复数知识点总结
复数的知识点总结
复数的知识点总结一、复数概述复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数部分组成。
虚数单位i定义为i² = -1，其中i是一个虚数。
复数可表示为a + bi的形式，其中a是实数部分，bi 是虚数部分。
二、复数运算1. 复数加法和减法复数的加法和减法按照实部和虚部分别进行运算，即将实部相加或相减，并将虚部相加或相减。
例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的和可以表示为z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i，差可以表示为z₁ - z₂ = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂)i。
2. 复数乘法复数乘法采用分配律和虚数单位的平方等于-1的性质进行计算。
例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的乘积可以表示为z₁ * z₂ = (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) + (a₁ * b₂ + a₂ * b₁)i。
3. 复数除法复数除法是将分子和分母同乘以分母的共轭，并利用虚数单位的平方等于-1的性质进行计算。
例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的除法可以表示为z₁ / z₂ = ((a₁ * a₂ + b₁ * b₂) / (a₂² + b₂²)) + ((a₂ * b₁ - a₁ * b₂) / (a₂² + b₂²))i。
三、复数的共轭和模1. 复数的共轭复数的共轭是保持实部相同而虚部变号的操作。
复数a + bi的共轭可以表示为a - bi，其中a是实部，b是虚部。
2. 复数的模复数的模是复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
复数a + bi的模可以表示为√(a² + b²)。
四、复数的指数形式和三角形式1. 复数的指数形式复数可以用指数形式表示为re^(iθ)，其中r是模，θ是辐角。
2. 复数的三角形式复数的三角形式是指使用三角函数表示复数。
复数知识点总结
复数知识点总结一、复数的定义形如\（a ＋ bi\）（＼（a,b\in R\），＼（i\）为虚数单位）的数叫做复数，其中\（a\）叫做复数的实部，＼（b\）叫做复数的虚部。
当\（b ＝ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为实数；当\（b ＼neq 0\）时，复数\（a ＋bi\）为虚数；当\（a ＝ 0\）且\（b ＼neq 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为纯虚数。
二、虚数单位\（i\）虚数单位\（i\）满足\（i^2 ＝－1\）。
三、复数的代数形式复数的代数形式为\（z ＝ a ＋ bi\）（＼（a,b\in R\））。
四、复数的几何意义1、复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，＼（x\）轴叫做实轴，＼（y\）轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
2、复数的模复数\（z ＝ a ＋ bi\）的模\（｜z| ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）。
3、复数与向量复数\（z ＝ a ＋ bi\）对应复平面内的向量\（＼overrightarrow{OZ} ＝（a,b)＼）。
五、复数的四则运算1、加法＼（（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i\）2、减法＼（（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i\）3、乘法＼（（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝ ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi^2 ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i\）4、除法＼＼begin{align}＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di}＆＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＼＼＆＝＼frac{ac adi ＋ bci bdi^2}｛c^2 ＋ d^2}＼＼＆＝＼frac{（ac ＋ bd) ＋（bc ad)i}｛c^2 ＋ d^2}＼end{align}＼六、共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数。
复数的知识点总结
复数的知识点总结一、基本概念复数是指由实数和虚数构成的数，形式为 a + bi，其中a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i² = -1。
实数是指具有有限位小数的数或无理数，而虚数是不能用实数表示的数。
二、复数的表示法复数有一般式、三角式和指数式三种表示法。
1. 一般式：a + bi其中 a 表示实部，b 表示虚部。
2. 三角式：r(cosθ + i sinθ)其中 r 表示复数的模，θ 表示复数的辐角或幅角。
3. 指数式：re^(iθ)其中 r 表示复数的模，e 是自然对数的底数，θ 表示复数的幅角。
