【期中试卷】山西省怀仁县2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案
数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合}5,4,3,2,1{=U ，集合}2,1{=A ，}4,3,2{=B ，则=A C B U （ ） A ．}2{ B ．}4,3{ C ．}5,4,1{ D ．}5,4,3,2{2. 函数)2lg(x xy -=的定义域是（ ）A ．)2,0[B ．)2,1(C ．)2,1()1,0[D ．)1,0[3. 函数12-=x y 的定义域是)5,2[)1,( -∞，则其值域是（ ） A ．]2,21(]0,( -∞ B ．]2,(-∞ C ．),2[)21,(+∞-∞ D ．),0(+∞4. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1+=x y B ．3x y -= C ．xy 1-= D ．||x x y = 5. 已知函数⎩⎨⎧≤>=0,20,log )(3x x x x f x ，则))91((f f 等于（ ）A ．4B ．41C ．4-D ．41-6. 已知y x ,为正实数，则（ ） A ．y x yx lg lg lg lg 222+=+ B ．y x y x lg lg )lg(222⋅=+ C ．y x yx lg lg lg lg 222+=⋅ D ．y x xy lg lg )lg(222⋅=7. 已知实数0≠a ，⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则实数a 的值是（ ） A ．43-B ．23-C ．43-和23-D ．23 8. 已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的取值范围是（ ）A ．25)1(≥fB ．25)1(=fC ．25)1(≤fD ．25)1(>f 9. 设奇函数)(x f 在),0(+∞上是增函数，且0)1(=f ，则不等式0)()(<--xx f x f 的解集为（ ）A ．),1()0,1(+∞-B ．)1,0()1,( --∞C ．),1()1,(+∞--∞D ．)1,0()0,1( -10. 若⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=1,2)24(1,)(x x ax a x f x 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．),1(+∞ B ．)8,4( C ．)8,4[ D ．)8,1(11. 若)(),(x g x ϕ都是奇函数，2)()()(++=x bg x a x f ϕ在),0(+∞上有最大值5，则)(x f 在)0,(-∞上有（ ）A ．最小值5-B ．最大值5-C ．最小值1-D ．最大值3- 12. 已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下所示：给出下列四个命题：（1）方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 （2）方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 （3）方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 （4）方程0)]([=x g g 有且仅有4个根 其中正确命题的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若13log 2=x ，则xx 93+的值为 .14. 设m b a ==52，且211=+b a ，则m 等于 . 15. 设x x x f -+=22lg )(，则)2()2(xf x f +的定义域为 .16. 已知函数)1(13)(≠--=a a axx f ，若)(x f 在区间]1.0(上是减函数，则实数a 的取值范围为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.计算：（1）8lg 3136.0lg 2113lg 2lg 2+++；（2）36231232⨯⨯. 18.已知函数1)(2++=x b ax x f 是定义在)1,1(-上是奇函数，且52)21(=f . （1）求函数)(x f 的解析式；（2）判断函数)(x f 的单调性，并用定义证明； （3）解关于x 的不等式0)()12(<+-x f x f .19. 设函数122)(-+=xxax f （a 为实数）. （1）当0=a 时，若函数)(x g y =为定义在R 上的奇函数，且在0>x 时，)()(x f x g =，求函数)(x g y =的解析式；（2）当0<a 时，求关于x 的方程0)(=x f 在实数集R 上的解.20. 某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关系是⎩⎨⎧∈≤≤+-∈<<+=Nt t t Nt t t p ,3025,100,250,20，该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是),300(40N t t Q ∈<≤+-=.（1）求这种商品的日销售金额的解析式；（2）求日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天的第几天？ 21.已知函数2244)(22+-+-=a a ax x x f .（1）若2=a ，求函数)(x f 在区间)2,1(-上的值域； （2）若函数)(x f 在区间]2,0[上有最小值3，求a 的值. 22.已知函数xtx y +=有如下性质：如果常数0>t ，那么该函数在],0(t 上是减函数，在),[+∞t 上是增函数.（1）已知123124)(2+--=x x x x f ，]1,0[∈x ，利用上述性质，求函数)(x f 的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数)(x f 和函数a x x g 2)(--=，若对任意]1,0[1∈x ，总存在]1,0[2∈x ，使得)()(12x f x g =成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．6； 14．10； 15．)4,1()1,4( --； 16．]3,1()0,( -∞ 三、解答题：本大题共6个题，共70分． 17．解：（1）原式12.1lg 10lg 12lg 2.1lg 112lg 2lg 6.0lg 1)34lg(=+=+=++⨯=.（2）原式6323227272491227249122726666666=⨯==⨯=⨯⨯=⨯⨯=. 18．解：（1）由题意可知)()(x f x f -=-，∴2211x bax x b ax ++-=++-，∴0=b .∴21)(x ax x f +=，∵52)21(=f ，∴1=a ，∴21)(x xx f +=.∴021<-x x ，∴0121>-x x ，01,012221>+>+x x ，∴01)1)((212121<+--x x x x x ，所以0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <.∴)(x f 在)1,1(-上是增函数.（3）∵0)()12(<+-x f x f ，∴)()12(x f x f -<-，又)(x f 是定义在)1,1(-上的奇函数，∴)()12(x f x f -<-，∴⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-xx x x 12111121，∴310<<x ，∴不等式0)()12(<+-x f x f 的解集为)31,0(.19. 解：（1）当0=a 时，12)(-=x x f ，由已知)()(x g x g -=-， 则当0<x 时，1)21()12()()()(+-=--=--=--=-x xx f x g x g ，由于)(x g 为奇函数，故知0=x 时，0)(=x g ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=0,1)21(0,12)(x x x g xx .（2）0)(=x f ，即0122=-+x xa ，整理，得：02)2(2=+-a x x ，所以24112a x-±=，又0<a ，所以141>-a ，所以24112ax -+=，从而2411log 2a x -+=.20．解：（1）设日销售金额为y （元），则Q p y ⋅=，∴⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤+-∈<<++-=⎩⎨⎧+-+-+-+=N t t t t N t t t t t t t t y ,3025,4000140,250,80020)40)(100()40)(20(22.（2）由（1）知⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤--∈<<+--=⎪⎩⎪⎨⎧+-++-=Nt t t Nt t t t t t t y ,3025,900)70(,250,900)10(4000140800202222，当N t t ∈<<,250，10=t 时，900max =y （元）；当N t t ∈≤≤,3025，25=t 时，1125max =y （元），由1125>900，知1125max =y ，且第25天日销售额最大. 21．解：（1）)14,2[-.（2）∵22)2(4)(2+--=a a x x f ， ①当02≤a，即0≤a 时，函数)(x f 在]2,0[上是增函数. ∴22)0()(2min +-==a a f x f . 由3222=+-a a ，得21±=a . ∵0≤a ，∴21-=a .②当220<<a ，即40<<a 时，22)2()(min +-==a af x f . 由322=+-a ，得)4,0(21∉-=a ，舍去.③当22≥a，即4≥a 时，函数)(x f 在]2,0[上是减函数.1810)2()(2min +-==a a f x f .由318102=+-a a ，得105±=a .∵4≥a ，∴105+=a .综上所述，21-=a 或105+=a .22．解：（1）812412123124)(2-+++=+--==x x x x x x f y ， 设12+=x u ，]1,0[∈x ，31≤≤u ，则84-+=uu y ，]3,1[∈u . 由已知性质得，当21≤≤u ，即210≤≤x 时，)(x f 单调递减，所以减区间为]21,0[；当32≤≤u ，即121≤≤x 时，)(x f 单调递增，所以增区间为]1,21[；由3)0(-=f ，4)21(-=f ，311)1(-=f ，得)(x f 的值域为]3,4[--.（2）a x x g 2)(--=为减函数，故]2,21[)(a a x g ---∈，]1,0[∈x ， 由题意)(x f 的值域是)(x g 值域的子集，∴⎩⎨⎧-≥--≤--32421a a ，∴23=a .。
山西省怀仁县20162017学年高一上学期期中考试数学试题
数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合}5,4,3,2,1{=U ，集合}2,1{=A ，}4,3,2{=B ，则=A C B U （ ） A ．}2{ B ．}4,3{ C ．}5,4,1{ D ．}5,4,3,2{2. 函数)2lg(x xy -=的定义域是（ ）A ．)2,0[B ．)2,1(C ．)2,1()1,0[D ．)1,0[3. 函数12-=x y 的定义域是)5,2[)1,( -∞，则其值域是（ ） A ．]2,21(]0,( -∞ B ．]2,(-∞ C ．),2[)21,(+∞-∞ D ．),0(+∞4. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1+=x y B ．3x y -= C ．xy 1-= D ．||x x y = 5. 已知函数⎩⎨⎧≤>=0,20,log )(3x x x x f x ，则))91((f f 等于（ ）A ．4B ．41 C ．4- D ．41- 6. 已知y x ,为正实数，则（ ） A ．y x yx lg lg lg lg 222+=+ B ．y x y x lg lg )lg(222⋅=+ C ．y x yx lg lg lg lg 222+=⋅ D ．y x xy lg lg )lg(222⋅=7. 已知实数0≠a ，⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则实数a 的值是（ ） A ．43-B ．23-C ．43-和23-D ．238. 已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的取值范围是（ ）A．25)1(≥f B．25)1(=f C．25)1(≤f D．25)1(>f9. 设奇函数)(xf在),0(+∞上是增函数，且0)1(=f，则不等式0)()(<--xxfxf的解集为（）A．),1()0,1(+∞- B．)1,0()1,(--∞ C．),1()1,(+∞--∞D．)1,0()0,1(-10.若⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=1,2)24(1,)(xxaxaxfx是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（） A．),1(+∞ B．)8,4(C．)8,4[ D．)8,1(11. 若)(),(xgxϕ都是奇函数，2)()()(++=xbgxaxfϕ在),0(+∞上有最大值5，则)(xf在)0,(-∞上有（）A．最小值5- B．最大值5-C．最小值1- D．最大值3-12. 已知函数)(xfy=和)(xgy=在]2,2[-的图象如下所示：给出下列四个命题：（1）方程0)]([=xgf有且仅有6个根（2）方程0)]([=xfg有且仅有3个根（3）方程0)]([=xff有且仅有5个根（4）方程0)]([=xgg有且仅有4个根其中正确命题的个数是（）A．4个 B．3个C．2个 D．1个二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若13log2=x，则xx93+的值为 .14. 设m b a ==52，且211=+b a ，则m 等于 . 15. 设x x x f -+=22lg )(，则)2()2(xf x f +的定义域为 .16. 已知函数)1(13)(≠--=a a axx f ，若)(x f 在区间]1.0(上是减函数，则实数a 的取值范围为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.计算：（1）8lg 3136.0lg 2113lg 2lg 2+++；（2）36231232⨯⨯. 