一元三次方程与复数
一元三次方程的三个解
一元三次方程的三个解一元三次方程的解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax+bx+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。
归纳出来的形如x+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。
归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。
方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2）x=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为 x=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x+px+q=0作比较，可知（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-(p/3)（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A 和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a(9) 对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-(p/3)＝c/a(10)由于型为ay+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1＝（－b＋（b－4ac）^(1/2)）/(2a)y2＝（－b－（b－4ac）^(1/2)）/(2a)可化为（11）y1＝－(b/2a)-((b/2a)-(c/a))^(1/2)y2＝－(b/2a)+((b/2a)-(c/a))^(1/2)将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-(p/3)＝c/a代入（11）可得（12）A＝－(q/2)-((q/2)＋(p/3)^(1/2) B＝－(q/2)+((q/2)＋(p/3)）^(1/2) （（13）将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得（14）x=（－(q/2)-((q/2)＋(p/3)）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)＋(p/3)）^(1/2)）^(1/3)式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了将其以下图具体显示注意此处的三次方程是实数域的。
一元三次方程的解法
一元三次方程的解法邵美悦2018年3月23日修改:2018年4月25日众所周知,一元二次方程的求根公式是中学代数课程必修知识,通常在初中阶段的数学教材中会进行介绍.一元三次方程和一元四次方程同样有求根公式,1而且其推导过程也是初等的.由于一元三次和四次方程的求解比起一元二次方程要困难得多,并且求根公式的具体形式也不是很实用,所以尽管在一些初等数学的书籍中有相关介绍,但大多数中学生对这些解法并不了解.本文将简要介绍一下一元三次方程的求解方法.1配方法一元二次方程ax 2+bx +c =0,(a =0)的解法一般会在在初中教材中进行介绍,通用的解法是配方法(配平方法),即利用a (x +b 2a )2=b 2−4ac 4a解出x =−b 2a ±√b 2−4ac 2a.当然,在初中教材中会要求a ,b ,c 都是实数,并且判别式b 2−4ac 必须非负.在高中教材引进复数之后,上述求根公式对复系数一元二次方程依然有效,开平方运算√b 2−4ac 也不再受到判别式符号的限制,只需要按照复数开方来理解.21值得注意的是,在代数学中可以证明,如果只用系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算(其中k 是正整数),复系数一元五次(或更高次)方程没有求根公式.换句话说,不可能存在仅由系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算构成的公式,使得每一个复系数一元五次方程都可以按该公式求解.这一结论通常称为Abel–Ruffini 定理.不少业余数学爱好者在没有修习过大学近世代数课程的情况下致力于推导高次方程的初等求根公式,这样的努力难免徒劳无功.2这里约定开方运算k √·只需要算出任意一个k 次方根即可.1一元二次方程的这一配方解法可以进行更细致地拆解.