第五章圆的有关概念和性质培优训练

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圆的基本性质培优

OF E D C B A 圆的基本性质培优（二）设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ，弧长公式：π180n R l = 扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法例1.已知正六边形的边长为1cm ，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm 长为半径画弧(如图)，则所得到的三条弧的长度之和为 cm (结果保留π)．分析：①可以先求出每段弧的长度，再求长度之和。

②观察每段弧所在圆的半径及圆心角，然后整体求解。

（常用之法也是简便方法）例 2.矩形ABCD 的边86AB AD ==，，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置1111A B C D 时(如图所示)，则顶点A 所经过的路线长是_________．分析：在每次翻滚过程中，要确定圆心和弧长及点 A 的位置。

例3.5，圆心角等于45︒的扇形AOB 内部作一个正方形CDEF ，使点C 在OA 上，点D E 、在OB 上，点F 在弧AB 上，则阴影部分的面积为____________．分析：割补法例4.如图，以△ABC 的边AC 为直径的半圆交AB 于D ，三边长a ，b ，c 能使二次函数)(21+)+(21=2a c bx x a c y 的顶点在x 轴上，且a 是方程z 2+z-20=0的一个根．（1）证明：∠ACB=90°；（2）若设b=2x ，弓形面积S 弓形AED =S 1，阴影部分面积为S 2，求（S 2-S 1）与x 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当b 为何值时，（S 2-S 1）最大？习题练习：AB CD第1题1.如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D相互外离，它们的半径都是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD，则图中四个扇形（阴影部分）的面积之和等于__________．（结果保留π）．第2题第3题第4题2.如图，扇形AOB的圆心角为直角，若OA＝4，以AB为直径作半圆，阴影部分的面积_________。

圆的基本性质巩固提升培优

圆的基本性质巩固提升培优一、圆心角与圆周角定理的综合运用二、利用圆周角定理解动点问题已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是弧ABC的中点．（1）如图1，求证：OP∥BC；（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数.已知：如图，⊙O的两条半径OA⊥OB，C，D是AB 的三等分点，OC，OD分别与AB相交于点E，F．求证：CD=AE=BF．三、圆中最值问题求解几何模型：条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB 的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是______；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）（3）如图3，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，求PA+PC的最小值．阅读材料：如图1，若点P是⊙O外的一点，线段PO交⊙O于点A，则PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．证明：延长PO交⊙O于点B，显然PB＞PA．如图2，在⊙O上任取一点C（与点A，B不重合），连结PC，OC．∵PO＜PC+OC，且PO=PA+OA，OA=OC，∴PA＜PC∴PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差．请用上述真命题解决下列问题．（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是CD 上的一个动点，连接AP，则AP长的最小值是．（2）如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，①求线段A’M的长度；②求线段A′C长的最小值．如图，△ABC中，∠BAC=60°，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，2，求出EF最小值．连接EF．（1）若AD=4，求EF的长；（2）若，∠ABC=45°，AB=2如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB 的度数为______．如图，已知ABCD是圆O的内接四边形，AB=BD，BM⊥AC于M，求证：AM=DC+CM．将正六边形纸片按下列要求分割（每次分割，纸片均不得有剩余）；第一次分割：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中的一个菱形在分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；第二次分割：将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中的一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；按上述分割方法进行下去……（1）请你在图中画出第一次分割的示意图；若原正六边形的面积为a，请你通过操作和观察，将第1次，第2次，第3次分割后所得的正六边形的面积填入下表：（3）观察所填表格，并结合操作，请你猜想：分割后所得的正六边形的面积S与分割次数n 有何关系？（S用含a和n的代数式表示，不需要写出推理过程）平面图形中滚动问题：1.如图，在扇形纸片AOB中，OA=10，∠AOB=36°，OB在桌面内的直线l上．现将此扇形沿l 按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为_______2.如图1，是用边长为2cm的正方形和边长为2cm正三角形硬纸片拼成的五边形ABCDE．在桌面上由图1起始位置将图片沿直线l不滑行地翻滚，翻滚一周后到图2的位置．则由点A到点A4所走路径的长度为_________3.已知一个圆心角为270°扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，半圆的直径为6m，则圆心O所经过的路线长是___________m．（结果保留π）4.一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是平行的，且水平，BC与水平面的夹角为60°，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，请你作出该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度．5.按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为______，经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为________．例1、如图ABC 是⊙O 的一条折弦，BC>AB ，D 是ABC 弧的中点，DE ⊥BC ，垂足为E.求证：CE ＝BE ＋AB.例2、如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AC=BC ，D 为⊙O 中上一点，延长DA 至点E ，使CE=CD ，（1）求证：AE=BD （2）若AC ⊥BC ，求证，AD+BD=CD 2例3、如图，在半径为2的扇形中，∠，点是弧上的一个动点（不与点、重合）⊥，⊥，垂足分别为、．（1）当时，求线段的长；（2）在△中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设，△面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量取值范围．AOB =90AOB o C AB A B OD BC OE AC D E =1BC OD DOE =BD x DOE y y x例4、如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线233y x bx c =-++过A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO =∠POB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．。

人教版九年级数学上册圆的有关性质培优训练(含答案)