18.已知函数1)(2++=x b ax x f 是定义在)1,1(-上是奇函数，且52)21(=f . （1）求函数)(x f 的解析式；（2）判断函数)(x f 的单调性，并用定义证明； （3）解关于x 的不等式0)()12(<+-x f x f . 19. 设函数122)(-+=xx ax f （a 为实数）. （1）当0=a 时，若函数)(x g y =为定义在R 上的奇函数，且在0>x 时，)()(x f x g =，求函数)(x g y =的解析式；（2）当0<a 时，求关于x 的方程0)(=x f 在实数集R 上的解.20. 某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关系是⎩⎨⎧∈≤≤+-∈<<+=Nt t t Nt t t p ,3025,100,250,20，该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是),300(40N t t Q ∈<≤+-=.（1）求这种商品的日销售金额的解析式；（2）求日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天的第几天？ 21.已知函数2244)(22+-+-=a a ax x x f .（1）若2=a ，求函数)(x f 在区间)2,1(-上的值域； （2）若函数)(x f 在区间]2,0[上有最小值3，求a 的值. 22.已知函数xtx y +=有如下性质：如果常数0>t ，那么该函数在],0(t 上是减函数，在),[+∞t 上是增函数.（1）已知123124)(2+--=x x x x f ，]1,0[∈x ，利用上述性质，求函数)(x f 的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数)(x f 和函数a x x g 2)(--=，若对任意]1,0[1∈x ，总存在]1,0[2∈x ，使得)()(12x f x g =成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCADBDAADCCB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．6； 14．10； 15．)4,1()1,4( --； 16．]3,1()0,( -∞ 三、解答题：本大题共6个题，共70分． 17．解：（1）原式12.1lg 10lg 12lg 2.1lg 112lg 2lg 6.0lg 1)34lg(=+=+=++⨯=.（2）原式6323227272491227249122726666666=⨯==⨯=⨯⨯=⨯⨯=. 18．解：（1）由题意可知)()(x f x f -=-，∴2211x bax x b ax ++-=++-，∴0=b . ∴21)(x ax x f +=，∵52)21(=f ，∴1=a ，∴21)(x xx f +=.∴021<-x x ，∴0121>-x x ，01,012221>+>+x x ，∴01)1)((212121<+--x x x x x ，所以0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <.∴)(x f 在)1,1(-上是增函数.（3）∵0)()12(<+-x f x f ，∴)()12(x f x f -<-，又)(x f 是定义在)1,1(-上的奇函数，∴)()12(x f x f -<-，∴⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-xx x x 12111121，∴310<<x ，∴不等式0)()12(<+-x f x f 的解集为)31,0(.19. 解：（1）当0=a 时，12)(-=xx f ，由已知)()(x g x g -=-，则当0<x 时，1)21()12()()()(+-=--=--=--=-x x x f x g x g ，由于)(x g 为奇函数，故知0=x 时，0)(=x g ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=0,1)21(0,12)(x x x g xx .（2）0)(=x f ，即0122=-+xx a ，整理，得：02)2(2=+-a x x ，所以24112a x-±=，又0<a ，所以141>-a ，所以24112a x-+=，从而2411log 2ax -+=. 20．解：（1）设日销售金额为y （元），则Q p y ⋅=，∴⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤+-∈<<++-=⎩⎨⎧+-+-+-+=Nt t t t Nt t t t t t t t y ,3025,4000140,250,80020)40)(100()40)(20(22. （2）由（1）知⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤--∈<<+--=⎪⎩⎪⎨⎧+-++-=Nt t t Nt t t t t t t y ,3025,900)70(,250,900)10(4000140800202222，当N t t ∈<<,250，10=t 时，900max =y （元）；当N t t ∈≤≤,3025，25=t 时，1125max =y （元），由1125>900，知1125max =y ，且第25天日销售额最大.21．解：（1）)14,2[-.（2）∵22)2(4)(2+--=a a x x f ， ①当02≤a，即0≤a 时，函数)(x f 在]2,0[上是增函数. ∴22)0()(2min +-==a a f x f . 由3222=+-a a ，得21±=a .∵0≤a ，∴21-=a .②当220<<a ，即40<<a 时，22)2()(min +-==a af x f . 由322=+-a ，得)4,0(21∉-=a ，舍去.③当22≥a，即4≥a 时，函数)(x f 在]2,0[上是减函数.1810)2()(2min +-==a a f x f .由318102=+-a a ，得105±=a . ∵4≥a ，∴105+=a .综上所述，21-=a 或105+=a .22．解：（1）812412123124)(2-+++=+--==x x x x x x f y ， 设12+=x u ，]1,0[∈x ，31≤≤u ，则84-+=uu y ，]3,1[∈u . 由已知性质得，当21≤≤u ，即210≤≤x 时，)(x f 单调递减，所以减区间为]21,0[；当32≤≤u ，即121≤≤x 时，)(x f 单调递增，所以增区间为]1,21[；由3)0(-=f ，4)21(-=f ，311)1(-=f ，得)(x f 的值域为]3,4[--.（2）a x x g 2)(--=为减函数，故]2,21[)(a a x g ---∈，]1,0[∈x ， 由题意)(x f 的值域是)(x g 值域的子集，∴⎩⎨⎧-≥--≤--32421a a ，∴23=a .。
山西省怀仁县第一中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题 含解析
一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}5,4,3,2,1{=U ，集合}2,1{=A ，}4,3,2{=B ,则=A C B U （ ) A ．}2{ B ．}4,3{ C ．}5,4,1{ D ．}5,4,3,2{ 【答案】B 【解析】试题分析:{1,2}{3,4,5}U A C A =⇒=，所以=A C B U }4,3{，选B. 考点：集合运算 【方法点睛】1。
用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2。
函数)2lg(x xy -=的定义域是( )A ．)2,0[B ．)2,1(C ．)2,1()1,0[D ．)1,0[ 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得0,20,lg(2)0021x x x x x ≥->-≠⇒≤<≠且，所以选C 。
考点:函数定义域3.函数12-=x y 的定义域是)5,2[)1,( -∞，则其值域是（ ） A ．1(,0)(,2]2-∞ B ．]2,(-∞ C ．),2[)21,(+∞-∞ D ．),0(+∞【答案】A 【解析】试题分析：当(,1)x ∈-∞时201y x =<-;当[2,5)x ∈时21(,2]12y x =∈-;所以其值域是1(,0)(,2]2-∞考点：函数值域4.下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的为（ ) A ．1+=x y B ．3x y -= C ．xy 1-= D ．||x x y = 【答案】D 【解析】考点:函数性质5。
山西省朔州市怀仁一中2016-2017学年高一上学期第二次月考数学试卷 含解析
2016-2017学年山西省朔州市怀仁一中高一（上)第二次月考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．已知x5=﹣243，那么x=（）A．3 B．﹣3 C．﹣3或3 D．不存在2．函数y=lg(﹣1）的图象关于（)A．y轴对称B．x轴对称C．原点对称 D．直线y=x对称3．若2lg（x﹣2y）=lgx+lgy（x，y∈R），则的值为（）A．4 B．1或C．1或4 D．4．函数y=log5x+2（x≥1)的值域是（）A．R B．[2，+∞）C．[3,+∞]D．（﹣∞，2）5．下列函数中是奇函数的有几个（）①；②；③y=ln|x﹣1|;④．A．1 B．2 C．3 D．46．函数的单调递减区间是（）A．(﹣∞，﹣6］B．［﹣6,+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．[﹣1，+∞）7．若f（lnx)=3x+4，则f（x）的表达式是（）A．3e x+4 B．3lnx+4 C．3lnx D．3e x8．设函数f（x)=，则f（﹣2）+f(log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．129．如图,函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f（x)≥log2(x+1）的解集是（）A．｛x｜﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1｝C．{x｜﹣1＜x≤1}D．{x｜﹣1＜x≤2} 10．设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x)，则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1)上是减函数C．偶函数,且在(0，1)上是增函数D．偶函数,且在(0，1）上是减函数11．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m｜﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f （log25），c=f(2m），则a,b,c的大小关系为（)A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a12．设函数f（x）=ln（1+|x|)﹣，则使得f(x）＞f（2x﹣1）成立的取值范围是(）A．(﹣∞，）∪(1，+∞）B．(，1）C．() D．（﹣∞,﹣，)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数的定义域是．14．已知函数f（x）=a x+b(a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0],则a+b=．15．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R)满足f(1+x)=f（1﹣x）,且f（x）在[m，+∞）单调递增，则实数m的取值范围是．16．若函数f(x)=（a＞0且a≠1）的值域是［4，+∞），则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．函数f（x)=ax2﹣x﹣1仅有一个零点，则实数a的取值范围．18．设函数f（x）在R上是偶函数，在区间(﹣∞,0）上递增,且f（2a2+a+1）＜f（2a2﹣2a+3），求a的取值范围．19．已知定义域为R的函数是奇函数．(Ⅰ）求a、b的值；(Ⅱ）解关于t的不等式f(t2﹣2t）+f（2t2﹣1）＜0．20．某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x）=其中x是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数；(2）当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润．）21．已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x﹣1）=f（3﹣x)且方程f（x）=2x有等根．(1）求f(x)的解析式;(2）是否存在实数m，n(m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n］和[4m，4n]，如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由．22．定义：若函数f（x)对于其定义域内的某一数x0，有f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点．已知函数f(x）=ax2+（b+1)x+b﹣1（a≠0）．（1）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的不动点；(2）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围;（3）在（2）的条件下,若y=f(x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B的中点C在函数的图象上,求b的最小值．（参考公式：A(x1，y1)，B（x2,y2)的中点坐标为）2016—2017学年山西省朔州市怀仁一中高一（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
数学---山西省怀仁县第一中学2017届高三上学期期中考试(文)
