x 2+y 2=1内切于菱形ACBD 时，求a ，b 满足的关系式． 【解答】解：（1）∵ACBD 为正方形， ∴直线l 1和l 2的方程为y=x 和y=﹣x ， 设点A 、B 的坐标为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）， 解方程组，得==，由对称性可知，S=4=；（2）由题意，不妨设直线l 1的方程为y=kx ，则直线l 2的方程为y=﹣kx ， 设P （x 0，y 0），则+=1，又∵d 1=，d 2=，∴+=+=，将=b 2（1﹣）代入上式，得+=，∵d 12+d 22为定值， ∴k 2﹣=0，即k=±，祝您高考马到成功！于是直线l 1和l 2的斜率分别为和﹣，此时+=；（3）设AC 与圆x 2+y 2=1相切的切点坐标为（x 0，y 0）， 则切线AC 的方程为：x 0x +y 0y=1，点A 、C 的坐标为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）为方程组的实数解．①当x 0=0或y 0=0时，ACBD 均为正方形， 椭圆均过点（1，1），于是有+=1；②当x 0≠0或y 0≠0时，将y=（1﹣x 0x ）代入+=1，整理得：（a 2+b 2）x 2﹣2a 2x 0x ﹣a 2（1+b 2）=0，由韦达定理可知x 1x 2=，同理可知y 1y 2=，∵ACBD 为菱形，∴AO ⊥CO ，即x 1x 2+y 1y 2=0，∴+=0，整理得：a 2+b 2=a 2b 2（+），又∵+=1，∴a 2+b 2=a 2b 2，即+=1；综上所述，a ，b 满足的关系式为+=1．祝您高考马到成功！。
2020届上海市黄浦区高三一模考试(期末考试)数学试题(解析版)
上海市黄浦区2020届高三一模考试（期末考试）数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题满分54分，第7-12题每题满分54分）.1.设集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∪B ＝_____. 【答案】（﹣1，3）.【解析】因为(1)(2)0x x +-<，所以12x -<<，即{}12A x x =-<<； 所以{}13A B x x ⋃=-<<. 故答案为：(1,3)-.2.已知z ＝（a ﹣i ）（1+i ）（a ∈R ，i 为虚数单位）为纯虚数，则a ＝_____. 【答案】﹣1.【解析】()()()i 1i 11i z a a a =-+=++-,因为z 为纯虚数，所以10a +=且10a -≠，解得1a =-. 故答案：1-.3.抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________． 【答案】4【解析】抛物线28x y =的焦点是()0,2,准线方程是2y =-,所以焦点到准线的距离是4.4.在（281)x x-的展开式中，x 的系数是．（用数字作答）【答案】-56【解析】（281)x x -展开式的通项为281631881()()(1)r r r r r rr T C x C x x--+=-=-，令1631r -=，则=5r ，16355188(1)(1)r r r r T C x C x -+=-=-，所以x 的系数是．5.已知α为第二象限的角,3sin 5α=,则tan2α=________. 【答案】247-【解析】因为α为第二象限的角,所以4cos 5α===-,于是有3sin 35tan 4cos 45ααα===--,因此2232()2tan 244tan 231tan 71()4ααα⨯-===----. 故答案为247- 6.母线长为3、底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为_____. 【答案】23π， 【解析】因为圆锥的母线长为3、底面半径为1，所以圆锥的侧面展开图中半径为3，弧长为2π，所以圆心角的弧度数为23π. 故答案为：23π. 7.若无穷等比数列{a n }满足：a 2a 3＝a 4，a 5116=，（n ∈N *），则数列{a 2n ﹣1}的所有项的和为_____. 【答案】43. 【解析】设等比数列的公比为q ，则23411111,16a q a q a q a q ⋅==； 解得111,2a q ==，所以11112n n n a a q --⎛⎫== ⎪⎝⎭；12114n n a --⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以{}21n a -的所有项的和为114141lim (1)416343n n →∞+++=-=. 