离散数学-网络模型
7-4离散系统的数学模型全篇
2. 线性常系数差分方程及其解法
c(k
)
a1c(k b1r(k
11))ba22rc((kk22))bamnrc((kk
n) m)；
n
m
c(k) aic(k i) bjr(k j)；
i 1
j 1
后向差分方程：时间概念清楚，便于编制程序。
c(kn) a1c(kn 1) a2c(kn 2) anc(k) b1r(kn 1) b2r(kn 2) bmr(kn m)；
n
m
c(k n) aic(k n i) bjr(k n j)；
i 1
j 1
前向差分方程：便于讨论系统阶次、使用Z变换 法计算初始条件不为零的解。
上述几个差分方程在书写上都很烦琐，为书 写简便可采用时间移动算子。
0.1 0.4 16k 0.3 81k
c(nT
)
0.1 0.8 16k 0.1 1.6 16k
0.9 81k 2.7 81k
0.1 3.2 16k 8.1 81k
k 0, 1, 2, 3, 4, ；
n 4k
n 4k 1 ； n 4k 2
n 4k 3
3. 脉冲传递函数(定义、意义) 使用 脉冲传递函数，便于分析和校正线性离
c(k) 0.5c(k 1) 0.5c(k 2) r(k)； r(k) 1(k)； c(k) 0, k 0；
试用递推法计算输出序列c(k)，k= 0,1,2,…。
解例7采-16用-1递续推关系 c(k) = 1+0.5c(k-1)– 0.5c(k-2)；
c(0) 1； c(1) 1 0.5 1.5；
c(2) 1 0.51.5 0.5 1.25； c(3) 1 0.51.25 0.51.5 0.875；
数学中的模型
数学中的模型1. 引言在数学领域中，模型被广泛应用于解决各种实际问题。
模型是数学的抽象表示，能够帮助我们理解和分析现实世界中复杂的现象。
本文将探讨数学中常见的几种模型，并介绍它们的应用领域和解决问题的方法。
2. 线性回归模型线性回归模型是一种最简单、最常见的模型，常用于建立变量之间的线性关系。
在统计学中，线性回归模型用于预测和解释变量之间的关系。
通过拟合一条直线来表示变量之间的线性关系，我们可以根据已知数据预测未知数据的值。
线性回归模型广泛应用于经济学、市场分析等领域。
3. 概率模型概率模型是研究随机变量之间关系的重要工具。
概率模型的基本思想是利用概率理论来描述和分析变量之间的不确定性。
概率模型常用于风险评估、统计推断等问题。
例如，在金融领域，概率模型被广泛应用于股票价格的预测和风险管理。
4. 离散数学模型离散数学模型是研究离散结构和离散运算的数学模型。
离散数学模型在计算机科学和信息技术中有着广泛的应用。
图论和网络优化就是离散数学模型的典型代表。
图论研究顶点和边构成的图的性质和运算规则，网络优化则研究在网络中找到最优解的问题。
5. 动态系统模型动态系统模型是研究具有时间演化规律的系统的数学模型。
动态系统模型广泛应用于物理学、生物学和工程学等领域。
通过建立微分方程或差分方程来描述系统的演化，我们可以预测未来的行为和状态。
在天气预报和经济学中，动态系统模型被用于预测和决策支持。
6. 最优化模型最优化模型是研究如何找到最佳解决方案的数学模型。
最优化模型在运筹学和管理科学中有着广泛的应用。
最优化模型可以帮助我们在众多可行解中找到最优解。
例如，在生产调度和资源分配中，最优化模型可以帮助我们最大化效益或最小化成本。
7. 结论数学中的模型是解决实际问题的有力工具。
无论是线性回归模型、概率模型、离散数学模型、动态系统模型还是最优化模型，它们都在各自的领域发挥着重要作用。
通过建立和分析模型，我们可以更好地理解和解决现实世界中的复杂问题。
离散数学的概念总结
图论基本概念重要定义：有向图：每条边都是有向边的图。
无向图：每条边都是无向边的图。
混合图：既有有向边又有无向边的图。
自回路：一条边的两端重合。