山西省怀仁县第一中学2017届高三上学期期中考试（文）选择题部分 （共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．定义集合{}1221,log 0xA xB x x ⎧⎫⎪⎪=≥=<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则R A B = ð（ ）A ．()1,+∞B ．[]0,1C ． [)0,1D ．[)0,2 2．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()sin ()(sin sin )b a A b c B C -=-+ ,则C 等于（ ）A ．π3 B ．π6 C ． π4 D ．2π33．,,αβγ为不同的平面，,,a b c 为三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）A ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβB ．若//,//a a b β，则//b βC ．若//,//,,a b c a c b αα⊥⊥，则c α⊥D ．若,a b γγ⊥⊥，则//a b4．设函数()[](]2sin ,0,πcos ,π,2πx x f x x x ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，若函数()()g x f x m =-在[]0,2π内恰有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．[]1,2C ． (]0,1D ．()1,25．已知12F F 、是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为P ，过点P 向x 轴作垂线，垂足为H ，若2aPH =，则此椭圆的离心率为（ ）A B C ． D ． 26．已知数列{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是“{}n a 为递增数列”（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．对任意的π(0,)2θ∈，不等式221421sin cos x θθ+≥-恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．[]3,4-B ．[]0,2C ． 35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]4,5-8．如图，边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ∠=o ，沿BD 将△ABD 翻折，得到三棱锥A BCD -，则当三棱锥A BCD -体积最大时，异面直线AD BC 与所成的角的余弦值为（ ）A ．58 B ．14 C ． 1316 D ．23非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分．） 9．已知空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 ,几何体的表面积是 ．10．函数()π2sin(2)sin(2π)2f x x x =+-+的最小正周期是 ,函数()f x 的最大值是 ．11．已知数列{}n a 满足11a =，12 (*)nn n a a n +=+∈N ，则3a = ,通项公式n a = ．12．若实数,x y 满足不等式43120y x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则2x y -的最大值是 ,22(1)x y +-的最小值是 ．13．已知双曲线的渐近线方程为34y x =±，其图象过点(4,，1F ，2F 是其两个焦点，若双曲线上的点P 满足1||7PF = ，则2||PF =_______．14．直线40mx y +-=与直线40x my --=相交于点P ，则P 到点(5,5)Q 的距离||PQ 的取值范围是 ．15．已知O 为△ABC 的垂心，且230OA OB OC ++=,则A 角的值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本题满分14分）已知函数ππ()sin() (0,0,)22f x A x B A ωϕωϕ=++>>-<<的定义域为R ，值域为[4,8]-，图象经过点(0,5)，直线π6x =是其图象的一条对称轴，且()f x 在ππ(,)32上单调递减．( I ) 求函数()f x 的表达式； （II ） 已知ππ(,)62α∈，且()4f α=，求sin α的值．17．(本题满分15分) 如图，在四棱柱1111ABCD A BC D - ，底面ABCD 是边长为2的菱形， =60BAD ∠，14AA =，且1AC ABCD ⊥底面． ( I ) 证明：1111ACC A DBB D ⊥平面平面 ； （II ）求直线1AC 与平11DBB D 面所成角．18．(本题满分15分)已知正项等差数列{}n a 满足：23333123n n S a a a a =++++ ，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和． ( I ) 求数列{}n a 的通项公式； （II ）设数列{}n b 满足：222nnn a na b S ++=，求数列{}n b 的前n 项的和n T ．A19．(本题满分15分)已知抛物线24y x =，焦点为F ，过点(2,0)且斜率为正数的直线交抛物线于,A B 两点，且11FA FB =-．( I ) 求直线AB 的方程；（II ）设点C 是抛物线上 ()AB A B 不含、两点上的动点， 求ABC △面积的最大值．20．（本小题满分15分）设函数()2f x x ax b =++(,)a b ∈R ．( I )若1b =，函数()f x 在[]1,1-的值域是[],m n ，求函数()h a n m =-的表达式；（II ）令24a tb =-，若存在实数c ，使得()()1+21f c f c ≤≤与同时成立，求t 的取值范围．参考答案一、选择题1-8 BADA CCDB 二、填空题9 ．132+，10．π 11 7, 21n n a =- 12．962，13．13 14． 15．π4三、解答题16．解：( I ) （1）由于函数()f x 定义域为R ，值域为[4,8]-，且0A >，则84A B A B +=⎧⎨-+=-⎩ ，得62A B =⎧⎨=⎩（2）由于图象过点(0,5)，代入，得6sin 25ϕ+=，即1sin 2ϕ=，又因为ππ22ϕ-<<，故π6ϕ=（3）由于直线π6x =是()f x 图象的一条对称轴，则ππsin()166ω+=±，则ππππ()662k k ω+=+∈Z ，即62()k k ω=+∈Z ，且0ω>，故62()k k ω=+∈N （4）由于()f x 在ππ(,)32上单调递减，故ππ112π2322T ω-≤= ，得6ω≤ ，故只有当0k =时，2ω=满足条件．综上所述，π()6sin(2)26f x x =++ （II ）π()6sin(2)246f αα=++=，即π1sin(2)63α+=因为ππ(,)62α∈，所以ππ7π2(,)626α+∈，故πcos(2)63α+=-ππππππ11cos2cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin 66666632αααα=+-=+++=+=而211cos 26sin 22αα-===，又因为ππ(,)62α∈，则sin α=== 17． 解：( I )证明：∵ABCD 是菱形 ∴AC ⊥BD又∵1AC ABCD ⊥底面 ∴1AC ⊥BD ，∴BD ⊥面1ACA ,即BD ⊥面11ACC A ，而BD ∈11DBB D 面∴1111ACC A DBB D ⊥面面（II ）法1：设四棱柱上下底面平行四边形的对角线交点分别是1O O 、，连接1OO ，由于11ACC A 为平行四边形，易知1OO 与1AC 相交，且交于各自的中点，设交点为E ，过1A 作1OO 的垂线，垂足为F∵1111ACC A DBB D ⊥面面11111ACC A DBB D OO ⋂=面面 , 11A F O O ⊥ ,1A F ∈11ACC A 面 ∴1A F ⊥11DBB D 面故直线1AC 与11DBB D 面所成角就是∠1A EF∵底面ABCD 是边长为2的菱形， =60BAD∠，14AA =∴O C =12AC 190ACA =，O E =1212AA =, ∴sin OC OEC OE ∠== ∴60OEC ∠=x故∠1A EF 60OEC =∠=即直线1AC 与11DBB D 面所成角为60（法2）设底面菱形对角线的交点为O ，由于AC ⊥BD ，如图建立空间直角坐标系O -xyz则计算可知，OC12AC ==1(((0,1,0),(0,1,0)C A B D A -，由于11AB A B 与的中点重合，故求得1(,2)B -则11(0,0,2),(0,2,0),(AC BD BB =-=-=- ，设11DBB D 面的法向量为(,,)n x y z =则1200200y n BD z n BB ⎧-=⎧=⎪⎪⎨⎨-+==⎪⎪⎩⎩，即，令1x =，则0,y z ==n = 则设直线1AC 与11DBB D 面所成角为θ，则11||sin ||||AC n AC n θ=== 60θ= 即直线1AC 与11DBB D 面所成角为6018． 解：( I ) ∵23333123n n S a a a a =++++ ，∴2311233212S a S a a ⎧=⎨=+⎩， ∵{}n a 为正项等差数列，解之得1212a a =⎧⎨=⎩ 则1d = ，所以1(1)1n a n n =+-= （II ）211222211(1)22(1)22(1)22n n n a n n n n n a n n b n n S n n n n +++++++====-+++ 12311111111111128824243222(1)22(1)n n n n n T b b b b n n n ++=++++=-+-+-++-=-++ 即11122(1)n n T n +=-+ 19．解：( I )设直线AB 为2(0)x my m =+>，221212(,), B(,)44y y A y y ,(1,0)F224x my y x =+⎧⎨=⎩ ，消x ，得2480y my --=，则212121632048m y y m y y ⎧=+>⎪+=⎨⎪=-⎩则2222222212121212121212(1,)(1,)(1)(1)14444164y y y y y y y y FA FB y y y y y y +=--=--+=-++ 21616418114m +=-+-=- 得21m =，又因为0m >，故1m =，即直线AB 的方程2x y =+，即20x y --=（II ）设20(,)4y C y ，224x y y x =+⎧⎨=⎩，解得1,22y =±，故022y -<+设点C 到直线AB的距离为022001|2||(2)3|y y y d ----==当02y =，max d =，而||AB =故max 1||2ABC S AB d ==△20．解：（Ⅰ）()2221()124a a f x x ax x =++=++-22, 2(1),2(),221, 2224(1),22, 2a a f a a a m f a a f a a a -≥⎧-≥⎧⎪⎪⎪⎪=--≤≤=--≤≤⎨⎨⎪⎪≤-+≤-⎪⎪⎩⎩ ，(1),02, 0(1),02, 0f a a a n f a a a -<-<⎧⎧==⎨⎨≥+≥⎩⎩则222, 21, 024()1, 2042, 2a a a a a h a n m a a a a a ≥⎧⎪⎪++≤<⎪=-=⎨⎪-+-≤<⎪⎪-<-⎩（Ⅱ）()222()24a a f x x axb x b =++=++-（1）当214a b ->时，()2||()14a f x f x b =≥->，不满足题意． (2) 当2014a b <-≤，即2440a b --≤<时，()||1()1f x f x ==由方程，即，210x ax b ++-=，得12x 、 ，则当12[,]x x x ∈时，()||1f x ≤，而12|2x x -<，故+2c c 与必然不能同时满足12[,]x x ∈，故不满足题意．(3) 当2104a b -<-≤，即2404a b -<≤时，()||1()1f x f x ==由方程，即，210x ax b ++-=，得12x 、 ，则当12[,]x x x ∈时，()||1f x ≤，而12|2x x -≥，故必然存在+2c c 与同时满足12[,]x x ∈，故满足题意，则2(1,0]4a tb =-∈-（4）当214a b -≤-，即244a b -≥时，()||1()1f x f x ==±由方程，即，210x ax b ++-=，得12==22a a x x -- ，210x ax b +++=，得x x 34， 则由图可知，当1342[,][,]x x x x x ∈⋃时，()||1f x ≤，而12|2x x ->，（有可能同时存在+2c c 与满足条件）且13||=22x x -=≤<.则+2c c 与若要满足条件，则必须满足13[,]c x x ∈，422[,]c x x +∈，故若同时存在+2c c 与满足条件，则必须要求34||2x x -≤而34|2x x -≤，解得248a b -≤，即2[2,1]4a t b =-∈-- 综上所述，2[2,0]4a t b =-∈-。
2017届高三上学期期中考试(文)数学考卷-答案
