埃特金逐步线性插值
第三章(二) 埃尔米特-样条插值法
2
x x1 x x 0 h1 ( x ) 1 2 x x . x1 x 0 1 0
2
设
x x1 g 0 (x) a(x x0 ) , x 0 x1
2
∵g0(x0)=g0(x1)=0, g'0(x1)=0
例1 给定 f (− 1)=0, f (1)=4, f '(− 1)=2, f '(1)=0, 求H3(x), 并计算 f (0.5).
解
x0 = − 1, x1 = 1,
H 3 ( x ) h 0 ( x ) 0 h1 ( x ) 4 g 0 ( x ) 2 g 1 ( x ) 0
y0 y1 m0 m1
其解存在唯一, 解 出 a0, a1, a 2, a3, 代 入即得 H3(x).
1 1 0 0
x0 x1 1 1
x0 x1
2 2
x0 x1
3 3 2 2
2 x0 2 x1
3x0 3 x1
( x 0 x1 ) 0 .
4
基函数法
类似于拉格朗日插值多项式的构造手法，我们可以通 过插值基函数作出 。
对给定区间[a,b]作划分
a x 0 x1 x n b
给定 n +1个插值点：(xi , f (xi)), i = 0,1,2,„,n, 在每个小 区间[xi, xi+1]上作线性插值，节点 xi, xi+1上的基函数分别为：
li ( x ) x x i 1 x i x i 1 , 1 ( x ) li x xi x i 1 x i ,
在某些问题中，为了保证插值函数能更好地逼近原函数 ，不仅要求两者在节点上有相同的函数值，而且要求在节点 上有相同的导数值。这类插值称为Hermite插值。 ★ Hermite插值描述：
数值计算方法思考题和习题
(4) 北京理工大学函大2004-2005学年第1学期计算机科学与技术专业专升本数值计算方法思考题和习题教科书：《科学与工程计算》廖晓钟赖汝编国防工业出版社 2003年版第1 章思考题p26 1,2,3,4,5第1 章习题pp26-27 1,3,4,5,6,11第2 章思考题p66 1,3,6,7,8,9,12.13第2 章习题pp67-68 2,3,4,5,7,11,12,13,14,17,18第3 章思考题p119 1,3,4，5，6,10,18,19第3 章习题pp119-121 1，2,3,4,5,12,13第4 章思考题p144 1,2,3,4,5,7,8第4 章习题pp144-146 1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13第5 章思考题p207 1,2,3,4,5,6,7,9,10,11,12.13第5 章习题pp208-209 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15第6 章思考题p257 1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12.14第6 章习题pp257-259 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,13,15,16,17,18第7 章思考题p292 1,2,3,4,5,6,8,9第7 章习题pp293-295 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,20作业题第1 章习题pp26-27 1(1),(2),3(3),5,6第2 章习题pp67-68 2,4,5,11,13,17第3 章习题pp119-121 1(1),2(1),5(2),12第4 章习题pp144-146 1(1),2,10,11,12,13第5 章习题pp208-209 1,3,4,7,10,13,,15第6 章习题pp257-259 1(2),3,6（1）,12,16第7 章习题pp293-295 1,3,6,11,20数值计算方法复习题第1 章绪论1.说明数值算法的意义，计算机解题步骤和数值算法的特点。
7、解非线性方程的迭代法
(1.1)
2. 超越方程, 如 : x e x 0.
如果f ( x)可以分解为 f ( x) ( x x*)m g ( x), 其中0 | g ( x*) | , m为正整数. 则称x * 为f ( x)的m重零点.
此时 f ( x*) f ( x*) f ( m 1) ( x*) 0, f ( m) ( x*) 0.
k 0 1 2 3 4 5 6 7 xk 1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 1.32476 1.32473 1.32472
3 (2) xk 1 xk 1, x0 1.5, x1 2.375, x2 12.39, .
