1[1].1.1正弦定理1PPT课件
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版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理(一)课件 新人教B版必修5.pptx
12
跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的 边分别为a，b，c.求证：sina A ＝2R. 证明
13
类型二 用正弦定理解三角形
例2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：a＝20，A＝30°，C＝ 45°. 解答 ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由正弦定理得 b＝assiinnAB＝20ssiinn3100°5°＝40sin(45°＋60°)＝10( 6＋ 2)， c＝assiinnAC＝20sisnin3405°°＝20 2， ∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2)，c＝20 2.
A.直角三角形 C.锐角三角形
√B.等腰三角形
D.钝角三角形
由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
1 2 3 247
3.在△ABC中，已知BC＝ 5 ，sin C＝2sin A，则AB＝_2__5___.
答案 解析
由正弦定理，得 AB＝ssiinn CABC＝2BC＝2 5.
18
命题角度2 运算求解问题
例4
在△ABC中，A＝
π 3
，BC＝3，求△ABC的周长的最大值.
解答
19
反思与感悟
利用sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 或正弦定理的变形公式 a＝ksin A，b＝ ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
22
跟 踪 训 练 3 在 △ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c ， 若 A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值. 解答
23
当堂训练
25
1. 在△ABC中，一定成立的等式是 答案 解析
跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的 边分别为a，b，c.求证：sina A ＝2R. 证明
13
类型二 用正弦定理解三角形
例2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：a＝20，A＝30°，C＝ 45°. 解答 ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由正弦定理得 b＝assiinnAB＝20ssiinn3100°5°＝40sin(45°＋60°)＝10( 6＋ 2)， c＝assiinnAC＝20sisnin3405°°＝20 2， ∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2)，c＝20 2.
A.直角三角形 C.锐角三角形
√B.等腰三角形
D.钝角三角形
由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
1 2 3 247
3.在△ABC中，已知BC＝ 5 ，sin C＝2sin A，则AB＝_2__5___.
答案 解析
由正弦定理，得 AB＝ssiinn CABC＝2BC＝2 5.
18
命题角度2 运算求解问题
例4
在△ABC中，A＝
π 3
，BC＝3，求△ABC的周长的最大值.
解答
19
反思与感悟
利用sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 或正弦定理的变形公式 a＝ksin A，b＝ ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
22
跟 踪 训 练 3 在 △ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c ， 若 A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值. 解答
23
当堂训练
25
1. 在△ABC中，一定成立的等式是 答案 解析
必修5课件 1.1.1 正弦定理
当A为锐角
当A为直角或钝角
我舰在敌岛A南50西相距12 nmile的B处，发现敌舰正由岛沿北 10西的方向以10nmile/h的速度航行，问：我舰需要以多大速度， 沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？ 即追击速度为14mile/h
AC BC 又：∵△ABC中，由正弦定理： sin B sin A
AC
2.找 j 与 AB 、AC 、 的夹角 CB
3。利用等式
AC + CB = AB ，与 j 作内积
比值的意义：三角形外接圆的直径2R
注意： （1）正弦定理适合于任何三角形。
a b c （2）可以证明 = = =2R（R为△ABC外接圆半径） sin A sin B sin C
（3）每个等式可视为一个方程：知三求一
ABC中，c 10, A 45 0 , C 30 0 , 求a, b和B 例1、已知在
例2、在 ABC中，b
3, B 60 0 , c 1, 求a和A, C
例3、ABC中，c
6 , A 45 0 , a 2, 求b和B, C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解三角形时，注意大边对大角
小结：1。正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的 问题。 2。正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边 和角的问题。 3。正弦定理及应用于解决两类问题，注意多解情况。 注意： ABC中，已知a, b和A时解三角形的情况： 在
人教版 必修五
第一章
解三角形
1.1.1 正弦定理
正弦定理 证明一（传统证法）在任意斜△ABC当中：
1 1 1 ab sin C ac sin B bc sin A S△ABC= 2 2 2 1 b a c abc 两边同除以 即得： = = 2 sin C ， sin A sin B
正弦定理(53张PPT)
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课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
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第一章 1.1 1.1.1
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典例导悟
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变式训练1
(1)一个三角形的两内角分别为45° 与60° ，
如果45° 角所对的边长是6，那么60° 角所对的边的边长为 ( ) A．3 6 C．3 3 B．3 2 D．2 6
1 (2)在△ABC中，若tanA＝ 3 ，C＝150° ，BC＝1，则AB ＝________.