山西省怀仁县第一中学2017届高三上学期期中考试（文）数学试卷答 案1~5．CBCCB 6~10．BACAA 11~12．CD 13．1 14．(1,)-+∞ 1516．（3）（4）17.（1）因为3,1,1()|21||1|2,1,213,,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-++=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩且(1)(1)3f f =-=，所以()3f x <的解集为{|11}x x -<<.………………5分（2）|2||1||||1||||1|0|1|2222a a a ax a x x x x -++=-+++-≥++=+， 当且仅当(1)()02a x x +-≤且02ax -=时，取等号.所以|1|12a+=，解得4a =-或0.………………10分18．（1）如题图，在△ABC 中，由余弦定理，得222cos 2AC AD CD CAD AC AD+-∠=⋅故由题设知，cos CAD ∠==.………………4分（2）如题图，设BAC a ∠=，则a BAD CAD =∠-∠.因为cos 7CAD ∠=，cos 14BAD ∠=所以sin CAD ∠=sin BAD ∠===. 于是sin sin()a BAD CAD =∠-∠sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD =∠∠-∠∠()1471472=--⨯=. 在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin BC ACa CBA=∠.故sin 3sin AC a BC CBA ==∠.………………12分 19.（1）∵2112333+3,3…①n n na a a a -+++=∴113a =.212311333(2),3②n n n a a a a n -+-+++=≥L-1113(2),333①②，得n n n n a n --=-=≥化简得1(2)3n n a n =≥.显然113a =也满足上式，故1()3*N n n a n =∈.………………………6分（2）由（1）得3nn b n =⋅，于是231323333nn S n =⨯+⨯+⨯++⋅L ，③234131323333n n S n +=⨯+⨯+⨯++⋅L ，④③-④得231233333n n n S n +-=+++++⋅L ，即11332313n n n S n ++--=-⋅-，∴1213344n n n S +-=⋅+.………………12分 20.（1）由题意得2()2sin cos sin 22sin(2)3f x x x x x x x πωωωωωω=+==-，由最小正周期为π，得1ω=，所以()2sin(2)3f x x π=-.函数的单调增区间为222,232-≤-≤+∈Z k x k k πππππ，整理得5,1212-≤≤+∈Z k x k k ππππ， 所以函数()f x 的单调增区间是5[,],1212-+∈Z k k k ππππ.………………6分 （2）将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位， 得到2sin 21y x =+的图像，所以()2sin 21g x x =+.令()0g x =，得712x k ππ=+或11()12=+∈Z x k k ππ. 所以在[0,]π上恰好有两个零点，若()y g x =在[0,]b 上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为115941212πππ+=.………………12分 21.（1）当1a =时，2()ln 1,f x x x x=++- 此时21212()1,(2)1124f x f x x ''=+-=+-=.又因为2(2)ln 221ln 22,2f =++-=+所以切线方程为2(ln 2)2,y x -+=-整理得ln 20.x y -+=…………………4分（2）2222111(1)(1)'()a ax x a ax x x f x a x x x x++--++-=+-==， 当0a =时，21'()x f x x-=.此时，在(0,1)上，'()0f x <，()f x 单调递减；在(1,)+∞上，'()0f x >，()f x 单调递增.当102a -≤<时，21()(1)'()a ax x a f x x++-=. 当11a a +-=，即12a =-时，22(1)'()2x f x x -=-在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减. 当102a -<<时，11a a +->，此时在(0,1)或1(,)aa +-+∞上，'()0f x <，()f x 单调递减； 在1(1,)aa+-上，'()0f x >，()f x 单调递增. 综上，当0a =时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；当102a -<<时，()f x 在(0,1)或1(,)a a +-+∞上单调递减，在1(1,)aa+-上单调递增； 当12a =-时，()f x 在(0,)+∞上单调递减.………………12分22.（1）由题意，得2()ln 20g x x x x ax =+++=在(0,)+∞上有实根，即2ln a x x x -=++在(0,)+∞上有实根. 令2()ln x x x xφ=++，则22221221'()1(2)(1)x x x x x x x x xφ+-=+-==+-.易知，()x φ在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)3a x φφ-≥==，3a ≤-.故a 的最大值为3-.………………6分（2）∵0x ∀>，2()1f x x kx x≤--恒成立， ∴2ln 1x x kx ≤--，即21(1ln )k x x x≤--.令()1ln g x x x =--，0x >.11'()1x g x x x-=-=. 令'()0g x >，解得1x >，∴()g x 在区间(1,)+∞上单调递增； 令'()0g x <，解得01x <<，∴()g x 在区间(0,1)上单调递减. ∴当1x =时，()g x 取得极小值，即最小值，∴()(1)0g x g ≥=， ∴0k ≤，即实数k 的取值范围是(,0]-∞.山西省怀仁县第一中学2017届高三上学期期中考试（文）数学试卷解 析1．2．试题分析：220x a a x -≤⇔≥,因为2[1,4)x ∈得4a ≥,故4a >是其的一个充分不必要条件.选B . 考点：充分条件；必要条件.3．试题分析：由3544(1)a a a =-得23444421114(1),2,8,2,2a a a a q q a a q a =-∴=∴==∴=∴==.故选C . 考点：等比数列的性质.4．试题分析：000sin35cos55sin35,sin35cos35b c ===>,所以a b c <<,故选C . 考点：正弦函数的单调性.5．6．试题分析：因为2221cos212sin ,12sin ,sin ,sin 2a x x a x x x -=-∴=-∴=∴=故选B . 考点：二倍角公式.7．试题分析：''()cos sin ,(0)1,4x x f x e x e x k f πα=-∴==∴=,故选A .8．9．试题分析：由22211sin ,21,2cos 25,522S ac B c b a c ac B b =∴=⨯∴==+-=∴=,故选A . 10．试题分析：|3||3|11y x x y y ≥-⎧-≤≤⇔⎨≤⎩其图形如图所示,221x y z z y x x y z +-=⇒=+-,由图形知2150,2123z z z -≤≤∴≥≥-,故选A .11．12．13．试题分析：由题知函数恒过点(1,1),可得1140m n +-=，114m n∴+=. 111111()4()()(2)(22)14444n m m n m n m n m n m n +=+⨯⨯=++=++≥⨯+=.14．试题分析：令''()()24,()()20g x f x x g x f x =--∴=->,所以()g x 在R 上增函数,且(1)(1)2(1)40g f -=--⨯--=，由()(1)g x g >-得1x >-,故不等式的解集为(1,)-+∞．考点：函数的单调性与导数；构造函数.15．16．17．考点：绝对值不等式的性质;分段函数解不等式. 18．19.20.21.考点：导数的几何意义；函数的单调性与导数.22.。
怀仁县第一中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题 含答案
（理科)数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1.若集合{2016,3,4}M =,集合{|}N x x M =∈,则集合M 与N 的关系是( ） A ．M N = B ．M N ≠ C ．M N =∅ D ．N 是M 的真子集2.在ABC ∆中,“C B >”是“22cos cos C B <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3。
已知函数3()tan 4(,)f x a x bx a b R =+∈且3(lglog 10)5f =，则(lglg3)f =（）A ．—5B ．—3C ．3D ．随,a b 的值而定 4.正项等比数列{}na 中的14031a a 、是函数321()4633f x xx x =-+-的极值点，则20166log a =（）A ．1B ．2C 。
2D ．-15。
若非零向量,a b 满足22||3a =，||1b =，且()(32)a b a b -⊥+,则a 与b 的夹角为（ ）A ．4π B ．2π C 。
34π D ．π6.若函数()sin 3cos ()f x x x x R ωω=∈，又()2f α=-,()0f β=，且||αβ-的最小值为34π，则正数ω的值是（ )A ．13B ．32C. 43D ．237.设曲线1*()n y xn N -=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =,则1299a a a +++=(）A ．100B ．2 C. —100 D ．-2 8.已知分段函数21,0,(),0,x x x f x e x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则31(2)f x dx -⎰等于()A ．13e+ B ．2e - C 。
713e - D ．12e- 9。
【百强校】2016-2017学年山西怀仁县一中高一上月考一数学试卷(带解析)
绝密★启用前【百强校】2016-2017学年山西怀仁县一中高一上月考一数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：66分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、设，，，求：（1）； （2）.2、设非空集合满足：当时，有.给出如下三个命题中：①若，则；②若，则；③若，则.其中正确命题的个数是（ ） A ．3 B ．1 C ．2D ．03、设全集，集合，，那么等于（ ） A ． B ．C ．D ．4、若集合满足，必有，则称集合为自倒关系集合.在集合的所有非空子集中，具有自倒关系的集合的个数为（ ）A ．7B ．8C ．16D ．155、若，则的值为（ ） A ．-1 B ．1 C ．0D ．1或-16、设全集，集合，，则下列图中的阴影部分表示集合的是（ ）7、已知全集，则集合中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．58、已知集合，则的子集个数为（ ）A ．8B ．29、集合，，，且，，则有（）A．B．C．D．不属于中的任意一个10、以下六个关系式：①，②，③，④，⑤，⑥是空集，其中错误的个数是（）A．4B．3C．2D．111、已知，则（）A．B．C．D．12、设集合，为实数，为整数集，则（）A．B．C．D．13、在“①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形；③方程的实数解”中，能够表示成集合的是（）A．②B．③C．②③D．①②③第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）14、二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为_________.15、关于的不等式的解集为，则的取值范围为_________.16、不等式的解集是_________.17、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确的有40人，化学实验做得正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做正确的有______人.三、解答题（题型注释）18、设集合满足若，则.（1）若，则中至少还有几个元素？求出这几个元素.（2）能否为单元素集合？请说明理由.（3）若，证明：.19、解关于的不等式：.20、已知集合，集合.（1）当时，求；（3）若，求实数的取值范围.21、已知集合，其中. （1）1是中的一个元素，用列举法表示；（2）若中有且仅有一个元素，求实数的组成的集合；（3）若中至多有一个元素，试求的取值范围.22、设集合，. （1）若，判断集合与的关系；（2）若，求实数组成的集合.参考答案1、（1）；（2）.2、A3、B4、D5、A6、B7、C8、A9、B10、D11、C12、D13、C14、15、16、17、18、（1）中至少还有两个元素：和；（2）不可能是单元素集；（3）证明见解析.19、当时，原不等式的集为，当时，原不等式的集为，当时，原不等式的集为或，当时，原不等式的集为.20、（1）；（2）；（3）.21、（1）；（2）；（3）或.22、（1）；（2）.【解析】1、试题分析：先用列举法求出集合，（1）求出，再与求并集即可；（2）先求出，再求其相对的补集，再与求交集即可.试题解析：∵.（1）又∵，∴.（2）又∵，得，∴.考点：集合运算.2、试题分析：由定义设非空集合满足：当时，有知，符合定义的参数的值一定大于等于或小于等于，惟如此才能保证时，有，即，符合条件的的值一定大于等于，小于等于，惟如此才能保证时，有即，正对各个命题进行判断：对于①若，故必有解得，；②若，，则解得；对于③若，则解得，所以正确命题有个.故选A.考点：1、元素与集合关系的判断；2、集合的确定性、互异性、无序性.【思路点睛】根据题中条件：“当时，有”对三个命题一一进行验证即可，对于①，得，②，得，对于③若，则最后解出不等式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个.本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法.属于创新题，解答的关键是对新定义的概念的正确理解，列出不等关系转化为不等式问题解决.3、试题分析：因为集合，集合，所以集合，所以.故选B.考点：集合运算.【思路点睛】集合表示平面内除点外，直线，而集合表示平面内直线外的部分，所以集合表示平面内除点外部分，因此表示平面内点.本题主要考查集合的表示和运算，掌握补集的定义是解本题的关键，属于中档题.4、试题分析：根据自倒关系集合的定义可知，当时，；当时，无意义；当时，；当时，；当时，；当时，不存在；所以必须分别在一起，可以把它们看作一个元素，所以自倒关系集合的个数为.故选D.考点：1、新定义；2、集合间的基本关系.5、试题分析：因为，所以，所以，，经验证不合题意，所以，所以.故选A．考点：集合相等．6、试题分析：全集，集合，，所以，所以.故选B．考点：1、韦恩图表达；2、集合间的运算．【方法点睛】根据已知，可先求出，再求出，即可得到正确答案．亦可采用排除法，根据已知，集合是集合的子集，排除选项，而集合不是集合的子集，这样排除选项A，从而可知选项B是正确的．本题考查的知识点是韦恩图表达、集合之间的基本关系及运算，正确理解图阴影部分表示的元素所满足的条件是解答本题的关键，属于基础题．7、试题分析：因为，所以集合的子集有个，又，所以集合中元素的个数为.故选C．考点：1集合间的关系；2、一元二次不等式．8、试题分析：因为集合集合，所以，所以的子集个数为.故选A．考点：集合间的关系．9、试题分析：因为集合为偶数集，为奇数集，，，所以为奇数，为偶数，所以为奇数，所以.故选B．考点：元素与集合的关系．10、试题分析：根据元素与集合间的关系可判定①④正确，③不正确，根据集合与集合之间的关系可判定②⑤⑥正确.