重数：两顶点间若有几条边，称这些边为平行边，两顶点a,b间平行边的条数成为（a,b）的重数。
多重图：含有平行边的图。
简单图：不含平行边和自回路的图。
注意！一条无向边可以用一对方向相反的有向边代替，因此一个无向图可以用这种方法转化为一个有向图。
定向图：如果对无向图G的每条无向边指定一个方向由此得到的有向图D。
称为的G定向图. 底图：如果把一个有向图的每一条有向边的方向都去掉，得无向图G称为的D底图。
逆图：把一个有向图D的每条边都反向由此得到的图称为D的逆图。
赋权图：每条边都赋上了值。
出度：与顶点相连的边数称为该定点的度数，以该定点为始边的边数为出度。
入度：以该定点为终边的边数为入度。
特殊！度数为零的定点称为孤立点。
度数为一的点为悬挂点。
无向完全图：在阶无向图中如果任何两点都有一条边关连则称此图是无向完全图。
Kn完全有向图：在阶有向图中如果任意两点都有方向相反的有向边相连则称此图为完全有向图。
竟赛图：阶图中如果其底图是无向完全图，则程此有向完全图是竟塞图。
注意！n阶有向完全图的边数为n的平方；无向完全图的边数为n(n-1)/2。
下面介召图两种操作：①删边：删去图中的某一条边但仍保留边的端点。
②删点：删去图中某一点以及与这点相连的所有边。
子图：删去一条边或一点剩下的图。
生成子图：只删边不删点。
主子图：图中删去一点所得的子图称的主子图。
补图：设为阶间单无向图，在中添加一些边后，可使成为阶完全图；由这些添加边和的个顶点构成的图称为的补图。
重要定理：定理5.1.1 设图G是具有n个顶点m条边的有向图，其中点集V={v,v, (v)deg+(vi)=deg-(vi)=m定理5.1.2 设图G是具有n个顶点m条边的无向图，其中点集V={v,v,v, (v)deg(vi)=2m推论在无向图中，度数为积数的顶点个数为偶数。
离散数学在计算机中的应用(一)
离散数学在计算机中的应用(一)离散数学在计算机中的应用1. 布尔代数（Boolean Algebra）布尔代数是离散数学中的一个分支，它在计算机科学中有着广泛的应用。
布尔代数主要研究逻辑运算和二进制数字系统。
在计算机中，布尔代数用于逻辑电路的设计和分析，如与门、或门、非门等。
布尔代数的原理为计算机内部的逻辑运算提供了基础。
2. 集合论（Set Theory）集合论是离散数学的另一个重要分支，它在计算机科学中也有着广泛的应用。
在计算机中，集合论用于数据的存储和处理。
例如，数据库系统中使用集合论的概念来表示和操作数据集合，例如关系代数和关系演算。
另外，集合论的概念也被用于算法设计和分析中，例如集合的交集、并集和差集等操作。
3. 图论（Graph Theory）图论是离散数学中的一个分支，它研究图的性质和图的应用。
在计算机科学中，图论被广泛应用于解决各种问题，如网络路由、社交网络分析、搜索引擎优化等。
例如，使用图论的算法可以在互联网中找到最短路径，帮助搜索引擎快速检索相关结果。
此外，图的着色和匹配问题也被用于任务调度和资源分配等方面。
4. 数理逻辑（Mathematical Logic）数理逻辑是离散数学中的一个重要分支，它研究命题的真假和推理的规律。
在计算机科学中，数理逻辑被广泛应用于计算机程序的验证和验证工具的设计。
例如，使用数理逻辑的模型检测方法可以自动验证程序的正确性，帮助程序员发现潜在的错误。
此外，数理逻辑的概念也被用于设计数据库查询语言和编程语言的语义。
5. 组合数学（Combinatorics）组合数学是离散数学中研究离散结构的一门学科，它关注事物之间的选择、排列和组合方式。
在计算机科学中，组合数学被广泛应用于算法设计和分析。
例如，在密码学中，组合数学的概念被用于设计和分析密码系统的安全性。
此外，组合数学的技术也被用于网络优化、图像处理和信息检索等领域。
6. 概率论（Probability Theory）概率论是离散数学中研究随机事件的概率分布和统计规律的学科。