首先,我们可以将二次项系数归一化,只需要考虑x2+˜bx+˜c=0,其中˜b=b/a,˜c=c/a.然后引进新的变量y=x+˜b/2可以消去一次项得到二项方程y2=˜b24−˜c.最后开平方解出y=±√˜b2−4˜c2,再代入x=y−˜b/2即可算出x.一元二次方程实在太过简单,所以即使不像这样进行细致地拆解仍然可以很轻易地解出,这里拆解的目的只是为了简化记号,从而更容易看清楚每个步骤所起的作用.对于一元三次方程而言,为了避免不必要的麻烦,同样只需要考虑首项系数为1的方程x3+bx2+cx+d=0.类似于一元二次方程的配平方,这里很自然地首先尝试配立方的办法,引进变量y=x+b/3便可以消去二次项得到形如y3+py+q=0(1)的三项方程,3其中p和q的具体表达式留给读者自行推导.这样一来只要能够求解(1)就可以解出一般的一元三次方程.不过与一元二次方程不同的是,当p=0时(1)并不能直接开立方来求解,所以接下来我们需要进一步研究三项方程(1)的一般解法.2三倍角公式在中学教材的三角函数部分,三倍角公式远不如二倍角公式及半角公式重要,4不过三倍角公式和(1)的求解紧密相关.考虑三倍角余弦公式cos3θ=4cos3θ−3cosθ,(2)公式(2)的右端只含有cosθ而不含sinθ.如果令T3(x)=4x3−3x,那么cos3θ=T3(cosθ),也就是说cos3θ是cosθ的三次多项式.53另一种理解方式是,通过平移变换,我们总可以将一元三次方程的三根之和变为零.4通常来讲我们并不鼓励中学生去记忆三倍角公式,只要在需要使用的时候能够临时推导就足够了.5一般地,定义多项式序列T(x)=1,T1(x)=x,T n+2(x)=2xT n+1(x)−T n(x),(n∈N).2注意到在T 3(x )中的二次项系数为零,如果将T 3(x )与(1)的形式进行对比不难发现,当p =−3/4且−1/4≤q ≤1/4时,y 3−34y +q =0可以用代换q =−(cos 3θ)/4,y =cos θ来求解,得到y =cos (13arccos (−4q )+2kπ3),其中k ∈{0,1,2}.顺着这一思路,对于实数p <0,如果设y =r cos θ代入(1)就可以得到r 3cos 3θ+rp cos θ+q =0,当r 3/rp =−4/3时就可以凑成T 3(cos θ)的形式.于是我们取r =2√−p /3,就可以归结为4cos 3θ−3cos θ−4q r 3=0.只要−4q /r 3是绝对值不大于1的实数(等价于(p /3)3+(q /2)2≤0)仍然可以按上述三角解法来解.63Vieta 代换和Cardano 公式上一节中介绍的一元三次方程的三角解法由Vieta 提出,可以在p ,q 是实数并且(p /3)3+(q /2)2≤0的前提下求解(1)的三个实根.当然,在中学知识范围内这个解法对于p 和q 的取值范围有一定的要求,难以应用于一般的复系数一元三次方程.7另外,该方法需要引进三角函数和反三角函数,比起一元二次方程只需要用到四则运算和开方就能求解来讲要复杂一些.不过对这一三角解法进行适当推广很容易得到求解(1)的代数方法.如果z =cos θ+i sin θ,那么cos θ=12(z +1z),利用归纳法及和差化积公式容易验证cos nθ=T n (cos θ),这里的T n (x )称为n 次Chebyshev 多项式,也叫做第一类Cheby-shev 多项式.6如果引进双曲函数sinh θ=12(e θ−e −θ),cosh θ=12(e θ+e −θ),并利用双曲函数的三倍角公式sinh 3θ=4sinh 3θ+3sinh θ,cosh 3θ=4cosh 3θ−3cosh θ,则可解决三角解法中未曾顾及的p ,q 是实数但(p /3)3+(q /2)2>0的情况求出方程(1)的实根.7在大学的复分析课程中,余弦函数的定义域和值域都将会扩大到整个复平面,届时Vieta 的三角解法就可以作为一元三次方程的通用解法,尽管这不能算是纯粹的代数解法.3由此即可将左端的三角函数cos θ用右端关于z 的有理函数来代替,并且右端只需要z =0即有意义,而无需再受到原先|z |=1的约束,这样就可以把由三角函数的值域过小造成的约束放宽.对于代换y =r cos θ=rz 2+r 2z,如果再引进w =rz /2,便可以得到r 2z =r 24w =−p 3w,这里的最后一步用到了上一节中的选择r 2=−4p /3.有了上面的分析,我们就可以“过河拆桥”,在一开始求解(1)时就直接进行换元y =w −p 3w ,(w ∈C \{0}).(3)这一变量代换称为Vieta 代换.