人教版九年级数学 24.1 圆的有关性质培优训练一、选择题（本大题共8道小题）1. 如图，在⊙O 中，∠ABC ＝50°，则∠AOC等于( )A. 50°B. 80°C. 90°D. 100°2. 如图，已知直径MN ⊥弦AB ，垂足为C ，有下列结论：①AC ＝BC ；②AN ︵＝BN ︵；③AM ︵＝BM ︵；④AM ＝BM .其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．43. 2019·葫芦岛如图，在⊙O 中，∠BAC ＝15°，∠ADC ＝20°，则∠ABO 的度数为( )A ．70°B ．55°D ．35°4. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不成立．．．的是( )A ．∠COE ＝∠DOEB ．CE ＝DEC ．OE ＝BED.BD ︵＝BC ︵5. 如图，A 、D 是⊙O上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝32°，则∠OAC 等于( )A . 64°B . 58°C . 72°D . 55°6. 如图所示，M是⊙O 上的任意一点，则下列结论中正确的有( )①以M 为端点的弦只有一条；②以M 为端点的半径只有一条；③以M 为端点的直径只有一条；④以M 为端点的弧只有一条．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是(2，a)(a ＞2)，半径为2，函数y ＝x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为2 3，则a 的值是( )A ．2B ．2＋ 2C ．2 3D ．2＋38. 如图，△ABC 的内心为I ，连接AI 并延长交△ABC 的外接圆于点D ，则线段DI 与DB 的关系是( )A．DI＝DB B．DI＞DBC．DI＜DB D．不确定二、填空题（本大题共8道小题）9. 如图所示，OB，OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点．若∠B＝20°，∠C＝30°，则∠A＝________°.10. 如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝________°.11. 如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB＝23，连接OC，过点C 作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________．12. 2018·曲靖如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝n°，则∠DCE＝________°.13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为弧BD的中点．若∠DAB＝40°，则∠ABC＝________°.14. 如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C＝25°，则∠D＝________°.15. 如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M(0，－4)，N(0，－10)，则圆心P的坐标为________．16. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P在以点C为圆心，5为半径的圆上，连接PA，PB.若PB＝4，则PA的长为________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在AB ︵上，连接AE ，CE ，BE. (1)求证：EC 平分∠AEB ；(2)连接BC ，若BC ∥AE ，且CG ＝4，AB ＝6，求BE 的长．18. 如图，AB ，CD为⊙O 的两条直径，M ，N 分别为OA ，OB 的中点．(1)求证：四边形CMDN 为平行四边形；(2)四边形CMDN 能是菱形吗？若能，请你直接写出需要添加的条件．19. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 为BD ︵的中点，CF 为⊙O 的弦，且CF ⊥AB ，垂足为E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF. (1)求证：△BFG ≌△CDG ； (2)若AD ＝BE ＝2，求BF 的长．20. 如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，点D 为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E.射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G.设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ.数据(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似．．α30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明；(2)若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．人教版九年级数学24.1 圆的有关性质培优训练-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】D 【解析】同一条弧所对的圆周角是圆心角的一半，即∠ABC＝1 2∠AOC，∴∠AOC＝2∠ABC＝100°.2. 【答案】D3. 【答案】B4. 【答案】C5. 【答案】B【解析】∵∠D与∠AOC同对弧AC，∴∠AOC＝2∠D＝2×32°＝64°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，在△OAC中，根据三角形内角和为180°，可得∠OAC＝12(180°－∠AOC)＝12×(180°－64°)＝58°.6. 【答案】B [解析] 从圆上任意选一点，与点M连接，可以得到圆的一条弦，因此以M为端点的弦有无数条，以M为端点的半径为OM，以M为端点的直径只有一条，以M为端点的弧有无数条．故②③正确．7. 【答案】B [解析] 如图，连接PB，过点P作PC⊥AB于点C，过点P作横轴的垂线，垂足为E，交AB于点D，则PB＝2，BC＝ 3.在Rt△PBC中，由勾股定理得PC＝1.∵直线y＝x平分第一象限的夹角，∴△PCD和△DEO都是等腰直角三角形，∴PD＝2，DE＝OE ＝2，∴a＝PE＝2＋ 2.故选B.8. 【答案】A [解析] 连接BI，如图．∵△ABC的内心为I，∴∠1＝∠2，∠5＝∠6.