2017年4月黄浦区中考数学二模试卷和答案
. .黄浦区2017年九年级学业考试模拟考数 学 试 卷 2017年4月（满分150分.考试时间100分钟）一、选择题：（本大题共6题.每题4分.满分24分）【下列各题的四个选项中.有且只有一个是正确的.选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．单项式324z xy 的次数是（ ）（A ）3；（B ）4；（C ）5；（D ）6．2．下列方程中无实数解的是（ ）（A ）02=+x ； （B ）02=-x ； （C ）02=x ； （D ）02=x． 3．下列各组数据中.平均数和中位数相等的是（ ）（A ）1,2,3,4,5；（B ）1,3,4,5,6； （C ）1,2,4,5,6； （D ）1,2,3,5,6．4．二次函数()322---=x y 图像的顶点坐标是（ ）（A ）（2,3）； （B ）（2,﹣3）；（C ）（﹣2,3）； （D ）（﹣2,﹣3）．5．以一个面积为1的三角形的三条中位线为三边的三角形的面积为（ ）（A ）4；（B ）2； （C ）41； （D ）21． 6．已知点A （4,0）.B （0,3）.如果⊙A 的半径为1.⊙B 的半径为6.则⊙A 与⊙B 的位置关系是（ ）（A ）内切； （B ）相交；（C ）外切；（D ）外离．二、填空题：（本大题共12题.每题4分.满分48分） 7．计算：()=32x ．8．因式分解：=-224y x ．9．不等式组⎩⎨⎧≥+<-01202x x 的解集是 ．10．方程222=-x 的解是 ．11．若关于x 的方程0322=+-k x x 有两个相等的实数根.则k 的值为 ． 12．某个工人要完成3000个零件的加工.如果该工人每小时能加工x 个零件.那么完成这批零件的加工需要的时间是 小时．13．已知二次函数的图像经过点（1,3）和（3,3）.则此函数图像的对称轴与x 轴的交点坐标是 ．14．从1到10这10个正整数中任取一个.该正整数恰好是3的倍数的概率是 ．. .15．正八边形的每个内角的度数是 ．16．在平面直角坐标系中.点A （2.0）.B （0.-3）.若=+.则点C 的坐标为 ． 17．如图.梯形ABCD 中.AD ∥BC .∠A =90°.它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形.则AB ∶BC = ．18．如图.矩形ABCD .将它分别沿AE 和AF 折叠.恰好使点B 、D 落到对角线AC 上点M 、N 处.已知MN =2.NC =1.则矩形ABCD 的面积是 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题.满分78分） 19．（本题满分10分）计算：))11212sin 30-+-︒.20．（本题满分10分）解方程：21416222+=---+x x x x . 21．（本题满分10分）如图.在△ABC 中.∠ACB =90°.∠A =15°.D 是边AB 的中点.DE ⊥AB 交AC 于点E . （1）求∠CDE 的度数； （2）求CE ∶EA .22．（本题满分10分）小明家买了一台充电式自动扫地机.每次完成充电后.在使用时扫地机会自动根据设定扫地时间.来确定扫地的速度（以使每次扫地结束时尽量把所储存的电量用完）.下图是“设定扫地时间”与“扫地速度”之间的函数图像（线段AB ）.其中设定扫地时间为x 分钟.扫地速度为y 平方分米/分钟.（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）现在小明需要扫地机完成180平方米的扫地任务.他应该设定的扫地时间为多少分钟？DNMCBAEFDCBA. .23．（本题满分12分）如图.菱形ABCD .以A 为圆心.AC 长为半径的圆分别交边BC 、DC 、AB 、AD 于点E 、F 、G 、H. （1）求证：CE =CF ； （2）当E 为弧中点时.求证：BE 2=CE •CB .24．（本题满分12分）如图.点A 在函数()40y x x =>图像上.过点A 作x 轴和y 轴的平行线分别交函数xy 1=图像于点B 、C .直线BC 与坐标轴的交点为D 、E .（1）当点C 的横坐标为1时.求点B 的坐标； （2）试问：当点A 在函数()40y x x=>图像上运动时.△ABC 的面积是否发生变化？若不变.请求出△ABC 的面积；若变化.请说明理由；（3）试说明：当点A 在函数()40y x x=>图像上运动时.线段BD 与CE 的长始终相等.FEDCBAHGE BCA DxyO. .25．（本题满分14分）已知：Rt △ABC 斜边AB 上点D 、E .满足∠DCE =45°.（1）如图1.当AC =1.BC且点D 与A 重合时.求线段B E 的长； （2）如图2.当△ABC 是等腰直角三角形时.求证：AD 2+BE 2=DE 2；（3）如图3.当AC =3.BC =4时.设AD =x .BE =y .求y 关于x 的函数关系式.并写出定义域.（图1） （图2）（图3）C BAD E AD E C B （D ） E CB A. .黄浦区2017年九年级学业考试模拟考评分标准参考一、选择题（本大题6小题.每小题4分.满分24分）1.D ；2.D ；3.A ；4.B ；5.C ；6.A . 二、填空题：（本大题共12题.每题4分.满分48分） 7．6x ； 8．()()y x y x 22-+； 9．122x -≤<； 10．6±； 11．89； 12．x 3000； 13．（2,0）； 14．103； 15．135； 16．（2.﹣3）； 17．3∶1； 18．649+． 三、解答题：（本大题共7题.满分78分）19. 解：原式= ()()112221-++-+ —————————————————（8分）=3—————————————————————————————（2分） 20．解：()21622-=-+x x ———————————————————————（3分）01032=-+x x ————————————————————————（2分） 21=x .52-=x ————————————————————————（2分） 经检验.21=x 是增根.——————————————————————（1分） 所以.原方程的根为5-=x .———————————————————（2分）21. 解：（1）在Rt △ABC 中.D 是斜边AB 的中点.∴DC =DA .———————————————————————————（2分） ∴∠DCA =∠DAC =15°. —————————————————————（1分） ∴∠BDC =30°. ————————————————————————（1分）又DE ⊥AB .即∠BDE =90°.∴∠CDE =60°. ————————————————————————（1分） （2）过点C 作DE 的垂线.垂足为F （如图）. ———————————（1分） 设AD =2a .则CD =AD =2a .—————————————————————（1分） 在△CDF 中.∠CFD =90°.∠CDF =60°.∴CF =a 3.———————————————————————————（1分） 又DE ⊥AB .∴CF ∥AB .———————————————————————————（1分）∴CE ∶EA =CF ∶AD =3∶2. ———————————————————（1分）22. 解：（1）设b kx y +=1分）由题意得：⎩⎨⎧+=+=bk bk 10010020500.———————————————————（2分）. .解得：⎩⎨⎧=-=6005b k .————————————————————————（1分）所以.解析式为6005+-=x y .（20100x ≤≤）——————————（1分）（2）设设定扫地时间为x 分钟. ———————————————————（1分）180平方米=18000平方分米. ————————————————————（1分） 由题意得：()180006005=+-x x .————————————————（1分） 解得：602,1=x .符合题意. ———————————————————（1分）答：设定扫地时间为60分钟. —————————————————————（1分） 23. 证：（1）联结AE 、AF . ————————————————————————（1分）由菱形ABCD .得∠ACE =∠ACF . ——————————————————（1分） 又∵点E 、C 、F 均在圆A 上.∴AE =AC =AF .——————————————————————————（1分） ∴∠AFC =∠ACF =∠ACE =∠AEC . —————————————————（1分） ∴△ACE ≌△ACF .————————————————————————（1分）∴CE =CF . ———————————————————————————（1分） （2）∵E 是弧CG 中点.∴∠CAE =∠GAE .令∠CAE =α.——————————————————（1分） 又菱形ABCD .得BA =BC .所以∠BCA =∠BAC =2α.—————————————————————（1分） 则∠AEC =2α=∠BAE +∠B .∴∠B =∠BAE .——————————————————————————（1分） 所以BE =AE =AC .在△CAB 与△CEA 中.∠AEC =∠BCA =∠CAB .∴△CAB ∽△CEA .————————————————————————（1分） ∴CB CE CA CBCACA CE ∙=⇒=2.—————————————————（1分） 即CB CE BE ∙=2.———————————————————————（1分） 24. 解：（1）由点C 的横坐标为1.且AC 平行于y 轴.所以点A 的横坐标也为1.且位于函数xy 4=图像上.则()4,1A .—————（2分） 又AB 平行于x 轴.所以点B 的纵坐标为4.且位于函数x y 1=图像上.则⎪⎭⎫⎝⎛4,41B .————（2分）. .（2）令⎪⎭⎫ ⎝⎛a a A 4,.由题意可得：⎪⎭⎫ ⎝⎛a a B 4,41.⎪⎭⎫⎝⎛a a C 1,. ———————（1分）于是△ABC 的面积为：8934321144121=⨯⨯=-⨯-a a a a a a . ————（2分） 所以△ABC 的面积不变.为89.———————————————————（1分） （3）分别延长AB 、AC 交坐标轴于点F 、G . —————————————（1分）则⎪⎭⎫⎝⎛a F 4,0.()0,a G . ∵DF ∥AC .——————————————————————————（1分）∴314141=-==aa aBA FB BC DB .即BC DB 31=.———————————（1分）同理CB CE 31=.所以BD =CE . ——————————————————————————（1分） 25. 解：（1）过点E 作EH ⊥BC 于H . ———————————————————（1分） ∵∠ACB =90°.∠ACE =45°.∴∠BCE =45°. 又AC =1.BC =3. ∴33tan =B .—————————————————————————（1分） 在△CEH 中.∠CHE =90°.∠HCE =45°.令CH =EH =x .则在△BEH 中.BH =x BEH3tan =.BE =2x . 于是23333-=⇒+=x x x .—————————————————（1分）∴BE =33-.—————————————————————————（1分）（2）∵△ABC 为等腰直角三角形.∴CA =CB .将△BCE 绕点C 旋转90°到△ACF 处.联结DF .（如图）——————（1分）则∠DCF =∠DCA +∠ACF =∠DCA +∠BCE =90°-45°=45°=∠DCE . ——（1分） 又CE =CF .CD =CD .∴△DCE ≌△CDF .———————————————————————（1分） ∴DE =DF .于是在△ADF 中.∠DAF =∠DAC +∠CAF=45°+45°=90°. ————————————（1分） ∴222AF DA DF +=.. .即222BE DA DE +=.—————————————————————（1分）（3）将△ACD 绕点C 旋转90°到△QCP 处.点Q 恰好在边BC 上.联结PE .并延长PQ 交边AB 于点T .（如图）同（2）.易证△ECD ≌△ECP .得DE =EP . 又∠B +∠BQT =∠B +∠PQC =∠B +∠A =90°.∴∠BTQ =90°.又BQ =BC -CQ =BC -AC =1. ————————————————————（1分） 在△ABC 中.∠ACB =90°.AC =3.BC =4.则AB =5.3sin 5B =.4cos 5B =. 于是在△BTQ 中.得53=TQ .54=TB .——————————————（1分） 所以在△PET 中.∠PTE =90°.PE =DE =y x --5.TE =45y -.PT =53+x .有222TE PT PE +=.即()22254535⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--y x y x .————（1分）解得：28601505217x y x x -⎛⎫=≤≤ ⎪-⎝⎭———————————————（2分）A D E CB F CBDETQ P。
2017年上海市各区数学二模压轴题图文解析
本解析由华东师范大学出版社《挑战压轴题》作者马学斌老师独家提供。
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更多信息，欢迎关注“挑战压轴题”微信公众号（ti ao z han y azho u ti).《2017年上海市各区中考数学二模压轴题图文解析》目录2017 年上海市宝山区中考模拟第 24、25 题/ 22017 年上海市崇明区中考模拟第 24、25 题/ 62017 年上海市奉贤区中考模拟第 24、25 题/ 102017 年上海市虹口区中考模拟第 24、25 题/ 142017 年上海市黄浦区中考模拟第 24、25 题/ 182017 年上海市嘉定区中考模拟第 24、25 题/ 232017 年上海市静安区中考模拟第 24、25 题/ 272017 年上海市闵行区中考模拟第 24、25 题/ 312017 年上海市浦东新区中考模拟第 24、25 题/ 342017 年上海市普陀区中考模拟第 24、25 题/ 382017 年上海市松江区中考模拟第 24、25 题/ 422017 年上海市徐汇区中考模拟第 24、25 题/ 472017 年上海市杨浦区中考模拟第 24、25 题/ 522017 年上海市长宁区青浦区金山区中考模拟第 24、25 题/ 552017 年上海市宝山区中考模拟第 18 题/ 592017 年上海市崇明区中考模拟第 18 题/ 602017 年上海市奉贤区中考模拟第 18 题/ 612017 年上海市虹口区中考模拟第 18 题/ 622017 年上海市黄浦区中考模拟第 18 题/ 632017 年上海市嘉定区中考模拟第 18 题/ 642017 年上海市静安区中考模拟第 18 题/ 652017 年上海市闵行区中考模拟第 18 题/ 662017 年上海市浦东新区中考模拟第 18 题/ 672017 年上海市普陀区中考模拟第 18 题/ 682017 年上海市松江区中考模拟第 18 题/ 692017 年上海市徐汇区中考模拟第 18 题/ 702017 年上海市杨浦区中考模拟第 18 题/ 712017 年上海市长宁区青浦区金山区中考模拟第 18 题/ 722015 年上海市中考第 24、25 题/ 732016 年上海市中考第 24、25 题/ 77例2017年上海市宝山区中考模拟第24题如图 1，已知直线y x与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线1 22 12y x b x2 2与x 轴交于A、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 是上述抛物线上一点，如果△ABM 和△ABC 相似，求点M 的坐标；（3）联结AC，求顶点D、E、F、G 在△ABC 各边上的矩形DEFG 面积最大时，写出该矩形在AB 边上的顶点的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 宝山 24”，拖动点D 在BC 上运动，可以体验到，当点D是BC 的中点时，矩形DEFG 的面积最大，最大值是△ABC 面积的一半．思路点拨1．第（2）题△ABM 和△ABC 相似，只存在这两个三角形全等的情形，此时M、C 关于抛物线的对称轴对称．2．第（3）题的矩形DEFG 存在两种情况．用二次函数表示矩形的面积，求二次函数的最大值，然后看看最大值时矩形顶点的位置具有什么特殊性．图文解析（1）由1y x 2 ，得B(4, 0)，C(0,－2)．2将点B(4, 0)代入y 1 x2 bx 2 ，得 8＋4b－2＝0．解得 3b ．2 2所以抛物线的解析式为 1 2 3 2 1 ( 1)( 4)y x x x x ．所以A(－1, 0)．2 2 2（2）如图 2，由A(－1, 0)、B(4, 0)、C(0,－2)，可得 tan∠CAO＝tan∠BCO＝2．又因为∠CAO 与∠ACO 互余，所以∠BCO 与∠ACO 互余．所以△ABC 是直角三角形．过点A、B 分别作x 轴的垂线，不可能存在点M．所以只存在∠AMB＝90°的情况，此时点M 在x 轴的下方（如图 3 所示）．图 2 图 32如图 3，如果△ABM 和△ABC 相似，那么△ABM ≌△BAC ．所以点 M 与点 C 关于抛物线的对称轴对称，点 M 的坐标为(3,－2)．（3）矩形 DEFG 有两种情况：1①如图 4，在 AB 边上的顶点有两个，坐标分别为(2, 0)和( ,0) ．23②如图 5，在 AB 边上的顶点有一个，坐标为( ,0)．2考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：在 Rt △ABC 中，AB ＝5，高 CO ＝2．情形一，如图 4，F 、G 两点在 AB 上．设 DE ＝m ，DG ＝n ．根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，得 2 ．所以 5(2 )n m nm ． 2 52 所以 S ＝mn ＝ 5 2 n n ＝ 5 ( 1)2 5 (2 )n ． 2 2所以当 n ＝1 时，矩形 DEFG 的面积最大．几何意义是 D 为 BC 的中点时，矩形的面积 最大，最大值是△ABC 面积的一半．情形二，如图 5，点 G 在 AB 上．同样的，设 DE ＝m ，DG ＝n ．由 BD DG ，得 2 5．所以 2 5 n ． m n m BE EA 22 55 所以 S ＝m n ＝ (2 5 ) m m 2 ＝ 1 ( 5)2 5 m ．2 2所以当 m 5 时，矩形 DEFG 的面积最大．几何意义是 D 为 BC 的中点时，矩形的面 积最大，最大值也是△ABC 面积的一半．此时点 G 为 AB 的中点．图 4 图 53例2017年上海市宝山区中考模拟第25题如图 1，在△ABC 中，∠ACB 为直角，AB＝10，∠A＝30°，半径为 1 的动圆Q 的圆心从点C 出发，沿着CB 方向以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P 从点B 出发，沿着BA 方向也以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t≤5），以P 为圆心、PB 为半径的⊙P 与AB、BC 的另一个交点分别为E、D，联结ED、EQ．（1）判断并证明ED 与BC 的位置关系，并求当点Q 与点D 重合时t 的值；（2）当⊙P 和AC 相交时，设CQ 为x，⊙P 被AC 解得的弦长为y，求y 关于x 的函数解析式，并求当⊙Q 过点B 时⊙P 被AC 截得的弦长；（3）若⊙P 与⊙Q 相交，写出t 的取值范围．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 宝山 25”，拖动Q 由C 向B 运动，可以体验到，⊙P 与⊙Q 的位置关系依次为外离、外切和相交．思路点拨1．第（1）题Q、D 重合时，根据CQ＋BD＝BC 列关于t 的方程．2．第（2）题⊙Q 过点B 时，CQ＝5－1＝4．3．第（3）题求⊙P 与⊙Q 相交，先求临界位置外切时t 的值．图文解析（1）如图 2，根据直径所对的圆周角是直角，可以知道ED⊥BC．在 Rt△ABC 中，AB＝10，∠A＝30°，所以BC＝5．在 Rt△BDE 中，BE＝2BP＝2t，∠BED＝30°，所以BD＝t，DE＝ 3 t．如图 3，当点Q 与点D 重合时，BD＋CQ＝BC＝5．所以 2t＝5．解得t＝2.5．