二、不动点的存在性与迭代法的收敛性
二、斯蒂芬森迭代法
把不动点迭代与埃特金加速技巧结合，得到斯蒂芬森 ( Steffensen)迭代法 yk ( xk ), zk ( yk ),
( yk xk ) 2 xk 1 xk zk 2 yk xk
改写为另一种不动.4)
k 0 1 2 3 ׃ xk x0 x1 x2 x3 ׃ 迭代法(1) 2 3 9 87 ׃ 迭代法(2) 2 1.5 2 1.5 ׃ 迭代法(3) 2 1.75 1.73475 1.732631 ׃ 迭代法(4) 2 1.75 1.732143 1.732051 ׃
定义2 设迭代过程xk 1 ( xk )收敛于x*,误差ek xk x*, 若 lim
例6 求方程3x 2 e x 0在[3,4]中的解.
解： 取对数得x 2 ln x ln 3 g ( x)， 构造迭代法 xk 1 2 ln xk ln3 2 2 ( x) , max ( x) 1, 当x [3,4], ( x) [3,4], x 3 x 4 3 由定理2迭代收敛. x0 3.5, x16 3.73307 .
第二章插值与拟合
1 不为零。
xn
n xn xn
实 用 测 量 数 据 处 理 方 法
中 南 大 学
三、线性插值
假定已知区间[xk, xk+1] 的端点处的函数值 yk=f(xk), yk+1=f(xk+1),要求线性插值多项式 L1(x),使它满足 L1(xk)=yk
L1(xk+1)=yk+1
则L1(x)的表达式可按下式给出：
实 用 测 量 数 据 处 理 方 法
中 南 大 学
l k 1 ( x k 1 ) 1, l k 1 ( x j ) 0( j k , k 1) l k ( x k ) 1, l k ( x j ) 0( j k 1, k 1) (28) l k 1 ( x k 1 ) 1, l k 1 ( x j ) 0( j k 1, k ) 满足（28 ）式的插值基函数很容 易求出的，例如求 l k 1 ( x)，因为它有两个零点 k 和x k 1，故可表达为： x l k 1 ( x) A( x x k )(x x k 1 ) 其中A为待定系数可由 k 1 ( x k 1 ) 1定出： l 1 A ( x k 1 x k )(x k 1 x k 1 ) ( x x k )(x x k 1 ) 于是l k 1 ( x)＝ ，同理可得 ( x k 1 x k )(x k 1 x k 1 ) ( x x k－1 )(x x k 1 ) ( x x k 1 )(x x k ) l k ( x)＝ ，l k 1 ( x)＝ ( x k x k－1 )(x k x k 1 ) ( x k＋1 x k 1 )(x k 1 x k )
解：2、抛物插值
计算方法与数值计算(2-1插值与逼近)
800 1:42.58 罗达尔
1000
1500 3:32.07 恩格尼
是否能建立竞赛距离与纪录时间之间的 函数关系，并测算男子1000米纪录。
4
200
150
100
400
600
800
1000
1200
1400
散点图
5
引例2 设f ( x) ln x，并假定已给出下列三 点 处的函数值，试近似计 算 ln11.75的值。
30
f ( n1) ( ) n Rn ( x) (x x j ) (n 1)! j 0
不能确定，实际计算时，
在[a, b]上，若有 f ( n1) ( x) M，则
n f ( n1) ( ) n M Rn ( x) ( x x j ) (n 1)! ( x x j ) (n 1)! j 0 j 0
已知函数f(x)在n+1个互异节点ax0<x1 <……< xn b
处的函数值yi = f(xi) (i=0,1,2,……，n)，
则存在唯一一个次数不超过n次的多项式： Pn(x)=a0+a1x+……+anxn 满足条件Pn (xi) = yi = f(xi) 。
11
证明：设所要构造的插值多项式为：
y1 y=P1(x)
y0
x0
线性插值
18
x1
x
L1(x)= l0(x)y0 + l1(x)y1
其中
x x1 l0 ( x ) x0 x1
x x0 , l1 ( x) x1 x0
l0(x)：点x0的一次插值基函数， l1(x)：点x1的一次插值基函数。