故选D．考点：1、元素与集合间的关系；2、子集与真子集．11、试题分析：.故选C．考点：集合运算．12、试题分析：因为，所以，所以.故选D．考点：1、集合运算；2、一元二次不等式．13、试题分析：①不满足集合元素的确定性，②③能构成集合，③为.故选C．考点：集合的含义．14、试题分析：由题意可知所以所以不等式为，又，所以，解得.所以答案应填：.考点：一元二次不等式的解法.【方法点睛】根据二次不等式的解集得出，求出，采用消元的思想，将和消去，再将不等式转化为具体的一元二次不等式来求解即可.本题考查了一元二次不等式与一元二次方程之间的应用问题，解题时应利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.属于基础题.15、试题分析：当时，不等式变为恒成立，当时，不等式变为，解得，不合题题意；当时，由题意得，解得即.所以答案应填：.考点：一元二次不等式的解法.【易错点睛】本题中不等式二次项系数含有参数，未必是是一元二次不等式，学生易忽视，而直接按照一元二次不等式求解导致错误，而应先对二次项系数分类讨论求解，当时，直接验证，当时，由解得即可.本题考查分类讨论思想及不等式（组）的解法，掌握一元二次不等式的解集与二次项的系数及之间的关系是解答本题的关键，属于中档题.16、试题分析：不等式，即，解得.所以答案应填：.考点：一元二次不等式的解法.17、试题分析：设=｛做物理实验的学生｝，=｛做化学实验的学生｝，如图，所以，解得.所以答案应填：.考点：集合间的运算.18、试题分析：（1）根据条件，便可由，得到，又会得到，从而的元素只有三个，写出集合即可；（2）可假设可为单元素集合，根据条件可得到需满足：，容易说明该方程无解，从而得出结论：不存在单元素集合；（3）由集合的定义即可证明.试题解析：（1）∵，∴；∴；∴.因此，中至少还有两个元素：和.（2）如果为单元素集合，则，整理得，该方程无实数解，故在实数范围内，不可能是单元素集.（3）证明：，即.考点：元素与集合关系的判断.【思路点睛】（1）根据条件，可由，得到，又会得到，从而可得集合的元素（2）可假设可为单元素集合，根据条件可得到关于的方程，该方程无解，从而得出不存在单元素集合；（3）由集合的定义即可证明.本题考查元素与集合的概念，元素与集合的关系，理解单元素集合的概念.属于中档题.19、试题分析：不等式中含有参数，对分和两种情况讨论，当时，原不等式为，解得即可，当时，原不等式化为一元二次不等式，再对分和两种情况分别求解.试题解析：原不等式整理得.当时，原不等式为，∴；当时，原不等式为，∴当时，原不等式可化为，当时，原不等式可化为，当时，原不等式为，原不等式的集为或，若，则，原不等式的集为或，当时，原不等式的集为.综上，当时，原不等式的集为，当时，原不等式的集为，当时，原不等式的集为或，当时，原不等式的集为.考点：不等式的解法.20、试题分析：（1）把代入即可得出集合，再求；（2）根据得到关于的不等式组解得即可；（3）由，分和两种情况讨论.试题解析：（1）当时，，则.（2）由知，解得，即实数的取值范围为.（3）由，得①若，即时，，符合题意；②若，即时，需或得或，即.综上知，即实数的取值范围为.考点：1、集合间的关系；2、集合运算.21、试题分析：（1）由是的元素，可得，解得即可求出的元素；（2）分和两种情况讨论集合中的解的个数；（3）集合中至多有一个元素，即集合中方程的解的个数是个或个，分两种情况考虑.试题解析：（1）∵是的元素，∴是方程的一个根，∴，即，此时.∴，，∴此时集合；（2）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根，若，则当且仅当方程的判别式，即时，方程有两个相等的实根，此时集合中有且仅有一个元素，∴所求集合；（3）集合中至多有一个元素包括有两种情况：①中有且只有一个元素，由（2）知此时，或；②中一个元素也没有，即，此时，且，∴.综合①、②知所求的取值范围是或.考点：1、元素与集合的关系；2、集合的表示.【易错点睛】本题集合中方程二次项系数含有参数，未必是是一元二次方程，学生易忽视，而直接按照一元二次方程求解会导致错误，而应先对二次项系数分类讨论求解，当时，直接求解验证，当时，再利用一元二次不等式的判别式，解得即可.本题考查集合的表示方法、元素与集合的关系，考查分类讨论思想，对参数进行讨论是解答本题的关键，属于基础题.22、试题分析：（1），的元素是集合的元素，而集合中除外，还有元素，所以；（2）先对集合进行化简，再根据集合的情况进行分类讨论求出参数的值，写出其解集.试题解析：.（1）若，则，于是.（2）若，则，分如下两种情形讨论：①当时，符合题意；②当时，由，得或.故实数组成集合.考点：集合间的基本关系.。
2016届山西省怀仁县一中高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2016届山西省怀仁县一中高三上学期期中考试数学(理)试题及解析一、选择题1．已知集合{}2120x x x A =-->，{}x x m B =≥．若{}4x x A B => ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()4,3-B ．[]3,4-C ．()3,4-D ．(],4-∞ 【答案】B【解析】试题分析：集合{}34x x x A =<->或， {}4x x A B => ，∴34m -≤≤，故选B ．【考点】集合的运算．2．设向量()6,a x = ，()2,2b =- ，且()a b b -⊥，则x 的值是（ ）A ．4B ．4-C ．2D ．2- 【答案】C【解析】试题分析：由()a b b -⊥ 得()0a b b -⋅=，即420x -=，解得2x =，故选C ．【考点】向量垂直的条件，向量数量积坐标运算公式．3．已知在等差数列{}n a 中，11a =-，公差2d =，115n a -=，则n 的值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 【答案】D【解析】试题分析：()1122515n a a n d n -=+-=-=，得10n =，故选D ． 【考点】等差数列的通项公式．4．已知()cos 3mπθ-=（0m <），且2cos 12cos 022πθθ⎛⎫⎛⎫+-<⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B【解析】试题分析： ()cos 3mπθ-=（0m <），∴1co s 0θ-<<，由2c o s 12c o s 022πθθ⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭得sincos 0θθ<，∴sin 0θ>，则θ是第二象限角，故选B ．【考点】诱导公式，倍角公式，根据角的三角函数值的符号判断角所属的象限． 5．若()3241cos 2x a dx xdx π-=⎰⎰，则a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．4 【答案】C【解析】试题分析：由()222111322x a dx x ax a ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭⎰，3344011cos 2sin 222xdx x ππ==-⎰，所以3122a -=-，解得2a =，故选C ．【考点】定积分．6．在C ∆AB 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2c a =，1sin sin sin C 2b a a B -A =，则sin B 等于（ ） A．34 C．13【答案】A【解析】试题分析：若2c a =，1sin sin sin C 2b a a B -A =，则222122b a ac a =+=， ∴2222233cos 244a c b a ac a +-B ===，又()0,πB∈，则sin 4B =，故选A ． 【考点】正弦定理，余弦定理，已知三角函数值求角． 7．已知函数()2sin sin 3f x x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是奇函数，其中()0,ϕπ∈，则函数()()cos 2g x x ϕ=-的图象（ ）A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．可由函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到 C ．可由函数()f x 的图象向左平移6π个单位得到D ．可由函数()f x 的图象向左平移12π个单位得到【答案】C【解析】试题分析：由已知得函数()f x 为奇函数，又由()0,ϕπ∈得6πϕ=，∴()sin 2f x x =，()cos 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则将函数()f x 的图象向左平移6π个单位可得函数()g x 的图象，故选C ．【考点】诱导公式，函数的奇偶性，函数图像的平移变换．8．已知命题:p []1,2x ∀∈-，函数()2f x x x =-的值大于0．若p q ∨是真命题，则命题q 可以是（ ） A ．()1,1x ∃∈-，使得1cos 2x <B ．“30m -<<”是“函数()2log f x x x m =++在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上有零点”的必要不充分条件 C ．6x π=是曲线()2cos2f x x x =+的一条对称轴D ．若()0,2x ∈，则在曲线()()2xf x ex =-上任意一点处的切线的斜率不小于1e -【答案】C 【解析】试题分析：可判断命题p 是假命题，若p q ∨是真命题，则命题q 为真命题．A ，B ，D 均不正确．()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，则6x π=是曲线()f x 的一条对称轴，故选C ．【考点】复合命题真值表，函数的综合问题．【方法点睛】该题考查的知识点比较多，首先根据题中所给的条件，判断出命题p 是假命题，再结合p q ∨是真命题从而断定命题q 是真命题，下边关于命题q 所涉及的知识点比较多，需要逐个去分析，A 项需要对余弦函数的性质要熟练掌握，B 项利用函数零点存在性定理即可解决，C 项将函数解析式化简，利用其性质求得，D 项利用导数的几何意义，求导函数的值域即可，所以对学生的要求标准比较高．9．设函数()11,1121,1x x f x x x ⎧+-≥⎪=+⎨⎪<⎩，则不等式()()26f x f x ->的解集为（ ） A ．()3,1- B ．()3,2- C．(- D．()2 【答案】D【解析】试题分析：易证得函数()f x 在[)1,+∞上单调递增．当1x <时，得261x ->⇒x <则1x <<；当1x ≥时，得26x x ->⇒32x -<<，则12x ≤<．综上得不等式的解集为()2，故选D ． 【考点】分段函数的有关问题．10．公差不为0的等差数列{}n a 的部分项1k a ，2k a ，3k a ⋅⋅⋅构成等比数列{}n k a ，且11k =，22k =，36k =，则下列项中是数列{}n k a 中的项是（ ）A ．86aB ．84aC ．24aD ．20a 【答案】A【解析】试题分析：设数列{}n a 的公差为d （0d ≠）， 1a ，2a ，6a 成等比数列，∴()()21115a a d a d +=+，得13d a =，∴11k a a =，214k a a =，则()11141n n k n a a a k d -=⋅=+-，即1324n n k --=．当4n =时，22n k =；当5n =时，86n k =．故选A ．【考点】等差等比数列．11．若非零向量a 与向量b 的夹角为钝角，2b = ，且当12t =-时，b ta - （R t ∈）c 满足()()c b c a -⊥- ，则当()c a b ⋅+ 取最大值时，c b - 等于（ ）A．．．52【答案】A【解析】试题分析： 向量a ，b 的夹角为钝角，∴当a 与b ta -垂直时，b ta -12a b a ⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭ ． 2b =，12b a += ∴2a = ，a与b 夹角为120． ()()c a c b -⊥- ，∴c 的终点在如图所示的圆O 上，c =AO +OB，2a b +=AO ，∴当OB 与AO 共线时， ()c a b ⋅+取最大值，此时c b -==A ．【考点】数形结合思想的应用，向量垂直的条件，向量的模．【易错点睛】该题考查的是求向量模的大小的问题，属于高档题目，做起来较难，在解题的过程中，注意对题的条件的活用，一是两个向量垂直的条件的转换，注意其数量积等于零的应用，二是要注意什么情况下模取最值，取最小值时对应的是有关向量垂直，关于向量数量积在什么情况下取得最大值，从而得到相应的结果，注意对题中条件的等价转化．12．已知函数()()2ln x x b f x x +-=（R b ∈）．若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x x f x'+>，则实数b 的取值范围是（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),3-∞ D．(-∞ 【答案】B【解析】试题分析：()()0f x xf x '+>⇒()0xf x '>⎡⎤⎣⎦，设()()()2ln g x xf x x x b ==+-，若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x xf x '+>，则函数()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在子区间使得()0g x '>成立，()()212212x bx g x x b x x -+'=+-=，设()2221h x x b x=-+，则()20h >或102h ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即8410b -+>或1102b -+>，得94b <，故选B ．【考点】导数的应用．【思路点睛】该题考查的是与构造新函数有关的问题，属于较难题目，在解题的过程中，需要紧紧抓住导数的应用，相当于()0f x '>在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，最后将问题转化为不等式22210x bx -+>在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，设()2221h x x bx =-+，结合二次函数的性质，可知只要()20h >或102h ⎛⎫> ⎪⎝⎭即可，将2和12分别代入，求得结果，取并集得答案． 二、填空题13．若5,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()22sin 2cos sin cos x x f x x x -=的最小值为 ． 