三、基本运算1. 加法(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i即实部相加，虚部相加。
2. 减法(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i即实部相减，虚部相减。
3. 乘法(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i即实数部分按照常规乘法规则计算，虚数部分交叉相乘。
4. 除法(a + bi) ÷ (c + di) = (ac + bd)/(c² + d²) + (bc - ad)/(c² + d²)i即分子分母同除以 c + di，然后将分子分母分别展开并化简。
5. 共轭复数(a + bi) 的共轭复数为 (a - bi)，共轭复数满足以下性质：a. 它们的实部相等。
b. 它们的虚部相等，但符号相反。
c. 一个复数与它的共轭复数的积等于这个复数的模的平方。
d. 两个复数的积的共轭等于它们的共轭的积。
四、复数的模和幅角1. 复数模|r|复数的模是指复数与原点之间的距离，可以用勾股定理求出。
|r| = √(a² + b²)2. 复数的幅角θ复数的幅角是指复数与正实轴正方向的夹角，可以用反正切函数求出。
高考复数知识点总结
高考复数知识点总结一、复数的概念1. 定义：在数学中，复数是由一个实数和一个虚数单位i构成的数，表示为a+bi，其中a 和b都是实数，而i是虚数单位，满足i²=-1。
2. 实部和虚部：复数a+bi中，a称为实部，bi称为虚部，其中a和b都是实数。
二、复数的表示形式1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。
3. 指数形式：re^(iθ)，其中e^(iθ)为指数函数。
三、复数的运算1. 加法与减法：实部相加，虚部相加2. 乘法：根据分配律和虚数单位i的性质计算3. 除法：乘以共轭复数，然后根据除法的定义计算4. 幂运算：通过指数形式进行计算四、复数的性质1. 共轭复数：a+bi的共轭复数是a-bi2. 模：复数a+bi的模是√(a²+b²)3. 幅角：复数a+bi的幅角是θ=tan^(-1)(b/a)五、复数的应用1. 代数方程式：一元二次方程的解2. 三角函数：通过复数的幅角形式可以求解三角函数的和差角公式3. 电路学：用复数解决交流电路中的问题六、复数的解析几何1. 复数的几何意义：复平面上的点2. 复数的模和幅角：向量的模和方向3. 复数的乘法和除法：向量的缩放和旋转七、复数的解1. 一元二次方程的解：通过求根公式得到解2. 复数的根：开方运算的应用总结：复数是数学中的一个重要概念，它由一个实部和一个虚部构成，可以通过代数形式、幅角形式和指数形式进行表示。
复数的运算包括加法、减法、乘法、除法和幂运算，通过这些运算可以得到复数的性质如共轭复数、模和幅角。
复数还具有广泛的应用，包括代数方程式、三角函数和电路学等方面。
此外，复数还可以通过解析几何的方式进行理解，它在平面上对应着一个点，并且具有向量的性质。
复数的解可以用于一元二次方程的求解以及复数的根的求解。
通过学习和掌握复数的知识，可以更好地理解数学中的各种概念和问题，并且对于后续的学习和应用具有重要的意义。
复数英语知识点总结
复数英语知识点总结一、英语名词复数的构成规则1. 一般情况下，名词的复数形式是在单数形式后面加上-s，例如：book → books, cat → cats。
2. 如果名词以s, ss, sh, ch, x, z结尾，则在单数形式后加-es，例如：bus → buses, class → classes, box → boxes。
3. 以辅音字母加y结尾的名词，变复数时去y变i加-es，例如：city → cities, baby → babies。
4. 以下划线结尾的名词变复数时，去掉下划线加-s，例如：brother-in-law → brothers-in-law。
5. 有些名词的单数和复数形式相同，例如：sheep → sheep, deer → deer。
6. 一些名词的复数形式是不规则的，需要特殊记忆，例如：man → men, woman → women, child → children。
二、英语名词复数的特殊情况1. 有些名词的复数形式是由拉丁语或希腊语形式直接转化而来，需要特殊记忆，例如：datum → data, phenomenon → phenomena。
2. 一些名词的复数形式是由原单数形式完全不同的词构成，例如：foot → feet, tooth → teeth, mouse → mice。
3. 一些名词的单数复数形式都一样，需要通过上下文来区分，例如：fish → fish, sheep → sheep, series → series。
4. 有些外来语保留了原单数复数格式，例如：cactus → cacti, fungus → fungi。
三、英语名词复数的使用1. 在句子中，名词的复数形式通常用来表示多个数量或者多个个体，例如：There are three books on the table.2. 名词的复数形式还可以用来表示某一类事物的普遍存在，例如：Dogs are loyal animals.3. 在某些习惯用语中，名词的复数形式可以表示某种共同的属性，例如：The rich live differently from the poor.4. 在某些情况下，名词的复数形式也可以表示某种程度或者数量，例如：He has had several accidents in his lifetime.综上所述，英语名词的复数形式是英语语法中一个重要的部分，掌握好英语名词的复数形式对于学习英语具有重要意义。
高中数学复数知识点总结
高中数学复数知识点总结1. 复数的定义复数是由实数和虚数单位i（i²=-1）组成的数，一般形式为a+bi，其中a和b都是实数。
实数部分a称为复数的实部，虚数部分b称为复数的虚部。