注意到对于任何复数y ,总存在两个复数w (有可能相同)使得y 与w 满足关系式(3),所以Vieta 代换总是可行的,并且不会遗漏(1)的解.将(3)代入(1)得到w 3−p 327w 3+q =0,通分得到关于w 3的二次方程w 6+qw 3−p 327=0,于是w 是w =3√−q 2+√(q 2)2+(p 3)3(4)的6个值(考虑重数)之一,这里的3√·和√·都表示复数开方的任何一个结果.只要得到了w ,再代入(3)便求出了y .记w 0为(4)中的任何一个结果,那么(1)的三个复根为y 1=w 0−p 3w 0,y 2=ζw 0−p 3ζw 0,y 3=ζ2w 0−p 3ζ2w 0,(5)其中ζ=−1+√3i 2.这一结果,即公式(4)和(5),称为Cardano 公式.需要指出的是,尽管w 0可以有6种取法(即w 0可以替换成ζw 0,ζ2w 0,−p /(3w 0),−ζp /(3w 0),−ζ2p /(3w 0)中的任何一个),但不论4哪一种取法,由(5)得到的三个解y 1,y 2,y 3总是相同的,至多仅有次序上的区别.另外,整个推导过程中并不要求p ,q 是实数,所有的运算都是复数运算,因此Cardano 公式对于p ,q 是复数的情况成立.4历史意义在16世纪早期,意大利数学家del Ferro 和Tartaglia 先后独立找到了一元三次方程的求解方法,这是欧洲文艺复兴时期在数学方面首次取得了超过古希腊数学成就的新成果,是数学史上重要的里程碑.Cardano 从Tartaglia 处学习到了一元三次方程的解法,并于1545年将其发表在著作Ars Magna 中,故一元三次方程的求根公式现在通常称为Cardano 公式.8在Cardano 所处的年代,负数的地位尚未得到正式认可,只有正数才可以进行运算(方程中系数小于零的项都需要移到等号的另一侧使系数变为正数).而Cardano 提出如果承认负数,并且允许对负数开平方,将会扩展方程可解的范围.9尽管复数被数学界所理解并广泛接受还经历了相当长的一段时间,但是复数的出现对于代数学和分析学都有着极为深远的影响.在Cardano 之后,法国数学家Vieta 和Lagrange 又相继提出了一元三次方程的其它解法.10其中Lagrange 的方法引进了置换的概念,统一了四次以内的一元多项式方程的解法,并断言一元五次方程不会有根式解.19世纪初,Lagrange 的思想为挪威数学家Abel 和法国数学家Galois 所发展,开创了近世代数(也叫抽象代数)这一新的数学分支,不仅完全解决了一元代数方程根式解的问题,也改变了整个数学科学的面貌.5练习题1.在复数域上解方程x 3−24x −32=0.2.在复数域上解方程x 3+5x 2−8x −28=0.3.在复数域上解方程x 3−3i x 2−(1−12i )x −25i =0.4.求3√39√69+324−3√39√69−324的值,其中√·和3√·表示通常实数的算术根.8Tartaglia 在Cardano 承诺保守秘密的情况下将一元三次方程的解法透漏给Cardano,然而后来Carnado 得知del Ferro 于Tartaglia 之前已经解出一元三次方程,并找到了del Ferro 的手稿,便觉得没有必要再遵守与Tartaglia 之间的约定,遂将一元三次方程的解法发表在其著作中(仍归功于del Ferro 和Tartaglia),一同发表的还有Cardano 的学生Ferrari 发现的一元四次方程的通用解法(称为Ferrari 解法).9可以证明,当p ,q 是实数且(p /3)3+(q /2)2<0时,方程(1)有三个实根.但是对于这种情况Cardano 公式不可避免地需要引进复数才能得到这三个实根.10本文的推导并未按照历史上的次序,而是反过来从Vieta 的三角解法引入Vieta 代换来得到Cardano 公式,以期读者可以更自然地理解其中的变量代换.读者也可以跳过三角解法直接从(3)开始推导Cardano 公式.55.若方程x3−3x+1=0的三个实根从小到大依次为x1,x2,x3,证明:x21−x23=x1−x2.6.若p,q是给定的实数,记∆=(p/3)3+(q/2)2.证明:•若∆>0,则(1)有三个不同的根,其中一个是实根,另外两个是一对共轭复根;•若∆=0,则(1)有三个实根,并且有重根;•若∆<0,则(1)有三个不同的实根.7.分别在实数域和在复数域上分解因式x3+y3+z3−3xyz,并由此推导Cardano公式.8.若p,q,r是给定的复数,在求解关于x的方程x4=px2+qx+r时,可以在两边同时加上2ux2+u2得到(x2+u)2=(p+2u)x2+qx+r+u2.为了使上述等式右端构成完全平方式,应该如何选取u?9.已知实数x,y,z满足x2+y2+z2=1,求xy+yz+3zx的最大值.10.证明:cos20◦是无理数.6。