故答案为：43. 8.四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是_____.（结果用数字作答） 【答案】144.【解析】先选出两位男生组成一个整体有24A 种排法；再排好两个女生有22A 种排法，女生排好共有三个空位，再把男生排进去共有33A 种排法；所以不同排法的种数一共有223423144A A A =.故答案为：144.9.已知A 、B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的两条渐近线的夹角为_____. 【答案】90°. 【解析】因为△ABM 为等腰三角形且顶角为120°， 不妨设M 为第一象限的点,则(2)M a ；把(2)M a 代入双曲线的方程22221(0,0)x y a b a b -=>>可得1b a=；所以渐近线的倾斜角为45︒，两条渐近线的夹角为90︒. 故答案为：90︒.10.已知函数y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的图象关于直线y ＝x 对称，若f （x ）＝x +log 2（2x +2），则满足f （x ）＞log 23＞g （x ）的x 的取值范围是_____. 【答案】（0，log 215）.【解析】因为12222()log (22)log 2log (22)log (42)xxxxx f x x +=++=++=+，所以由2()log 3f x >得1423x x ++>，解得21x >，即0x >； 易知函数()f x 为增函数，因为2()log 3g x <，所以可得22log 3log 31222(log 3)log (42)log 15x f +<=+=；综上可得x 的取值范围是2(0,log 15).11.设函数y ＝f （x ）的定义域为D ，若对任意的x 1∈D ，总存在x 2∈D ，使得f （x 1）•f （x 2）＝1，则称函数f （x ）具有性质M .下列结论：①函数y ＝x 3﹣x 具有性质M ；②函数y ＝3x +5x 具有性质M ；③若函数y ＝log 8（x +2），x ∈[0，t 』时具有性质M ，则t ＝510；④若y 34sinx a+=具有性质M ，则a ＝5.其中正确结论的序号是_____. 【答案】②③.【解析】对于①，当10x =时，不存在2x 满足12()()1f x f x ⋅=，故①不正确； 对于②，由于()0f x >，所以10()f x >，所以具有性质M ，故②正确；对于③，由于8log (2)y x =+为增函数，且0x =时，13y =，所以x t =时必有3y =，所以510t =，故③正确；对于④，由于33[,]44a a y -+∈，若y 34sinx a +=具有性质M ，所以33144a a -+⋅=可得5a =±，故④不正确.故答案：②③.12.已知正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6的边长为2，点P 是该正六边形边上的动点，记σ1A P =•22A P A P +•33A P A P +•44A P A P +•55A P A P +•66A P A P +•1A P ，则σ的取值范围是_____.【答案】[30，36』.【解析】建立直角坐标系，如图所示：，∴1234560020320A A A A A A -（，），（，），（（（（， 设点P （x ，y ），∴12323A P x y A P x y A P x y ==-=-（，），（，），（，，456223231A P x y A P x y A P x y =--=-=+（，），（，），（，， ∴σ1A P =•22A P A P +•33A P A P +•44A P A P +•55A P A P +•66A P A P +•1A P()()(()()(2(2)2332x x y x x y y x x y y =-++--++--+-()(()(()(2211x x y x x y y x x y y +-+-+++-+++22661236x y x =+--+＝6[（x ﹣1）2+（y 2+2』，∵正六边形的中心Q （1，所以S ＝（x ﹣1）2+（y 2表示点P （x ，y ）与点Q（1∴由图可知S 的最大值为4，最小值为3， ∴σ的最大值为36，最小值为30， ∴σ的取值范围是[30，36』. 