第五章图论与网络模型-推荐下载
有如下性质：① Σ v ∈ Vd（v）＝ ２ ｜E｜ ；② 图中次数为奇数的顶点必为偶数个；③ Σ v ∈ Vd ＋ （v ）＝ Σ v ∈ Vd － （v） ．每个 顶点的度为n － １ 的n 阶无向图称为n 阶无向完 全图，记为K n ．每个顶点的出度和入度均为n － １ 的n 阶有向图称为n 阶有向完全图，也记为K n ．若G 的顶点集V 可分成两个不相交的非空子集V １ ，V ２ ，使G 的每条边的端点，一个属于V １ ，另一个属于V ２ ，则称G 为二分图或偶图，记为 G ＝ （V １ ，V ２ ，E） ．若简单二分图G ＝ （V １ ，V ２ ，E）中V １ 的每个顶点与V ２ 的 所有顶点相邻，则称G为完全二分图，记为K n ，m ，其中n ＝ ｜V １ ｜ ，m ＝ ｜V ２ ｜ ．图论 中的图与位置、大小、形状、面积、体积等几何要 素无关，是一种更抽象的图．图的最本质的内容实 际上就是一个二元关系，即点与边的关联关系．因 此具有二元关系的系统或结构便可用图作为数学模 型，且图具有直观性和艺术性，应用相当广泛． 设G ＝ （V ，E） ，G′ ＝ （V′ ，E′） ，若 V′ 彻V ，E 彻E′ ，则称G′为G的子图．特别地， 若V′ ＝ V ，则称G′为G 的生成子图；若V′ 彻V ，E′含G 在V′之间的所有边，则称G′为由V′导 出的子图，记为G［V′］ ，· １７０ · 数学建
离散数学模型的应用研究
离散数学模型的应用研究离散数学是一门基础学科，其涉及许多数学工具和理论，能够应用于许多实际问题的建模和解决。
离散数学模型能够模拟现实世界中许多问题，并且能够进行有效的算法设计和优化，广泛应用于计算机科学、通信、运筹学等领域。
以下将介绍离散数学模型在不同领域的应用研究。
一、图论模型图论是离散数学中的一个重要分支，它研究图和网络结构方面的理论和应用。
在计算机科学中，许多问题都可以转化成图论问题进行研究，比如最小生成树问题、最优路径问题、最大流问题等。
此外，图也被广泛应用于通信网络中的路由算法、分布式系统中的资源分配和调度、社交网络分析等领域。
二、组合数学模型组合数学是研究离散对象组合问题的学科，其研究范围包括排列组合、图论、编码理论等诸多方面。
组合数学模型被广泛应用于计算机科学中的算法设计和分析。
比如，在密码学中，基于组合数学的公钥密码、哈希函数等算法被广泛应用于数据保护中。
三、布尔代数模型布尔代数是一种代数系统，其中所有变量都只有两个取值，常用于逻辑运算的表示和计算。
布尔代数模型在计算机科学中有着广泛的应用，如逻辑电路设计、计算机体系结构等领域。
四、离散优化模型离散优化是一种数学工具，它对约束条件和目标函数为离散或组合形式的优化问题进行建模和求解。
离散优化模型被广泛应用于运筹学、制造业、物流管理等领域。
比如，在制造业中，可以利用离散优化模型来进行生产排程、库存管理等工作。
总的来说，离散数学模型在实际问题的建模和解决中具有广泛的应用，不仅可以用于计算机科学领域，还可以用于其他领域，如数学建模、经济学、社会学、工程科学等领域。
离散数学实验报告(两篇)
引言：离散数学是一门基础性的数学学科，广泛应用于计算机科学、电子信息等领域。
本文是《离散数学实验报告（二）》，通过对离散数学实验的深入研究和实践，总结了相关的理论知识和应用技巧，希望能够对读者对离散数学有更加深入的理解。
概述:本实验主要涉及离散数学中的集合、关系、图论等基本概念及其应用。
通过对离散数学的实验学习，深入掌握了这些概念和应用，对于在实际问题中的应用和拓展具有重要的意义。
正文内容：一、集合相关概念及应用1.定义：集合是由元素组成的无序的整体。
介绍了集合的基本概念、集合的表示法以及集合的运算。
2.集合的应用：介绍了集合在数学、计算机科学中的应用，如数据库的查询、关系代数等。