图 2 图 3（2）如图 4，设⊙P 和AC 相交于M、N 两点．作PH⊥MN 于H，那么MH＝NH．在 Rt△PAH 中，PA＝10－t，∠A＝30°，所以PH＝12(10t)t．＝5 12在 Rt△PMH 中，PM＝PB＝t，由勾股定理，得MH2＝PM2－PH2＝ 2 (5 1 )2t t ．2 于是得到y＝MN＝2MH＝3t2 20t 100 ．4如图 5，当⊙Q 过点B 时，CQ＝x＝4，此时MN＝y＝316 20 4 100 ＝2 7 ．图 4 图 5＜t≤5．（3）当⊙P与⊙Q相交时，t的取值范围是17974考点伸展第（3）题的解题过程分三步：第一步，罗列三要素．对于圆P，r P＝t；对于圆Q，r Q＝1；圆心距PQ 需要求一下．如图 6，作PF⊥BC 于F．在Rt△PFQ 中，由勾股定理，得PQ＝( 3 )2 (5 3 )2t t ．2 2第二步，列方程．如图 7，当⊙P 与⊙Q 外切时，r P＋r Q＝PQ．所以t 1( 3 t)2 (5 3t)2 ．整理，得 2t2－17t＋24＝0．解得17 97t ．2 2 4第三步，写结论．图 6 图 75例2017年上海市崇明区中考模拟第 24题 如图 1，已知抛物线 y ＝ax 2－2x ＋c 经过△ABC 的三个顶点，其中点 A (0, 1)，点 B (9, 10)，AC //x 轴． （1）求这条抛物线的解析式；（2）求 tan ∠ABC 的值；（3）若点 D 为抛物线的顶点，点 E 是直线 AC 上一点，当△CDE 与△ABC 相似时，求 点 E 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 崇明 24”，拖动点 E 在点 C 左侧运动，可以体验到，△CDE 与△ABC 相似存在两种情况．思路点拨1．求 tan ∠ABC 的值，首先要将∠ABC 放在某个直角三角形中．作 AB 边上的高 CH 以 后，有两种解法：一种解法是∠BAC ＝45°为特殊值；另一种解法是一般性的，已知三角形 的三边，作高不设高，设 AH ＝m ．2．探究△CDE 与△ABC 相似，首选的方法是寻找一组等角，然后按照对应边成比例分 两种情况列方程．图文解析 c1,（1）将 A (0, 1)、B (9, 10)两点分别代入 y ＝ax 2－2x ＋c ，得81a 18 c 10.1 3 解得 a ＝ ，c ＝1．所以这条抛物线的解析式为 12 2 1y x x ． 3（2）由于 AC //x 轴，抛物线的对称轴为 x ＝3，所以 C (6, 1)．如图 2，作 BM ⊥AC ，垂足为 M ．作 CH ⊥AB 于 H ．由 A (0, 1)、B (9, 10)，可知 AM ＝BM ＝9，所以∠BAC ＝45°，AB ＝9 2 ．在 Rt △ACH 中，AC ＝6，所以 AH ＝CH ＝3 2 ．在 Rt △BCH 中，BH ＝AB －AH ＝6 2 ，所以 tan ∠ABC ＝ C H B H＝ 3 2 6 2 ＝ 1 2 ． 6（3）由 1 2 2 1 1 ( 3)2 2y x x x ，得顶点D 的坐标为(3,－2)．3 3由C(6, 1)、D(3,－2)，可知∠ACD＝45°，CD＝3 2 ．当点E 在点C 左侧时，∠DCE＝∠BAC．分两种情况讨论△CDE 与△ABC 相似：①当C E A B时，CE 9 2 ．解得CE＝9．此时E(－3, 1)（如图 3 所示）．C D A C32 6②CE AC 时，CE 6 ．解得CE＝2．此时E(4, 1)（如图 4 所示）．C D A B329 2图 2 图 3 图 4考点伸展第（2）题还有一般的解法：如图 2，△ABC 的三边长是确定的，那么作AB 边上的高CH，设AH＝m，就可以求得AH，进而求得CH、BH 的长．由A(0, 1)、B(9, 10)、C(6, 1)，可得AB＝9 2 ，BC＝3 10 ，AC＝6．由CH2＝CA2－AH2，CH2＝CB2－BH2，得CA2－AH2＝CB2－BH2．解方程62 m2 (3 10)2 (9 2 m)2 ，得m 3 2 ．于是得到BH＝6 2 ，CH＝3 2 ．7例 2017年上海市崇明区中考模拟第 25题如图，梯形 ABCD 中，AB //CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，tan D ＝2，点 E 是射线 CD 上一动点（不与点 C 重合），将△BCE 沿着 BE 进行翻折，点 C 的对应点记为点 F ．（1）如图 1，当点 F 落在梯形 ABCD 的中位线 MN 上时，求 CE 的长；S （2）如图 2，当点 E 在线段 CD 上时，设 CE ＝x ， △BFCS△E F C＝y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如图 3，联结 AC ，线段 BF 与射线 CA 交于点 G ，当△CBG 是等腰三角形时，求 CE 的长．图 1 图 2 图 3动感体验请打开几何画板文件名“17 崇明 25”，拖动点 E 运动，可以体验到，等腰三角形 BCG 存在三种情况，每种情况的点 G 的位置都具有特殊性．思路点拨1．第（1）题点 F 到 AB 的距离等于 BF 的一半，得到∠FBA ＝30°．2．第（2）题△BFC 与△EFC 的面积比等于 BH 与 EH 的比，通过 Rt △BCH ∽Rt △CEH 得到 BH 与 EH 的比．3．第（3）题先求 CG 的长，再求 CE 的长．延长 BF 交 CD 的延长线于 K ，得到△KEF ∽△KBC ．图文解析（1）如图 4，在 Rt △FNB 中，BN ＝ 所以∠B F N ＝30°． 1 2 B C ＝ 1 2B F ，所以∠FBA ＝30°．所以∠FBC ＝60°． 所以∠FBE ＝∠CBE ＝30°．＝ 8 3 3所以 C E ＝B C t a n 30°＝83 3． 图 4（2）如图 5，设 BE 垂直平分 FC 于点 H ，那么∠CBH ＝∠ECH ． 所以△CBH ∽△ECH ．S 所以CBH△S△ECHBH ＝ ( )2EH＝ 64 x 2 S ．所以 y ＝ BFC △S△EFC＝ 2S △CBHC2S △ECH ＝ 64 x2． 定义域是 0＜x ≤10．8图 5图 6（3）①如图 6，当 CG ＝CB ＝8 时，AG ＝2．CK CG 延长 BF 交 CD 的延长线于 K ．由 4 ，得 CK ＝4AB ＝24．AB AG1 3在 Rt △KBC 中，BC ＝8，CK ＝24，所以 tan ∠K ＝．所以 sin ∠K ＝ 10 10． 在 Rt △KEF 中，FE ＝CE ＝x ，EK ＝CK －CE ＝24－x ．由 sin ∠K ＝F E E K ＝ 10 10，得10 x 24 x 10．解得 x ＝CE ＝ 8 10 83．②如图 7，当 GC ＝GB 时，点 G 在 BC 的垂直平分线上，此时四边形 ABCK 为矩形． 在 Rt △EKF 中，sin ∠EKF ＝B C B K ＝ 8 10 ＝ 4 5，FE ＝CE ＝x ，KE ＝CK －CE ＝6－x ．所以 4 x6 x 5．解得 x ＝CE ＝ 8 3．③如图 8，当 BG ＝BC ＝8 时，由于 BC ＝BF ，所以 F 、G 重合．此时 BE ⊥AC ．由 tan ∠CEB ＝tan ∠ACB ＝ 3 4 ，得B C C E 3 ．所以 CE ＝ 432 3．图 7 图 8考点伸展第（3）题的①、②两种情况，解 Rt △KEF ，可以用勾股定理列方程．9例 2017年上海市奉贤区中考模拟第 24题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点 A (3, 0)和点 B (2, 3)，过点1 3A 的直线与 y 轴的负半轴相交于点 C ，且 tan ∠CAO ＝（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；． （2）联结 AB 、BC ，求∠ABC 的正切值；（3）若点 D 在 x 轴下方的对称轴上，当 S △ABC ＝S △ADC 时，求点 D 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 奉贤 24”，可以体验到，△ABC 是等腰直角三角形，B 、D 两点到直线 AC 的距离相等．思路点拨1．直觉告诉我们，△ABC 是直角三角形．2．第（3）题的意思可以表达为：B 、D 在直线 AC 的两侧，到直线 AC 的距离相等．于 是我们容易想到，平行线间的距离处处相等．图文解析（1）将 A (3, 0)、B (2, 3)两点分别代入 y ＝－x 2＋bx ＋c ，得93b c 0,4 2b c 3.解得 b ＝2，c ＝3．所以 y ＝－x 2＋2x ＋3．对称轴是直线 x ＝1．O C OA （2）由 t a n ∠C A O ＝＝ 1 3，OA ＝3，得 OC ＝1．所以 C (0,－1)． 由两点间的距离公式，得 AB 2＝12＋32＝10，AC 2＝32＋12＝10，BC 2＝22＋42＝20． 所以∠BAC ＝90°，且 AB ＝AC ．所以△ABC 是等腰直角三角形，tan ∠ABC ＝1．（3）因为△ABC 与△ADC 有公共底边 AC ，当 S △ABC ＝S △ADC 时，B 、D 到直线 AC 的距离相等．如图 2，因为点 B (2, 3)关于点 A (3, 0)的对称点为 E (4,－3)，那么过点 E 作 AC 的平行线 与抛物线的对称轴的交点即为所求的点 D ．由 A (3, 0)、C (0,－1)可得直线 AC 的解析式为1y x 1．3设直线 DE 的解析式为y x b ，代入点 E (4,－3)，得 13 1b ．3 3 10所以直线DE 的解析式为11 3 y x ．当x＝1 时，y＝－4．3 3所以点D 的坐标为(1,－4)．考点伸展第（2）题也可以构造 Rt△ABM 和 Rt△CAN（如图 3），用“边角边”证明△ABM≌△CAN，从而得到等腰直角三角形ABC．图 2 图 3第（3）题也可以这样思考：如图 4，过点B 与直线AC 平行的直线为y 1 x 7 ，与y 轴交于点F(0, 7)33 3．F、C 两点间的距离为710(1) ．3 3把直线AC：y 1 x 向下平移1013 3个单位，得到直线113y x ．3 3感谢网友上海交大昂立教育张春莹老师第（3）题的解法：如图 5，如果把BL、KD 分别看作△ABC 和△ADC 的底边，那么它们的高都是A、C 两点间的水平距离，当△ABC 与△ADC 的面积相等时，BL＝KD．1 )，K(1,2 )．所以3 ( 1) ( 2) 由直线AC 的解析式可以求得L (y ．2,D3 3 3 3解得y D＝－4．所以D(1,－4)．图 4 图 511例2017年上海市奉贤区中考模拟第25题如图 1，线段AB＝4，以AB 为直径作半圆O，点C 为弧AB 的中点，点P 为直径AB 上一点，联结PC，过点C 作CD//AB，且CD＝PC，过点D 作DE//PC，交射线PB 于点E，PD 与CE 相交于点Q．（1）若点P 与点A 重合，求BE 的长；PD＝y，当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及定义域；C E（2）设P C＝x，（3）当点Q 在半圆O 上时，求PC 的长．图 1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“17 奉贤 25”，拖动点P 在AO 上运动，可以体验到，PD 与CE的比就是菱形的对角线的比，可以转化为PQ 与EQ 的比，进而转化为∠PEQ 的正切值．拖动点P 在OB 上运动，可以体验到，当点Q 落在圆上时，点Q 到AB 的距离等于圆的半径的一半．思路点拨1．四边形PCDE 是菱形，对角线互相垂直平分．2．第（2）题根据∠PEQ 和∠CEO 是同一个角，用正切值得到关系式．3．第（3）题画图的步骤是：点Q 在OC 的中垂线与圆的交点处，延长CQ 交AB 的延长线于点E，过点Q 作CE 的垂线得到点P、D．图文解析（1）如图 2，由CD//AB，DE//PC，得四边形PCDE 是平行四边形．又因为CD＝PC，所以四边形PCDE 是菱形．在等腰直角三角形AOC 中，AC＝ 2 OA＝2 2 ．当点P 与点A 重合，PE＝AC＝2 2 ．所以BE＝AB－PE＝4－2 2 ．图 2 图 3（2）如图 3，在 Rt△CPO 中，PC＝x，CO＝2，所以PO＝x 2 4 ．所以EO＝PE－PO＝PC－PO＝x x 2 4 ．12因为PD 与CE 互相垂直平分于Q，所以y＝P DC E＝PQE Q ＝tan∠PEQ＝tan∠CEO＝C OE O．所以y2x x 42x x2 442．定义域是2≤x≤22 ．（3）如图 4，作QH⊥AB 于H．因为菱形PCDE 的对边CD 与PE 间的距离保持不变，等于圆的半径CO＝2，当点Q在半圆O 上时，QH＝12OQ＝1．所以∠QOH＝30°．此时∠COQ＝60°，△COQ 是等边三角形．所以∠DCE＝30°．所以∠PCE＝30°．在 Rt△COP 中，∠OCP＝30°，CO＝2，所以PC＝C O＝ 2c o s3032＝4 33．图 4 图 5考点伸展在本题情境下，当点P 从A 运动到B 的过程中，求点Q 运动过的路径长．因为点Q 是CE 的中点，所以点Q 的运动轨迹与点E 的运动轨迹平行，点Q 的路径长等于点E 路径长的一半．如图 2，当点P 与点A 重合时，AE＝AC＝2 2 ．如图 5，当点P 与点B 重合时，BE＝BC＝2 2 ．所以点E 运动的路径长为 4，点Q 运动的路径长为 2．13例2017年上海市虹口区中考模拟第24题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线1y x bx c 经过点A(－2, 0)和原点，点B 在4抛物线上且 tan∠BAO＝12，抛物线的对称轴与x 轴相交于点P．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点P 的坐标；（2）点C 为抛物线上一点，若四边形AOBC为等腰梯形且AO//BC，求点C 的坐标；（3）点D 在AB 上，若△ADP 与△ABO 相似，求点D 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 虹口 24”，拖动点D 在AB 上运动，可以体验到，△ADP与△ABO 相似存在两种情况．点击屏幕左下角的按钮“第（2）题”，可以体验到，以A、O、B、C 为顶点的等腰梯形存在三种情况，其中AO//BC 时，点C 与点B 关于抛物线的对称轴对称．思路点拨1．已知二次函数的二次项系数和抛物线与x 轴的两个交点，可以直接写出交点式．2．等腰梯形AOBC 当AO//BC 时，C、B 两点关于抛物线的对称轴对称．3．分两种情况讨论△ADP 与△ABO 相似．由于∠A 是公共角，根据夹∠A 的两边对应成比例，分两种情况列方程，先求AD 的长，再求点D 的坐标．图文解析（1）因为抛物线1y x bx c 与x 轴交于点A(－2, 0)和原点，所以411 1y x(x2)x x．244 2抛物线的对称轴是直线x＝－1，点P 的坐标为(－1, 0)．1（2）作BH⊥x 轴于H．设点B 的坐标为(x, x(x 2)) ．4由 tan∠BAO＝B HA H＝121，得AH＝2BH．所以(x 2) 2x(x 2) ．4解得x＝2，或x＝－2（B、A 重合，舍去）．所以B(2, 2)．若四边形AOBC 为等腰梯形且AO//BC，那么B、C 关于抛物线的对称轴x＝－1 对称．所以点C 的坐标为(－4, 2)．图 2 图 314（3）作DE⊥x 轴于E．在 Rt△ADE 中，已知 tan∠A＝12，所以DE＝55A D，AE＝2 55 A D．由于△ADP 与△ABO 有公共角∠A，分两种情况讨论相似：①当AD AB 时，AD 2 5 ．所以AD＝5 ．A P A O1 2此时DE＝1，AE＝2．所以点D 的坐标为(0, 1)．②当A D A O时，A D 2．所以A D＝ 5 A P A B125 5．此时DE＝15，AE＝25．所以OE＝OA－AE＝858 1(,)．5 5．所以点D的坐标为图 4 图 5考点伸展如果第（2）题改为以A、O、B、C 为顶点的四边形是等腰梯形，那么就要分三种情况：△AOB 的三边的垂直平分线都可以是等腰梯形的对称轴．第二种情况：如果OC//AB，那么点C 与点O 关于直线AB 的垂直平分线对称．点C 在直线1y x 上，设C(2m, m)．2由CB＝OA＝2，得CB2＝4．所以(2m－2)2＋(m－2)2＝4．解得m＝254 2 ，或m＝2（此时四边形AOCB 是平行四边形）．所以C( , )．5 5第三种情况：如果AC//OB，那么点C 与点A 关于直线OB 的垂直平分线对称．点C 在直线y＝x＋2 上，设C(n, n＋2)．由CB＝AO＝2，得CB2＝4．所以(n－2)2＋n2＝4．解得n＝2，或n＝0（舍去）．所以C(2, 4)．图 6 图 715例2017年上海市虹口区中考模拟第25题如图 1，在△ABC 中，AB＝AC＝5，cos B＝45，点P 为边BC 上一动点，过点P 作射线PE 交射线BA 于点D，∠BPD＝∠BAC．以点P 为圆心，PC 长为半径作⊙P 交射线PD 于点E，联结CE，设BD＝x，CE＝y．（1）当⊙P 与AB 相切时，求⊙P 的半径；（2）当点D 在BA 的延长线上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果⊙O 与⊙P 相交于点C、E，且⊙O 经过点B，当O P＝54时，求AD 的长．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 虹口 25”，拖动点P 运动，可以体验到，△BPD 与△BAC 保持相似，PN 与BD 保持平行．观察度量值，可以体验到，OP＝1.25 存在两种情况．思路点拨1．作圆P 的弦CE 对应的弦心距PN，把图形中与∠B 相等的角都标记出来．2．第（3）题的圆O 经过B、C、E 三点，事实上OP 与BD 是平行的．图文解析（1）如图 2，作AM⊥BC 于M，那么BM＝CM．在 Rt△ABM 中，AB＝5，cos B＝B MA B＝45，所以BM＝4，sin B＝35．如图 3，设⊙P 与AB 切于点H，那么 sin B＝PHBP＝35．所以r8 r 35＝．解得r＝3．图 2 图 3 图 4 （2）如图 4，由于∠B＝∠B，∠BPD＝∠BAC，所以△BPD∽△BAC．因为AB＝AC，所以PB＝PD．如图 5，设圆P 与BC 的另一个交点为F，因此所以F E//B D．所以∠E F C＝∠B．P F P E．P B P D在△PBD 中，B P B A 5，所以5 5BP BD x ．B D B C888在△EFC 中，由PC＝PE＝PF，可知∠FEC＝90°，所以 sin∠EFC＝C EC F3．516所以CF5 CE 5 y ．所以 PC ＝ 13 3 2 CF ＝ 5 6y ．由 BC ＝BP ＋PC ＝8，得5 x 5 y ．整理，得 48 3 y x ．定义域是 5＜x ＜ 64886545．（3）因为⊙O 经过 B 、C 、E 三点，所以圆心 O 是 BC 和 CE 的垂直平分线的交点． 如图 6，设 CE 的中点为 N ，那么 OP ⊥CE 于 N ． 所以 OP //FE //BA ．所以 cos ∠OPM ＝cos B ＝ 4 5 ．当 OP ＝ 5 4时，MP ＝1．①如图 6，当 P 在 M 右侧时，BP ＝4＋1＝5．此时 BD ＝ 所以 A D ＝B D －B A ＝8－5＝3．8 5BP ＝8．②如图 7，当 P 在 M 左侧时，BP ＝4－1＝3．此时 BD ＝ 8 5 B P ＝ 24 5．2 4 所以 AD ＝BA －BD ＝ 5 ＝ 51 5．图 5 图 6 图 7考点伸展第（2）题不证明 FE //BA 的话，可以证明∠CPN ＝∠B ．如图 8，由于∠CPE ＝∠B ＋∠D ＝2∠B ，∠CPE ＝2∠CPN ，所以∠CPN ＝∠B ．在 Rt △CPE 中， 1 2 3 5 C E ＝PC ．所以 PC ＝5 6 C E ＝ 5 6 5 y ．所以 BP ＝8 y ．6 在△BPD 中， 1 2 B D ＝ 4 5 BP ．所以 1 x 4 5 y ．整理，得 48 3 (8 ) y x ．2 5 6 5 4定义域中 x ＝ 64 5的几何意义如图 9 所示．图 8 图 917例 2017年上海市黄浦区中考模拟第 24题如图 1，点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上，过点 A 作 x 轴和 y 轴的平行线分别交函 x数 y 1的图像于点 B 、C ，直线 BC 与坐标轴的交点为 D 、E ． x（1）当点 C 的横坐标为 1 时，求点 B 的坐标；（2）试问：当点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上运动时，△ABC 的面积是否发生变 x 化？若不变，请求出△ABC 的面积；若变化，请说明理由；（3）试说明：当点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上运动时，线段 BD 与 CE 的长始终 x相等．