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第一章 1.1 1.1.1
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(3)a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30° <90° 又∵bsinA＝6sin30° ＝3，a>bsinA ∴本题有两解． 由正弦定理得： bsinA 6sin30° 3 sinB＝ a ＝ ＝ 2 ，B＝60° 或120° ， 2 3 asinC 2 3sin90° 当B＝60° 时，C＝90° ，c＝ sinA ＝ sin30° ＝4 3； 当B＝120° 时，C＝30° ，
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第一章 1.1 1.1.1
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[点评]
依据条件中的边角关系判断三角形的形状
时，主要有以下两种途径： (1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因 式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形 状；
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1.1.1正弦定理课件(PPT)
B 30 或150 ( 舍去)
0 0 0
6 2 a sin C 4 4 C 105 c 2 32 2 sin A 2
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2，A＝45°， 求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°， 求B和c。 4 变式2：在△ABC中，已知a＝ 3 ，b＝2 2 ，A＝45°， 3 求B和c。
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2，A＝45°， 求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°， 求B和c。 4 变式2：在△ABC中，已知a＝ 3 ，b＝2 2 ，A＝45°， 3 求B和c。
a b 解: sin A sin B
2 b sin A 2 2 2 sin B 1 a 2
1.在ABC中 (1)已知b 12, A 300 , B 120 , 求a;
(2)已知c 10, A 45 , C 30 , 求b, S ABC .
(3)已知A 300 , B C 600 , a 2, 求c.
点拨：已知两角和任意一边，求其余两边和一角,
向量法
利用向量的数量积，产生边的长与内角 的三角函数的关系来证明.
在直角三角形中
A
c
B
b
C
a
D
在锐角三角形中
B
两边同取与j的数量积, 得 j AC CB j AB
jc
A
a
b
j AC j CB j AB （根据向量的数量积的 定义）
j AC cos90 j CB cos(90 C )
B 90 c
0
高中数学必修五全册课件PPT(全册)人教版
答：此船可以继续一直沿正北方向航行
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
人教A版必修五 1.1.1 正弦定理ppt课件
栏 目 链 接
题型1
已知两角及一边解三角形
例1 在△ABC中，已知A＝30°，B＝45°，a＝2，解 三角形．
a b 解析：由正弦定理可知： ＝ ，即 sin A sin B 2 b ＝ ，∴b＝2 2. sin 30° sin 45° 又C＝180° －30° －45° ＝105° ，由正弦定理有： 2 c ＝ ， sin 30° sin 105° 即c＝4sin (60° ＋45° )＝ 6＋ 2.
解析：由A＋C＝2B及A＋B＋C＝180° 知，B＝60° ，由 栏 目 链 1 3 1 正弦定理知， ＝ ，即sin A＝ ，由a＜b知，A＜ 接 sin A sin 60° 2 B＝60° ，则A＝30° ，C＝180° －A－B＝180° －30° －60° ＝ 90° ，sin C＝sin 90° ＝1. 答案：1
a b c 解析：设正弦定理 ＝ ＝ ＝k，又因 sin A sin B sin C a c sin A＝sin C，故 ＝ ，∴a＝c. k k 答案：B
)
栏 目 链 接
自测 自评
2．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c＝ 2，b＝ 6，B＝120° ，则 a 等于( ) A. 6 B．2 C. 3 D. 2
解析：设a＝2k，因为a∶b∶c＝2∶3∶4，所以a＝ 2k，b＝3k，c＝4k，所以(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝ 5k∶7k∶6k＝5∶7∶6. 答案：5∶7∶6
6．(1)三角形中任意两边和______第三边． (2)三角形ABC中，三边长度分别为3、4、x，则x的范围是 __________． 答案：(1)大于 (2)解析：由3＋4＞x,4＋x＞3，x＋3＞4，可知1＜x＜7. 答案：1<x<7
正弦定理优秀课件
16 3
300
16
16
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120° 当 Ｂ＝60°时
C=90°
A
B
B
c 32 .
a sin C c 16 . sin A
当Ｂ＝120°时 C=30°
变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形
a b 解：由正弦定理 sin A sin B b sin A 26 sin 30 13 得 sin B a 30 30 A
1.1.1 正弦定理
4.基础练习题
(1)在ABC中，已知 A 450 , a 2, b 2, 求B
B=300
10 3 (2)在ABC中，已知A 60 , a 4, b , 求B 3
0
无解
1.1.1 正弦定理
小结: • 正弦定理 • 主要应用
a b c sin A sin B sin C
(1) 已知两角及任意一边，可以求出其他两边 和另一角； (2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三 角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、 无解）
课后探究 （ : 1）你还可以用其它方法证明 正弦定理吗？
a b c （2） sin A sin B sin C k 那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有 关的量来表示吗?