一元三次方程求根 知乎
一元三次方程求根知乎全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一元三次方程求根是数学中一个非常基础且重要的知识点。
对于一些初学者来说，可能对于如何解一元三次方程求根还感到困惑。
今天就让我们来探讨一下一元三次方程求根的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这个知识点。
一元三次方程通常可以写成如下形式：ax^3+bx^2+cx+d=0a、b、c、d为已知的系数，而x为未知数。
我们的目标就是要找到满足这个方程的根，也就是使得方程成立的x的值。
在解一元三次方程之前，我们首先需要了解一元三次方程的根的情况。
根据代数学的基本定理，一元三次方程至少有一个实数根。
也就是说，无论方程的系数取什么值，都至少存在一个实数根。
而对于复数根来说，一元三次方程可能有一个，两个或三个复数根。
接下来，我们来看一下一元三次方程求根的方法。
在解一元三次方程时，通常可以采用如下方法：1. 利用因式分解求根：如果一元三次方程可以通过因式分解为(x-a)(x-b)(x-c)=0的形式，那么方程的根就是a、b和c。
这种情况下，可以通过因式分解很容易地求得方程的根。
2. 利用求根公式求解：一元三次方程是无法像一元二次方程那样通过普通的求根公式直接求解的。
但我们可以借助一些其他的方法来求解。
其中一个比较常用的方法就是卡达诺公式。
卡达诺公式在一元三次方程的求解中起着非常重要的作用，能够帮助我们求解出方程的实数根或复数根。
3. 利用数值解法求解：如果无法通过因式分解或者求根公式求解出方程的根，我们还可以利用数值解法来逼近方程的根。
数值解法主要有二分法、牛顿法等，通过迭代求解来逼近方程的根。
除了上述方法外，对于一元三次方程的求解，还有一些其他的方法和技巧。
可以通过换元减次的方法将一元三次方程降低为一元二次方程再求解，也可以尝试利用韦达定理、拉格朗日插值等方法。
这些方法都可以帮助我们更快更准确地求得一元三次方程的根。
第二篇示例：一元三次方程在数学中是一个常见的问题，解决这个问题需要求出方程的根。
一元三次方程
卡丹公式法（卡尔达诺公式法）特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)判别式Δ=(q/2）^2+(p/3）^3【卡丹公式】X⑴=(Y1）^（1/3）+(Y2）^（1/3）；X⑵= (Y1）^（1/3）ω+(Y2）^（1/3）ω^2；标准型方程中卡尔丹公式的一个实根X⑶=(Y1）^（1/3）ω^2+(Y2）^（1/3）ω，其中ω=（－1+i3^（1/2）)/2；Y（1,2）=－（q/2）±（（q/2）^2+(p/3）^3）^（1/2）。
标准型一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0令X=Y—b/（3a）代入上式，可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。
【卡丹判别法】当Δ=(q/2）^2+(p/3）^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；当Δ=(q/2）^2+(p/3）^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；当Δ=(q/2）^2+(p/3）^3<0时，方程有三个不相等的实根。
三角函数法当Δ=(q/2）^2+(p/3）^3<0时，方程有三个不相等的实根。
很吊诡地，这方法必须用到复数求出全是实数的根。
这是发明复数的一个理由：复数是解方程必需工具，即使方程或许只有实根。
为了消除复数，必须借助三角函数。
aX^3+bX^2+cX+d=0 当Δ<0x1=-3a/b+2/a(b^2/9a-c/3）cos[(arccos（27a^3（2b^3+27a^2d-9abc)/2(b^2-3ac)))/3]x2,3==-3a/b+2/a(b^2/9a-c/3）cos[(arccos（27a^3（2b^3+27a^2d-9abc)/2(b^2-3ac)))/3±2π/3]简易重根法卡尔丹公式的Δ=0时，本来方程有开立方，但却可以有简单表达式的当p=q=0时，方程有三重根。
x1=x2=x3=-3a/b当Δ=(q/2）^2+(p/3）^3=0时x1=x2=（9ad-bc)/2(b^2-3ac) x3=（9a^d-4abc+b^3）/a(b^2-3ac)盛金公式法三次方程应用广泛。