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 黄浦 24”，拖动点 A 运动，可以体验到，△DBM 与△CEN 保持全等，MN 与 BC 保持平行．思路点拨1．设点 A 的横坐标为 m ，A 、C 两点的横坐标相等，A 、B 两点的纵坐标相等，用 m 表 示 A 、B 、C 三点的坐标和 AB 、AC 的长．2．证明 BD ＝CE ，因为四点共线，只要证明 B 、D 两点间的竖直距离等于 C 、E 两点间 的竖直距离就可以了．图文解析（1）当点 C 的横坐标为 1 时，C (1, 1)，A (1, 4)．由 1 x4 ，得x 1 ．所以点 B 的坐标为(1 ,4) 4 4 ． （2）△ABC 的面积为定值．计算如下：4 如图 2，设点 A 的坐标为(m , ) m 1 ，那么 C (m , ) mm 4 ，B ( , )． 4 m3m 所以 A B ＝ 4 ，AC ＝ 3 m ．所以 S △ABC ＝ 1 2 A B A C ＝ 1 3 3 ＝ m2 4 m9 8 ． （3）如图 3，延长 AB 交 y 轴于 M ，延长 AC 交 x 轴于 N ．在 Rt △DBM 中，tan ∠DBM ＝tan ∠ABC ＝ A C A B ＝ 3 3m ＝ m 44 m 2 ，BM ＝ m 4，所以DM＝BM tan∠DBM＝m44＝m21m．所以DM＝CN．18又因为 sin∠DBM＝sin∠CEN，所以DB＝CE．图 2 图 3考点伸展如图 4，第（2）题中，面积为定值的有：矩形AMON、△ABC、△BOM、△CON，所以△BOC 的面积也为定值．如图 5，联结MN，那么MN 与BC 保持平行，这是因为M B N C 1．M A N A 4还有一个有趣的结论，随着点A 的运动，直线MN 与双曲线y 1（x＞0）保持相切．x直线MN 的解析式为44，与y1y x 联立方程组，消去y，得m m x214 4x．x m m2整理，得(2x－m)2＝0．所以直线MN 与双曲线有一个交点，保持相切．感谢网友上海交大昂立教育张春莹老师提供的第（3）题的简练解法：如图 4，因为B D B M 1，C E C N 1，所以B D＝C E．B C B A3C B C A 3图 4 图 519例2017年上海市黄浦区中考模拟第25题已知 Rt△ABC 斜边AB 上的D、E 两点满足∠DCE＝45°．（1）如图 1，当AC＝1，BC＝ 3 ，且点D 与点A 重合时，求线段BE 的长；（2）如图 2，当△ABC 是等腰直角三角形时，求证：AD2＋BE2＝DE2；（3）如图 3，当AC＝3，BC＝4 时，设AD＝x，BE＝y，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．图 1 图 2 图 3动感体验请打开几何画板文件名“17 黄浦 25”，可以体验到，四边形CMEN 是正方形．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题”，可以体验到，直角三角形DEF 的边FD＝AD，FE＝BE．点击按钮“第（3）题”，可以体验到，△CDP∽△ECQ．思路点拨1．第（1）题过点E 向两条直角边作垂线段，围成一个正方形，然后根据对应线段成比例求正方形的边长，再得到BE 的长等于正方形边长的 2 倍．2．第（2）题的目标是把AD、BE 和DE 围成一个直角三角形．经典的解法有翻折和旋转两种．图文解析（1）当AC＝1，BC＝ 3 时，AB＝2，∠B＝30°．如图 4，作EM⊥BC 于M，作EN⊥AC 于N，那么四边形CMEN 是正方形．设正方形的边长为a．由EM BM，得a 3 a ．AC BC 1 3解得 3 3a ．2所以BE＝2EM＝3 3 ．图 4【解法二】如图 4，因为1C B E MS C B△C B E21S C A E N C A△C B E2S B E，△C B ES E A△C B E，所以C B B E．C A E A．解得BE＝3 3 ．所以3B E12B E20（2）如图5，以CE 为对称轴，构造△CFE≌△CBE，那么FE＝BE，∠CFE＝∠B＝45°．联结DF．由“边角边”证明△CFD≌△CAD，所以FD＝AD，∠CFD＝∠A＝45°．所以△DEF 是直角三角形，FD2＋FE2＝DE2．所以AD2＋BE2＝DE2．【解法二】如图 6，绕点C 将△CBE 逆时针旋转 90°得到△CAG，那么AG＝BE，CE ＝CG，∠CAG＝∠B＝45°．由“边角边”证明△CDG≌△CDE，所以DG＝DE．在 Rt△GDA 中，AD2＋AG2＝DG2．所以AD2＋BE2＝DE2．图 5 图 6（3）如图 7，作CH⊥AB 于H．在 Rt△ABC 中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．于是可得CH 12 ，BH 16 ，9AH ．5 5 5所以DH 9 x，16EH y ．5 5如图 8，以H 为旋转中心，将点D 逆时针旋转 90°得到点P，将点E 顺时针旋转 90°得到点Q．于是可得△CDP∽△ECQ．由PD QC，得PD QE PC QC ．PC QE所以2(9 x) 2(16 y ) 12 (9 x )12 (16 y )5 5 5 5 5 5．整理，得2860xy5x 21．157 定义域是0≤x≤15 7．当B、E 重合时x＝．图 7 图 821考点伸展第（3）题解法多样，再介绍三种解法：如图 9，过点C 作AB 的平行线KL．构造等腰直角三角形KDD′和LEE′．由△CDE∽△KCD，△CDE∽△LEC，得△KCD∽△LEC．所以KC DK，即KC CL=LE DK ．LE CL所以12 (9 )12 (16 ) 12 2 12 2x y55555 5．整理即可．如图 10，分别以CD、CE 为对称轴，作CH 的对应线段CK、CL，再围成正方形CKRL．在 Rt△DER 中，由DR2＋ER2＝DE2，得2 2129121 6(x)(y)(5x y)25555．整理即可．如图 11，类似第（2）题的第一种解法，在 Rt△A′B′T 中，A′B′＝CB－CA＝1，所以A′T＝35 ，B′T＝ 4 5．在 Rt△DET 中，DE＝5－x－y，TE＝y 4，T D＝ 3x ，由勾股定理，得5 52 4 23 2(5x y ) (y ) (x ) ．整理即可．5 5图 9 图 10 图 1122例2017年上海市嘉定区中考模拟第24题如图 1，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(3, 1)，点B 的坐标为(6, 5)，点C 的坐标为(0, 5)，某二次函数的图像经过A、B、C 三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）假如点Q 在该二次函数图像的对称轴上，且△ACQ 是等腰三角形，请直接写出点Q 的坐标；（3）如果点P 在（1）中求出的二次函数的图像上，且 tan∠PCA＝12，求∠PCB 的正弦值．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 嘉定 24”，可以体验到，当AD⊥AC，且AC＝2AD 时，点D 的位置是确定的，射线CD 与抛物线的交点就是点P．思路点拨1．由B、C 两点的坐标可知抛物线的对称轴是直线x＝3，再由点A 的坐标可知点A 就是抛物线的顶点，因此设顶点式比较简便．2．分三种情况讨论等腰三角形ACQ：AQ＝AC，CQ＝CA，QA＝QC．3．第（3）题的解题策略是：根据 tan∠PCA＝12，过点A 作AC 的垂线，在垂线上截取AD＝12AC，那么点P 就是射线CD 与抛物线的交点，∠DCB 就是∠PCB．不用求点P的坐标，求点D 的坐标就好了．图文解析（1）由B(6, 5)、C(0, 5)，可知抛物线的对称轴是直线x＝3．由A(3, 1)，可知点A 是抛物线的顶点．设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2＋1，代入点B(6, 5)，得 9a＋1＝5．4 4 4 8解得a ．所以y (x 3)2 1x 2 x 5．9 9 9 33 3（2）点Q 的坐标为(3, 6)，(3,－4)，(3, 9)或(3, )8．（3）如图 2，绕着点A 将线段AC 的中点旋转 90°得到点D，那么射线CD 与抛物线的交点就是要求的点P．当点D 在CA 左侧时，射线CD 与抛物线没有交点．如图 3，当点D 在CA 右侧时，作DE⊥x 轴于E，那么∠DCE 就是∠PCB．过点A 作x 轴的平行线交y 轴于M，过点D 作DN⊥AM 于N．CM MA AC由△CMA∽△AND，得 2 ．AN ND DA所以A N 1C M ，1 32N D M A ．22 223在 Rt△CDE 中，CE＝MA＋AN＝3＋2＝5，ED＝CM－ND＝3 5 4，2 2所以 tan∠DCE＝E DC E＝12．所以 sin∠DCE＝55，即 sin∠PCB＝55．图 2 图 3考点伸展第（2）题分三种情况讨论等腰三角形ACQ：①如图 4，当AQ＝AC＝5 时，以A 为圆心、以AC 为半径的圆与对称轴有两个交点，所以点Q 的坐标为(3, 6) 或(3,－4)．②如图 5，当CQ＝CA 时，点C 在AQ 的垂直平分线上，此时点Q 的坐标为(3, 9)．③如图 6，当QA＝QC 时，点Q 在AC 的垂直平分线上，此时1 4A C A Q．2 5所以AQ＝58AC ＝2583 3．此时点Q 的坐标为(3, )8．图 4 图 5 图 6 24例2017年上海市嘉定区中考模拟第25题已知AB＝8，⊙O 经过点A、B，以AB 为一边画平行四边形ABCD，另一边CD 经过点O（如图 1）．以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段OC 于点E（点E 不与点O、点C 重合）．（1）求证：OD＝OE；（2）如果⊙O 的半径长为 5（如图 2），设OD＝x，BC＝y，求y 与x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果⊙O 的半径长为 5，联结AC，当BE⊥AC 时，求OD 的长．图 1 图 2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“17 嘉定 25”，拖动点D 运动，可以体验到，四边形ABED 保持等腰梯形的形状，△BCE 保持等腰三角形的形状，垂足H 的位置保持不变，MH 的位置保持不变．双击按钮“AC⊥BE”，可以体验到，点C 恰好落在圆上，MH 等于EC 与AB 和的一半．思路点拨1．根据等腰梯形是轴对称图形，很容易知道点O 是DE 的中点．2．第（2）题中，等腰三角形BCE 的高BH 为定值，先用x 表示EC，再用勾股定理就可以表示BC 了．3．第（3）题如何利用BE⊥AC，常规的方法是过点C 作BE 的平行线得到直角三角形．图文解析（1）如图 3，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD＝BC．又因为BE＝BC，所以AD＝BE．所以四边形ABED 是等腰梯形．因为圆心O 在弦AB 的垂直平分线上，所以点O 是上底DE 的中点，即OD＝OE．图 3 图 425例2017年上海市静安区中考模拟第24题如图 1，已知二次函数 1 2y x bx c 的图像与x 轴的正半轴交于点A(2, 0)和点B，2与y 轴交于点C，它的顶点为M，对称轴与x 轴相交于点N．（1）用b 的代数式表示点M 的坐标；（2）当 tan∠MAN＝2 时，求此二次函数的解析式及∠ACB 的正切值．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 静安 24”，拖动点N 运动，观察∠MAN 的正切值的度量值，可以体验到，当 tan∠MAN＝2 时，△OBC 是等腰直角三角形．思路点拨1．第（1）题分三步：根据抛物线的解析式写出对称轴x＝b；代入点A 的坐标，用b表示c；求x＝b 时y 的值，得到顶点的纵坐标．2．第（2）题先根据 tan∠MAN＝2 求b 的值，确定点B、C 的坐标，再作BC 边上的高AH，解直角三角形ABH 和直角三角形ACH．图文解析（1）由 1 2y x bx c ，得抛物线的对称轴为直线x＝b．2将点A(2, 0)代入 1 2y x bx c ，得－2＋2b＋c＝0．所以c＝2－2b．2当x＝b 时， 1 2 2 2 1 2 2 2 1 ( 2)2y x bx b b b b ．2 2 2所以抛物线的顶点M 的坐标可以表示为( , 1 ( 2)2 )b b ．2MN（2）当 tan∠MAN＝2 时， 2 ，即MN＝2AN．AN解方程1 ( 2)2 2( 2)b b ，得b＝6，或b＝2（与A 重合，舍去）．2此时抛物线的解析式为 1 2 6 10y x x ，A(2, 0)，B(6, 0)，C(0,－10)．2所以AB＝8，OB＝OC＝10．所以BC＝10 2 ，∠B＝45°．27作AH⊥BC 于H，那么AH＝BH＝4 2 ．在 Rt△ACH 中，CH＝BC－BH＝6 2 ，所以 tan∠ACB＝A HC H＝23 ．图 2考点伸展第（2）题上面的解法是利用“边角边”，作高先求高．也可以利用“边边边”，作高不设高．由A(2, 0)，B(6, 0)，C(0,－10)，得AB＝8，BC＝10 2 ，AC＝104 ．设CH＝m，那么BH＝10 2 m．由AH2＝AC2－CH2，AH2＝AB2－BH2，得AC2－CH2＝AB2－BH2．解方程( 104)2 m2 82 (10 2 m)2 ，得m CH 6 2 ．所以AH2＝AC2－CH2＝( 104)2 (6 2)2 ＝32．所以AH＝4 2 ．28例2017年上海市静安区中考模拟第25题如图 1，已知⊙O 的半径OA 的长为 2，点B 是⊙O 上的动点，以AB 为半径的⊙A 与线段OB 相交于点C，AC 的延长线与⊙O 相交于点D．设线段AB 的长为x，线段OC 的长为y．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）当四边形ABDO 是梯形时，求线段OC 的长．图 1图文解析（1）如图 1，因为OA＝OB，所以∠OAB＝∠B．因为AC＝AB，所以∠ACB＝∠B．所以∠OAB＝∠ACB．所以△OAB∽△ACB．所以B O B A，即2xB A B Cx 2 y．整理，得 2 1 2y x ．定义域是 0≤x≤2．x＝2 的几何意义如图 2 所示．2图 1 图 2（2）梯形ABDO 存在两种情况：①如图 3，当AB//OD 时，A B C B，即x2y．整理，得(x＋2)y＝4．D O C O2y代入y 2 1 x2 ，得( 2)(2 1 2 ) 4x x ．整理，得x2＋2x－4＝0．2 2解得x＝ 5 1，或x＝ 5 1（舍去）．所以CO＝y＝2 1 2 ＝2 1 ( 5 1)2x＝ 5 1．事实上，此时点C 是线段OB 的黄2 2金分割点．。
上海市浦东新区2017年中考二模数学试题(含答案)
浦东新区2017年中考二模数学试卷 （2017.4.21）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．下列等式成立的是（A ）2222-=-； （B ）236222=÷； （C ）5232)2(=； （D ）120=．2．下列各整式中，次数为5次的单项式是 （A ）xy 4；（B ）xy 5；（C ）x+y 4；（D ）x+y 5． 3．如果最简二次根式2+x 与x 3是同类二次根式，那么x 的值是 （A ）－1；（B ）0；（C ）1；（D ）2．4．如果正多边形的一个内角等于135度，那么这个正多边形的边数是 （A ）5；（B ）6；（C ）7；（D ）8．5．下列说法中，正确的个数有①一组数据的平均数一定是该组数据中的某个数据； ②一组数据的中位数一定是该组数据中的某个数据； ③一组数据的众数一定是该组数据中的某个数据． （A ）0个；（B ）1个；（C ）2个；（D ）3个．6．已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 与BD 相交于点O ，那么下列结论中正确 的是（A ）当AB =BC 时，四边形ABCD 是矩形； （B ）当AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是矩形； （C ）当OA =OB 时，四边形ABCD 是矩形； （D ）当∠ABD =∠CBD 时，四边形ABCD 是矩形．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．计算：23-= ▲ ． 8．分解因式：x x 43-= ▲ ． 9．方程43+=x x 的解是 ▲ ．10．已知分式方程312122=+++x xx x ，如果设x x y 12+=，那么原方程可化为关于y 的整式方程是 ▲ ．11．如果反比例函数的图像经过点（3,－4），那么这个反比例函数的比例系数是 ▲ ． 12．如果随意把各面分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的骰子抛到桌面上，那 么正面朝上的数字是合数的概率是 ▲ ．13．为了解某山区金丝猴的数量，科研人员在该山区不同的地方捕获了15只金丝猴，并在它们的身上做上标记后放回该山区．过段时间后，在该山区不同的地方又捕获了32只 金丝猴，其中4只身上有上次做的标记，由此可以估计该山区金丝猴的数量约有 ▲ 只． 14．已知点G 是△ABC 的重心，=，=，那么向量用向量、表示为 ▲ ． 15．如图，已知AD ∥EF ∥BC ，AE=3BE ，AD =2，EF =5，那么BC = ▲ ．16．如图，已知小岛B 在基地A 的南偏东30°方向上，与基地A 相距10海里，货轮C 在基地A 的南偏西60°方向、小岛B 的北偏西75°方向上，那么货轮C 与小岛B 的距离 是 ▲ 海里．17．对于函数()2b ax y +=，我们称[a ,b ]为这个函数的特征数．如果一个函数()2b ax y +=的特征数为[2,－5]，那么这个函数图像与x 轴的交点坐标为 ▲ ．18．如图，已知在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，AC =4，BC=2，将△ACD 沿直线CD折叠，点A 落在点E 处，联结AE ，那么线段AE 的长度等于 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）化简并求值：12)111(22+-÷-+x x x x ，其中12+=x ．20．（本题满分10分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧->--≥+,1262,6325x x x x 并写出它的非负整数解．已知：如图，在△ABC 中，D 是边BC 上一点，以点D 为圆心、CD 为半径作半圆，分别与边AC 、BC 相交于点E 和点F ．如果AB =AC =5，cos B =54，AE =1．求：（1）线段CD 的长度； （2）点A 和点F 之间的距离．22．（本题满分10分）小张利用休息日进行登山锻炼，从山脚到山顶的路程为12千米．他上午8时从山脚出发，到达山顶后停留了半小时，再原路返回，下午3时30分回到山脚．假设他上山与下山时都是匀速行走，且下山比上山时的速度每小时快1千米，求小张上山时的速度．C（第21题图）如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，AF⊥CD，垂足为点F．（1）如果AB=AD，求证：EF∥BD；（2）如果EF∥BD，求证：AB=AD．AB CD F（第23题图）已知：如图，直线y =kx +2与x 轴的正半轴相交于点A （t ,0）、与y 轴相交于点B ，抛物线c bx x y ++-=2经过点A 和点B ，点C 在第三象限内，且AC ⊥AB ，tan ∠ACB =21．（1）当t =1时，求抛物线的表达式； （2）试用含t 的代数式表示点C 的坐标；（3）如果点C 在这条抛物线的对称轴上，求t 的值．（第24题图）如图，已知在△ABC 中，射线AM ∥BC ，P 是边BC 上一动点，∠APD =∠B ，PD 交射线AM 于点D ，联结CD ．AB =4，BC =6，∠B =60°． （1）求证：BP AD AP ⋅=2；（2）如果以AD 为半径的圆A 与以BP 为半径的圆B 相切，求线段BP 的长度； （3）将△ACD 绕点A 旋转，如果点D 恰好与点B 重合，点C 落在点E 的位置上，求此时∠BEP 的余切值．。
上海市浦东新区2017年中考数学二模试卷(含解析)
