自考《线性代数》重难点解析与全真练习

自考《线性代数》重难点解析与全真练习第一章行列式一、重点1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。

2、掌握：行列式的基本性质及推论。

3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。

二、难点行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。

三、重要公式1若A为n阶方阵，则|kA| = kn | A I2、若A、B均为n阶方阵,AB丨=| A |。

丨B丨3、若A为n阶方阵，则|A* | = | A | n-1若A为n阶可逆阵，则|A-1 | = | A | -14、若A为n阶方阵，入i （i=1 , 2,…，n）是A的特征值，| A | =口入i四、题型及解题思路1 、有关行列式概念与性质的命题2、行列式的计算（方法）1 ）利用定义2）按某行（列）展开使行列式降阶3）利用行列式的性质①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。

②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。

③逐次行（列）相加减，化简行列式。

④把行列式拆成几个行列式的和差。

4）递推法,适用于规律性强且零元素较多的行列式5）数学归纳法,多用于证明3、运用克莱姆法则求解线性方程组若D = | A |丰0,则Ax=b有解，即x1=D1/D, x2= D2/D ,…, xn= Dn/D其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。

注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。

4、运用系数行列式A 判别方程组解的问题1）当| A | = 0时，齐次方程组Ax= 0有非零解；非齐次方程组解,也可能有无穷多解）2）当| A |丰0时，齐次方程组Ax= 0仅有零解；非齐次方程组克莱姆法则求出。

、重点1 、理解：矩阵的定义、性质, 几种特殊的矩阵（零矩阵,上（下）对角矩阵,逆矩阵,正交矩阵,伴随矩阵,分块矩阵）2、掌握：1）矩阵的各种运算及运算规律2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法Ax= b 不是解（可能无Ax= b 有解,此解可由三角矩阵,对称矩阵,3）矩阵的初等变换方法二、难点1、矩阵的求逆矩阵的初等变换2、初等变换与初等矩阵的关系三、重要公式及难点解析1、线性运算1) 交换律一般不成立，即AB^ BA2) —些代数恒等式不能直接套用，如设A, B, C均为n阶矩阵(A+B)2=A2+AB+BA+B舎A2+2AB+B2(AB) 2= (AB) (AB 工A2B2(AB) k z AkBk(A+B) (A-B)工A2-B2以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA寸才成立。

3) 由AB=0不能得出A=0或B=04) 由AB=AC不能得出B=C5) 由A2=A不能得出A=I或A=06) 由A2=0不能得出A=07) 数乘矩阵与数乘行列式的区别2、逆矩阵1) ( A- 1)- 1 = A2) ( kA) - 1= (1/k ) A- 1, (k z 0)3) ( AB)- 1=B- 1A- 14 )( A- 1 ) T=( AT)- 15)|A- 1 | = | A | - 13、矩阵转置1 )( AT) T= A2) ( kA) T=kAT,( k 为任意实数)3) ( AB) T=BTAT4) ( A+B) T=AT+BT4、伴随矩阵1 ) A*A= A A*= | A| I ( AB) *=B*A*2) (A*) *= | A | n-2 | A* | = | A | n-1 , (n > 2)3) ( kA) *=kn-1A* (A*) T=(AT) *4) 若r (A) =n，贝U r (A*) =n若r( A) =n-1 ,则r ( A*) =1若r ( A)5) 若A 可逆，则(A*) -1= (1/ | A| ) A, (A*) -1 =( A-1 ) * , A*=|A | A-15、初等变换(三种)1 )对调二行(列)2) 用k( k z 0 )乘以某行(列)中所有元素3) 把某行(列)的元素的k 倍加至另一行(列)的对应元素注意：用初等变换①求秩，行、列变换可混用②求逆阵，只能用行或列变换③求线性方程组的解，只能用行变换6、初等矩阵1）由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵2）初等阵P左（右）乘A,所得PA （AP）就是A作了一次与P同样的行（列）变换3）初等阵均可逆，且其逆为同类型的初等阵E-1ij=Eij ，E（-1 ）i （k）=Ei（1/k ），E（-1 ）ij （k）=Eij （-k）7、矩阵方程1）含有未知矩阵的等式2）矩阵方程有解的充要条件AX=B W解<==>B的每列可由A的列向量线性表示<==>r （A）=r （A : B）四、题型及解题思路1、有关矩阵的概念及性质的命题2、矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）3、矩阵可逆的判定n阶方阵A可逆<==>存在n阶方阵B,有AB=BA=I<==> | A | 0<==>r（A）=n<==>A的列（行）向量组线性无关<==>Ax=0只有零解<==>任意b,使得Ax=b总有解<==>A的特征值全不为零4、矩阵求逆1）定义法：找出B使AB=I或BA=I2）伴随阵法：A-1=（1/ | A|）A*注意：用该方法求逆时，行的代数余子式应竖着写在A*中，计算Aij时不要遗漏（-1 ）i+j ,当n>3 时,通常用初等变换法。

3）初等变换法：对（A; I ）只用行变换化为（I 1 A-1 ）4）分块矩阵法5、解矩阵方程AX=B1）若A可逆，则X=A-1B,可先求出A-1，再作乘法A-1B求出X2）若A可逆，可用初等变换法直接求出X（A ；B）初等行变换（I ；X）3）若A不可逆，则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯型方程组，然后对每列常数项分别求解。