一元三次方程解公式
一元三次方程解公式一元三次方程，这可是数学里的一个“硬骨头”。
不过别怕，咱们一起来啃啃它。
先来说说一元三次方程是啥。
就比如说方程 x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 ，这就是一个一元三次方程。
那怎么解它呢？这就得靠咱们的一元三次方程解公式了。
说到这个公式，那可真是有点复杂。
它叫卡尔丹公式。
公式长这样：设方程为 x³ + px + q = 0 ，其判别式为Δ = (q / 2)² + (p / 3)³ 。
若Δ > 0 ，方程有一个实根和一对共轭复根；若Δ = 0 ，方程有三个实根，其中有一个两重根；若Δ < 0 ，方程有三个不等实根。
实根 x = { -q / 2 + √[ (q / 2)² + (p / 3)³ ] } ^ (1 / 3) + { -q / 2 - √[ (q / 2)²+ (p / 3)³ ] } ^ (1 / 3) 。
是不是看着头都大了？别慌，咱们来举个例子感受感受。
就拿方程 x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 来说。
这里 p = -6 ，q = 11 。
咱们先算判别式Δ = (11 / 2)² + ( -6 / 3)³ = 121 / 4 - 8 = 121 / 4 - 32 / 4 = 89 / 4 >0 ，所以这个方程有一个实根和一对共轭复根。
接下来算实根 x = { -11 / 2 + √[ (11 / 2)² + ( -6 / 3)³ ] } ^ (1 / 3) + { -11/ 2 - √[ (11 / 2)² + ( -6 / 3)³ ] } ^ (1 / 3) 。
经过一番复杂的计算，咱们就能得出这个实根。
哎呀，这计算过程可真是让人眼花缭乱。
我还记得我当初学这个的时候，那真是算得草稿纸一堆一堆的。
一元三次方程复数根求根公式
一元三次方程复数根求根公式一元三次方程是指形如ax^3+bx^2+cx+d=0的方程，其中a、b、c、d为实数且a≠0。
如果该方程没有实数根，则它一定有一对共轭复数根。
下面我们来介绍一元三次方程的复数根求根公式。
设一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的三个根分别为α、β、γ，由于它们是复数，因此可以表示为：α = p + qiβ = r + siγ = u + vi其中，p、q、r、s、u、v均为实数。
根据复数的定义，α、β、γ满足方程：(ax^2+bx+c)(x-α)(x-β)(x-γ) = 0将x=α、x=β、x=γ代入上式，可得：(ax^2+bx+c)(p-α)(p-β)(p-γ) = 0(ax^2+bx+c)(r-α)(r-β)(r-γ) = 0(ax^2+bx+c)(u-α)(u-β)(u-γ) = 0将上述三个式子相加，得到：(ax^2+bx+c)[(p-α)(p-β)(p-γ)+(r-α)(r-β)(r-γ)+(u-α)(u-β)(u-γ)] = 0因为ax^2+bx+c≠0，所以有：(p-α)(p-β)(p-γ)+(r-α)(r-β)(r-γ)+(u-α)(u-β)(u-γ) = 0对上式进行展开，得到：pqr + pqs + prs + qru + qsu + rsu - (p^2s + p^2u + q^2r + q^2u + r^2p + r^2s + s^2p + s^2u + u^2q + u^2r + v^2p + v^2q + v^2r + v^2s + v^2u) = 0移项后，得到：(pq + pr + qr + qu + rs + su) - (p^2 + q^2 + r^2 + s^2 + u^2 + v^2) + i(ps - qr) = 0因为α、β、γ是一对共轭复数根，所以它们的实部相等，虚部互为相反数，即：p + r + u = -b/aq + s + v = 0ps = qr代入上式，得到：3pq - b/a(p+q) + c/a = 0将ps = qr代入ax^3+bx^2+cx+d=0，得到：a(x-α)(x^2+px+q) = 0因为α是原方程的一个根，所以x=α代入上式应该成立，即： a(α-α)(α^2+pα+q) = 0即：α^2 + pα + q = 0同理，β、γ的方程分别为：β^2 + pβ + q = 0γ^2 + pγ + q = 0将α、β、γ的式子代入ps = qr，得到：(p+q)(r+s)(u+v) - 3(pq+rs+uv) = 0即：(p+q+r+s+u+v)^2 - 