2017年上海市浦东新区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题.每题4分.满分24分）【下列各题的四个选项中.有且只有一个选项是正确的.选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列实数中.是无理数的为（）A．3.14 B．C．D．2．下列二次根式中.与是同类二次根式的是（）A． B．C． D．3．函数y=kx﹣1（常数k＞0）的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．某幢楼10户家庭每月的用电量如下表所示：用电量（度）140 160 180 200户数 1 3 4 2那么这10户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（）A．180.180 B．180.160 C．160.180 D．160.1605．已知两圆的半径分别为1和5.圆心距为4.那么两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切6．如图.已知△ABC和△DEF.点E在BC边上.点A在DE边上.边EF和边AC相交于点G．如果AE=EC.∠AEG=∠B.那么添加下列一个条件后.仍无法判定△DEF与△ABC一定相似的是（）A． = B． = C． = D． =二、填空题：（本大题共12题.每题4分.满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．计算：a•a2= ．8．因式分解：x 2﹣2x= ．9．方程=﹣x 的根是 ．10．函数f （x ）=的定义域是 ． 11．如果方程x 2﹣2x+m=0有两个实数根.那么m 的取值范围是 ．12．计算：2+（+） ．13．将抛物线y=x 2+2x ﹣1向上平移4个单位后.所得新抛物线的顶点坐标是 ．14．一个不透明的袋子里装有3个白球、1个红球.这些球除了颜色外无其他的差异.从袋子中随机摸出1个球.恰好是白球的概率是 ．15．正五边形的中心角的度数是 ．16．如图.圆弧形桥拱的跨度AB=16米.拱高CD=4米.那么圆弧形桥拱所在圆的半径是 米．17．如果一个三角形一边上的中线的长与另两边中点的连线段的长相等.我们称这个三角形为“等线三角形”.这条边称为“等线边”．在等线三角形ABC 中.AB 为等线边.且AB=3.AC=2.那么BC= ．18．如图.矩形ABCD 中.AB=4.AD=7.点E.F 分别在边AD 、BC 上.且B 、F 关于过点E 的直线对称.如果以CD 为直径的圆与EF 相切.那么AE= ．三、解答题：（本大题共7题.满分78分）19．计算：|2﹣|﹣8+2﹣2+．20．解不等式组：．21．已知：如图.在平面直角坐标系xOy 中.点A 在x 轴的正半轴上.点B 、C 在第一象限.且四边形OABC是平行四边形.OC=2.sin∠AOC=.反比例函数y=的图象经过点C以及边AB的中点D．求：（1）求这个反比例函数的解析式；（2）四边形OABC的面积．22．某文具店有一种练习簿出售.每本的成本价为2元.在销售的过程中价格有些调整.按原来的价格每本8.25元.卖出36本；经过两次涨价.按第二次涨价后的价格卖出了25本．发现按原价格和第二次涨价后的价格销售.分别获得的销售利润恰好相等．（1）求第二次涨价后每本练习簿的价格；（2）在两次涨价过程中.假设每本练习簿平均获得利润的增长率完全相同.求这个增长率．（注：利润增长率=×100%）23．已知：如图.在直角梯形ABCD中.AD∥BC.∠C=90°.BC=CD.点E、F分别在边BC、CD上.且BE=DF=AD.联结DE.联结AF、BF分别与DE交于点G、P．（1）求证：AB=BF；（2）如果BE=2EC.求证：DG=GE．24．已知：抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（7.﹣3）.与x轴正半轴交于点B（m.0）、C（6m、0）两点.与y轴交于点D．（1）求m的值；（2）求这条抛物线的表达式；（3）点P在抛物线上.点Q在x轴上.当∠PQD=90°且PQ=2DQ时.求点P、Q的坐标．25．如图所示.∠MON=45°.点P是∠MON内一点.过点P作PA⊥OM于点A、PB⊥ON于点B.且PB=2．取OP的中点C.联结AC并延长.交OB于点D．（1）求证：∠ADB=∠OPB；（2）设PA=x.OD=y.求y关于x的函数解析式；（3）分别联结AB、BC.当△ABD与△CPB相似时.求PA的长．2017年上海市浦东新区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题.每题4分.满分24分）【下列各题的四个选项中.有且只有一个选项是正确的.选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列实数中.是无理数的为（）A．3.14 B．C．D．【考点】26：无理数．【分析】A、B、C、D根据无理数的概念“无理数是无限不循环小数.其中有开方开不尽的数”即可判定选择项．【解答】解：A、B、D中3.14.. =3是有理数.C中是无理数．故选：C．2．下列二次根式中.与是同类二次根式的是（）A． B．C． D．【考点】77：同类二次根式．【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简.根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、与不是同类二次根式；B、=a与不是同类二次根式；C、=a与是同类二次根式；D、=a2与不是同类二次根式；故选：C．3．函数y=kx﹣1（常数k＞0）的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．【分析】一次函数y=kx﹣1（常数k＞0）的图象一定经过第一、三.四象限.不经过第二象限．【解答】解：∵一次函数y=kx﹣1（常数k＞0）.b=﹣1＜0.∴一次函数y=kx﹣1（常数k＞0）的图象一定经过第一、三.四象限.不经过第二象限．故选：B．4．某幢楼10户家庭每月的用电量如下表所示：用电量（度）140 160 180 200户数 1 3 4 2那么这10户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（）A．180.180 B．180.160 C．160.180 D．160.160【考点】W5：众数；W4：中位数．【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．【解答】解：由表可知180出现次数最多.故众数为180.∵共有1+3+4+2=10个数据.∴中位数为第5、6个数据的平均数.即=180.故选：A．5．已知两圆的半径分别为1和5.圆心距为4.那么两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【考点】MJ：圆与圆的位置关系．【分析】由两圆半径分别是1和5.圆心距为4.两圆位置关系与圆心距d.两圆半径R.r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．【解答】解：∵两圆半径分别是1和5.圆心距为4.又∵5﹣1=4.∴这两个圆的位置关系内切．故选D．6．如图.已知△ABC和△DEF.点E在BC边上.点A在DE边上.边EF和边AC相交于点G．如果AE=EC.∠AEG=∠B.那么添加下列一个条件后.仍无法判定△DEF与△ABC一定相似的是（）A． = B． = C． = D． =【考点】S8：相似三角形的判定．【分析】利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可由=得到△ABC∽△EDF；利用=或=可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似先判断△DEF∽△AEG.再利用有两组角对应相等的两个三角形相似判定△AEG∽△ABC.从而得到△ABC∽△EDF.于是可对各选项进行判断．【解答】解：当=时.则=.而∠B=∠AEG.所以△ABC∽△EDF；当=.则=.而∠DEF=∠AEG.所以△DEF∽△AEG.又因为AE=EC.所以∠EAG=∠C.而∠AEG=∠B.所以△AEG∽△ABC.所以△ABC∽△EDF；当=.则=.而∠DEF=∠AEG.所以△DEF∽△AEG.又因为AE=EC.所以∠EAG=∠C.而∠AEG=∠B.所以△AEG∽△ABC.所以△ABC∽△EDF．故选C．二、填空题：（本大题共12题.每题4分.满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．计算：a•a2= a3．【考点】46：同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂的乘法法则.同底数幂相乘.底数不变.指数相加.即a m•a n=a m+n计算即可．【解答】解：a•a2=a1+2=a3．故答案为：a3．8．因式分解：x2﹣2x= x（x﹣2）．【考点】53：因式分解﹣提公因式法．【分析】原式提取x即可得到结果．【解答】解：原式=x（x﹣2）.故答案为：x（x﹣2）9．方程=﹣x的根是x=﹣4 ．【考点】AG：无理方程．【分析】方程两边平方转化为整式方程.求出整式方程的解得到x的值.经检验即可得到无理方程的解．【解答】解：两边平方得：8﹣2x=x2.整理得：（x+4）（x﹣2）=0.可得x+4=0或x﹣2=0.解得：x=﹣4或x=2.经检验x=2是增根.无理方程的解为x=﹣4．故答案为：x=﹣410．函数f（x）=的定义域是x≠﹣2 ．【考点】E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据分式有意义的条件分母不为0计算即可．【解答】解：由x+2≠0得.x≠﹣2；故答案为x≠﹣2．11．如果方程x2﹣2x+m=0有两个实数根.那么m的取值范围是m≤1 ．【考点】AA：根的判别式．【分析】由方程x2﹣2x+m=0有两个实数根.即可得判别式△≥0.继而可求得m的取值范围．【解答】解：∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根.∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m≥0.解得：m≤1．故答案为：m≤1．12．计算：2+（+） + ．【考点】LM ：*平面向量． 【分析】根据向量的加法运算法则进行计算即可得解．【解答】解：2+（+）.=2++.=+．故答案为： +．13．将抛物线y=x 2+2x ﹣1向上平移4个单位后.所得新抛物线的顶点坐标是 （﹣1.2） ．【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】将抛物线解析式整理成顶点式形式.求出顶点坐标.再根据向上平移纵坐标加求解即可．【解答】解：∵y=x 2+2x ﹣1=（x+1）2﹣2.∴原抛物线的顶点坐标为（﹣1.﹣2）.∵向上平移4个单位后.∴平移后抛物线顶点横坐标不变.纵坐标为﹣2+4=2.∴所得新抛物线的顶点坐标是（﹣1.2）．故答案为：（﹣1.2）．14．一个不透明的袋子里装有3个白球、1个红球.这些球除了颜色外无其他的差异.从袋子中随机摸出1个球.恰好是白球的概率是 ．【考点】X4：概率公式．【分析】根据不透明的袋子里装有3个白球、1个红球.共有4个球.再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵不透明的袋子里装有3个白球、1个红球.共有4个球.∴从袋子中随机摸出1个球.恰好是白球的概率是．故答案为：．15．正五边形的中心角的度数是72°．【考点】MM：正多边形和圆．【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为.则代入求解即可．【解答】解：正五边形的中心角为：=72°．故答案为：72°．16．如图.圆弧形桥拱的跨度AB=16米.拱高CD=4米.那么圆弧形桥拱所在圆的半径是10 米．【考点】M3：垂径定理的应用．【分析】根据题意构造直角三角形.进而利用勾股定理求出答案．【解答】解：设圆弧形桥拱所在圆心为O.连接BO.DO.可得：AD=BD.OD⊥AB.∵AB=16米.拱高CD=4米.∴BD=AD=8m.设BO=xm.则DO=（x﹣4）m.根据题意可得：BD2+DO2=BO2.即82+（x﹣4）2=x2.解得：x=10.即圆弧形桥拱所在圆的半径是10m．故答案为：10．17．如果一个三角形一边上的中线的长与另两边中点的连线段的长相等.我们称这个三角形为“等线三角形”.这条边称为“等线边”．在等线三角形ABC中.AB为等线边.且AB=3.AC=2.那么BC= ．【考点】KX：三角形中位线定理．【分析】由三角形的中位线定理证得EF=AB.根据题意得出CD=AB.从而证得△ABC是直角三角形.再利用勾股定理得出BC的长．【解答】解：∵E.F分别是AC.BC的中点.∴EF=AB.∵CD=EF.∴CD=AB.∵AD=BD.∴△ABC是直角三角形.∠ACB=90°.∵AB=3.AC=2.∴BC===.故答案为：．18．如图.矩形ABCD中.AB=4.AD=7.点E.F分别在边AD、BC上.且B、F关于过点E的直线对称.如果以CD为直径的圆与EF相切.那么AE= 3 ．【考点】MC：切线的性质；LB：矩形的性质；P2：轴对称的性质．【分析】设⊙O与EF相切于M.连接EB.作EH⊥BC于H．由题意易知四边形AEHB是矩形.设AE=BH=x.由切线长定理可知.ED=EM.FC=FM.由B、F关于EH对称.推出HF=BH=x.ED=EM=7﹣x.FC=FM=7﹣2x.EF=14﹣3x.在Rt△EFH中.根据EF2=EH2+HF2.列出方程即可解决问题．【解答】解：如图.设⊙O与EF相切于M.连接EB.作EH⊥BC于H．由题意易知四边形AEHB是矩形.设AE=BH=x.由切线长定理可知.ED=EM.FC=FM.∵B、F关于EH对称.∴HF=BH=x.ED=EM=7﹣x.FC=FM=7﹣2x.EF=14﹣3x.在Rt△EFH中.∵EF2=EH2+HF2.∴42+x2=（14﹣3x）2.解得x=3或（舍弃）.∴AE=3.故答案为3．三、解答题：（本大题共7题.满分78分）19．计算：|2﹣|﹣8+2﹣2+．【考点】2C：实数的运算；2F：分数指数幂；6F：负整数指数幂．【分析】首先计算乘方.然后从左向右依次计算.求出算式的值是多少即可．【解答】解：|2﹣|﹣8+2﹣2+=2﹣﹣2+++1=120．解不等式组：．【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】先求出各不等式的解集.再求其公共解集即可．【解答】解：.解不等式①得x＞﹣1.解不等式②得x≤1.所以不等式组的解集为﹣1＜x≤1．21．已知：如图.在平面直角坐标系xOy中.点A在x轴的正半轴上.点B、C在第一象限.且四边形OABC是平行四边形.OC=2.sin∠AOC=.反比例函数y=的图象经过点C以及边AB的中点D．求：（1）求这个反比例函数的解析式；（2）四边形OABC的面积．【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式；G5：反比例函数系数k的几何意义；L5：平行四边形的性质；T7：解直角三角形．【分析】（1）过C作CM⊥x轴于M.则∠CMO=90°.解直角三角形求出CM.根据勾股定理求出OM.求出C的坐标.即可求出答案；（2）根据D为中点求出DN的值.代入反比例函数解析式求出ON.求出OA.根据平行四边形的面积公式求出即可．【解答】解：（1）过C作CM⊥x轴于M.则∠CMO=90°.∵OC=2.sin∠AOC==.∴MC=4.由勾股定理得：OM==2.∴C的坐标为（2.4）.代入y=得：k=8.所以这个反比例函数的解析式是y=；（2）过B作BE⊥x轴于E.则BE=CM=4.AE=OM=2.过D作DN⊥x轴于N.∵D为AB的中点.∴DN==2.AN==1.把y=2代入y=得：x=4.即ON=4.∴OA=4﹣1=3.∴四边形OABC的面积为OA×CM=3×4=12．22．某文具店有一种练习簿出售.每本的成本价为2元.在销售的过程中价格有些调整.按原来的价格每本8.25元.卖出36本；经过两次涨价.按第二次涨价后的价格卖出了25本．发现按原价格和第二次涨价后的价格销售.分别获得的销售利润恰好相等．（1）求第二次涨价后每本练习簿的价格；（2）在两次涨价过程中.假设每本练习簿平均获得利润的增长率完全相同.求这个增长率．（注：利润增长率=×100%）【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）设第二次涨价后每本练习簿的价格为x元.根据总利润=单本利润×数量结合两次销售总利润相等.即可得出关于x的一元一次方程.解之即可得出结论；（2）设每本练习簿平均获得利润的增长率为y.根据涨价前单本利润已经连续两次涨价后的单本利润.即可得出关于y的一元二次方程.解之取其正值即可．【解答】解：（1）设第二次涨价后每本练习簿的价格为x元.根据题意得：（8.25﹣2）×36=（x﹣2）×25.解得：x=11．答：第二次涨价后每本练习簿的价格为11元．（2）设每本练习簿平均获得利润的增长率为y.根据题意得：（8.25﹣2）（1+y）2=11﹣2.解得：y1=0.2=20%.y2=﹣2.2（舍去）．答：每本练习簿平均获得利润的增长率为20%．23．已知：如图.在直角梯形ABCD中.AD∥BC.∠C=90°.BC=CD.点E、F分别在边BC、CD上.且BE=DF=AD.联结DE.联结AF、BF分别与DE交于点G、P．（1）求证：AB=BF；（2）如果BE=2EC.求证：DG=GE．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LI：直角梯形．【分析】（1）先证△BCF≌△DCE.再证四边形ABED是平行四边形.从而得AB=DE=BF．（2）延长AF交BC延长线于点M.从而CM=CF.又由AD∥BC可以得到==1.从而DG=GE．【解答】证明：（1）∵BC=CD.BE=DF.∴CF=CE.在△BCF与△DCE中..∴△BCF≌△DCE.∴BF=DE.∵AD∥BC.BE=AD.∴四边形ABED是平行四边形；∴AB=DE.∴AB=BF．（2）延长AF交BC延长线于点M.则CM=CF；∵AD∥BC.∴=.∵BE=2EC.∴==1.∴DG=GE．24．已知：抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（7.﹣3）.与x轴正半轴交于点B（m.0）、C（6m、0）两点.与y轴交于点D．（1）求m的值；（2）求这条抛物线的表达式；（3）点P在抛物线上.点Q在x轴上.当∠PQD=90°且PQ=2DQ时.求点P、Q的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）先求得点D的坐标.然后设抛物线的解析式为y=a（x﹣m）（x﹣6m）.把点D和点A的坐标代入可求得m的值；（2）由6am2=﹣3.m=1可求得a的值.然后代入抛物线的解析式即可；（3）过点P作PE⊥x轴.垂足为E．设点Q的坐标为（a.0）则OQ=﹣a.然后证明△ODQ∽△EQP.依据相似三角形的性质可求得QE=6.PE=﹣2a．.则P的坐标为（a+6.﹣2a）.将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值．【解答】解：（1）当x=0时.y=﹣3.∴D（0.﹣3）．设抛物线的解析式为y=a（x﹣m）（x﹣6m）．把点D和点A的坐标代入得：6am2=﹣3①.a（7﹣m）（7﹣6m）=﹣3②.∴a（7﹣m）（7﹣6m）=6am2．∵a≠0.∴（7﹣m）（7﹣6m）=m2．解得：m=1．（2）∵6am2=﹣3.∴a=﹣=﹣．将a=﹣.m=1代入得：y=﹣x2+x﹣3．∴抛物线的表达式为y=﹣x2+x﹣3．（3）如图所示：过点P作PE⊥x轴.垂足为E．设点Q的坐标为（a.0）则OQ=﹣a﹣∵∠DQP=90°.∴∠PQO+∠OQD=90°．又∵∠ODQ+∠DQO=90°.∴∠PQE=∠ODQ．又∵∠PEQ=∠DOQ=90°.∴△ODQ∽△EQP．∴===.即==.∴QE=6.PE=﹣2a．∴P的坐标为（a+6.﹣2a）将点P的坐标代入抛物线的解析式得：﹣（a+6）2+（a+6）﹣3=﹣2a.整理得：a2+a=0. 解得a=﹣1或a=0．当a=﹣1时.Q（﹣1.0）.P（5.2）；当a=0时.Q（0.0）.P（6.0）．综上所述.Q（﹣1.0）.P（5.2）或者Q（0.0）.P（6.0）．25．如图所示.∠MON=45°.点P是∠MON内一点.过点P作PA⊥OM于点A、PB⊥ON于点B.且PB=2．取OP的中点C.联结AC并延长.交OB于点D．（1）求证：∠ADB=∠OPB；（2）设PA=x.OD=y.求y关于x的函数解析式；（3）分别联结AB、BC.当△ABD与△CPB相似时.求PA的长．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）先判断出∠DAE=∠POB.再利用等角的余角相等即可得出结论；（2）先利用等腰直角三角形的性质得出OB=BF=（x+2）.同理得出OA=x+4.即可得出AE.OE.进而得出DE.最后用△ADE∽△OPB的比例式建立方程化简即可得出结论；（3）先利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和三角形外角的性质判断出△ABC是等腰直角三角形.即可得出∠OBC+∠ABP=45°.再用△ABD与△CPB得出.∠ABD=∠PBC.即∠OBC=∠ABP=×45°=22.5°.进而得出OP是∠MON的平分线即可得出结论．【解答】解：（1）证明：如图.∵PA⊥OM.CO=CP.∴CO=CP=CA.∴∠CAO=∠COA.过A作AE⊥OB于E.∵∠MON=45°.∴∠AOE=∠OAE=45°.∴∠POB=∠DAE.∵PB⊥OB.∴∠ADB=∠OPB；（2）如图1.延长BP交OM于F.∵BP⊥ON.PA⊥OM.∴∠OBP=∠OAP=90°.∵∠MON=45°.∴∠AFB=45°.在Rt△APF中.AP=x.∠OFB=45°.∴PF=x.∴BF=PF+PB=x+2=（x+2）.在Rt△OBF中.OB=BF=（x+2）延长AP交ON于G.同理：PG=PB=4.∴OA=AG=AP+PG=x+4.过点A作AE⊥ON.∴OE=AE=OA=（x+4）.∴DE=OE﹣OD=（x+4）﹣y由（1）知.∠ADE=∠OPB.∵∠AED=∠OBP=90°.∴△ADE∽△OPB.∴.∴.∴y=（3）如图2.在Rt△OAP中.点C是OP中点.∴AC=OC=OP.在Rt△OBP中.点C是OP中点.∴BC=OC=OP.∴AC=BC.∵AC=OC.∴∠ACP=2∠AOP.∵OC=BC.∴∠BCP=2∠BOP.∴∠ACB=∠ACP+∠BCP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°. ∴∠BAC=∠CAB=45°.∵∠OBP=90°.∴∠OBC+∠ABP=45°∵当△ABD与△CPB相似时.∵∠ADB=∠CPB.∴∠ABD=∠PBC.∴∠OBC=∠ABP=×45°=22.5°.∵OC=BC.∴∠BOC=∠OBC=22.5°.∴∠AOP=∠BOP.∴OP是∠MON的角平分线.∵PA⊥OM.PB⊥ON.∴PA=PB=2．。