一、重点1、理解：向量、向量运算以及向量的线性组合与线性表出,极大线性无关组的概念,线性相关与线性无关的概念,向量组的秩的概念,矩阵的秩的概念及性质,基础解系的概念。

2、掌握：向量的运算及运算规律,矩阵秩的计算,齐次、非齐次线性方程组解的结构。

3、运用：线性相关、线性无关的判定,线性方程组解的判断,齐次、非齐次线性方程组的解法。

二、难点线性相关、线性无关的判定。

向量组的秩与矩阵的秩的关系。

方程组与向量组线性表示及秩之间的联系。

三、重点难点解析1、n 维向量的概念与运算1) 概念2) 运算若a=( al, a2,…，an) T,3=( bl, b2,…，bn) T①加法：a + B=( a1+b1 , a2+b2，…，an+bn) T②数乘：k a=( ka1, ka2，…，kan) T③内积：(a°B)= a1b1+a2b2+，…，+anbn =a T3 = 3 T a2、线性组合与线性表出3、线性相关与线性无关1 )概念2)线性相关与线性无关的充要条件①线性相关a 1 , a 2,…，a S线性相关<==>齐次方程组(a 1，a 2，…，a S) ( x1，x2，…，XS) T= 0有非零解<==>向量组的秩r (a 1 ,a 2，…，a S)V S (向量的个数)<==>存在某a i (i=1 , 2,…，s)可由其余s-1个向量线性表出特别的：n个n维向量线性相关<==> | a 1 a 2…a n | = 0 n+1 个n 维向量一定线性相关②线性无关a 1 , a 2,…，a S线性无关<==>齐次方程组(a 1 ,a 2,…，a S) (x1 , x2,…，XS) T = 0只有零解<==>向量组的秩r (a 1 ,a 2，…，a S)= S (向量的个数)<==>每一个向量a i (i=1 , 2,…，s)都不能用其余S-1个向量线性表出③重要结论A、阶梯形向量组一定线性无关B若a 1 ,a 2,…，a S线性无关，则它的任一个部分组a i1 ,a i2，…，a i t必线性无关，它的任一延伸组必线性无关。

C两两正交，非零的向量组必线性无关。

4、向量组的秩与矩阵的秩1) 极大线性无关组的概念2) 向量组的秩3) 矩阵的秩①r (A)= r (AT)②r (A+B)w r (A) + r ( B)③r (kA)= r (A), k^ 0④r (AB)w min (r (A), r ( B))⑤如A可逆，则r (AB)= r ( B);女口B可逆，则r (AB)= r (A)⑥A是mx n 阵，B是n x p 阵，女口AB= 0,贝U r (A) + r (B)< n4) 向量组的秩与矩阵的秩的关系①r (A)= A的行秩(矩阵A的行向量组的秩)= A的列秩(矩阵A的列向量组的秩)②经初等变换矩阵、向量组的秩均不变③若向量组(I)可由(H)线性表出，则r (I)< r (H)。

特别的，等价的向量组有相同的秩,但秩相同的向量组不一定等价。

5、基础解系的概念及求法1 )概念2）求法对 A 作初等行变换化为阶梯形矩阵，称每个非零行中第一个非零系数所代表的未知数是主元（共有r （A）个主元），那么剩于的其他未知数就是自由变量（共有n- r （A）个），对自由变量按阶梯形赋值后，再带入求解就可得基础解系。

6、齐次方程组有非零解的判定1 ）设A是m K n矩阵，Ax= 0有非零解的充要条件是r （A）v n,亦即A的列向量线性相关。

2）若A为n阶矩阵，Ax= 0有非零解的充要条件是丨A|= 03）Ax= 0有非零解的充分条件是m K n,即方程个数v未知数个数7、非齐次线性方程组有解的判定1）设A是m K n矩阵，Ax= b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵（A增）的秩，即r （A）= r （A 增）2）设A是m K n矩阵，方程组Ax= b①有解<==> r （A）= r （A 增）=n②有无穷多解<==> r （A）= r （A增）<* p>③无解<==> r （A）+仁r （A增）8、非齐次线性方程组解的结构如n元线性方程组Ax= b有解，设，n 2,…，n t是相应齐次方程组Ax= 0的基础解系，E是Ax= b的一个解，则k1 n 1+k2 n 2+…+kt n t+ E是Ax= b的通解。

1）若E 1,E 2是Ax= b的解，则E 1- E 2是Ax= 0的解2）若E是Ax= b的解，n是Ax= 0的解，则E +k n仍是Ax= b的解3）若Ax= b 有解,则Ax= 0 只有零解；反之,当Ax= 0 只有零解时, Ax= b 没有无穷多解（可能无解,也可能只有解）四、题型及解题思路1、有关n 维向量概念与性质的命题2、向量的加法与数乘运算3、线性相关与线性无关的证明1 ）定义法设k1 a 1+k2a 2+…+ks a S = 0，然后对上式做恒等变形（要向已知条件靠拢！）①由B= C可得AB= AC,因此，可按已知条件的信息对上式乘上某个A②展开整理上式，直接用已知条件转化为齐次线性方程组，最后通过分析论证k1,k2，…，ks 的取值,得出所需结论。