3(p^2+q^2+r^2+s^2+u^2+v^2) = 0 所以，解得：p+q+r+s+u+v = 0p^2+q^2+r^2+s^2+u^2+v^2 = (b^2-3ac)/a^2综上所述，一元三次方程的复数根求根公式为：p、q、r、s、u、v分别为：p = -(b/a)/3 + (2/3)√[(b^2-3ac)/a^2]q = -(b/a)/3 - (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]r = -(b/a)/3 - (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]s = -(b/a)/3 + (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]cos(θ)u = -(b/a)/3 + (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]cos(θ+2π/3) v = -(b/a)/3 + (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]cos(θ-2π/3) 其中，θ为任意角度。
一元三次方程复数根求根公式
一元三次方程复数根求根公式一元三次方程是数学中的一个重要概念，在许多实际问题的处理中，都需要用到它的求解方法。
在复数域中，一元三次方程有一个特殊的求根公式，它可以在较简单的条件下求出三次方程的全部复数根。
本文主要介绍一元三次方程复数根求根公式的相关内容。
一、什么是一元三次方程？一元三次方程是指一个只有一个未知数的三次方程。
它的一般形式为：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0其中，a、b、c、d为已知常数，x为未知数。
二、一元三次方程的基本求解方法对于一般的一元三次方程，我们可以采用如下方法进行求解：步骤一：将一元三次方程化为标准形式。
如果a≠0，可将方程两边同时除以a；如果a=0，将方程变形，使其不含二次项。
步骤二：变形，将三次方程化为二次方程。
通过变量代换或公式变形，将三次方程转化为二次方程。
步骤三：求出二次方程的解。
采用求根公式或配方法等方法，求解二次方程。
步骤四：得到三次方程的解。
通过步骤二和步骤三的结果，求得三次方程的解。
但是，在某些情况下，采用上述方法难以求出一元三次方程的解。
此时，我们需要用到一元三次方程复数根求根公式。
三、一元三次方程复数根求根公式一元三次方程复数根求根公式可以用来求解一元三次方程在复数域中的全部解。
它的表达式如下：x1=(m + √n + √p + i(√n - √p))/3x2=(m - (√n + √p)/2 - i(√n - √p)√3/2)/3x3=(m - (√n + √p)/2 + i(√n - √p)√3/2)/3其中，i为虚数单位，m、n、p均为已知常数。
若x1、x2、x3的实部和虚部均为实数，则方程在实数域中有三个实根。
四、举例说明例如，求解一元三次方程x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0在复数域中的全部解。
根据一元三次方程复数根求根公式，我们可以得到：m=4/3，n=139/9，p=35/9于是，我们可以得到方程在复数域中的三个根：x1=(4/3 + √(139/9) + √(35/9) + i(√(139/9) - √(35/9)))/3≈1.6214+0.1784ix2=(4/3 - (√(139/9) + √(35/9))/2 -i(√(139/9) - √(35/9))√3/2)/3≈0.7827-1.0834i x3=(4/3 - (√(139/9) + √(35/9))/2 +i(√(139/9) - √(35/9))√3/2)/3≈0.5958+0.9049i 因此，一元三次方程x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0在复数域中的全部解为：x≈1.6214+0.1784i，x≈0.7827-1.0834i，x≈0.5958+0.9049i五、总结一元三次方程是数学中的一个基础概念，对于某些实际问题的处理十分重要。
一元三次方程的解法