黄浦区2017年初三二模25题详解
已知，Rt △ABC 斜边AB 上点D 、E ，满足∠DCE=450，（1） 如图1，当AC=1，BC=3，且点D 与点A 重合时，求线段BE 的长； （2） 如图2，当△ABC 是等腰三角形时，求证：222DE BE AD =+；（3） 如图3，当AC=3，BC=4，设AD=x ，BE=y ，，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域。
解：（1）方法一、过E 作EF ∥BC 交CA 于F易证△CEF 为等腰直角三角形。
由此设EF 为a ，则CF=a ，FA=1-a 在Rt △EFA 中，3=FA EF ，由此解得a 233-， 又CA CF BA BE =，即12aBE =得到BE=33-方法二、三角形内角平分线定理（需证明） 此时CE 是∠ACB 的平分线，则EA EB CA CB =，得到方程132=-BE BE ，解得BE=33-（2）（3）方法一、背景图形 将等腰三角形的底角放在顶角顶点旋转。
（如右图）则△ADE ∽△BAE △ADE ∽△CDA 由此△ABE ∽ACD ，（即左∽右）其中∠AEB=∠DAC ，∠BAE=∠ADC （交错角相等） 则ACBECD AB =，得CD BE AC AB ⋅=⋅图1D图2EC图3ACA（2）基于上述背景图形，第二问可以理解为将一个450放在等腰Rt △的顶点处旋转。
设BD=a ，DE=c ，CE=b ，则有()()22⎪⎭⎫⎝⎛++=++c b a c b c a整理后可得结论。
（3）没有了原来的等腰三角形，那就构造！！！构造等腰Rt △CMN ，并作CH ⊥AB 则CH=HM=HN=512在Rt △CMN 中，有222DN ME DE += ○1 DE=5-x-y ， ME=BE-BM=54512516-=⎪⎭⎫⎝⎛--y yDN=AD+AN=5359512+=⎪⎭⎫⎝⎛-+x x将上述三条线段代入○1并整理即可得结果 2156028--=x x y ⎪⎭⎫⎝⎛≤≤7150x 定义域做法与第一小题相同（2）（3）方法二背景图形 将一个450角放在正方形一个顶点处旋转 易证△AEF ∽△DHF ∽△BEGDH+BG=GH以上证明过程中，得到了两组角的相等。
2017年中考数学模拟试卷 (含答案解析) (14)
2017年黄浦区九年级学业考试模拟考数 学 试 卷 2017年4月（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】 1．单项式324z xy 的次数是（ ▲ ）（A ）3；（B ）4；（C ）5；（D ）6．2．下列方程中无实数解的是（ ▲ ）（A ）02=+x ； （B ）02=-x ； （C ）02=x ； （D ）02=x． 3．下列各组数据中，平均数和中位数相等的是（ ▲ ）（A ）1,2,3,4,5； （B ）1,3,4,5,6；（C ）1,2,4,5,6； （D ）1,2,3,5,6．4．二次函数()322---=x y 图像的顶点坐标是（ ▲ ）（A ）（2,3）；（B ）（2,﹣3）；（C ）（﹣2,3）；（D ）（﹣2,﹣3）．5．以一个面积为1的三角形的三条中位线为三边的三角形的面积为（ ▲ ）（A ）4；（B ）2；（C ）41； （D ）21． 6．已知点A （4,0），B （0,3），如果⊙A 的半径为1，⊙B 的半径为6，则⊙A 与⊙B 的位置关系是（ ▲ ）（A ）内切； （B ）相交； （C ）外切； （D ）外离．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：()=32x▲ ．8．因式分解：=-224y x ▲ ． 9．不等式组⎩⎨⎧≥+<-01202x x 的解集是 ▲ ．10．方程222=-x 的解是 ▲ .11．若关于x 的方程0322=+-k x x 有两个相等的实数根，则k 的值为 ▲ ．12．某个工人要完成3000个零件的加工，如果该工人每小时能加工x 个零件，那么完成这批零件的加工需要的时间是 ▲ 小时．13．已知二次函数的图像经过点（1,3）和（3,3），则此函数图像的对称轴与x 轴的交点坐标是 ▲ ． 14．从1到10这10个正整数中任取一个，该正整数恰好是3的倍数的概率是 ▲ ． 15．正八边形的每个内角的度数是 ▲ ．16．在平面直角坐标系中，点A （2，0），B （0，-3），若OC OB OA =+，则点C 的坐标为 ▲ ． 17．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，则AB ∶BC = ▲ ．18．如图，矩形ABCD ，将它分别沿AE 和AF 折叠，恰好使点B 、D 落到对角线AC 上点M 、N 处，已知MN =2，NC =1，则矩形ABCD 的面积是 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：()()12017122212sin30--+-+--︒.20．（本题满分10分）解方程：21416222+=---+x x x x .21．（本题满分10分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =15°，D 是边AB 的中点，DE ⊥AB 交AC 于点E . （1）求∠CDE 的度数； （2）求CE ∶EA .22．（本题满分10分）小明家买了一台充电式自动扫地机，每次完成充电后，在使用时扫地机会自动根据设定扫地时间，来确DNMCBAEFEDCBADCBA定扫地的速度（以使每次扫地结束时尽量把所储存的电量用完），下图是“设定扫地时间”与“扫地速度”之间的函数图像（线段AB ），其中设定扫地时间为x 分钟，扫地速度为y 平方分米/分钟. （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）现在小明需要扫地机完成180平方米的扫地任务，他应该设定的扫地时间为多少分钟？23．（本题满分12分）如图，菱形ABCD ，以A 为圆心，AC 长为半径的圆分别交边BC 、DC 、AB 、AD 于点E 、F 、G 、H. （1）求证：CE =CF ； （2）当E 为弧中点时，求证：BE 2=CE •CB .24．（本题满分12分）如图，点A 在函数()40y x x =>图像上，过点A 作x 轴和y 轴的平行线分别交函数xy 1=图像于点B 、FED CBAHGOxy 100 20500100B AC ，直线BC 与坐标轴的交点为D 、E .（1）当点C 的横坐标为1时，求点B 的坐标； （2）试问：当点A 在函数()40y x x=>图像上运动时，△ABC 的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC 的面积；若变化，请说明理由；（3）试说明：当点A 在函数()40y x x=>图像上运动时，线段BD 与CE 的长始终相等.25．（本题满分14分）已知：Rt △ABC 斜边AB 上点D 、E ，满足∠DCE =45°.（1）如图1，当AC =1，BC =3，且点D 与A 重合时，求线段B E 的长；EB C AD xy O（2）如图2，当△ABC 是等腰直角三角形时，求证：AD 2+BE 2=DE 2；（3）如图3，当AC =3，BC =4时，设AD =x ，BE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域.（图1） （图2）（图3）黄浦区2017年九年级学业考试模拟考评分标准参考一、选择题（本大题6小题，每小题4分，满分24分）1.D ；2.D ；3.A ；4.B ；5.C ；6.A . 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．6x ； 8．()()y x y x 22-+； 9．122x -≤<； 10．6±； 11．89； 12．x 3000； 13．（2,0）； 14．103；15．135； 16．（2，﹣3）； 17．3∶1； 18．649+． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 解：原式= ()()112221-++-+ —————————————————（8分）=3—————————————————————————————（2分）C B ADE A D E C B （D ） E CB A20．解：()21622-=-+x x ———————————————————————（3分）01032=-+x x ————————————————————————（2分）21=x ，52-=x ————————————————————————（2分）经检验，21=x 是增根，——————————————————————（1分）所以，原方程的根为5-=x .———————————————————（2分）21. 解：（1）在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，∴DC =DA ，———————————————————————————（2分） ∴∠DCA =∠DAC =15°， —————————————————————（1分） ∴∠BDC =30°. ————————————————————————（1分）又DE ⊥AB ，即∠BDE =90°.∴∠CDE =60°. ————————————————————————（1分） （2）过点C 作DE 的垂线，垂足为F （如图）. ———————————（1分） 设AD =2a ，则CD =AD =2a ，—————————————————————（1分） 在△CDF 中，∠CFD =90°，∠CDF =60°.∴CF =a 3.———————————————————————————（1分） 又DE ⊥AB ，∴CF ∥AB ，———————————————————————————（1分） ∴CE ∶EA =CF ∶AD =3∶2. ———————————————————（1分）22. 解：（1）设b kx y +=————————————————————————（1分）由题意得：⎩⎨⎧+=+=b k bk 10010020500，———————————————————（2分）解得：⎩⎨⎧=-=6005b k ，————————————————————————（1分）所以，解析式为6005+-=x y .（20100x ≤≤）——————————（1分）（2）设设定扫地时间为x 分钟. ———————————————————（1分）180平方米=18000平方分米. ————————————————————（1分） 由题意得：()180006005=+-x x ，————————————————（1分） 解得：602,1=x ，符合题意. ———————————————————（1分）E DCBAF答：设定扫地时间为60分钟. —————————————————————（1分） 23. 证：（1）联结AE 、AF . ————————————————————————（1分）由菱形ABCD ，得∠ACE =∠ACF . ——————————————————（1分） 又∵点E 、C 、F 均在圆A 上，∴AE =AC =AF ，——————————————————————————（1分） ∴∠AFC =∠ACF =∠ACE =∠AEC . —————————————————（1分） ∴△ACE ≌△ACF ，————————————————————————（1分）∴CE =CF . ———————————————————————————（1分） （2）∵E 是弧CG 中点，∴∠CAE =∠GAE ，令∠CAE =α.——————————————————（1分） 又菱形ABCD ，得BA =BC ，所以∠BCA =∠BAC =2α，—————————————————————（1分） 则∠AEC =2α=∠BAE +∠B .∴∠B =∠BAE ，——————————————————————————（1分） 所以BE =AE =AC .在△CAB 与△CEA 中，∠AEC =∠BCA =∠CAB ，∴△CAB ∽△CEA ，————————————————————————（1分） ∴CB CE CA CBCACA CE ∙=⇒=2，—————————————————（1分） 即CB CE BE ∙=2.———————————————————————（1分） 24. 解：（1）由点C 的横坐标为1，且AC 平行于y 轴，所以点A 的横坐标也为1，且位于函数xy 4=图像上，则()4,1A .—————（2分） 又AB 平行于x 轴，所以点B 的纵坐标为4，且位于函数x y 1=图像上，则⎪⎭⎫⎝⎛4,41B .————（2分） （2）令⎪⎭⎫ ⎝⎛a a A 4,，由题意可得：⎪⎭⎫ ⎝⎛a a B 4,41，⎪⎭⎫⎝⎛a a C 1,. ———————（1分） 于是△ABC 的面积为：8934321144121=⨯⨯=-⨯-a a a a a a ， ————（2分） 所以△ABC 的面积不变，为89.———————————————————（1分） （3）分别延长AB 、AC 交坐标轴于点F 、G . —————————————（1分）则⎪⎭⎫⎝⎛a F 4,0，()0,a G . ∵DF ∥AC ，——————————————————————————（1分）∴314141=-==aa aBA FB BC DB ，即BC DB 31=.———————————（1分）同理CB CE 31=，所以BD =CE . ——————————————————————————（1分） 25. 解：（1）过点E 作EH ⊥BC 于H . ———————————————————（1分） ∵∠ACB =90°，∠ACE =45°，∴∠BCE =45°. 又AC =1，BC =3，∴33tan =B .—————————————————————————（1分） 在△CEH 中，∠CHE =90°，∠HCE =45°，令CH =EH =x ， 则在△BEH 中，BH =x BEH3tan =，BE =2x . 于是23333-=⇒+=x x x ，—————————————————（1分） ∴BE =33-.—————————————————————————（1分） （2）∵△ABC 为等腰直角三角形，∴CA =CB .将△BCE 绕点C 旋转90°到△ACF 处，联结DF .（如图）——————（1分）则∠DCF =∠DCA +∠ACF =∠DCA +∠BCE =90°-45°=45°=∠DCE . ——（1分） 又CE =CF ，CD =CD .∴△DCE ≌△CDF ，———————————————————————（1分） ∴DE =DF .于是在△ADF 中，∠DAF =∠DAC +∠CAF=45°+45°=90°. ————————————（1分） ∴222AF DA DF+=，即222BE DA DE +=.—————————————————————（1分）CF（3）将△ACD 绕点C 旋转90°到△QCP 处，点Q 恰好在边BC 上，联结PE ，并延长PQ 交边AB 于点T .（如图）同（2），易证△ECD ≌△ECP ，得DE =EP . 又∠B +∠BQT =∠B +∠PQC =∠B +∠A =90°，∴∠BTQ =90°.又BQ =BC -CQ =BC -AC =1. ————————————————————（1分） 在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，则AB =5，3sin 5B =，4cos 5B =. 于是在△BTQ 中，得53=TQ ，54=TB .——————————————（1分） 所以在△PET 中，∠PTE =90°，PE =DE =y x --5，TE =45y -，PT =53+x ， 有222TE PT PE +=，即()22254535⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--y x y x ，————（1分）解得：28601505217x y x x -⎛⎫=≤≤ ⎪-⎝⎭ ———————————————（2分）CBADETQ P。
上海市浦东新区2017年中考数学二模试卷(含解析)
