斜拉桥的稳定计算

(13-39)
4.4 静风作用下的横向稳定分析(续)
式中Pj和Pj.1分别是结构受到的由本次及前次攻角下 位移决定的风荷载；上标W代表风载，继续上述迭代步 骤，求出每个循环完成时的附加风力。 当静力气动系数的欧几里得范数小于规定的容许值 时，就得出给定风速下的收敛准则。欧几里得范数写 作：

Pcr 2 EI
(13-29)
斜拉桥的加劲梁可近似看成是弹性支承上的连续梁，因 此，它的临界轴力就可仿照弹性支承梁的方式来导得。
4.1 加劲梁的面内稳定实用计算(续)
考虑到实际斜拉桥计算模型与上面研究的弹性支承连续 梁有三个主要不同点：
1) 弹性支承梁的弯曲刚度为常量 EI ，斜拉桥的弯曲 刚度可能是水平座标x的函数。
4.4 静风作用下的横向稳定分析(续)
为空气密度； B 为主梁宽； An 为迎风投影面积； CD 、 CL 和CM分别为风力方向上阻力、升力、升力矩的静力气动 系数，是攻角的函数，如图13-13所示：
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -6 -4 -2 0 2 4 6
实际轴力之比称为该点的名义屈曲安全度，可取其
最小值作为加劲梁的屈曲安全系数。
4.2 主塔的稳定估算
主塔在施工阶段和运营阶段都有可能出现失稳现 象，因此，有必要验算塔在这两个阶段的稳定性。 在施工阶段，主要考虑塔柱上附有施工设备等荷 重，斜拉桥尚未合拢时的情形。此时主塔可简化为 一端固结的变截面受压柱，常常将塔换算成等截面 受压柱来计算。设面内、外较小的等效抗弯刚度为 EI，塔高为h，于是，塔的临界荷载可近似地写成：
x
l
(13-21)
4.1 加劲梁的面内稳定实用计算(续)
弹性支承的等效弹性介质系数可表示为：

k a
(13-22)
弹性支承反力R与挠度成正比
dR ydx
(13-23)
y 0 L
l
波节点的剪力
Q dR
l 2 0
(13-24)
中点弯矩可写成：
Ql M 0 py0 2 xdR 0 2 y 0 l 2 1 1 Py0 y 0 l 2 ( 2 ) 2 2
4.3 斜拉桥稳定计算的有限元方法(续)
[ K ] [ K ]0 [ K ]G
(13-33)
式中： [K]0为结构的弹性刚度矩阵；[K]G为结构成桥内 力的几何刚度矩阵。 在此基础上，再计算出单位桥面均布荷载引起的内 力增量，相应于内力增量的几何刚度阵为[K]q，则斜拉 桥桥面施加均布荷载的稳定问题，可由下式计算：
2) 弹性支承梁的轴力为常量P，斜拉桥的梁内轴力是 x的函数N(x)。 3) 弹性支承梁的弹性介质系数为常量，斜拉桥的等 效介质系数为x的变量(x)。 斜拉索的等效弹簧刚度 k可参照图13.11的几何关系导 得：
4.1 加劲梁的面内稳定实用计算(续)
E c A c si n2 1 k 1 2 l c
Cl Cd Cm
(Deg.)
图13-13 静力三分系数曲线
4.4 静风作用下的横向稳定分析(续)
将风力可转换为全桥座标轴上的风力，如图 13-12 所 示。
B 1 2 C ( ) [ C ( ) C ( ) tg 0 ] sec 0 Fx ( ) Vr An C x ( ) x D L An 2 A 1 Fy ( ) Vr2 BCy ( ) (13-36)C y ( ) [C L ( ) C D ( ) n tg 0 ] sec 0 (13-37) B 2 2 这里： 1 C z ( ) [C M ( )] sec 0 M z ( ) Vr2 B 2 C z ( ) 2 Vr V cos 0
图13-11 拉索变 形的几何关系
4.1 加劲梁的面内稳定实用计算(续)
根据式 (13-30)，由 k 就可导出等效 (x )，仿照式 (13-29)的形式，可将斜拉桥主梁面内稳定临界轴力 写成：
N cr (x ) 2 E (x )I(x ) (x )
(13-31)
它是x的函数，将某一x代入式(13-31)得到的临界 轴力称为名义临界轴力。名义临界轴力与该处梁的
上面(13-36)、(13-37)两式中的是全桥座标系中的相 C ( ), C ( ), C ( )是全桥座标系中的静力气动系数。 对风速，
x y z
至此可建立起风荷载下的非线性稳定分析模型，包括 如下两个步骤：
4.4 静风作用下的横向稳定分析(续)
第一步，完成在给定风速 V 以攻角 0作用下的初始风 力的分析。平衡方程如下：