∵∠3＝∠1，∴∠3＝∠2.∵∠4＝∠2＋∠6，∠DBI＝∠3＋∠5，∴∠4＝∠DBI，∴DI＝DB.故选A.二、填空题（本大题共8道小题）9. 【答案】50 [解析] 连接OA，则OA＝OB，OA＝OC，∴∠OAB ＝∠B ，∠OAC ＝∠C ，∴∠BAC ＝∠OAB ＋∠OAC ＝∠B ＋∠C ＝20°＋30°＝50°.10. 【答案】215 [解析] 连接CE ，则∠B ＋∠AEC ＝180°，∠DEC ＝∠CAD ＝35°，∴∠B ＋∠AED ＝(∠B ＋∠AEC)＋∠DEC ＝180°＋35°＝215°.11. 【答案】3 [解析] 如图，连接OD ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝BH ＝12AB ＝3.∵CD ⊥OC ，∴CD ＝OD 2－OC 2.∵OD 为⊙O 的半径，∴当OC 最小时，CD 最大．当点C 运动到点H 时，OC 最小，此时CD ＝BH ＝3，即CD 的最大值为3.12. 【答案】n13. 【答案】70 [解析] 如图，连接AC.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵C 为弧BD 的中点，∴∠CAB ＝12∠DAB ＝20°，∴∠ABC ＝70°.14. 【答案】65 [解析] ∵∠C ＝25°，∴∠A ＝∠C ＝25°.∵⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ， ∴AB ⊥CD ，∴∠AED ＝90°， ∴∠D ＝90°－25°＝65°.15. 【答案】(－4，－7) [解析] 过点P 作PH ⊥MN 于点H ，连接PM ，则MH ＝12MN ＝3，OH ＝OM ＋MH ＝7.由勾股定理，得PH ＝4，∴圆心P 的坐标为(－4，－7)．16. 【答案】3或73 [解析] 如图，连接CP ，PB 的延长线交⊙C 于点P ′.∵PC ＝5，BC ＝3，PB ＝4， ∴BC2＋PB2＝PC2，∴△CPB 为直角三角形，且∠CBP ＝90°，即CB ⊥PB ，∴PB ＝P ′B ＝4. ∵∠ACB ＝90°，∴PB ∥AC. 又∵PB ＝AC ＝4，∴四边形ACBP 为平行四边形．又∵∠ACB ＝90°，∴▱ACBP 为矩形， ∴PA ＝BC ＝3.在Rt △APP ′中，∵PA ＝3，PP ′＝8， ∴P ′A ＝82＋32＝73.综上所述，PA 的长为3或73.三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：(1)证明：∵CD ⊥AB ，CD 是⊙O 的直径，∴AC ︵＝BC ︵，∴∠AEC ＝∠BEC ，∴EC 平分∠AEB.(2)∵CD ⊥AB ，∴BG ＝AG ＝12AB ＝3，∠BGC ＝90°. 在Rt △BGC 中，∵CG ＝4，BG ＝3，∴BC ＝5.∵BC ∥AE ，∴∠AEC ＝∠BCE.又∵∠AEC ＝∠BEC ，∴∠BCE ＝∠BEC ，∴BE ＝BC ＝5.18. 【答案】解：(1)证明：∵M ，N 分别为OA ，OB 的中点，∴OM ＝12OA ，ON ＝12OB . 又∵OA ＝OB ，∴OM ＝ON .又∵OC ＝OD ，∴四边形CMDN 为平行四边形．(2)四边形CMDN 能是菱形．需要添加条件：CD ⊥AB .19. 【答案】解：(1)证明：∵C 为BD ︵的中点，∴CD ︵＝BC ︵.∵AB 是⊙O 的直径，且CF ⊥AB ，∴BC ︵＝BF ︵，∴CD ︵＝BF ︵，∴CD ＝BF.在△BFG 和△CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠CDG ，∠FGB ＝∠DGC ，BF ＝CD ，∴△BFG ≌△CDG(AAS)．(2)解法一：如图①，连接OF.设⊙O 的半径为r.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.在Rt △ADB 中，BD2＝AB2－AD2，即BD2＝(2r)2－22.在Rt △OEF 中，OF2＝OE2＋EF2，即EF2＝r2－(r －2)2.由(1)知CD ︵＝BC ︵＝BF ︵，∴BD ︵＝CF ︵，∴BD ＝CF ，∴BD2＝CF2＝(2EF)2＝4EF2，即(2r)2－22＝4[r2－(r －2)2]，解得r ＝1(不合题意，舍去)或r ＝3，∴BF2＝EF2＋BE2＝32－(3－2)2＋22＝12，∴BF ＝2 3.解法二：如图②，连接OC ，交BD 于点H.∵C 是BD ︵的中点，∴OC ⊥BD ，∴DH ＝BH.∵OA ＝OB ，∴OH ＝12AD ＝1. ∵∠COE ＝∠BOH ，∠OEC ＝∠OHB ＝90°，OC ＝OB ，∴△COE ≌△BOH(AAS)，∴OE ＝OH ＝1，∴OC ＝OB ＝OE ＋BE ＝3.∵CF ⊥AB ，∴CE ＝EF ＝OC2－OE2＝32－12＝2 2，∴BF＝BE2＋EF2＝22＋（2 2）2＝2 3.20. 【答案】【思维教练】(1)观察表格可猜想β＝90°＋α，γ＝180°－α.连接BG，由直径所对的圆周角为90°和圆内接四边形的对角和为180°即可得出β＝90°＋α；由题干条件易知△EBD≌△EGD，∠EBC＝∠ECB，再由三角形的外角和定理和β＝90°＋α，利用角度之间的转化即可得出结论；(2)由(1)的结论可以得出α＝∠BAG＝45°，β＝∠ACB＝135°，∴∠ECB＝45°，∠CEB＝90°，△ECD、△BEC、△ABG都是等腰直角三角形，由CD的长，可得出BE和CE的长，再由题干条件△ABE的面积是△ABC的面积的4倍可得出AC的长，利用勾股定理在△ABE中求出AB的长，再利用勾股定理在△ABG求出AG的长，即可求出半径长．①(1)①β＝90°＋α，γ＝180°－α证明：如解图①，连接BG，∵AG是⊙O的直径，∴∠ABG＝90°，∴α＋∠BGA＝90°，(1分)又∵四边形ACBG内接于⊙O，∴β＋∠BGA＝180°，∴β－α＝90°，即β＝90°＋α；(3分)②∵D是BC的中点，且DE⊥BC，∴△EBD≌△ECD，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EAG＋∠EBA＝γ，∴∠EAB＋α＋∠EBC＋∠CBA＝γ，∵∠EAB＋∠CBA＝∠ECB，∴2∠ECB＋α＝γ，(4分)∴2(180°－β)＋α＝γ，由①β＝90°＋α代入后化简得，γ＝180°－α；(6分)(2)如解图②，连接BG，②∵γ＝135°，γ＝180°－α，∴α＝45°，β＝135°，∴∠AGB＝∠ECB＝45°，(8分)∴△ECD和△ABG都是等腰直角三角形，又∵△ABE的面积是△ABC的面积的4倍，∴AE＝4AC，∴EC＝3AC，(9分)∵CD＝3，∴CE＝32，AC＝2，∴AE＝42，(10分)∵∠BEA＝90°，∴由勾股定理得，AB＝BE2＋AE2＝（32）2＋（42）2＝50＝52，(11分)∴AG＝2AB＝2×52＝10，∴r＝5.(12分)。