2017年上海市浦东新区中考数学二模试卷一、选择题：〔本大题共6题，每题4分，总分值24分〕【以下各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．以下实数中，是无理数的为〔〕A．3.14 B．C．D．2．以下二次根式中，与是同类二次根式的是〔〕A． B．C． D．3．函数y=kx﹣1〔常数k＞0〕的图象不经过的象限是〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．某幢楼10户家庭每月的用电量如下表所示：用电量〔度〕140 160 180 200户数 1 3 4 2那么这10户家庭该月用电量的众数和中位数分别是〔〕A．180，180 B．180，160 C．160，180 D．160，1605．已知两圆的半径分别为1和5，圆心距为4，那么两圆的位置关系是〔〕A．外离 B．外切 C．相交 D．内切6．如图，已知△ABC和△DEF，点E在BC边上，点A在DE边上，边EF和边AC相交于点G．如果AE=EC，∠AEG=∠B，那么添加以下一个条件后，仍无法判定△DEF与△ABC一定相似的是〔〕A． = B． = C． = D． =二、填空题：〔本大题共12题，每题4分，总分值48分〕【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．计算：a•a2= ．8．因式分解：x2﹣2x= ．9．方程=﹣x的根是．10．函数f〔x〕=的定义域是．11．如果方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，那么m的取值范围是．12．计算：2+〔+〕．13．将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移4个单位后，所得新抛物线的顶点坐标是．14．一个不透明的袋子里装有3个白球、1个红球，这些球除了颜色外无其他的差异，从袋子中随机摸出1个球，恰好是白球的概率是．15．正五边形的中心角的度数是．16．如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16米，拱高CD=4米，那么圆弧形桥拱所在圆的半径是米．17．如果一个三角形一边上的中线的长与另两边中点的连线段的长相等，我们称这个三角形为“等线三角形”，这条边称为“等线边”．在等线三角形ABC中，AB为等线边，且AB=3，AC=2，那么BC= ．18．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=7，点E，F分别在边AD、BC上，且B、F关于过点E 的直线对称，如果以CD为直径的圆与EF相切，那么AE= ．三、解答题：〔本大题共7题，总分值78分〕19．计算：|2﹣|﹣8+2﹣2+．20．解不等式组：．21．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B、C在第一象限，且四边形OABC是平行四边形，OC=2，sin∠AOC=，反比例函数y=的图象经过点C 以及边AB的中点D．求：〔1〕求这个反比例函数的解析式；〔2〕四边形OABC的面积．22．某文具店有一种练习簿出售，每本的成本价为2元，在销售的过程中价格有些调整，按原来的价格每本8.25元，卖出36本；经过两次涨价，按第二次涨价后的价格卖出了25本．发现按原价格和第二次涨价后的价格销售，分别获得的销售利润恰好相等．〔1〕求第二次涨价后每本练习簿的价格；〔2〕在两次涨价过程中，假设每本练习簿平均获得利润的增长率完全相同，求这个增长率．〔注：利润增长率=×100%〕23．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=CD，点E、F分别在边BC、CD上，且BE=DF=AD，联结DE，联结AF、BF分别与DE交于点G、P．〔1〕求证：AB=BF；〔2〕如果BE=2EC，求证：DG=GE．24．已知：抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A〔7，﹣3〕，与x轴正半轴交于点B〔m，0〕、C〔6m、0〕两点，与y轴交于点D．〔1〕求m的值；〔2〕求这条抛物线的表达式；〔3〕点P在抛物线上，点Q在x轴上，当∠PQD=90°且PQ=2DQ时，求点P、Q的坐标．25．如下列图，∠MON=45°，点P是∠MON内一点，过点P作PA⊥OM于点A、PB⊥ON于点B，且PB=2．取OP的中点C，联结AC并延长，交OB于点D．〔1〕求证：∠ADB=∠OPB；〔2〕设PA=x，OD=y，求y关于x的函数解析式；〔3〕分别联结AB、BC，当△ABD与△CPB相似时，求PA的长．2017年上海市浦东新区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：〔本大题共6题，每题4分，总分值24分〕【以下各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．以下实数中，是无理数的为〔〕A．3.14 B．C．D．【考点】26：无理数．【分析】A、B、C、D根据无理数的概念“无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数”即可判定选择项．【解答】解：A、B、D中3.14，， =3是有理数，C中是无理数．故选：C．2．以下二次根式中，与是同类二次根式的是〔〕A． B．C． D．【考点】77：同类二次根式．【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、与不是同类二次根式；B、=a与不是同类二次根式；C、=a与是同类二次根式；D、=a2与不是同类二次根式；故选：C．3．函数y=kx﹣1〔常数k＞0〕的图象不经过的象限是〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．【分析】一次函数y=kx﹣1〔常数k＞0〕的图象一定经过第一、三，四象限，不经过第二象限．【解答】解：∵一次函数y=kx﹣1〔常数k＞0〕，b=﹣1＜0，∴一次函数y=kx﹣1〔常数k＞0〕的图象一定经过第一、三，四象限，不经过第二象限．故选：B．4．某幢楼10户家庭每月的用电量如下表所示：用电量〔度〕140 160 180 200户数 1 3 4 2那么这10户家庭该月用电量的众数和中位数分别是〔〕A．180，180 B．180，160 C．160，180 D．160，160【考点】W5：众数；W4：中位数．【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．【解答】解：由表可知180出现次数最多，故众数为180，∵共有1+3+4+2=10个数据，∴中位数为第5、6个数据的平均数，即=180，故选：A．5．已知两圆的半径分别为1和5，圆心距为4，那么两圆的位置关系是〔〕A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【考点】MJ：圆与圆的位置关系．【分析】由两圆半径分别是1和5，圆心距为4，两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．【解答】解：∵两圆半径分别是1和5，圆心距为4，又∵5﹣1=4，∴这两个圆的位置关系内切．故选D．6．如图，已知△ABC和△DEF，点E在BC边上，点A在DE边上，边EF和边AC相交于点G．如果AE=EC，∠AEG=∠B，那么添加以下一个条件后，仍无法判定△DEF与△ABC一定相似的是〔〕A． = B． = C． = D． =【考点】S8：相似三角形的判定．【分析】利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可由=得到△ABC ∽△EDF；利用=或=可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似先判断△DEF∽△AEG，再利用有两组角对应相等的两个三角形相似判定△AEG∽△ABC，从而得到△ABC∽△EDF，于是可对各选项进行判断．【解答】解：当=时，则=，而∠B=∠AEG，所以△ABC∽△EDF；当=，则=，而∠DEF=∠AEG，所以△DEF∽△AEG，又因为AE=EC，所以∠EAG=∠C，而∠AEG=∠B，所以△AEG∽△ABC，所以△ABC∽△EDF；当=，则=，而∠DEF=∠AEG，所以△DEF∽△AEG，又因为AE=EC，所以∠EAG=∠C，而∠AEG=∠B，所以△AEG∽△ABC，所以△ABC∽△EDF．故选C．二、填空题：〔本大题共12题，每题4分，总分值48分〕【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．计算：a•a2= a3．【考点】46：同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n=a m+n计算即可．【解答】解：a•a2=a1+2=a3．故答案为：a3．8．因式分解：x2﹣2x= x〔x﹣2〕．【考点】53：因式分解﹣提公因式法．【分析】原式提取x即可得到结果．【解答】解：原式=x〔x﹣2〕，故答案为：x〔x﹣2〕9．方程=﹣x的根是x=﹣4 ．【考点】AG：无理方程．【分析】方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到无理方程的解．【解答】解：两边平方得：8﹣2x=x2，整理得：〔x+4〕〔x﹣2〕=0，可得x+4=0或x﹣2=0，解得：x=﹣4或x=2，经检验x=2是增根，无理方程的解为x=﹣4．故答案为：x=﹣410．函数f〔x〕=的定义域是x≠﹣2 ．【考点】E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据分式有意义的条件分母不为0计算即可．【解答】解：由x+2≠0得，x≠﹣2；故答案为x≠﹣2．11．如果方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，那么m的取值范围是m≤1 ．【考点】AA：根的判别式．【分析】由方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，即可得判别式△≥0，继而可求得m的取值范围．【解答】解：∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，∴△=b2﹣4ac=〔﹣2〕2﹣4×1×m=4﹣4m≥0，解得：m≤1．故答案为：m≤1．12．计算：2+〔+〕+．【考点】LM：*平面向量．【分析】根据向量的加法运算法则进行计算即可得解．【解答】解：2+〔+〕，=2++，=+．故答案为：+．13．将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移4个单位后，所得新抛物线的顶点坐标是〔﹣1，2〕．【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】将抛物线解析式整理成顶点式形式，求出顶点坐标，再根据向上平移纵坐标加求解即可．【解答】解：∵y=x2+2x﹣1=〔x+1〕2﹣2，∴原抛物线的顶点坐标为〔﹣1，﹣2〕，∵向上平移4个单位后，∴平移后抛物线顶点横坐标不变，纵坐标为﹣2+4=2，∴所得新抛物线的顶点坐标是〔﹣1，2〕．故答案为：〔﹣1，2〕．14．一个不透明的袋子里装有3个白球、1个红球，这些球除了颜色外无其他的差异，从袋子中随机摸出1个球，恰好是白球的概率是．【考点】X4：概率公式．【分析】根据不透明的袋子里装有3个白球、1个红球，共有4个球，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵不透明的袋子里装有3个白球、1个红球，共有4个球，∴从袋子中随机摸出1个球，恰好是白球的概率是．故答案为：．15．正五边形的中心角的度数是72°．【考点】MM：正多边形和圆．【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为，则代入求解即可．【解答】解：正五边形的中心角为：=72°．故答案为：72°．16．如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16米，拱高CD=4米，那么圆弧形桥拱所在圆的半径是10 米．【考点】M3：垂径定理的应用．【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理求出答案．【解答】解：设圆弧形桥拱所在圆心为O，连接BO，DO，可得：AD=BD，OD⊥AB，∵AB=16米，拱高CD=4米，∴BD=AD=8m，设BO=xm，则DO=〔x﹣4〕m，根据题意可得：BD2+DO2=BO2，即82+〔x﹣4〕2=x2，解得：x=10，即圆弧形桥拱所在圆的半径是10m．故答案为：10．17．如果一个三角形一边上的中线的长与另两边中点的连线段的长相等，我们称这个三角形为“等线三角形”，这条边称为“等线边”．在等线三角形ABC中，AB为等线边，且AB=3，AC=2，那么BC= ．【考点】KX：三角形中位线定理．【分析】由三角形的中位线定理证得EF=AB，根据题意得出CD=AB，从而证得△ABC是直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长．【解答】解：∵E，F分别是AC，BC的中点，∴EF=AB，∵CD=EF，∴CD=AB，∵AD=BD，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∵AB=3，AC=2，∴BC===，故答案为：．18．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=7，点E，F分别在边AD、BC上，且B、F关于过点E 的直线对称，如果以CD为直径的圆与EF相切，那么AE= 3 ．【考点】MC：切线的性质；LB：矩形的性质；P2：轴对称的性质．【分析】设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE=BH=x，由切线长定理可知，ED=EM，FC=FM，由B、F关于EH对称，推出HF=BH=x，ED=EM=7﹣x，FC=FM=7﹣2x，EF=14﹣3x，在Rt△EFH中，根据EF2=EH2+HF2，列出方程即可解决问题．【解答】解：如图，设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE=BH=x，由切线长定理可知，ED=EM，FC=FM，∵B、F关于EH对称，∴HF=BH=x，ED=EM=7﹣x，FC=FM=7﹣2x，EF=14﹣3x，在Rt△EFH中，∵EF2=EH2+HF2，∴42+x2=〔14﹣3x〕2，解得x=3或〔舍弃〕，∴AE=3，故答案为3．三、解答题：〔本大题共7题，总分值78分〕19．计算：|2﹣|﹣8+2﹣2+．【考点】2C：实数的运算；2F：分数指数幂；6F：负整数指数幂．【分析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：|2﹣|﹣8+2﹣2+=2﹣﹣2+++1=120．解不等式组：．【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．【解答】解：，解不等式①得x＞﹣1，解不等式②得x≤1，所以不等式组的解集为﹣1＜x≤1．21．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B、C在第一象限，且四边形OABC是平行四边形，OC=2，sin∠AOC=，反比例函数y=的图象经过点C 以及边AB的中点D．求：〔1〕求这个反比例函数的解析式；〔2〕四边形OABC的面积．【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式；G5：反比例函数系数k的几何意义；L5：平行四边形的性质；T7：解直角三角形．【分析】〔1〕过C作CM⊥x轴于M，则∠CMO=90°，解直角三角形求出CM，根据勾股定理求出OM，求出C的坐标，即可求出答案；〔2〕根据D为中点求出DN的值，代入反比例函数解析式求出ON，求出OA，根据平行四边形的面积公式求出即可．【解答】解：〔1〕过C作CM⊥x轴于M，则∠CMO=90°，∵OC=2，sin∠AOC==，∴MC=4，由勾股定理得：OM==2，∴C的坐标为〔2，4〕，代入y=得：k=8，所以这个反比例函数的解析式是y=；〔2〕过B作BE⊥x轴于E，则BE=CM=4，AE=OM=2，过D作DN⊥x轴于N，∵D为AB的中点，∴DN==2，AN==1，把y=2代入y=得：x=4，即ON=4，∴OA=4﹣1=3，∴四边形OABC的面积为OA×CM=3×4=12．22．某文具店有一种练习簿出售，每本的成本价为2元，在销售的过程中价格有些调整，按原来的价格每本8.25元，卖出36本；经过两次涨价，按第二次涨价后的价格卖出了25本．发现按原价格和第二次涨价后的价格销售，分别获得的销售利润恰好相等．〔1〕求第二次涨价后每本练习簿的价格；〔2〕在两次涨价过程中，假设每本练习簿平均获得利润的增长率完全相同，求这个增长率．〔注：利润增长率=×100%〕【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】〔1〕设第二次涨价后每本练习簿的价格为x元，根据总利润=单本利润×数量结合两次销售总利润相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；〔2〕设每本练习簿平均获得利润的增长率为y，根据涨价前单本利润已经连续两次涨价后的单本利润，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可．【解答】解：〔1〕设第二次涨价后每本练习簿的价格为x元，根据题意得：〔8.25﹣2〕×36=〔x﹣2〕×25，解得：x=11．答：第二次涨价后每本练习簿的价格为11元．〔2〕设每本练习簿平均获得利润的增长率为y，根据题意得：〔8.25﹣2〕〔1+y〕2=11﹣2，解得：y1=0.2=20%，y2=﹣2.2〔舍去〕．答：每本练习簿平均获得利润的增长率为20%．23．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=CD，点E、F分别在边BC、CD上，且BE=DF=AD，联结DE，联结AF、BF分别与DE交于点G、P．〔1〕求证：AB=BF；〔2〕如果BE=2EC，求证：DG=GE．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LI：直角梯形．【分析】〔1〕先证△BCF≌△DCE，再证四边形ABED是平行四边形，从而得AB=DE=BF．〔2〕延长AF交BC延长线于点M，从而CM=CF，又由AD∥BC可以得到==1，从而DG=GE．【解答】证明：〔1〕∵BC=CD，BE=DF，∴CF=CE，在△BCF与△DCE中，，∴△BCF≌△DCE，∴BF=DE，∵AD∥BC，BE=AD，∴四边形ABED是平行四边形；∴AB=DE，∴AB=BF．〔2〕延长AF交BC延长线于点M，则CM=CF；∵AD∥BC，∴=，∵BE=2EC，∴==1，∴DG=GE．24．已知：抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A〔7，﹣3〕，与x轴正半轴交于点B〔m，0〕、C〔6m、0〕两点，与y轴交于点D．〔1〕求m的值；〔2〕求这条抛物线的表达式；〔3〕点P在抛物线上，点Q在x轴上，当∠PQD=90°且PQ=2DQ时，求点P、Q的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】〔1〕先求得点D的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a〔x﹣m〕〔x﹣6m〕，把点D 和点A的坐标代入可求得m的值；〔2〕由6am2=﹣3，m=1可求得a的值，然后代入抛物线的解析式即可；〔3〕过点P作PE⊥x轴，垂足为E．设点Q的坐标为〔a，0〕则OQ=﹣a，然后证明△ODQ ∽△EQP，依据相似三角形的性质可求得QE=6，PE=﹣2a．，则P的坐标为〔a+6，﹣2a〕，将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值．【解答】解：〔1〕当x=0时，y=﹣3，∴D〔0，﹣3〕．设抛物线的解析式为y=a〔x﹣m〕〔x﹣6m〕．把点D和点A的坐标代入得：6am2=﹣3①，a〔7﹣m〕〔7﹣6m〕=﹣3②，∴a〔7﹣m〕〔7﹣6m〕=6am2．∵a≠0，∴〔7﹣m〕〔7﹣6m〕=m2．解得：m=1．〔2〕∵6am2=﹣3，∴a=﹣=﹣．将a=﹣，m=1代入得：y=﹣x2+x﹣3．∴抛物线的表达式为y=﹣x2+x﹣3．〔3〕如下列图：过点P作PE⊥x轴，垂足为E．设点Q的坐标为〔a，0〕则OQ=﹣a﹣∵∠DQP=90°，∴∠PQO+∠OQD=90°．又∵∠ODQ+∠DQO=90°，∴∠PQE=∠ODQ．又∵∠PEQ=∠DOQ=90°，∴△ODQ∽△EQP．∴===，即==，∴QE=6，PE=﹣2a．∴P的坐标为〔a+6，﹣2a〕将点P的坐标代入抛物线的解析式得：﹣〔a+6〕2+〔a+6〕﹣3=﹣2a，整理得：a2+a=0，解得a=﹣1或a=0．当a=﹣1时，Q〔﹣1，0〕，P〔5，2〕；当a=0时，Q〔0，0〕，P〔6，0〕．综上所述，Q〔﹣1，0〕，P〔5，2〕或者Q〔0，0〕，P〔6，0〕．25．如下列图，∠MON=45°，点P是∠MON内一点，过点P作PA⊥OM于点A、PB⊥ON于点B，且PB=2．取OP的中点C，联结AC并延长，交OB于点D．〔1〕求证：∠ADB=∠OPB；〔2〕设PA=x，OD=y，求y关于x的函数解析式；〔3〕分别联结AB、BC，当△ABD与△CPB相似时，求PA的长．【考点】SO：相似形综合题．【分析】〔1〕先判断出∠DAE=∠POB，再利用等角的余角相等即可得出结论；〔2〕先利用等腰直角三角形的性质得出OB=BF=〔x+2〕，同理得出OA=x+4，即可得出AE，OE，进而得出DE，最后用△ADE∽△OPB的比例式建立方程化简即可得出结论；〔3〕先利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和三角形外角的性质判断出△ABC是等腰直角三角形，即可得出∠OBC+∠ABP=45°，再用△ABD与△CPB得出，∠ABD=∠PBC，即∠OBC=∠ABP=×45°=22.5°，进而得出OP是∠MON的平分线即可得出结论．【解答】解：〔1〕证明：如图，∵PA⊥OM，CO=CP，∴CO=CP=CA，∴∠CAO=∠COA，过A作AE⊥OB于E，∵∠MON=45°，∴∠AOE=∠OAE=45°，∴∠POB=∠DAE，∵PB⊥OB，∴∠ADB=∠OPB；〔2〕如图1，延长BP交OM于F，∵BP⊥ON，PA⊥OM，∴∠OBP=∠OAP=90°，∵∠MON=45°，∴∠AFB=45°，在Rt△APF中，AP=x，∠OFB=45°，∴PF=x，∴BF=PF+PB=x+2=〔x+2〕，在Rt△OBF中，OB=BF=〔x+2〕延长AP交ON于G，同理：PG=PB=4，∴OA=AG=AP+PG=x+4，过点A作AE⊥ON，∴OE=AE=OA=〔x+4〕，∴DE=OE﹣OD=〔x+4〕﹣y由〔1〕知，∠ADE=∠OPB，∵∠AED=∠OBP=90°，∴△ADE∽△OPB，∴，∴，∴y=〔3〕如图2，在Rt△OAP中，点C是OP中点，∴AC=OC=OP，在Rt△OBP中，点C是OP中点，∴BC=OC=OP，∴AC=BC，∵AC=OC，∴∠ACP=2∠AOP，∵OC=BC，∴∠BCP=2∠BOP，∴∠ACB=∠ACP+∠BCP=2〔∠AOP+∠BOP〕=2∠AOB=90°，∴∠BAC=∠CAB=45°，∵∠OBP=90°，∴∠OBC+∠ABP=45°∵当△ABD与△CPB相似时，∵∠ADB=∠CPB，∴∠ABD=∠PBC，∴∠OBC=∠ABP=×45°=22.5°，∵OC=BC，∴∠BOC=∠OBC=22.5°，∴∠AOP=∠BOP，∴OP是∠MON的角平分线，∵PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA=PB=2．。