一元三次方程的解法数教091班王超逸 48号一元三次方程的标准形式为aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，将方程两边同时除以最高项系数a,三次方程变为x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+d/a=0,所以三次方程又可简写为X^3＋bX^2＋cX＋d=0．一元三次方程的韦达定理设方程为ax^3+b^2x+cx+d=0则有x1*x2*x3=-d/a；x1*x2+x2*x3+x3*x1=c/a；x1+x2+x3=-b/a；一元三次方程解法思想一元三次方程解法思想是：通过配方和换元，使三次方程降次为二次方程求解．一元三次方程解法的发现三次方程解法的发现是在16世纪的意大利，那时，数学家常常把自己的发现秘而不宣，而是向同伴提出挑战，让他们解决同样的问题．想必这是一项很砥砺智力，又吸引人的竞赛，三次方程的解法就是这样发现的．最初，有一个叫菲奥尔的人，从别人的秘传中学会了解一些三次方程，便去向另一个大家称为塔尔塔利亚的人挑战．塔尔塔利亚原名丰塔纳，小时因脸部受伤引起口吃，所以被人称为塔尔塔利亚（意为＂口吃者＂）。
他很聪明，又很勤奋，靠自学掌握了拉丁文，希腊文和数学．这次他成功解出了菲奥尔提出的所有三次方程，菲奥尔却不能解答他提出的问题．当时很有名的卡尔丹于是恳求他传授解三次方程的办法，并发誓保守秘密，塔尔塔利亚才把他的方法写成一句晦涩的诗交给卡尔丹．后来卡尔丹却背信弃义，把这个方法发表在1545年出版的书里．在书中他写道：＂波伦亚的费罗差不多在三十年前就发现了这个方法，并把它传给了菲奥尔．菲奥尔在与塔尔塔利亚的竞赛中使后者有机会发现了它．塔尔塔利亚在我的恳求下把方法告诉了我，但保留了证明．我在获得帮助的情况下找出了它各种形式的证明．这是很难做到的．＂卡尔丹的背信弃义使塔尔塔利亚很愤怒，他马上写了一本书，争夺这种方法的优先权．他与卡尔丹的学生费拉里发生了公开冲突．最后，这场争论是以双方的肆意谩骂而告终的．三次方程解法发现的过程虽不愉快，但三次方程的解法被保留了下来，并被错误的命名为＂卡尔丹公式＂沿用至今．以下介绍的解法，就是上文中提到的解法．一元三次方程的解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax+bx+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x+px+q=0的特殊型。
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浅谈解一元三次方程
江苏省泰州中学袁蕴哲
一、由几个方程引出的讨论
解下列方程：
1、x-1=0
2、x2-1=0
3、x2+1=0
4、x3-1=0
易知，方程1的解为x=1，方程2的解为x=±1，方程3无实数根，方程4的解为x=1。
对于2、3两个一元二次方程，有根的判别式Δ=b2-4ac，根据Δ的正负来判断方程根的个数。
那么，对于形如ax3+bx2+cx+d=0的方程，我们要判断根的个数，最好的方法就是图像法：令f(x)=ax3+bx2+cx+d，可直观地看出f(x)的零点数，就是方程的根。
如方程5x3+x2-6x+1=0（见下图），易知，该方程有三个根。
将此函数平移，可得到与x轴分别有1个、2个、3个交点，说明任意一元三次方程可能有1～3个实根。
即：一元n次方程最多有n个实根。
再来看方程3，可移项为x2=-1，两边开方，得到。
负数的偶次方根是没有意义的，但为了使这个方程有解，我们规定，就有i2=-1。
易知，原方程的解就为x=±i。
由于数i没有实际的意义，只在解方程时为了使方程有解才引入，故把i称为虚数
(imaginary number)，意为虚幻的、不存在的数；相对的，我们之前接触的所有数都叫实数(real number)。
规定了虚数以后，类似x2+1=0的方程也可以解了，而且有2个根。
二、解高次方程的数学史话
一元三次方程，乃至更高次方程的解法，经过了漫长的时间才得以给出，塔尔塔利亚、卡当（也译作卡尔丹）、费拉里、阿贝尔等人对这一问题的解决做出了卓越的贡献。
数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛·冯塔纳。
冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。
由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔利亚”，也就是意大利语中“结巴”的意思。
后来的很多数学书中，都直接用“塔尔塔利亚”来称呼冯塔纳。
经过多年的探索和研究，塔尔塔利亚利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。
这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。
但是塔尔塔利亚不愿意将他的这个重要发现公之于世。