【答案】1-【解析】试题分析： ()222sin 2cos tan 22tan sin cos tan tan x x x f x x x x x x--===-在5,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴当4x π=时，函数()f x 取最小值1-． 【考点】同角三角函数关系式，函数的单调性，函数的最值．14．在C ∆AB 中，点O 在线段C B 的延长线上，且3C BO =O ，当Cx y AO =AB+A时，则x y -= ． 【答案】2-【解析】试题分析： 点O 在线段C B 的延长线上，且3C BO =O ，∴1C C 2O =B ，则C C AO =A +O()1113C C C C C 2222=A +B =A +A -AB =-AB +A，∴2x y -=-．【考点】平面向量基本定理．15．若不等式32l o g 0a x x x -≤在0,2x ⎛∈ ⎝⎦恒成立，则实数a 的最小值为 ． 【答案】14【解析】试题分析：32log 0a x x x -≤，即()22l o ga x x x -≤，由题意得22log a x x ≤在0,2x ⎛∈ ⎝⎦恒成立，即当0,2x ⎛∈ ⎝⎦时，函数2y x =的图象不在2log a y x =图象的上方，由图知01a <<且12log 2a≥，解得114a ≤<．【考点】数形结合思想的应用，恒成立问题的转化．【方法点睛】该题目考查的是有关恒成立问题，属于中档题目，在解题的过程中，首先将不等式32log 0a x x x -≤做等价变形，等价于22log a x x ≤在x ⎛∈ ⎝⎦恒成立，结合函数的图像，从而将参数的大体上的范围先确定，之后再找某个对应的边界值即可，最后找到结果12log 22a≥，结合大前提，从而求得答案． 16．数列{}log k n a 是首项为4，公差为2的等差数列，其中0k >，且1k ≠．设lg n n n c a a =，若{}n c 中的每一项恒小于它后面的项，则实数k 的取值范围为 ．【答案】()1,⎛+∞ ⎝⎭【解析】试题分析：由题意得log 22k n a n =+，则22n n a k+=，∴()2122122n n n n a k k a k++++==，即数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列．()22lg 22lg n n n n c a a n kk +==+⋅，要使1n n c c +<对一切n *∈N 恒成立，即()()21lg 2lg n k n k k +<+⋅⋅对一切n *∈N 恒成立．当1k >时，lg 0k >()212n n k +<+对一切n *∈N 恒成立；当01k <<时，lg 0k <，()212n n k +>+对一切n *∈N 恒成立，只需2min12n k n +⎛⎫< ⎪+⎝⎭，11122n n n +=-++单调递增，∴当1n =时，min 1223n n +⎛⎫= ⎪+⎝⎭，∴223k <，且01k <<，∴0k <<．综上，()1,k ⎛∈+∞ ⎝⎭． 【考点】数列与函数的综合问题．【思路点睛】该题是以数列为载体，考查求参数的取值范围的问题，属于较难题目，在解题的过程中，首先需要根据题意，将数列{}log k n a 的通项公式求出，结合指对式的互化，求得22n n a k +=，进一步求得数列{}n c 的通项，由题意可知数列{}n c 是递减数列即可，即()()21lg 2lg n k n k k +<+⋅⋅对一切n *∈N 恒成立，下一步需要分1k >和01k <<两种情况，从而求得最后的结果．三、解答题17．在C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin C c = （1）若24sin C sin c =B ，求C ∆AB 的面积；（2）若2C 4AB⋅B +AB = ，求a 的最小值．【答案】（1（2）【解析】试题分析：该题考查的是有关解三角形的问题，属于简单的题目，在解题的过程中，首先根据已知条件，利用正弦定理求得3πA =，第一问根据题中所给的条件，利用正弦定理，求得4bc =，利用三角形的面积公式，求得三角形的面积，第二问根据题中所给的条件，利用向量数量积的定义式，求得8bc =，结合余弦定理，利用基本不等式求得结果．试题解析：由条件结合正弦定理得：sin C sin c a==A，从而sin A =A ，tan A ， 0π<A <，∴3πA =．（1）由正弦定理得：24sin C sin c =B ⇒4bc =，∴C 1sin 2S bc ∆AB =A =（2）2C C cos604cb AB⋅B +AB =AB⋅A ==⇒8bc =．又2222cos6028a b c bc bc bc =+-≥-=，当且仅当b c ==∴min a =【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积，向量数量积的定义式，基本不等式． 【思路点睛】该题属于三角和向量的综合题，属于较简单的题目，在解题的过程中，注意从大前提所给的条件中，利用正弦定理得出3πA =，第一问中根据正弦定理求得4bc =，结合三角形的面积公式，求得三角形的面积，第二问应用向量的数量积的定义式，求得8bc =，再结合3πA =利用余弦定理，再利用基本不等式求得结果，注意基本不等式中等号成立的条件就行．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312n n S a =-（n *∈N ）． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列(){}9log 4n b -的前n 项和n T ． 【答案】（1）123n n a -=⋅ （2）()()1112124n n n n -T =++⋅⋅⋅+-=． 【解析】试题分析：该题考查的是有关等比数列的问题，属于中档题目，在解题的过程中，第一问根据数列的项与和的关系，整理得出当2n ≥时，13n n a a -=， 从而得到数列是{}n a 等比数列，令1n =，求得数列的首项，从而得到数列的通项公式，第二问将第一问所求的通项公式代入，得到数列{}n b 的递推公式，利用累加法求得数列{}n b 的通项公式，得到134n n b -=+，从而有()91log 42n n b --=，利用等差数列的求和公式得到所求的结果．试题解析：（1）当1n =时，11312a a =-，∴12a =， 当2n ≥时， 312n n S a =-①，11312n n S a --=-②①-②得：1331122n n n a a a -⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即13n n a a -=， ∴数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列，∴123n n a -=⋅．（2） 1n n n b b a +=+，∴当2n ≥时，2123n n n b b --=+⋅，则13223b b =+⋅，02123b b =+⋅，相加得()12111132333523413n n n n b b ----=+⋅+⋅⋅⋅++=+⋅=+-，当1n =时，111345b -+==，∴134n n b -=+．()91log 42n n b --=，∴()()1112124n n n n -T =++⋅⋅⋅+-=． 【考点】数列的项与和的关系，等比数列的通项公式，累加法求数列的通项公式，等差数列的求和公式． 19．某市政府欲在如图所示的矩形CD AB 的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形R OP E （线段EO 和R P 为两条底边），已知2AB =km ，C 6B =km ，F 4AE =B =km ，其中曲线F A 是以A 为顶点、D A 为对称轴的抛物线的一部分．（1）求曲线F A 与AB ，F B 所围成区域的面积； （2）求该公园的最大面积．【答案】（1）283km（2）10427【解析】试题分析：第一问根据图形以及题中所给的条件，判断出抛物线是开口向上的抛物线，设出相应的方程2y ax =（0a >），由已知可知()F 2,4在抛物线上，将其代入抛物线方程，求得1a =，从而确定出抛物线的方程，再利用定积分求得对应图形的面积；第二问根据题意，确定好点E 和C 的坐标，从而确定出C E 所在直线的方程为4y x =+，设()2,x x P （02x <<），将公园的面积应用梯形的面积公式转化为关于x 的关系式，应用导数确定出其最值点，从而求得结果．试题解析：（1）以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，设曲线FA 所在抛物线的方程为2y ax =（0a >），抛物线过()F 2,4，∴242a =⨯，得1a =，∴F A 所在抛物线的方程为2y x =，∴曲线F A 与AB ，F B 所围成区域的面积2223001833S x dx x ===⎰2km ．（2）又()0,4E ，()C 2,6，则C E 所在直线的方程为4y x =+，设()2,x x P （02x <<），则x PO =，24x OE =-，2R 4x x P =+-，∴公园的面积()22321144422S x x x x x x x =-++-⋅=-++（02x <<），∴234S x x '=-++，令0S '=，得43x =或1x =-（舍去负值），'当43x =时，S 取得最大值10427．故该公园的最大面积为10427． 【考点】抛物线的方程的求解，定积分求面积，导数的应用．【方法点睛】该题考查的是函数的应用题，属于中档题目，在解题的过程中，重点工作是确定抛物线的方程，根据所建立的坐标系，结合曲线上点的坐标，代入求得抛物线的方程，利用定积分求得对应的图形的面积，第二问将图形的面积表示为关于x 的函数，利用导数求得函数的单调区间，从而确定出函数在哪个点取得最大值，从而代入解析式，求得结果．20．已知数列{}n a ，12a =，当2n ≥时，11232n n n a a --=+⋅． （1）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭及数列{}n a 的通项公式； （2）令232n n n c a =-⋅，设n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T ． 【答案】（1）()12231nn n n a b n -==-（2）()()()11212321242371412n n n n n n ++-⎡⎤T =⨯-+-⋅=-+⎣⎦-【解析】试题分析：第一问将题中所给的式子变形可以得到当2n ≥时，113222n n n n a a --=+，从而得到数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，利用等差数列的通项公式，求得结果，进一步求得数列{}n a 的通项公式，第二问将第一问的结果代入，求得数列{}n c 的通项公式，求得2322n n n c n +=⨯⨯-，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式以及错位相减法，将结果求出．试题解析：（1） 当2n ≥时，113222n n n n a a --=+； 令2n n n a b =，则数列{}nb 是以首项11b =，公差为32的等差数列，312n n b -=； ∴()12231n n n n a b n -==-．（2） 2322n n n c n +=⨯⨯-∴()()223212224222n n n n T =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-++⋅⋅⋅+，记221222n n S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯①，则231221222n n S n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯②， ①-②得：()21121222212n n n n S n n ++-=⨯++⋅⋅⋅+-⨯=--，∴()1212n n S n +=-+．故()()()11212321242371412n n n n n n ++-⎡⎤T =⨯-+-⋅=-+⎣⎦-．【考点】数列的递推公式，通项公式，求和方法．21．已知函数()()2sin 2f x x x=+-． （1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的单调递增区间； （2）若,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()()21124g x f x f x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的值域． 【答案】（1）0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （2）33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：先将函数解析式展开，用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式得()2sin(2)6f x x π=+，再求出函数本身的单调增区间，再给k 赋上相应的值，结合题中所给的研究的区间，从而求得函数的增区间是0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，第二问将函数解析式确定，利用公式化简得213()2[cos(2)]622g x x π=-+++，根据,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得整体角52[,]666x πππ+∈-，根据余弦函数的性质，求得cos(2)[6x π+∈，利用二次函数的性质求得函数()g x 的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 试题解析：()22sin cos 3cos 2f x x x x x =++-2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ （1）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，k ∈Z ，解得222233k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，即36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()f x 的递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）()()22112sin 22cos 212466g x f x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22cos 22cos 2166x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2132cos 2622x π⎡⎤⎛⎫=-+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则cos 26x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 当1cos 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()g x 取最大值32；当c o s 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()g x 取最小值3-．