圆有关的性质同步培优卷(含答案)

2018年九年级数学上册圆-与圆有关的性质同步培优卷一、选择题:1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=42°，则∠A的度数是（）A．42°B．48°C．52°D．58°2.如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A．150°B．120°C．100°D．130°3.如图，A．B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．55°4.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜55.如图，⊙O的圆心角∠BOC=112°，点D在弦BA的延长线上且AD=AC，则∠D的度数为（）A．28°B．56°C．30°D．41°6.如图，AC是⊙O的直径，∠BAC=20°，P是弧AB的中点，则∠PAB等于（）A．35°B．40°C．60°D．70°7.AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ABD=42°，则∠BCD的度数是( )A．122°B．128°C．132°D．138°8.如图,Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,B点与0刻度线的一端重合,∠ABC=40°,射线CD绕点C转动,与量角器外沿交于点D,若射线CD将△ABC分割出以BC 为边的等腰三角形,则点D在量角器上对应的度数是（）A．40°B．70°C．70°或80°D．80°或140°9.如图,⊙O的半径为2,点A为⊙O上一点,半径OD⊥弦BC于D,如果∠BAC=60°,那么OD的长是（）A．2 B．C．1 D．10.如图,弦CD垂直于⊙O的直径AB,垂足为H,且CD=，BD=，则AB的长为（）A．2 B．3 C．4 D．511.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A．2B．8 C．2D．212.如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A．B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是（）A．2B．4 C．4D．8二、填空题:13.如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，若∠BAC=42°，则∠ADC=______°．14.如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧ABC上，AB=8，BC=3，则DP= ．15.如图，已知平行四边形ABCD的顶点A．D、C在⊙O上，顶点B在⊙O的直径AE上，连接DE，若∠E=32°，则∠C= ．16.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于 m．17.AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB=2，则线段BQ的长为．18.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为．三、解答题:19.已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠A=22.5°，CD=8cm，求⊙O的半径．20.如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别是点M、N， BA．DC的延长线交于点P．求证：PA=PC.21.如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD。

中考数学培优(含解析)之与圆有关的概念

与圆有关的概念聚焦考点☆温习理解1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AB）3.直径经过圆心的弦叫做直径。

（如图中的CD）直径等于半径的2倍。

4.半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

5.弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）5、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

6、圆的对称性 1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

7、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。

名师点睛☆典例分类※考向一：圆的相关概念和性质典例1：（2018·舟山）如图，量角器的O 度刻度线为AB ．将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A 、D ，量得AD ＝10cm ，点D 在量角器上的读数为60°．则该直尺的宽度为 cm ．B※考向二：垂径定理及运用典例2：（2017·十堰）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝90°，∠ACB 的角平分线交⊙O 于D ．若AC ＝6，BD ＝25，求BC 的长．※考向三：圆周角定理及运用典例3：（2018·龙东）如图，AC 为⊙O 的直径，点B 在圆上，O D ⊥AC 交⊙O 于点D ，连接BD ，∠BD O ＝15°，则∠ACB ＝____．典例4：（2015•安徽）在⊙O 中，直径AB=6，BC 是弦，∠ABC=30°，点P 在BC 上，点Q 在⊙O 上，且OP ⊥PQ ．（1）如图1，当PQ ∥AB 时，求PQ 的长度；（2）如图2，当点P 在BC 上移动时，求PQ 长的最大值．※考向四：圆心角、弧、弦之间的关系典例4：(2017·东营)如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，D 为半圆上一点，AC ∥OD ，AD 与OC 交于点E ，连结CD 、BD ，给出以下三个结论：①OD 平分∠COB ；②BD=CD ；③CD2=CE•CO ，其中正确结论的序号是．典例5：（（2015•雅安）如图所示，MN 是⊙O 的直径，作AB ⊥MN ，垂足为点D ，连接AM ，AN ，点C 为上一点，且=，连接CM ，交AB 于点E ，交AN 于点F ，现给出以下结论：①AD=BD ；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB ；⑤AE=21MF ．其中正确结论的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5※考向五：圆的有关性质与三角形、四边形等综合运用典例6：（2016·武汉）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，AD 交⊙O 于点E ． (1) 求证：AC 平分∠DAB ；(2) 连接BE 交AC 于点F ，若cos ∠CAD ＝54，求FCAF的值．课时作业☆能力提升一．选择题1 ．（2018·咸宁）如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB ，∠COD ，若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD ＝6，则弦AB 的长为（）A ．6B ．8C ．5 2D ．5 32．（2018·菏泽）如图，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC ＝32°，则∠OBA 的度数是（） A ．64° B ．58° C ．32° D ．26°3．(2018·湖州)尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣；①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连接OG.问：OG 的长是多少？大臣给出的正确答案应是( )A B．(1＋)r C．(1＋)r D r 4．(2017·阿坝州)如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB 的长为( )A．2cm B．3cm C．52cm D．32cm 5．（2018·烟台）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E 在AD的延长线上，则∠CDE 的度数为（）A．56°B．62°C．68°D．78°BAEA BCDO6．（2018·枣庄）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6， ∠APC ＝30°，则CD 的长为（）AB ．C ．D ．87 （2018·荆州）如图，平面直角坐标系中，⊙P 经过三点A （8，0），O （0，0），B （0，6），点D 是⊙P 上一动点.当点D 到弦OB 的距离最大时，tan ∠BOD 的值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝5cm .能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形片的直径是 cm ．B A9．（2017·海南）如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB ＝45°，若点M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则MN 长的最大值是．10．（2018·益阳）如图，在△ABC 中，AB=5,AC=4,BC=3,按以下步骤作图：①以A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB,AC 于点M,N ；②分别以M,N 为圆心，以大于21MN 的长为半径作弧，两弧相交于点E ；③作射线AE ；④以同样的方法作射线BF.AE 交BF 于点O ，连接OC,则OC=三、解答题11． (2018·定西)如图，点O 是△ABC 的边AB 上一点，⊙O 与边AC 相切于点E ，与边BC ，AB 分别相交于点D ，F ，且DE ＝EF ．（1）求证：∠C ＝90°；（2）当BC ＝3，sinA ＝53时，求AF 的长．12．（2018·昆明）如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点C ，AD 交⊙O 于点F ，AC 平分∠BAD ，连接BF ．（1）求证：AD ⊥ED ；（2）若CD ＝4，AF ＝2，求⊙O 的半径．E13．（2017·台州）如图，已知等腰直角三角形ABC ，点P 是斜边BC 上一点（不与B ，C 重合），PE 是△ABP 的外接圆⊙O 的直径．（1）求证：△APE 是等腰直角三角形；（2）若⊙O 的直径为2，求22PB PC 的值．14．（2018·福建）如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，DE⊥AB，垂足为E，交⊙O于点F．(1)延长DE交⊙O于点F，、延长DC、FB交于点P，求证：PB＝PC；(2) 如图2，过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H．且点O和点A都在DE的左侧，，DH＝1，∠OHD＝80°，求∠BDE的大小．若AB＝315．（2017·深圳）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是CBD上任意一点，AH=2，CH=4．（1）求⊙O的半径r的长度；（2）求sin∠CMD；（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF 的值．16．（2018·哈尔滨）已知:⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E在弧AB上，连接BE、DE，点F 在弧AD 上，连接BF 、DF 、BF 与DE 、DA 分别交于点G 、点H ，且DA 平分∠EDF ． (1)如图1，求证:∠CBE ＝∠DHG ;(2)如图2，在线段AH 上取一点N (点N 不与点A 、点H 重合)，连接BN 交DE 于点L ，过点H 作HK //BN 交DE 于点K ，过点E 作EP ⊥BN ，垂足为点P ，当BP ＝HF 时，求证:BE ＝HK ; (3)如图3，在(2)的条件下，当3HF ＝2DF 时，延长EP 交⊙O 于点R ，连接BR ，若△BER 的面积与△DHK 的面积的差为47，求线段BR 的长．图1 图2 图3与圆有关的概念聚焦考点☆温习理解1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