4.4 静风作用下的横向稳定分析(续)
第二步，按如下步骤完成由于主梁的扭转变弯形及随 之而增大攻角所产生的附加风力作用下的非线性分析。 在完成前述初始风力作用下的非线性分析后，得出总位 移和初始内力。从这些位移中可求出现在的气动静力系 数 CD , CL , CM ，并分别转化为 C x , C y , C z 。桥在受到第 j步的 附加风力下的线性增量平衡方程为：
4. 斜拉桥的稳定计算 4.1 加劲梁的面内稳定实用计算
首先考察图 13.10 所示两端铰接的弹性支承梁，在轴 压力超过临界值时，将屈曲成若干个半波，取其中一个 半波作为研究对象，座标原点取在半波的中央，近似假 定其屈曲模态为余弦曲线。
图13-10 两端铰接的弹性支承梁一个半波
y y 0 cos
1 式中： cos2 h 1 3lc
(13-30)
为索与梁的夹角；
1 , 2 分别为单位力在 A 点引起索伸
长和塔弯曲所产生的竖向位移分量；
l c 为斜拉索长度；AC,Ec 为斜拉索轴向拉 伸刚度；
E c A ch 2 E t It 为索、塔刚度比；EtIt
为塔弯曲
刚度。
1 V 2 An C D ( ) 2 1 L( ) V 2 BCL ( ) 2 1 M ( ) V 2 B 2 C M ( ) 2 D( )
(13-35)
图13-12 稳定气流重的主梁横截面
式中： D 、 L 、 M 分别为每单位跨长的平均阻力、升力和 升力矩，它们都是功角的函数，如图13-12所示；
G W [ K e (u j 1 , j 1 ) K (u j 1 , j 1 )]U j
Pj [ Fx ( j ), Fy ( j ), M z ( j )] Pj 1 [ Fx ( j 1 ), Fy ( j 1 ), M z ( j 1 )]
[ K ]0 [ K ]G [ K ]q 0
(13-34)
式中： 施加桥面均布荷载的稳定安全系数。
4.4 静风作用下的横向稳定分析
在稳定气流中的主梁横截面如图 13.12 所示。假定平 均风速以攻角作用于主梁产生扭转角为 。那么风的有 效攻角。作用于变形后主梁单位跨径长上的风力分量可 按风速记作：

Na
[Ck ( j ) Ck ( j 1 )] k Na [Ck ( j 1 )]2
2
1 2

(k X , Y , Z )
(13-40)
4.4 静风作用下的横向稳定分析(续)
上式中 k 是给定允许值， Na是承受位移决定的风荷载 的节点数。对于小于临界风速的任意给定风速，上述过 程都会收敛。在每个迭代循环中，分析结构的切刚度矩 阵可得出结构是稳定的、不稳定的或随遇平衡的。 由于考虑了分析模型受到的由位移决定的风荷载的三 个分量，既能分析其非线性横向弯扭失稳的安全性，也 能研究其非线性扭转发散的安全性。如果在式 (13-38) 和式 (13-39) 中忽略阻力 D 和升力 L 的影响，就可计算结 构的非线性扭转发散。如果攻角为 0 ，即风向与桥面一 致，那么风力Fx、Fy和Mz就分别等于D、L和M。
G [Ke (u ) K (u, )]U P0 [Fx ( 0 ), Fy ( 0 ), M z ( 0 )] (13-38)
这里的Ke和K 分别是基于在重力荷载作用下产生的 位移u和应力的结构弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵； U 是位移矢量； P0 是基于未变形的主梁结构的初始风 Fx ( 0 ), Fy ( 0 ), M z ( 0 ) 由 0 代入式 (13-41) 得出；上 力， 标G表示重力。
第十三章 斜拉桥的计算理论
(同济大学博士、硕士研究生课程)
肖 汝 诚
(同济大学桥梁工程系)
4. 斜拉桥的稳定计算
斜拉桥的梁、塔在外荷作用下，处在压、弯状态。随着外 荷增大，梁、塔压力增大到一定值时，斜拉桥可能产生平面 内的压、弯失稳或出平面的弯、扭失稳。斜拉桥在静风三分 力作用下，也可能出现扭转发散或弯扭失稳。当风力的升力 矩超过桥梁的抗扭能力时，将导致加劲梁扭转发散。主塔梁 在恒载梁柱效应与风的三分力共同作用下，结构的有效切线 刚度降为零时，将导致主梁弯曲与扭转复合的失稳模态，这 就是弯扭失稳。外荷作用下的失稳精确分析可以用第十二章 中介绍的非线性有限元方法来计算，而风荷作用下的横向稳 定问题还必须考虑结构变形与风力攻角的函数关系。本节介 绍斜拉桥在外荷作用下的实用稳定计算方法和静风作用下的 横向稳定分析。
7.837 EI ( qh ) cr h2
(13-32)
4.3 斜拉桥稳定计算的有限元方法
前面分别讨论了斜拉桥梁、塔稳定计算的实用方法。 在实际工程中，斜拉桥的失稳原因是十分复杂的。梁、 塔在面内外的失稳可能是耦合的。要精确计算斜拉桥的 稳定性，一般应采用有限元方法。 讨论结构的稳定性，必须将它与结构现有的应力水平 以及拟施加的荷载联系起来。下面以斜拉桥成桥后施加 桥面均布荷载的稳定问题为例来说明其曲屈稳定计算的 有限元方法。首先将斜拉桥结构简化成杆系模式，确定 布载前斜拉桥的成桥内力状态，这个状态应根据实际设 计恒载状态通过施工仿真计算得到，此时结构的切线刚 度矩阵可表达为：