第1章插值方法
3.一般情况 一般情况 一般情况 我们看到， 我们看到 ， 两个插值点可求出一次插值多项 式p1(x)，而三个插值点可求出二次插值多项式 2(x)。 ，而三个插值点可求出二次插值多项式p 。 当插值点增加到n+1个时 ， 我们可以利用 个时， 当插值点增加到 个时 我们可以利用Lagrange 插值方法写出n次插值多项 插值方法写出 次插值多项 式pn(x)，如下所示： ，如下所示：
［例６］ 给定
(x∈［-5,5］)。 ∈ ］。
取等距节点x 取等距节点 i=-5+i(i=0,1,…,10), 试建立插值多项式 L10(x), 并作图形 观察 10(x)对f(x)的逼近效果。 并作图形, 观察L 的逼近效果。 对 的逼近效果
图1-3 例6的图形 的图形
1.6 分段三次埃尔米特插值
Aitken插值算法为二重循环。外循 插值算法为二重循环。 插值算法为二重循环 环为k循环 ， 用于计算Aitken插值表中 环为 循环， 用于计算 循环 插值表中 的第k列 内循环为 循环 循环， 的第 列 ； 内循环 为 i循环 ， 用于计算 Aitken插值表中的第 列中的第 个元素。 插值表中的第k列中的第 个元素。 插值表中的第 列中的第i个元素
Newton插值算法中的 循环由 插值算法中的j循环由 三部分组成： 计算(x-xj)的累积 ， 存 的累积， 三部分组成 ： 计算 的累积 单元； 入t单元；内套一个 循环用来依次计 单元 内套一个i循环用来依次计 算差商表中的各阶差商，存入y 单元； 算差商表中的各阶差商，存入 i单元； y单元用于存放 单元用于存放Newton公式中各项累 单元用于存放 公式中各项累 加之和。 加之和。
1.2 牛顿插值公式
差商表
数值计算_第5章 插 值
第5章插值5.1引言在实际问题中，有时只能给出函数在平面上的一些离散点的值，而不能给出的具体解析表达式，或者的表达式过于复杂而难于运算。
这时我们需要用近似函数来逼近函数，在数学上常用的函数逼近的方法有：∙插值。
∙一致逼近。
∙均方逼近或称最小乘法。
什么是插值？简单地说，用给定的未知函数的若干函数值的点构造的近似函数要求与在给定点的函数值相等，则称函数为插值函数。
例如：在服装店订做风衣时，选择好风衣的样式后，服装师量出并记下你的胸围、衣长和袖长等几个尺寸，这几个尺寸就是风衣函数的插值点数值，在衣料上画出的裁剪线就是服装师构造的插值函数，裁剪水平的差别就在于量准插值点和构造合乎身材的插值函数。
定义5.1为定义在区间上的函数，，为上个互不相同的点，为给定的某一函数类。
若上有函数，满足则称为关于节点在上的插值函数；称点为插值节点；称，为插值型值点，简称型值点或插点；称为被插函数。
这样，对函数在区间上的各种计算，就用对插值函数的计算取而代之。
构造插值函数需要关心下列问题：∙插值函数是否存在？∙插值函数是否唯一？∙如何表示插值函数？如何估计被插函数与插值函数的误差？5.2拉格朗日（Lagrange）插值可对插值函数选择多种不同的函数类型，由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，例如，多项式是无穷光滑的，容易计算它的导数和积分，故常选用代数多项式作为插值函数。
5.2.1 线性插值问题5.1 给定两个插值点其中，怎样做通过这两点的一次插值函数？过两点作一条直线，这条直线就是通过这两点的一次多项式插值函数，简称线性插值。
如图5.1所示。
图5.1 线性插值函数在初等数学中，可用两点式、点斜式或截距式构造通过两点的一条直线。
下面先用待定系数法构造插值直线。
设直线方程为，将分别代入直线方程得：当时，因，所以方程组有解，而且解是唯一的。
这也表明，平面上两个点，有且仅有一条直线通过。
用待定系数法构造插值多项式的方法简单直观，容易看到解的存在性和惟一性，但要解一个方程组才能得到插值函数的系数，因工作量较大和不便向高阶推广，故这种构造方法通常不宜采用。
计算方法例题
所求三次多项式为
P3 ( x) yk lk ( x)
k 0
3
5
x( x 4)( x 5) ( x 2)( x 4)( x 5) x( x 2)( x 5) ( x 2) x( x 4) (3) 84 40 24 35