人教版九年级数学上册 24.1 圆的概念和性质培优专题精练(含答案)

24.1 圆的概念及性质专题精练备注：安装MathType （数学公式编辑器）软件后，数学符号才能正常显示。

【例1】已知AD 是O ⊙的直经，AB AC 、是弦，若2AD AB AC =，A B C D ，，，四点构成的四边形的周长．【解析】⑴ 如图1，弦AB AC 、在直径AD 的异侧，连结BD CD 、． ∵AD 是直径，∴90B C ∠=∠=︒，在Rt ABD ∆中，222BD AD AB =-，则1BD ==，在Rt ACD ∆中，222CD AD AC =-，则CD ==∴四边形周长为11AB BD CD AC +++． ⑵ 如图2，弦AB AC 、在直径AD 的同侧，连结CB BD CD 、、，过C 点作CE AB ⊥于E ．∵AD 是直径，∴90ACD ABD ∠=∠=︒在Rt ABD ∆中，222BD AD AB =-，则1BD ==，在Rt ACD ∆中，222CD AD AC =-，则CD ==∴AC CD =，∴45CAD CDA ∠=∠=︒，∴45ABC ADC ∠=∠=︒， ∵CE AB ⊥，∴90CEB ∠=︒，∴45ECB ∠=︒，∴CE EB =．设CE EB x==，则AE x ，在Rt ACE ∆中，222AE CE AC +=，即)222x x+=，整理得2210x -+=，解得x ∵CE AE <，∴CE =，∴BC =，∴四边形周长123AC CB BD AD ++++=．图1图2【答案】1+3．【巩固】已知：如图，面积为2的四边形ABCD 内接于O ⊙，对角线AC 经过圆心，若45BAD ∠=︒，CD AB 的长等于．【例2】如图，四边形ABCD 为正方形，O 过正方形的顶点A 和对角线的交点P ，分别交AB AD ，于点F E ，．（1）求证：DE AF = （2）若O，1AB ，求AEED的值．【答案】（1）如图，连接PE PF EF ，，．因为90EAF ∠=︒，所以EF 为O 的直径．于是，90FPE ∠=︒．又90APD ∠=︒，所以，EPD APF ∠=∠．显然，PD PA =，45PAF PDE ∠=∠=︒．因此，PDE PAF △≌△．故DE AF =．（2）因为DE AF =，所以1AE AF AD +==．又222AE AF EF +=，即()223AE AF AE AF +-⋅=．故AE AF ⋅=AE AF ，是一元二次方程)210x x -=的两个根．解得AE ，1AF =或1AE =，AF ．所以AEED=2．【例3】在同圆中，CD 的度数小于180︒，且2A B C D =，那么弦AB 和弦CD 的大小关系为（）A ．AB CD > B ．AB CD =C ．AB CD < D ．无法确定【解析】D ．如图当CD 的度数为120︒时，AB CD =；当CD 的度数大于120︒时，AB CD <，当CD 的度数小于120︒时，CD AB <．【答案】D【巩固】如图所示在O ⊙中，2AB CD =，那么（）A.2AB CD >B.2A B C D <C.2AB CD =D.AB 与2CD 的大小关系不能确定【解析】如图所示，作DE CD =，则2CE CD =，∵在CDE ∆中CD DE CE +>，∴2CD CE >， ∵2AB CD =，∴AB CE >，∴AB CE >，即2AB CD >．故选A ．【答案】A【例4】已知AB AC 、是O ⊙的弦，AD 平分BAC ∠交O ⊙于D ，弦DE AB ∥交AC 于P ，求证：OP 平分APD ∠．【答案】过O 点分别作OF AC OG DE ⊥⊥，，垂足分别为F G 、． ∵DE AB ∥，∴BAD D ∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠，∴CAD D ∠=∠， ∴AE CD =，∴AE EC CD EC +=+，即AC DE = ∴AC DE =，∵OF AC OG DE ⊥⊥，，∴OF OG =， ∴点O 在APD ∠的平分线上，即OP 平分APD ∠．【巩固】如图，过O ⊙的直径AB 上两点M N ，，分别作弦CD EF ，，若(C)A(C)(C)CD EF AC BF =，∥．求证：⑴ BEC ADF =；⑵AM BN =．【答案】⑴∵AC BF =，∴AC BF =，∵AB 是直径，∴AEB ADB =，∴AEB AC ADB BF -=-，即BEC ADF =． ⑵可知CAM FBN ∠=∠，∵CD EF ∥，∴CMA DMB FNB ∠=∠=∠，又AC BF =，∴ACM BFN ∆∆≌，∴AM BN =．【例5】已知点A 、B 、C 、D 顺次在O ⊙上，AB BD =，BM AC ⊥于点M ，求证：AM DC CM =+．【解析】证法一：如图a ，作BN DC ⊥交DC 延长线于N ，先证Rt Rt ABM DBN ∆∆≌，得AM DN =，BM BN =．