∴函数()g x 的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【考点】倍角公式，辅助角公式，函数在某个区间上的单调性，函数在某个区间上的值域．22．设函数()()ln 1f x m x m x =+-．（1）若()f x 存在最大值M ，且0M >，求m 的取值范围；（2）当1m =时，试问方程()2x x xf x e e -=-是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由．【答案】（1）,11e e ⎛⎫ ⎪+⎝⎭（2）方程()2x x xf x e e -=-没有实数根，理由见解析． 【解析】试题分析：第一问先确定函数的定义域，对函数求导，对参数m 的取值进行讨论，当函数在定义域上是单调函数时，函数没有最大值，当01m <<时，求得函数的单调增区间和减区间，从而确定好函数的最值点，将自变量代入函数解析式，求得函数值，令其大于零，解得1e m e>+，结合大前提，从而求得结果，第二问将1m =代入上式，变形可得2ln x x x x e e =-，利用导数研究函数的性质，可知1(ln )x x e≥-，21x x e e e -≤-恒成立，但是最值点不是同一个，从而得到相应的方程没有实根．试题解析：（1）()()ln 1f x m x m x =+-的定义域为()0,+∞，()()11m x m m f x m x x-+'=+-=． 当0m ≤或1m ≥时，()f x 在区间()0,+∞上单调，此时函数()f x 无最大值． 当01m <<时，()f x 在区间0,1m m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭内单调递增，在区间,1m m ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭内单调递减， 所以当01m <<时，函数()f x 有最大值． 最大值ln 11m m f m m m m ⎛⎫M ==- ⎪--⎝⎭． 因为0M >，所以有ln01m m m m ->-，解之得1e m e >+． 所以m 的取值范围是,11e e ⎛⎫ ⎪+⎝⎭． （2）当1m =时，方程可化为2ln x x x x e e -=-，即2ln x x x x e e =-， 设()ln h x x x =，则()1ln h x x '=+， ∴10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，∴()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，∴()h x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数， ∴()min 11h x h e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． 设()2x x g x e e =-，则()1x x g x e-'=， ∴当()0,1x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,1上单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()1,+∞上单调递减；∴()()max 11g x g e ==-． 11e≠，∴数形结合可得()()h x g x >在区间()1,+∞上恒成立， ∴方程()2x x xf x e e-=-没有实数根． 【考点】导数的综合应用．。
2016年山西省朔州市怀仁一中高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
2015-2016学年山西省朔州市怀仁一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣12＞0}，B={x|x≥m}．若A∩B={x|x＞4}，则实数m的取值范围是（（）A．（﹣4，3）B．[﹣3，4]C．（﹣3，4）D．（﹣∞，4]2．（5分）设向量，=（2，﹣2），且（），则x的值是（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣23．（5分）已知在等差数列{a n}中，a1=﹣1，公差d=2，a n﹣1=15，则n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．104．（5分）已知cos（π﹣θ）=3m（m＜0），且cos（+θ）（1﹣2cos2）＜0，则θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角5．（5分）若，则a等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．46．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．若c=2a，bsinB﹣asinA=asinC，则sinB等于（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，其中φ∈（0，π），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到8．（5分）已知命题p：∀x∈[﹣1，2]，函数f（x）=x2﹣x的值大于0，若p∨q 是真命题，则命题q可以是（）A．∃x∈（﹣1，1）使得cosx＜B．“﹣3＜m＜0”是“函数f（x）=x+log2x+m在区间（，2）上有零点”的必要不充分条件C．x=是曲线f（x）=sin2x+cos2x的一条对称轴D．若x∈（0，2），则在曲线f（x）=e x（x﹣2）上任意一点处的切线的斜率不小于﹣9．（5分）设函数f（x）=，则不等式f（6﹣x2）＞f（x）的解集为（）A．（﹣3，1）B．（﹣3，2）C．（﹣2，） D．（﹣，2）10．（5分）公差不为0的等差数列{a n}的部分项a，a，a…构成等比数列{a}，且k 1=1，k2=2，k3=6，则下列项中是数列{a}中的项是（）A．a86B．a84C．a24D．a2011．（5分）若非零向量与向量的夹角为钝角，，且当时，（t∈R）取最小值．向量满足，则当取最大值时，等于（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f （x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，） D．（﹣∞，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．（5分）若x∈[，]，则f（x）=的最小值为．14．（5分）在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且||=3||，当=，则x﹣y=．15．（5分）若不等式x3﹣2xlog a x≤0在x∈（0，]恒成立，则实数a的最小值为．16．（5分）数列{log k a n}是首项为4，公差为2的等差数列，其中k＞0，且k≠1，设c n=a n lga n，若{c n}中的每一项恒小于它后面的项，则实数k的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为Aa，b，c，且满足=（1）若4sinC=c2sinB，求△ABC的面积；（2）若+=4，求a的最小值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）在数列{b n}中，b1=5，b n+1=b n+a n，求数列{log9（b n﹣4）}的前n项和T n．19．（12分）某市政府欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形OPRE（线段EO和RP为两条底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中曲线AF是以A为顶点、AD 为对称轴的抛物线的一部分．（1）求曲线AF与AB，BF所围成区域的面积；（2）求该公园的最大面积．20．（12分）已知数列{a n}，a1=2，当n≥2时，a n=2a n﹣1+3•2n﹣1（1）求数列{}及数列{a n}的通项公式；（2）令c n=2a n﹣3•2n，设T n为数列{c n}的前n项和，求T n．21．（12分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2．（1）当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若x∈[﹣，]，求函数g（x）=f2（x）﹣f（x+）﹣1的值域．22．（12分）设函数f（x）=mlnx+（m﹣1）x．（1）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．（2）当m=1时，试问方程xf（x）﹣=﹣是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由．2015-2016学年山西省朔州市怀仁一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣12＞0}，B={x|x≥m}．若A∩B={x|x＞4}，则实数m的取值范围是（（）A．（﹣4，3）B．[﹣3，4]C．（﹣3，4）D．（﹣∞，4]【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣4）（x+3）＞0，解得：x＜﹣3或x＞4，即A={x|x＜﹣3或x＞4}，∵B={x|x≥m}，A∩B={x|x＞4}，∴﹣3≤m≤4，则实数m的取值范围是[﹣3，4]．故选：B．2．（5分）设向量，=（2，﹣2），且（），则x的值是（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【解答】解：向量，=（2，﹣2），=（4，x+2），（），可得：8+（﹣2）（x+2）=0，解得x=2．故选：C．3．（5分）已知在等差数列{a n}中，a1=﹣1，公差d=2，a n﹣1=15，则n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a1=﹣1，公差d=2，a n﹣1=15，∴15=﹣1+2（n﹣2），解得n=10．故选：D．4．（5分）已知cos（π﹣θ）=3m（m＜0），且cos（+θ）（1﹣2cos2）＜0，则θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解答】解：∵cos（π﹣θ）=3m（m＜0），0＜3m＜1∴﹣cosθ∈（0，1），∵cos（+θ）（1﹣2cos2）=sinθcosθ＜0，∴sinθ＞0，∴θ是第二象限角．故选：B．5．（5分）若，则a等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4【解答】解：由，，所以，解得a=2．故选：C．6．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．若c=2a，bsinB﹣asinA=asinC，则sinB等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵bsinB﹣asinA=asinC，∴由正弦定理可得：b2﹣a2=，又∵c=2a，∴a2+c2﹣b2=4a2﹣=3a2，∴利用余弦定理可得：cosB===，∴由于0＜B＜π，解得：sinB===．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，其中φ∈（0，π），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到【解答】解：由于函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，故y=sin（x++φ）是偶函数，故φ+=kπ+，k∈Z，即φ=kπ+，结合φ∈（0，π），可得φ=，故f（x）=2sinxsin（x++）=sin2x=cos（2x﹣）．故函数g（x）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象，∵﹣=﹣+，可以由f（x）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象向左平移个单位得到的，故选：C．8．（5分）已知命题p：∀x∈[﹣1，2]，函数f（x）=x2﹣x的值大于0，若p∨q 是真命题，则命题q可以是（）A．∃x∈（﹣1，1）使得cosx＜B．“﹣3＜m＜0”是“函数f（x）=x+log2x+m在区间（，2）上有零点”的必要不充分条件C．x=是曲线f（x）=sin2x+cos2x的一条对称轴D．若x∈（0，2），则在曲线f（x）=e x（x﹣2）上任意一点处的切线的斜率不小于﹣【解答】解：对于命题p：函数f（x）=x2﹣x=﹣，则函数f（x）在上单调递减；在上单调递增．∴当x=时，取得最小值，=＜0，因此命题p是假命题．若p∨q是真命题，则命题q必须是真命题．A．∀x∈（﹣1，1），cosx∈（cos1，1]，而cos1＞=，因此A是假命题；B．函数f（x）=x+log2x+m在区间（，2）上单调递增，若函数f（x）在此区间上有零点，则=＜0，解得，因此“﹣3＜m ＜0”是“函数f（x）=x+log2x+m在区间（，2）上有零点”的充分不必要条件，因此是假命题；C．f（x）=sin2x+cos2x=2，当x=时，==1，因此x=是函数f（x）的一条对称轴，是真命题；D．曲线f（x）=e x（x﹣2），f′（x）=e x+e x（x﹣2）=e x（x﹣1），当x∈（0，2）时，f′（x）＞f′（0）=﹣1，因此D是假命题．故选：C．9．（5分）设函数f（x）=，则不等式f（6﹣x2）＞f（x）的解集为（）A．（﹣3，1）B．（﹣3，2）C．（﹣2，） D．