5 3 1 2 55 x x x 1 42 14 21 5 1 55 24 P3 (1) 1 42 14 21 7
l0 ( x) l1 ( x)
x( x 4)( x 5) x( x 4)( x 5) (2 0)(2 4)(2 5) 84
( x 2)( x 4)( x 5) ( x 2)( x 4)( x 5) (0 (2))(0 4)(0 5) 40
n
Pn ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 ln ( x) yn lk ( x) yk
k 0
(
k 0
n
n
x xj xk x j
j 0 j k
yk )
2.拉格朗日插值举例
已知函数y=f(x)的观察数据为
试构造拉格朗日插值多项式P3(x)，并计算P3(-1)。 解： 已知4对数据，求得的多项式不超过3次。先构造插值基函数
x x2
x x1
p (0.5) x
2
2
- 3x 8 0.5 - 3 0.5 8 1.125 6 6
2
四.贝齐尔曲线
1.公式
Bn ( P0 , P1 ,, Pn , t ) Pk Bk ,n (t )
k 0
n
(0 t 1)
其中 Bk ,n (t )
数值分析 第1章 插值方法讲解
f (n1) ( )
(n 1)!
n k 0
(x
xk ),
ξ [a,b]
第1章 插值方法
例题1: 令x0=0, x1=1. 写出y=f(x)=e-x的一次插值多项式 P1(x), 并估计误差.
解: x0=0, y0=1; x1=1, y1=e-1.
P1(x) y0l0 (x) y1l1(x)
0, j k lk (x j ) 1, j k
lk (x)
n j 0
x xj xk x j
jk
插值基函数
Pn (x)
n k 0
yklk (x)
n k 0
n
yk (
j0
x xj ) xk x j
jk
第1章 插值方法
§3 插值余项
1.拉格朗日余项定理
l0 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
;
l2 (x)
(x ( x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
.
插值基函数
第1章 插值方法
3.一般情形 问题的解(插值公式):
第1章 插值方法
f (x) Pn (x)
f
'
' (
2
)
(
x
x0
)(x
x1
)
1 e- (x 0)(x 1), ξ [0,1] 2
max
0 x1
f (x) Pn (x)
1 max e- 2 0x1
第一章 插值方法
(100 121)(100 144)
(121 100) (121 144)
(115 100)(115 121) 12 (144 100)(144 121)
10.7228
例子插值精度分析
线性插值
(100,10), (121,11)得到
10.71428 误差-0.009525
(121,11),(144,12)
(x 121)(x 144) (100 121)(100 144)
10
(x 100)(x 144) (121 100) (121 144)
11
(x 100)(x 121) 12 (144 100)(144 121)
(115 121)(115 144) 10 (115 100)(115 144) 11
如何解决？
埃特金插值公式
埃 特 金 (Aitken) 插 值 公 式 的 构 造 是 基于这样的直观想象：平面上的两个点 可以连成一条直线, 对应一个线性函数； 把线性函数看作形式点, 经线性组合, 可构成二次函数；把二次函数再看作形 式点, 经线性组合, 可构成三次函数。
Aitken 插值表
x f(x)
点个不n次同插）值，多譬项如式选p取n(2x) (1x, )…。,由xn上,x述n+1定，理再，构我造们一有
f ( x) pn(1) ( x)
f (n1) (n
(1)
1)!
(
x
x0
)(
x
x1)(
x
xn
)
f ( x) pn(2) ( x)
f
( ( n 1) 2
(n 1)!
)
(
x
x1)(
x
近似值：p3(0.6)=-0.509975， 真 误 差 ： ln(0.6)-p3(0.6)=-0.000851 ，