2017年4月青浦中考二模数学试卷
第4题图SSDCBA青浦区2016学年九年级第二次学业质量调研测试数学试卷（满分150分，100分钟完成）2017.4一、单项选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列运算中，正确的是（）A．2a－a=1；B．a+a=2a；C．(a3)3=a6；D．a8÷a2=a4．2.不等式组⎩⎨⎧<-≥+2,132xx的解集在数轴上可表示为（）3.）A．3-；B．3或3-；C．9；D．3．4.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（）A2；B2；C3；D．1．5.某集团公司有9个子公司，各个子公司所创年利润的情况如下表所示.各子公司所创年利润的众数和中位数分别是（）A．4千万元，3千万元；B．6千万元，4千万元；C．6千万元，3千万元；D．3千万元，3千万元．6.如图，在四边形ABCD中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止.在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化关系用图像表示正确的是（）二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）A B CD第6题图第16题图7.若2=3x y，则=x x y+ ．8. 在实数范围内因式分解：23x -=____________. 9.已知函数xx x f 1)(+=，那么()1f-=________．10.已知反比例函数1k y x-=的图象经过一、三象限，则实数k 的取值范围是 ．11.已知关于x 的方程220x x m -+=有实数根，那么实数m 的取值范围是________． 12.1=的解为 ．13.抛物线()2230y ax ax a =-++≠的对称轴是 ．14.布袋中装有3个红球和n 个白球，它们除颜色外其它都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好是红球的概率是13，那么布袋中白球有 个.15.化简：1233（）--a a b = ．16.如图，在菱形ABCD 中，EF ∥BC ，31=BEAE ，EF ＝3，则CD 的长为 ．17.在△ABC 中，已知BC =4cm ，以边AC 的中点P 为圆心1cm 为半径画⊙P ，以边AB 的中点Q为圆心x cm 长为半径画⊙Q ，如果⊙P 与⊙Q 相切，那么x =cm 18.如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB .设BE =a ，DC =b ，那么AB = ．（用含a 、b 的式子表示AB ） 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19.（本题满分10分）计算：0112017()6c o s 30|22-︒++--．第18题图第22题20.（本题满分10分）解方程：24211422x x x x -=---+.21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知直线132=-+y x 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，设O 为坐标原点. （1）求∠ABO 的正切值；（2）如果点A 向左平移12个单位到点C ，直线l 过点C 且与直线132=-+y x 平行，求直线l 的解析式.22.（本题满分10分）小明在海湾森林公园放风筝.如图所示，小明在A 处，风筝飞到C 处，此时线长BC 为40米，若小明双手牵住绳子的底端B 距离地面1.5米，从B 处测得C 处的仰角为60°，求此时风筝离地面的高度CE .(计算结果精确到0.1)1.732≈第23题23.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图，在△ABC 中，点P 是AC 边上的一点，过点P 作与BC 平行的直线PQ ，交AB 于点Q ，点D 在线段BC 上，联接AD 交线段PQ 于点E ，且C P Q E C DB D，点G 在BC 延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ 于点F ． （1）求证：PC =PE ；（2）当P 是边AC 的中点时，求证：四边形AECF 是矩形.24.（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）已知△OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A 在第一象限，点B 在x 轴正半轴上，OA =OB =6，∠AOB =30°.（1）求点A 、B 的坐标；（2）开口向上的抛物线经过原点O 和点B ，设其顶点为E ，当△OBE 为等腰直角三角形时，求抛物线的解析式；（3）设半径为2的⊙P 与直线OA 交于M 、N 两点，已知MN =32，P (m ，2）（m>0),求m25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，△ABC 的边AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，已知AC =6 cm ，BC =8 cm ，点P 、Q 分别在边AB 、BC 上，且点P 不与点A 、B 重合，BQ =k ·AP （k >0），联接PC 、PQ ． （1）求⊙O 的半径长；（2）当k =2时，设AP =x ，△CPQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）如果△CPQ 与△ABC 相似，且∠ACB =∠CPQ ，求k 的值.第25题图备用图。
上海市浦东新区中考数学二模试卷(含解析)
2017年上海市浦东新区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列实数中，是无理数的为（）A．3.14 B．C．D．2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B．C． D．3．函数y=kx﹣1（常数k＞0）的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．某幢楼10户家庭每月的用电量如下表所示：那么这10户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（）A．180，180 B．180，160 C．160，180 D．160，1605．已知两圆的半径分别为1和5，圆心距为4，那么两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切6．如图，已知△ABC和△DEF，点E在BC边上，点A在DE边上，边EF和边AC相交于点G．如果AE=EC，∠AEG=∠B，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△DEF与△ABC一定相似的是（）A． = B． = C． = D． =二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．计算：a•a2= ．8．因式分解：x2﹣2x= ．9．方程=﹣x的根是．10．函数f（x）=的定义域是．11．如果方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，那么m的取值范围是．12．计算：2+（+）．13．将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移4个单位后，所得新抛物线的顶点坐标是．14．一个不透明的袋子里装有3个白球、1个红球，这些球除了颜色外无其他的差异，从袋子中随机摸出1个球，恰好是白球的概率是．15．正五边形的中心角的度数是．16．如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16米，拱高CD=4米，那么圆弧形桥拱所在圆的半径是米．17．如果一个三角形一边上的中线的长与另两边中点的连线段的长相等，我们称这个三角形为“等线三角形”，这条边称为“等线边”．在等线三角形ABC中，AB为等线边，且AB=3，AC=2，那么BC= ．18．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=7，点E，F分别在边AD、BC上，且B、F关于过点E 的直线对称，如果以CD为直径的圆与EF相切，那么AE= ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：|2﹣|﹣8+2﹣2+．20．解不等式组：．21．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B、C在第一象限，且四边形OABC是平行四边形，OC=2，sin∠AOC=，反比例函数y=的图象经过点C 以及边AB的中点D．求：（1）求这个反比例函数的解析式；（2）四边形OABC的面积．22．某文具店有一种练习簿出售，每本的成本价为2元，在销售的过程中价格有些调整，按原来的价格每本8.25元，卖出36本；经过两次涨价，按第二次涨价后的价格卖出了25本．发现按原价格和第二次涨价后的价格销售，分别获得的销售利润恰好相等．（1）求第二次涨价后每本练习簿的价格；（2）在两次涨价过程中，假设每本练习簿平均获得利润的增长率完全相同，求这个增长率．（注：利润增长率=×100%）23．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=CD，点E、F分别在边BC、CD上，且BE=DF=AD，联结DE，联结AF、BF分别与DE交于点G、P．（1）求证：AB=BF；（2）如果BE=2EC，求证：DG=GE．24．已知：抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（7，﹣3），与x轴正半轴交于点B（m，0）、C（6m、0）两点，与y轴交于点D．（1）求m的值；（2）求这条抛物线的表达式；（3）点P在抛物线上，点Q在x轴上，当∠PQD=90°且PQ=2DQ时，求点P、Q的坐标．25．如图所示，∠MON=45°，点P是∠MON内一点，过点P作PA⊥OM于点A、PB⊥ON于点B，且PB=2．取OP的中点C，联结AC并延长，交OB于点D．（1）求证：∠ADB=∠OPB；（2）设PA=x，OD=y，求y关于x的函数解析式；（3）分别联结AB、BC，当△ABD与△CPB相似时，求PA的长．2017年上海市浦东新区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列实数中，是无理数的为（）A．3.14 B．C．D．【考点】26：无理数．【分析】A、B、C、D根据无理数的概念“无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数”即可判定选择项．【解答】解：A、B、D中3.14，， =3是有理数，C中是无理数．故选：C．2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B．C． D．【考点】77：同类二次根式．【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、与不是同类二次根式；B、=a与不是同类二次根式；C、=a与是同类二次根式；D、=a2与不是同类二次根式；故选：C．3．函数y=kx﹣1（常数k＞0）的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．【分析】一次函数y=kx﹣1（常数k＞0）的图象一定经过第一、三，四象限，不经过第二象限．【解答】解：∵一次函数y=kx﹣1（常数k＞0），b=﹣1＜0，∴一次函数y=kx﹣1（常数k＞0）的图象一定经过第一、三，四象限，不经过第二象限．故选：B．4．某幢楼10户家庭每月的用电量如下表所示：那么这10户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（）A．180，180 B．180，160 C．160，180 D．160，160【考点】W5：众数；W4：中位数．【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．【解答】解：由表可知180出现次数最多，故众数为180，∵共有1+3+4+2=10个数据，∴中位数为第5、6个数据的平均数，即=180，故选：A．5．已知两圆的半径分别为1和5，圆心距为4，那么两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【考点】MJ：圆与圆的位置关系．【分析】由两圆半径分别是1和5，圆心距为4，两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．【解答】解：∵两圆半径分别是1和5，圆心距为4，又∵5﹣1=4，∴这两个圆的位置关系内切．故选D．6．如图，已知△ABC和△DEF，点E在BC边上，点A在DE边上，边EF和边AC相交于点G．如果AE=EC，∠AEG=∠B，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△DEF与△ABC一定相似的是（）A． = B． = C． = D． =【考点】S8：相似三角形的判定．【分析】利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可由=得到△ABC∽△EDF；利用=或=可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似先判断△DEF∽△AEG，再利用有两组角对应相等的两个三角形相似判定△AEG∽△ABC，从而得到△ABC∽△EDF，于是可对各选项进行判断．【解答】解：当=时，则=，而∠B=∠AEG，所以△ABC∽△EDF；当=，则=，而∠DEF=∠AEG，所以△DEF∽△AEG，又因为AE=EC，所以∠EAG=∠C，而∠AEG=∠B，所以△AEG∽△ABC，所以△ABC∽△EDF；当=，则=，而∠DEF=∠AEG，所以△DEF∽△AEG，又因为AE=EC，所以∠EAG=∠C，而∠AEG=∠B，所以△AEG∽△ABC，所以△ABC∽△EDF．故选C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．计算：a•a2= a3．【考点】46：同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n=a m+n计算即可．【解答】解：a•a2=a1+2=a3．故答案为：a3．8．因式分解：x2﹣2x= x（x﹣2）．【考点】53：因式分解﹣提公因式法．【分析】原式提取x即可得到结果．【解答】解：原式=x（x﹣2），故答案为：x（x﹣2）9．方程=﹣x的根是x=﹣4 ．【考点】AG：无理方程．【分析】方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到无理方程的解．【解答】解：两边平方得：8﹣2x=x2，整理得：（x+4）（x﹣2）=0，可得x+4=0或x﹣2=0，解得：x=﹣4或x=2，经检验x=2是增根，无理方程的解为x=﹣4．故答案为：x=﹣410．函数f（x）=的定义域是x≠﹣2 ．【考点】E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据分式有意义的条件分母不为0计算即可．【解答】解：由x+2≠0得，x≠﹣2；故答案为x≠﹣2．11．如果方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，那么m的取值范围是m≤1 ．【考点】AA：根的判别式．【分析】由方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，即可得判别式△≥0，继而可求得m的取值范围．【解答】解：∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m≥0，解得：m≤1．故答案为：m≤1．12．计算：2+（+）+．【考点】LM：*平面向量．【分析】根据向量的加法运算法则进行计算即可得解．【解答】解：2+（+），=2++，=+．故答案为：+．13．将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移4个单位后，所得新抛物线的顶点坐标是（﹣1，2）．【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】将抛物线解析式整理成顶点式形式，求出顶点坐标，再根据向上平移纵坐标加求解即可．【解答】解：∵y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2，∴原抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），∵向上平移4个单位后，∴平移后抛物线顶点横坐标不变，纵坐标为﹣2+4=2，∴所得新抛物线的顶点坐标是（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．14．一个不透明的袋子里装有3个白球、1个红球，这些球除了颜色外无其他的差异，从袋子中随机摸出1个球，恰好是白球的概率是．【考点】X4：概率公式．【分析】根据不透明的袋子里装有3个白球、1个红球，共有4个球，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵不透明的袋子里装有3个白球、1个红球，共有4个球，∴从袋子中随机摸出1个球，恰好是白球的概率是．故答案为：．15．正五边形的中心角的度数是72°．【考点】MM：正多边形和圆．【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为，则代入求解即可．【解答】解：正五边形的中心角为：=72°．故答案为：72°．16．如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16米，拱高CD=4米，那么圆弧形桥拱所在圆的半径是10 米．【考点】M3：垂径定理的应用．【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理求出答案．【解答】解：设圆弧形桥拱所在圆心为O，连接BO，DO，可得：AD=BD，OD⊥AB，∵AB=16米，拱高CD=4米，∴BD=AD=8m，设BO=xm，则DO=（x﹣4）m，根据题意可得：BD2+DO2=BO2，即82+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，即圆弧形桥拱所在圆的半径是10m．故答案为：10．17．如果一个三角形一边上的中线的长与另两边中点的连线段的长相等，我们称这个三角形为“等线三角形”，这条边称为“等线边”．在等线三角形ABC中，AB为等线边，且AB=3，AC=2，那么BC= ．【考点】KX：三角形中位线定理．【分析】由三角形的中位线定理证得EF=AB，根据题意得出CD=AB，从而证得△ABC是直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长．【解答】解：∵E，F分别是AC，BC的中点，∴EF=AB，∵CD=EF，∴CD=AB，∵AD=BD，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∵AB=3，AC=2，∴BC===，故答案为：．18．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=7，点E，F分别在边AD、BC上，且B、F关于过点E 的直线对称，如果以CD为直径的圆与EF相切，那么AE= 3 ．【考点】MC：切线的性质；LB：矩形的性质；P2：轴对称的性质．