再由Rt Rt BMC BNC ∆∆≌，得CM CN =，故AM MC CD =+ 证法二：如图b ，延长AC 至N ，使MN MA =，而BM AC ⊥，则BN BA BD ==，得BDN BND ∠=∠，且BAM BNM ∠=∠，而BAC BDC ∠=∠，故CDN CND ∠=∠，则CD CN =，最后可证得：AM MC CD =+．证法三：如图c ，利用对称性把条件转移，仍用”接”的办法证明．在AB 上取一点'C ，使'AC CD =．则'AC CD =．过B 作'BN AC ⊥交'AC 延长线于N ，先证明Rt Rt ABM ABN ∆∆≌，则AM AN =，且BM BN =．再证明Rt Rt 'BMC BNC ∆∆≌，则'C N CM =，故有AM MC CD =+ 证法四：如图d ，在AM 上截取AE DC =，则易证BAE BDC ∆∆≌，得BC BE =，BEA BCD ∠=∠，而180BEA BEC ∠+∠=︒，180BCD BAD ∠+∠=︒，BAD BDA BCA ∠=∠=∠，故BEC BCE ∠=∠，得CM EM =，即AM MC CD =+d cb a本题可将条件”BA BD =“改换成”CB 平分ACD ∆的外角，交O ⊙于B “其结论仍成立．【答案】见解析【巩固】在ABC ∆中，AC BC >，M 是它的外接圆上包含点C 的弧AB 的中点，AC 上的点X 使得MX AC ⊥，求证：AX XC CB =+．【解析】解法一：如图，在XA 上取一点D ，使得XD XC =，连接MA MB MC MD 、、、，由XC XD =，XM CD ⊥ ∴MD MC =，又∵M 是圆上包含点C 的弧AB 的中点， ∴MA MB =，又∵MBC MAD ∠=∠， ∴MAD MBC ∆∆≌， ∴AD BC =，∵AX AD DX =+，∴AX XC BC =+．解法二：如图，过M 点作ME BC ⊥交BC 延长线于E ，连结MA MB MC 、、， ∵M 是圆上包含点C 的弧AB 的中点， ∴MA MB =， ∵MX AC ME BC ⊥⊥，， ∴90AXM BEM ∠=∠=︒，又∵MAX MBE ∠=∠，∴AMX BME ∆∆≌， ∴MX ME AX BE ==，．∵MCE MAB MBA MCA ∠=∠=∠=∠， ∴MCX MCE ∆∆≌， ∴CX CE =，∴AX BE BC CE BC CX ==+=+．(类似此方法还可以”延长BC 到E ，使CE CX =，连结ME “) 解法三：如图，延长AC 到F ，使FX AX =，连结MA MB MC MF 、、、， ∵M 是圆上包含点C 的弧AB 的中点， ∴MA MB =，MAB MBA ∠=∠，∵MX AC AX FX ⊥=，， ∴MA MF =，∴MB MF =，M AF M FA ∠=∠，∵MAC MBC ∠=∠，∴MBC MFC ∠=∠，∵MCA MFC CMF ∠=∠+∠，MCA MBA MAB ∠=∠=∠， ∴MAB MFC CMF ∠=∠+∠， ∵BAC BMC CBM CAM ∠=∠∠=∠，，∴MAB BAC CAM BMC CBM ∠=∠+∠=∠+∠， ∴MFC CMF BMC CBM ∠+∠=∠+∠， ∴BMC CMF ∠=∠，∴MBC MFC ∆∆≌，∴CF BC =， ∴AX FX XC CF XC BC ==+=+．【例6】如图，ABC ∆是O ⊙的内接三角形，AC BC =，D 为O ⊙中AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD 、是关于x 的方程()22123412904x m x m m --+-+=的两根．⑴ 求证：AE BD =；⑵若AC BC ⊥，求证：AD BD +．【答案】⑴∵AC BC =，∴AC BC =，∴BAC ABC ADC CDB ∠=∠=∠=∠，∵CE CD 、是关于x 的方程()22123412904x m x m m --+-+=的两根，又此方程()()221234412904m m m ∆=--⨯-+=，∴CE CD =，∴E CDE ∠=∠，∴等腰CDE ∆和等腰ABC ∆的底角相等，则它们的顶角DCE ACB ∠=∠， ∴ECA DCB ∠=∠， ∴ACE BCD ∆∆≌，∴AE BD =．⑵∵AC BC ⊥，∴90ACB ∠=︒，由⑴可知90ECD ∠=︒，又由⑴AE BD =可知：DE AD BD =+，在CDE ∆中，90DCE CE CD ∠=︒=，，∴DE =，即AD BD +．【巩固】如图，四边形ABCD 内接于圆，AB AD =，且其对角线交于点E ，点F 在线段AC上，使得BFC BAD ∠=∠．若2BAD DFC ∠=∠，求BEDE的值．【解析】由AB AD =，知ABD ADB θ∠=∠=．图 4F EDC BA由等弧对等圆周角知ACD ACB θ∠=∠=．令DFC ϕ∠=．则2BAD BFC ϕ∠=∠=．故ABD ADB BAD ∠+∠+∠2180θθϕ=++=︒．于是，90θϕ+=︒，90CDF ∠=︒．另一方面，由1802FBC FCB θϕθ∠=︒--==∠． FB FC ⇒=设边BC 的中点为M ，联结FM ．易知FCD BCM ∆∆≌，由角平分线定理得2BE BCDE CD==．【答案】2。