2. 复数的加法复数的加法和实数的加法类似，即把实部相加，虚部相加，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
3. 复数的减法复数的减法也和实数的减法类似，即把实部相减，虚部相减，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
4. 复数的乘法复数的乘法是通过分配律展开计算的，即(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=ac+(ad+bc)i+bd(-1)=ac-bd+(ad+bc)i。
5. 复数的除法复数的除法需要进行有理化处理，即分子和分母都乘以分母的共轭形式，然后进行化简，最终得到结果。
例如，(a+bi)/(c+di)的结果为[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
6. 复数的模复数z=a+bi的模记为|z|，它表示复数到原点的距离，它的计算公式为|a+bi| = √(a²+b²)。
7. 复数的共轭复数z=a+bi的共轭记为z，它表示实部不变，虚部相反数的复数，即z=a-bi。
8. 复数的极坐标形式复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ=arctan(b/a)。
9. 复数的三角形式复数z=r(cosθ+isinθ)的三角形式表示为z=r∙e^(iθ)，其中e^(iθ)=cosθ+isinθ，称为欧拉公式。
10. 复数的指数形式复数z=r∙e^(iθ)的指数形式表示为z=r∙exp(iθ)，其中exp表示自然底数e的指数函数。
11. 复数的乘方复数的乘方可以通过三角形式或指数形式进行计算，即z^n = |z|^n∙(cos(nθ)+isin(nθ))或z^n = |z|^n∙exp(inθ)。
复数计算知识点总结
复数计算知识点总结一、复数的定义复数是数学中的一个重要概念，它是由实数和虚数组成的数。
复数通常以“a+bi”的形式表示，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
例如：3+4i就是一个复数，其中实部为3，虚部为4。
二、复数的加法和减法1. 复数的加法复数的加法和实数的加法类似，只不过需要将实部和虚部分别相加即可。
例如：(3+4i) + (5+2i) = 8+6i2. 复数的减法复数的减法也和实数的减法类似，同样需要将实部和虚部分别相减。
例如：(3+4i) - (5+2i) = -2+2i三、复数的乘法和除法1. 复数的乘法复数的乘法要利用到实数的乘法和虚数单位的性质，即i²=-1。
例如：(3+4i) * (5+2i) = 15+6i+20i+8i² = 15+26i-8 = 7+26i2. 复数的除法复数的除法可以转化为乘法的倒数来进行运算，需要借助到共轭复数。
例如：(3+4i) / (5+2i) = (3+4i) * (5-2i) / (5²+2²) = (15-6i+20i+8) / (25+4) = (23+14i) / 29 = 23/29 + 14i/29四、复数的模和幅角1. 复数的模复数的模即为复数到原点的距离，即复数a+bi的模为√(a²+b²)。
例如：复数3+4i的模为√(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 52. 复数的幅角复数的幅角即为复数与实轴正半轴的夹角，通常用θ表示，可以通过反正切函数来计算。
例如：对于复数3+4i，可以计算出其幅角为arctan(4/3) ≈ 53.13°。
五、复数的共轭和乘幂1. 复数的共轭复数的共轭是指将复数中的虚部取相反数，即a+bi的共轭为a-bi。
例如：复数3+4i的共轭为3-4i2. 复数的乘幂复数的乘幂可以通过极坐标形式来计算，利用欧拉公式e^(iθ) = cosθ + i·sinθ可以得到。
复数的知识点公式总结
复数的知识点公式总结一、复数的基本概念1. 复数的定义：形如a+bi的数称为复数，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的实部与虚部：复数z=a+bi中，a称为实部，b称为虚部，通常用Re(z)和Im(z)表示。
3. 纯虚数：实部为0的复数，称为纯虚数，如bi，则bi为纯虚数。
4. 共轭复数：设z=a+bi是一个复数，如果将z的虚部b改变符号，得到一个新的复数z’=a-bi，称z’是z的共轭复数。
二、复数的表示形式1. 代数形式：z=a+bi，即由实部a和虚部b构成的复数形式。
2. 幅角形式：z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|为复数的模，θ为复数的辐角。
3. 按模辐角表示：z=r·exp(iθ)。
4. 柯西-黎曼公式：当z=x+yi时，可表示为z=r(exp[i(θ+2kπ)]), k=0,±1,±2,...。
三、复数的运算规则1. 加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
2. 减法：(a+bi)-(c+di)=(a+c)-(b+d)i。
3. 乘法：(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
4. 除法：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+(bc-ad)i/(c²+d²)。
5. 复数的乘方：(a+bi)²=a²-b²+2abi。
6. 复数的幂运算：zⁿ=(r·exp(iθ))ⁿ=rⁿ·exp(iθn)。
7. 复数的共轭：z=a+bi的共轭为z*=a-bi。
8. 复数的倒数：z=a+bi的倒数为1/z=1/(a+bi)。
四、复数的性质1. 除法：任一非零复数z=a+bi，存在有唯一的复数1/z=1/(a+bi)，满足z(1/z)=1。