【分析】设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE=BH=x，由切线长定理可知，ED=EM，FC=FM，由B、F关于EH对称，推出HF=BH=x，ED=EM=7﹣x，FC=FM=7﹣2x，EF=14﹣3x，在Rt△EFH中，根据EF2=EH2+HF2，列出方程即可解决问题．【解答】解：如图，设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE=BH=x，由切线长定理可知，ED=EM，FC=FM，∵B、F关于EH对称，∴HF=BH=x，ED=EM=7﹣x，FC=FM=7﹣2x，EF=14﹣3x，在Rt△EFH中，∵EF2=EH2+HF2，∴42+x2=（14﹣3x）2，解得x=3或（舍弃），∴AE=3，故答案为3．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：|2﹣|﹣8+2﹣2+．【考点】2C：实数的运算；2F：分数指数幂；6F：负整数指数幂．【分析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：|2﹣|﹣8+2﹣2+=2﹣﹣2+++1=120．解不等式组：．【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．【解答】解：，解不等式①得x＞﹣1，解不等式②得x≤1，所以不等式组的解集为﹣1＜x≤1．21．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B、C在第一象限，且四边形OABC是平行四边形，OC=2，sin∠AOC=，反比例函数y=的图象经过点C 以及边AB的中点D．求：（1）求这个反比例函数的解析式；（2）四边形OABC的面积．【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式；G5：反比例函数系数k的几何意义；L5：平行四边形的性质；T7：解直角三角形．【分析】（1）过C作CM⊥x轴于M，则∠CMO=90°，解直角三角形求出CM，根据勾股定理求出OM，求出C的坐标，即可求出答案；（2）根据D为中点求出DN的值，代入反比例函数解析式求出ON，求出OA，根据平行四边形的面积公式求出即可．【解答】解：（1）过C作CM⊥x轴于M，则∠CMO=90°，∵OC=2，sin∠AOC==，∴MC=4，由勾股定理得：OM==2，∴C的坐标为（2，4），代入y=得：k=8，所以这个反比例函数的解析式是y=；（2）过B作BE⊥x轴于E，则BE=CM=4，AE=OM=2，过D作DN⊥x轴于N，∵D为AB的中点，∴DN==2，AN==1，把y=2代入y=得：x=4，即ON=4，∴OA=4﹣1=3，∴四边形OABC的面积为OA×CM=3×4=12．22．某文具店有一种练习簿出售，每本的成本价为2元，在销售的过程中价格有些调整，按原来的价格每本8.25元，卖出36本；经过两次涨价，按第二次涨价后的价格卖出了25本．发现按原价格和第二次涨价后的价格销售，分别获得的销售利润恰好相等．（1）求第二次涨价后每本练习簿的价格；（2）在两次涨价过程中，假设每本练习簿平均获得利润的增长率完全相同，求这个增长率．（注：利润增长率=×100%）【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）设第二次涨价后每本练习簿的价格为x元，根据总利润=单本利润×数量结合两次销售总利润相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设每本练习簿平均获得利润的增长率为y，根据涨价前单本利润已经连续两次涨价后的单本利润，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可．【解答】解：（1）设第二次涨价后每本练习簿的价格为x元，根据题意得：（8.25﹣2）×36=（x﹣2）×25，解得：x=11．答：第二次涨价后每本练习簿的价格为11元．（2）设每本练习簿平均获得利润的增长率为y，根据题意得：（8.25﹣2）（1+y）2=11﹣2，解得：y1=0.2=20%，y2=﹣2.2（舍去）．答：每本练习簿平均获得利润的增长率为20%．23．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=CD，点E、F分别在边BC、CD上，且BE=DF=AD，联结DE，联结AF、BF分别与DE交于点G、P．（1）求证：AB=BF；（2）如果BE=2EC，求证：DG=GE．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LI：直角梯形．【分析】（1）先证△BCF≌△DCE，再证四边形ABED是平行四边形，从而得AB=DE=BF．（2）延长AF交BC延长线于点M，从而CM=CF，又由AD∥BC可以得到==1，从而DG=GE．【解答】证明：（1）∵BC=CD，BE=DF，∴CF=CE，在△BCF与△DCE中，，∴△BCF≌△DCE，∴BF=DE，∵AD∥BC，BE=AD，∴四边形ABED是平行四边形；∴AB=DE，∴AB=BF．（2）延长AF交BC延长线于点M，则CM=CF；∵AD∥BC，∴=，∵BE=2EC，∴==1，∴DG=GE．24．已知：抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（7，﹣3），与x轴正半轴交于点B（m，0）、C（6m、0）两点，与y轴交于点D．（1）求m的值；（2）求这条抛物线的表达式；（3）点P在抛物线上，点Q在x轴上，当∠PQD=90°且PQ=2DQ时，求点P、Q的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）先求得点D的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a（x﹣m）（x﹣6m），把点D 和点A的坐标代入可求得m的值；（2）由6am2=﹣3，m=1可求得a的值，然后代入抛物线的解析式即可；（3）过点P作PE⊥x轴，垂足为E．设点Q的坐标为（a，0）则OQ=﹣a，然后证明△ODQ ∽△EQP，依据相似三角形的性质可求得QE=6，PE=﹣2a．，则P的坐标为（a+6，﹣2a），将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值．【解答】解：（1）当x=0时，y=﹣3，∴D（0，﹣3）．设抛物线的解析式为y=a（x﹣m）（x﹣6m）．把点D和点A的坐标代入得：6am2=﹣3①，a（7﹣m）（7﹣6m）=﹣3②，∴a（7﹣m）（7﹣6m）=6am2．∵a≠0，∴（7﹣m）（7﹣6m）=m2．解得：m=1．（2）∵6am2=﹣3，∴a=﹣=﹣．将a=﹣，m=1代入得：y=﹣x2+x﹣3．∴抛物线的表达式为y=﹣x2+x﹣3．（3）如图所示：过点P作PE⊥x轴，垂足为E．设点Q的坐标为（a，0）则OQ=﹣a﹣∵∠DQP=90°，∴∠PQO+∠OQD=90°．又∵∠ODQ+∠DQO=90°，∴∠PQE=∠ODQ．又∵∠PEQ=∠DOQ=90°，∴△ODQ∽△EQP．∴===，即==，∴QE=6，PE=﹣2a．∴P的坐标为（a+6，﹣2a）将点P的坐标代入抛物线的解析式得：﹣（a+6）2+（a+6）﹣3=﹣2a，整理得：a2+a=0，解得a=﹣1或a=0．当a=﹣1时，Q（﹣1，0），P（5，2）；当a=0时，Q（0，0），P（6，0）．综上所述，Q（﹣1，0），P（5，2）或者Q（0，0），P（6，0）．25．如图所示，∠MON=45°，点P是∠MON内一点，过点P作PA⊥OM于点A、PB⊥ON于点B，且PB=2．取OP的中点C，联结AC并延长，交OB于点D．（1）求证：∠ADB=∠OPB；（2）设PA=x，OD=y，求y关于x的函数解析式；（3）分别联结AB、BC，当△ABD与△CPB相似时，求PA的长．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）先判断出∠DAE=∠POB，再利用等角的余角相等即可得出结论；（2）先利用等腰直角三角形的性质得出OB=BF=（x+2），同理得出OA=x+4，即可得出AE，OE，进而得出DE，最后用△ADE∽△OPB的比例式建立方程化简即可得出结论；（3）先利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和三角形外角的性质判断出△ABC是等腰直角三角形，即可得出∠OBC+∠ABP=45°，再用△ABD与△CPB得出，∠ABD=∠PBC，即∠OBC=∠ABP=×45°=22.5°，进而得出OP是∠MON的平分线即可得出结论．【解答】解：（1）证明：如图，∵PA⊥OM，CO=CP，∴CO=CP=CA，∴∠CAO=∠COA，过A作AE⊥OB于E，∵∠MON=45°，∴∠AOE=∠OAE=45°，∴∠POB=∠DAE，∵PB⊥OB，∴∠ADB=∠OPB；（2）如图1，延长BP交OM于F，∵BP⊥ON，PA⊥OM，∴∠OBP=∠OAP=90°，∵∠MON=45°，∴∠AFB=45°，在Rt△APF中，AP=x，∠OFB=45°，∴PF=x，∴BF=PF+PB=x+2=（x+2），在Rt△OBF中，OB=BF=（x+2）延长AP交ON于G，同理：PG=PB=4，∴OA=AG=AP+PG=x+4，过点A作AE⊥ON，∴OE=AE=OA=（x+4），∴DE=OE﹣OD=（x+4）﹣y由（1）知，∠ADE=∠OPB，∵∠AED=∠OBP=90°，∴△ADE∽△OPB，∴，∴，∴y=（3）如图2，在Rt△OAP中，点C是OP中点，∴AC=OC=OP，在Rt△OBP中，点C是OP中点，∴BC=OC=OP，∴AC=BC，∵AC=OC，∴∠ACP=2∠AOP，∵OC=BC，∴∠BCP=2∠BOP，∴∠ACB=∠ACP+∠BCP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，∴∠BAC=∠CAB=45°，∵∠OBP=90°，∴∠OBC+∠A BP=45°∵当△ABD与△CPB相似时，∵∠ADB=∠CPB，∴∠ABD=∠PBC，∴∠OBC=∠ABP=×45°=22.5°，∵OC=BC，∴∠BOC=∠OBC=22.5°，∴∠AOP=∠BOP，∴OP是∠MON的角平分线，∵PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA=PB=2．。
2017年上海市初三二模数学汇编之18题(十六区全)
2017年上海市初三二模数学汇编之18题（十六区全）1. （2017徐汇二模）如图，在ABC 中，(90180)ACB αα∠=<<，将ABC 绕点A 逆时针旋转2β后得AED ，其中点E 、D 分别和点B 、C 对应，联结CD ，如果⊥CD ED ，请写出一个关于α与β的等量关系式 ：________________.【考点】图形的旋转、等腰三角形 【解析】根据题意：ACB ADE α∠=∠=，90CDE ∠=︒，90ADC α∴∠=-︒，2,BAE DAC AC BC β∠=∠==， 90ACD ADC β∴∠=∠=︒-，180αβ∴+=︒.2. （2017黄埔二模）如图，矩形ABCD ，将它分别沿AE 和AF 折叠，恰好使点B 、C 落到对角线AC 上点M 、N 处.已知2MN =，1NC =，则矩形ABCD 的面积是 .【考点】图形的翻折、勾股定理【解析】设AB x =，由题意可得：2,3.AN AD x AC x ==+=+在Rt ADC 中，222AD DC AC +=，即222(2)(3)x x x ++=+.解得：1x =((319ABCDSAD DC ∴=⨯==+3. (2017静安二模)如图，A 和B 的半径分别为5和1，3AB =，点O 在直线AB上.O 与A 、B 都内切，那么O 半径是 .【考点】圆与圆的位置关系【解析】根据题意：,A O O B OA R R OB R R =-=-,|||62|3O AB OA OB R ∴=-=-=32RO ∴=,924. （2017闵行二模）如图，在Rt ABC 中，90,8,6,C AC BC ∠=︒==点D E 、分别在边AB AC 、上，将ADE 沿直线DE 翻折，点A 的对应点在边AB 上，联结'A C .如果''A C A A =，那么BD = .【考点】勾股定理、图形的翻折 【解析】根据题意： 115'''5,''222A A AB AC AB AD DB A B ======= 15''2BD BA A D ∴=+=图（1）图（2）5. （2017普陀二模）将ABC 绕点B 按逆时针方向旋转得到EBD ，点E 、点D 分别与点A 、点C 对应，且点D 在边AC 上，边DE 交边AB 于点F ，BDC ABC ，已知BC =5AC =，那么DBF 的面积等于 .【考点】图形的旋转、相似、八字形【解析】22235BDC ABC BC CD CA CD AD AC CD ∴=⋅∴==∴=-=333=588BDF BDF BDF BDEABCBDESSS AD DF DF ADFBEF EB EF SDE SS∴=∴==∴==6. （2017杨浦二模）如图，在Rt ABC 中，90, 4.C CA CB ∠=︒==将ABC 翻折，是得点B 与点AC 的中点M重合，如果折痕与边AB 的交点为E ，那么BE 的长为 .【考点】图形的翻折、勾股定理、等腰直角三角【解析】过点M 作MH AB ⊥，设BE x =，根据题意得：,AB ME BE x AH MH HE x ======，在Rt MHE 中，222222+)MH HE ME x x x +=∴=∴=（B BA33154588216BDFABCSS ∴==⨯=HBA7. （2017嘉定二模）如图，在ABC 中，390,10,cos 5ACB AB A ∠=︒==，将ABC 绕着点C 旋转，点A 、B 的对应点分别记为'A 、'B ，''A B 与边AB 相交于点E ，如果''A B AC ⊥那么线段'B E 的长为 .【考点】图形的旋转、母子三角形、锐角三角比 【解析】根据题意：3'''cos '1065A C A B A =⋅=⨯=，318''cos '655A F A C A =⋅=⨯= 32''''5B F A B A F ∴=-=，246,55CF A AF AC CF ==∴=-= 42424''3155AEFABC EF AF B E B F EF ∴==∴=-= 8. （2017长宁、金山、青浦二模）如图，在Rt ABC 中，,AB AC D E =、是斜边BC上两点，45DAE ∠=︒，将ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到AFB .设,=BD a EC b =.那么AB = .【考点】图形的翻折、勾股定理【解析】将ABD 沿AD 翻折得到ADF ，联结EF .根据题意得：,ABD AFD AEF AEC ≅≅ ，,DF BD a EF EC b ∴====.45B C DFA AFE ∠=∠=∠=∠=︒90DFE ∴∠=︒DE ∴=+BC BD DE EC a b AB ∴=+=++=BB9. （2017崇明二模）如图，已知ABC 中，3,4,BC AC BD ==平分ABC ∠，将ABC 绕着点A 旋转后，点B 、C 的对应点分别记为11B C 、，如果点1B 落在射线BD 上.那么1CC 的长度为 .【考点】图形的旋转、八字形、旋转相似 【解析】1111111,//ABB CBB ABB AB B CBB AB B AB BC ∠=∠∠=∠∴∠=∠∴1111111AB B DBB AD AB BB ABB ACC BC DC DBAC CC ∴==∴=∴=，即154=1CC ∴=10. （2017虹口二模）如图，在Rt ABC 中，490,10,sin ,5C AB B ∠=︒==点D 在斜边AB 上，把ACD 沿直线CD 翻折，使得点A 落在同一平面内的'A 处，当'A D 平行Rt ABC 的直角边时，AD 的长为 .【考点】图形的翻折、八字形【解析】图（2）根据题意12,1332AC AB ∠=∠∠=∠∴∠=∠∴⊥2416''''//'4455AC BC A D A ECE A E A D BC A D AD AB BC CE⋅∴==∴=∴=∴=∴= 图（3）根据题意1238AD AC ∠=∠=∠∴==.综上：4AD =或8.BA'B11. (2017松江二模)如图，已知在矩形ABCD 中，4,=8AB AD =,将ABC 沿对角线AC 翻折，点B 落在点E 处，联结DE ，则DE 的长为 .【考点】图形的翻折、八字形、勾股定理【解析】根据题意：123AF CF ∠=∠=∠∴=，设AF x =，在Rt AFC 中2222216(8)5AE EF AF x x x +=∴+-=∴=,//EF DF AF CF ED AC ==∴355DE EF DE AC FC ∴==∴=12. （2017宝山二模）如图，E F 、分别在正方形ABCD 的边AB 、AD 上的点，且AE AF =，联结EF ，将AEF 绕点A 逆时针旋转45︒，使E 落在1E ，F 落在1F ，联结1BE 并延长交1DF 于点G，如果1AB AE ==，则DG = .【考点】图形的旋转、勾股定理、全等、八字型、A 字型 【解析】根据题意：11ABE AF D ABF ADGAQB DQG AQB DQG ≅∴∠=∠∠=∠∴34DG DQ DG AB BQ ∴===E13.14. （2017奉贤二模）如图，在矩形ABCD 中，点E 是边AD 上的一点，过点E 作EF BC ⊥.垂足为点F ，将BEF 绕点E 逆时针旋转，使点B 落在边BC 上的点N处，点F 落在边DC 上的点M 处，如果点M 恰好使边DC 的中点，那么ADAB的值是 .【考点】图形的旋转、一线三等角【解析】根据题意：,EBF EFN ENM NMC DEM ENM ≅≅设CM x =，则2,DM CM CD AB EN x ED CN x ED ⋅===∴=∴==2AD MN BN MN x AB ∴=∴==∴=14. (2017 浦东二模)如图，矩形ABCD 中，4,7AB AD ==，点E F 、分别在边AD BC 、上，且点B F 、关于过点E 的直线对称，如果以CD 为直径的圆与EF 相切，那么AE = .M2x7-2x4【考点】图形的翻折、勾股定理【解析】根据题意：设AE x = ，则7DE x =-，2,72BF x FC x ==-，,7,142DEG HEG HFG CFG DE HE x CF HF x ≅≅∴==-==-143,BE FE x ∴==-在Rt ABE 中，222AB AE BE +=，即2216(143x x +=-）解得：12153,()2x x ==舍去，故 3.AE =。
2017年上海市各区数学二模压轴题——图文解析
2017 年上海市浦东新区中考模拟第 24、25 题 / 34 2017 年上海市普陀区中考模拟第 24、25 题 / 38 2017 年上海市松江区中考模拟第 24、25 题 / 42 2017 年上海市徐汇区中考模拟第 24、25 题 / 47 2017 年上海市杨浦区中考模拟第 24、25 题 / 52 2017 年上海市长宁区青浦区金山区中考模拟第 24、25 题 / 55 2017 年上海市宝山区中考模拟第 18 题 / 59 2017 年上海市崇明区中考模拟第 18 题 / 60 2017 年上海市奉贤区中考模拟第 18 题 / 61 2017 年上海市虹口区中考模拟第 18 题 / 62 2017 年上海市黄浦区中考模拟第 18 题 / 63 2017 年上海市嘉定区中考模拟第 18 题 / 64 2017 年上海市静安区中考模拟第 18 题 / 65 2017 年上海市闵行区中考模拟第 18 题 / 66 2017 年上海市浦东新区中考模拟第 18 题 / 67 2017 年上海市普陀区中考模拟第 18 题 / 68 2017 年上海市松江区中考模拟第 18 题 / 69 2017 年上海市徐汇区中考模拟第 18 题 / 70 2017 年上海市杨浦区中考模拟第 18 题 / 71 2017 年上海市长宁区青浦区金山区中考模拟第 18 题 / 72 2015 年上海市中考第 24、25 题 / 73 2016 年上海市中考第 24、25 题 / 77
心从点 C 出发，沿着 CB 方向以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点 P 从点 B 出发， 沿着 BA 方向也以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为 t 秒（0＜t≤5） ，以 P 为 圆心、PB 为半径的⊙P 与 AB、BC 的另一个交点分别为 E、D，联结 ED、EQ． （1）判断并证明 ED 与 BC 的位置关系，并求当 点 Q 与点 D 重合时 t 的值； （2）当⊙P 和 AC 相交时，设 CQ 为 x，⊙P 被 AC 解得的弦长为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并求 当⊙Q 过点 B 时⊙P 被 AC 截得的弦长； （3）若⊙P 与⊙Q 相交，写出 t 的取值范围． 图1