圆形练习题(培优训练)

圆形练习题(培优训练)
概述
本文档将介绍圆形练题，它是培优训练中的一种重要工具。

圆形练题旨在提升学生在几何学知识领域的能力，并帮助他们更好地理解和运用圆的相关概念和性质。

目标
- 增强学生对圆的认知和理解。

- 培养学生解决与圆相关问题的能力。

- 提高学生的几何学思维和分析能力。

内容
圆形练题的内容包括以下几个方面：
1. 圆的基本概念
通过练题，学生将研究并巩固圆的基本概念，如圆心、半径、直径、弦、弧等。

练题将要求学生辨认圆的各个要素，并运用它们解决问题。

2. 圆的性质和定理
通过各种练题，学生将熟悉常见的圆的性质和定理，如圆的切线与弦的关系、相交圆的性质、幂定理等。

练题将要求学生运用这些性质和定理解决实际问题。

3. 圆的相关计算
练题中将涉及圆的相关计算，如圆的周长和面积计算、扇形面积计算等。

学生需要掌握相应的计算方法，并能够应用于实际问题中。

4. 圆的几何推理
练题将提供一些几何推理的问题，要求学生基于给定的条件进行推理和证明。

这将培养学生的逻辑思维和证明能力，并帮助他们更深入地理解圆的性质和定理。

总结
圆形练题作为培优训练的一部分，可以提高学生的几何学能力和解决问题的能力。

通过练题的研究，学生将更加熟悉圆的相关概念和性质，并能够灵活运用于实际问题中。

这将为学生的数学研究打下坚实的基础。

以上为圆形练习题(培优训练)的简要介绍。

初三圆的有关概念和性质、练习

圆的有关概念和性质（1）圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．（推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．）③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角； 90度的圆周角所对的弦是直径．）④三角形的内心和外心ⓐ：确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心（3）与圆有关的角（a）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

圆心角的度数等于它所对的弧的、度数．（b）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．（c）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角一半．（d）圆内接四边形：顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．知识点复习：1．在同圆或等圆中，如果在两条弦、两条弧、两个圆心角中有_____组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

2. 垂径定理：垂直于弦的直径_____________这条弦，并且平分弦所对的两条_______。

初中数学专题训练：圆的有关概念和性质(附参考答案)

初中数学专题训练：圆的有关概念和性质（附参考答案）1．如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10 cm，AB＝16 cm.若从目前太阳所处的位置到太阳完全跳出海平面的时间为16 min，则“图上”太阳升起的速度为( )A．1.0 cm/min B．0.8 cm/minC．1.2 cm/min D．1.4 cm/min2．如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC⏜的度数是( )＝80°，则BDA．30°B．25°C．20°D．10°3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O 作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G.若DE＝3，EG＝2，则AB的长为( )A．4√3B．7C．8 D．4√54．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为( )C．105°D．110°5．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为( )A．2√3B．3√2C．2√5D．√5⏜的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB 6．如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为AB等于( )A．140°B．120°C．110°D．70°7．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径．若∠B＝20°，则∠CAD的度数是( )A．60°B．65°C．70°D．75°8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点(点P不与点A，D重合)连接CP.若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为( )A．30°B．45°9．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD.则∠CBD的度数是( )A．25°B．30°C．35°D．40°10．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若A(2，0)，D(4，0)，以O为圆心，以OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是( )A．15°B．22.5°C．30°D．45°11．往水平放置的半径为13 cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示．若水面宽度AB＝24 cm，则水的最大深度为( )A．5 cm B．8 cmC．10 cm D．12 cm12．如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝( )A．23°B．24° C．25°D．26°13．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2√3，BC＝3，点P为△ABC 内一点，且满足PA2＋PC2＝AC2.当PB的长度最小时，△ACP的面积是( )A．3 B．3√3C．3√34D．3√3214．如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为________．15．如图所示，点A，B，C是⊙O上不同的三点，点O在△ABC的内部，连接BO，CO，并延长线段BO交线段AC于点D.若∠A＝60°，∠OCD＝40°，则∠ODC＝______°.16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC＝______．17．小明很喜欢钻研问题，一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片(如图所示)让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB ，量得AB⏜的中心C 到AB 的距离CD ＝1.6 cm ，AB ＝6.4 cm ，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为_____cm.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝√33x ＋2√33与⊙O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB 的长为_______.19．如图，在⊙O 中，两条互相垂直的弦AB ，CD 交于点E .(1)M 是CD 的中点，OM ＝3，CD ＝12，求⊙O 的半径长； (2)点F 在CD 上，且CE ＝EF ，求证：AF ⊥BD .20．如图，已知AC 为⊙O 的直径，直线PA 与⊙O 相切于点A ，直线PD 经过⊙O 上的点B 且∠CBD ＝∠CAB ，连接OP 交AB 于点M .求证： (1)PD 是⊙O 的切线； (2)AM 2＝OM ·PM .21．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以点O为圆心、3为半径的⊙O与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，P是边OA上的动点，则PC＋PD的最小值为_______.22．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC ＝∠ADB.(1)求证DB平分∠ADC，并求出∠BAD的大小；(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F.若AC＝AD，BF＝2，求此圆的半径长.参考答案1．A 2．C 3．B 4．D 5．D 6．A7．C 8．D 9．A 10．C11．B 12．D 13．D17． 4 18．2√314．45°15．80 16．29419．(1)⊙O的半径长为3√5(2)证明略20．(1)证明略(2)证明略21．2√1022．(1)证明略∠BAD＝90°(2)圆的半径长为4。