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
3、正弦定理可以解决三角形中的问题： ① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角 ② 已知两角和一边，求其他角和边
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
C
26
300
16
16
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120° 当 Ｂ＝60°时
C=90°
A
B
B
c 32 .
a sin C c 16 . sin A
当Ｂ＝120°时 C=30°
变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形
a b 解：由正弦定理 sin A sin B b sin A 26 sin 30 13 得 sin B a 30 30 A
1.1.1 正弦定理
4.基础练习题
(1)在ABC中，已知 A 450 , a 2, b 2, 求B
B=300
10 3 (2)在ABC中，已知A 60 , a 4, b , 求B 3
0
无解
1.1.1 正弦定理
小结: • 正弦定理 • 主要应用
a b c sin A sin B sin C
(1) 已知两角及任意一边，可以求出其他两边 和另一角； (2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三 角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、 无解）
课后探究 （ : 1）你还可以用其它方法证明 正弦定理吗？
a b c （2） sin A sin B sin C k 那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有 关的量来表示吗?
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
3、正弦定理可以解决三角形中的问题： ① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角 ② 已知两角和一边，求其他角和边
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
C
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1.1.1正弦定理(1)课件人教新课标
∴原式 = CF - BD + AE - CF + BD - AE = 0
CF,AE,BD都 是三角形的高.
5.在△ABC中,若B=30°,AB= 2 3 ,AC=2,
求△ABC的面积. B
解：由正弦定理
A
AB = AC sinC sinB
C
得 C = 600或1200，所以 A = 900或300
C. 2
D. 3 3
【解析】由正弦定理， BC = 3 ， sin 45 sin 75
得BC＝3 3 ，故选A.
2.（19广东）已知△ABC中，∠A，∠B，
∠C的对边分别为a，b，c．若a＝c＝
6 2 ，且∠A＝75°，则ｂ＝（ Ａ）
A．2
B．4 2 3
C．4 2 3
D． 6 2
【解析】本题考查三角函数的基本公式、
解：根据正弦定理
a=c sinA sinC
得到a = 10 2.由三角形内角和可以知道 B = 1050
由
b=c
sinB sinC
得到 b = 20sin1050
例3 在ΔABC中，AD为∠A的平分线，请用
正弦定理证明：BD = AB DC AC
A
解：在ΔABD中，AB = BD sinα sinβ
则B = ___3_0_。___
有一解
(3)在ΔABC中，已知a = 2 2,b = 2 3，A = 1200,
则B = __无__解___
无解
注意
在ΔABC中，已知a, b和A时,解三角形的情况： 当A为锐角
当A为直角或钝角
C a
b
A a>b一解 B
Ca
b A
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① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角.
② 已知两角和一边，求其他角和边.
数学必修五第一章
解三角形
第一章 解三角形
1.1.1 正 弦 定 理
学以致用 深化概念
例1. 在△ABC中，已知c=10，A=45o ，C=30o， 求a,b和B.
例2. 在△ABC中, 已知 b 3, B 60 , c=1 , 求a,A,C.
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
例3. 在△ABC中，已知c 6, A 45 , a=2, 求b和B,C.
数学必修五第一章
解三角形
正弦定理可解以下两种类型的三角形： （1）已知两角及一边； （2）已知两边及其中一边的对角.
（按角A分类）
A的范围 A为钝角或直角
A为锐角
a,b关系 a＞b a≤b
a≥b a＜bsinA a=bsinA bsinA <a<b
思考：
为了测定河岸A点到对岸C点的距离， 在岸边选定1公里长的基线AB，并测得 ∠ABC=120o，∠BAC=45o，如何求A、C 两点的距离？
.C
.B .A
数学必修五第一章
解三角形
（一）三角形中的边角关系 1、角的关系 A B C 180
2、边的关系 a b c , a b c
3、边角关系 大角对大边,大边对大角.