当时的另一位意大利数学家兼医生卡当，对塔尔塔利亚的发现非常感兴趣。
他几次诚恳地登门请教，希望获得塔尔塔利亚的求根公式。
后来，塔尔塔利亚终于用一种隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡当。
卡当通过解三次方程的对比实践，很快就彻底破译了塔尔塔利亚的秘密。
卡当把塔尔塔利亚的三次方程求根公式，写进了自己的学术著作《大法》中，但并未提到塔尔塔利亚的名字。
随着《大法》在欧洲的出版发行，人们才了解到三次方程的一般求解方法，因此后人就把这种求解方法称为“卡当公式”。
塔尔塔利亚知道卡当背信弃义的行为后非常生气，要与卡当辩论，卡当排出了他的学生费拉里应战。
费拉里也是天资过人，他在老师的基础之上，进一步研究了一元四次方程的解法。
由于塔尔塔利亚不会解四次方程，这场论战也就不了了之了。
后来挪威学者阿贝尔终于证明了：一般的一个代数方程，如果方程的次数n≥5 ，那么此方程不可能用根式求解。
即不存在根式表达的一般五次方程求根公式。
这就是阿贝尔定理。
高次方程求解的工作就此告一段落。
值得注意的是，卡当在研究三次方程时，遇到了给负数开根的问题，就首次引入了复数的概念，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
三、复数与一元方程的解
将实数与虚数相加，就得到复数(complex number)，一般用z表示，可写作：
z=a+bi
其中a为复数的实部，b为复数的虚部。
当b=0时为实数，a=0，b≠0时为虚数，又叫纯虚数。
由此，数的概念又扩展了一步：从实数集到复数集（用C表示）。
表示如下：
复数实数
有理数
整数
自然数正整数
负整数
分数
无理数
虚数
由，可得：
i4n+1=i，i4n+2=-1，
i4n+3=-i，i4n=1。
这就是关于i的运算。
观察复数a+bi，与多项式类似，所以复数的计算法则也与多项式类似，只是计算i的乘方时要换算成对应值。
如：(1+6i)(4-2i)=4-2i+24i-12i2=16+22i。
有了关于复数的定义与运算，让我们再来看一看方程问题。
对于一元二次方程，如果Δ<0，Δ开根后应是一个虚数，可用来表示，那么方程的两根就应该是：
所以，Δ<0的一元二次方程，也有两个根，只不过这两根是在复数集上的。
三次方程又是如何呢？我们以方程4为例，x3-1=0。
左边运用公式，化为：
(x-1)(x2+x+1)=0
易得：x-1=0（I）或x2+x+1=0（II）
方程（I）解得：x=1
方程（II）运用上面的结论，得：
所以方程竟有三解！并不是一眼看上去的一解。
考察其他三次方程，结论不变，可得下表：
代数基本定理：任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根(n≥1)。
四、解一元三次方程
下面我们来研究解一元三次方程的方法
●卡当公式
这是解普通一元三次方程的最常用的方法。
但是比较繁琐，需要多次开根运算。
下面是解二次项系数为0的三次方程的卡当公式：
●盛金公式
盛金公式是近年来比较广为使用的解法，由我国的范盛金推导出而得名。
其最大特点就
是判别式的形式简便，较卡当公式容易记忆。
重根判别式：A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd，
总判别式：Δ=B2－4AC
●因式分解
因式分解法是解方程的另一有效方法。
易知，任意三次方程都可以分解成(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0,(x1,x2,x3∈C)的形式，那么x1,x2,x3就是它的三个根。
例：解方程x3+3x2+3x+1=0
解：因式分解可得：
(x+1)3=0
∴x1=x2=x3=-1
●试根法
这是笔者的数学老师，也几乎是所有数学老师最推崇的方法。
原因是在许多实际题目中，为了减小计算量，常常有一根是0、±1、±2，所以我们可以把这几个数带进去试，大多数情况都能得到一个根。
然后用多项式除法，把三次式化成一个一次式和一个二次式相乘的形式，这样就相当于解二次方程了。
●求导法
众所周知，求导求到的是函数的驻点，而无法判断零点，也就是说，不能通过求导来解三次方程，不过，笔者认为，我们却可以借求导来判断函数根的情况。
(ax3+bx2+cx+d)’=3ax2+2bx+c，Δ=(2b)2-4×3ac
当Δ>0时，设函数的两个驻点是x1,x2，易知x1x2>0时，方程有一实根；x1x2=0时方程有三实根，其中一对重根；x1x2<0时方程有三实根。
当Δ≤0时，函数单调，方程只有一个实根。
（指导老师：杨子圣）。