故答案为：[30，36』.二、选择题（本大题共有4题，满分20分.）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.方程213x x=5的解集是（） A. {2} B. {2，﹣2}C. {1，﹣1}D. {i ，﹣i }【答案】B 【解析】2212353x x x=-=，解得2x =±.故选：B.14.将函数y ＝sin （4x 3π+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移3π个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为（） A. x 12π=-B. x 16π=C. x 4π=D. x 2π=【答案】A【解析】将函数y ＝sin （4x 3π+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移3π个单位，得到的函数为sin(2)3y x π=-，令232x k ππ-=π+，k Z ∈，解得212k x π5π=+， 由1k =-可得12x π=-.故选：A.15.若函数f （x ）的定义域为R ，则“f （x ）是偶函数”是“f （|x |）＝f （x ）对切x ∈R 恒成立”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，从而可得()()f x f x =； 若()()f x f x =，则()()f x f x -=，即()f x 是偶函数. 故选：C.16.设曲线E 的方程为2249x y +=1，动点A （m ，n ），B （﹣m ，n ），C （﹣m ，﹣n ），D （m ，﹣n ）在E 上，对于结论：①四边形ABCD 的面积的最小值为48；②四边形ABCD 外接圆的面积的最小值为25π.下面说法正确的是（） A. ①错，②对 B. ①对，②错C. ①②都错D. ①②都对【答案】D【解析】因为动点A （m ，n ），B （﹣m ，n ），C （﹣m ，﹣n ），D （m ，﹣n ），所以四边形ABCD 是矩形；不妨设0,0m n >>，则矩形ABCD 的面积为4mn ，因为22491m n +=，所以2249121m n mn=+≥=，即12mn ≥，当且仅当2218,8n m ==时等号成立；所以矩形ABCD 的面积最小值为48.四边形ABCD =所以四边形ABCD 外接圆的面积为()22m n π+，因为22491m n +=，所以()()222222222249491325n m m n m n m n m n π⎛⎫⎛⎫π+=π++=++≥π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2218,8n m ==时等号成立；故选：D.三、解答题（本大题共有5题，满分76分.）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.在三棱锥P﹣ABC中，已知P A，PB，PC两两垂直，PB＝3，PC＝4，且三棱锥P﹣ABC 的体积为10.（1）求点A到直线BC的距离；（2）若D是棱BC的中点，求异面直线PB，AD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. 解：（1）在三棱锥P﹣ABC中，P A，PB，PC两两垂直，∵PB＝3，PC＝4，且三棱锥P﹣ABC的体积为10.∴V P﹣ABC＝V A﹣PBC113432PA=⨯⨯⨯⨯=10，解得P A＝5，过P作PO⊥BC，交BC于O，连结PO，如图，由三垂线定理得AO⊥BC，∵1122PB PC BC PO⨯⨯=⨯⨯，∴PO125PB PCBC⨯===，∴点A到直线BC的距离：AO===.（2）以P为原点，PC，PB，P A所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，5），P（0，0，0），B（0，3，0），C（4，0，0），D（2，32，0），PB =（0，3，0），AD =（2，32，﹣5）， 设异面直线PB ，AD 所成角的大小为θ，则cosθ9251253PB ADPB AD⋅===⋅. ∴异面直线PB ，AD 所成角的大小为arc .18.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＝（2b ﹣c ）cos A. （1）若AB AC ⋅=3，求△ABC 的面积； （2）若∠B ＜∠C ，求2cos 2B +cos 2C 的取值范围. 