（﹣，2）【解答】解：当x≥1，f（x）=x+﹣，f′（x）=1﹣＞0，故函数f（x）为增函数，且f（x）≥f（1）=1．故由不等式f（6﹣x2）＞f（x），可得①，或6﹣x2＞x≥1②．解①求得﹣＜x＜1，解②求得1≤x＜2．综上可得，不等式的解集为（﹣，2），故选：D．10．（5分）公差不为0的等差数列{a n}的部分项a，a，a…构成等比数列{a}，且k 1=1，k2=2，k3=6，则下列项中是数列{a}中的项是（）A．a86B．a84C．a24D．a20【解答】解：∵公差不为0的等差数列{a n}的部分项a，a，a…构成等比数列{a}，且k 1=1，k2=2，k3=6，∴a1，a2，a6构成等比数列，∴（a1+d）2=a1（a1+5d），得d=3a1，∴等比数列的公比q===4，等差数列{a n}的通项公式为a n=a1+（n﹣1）×3a1=3a1n﹣2a1=（3n﹣2）a1，等比数列{a}的通项公式为=，a86=a1+85d=256a1=，a84=a1+83d=250a1，a24=a1+23d=70a1，a20=a1+19d=58a1，∴a 86是数列{a}中的项．故选：A．11．（5分）若非零向量与向量的夹角为钝角，，且当时，（t∈R）取最小值．向量满足，则当取最大值时，等于（）A．B．C．D．【解答】解：设=，=，=，如图：∵向量，的夹角为钝角，∴当与垂直时，取最小值，即．过点B作BD⊥AM交AM延长线于D，则BD=，∵||=MB=2，∴MD=1，∠AMB=120°，即与夹角为120°．∵，∴（）=0，∴||•||•cos120°+||2=0，∴||=2，即MA=2，∵，∴的终点C在以AB为直径的圆O上，∵O是AB中点，∴=2，∴当M，O，C三点共线时，取最大值，∵AB==2，∴OB=0C==，∵MA=MB=2，O是AB中点，∴MO⊥AB，∴∠BOC=∠MOA=90°，∴||=BC=OB=．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f （x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，） D．（﹣∞，）【解答】解：∵f（x）=f（x）=，x＞0，∴f′（x）=，∴f（x）+xf′（x）=+=，∵存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，∴1+2x（x﹣b）＞0∴b＜x+，设g（x）=x+，∴b＜g（x）max，∴g′（x）=1﹣=，当g′（x）=0时，解的x=，当g′（x）＞0时，即＜x≤2时，函数单调递增，当g′（x）＜0时，即≤x＜2时，函数单调递减，∴当x=2时，函数g（x）取最大值，最大值为g（2）=2+=∴b＜，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．（5分）若x∈[，]，则f（x）=的最小值为﹣1．【解答】解：x∈[，]，则f（x）===tanx﹣，tan=tan（+）==2+，令t=tanx，则1≤t≤2+，f（x）=y=t﹣，∴y′=1+2•＞0，故函数y在[1，2+]上单调递增，故当t=1时，f（x）=y取得最小值为1﹣2=﹣1，故答案为：﹣1．14．（5分）在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且||=3||，当=，则x﹣y=﹣2．【解答】解：如图所示，△ABC中，||=3||，∴=3，∴=，即=；∴=+=+=+（﹣）=﹣+；又=，∴x=﹣，y=，∴x﹣y=﹣﹣=﹣2．故答案为：﹣2．15．（5分）若不等式x3﹣2xlog a x≤0在x∈（0，]恒成立，则实数a的最小值为．【解答】解：x3﹣2xlog a x≤0在x∈（0，]恒成立，x2﹣2log a x≤0∴x2≤log a x在x∈（0，）时恒成立∴x2的最大值小于log a x的最小值∴x2≤1/4≤log a x当a＞1时，log a x为递增但最小值为负数不成立当0＜a＜1时，log a x为递减最小值在x=上取到，∴log a≥1/4=log a∴a≥，故a的最小值为．16．（5分）数列{log k a n}是首项为4，公差为2的等差数列，其中k＞0，且k≠1，设c n=a n lga n，若{c n}中的每一项恒小于它后面的项，则实数k的取值范围为∪（1，+∞）．【解答】解：∵log k a n=4+2（n﹣1）=2n+2，∴a n=k2n+2．∴==k2．∴数列{a n}是等比数列，首项为k4，公比为k2．∴c n=a n lga n=（2n+2）•k2n+2lgk．要使c n＜c n对∀n∈N*恒成立，∴（2n+2）•k2n+2lgk＜（2n+4）k2n+4•lgk，化为：+1（n+1）lgk＜（n+2）•k2•lgk．当k＞1时，lgk＞0，化为：（n+1）＜（n+2）•k2．此式恒成立．当0＜k＜1时，lgk＜0，化为：（n+1）＞（n+2）•k2．对n∈N*恒成立，只需k2＜，∵=1﹣单调递增，∴当n=1时，=．∴k2，且0＜k＜1，∴．综上可得：∪（1，+∞）．故答案为：∪（1，+∞）．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为Aa，b，c，且满足=（1）若4sinC=c2sinB，求△ABC的面积；（2）若+=4，求a的最小值．【解答】解：（1）由正弦定理，可得==1，即有tanA=，由0＜A＜π，可得A=，由正弦定理可得4c=bc2，即有bc=4，△ABC的面积为S=bcsinA=×4×=；（2）+=4，可得c2﹣accosB=4，由余弦定理，可得2c2﹣（a2+c2﹣b2）=8，即b2+c2﹣a2=8，又a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，即有bc=8，由a2=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，当且仅当b=c时，a取得最小值，且为2．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）在数列{b n}中，b1=5，b n+1=b n+a n，求数列{log9（b n﹣4）}的前n项和T n．【解答】解：（I）∵S n=﹣1（n∈N*），∴当n=1时，a1=﹣1，解得a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为：a n=3a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为3．∴a n=2•3n﹣1．（II）∵b n=b n+a n，+1﹣b n=2×3n﹣1．∴b n+1∴b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=2×（3n﹣2+3n﹣3+…+3+1）+5=2×+5=3n﹣1+4．∴log9（b n﹣4）==．∴数列{log9（b n﹣4）}的前n项和T n==．19．（12分）某市政府欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形OPRE（线段EO和RP为两条底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中曲线AF是以A为顶点、AD 为对称轴的抛物线的一部分．（1）求曲线AF与AB，BF所围成区域的面积；（2）求该公园的最大面积．【解答】解：（1）以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设曲线AF所在抛物线方程为y=ax2（a＞0），∵抛物线过F（2，4），∴4=a×22，得a=1．∴AF所在抛物线方程为y=x2．则曲线AF与AB，BF所围成区域的面积km2；（2）又E（0，4），C（2，6），则EC所在直线方程为y=x+4．设P（x，x2）（0＜x＜2），则PO=x，OE=4﹣x2，PR=4+x﹣x2，∴公园的面积S=（0＜x＜2）．∴S′=﹣3x2+x+4，令S′=0，得x=或x=﹣1（舍去）．当x变化时，S′和S的变化情况如下表：极大值当x=时，S取得最大值．故该公园的最大面积为．20．（12分）已知数列{a n}，a1=2，当n≥2时，a n=2a n﹣1+3•2n﹣1（1）求数列{}及数列{a n}的通项公式；（2）令c n=2a n﹣3•2n，设T n为数列{c n}的前n项和，求T n．【解答】解：（1）a1=2，当n≥2时，a n=2a n﹣1+3•2n﹣1即有=+，则数列{}是以1为首项，为公差的等差数列，=1+（n﹣1）=，即有a n=（3n﹣1）•2n﹣1；（2）c n=2a n﹣3•2n=（3n﹣4）•2n；T n=（﹣1）•2+2•22+5•23+…+（3n﹣4）•2n，2T n=（﹣1）•22+2•23+5•24+…+（3n﹣4）•2n+1，两式相减可得，﹣T n=﹣2+3（22+23+24+…+2n）﹣（3n﹣4）•2n+1=﹣2+3•﹣（3n﹣4）•2n+1，化简可得T n=14+（3n﹣7）•2n+1．21．（12分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2．（1）当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若x∈[﹣，]，求函数g（x）=f2（x）﹣f（x+）﹣1的值域．【解答】解：（1）函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2．=[2sin（x+）]2﹣2=4sin2（x+）﹣2=2[1﹣cos（2x+）]﹣2=﹣2cos（2x+），∴f（x）=﹣2cos（2x+），可以令2kπ≤2x+≤π+2kπ，k∈Z，∴kπ﹣≤x≤+kπ，∵x∈[0，]，∴函数f（x）的单调递增区间[0，]．（2）g（x）=f2（x）﹣f（x+）﹣1=×4cos2（2x+）+2cos[2（x+）+]﹣1 =2cos2（2x+）+2cos（2x++）﹣1=2cos2（2x+）﹣2sin（2x+）﹣1=2﹣2sin2（2x+）﹣2sin（2x+）﹣1=﹣2sin2（2x+）﹣2sin（2x+）+1∴g（x）=﹣2sin2（2x+）﹣2sin（2x+）+1令sin（2x+）=t，∵x∈[﹣，]，∴﹣≤2x≤，∴≤2x+≤，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴t∈[﹣，1]，∴y=﹣2t2﹣2t+1，t∈[﹣，1]，=﹣2（t+）2+1+=﹣2（t+）2+，∴最大值为，最小值为﹣3．∴值域为[﹣3，]．22．（12分）设函数f（x）=mlnx+（m﹣1）x．（1）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．（2）当m=1时，试问方程xf（x）﹣=﹣是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．当m≤0时，由x＞0知f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．当m≥1时，由x＞0知f′（x）＞0恒成立，此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．当0＜m＜1时，由f'（x）＞0，得x＜，由f'（x）＜0，得x＞，此时f（x）在区间（0，）内单调递增，在区间（，+∞）内单调递减．所以当0＜m＜1时函数f（x）有最大值，最大值M=f（）=mln﹣m．因为M＞0，所以有mln﹣m＞0，解之得m＞．所以m的取值范围是（，1）．（2）m=1时，方程可化为xlnx=﹣．设h（x）=xlnx，则h′（x）=1+lnx，∴x∈（0，），h′（x）＜0，x∈（，+∞），h′（x）＞0，∴h（x）min=h（）=﹣，设g（x）=﹣．g′（x）=，0＜x＜1时，g′（x）＞0，x＞1时，g′（x）＜0，∴g（x）max=g（1）=﹣，∵≠1，∴h （x ）＞g （x ）在区间（1，+∞）上恒成立， ∴方程xf （x ）﹣=﹣没有实数根．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 图象定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式x(0,1)O1y =x(0,1)O 1y =log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。
山西省怀仁县第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试文数试题(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：每小题5分,共60分.1. 下列符号判断正确的是（）A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
【答案】C【解析】错误！未找到引用源。
，故错误！未找到引用源。
为第三象限角，其正切值为正数，错误！未找到引用源。
选项正确.点睛：本题主要考查弧度制，考查弧度与实数的对应关系，考查三角函数定义和三角函数在各个象限的正负.由于题目所给角是用弧度来表示的，那么就要和错误！未找到引用源。
进行比较，将错误！未找到引用源。
代入可知错误！未找到引用源。
，故错误！未找到引用源。
为第三象限角.根据三角函数的定义可知三角函数在各个象限的正负.2. 设向量错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（）A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
【答案】B【解析】错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
3. 已知错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（）A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
【答案】D【解析】错误！未找到引用源。
.4. 已知向量错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，若错误！未找到引用源。
为实数，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（）A. 2B. 1C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
【答案】C【解析】错误！未找到引用源。
和错误！未找到引用源。
平行，故错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
.5. 若向量错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
的夹角等于（）A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。