即三角形中的边与其所对角的正弦值之比 为常数,我们把上述结论称为正弦定理.
为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸 边选定1公里长的基线AB，并测得∠ABC=120o， ∠BAC=45o，如何求A、C两点的距离？
数学必修五第一章Βιβλιοθήκη 解三角形剖析定理、加深理解
正弦定理可以解决三角形中哪类问题：
abc sin A sin B sin C
（二）直角三角形中的边角关系 （角C为直角）
1、角的关系 A B 90
A
2、边的关系 a 2 b2 c2
3、边角关系 a c sin A,
bc
b c cos A
c sin B.
CaB
数学必修五第一章
解三角形
a c sin A,b c sin B.
A
c a b c sin A sin B sin C
数学必修五第一章
解三角形
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
bc CaB
揭示了直角三角形中边与其所对角正 弦值之比相等.
该结论若能对任意三角形都成立,我们就 可以解决前面的思考了.
数学必修五第一章
解三角形
合作学习 形成概念
不妨设角C为△ABC中的最大角,
A
1.当C为直角时,已知结论成立.
D
c
b
B
aE C
A Dc
b
ECa
B
数学必修五第一章
解三角形
在ABC中,有 a b c sin A sin B sin C
解的情况 一解 无解 一解 无解 一解 两解
数学必修五第一章
解三角形
例4. 仿照正弦定理的证明,试证明: 在△ABC中，
SABC
1 2
ab sin C
1 2
bc sin
A
1 2
ca sin
B
在ABC中,请解决下列问题: (1).已知a 2, b 3, C 150, 求SABC ; (2).已知c 10, A 45, C 30, 求b和SABC .
② 已知两角和一边，求其他角和边.
数学必修五第一章
解三角形
第一章 解三角形
1.1.1 正 弦 定 理
学以致用 深化概念
例1. 在△ABC中，已知c=10，A=45o ，C=30o， 求a,b和B.
例2. 在△ABC中, 已知 b 3, B 60 , c=1 , 求a,A,C.
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
例3. 在△ABC中，已知c 6, A 45 , a=2, 求b和B,C.
数学必修五第一章
解三角形
正弦定理可解以下两种类型的三角形： （1）已知两角及一边； （2）已知两边及其中一边的对角.
（按角A分类）
A的范围 A为钝角或直角
A为锐角
a,b关系 a＞b a≤b
a≥b a＜bsinA a=bsinA bsinA <a<b
思考：
为了测定河岸A点到对岸C点的距离， 在岸边选定1公里长的基线AB，并测得 ∠ABC=120o，∠BAC=45o，如何求A、C 两点的距离？
.C
.B .A
数学必修五第一章
解三角形
（一）三角形中的边角关系 1、角的关系 A B C 180
2、边的关系 a b c , a b c
3、边角关系 大角对大边,大边对大角.
即三角形中的边与其所对角的正弦值之比 为常数,我们把上述结论称为正弦定理.
为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸 边选定1公里长的基线AB，并测得∠ABC=120o， ∠BAC=45o，如何求A、C两点的距离？
数学必修五第一章Βιβλιοθήκη 解三角形剖析定理、加深理解
正弦定理可以解决三角形中哪类问题：
abc sin A sin B sin C
（二）直角三角形中的边角关系 （角C为直角）
1、角的关系 A B 90
A
2、边的关系 a 2 b2 c2
3、边角关系 a c sin A,
bc
b c cos A
c sin B.
CaB
数学必修五第一章
解三角形
a c sin A,b c sin B.
A
c a b c sin A sin B sin C
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解三角形
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
bc CaB
揭示了直角三角形中边与其所对角正 弦值之比相等.
该结论若能对任意三角形都成立,我们就 可以解决前面的思考了.
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解三角形
合作学习 形成概念
不妨设角C为△ABC中的最大角,
A
1.当C为直角时,已知结论成立.
D
c
b
B
aE C
A Dc
b
ECa
B
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解三角形
在ABC中,有 a b c sin A sin B sin C
解的情况 一解 无解 一解 无解 一解 两解
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解三角形
例4. 仿照正弦定理的证明,试证明: 在△ABC中，
SABC
1 2
ab sin C
1 2
bc sin
A
1 2
ca sin
B
在ABC中,请解决下列问题: (1).已知a 2, b 3, C 150, 求SABC ; (2).已知c 10, A 45, C 30, 求b和SABC .