解：（1）∵a cos C ＝（2b ﹣c ）cos A ，∴由正弦定理可得sin A cos C ＝（2sin B ﹣sin C ）cos A ，可得sin A cos C +sin C cos A ＝sin （A +C ）＝sin B ＝2sin B cos A ， ∵B 为三角形内角，sin B ≠0， ∴cos A 12=， 又∵A ∈（0，π）， ∴A 3π=，∵AB AC ⋅=bc cos A 12=bc ＝3，可得bc ＝6， ∴S △ABC 12=bc sinA 16222=⨯⨯=.（2）∵∠B ＜∠C ，C 23π=-B ，可得B ∈（0，3π），∴2B 6π+∈（6π，56π），∴cos （2B 6π+）∈（， ∴2cos 2B +cos 2C ＝1+cos2B 12322cos C ++=+cos2B 12+cos2（23π-B ）32=+cos2B 14-cos2B B 32=+cos （2B 6π+）∈（34，94）.∴2cos 2B +cos 2C 的取值范围（34，94）. 19.某研究所开发了一种新药，测得成人注射该药后血药浓度y （微克/毫升）与给药时间x （小时）之间的若干组数据，并由此得出y 与x 之间的一个拟合函数y ＝40（0.6x ﹣0.62x ）（x ∈[0，12』），其简图如图所示.试根据此拟合函数解决下列问题：（1）求药峰浓度与药峰时间（精确到0.01小时），并指出血药浓度随时间的变化趋势； （2）求血药浓度的半衰期（血药浓度从药峰浓度降到其一半所需要的时间）（精确到0.01小时）.解：（1）由y ＝40（0.6x ﹣0.62x ）（x ∈[0，12』）， 令0.6x ＝t ，t ∈[0.612，1』，则y ＝40（0.6x ﹣0.62x ）＝40（﹣t 2+t ）， ∴当t 12=∈[0.612，1』，即10.62x=，x 2231lg lg lg -=≈+- 1.36时， y 有最大值10.故药峰浓度为10，药峰时间为1.36小时；由图象可知，注射该药后血药浓度逐渐增加，到1.36小时时达到峰值，然后血药浓度逐渐降低；（2）在y ＝40（0.6x ﹣0.62x ）中，取y ＝5，得40（0.6x ﹣0.62x ）＝5，即﹣8t 2+8t ﹣1＝0，解得t 24=或t 24=（舍），即20.64x=≈0.147，得x0.1470.6lg lg =≈3.72. 故血药浓度的半衰期为3.72﹣1.36＝2.36小时.20.已知椭圆C 的中心在坐标原点焦点在x 轴上，椭圆C 上一点A （，﹣1）到两焦点距离之和为8.若点B 是椭圆C 的上顶点，点P ，Q 是椭圆C 上异于点B 的任意两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若BP ⊥BQ ，且满足3PD =2DQ 的点D 在y 轴上，求直线BP 的方程；（3）若直线BP 与BQ 的斜率乘积为常数λ（λ＜0），试判断直线PQ 是否经过定点.若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.解：（1）由题意设椭圆的方程为：2222x y a b+=1由题意知：2a ＝8，22121a b+=1，解得：a 2＝16，b 2＝4， 所以椭圆的方程为：221164x y +=.（2）由（1）得B （0，2）显然直线BP 的斜率存在且不为零， 设直线BP 为：y ＝kx +2，与椭圆联立整理得：（1+4k 2）x 2+16kx ＝0，x 21614kk-=+，所以P （21614k k -+，222814k k -+）；直线BQ ：y 1k=-x +2，代入椭圆中：（4+k 2）x 2﹣16kx ＝0， 同理可得Q （2164k k +，22284k k-+），由3PD =2DQ 得， ∴3（x D ﹣x P ）＝2（x Q ﹣x D ），∴5x D ＝2x Q +3x P 223248414k kk k =-++，由于D 在y 轴上，所以x D ＝0，∴223248414k kk k=++，解得：k 2＝2，所以k =所以直线BP 的方程为：y ＝x +2.（3）当直线PQ 的斜率不存在时，设直线PQ 方程：x ＝t ，P （x ，y ），Q （x '，y '），与椭圆联立得：4y 2＝16﹣t 2，yy '2164t -=，xx '＝t 2，k BP •k BQ 2y x -=•'2'2'4''y yy y y x xx --++==（）14， 要使是一个常数λ，λ＜0，所以不成立.