2. 复数的模：|z|=√(a²+b²)，其中|z|为z的模。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复数
一、复数的概念
1. 虚数单位i
（1） 它的平方等于1-，即 2i 1=-；
（2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．
（3） i 的乘方： 4414243*i 1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈，它们不超出i b 的形式．
2. 复数的定义
形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数， ,a b 分别叫做复数的实部与虚部
3. 复数相等 i i a b c d +=+，即,a c b d ==，那么这两个复数相等
4. 共轭复数 i z a b =+时，i z a b =-． 性质：z z =；2121z z z z ±=±；1121z z z z ⋅=⋅； );0()(22121
≠=z z z z z
二、复平面及复数的坐标表示
1. 复平面
在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．
2. 复数的坐标表示 点(,)Z a b
3. 复数的向量表示 向量OZ uuu r ．
4. 复数的模
在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ u u u r 叫做复数z 的模，
记作z ．由定义知，z =．
三、复数的运算
1. 加法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +++=+++．
几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =u u u u r ，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =u u u u r ，则
12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++u u u u r u u u u r ．因此复数的和可以在复平面上用平行四边
形法则解释．
2. 减法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-．
几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =u u u u r ，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =u u u u r ，则
12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--u u u u r u u u u r u u u u r ．
12()()i z z a c b d -=-+-=1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z u u u u r 的模．
3. 乘法 ()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±.
4. 乘方 m n m n z z z +⋅= ()m n mn z z = 1212()n n n z z z z ⋅=⋅
5. 除法
()()()()()()()()22
a bi c di ac bd bc ad i a bi a bi c di c di c di c di c d +-++-++÷+===++-+. 6. 复数运算的常用结论
（1） 222(i)2i a b a b ab +=-+， 22(i)(i)a b a b a b +-=+
（2） 2(1i)2i +=， 2(1i)2i -=-
（3） 1i i 1i +=-， 1i i 1i
-=-+ （4） 1212z z z z ±=±， 1212z z z z ⋅=⋅， 1122z z z z ⎛⎫=
⎪⎝⎭，z z =．
（5） 2
z z z ⋅=， z z =
（6） 121212z z z z z z -≤+≤+
（7） 1212z z z z ⋅=⋅，1212z z z z ⋅=⋅，n
n z z = 四、复数的平方根与立方根
1. 平方根 若2(i)i a b c d +=+，则i a b +是i c d +的一个平方根，(i)a b -+也是i c d +的平方根． （1的平方根是i ±．）
2. 立方根 如果复数1z 、2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．
（1） 1的立方根： 2
1,,ωω．
1
i 22ω=-+
，2122
ωω==--，31ω=． 210ωω++=． （2） 1-的立方根：
111,2222z z -=
+=-． 五、复数方程
1. 常见图形的复数方程
（1） 圆：0z z r -=（0r >，0z 为常数），表示以0z 对应的点0Z 为圆心，r 为半径的圆
（2） 线段12Z Z 的中垂线：12z z z z -=-（其中12,z z 分别对应点12,Z Z ）
（3） 椭圆： 122z z z z a -+-=（其中0a >且122z z a -<），表示以12,z z 对应的点F1、F2为焦点，长轴长为2a 的椭圆
（4） 双曲线： 122z z z z a ---=（其中0a >且122z z a ->），表示以12,z z 对应的点F1、F2为焦点，实轴长为2a 的双曲线
2. 实系数方程在复数范围内求根
（1）
求根公式：1,21,21,20 0 20 x b x a x ⎧∆>=⎪⎪⎪-∆==⎨⎪⎪∆<=⎪⎩
一对实根一对相等的实根一对共轭虚根
（2） 韦达定理：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。