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第五章圆的有关概念和性质培优训练
1.如图，以半圆的一条弦BC( 非直径)为对称轴将BC 折叠后与直径AB 交于点 D ，若
AD DB =
2
3
，且AB ＝10，则CB 的长为( )
A ．4 5
B ．4 3 C．4 2 D．4
第1 题第2 题第4 题第5 题
2.如图，△ABC 内接于⊙O，D 为线段AB 的中点，延长OD 交⊙O 于点E，连接AE ，BE ，则下列五个结论：①AB ⊥DE ，②AE ＝BE ，③OD ＝DE ，④∠ AEO ＝∠ C ，⑤
AE =1
AEB ，正确结论的个数是( ) 2
A ．2
B ．3 C．4 D． 5
3．一个点到圆的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则此圆的半径为( )
A ．2.5cm
B ．2.5cm 或6.5cm
C．6.5cm D．5cm 或13cm
7
4.如图，半圆O 的直径AB ＝7，两弦AC 、BD 相交于点E，弦CD ＝
2
，且BD＝5，则
DE 等于( )
5 5
A ．2 2
B ．4 2 C．
3 D．2
5.如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，BC ∥QR，则∠AOQ ＝( )
A ．60°
B ．65°C．72°D．75°
6.如图，AB 为⊙O 的直径，点C、D 在⊙O 上，若∠AOD ＝30°，则∠BCD 的度数为
．
1
7.如图，⊙O 的半径为1cm ，弦AB 、CD 的长度分别为 2 cm，1cm，则弦AC 、BD 所夹的锐角a＝．
8.已知⊙O 的半径为10，弦AB 的长为10 3 ，点 C 在⊙O 上，且点 C 到弦AB 所在的直线的距离为5，则以O、A 、B 、C 为顶点的四边形的面积为．
9.一批游客乘坐游轮高出水面 6.6m ，顶宽10.2m，赵州桥拱高CD ＝7.2m，所在圆弧的半
径R＝27.9m，如图．
(1) 此游轮能否顺利通过该桥？
(2) 若在汛期河面涨高0.2m，此时该游轮是否可以通过赵州桥？河中水面至少涨高多少
时，该游轮不能通过？
10.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E，点P 在⊙O 上，∠1＝∠
C．求证：(1)CB ∥PD
(2)若BC＝3 ，sinP＝
3
5
，求⊙ O 的直径．
11.如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆圆周上一点，M 是AC 的中点，MN ⊥AB 于N，则有( )
A ．MN ＝1
AC B ．MN ＝
2
2
AC C．MN ＝
2
3 3
AC D．MN ＝AC
5 3
12.如图，MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN 的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA＋PB 的最小值为( )
2
A ．2 2
B ． 2 C．1 D．2
13.如图，AB 为⊙O 的直径，下面关于各角p、q、r、s 之间的关系式中正确的是( )
(1)p＝2q (2)q ＝r (3)p＋s＝180°
A ．只有(1) 和(2)
B ．只有(1)和(3)
C．只有(2)和(3) D．(1)(2) 和(3)
14.如图，若AD 、BE 为△ABC 的两条角平分线，I 为内心，若C，D，I，E 四点共圆，且DE ＝1，则ID ＝．
15.如图，AB 、AC 、AD 是圆中的三条弦，点 E 在边AD 上，且AB ＝AC ＝AE ，请你说明以下各式成立的理由．
(1) ∠CAD ＝2∠ DBE
(2)AD 2－AB 2＝BD ·DC
3
16.如图，在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB ，M 是OC 的中点，AM 的延长度交⊙O 于点E，DE 与BC 交于点N，
求证：BN ＝CN ．
17.如图，⊙O 的两条半径OA 与OB 互相垂直．C 为优弧AB 上的点，且BC2＝AB 2 ＋OB2，求∠OAC 的度数．
4
参考答案
1．A 2．B 3．B 4．C 5．D
6. 105°
7.75°
8. 50 3 9．(1)该游轮可以通过该桥．(2)游轮不能通过0.13m
3
10．(1)5 11．A 12. B 13. A 14.
15．略16．略
3
17．15°或75°
5。