当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 的方程为：y ＝kx +t ，设P （x ，y ），Q （x '，y '），与椭圆联立整理得：（1+4k 2）x 2+8ktx +4t 2﹣16＝0，x +x '2814kt k -=+，xx '2241614t k -=+， ∴y +y '＝k （x +x '）+2t 2214t k =+，()222221614t k yy k xx kt x x t k-'''=+++=+， ∴k BP •k BQ 2'2'2'42''42y y yy y y t x x xx t ---++-=⋅==+（）（）， 所以由题意得：242t t -=+（）λ，解得：t 2814λλ+=-，所以不论k 为何值，x ＝0时，y 2814λλ+=-， 综上可知直线恒过定点（0，2814λλ+-）. 21.对于数列{a n }，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{a n }为P 数列. （1）若{a n }的前n 项和S n ＝3n +2，试判断{a n }是否是P 数列，并说明理由； （2）设数列a 1，a 2，a 3，…，a 10是首项为﹣1、公差为d 的等差数列，若该数列是P 数列，求d 的取值范围；（3）设无穷数列{a n }是首项为a 、公比为q 的等比数列，有穷数列{b n }，{c n }是从{a n }中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为T 1，T 2，求{a n }是P 数列时a 与q 所满足的条件，并证明命题“若a ＞0且T 1＝T 2，则{a n }不是P 数列”. 解：（1）∵32n n S =+，∴11232n n n n a S S n --=-=⋅≥（），当n ＝1时，a 1＝S 1＝5， 故151232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，，， 的那么当*k N ∈时，12332320k k k k k a S +-=⋅--=-＞，符合题意， 故数列{a n }是P 数列.（2）由题意知，该数列的前n 项和为1112n n n n S n d a nd +-=-+=-+（），， 由数列a 1，a 2，a 3，…，a 10是P 数列，可知a 2＞S 1＝a 1，故公差d ＞0，21311022n n d S a n d n +-=-++（）＜对满足n ＝1，2，3，，9的任意n 都成立，则239911022d d ⋅-++（）＜，解得827d ＜， 故d 的取值范围为8027（，）. （3）①若{a n }是P 数列，则a ＝S 1＜a 2＝aq ， 若a ＞0，则q ＞1，又由a n +1＞S n 对一切正整数n 都成立，可知11n nq aq a q -⋅-＞，即12n q q-＜（）对一切正整数n 都成立， 由1100n n n lim q q∞→=（）＞，（），故2﹣q ≤0，可得q ≥2，； 若a ＜0，则q ＜1，又由a n +1＞S n 对一切正整数n 都成立，可知11n nq aq a q -⋅-＞，即（2﹣q ）q n ＜1对一切正整数n 都成立，又当q ∈（﹣∞，﹣1』时，（2﹣q ）q n ＜1当n ＝2时不成立， 故有0121q q q ∈⎧⎨-⎩（，）（）＜或21021q q q ∈-⎧⎨-⎩（，）（）＜，解得10012q ∈⋃（）（，）， ∴当{a n }是P 数列时，a 与q 满足的条件为02a q ⎧⎨≥⎩＞或010012a q ⎧⎪⎨∈⋃⎪⎩＜（）（，）； ②假设{a n }是P 数列，则由①可知，q ≥2，a ＞0，且{a n }中每一项均为正数， 若{b n }中的每一项都在{c n }中，则由这两数列是不同数列，可知T 1＜T 2； 若{c n }中每一项都在{b n }中，同理可得T 1＞T 2； 若{b n }中至少有一项不在{c n }中且{c n }中至少有一项不在{b n }中， 设{b n '}，{c n '是将{b n }，{c n }中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为T1'，T2'，不妨设{b n'}，{c n'}中最大的项在{b n'}中，设为a m（m≥2），则T2'≤a1+a2+……+a m﹣1＜a m≤T1'，故T2'＜T1'，故总有T1≠T2与T1＝T2矛盾，故假设错误，原命题正确.。