二、关系相关概念及应用1.定义：关系是一个元素与另一个元素之间的对应关系。
介绍了关系的基本概念、关系的表示方法及其运算。
2.关系的应用：介绍了关系在图像处理、社交网络分析等领域的应用，如图像中的像素点之间的关系、社交网络中用户之间的关系等。
三、图论基础知识及应用1.定义：图是由顶点和边组成的抽象的数学模型。
介绍了图的基本概念、图的表示方法和图的运算。
2.图论的应用：介绍了图论在路由算法、电子商务等领域的应用，如路由器的路由选择、电子商务中的商品推荐等。
四、布尔代数的概念及应用1.定义：布尔代数是一种基于集合论和逻辑学的代数系统。
介绍了布尔代数的基本概念、布尔表达式及其化简方法。
2.布尔代数的应用：介绍了布尔代数在电路设计、开关控制等方面的应用，如逻辑门电路的设计、开关控制系统的建模等。
五、递归的概念及应用1.定义：递归是一种通过调用自身来解决问题的方法。
介绍了递归的基本原理、递归的应用技巧。
2.递归的应用：介绍了递归在算法设计、树的遍历等方面的应用，如快速排序算法、树结构的遍历等。
总结：通过本次离散数学的实验学习，我深入掌握了集合、关系、图论等基本概念与应用。
集合的应用在数据库查询、关系代数等方面起到了重要的作用。
关系的应用在图像处理、社交网络分析等领域有广泛的应用。
离散数学在计算机领域的应用
离散数学在计算机领域的应用离散数学是一门研究离散结构及其性质的数学学科，主要包括集合论、图论、代数结构、逻辑学等内容。
离散数学在计算机领域中具有广泛的应用，主要涉及算法设计与分析、计算机网络、编译原理、密码学等方面。
下面将具体介绍离散数学在计算机领域的应用。
一、算法设计与分析算法是计算机科学的核心。
离散数学中的图论、集合论等内容为算法设计与分析提供了基础理论。
图论中的最短路径算法、最小生成树算法以及网络流算法等，被广泛应用于计算机网络、图像处理等领域的算法设计与优化中。
集合论为计算机科学中的集合操作、算法等提供了数学基础。
二、计算机网络计算机网络是信息交流的基础设施，离散数学在计算机网络中有着重要的应用。
图论提供了网络拓扑结构的分析工具，通过图模型可以对网络中的节点、边以及其它拓扑关系进行描述和分析。
网络流理论、关系理论等离散数学的工具也可以用于路由算法设计、分析网络传输的性能等方面。
此外，集合论、逻辑学等离散数学内容还可以用于描述计算机网络的约束条件、协议验证等方面。
三、编译原理编译器是将高级程序语言转换为机器语言的程序，它是计算机系统中重要的组成部分。
离散数学中的形式语言、自动机理论为编译器设计提供了基础。
形式语言中的正则表达式、上下文无关文法等可以用于描述编程语言的语法结构。
自动机理论中的有限自动机、正则自动机等可以用于词法分析和语法分析的建模与分析。
这些数学工具可以帮助程序员设计和实现高效的编译器。
四、密码学密码学是研究信息安全与加密算法的学科，离散数学中的数论、代数结构为密码学提供了基础理论。
数论中的大数分解、离散对数问题等是现代公钥密码学中的关键问题，而代数结构则是对称密钥密码学的理论基础。
离散数学提供了加密算法的安全性分析方法和加密算法的设计原则，如基于离散对数、椭圆曲线等的加密算法。
总之，离散数学在计算机领域有着广泛而重要的应用。
离散数学中的图论、集合论、逻辑学、形式语言等内容为计算机科学的算法设计与分析、计算机网络、编译原理、密码学等方面提供了理论基础和方法论。
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14
算法思想
1. 从流量0开始 2. 查找满足定理的通路，如果不存在，结
束，流量就是最大的
3. 通路增加流量∆，goto 2
15
输入：网络G，容量C，a,z,n 输出：最大流量F Procedure max_flow(a,z,C,v,n) // v的标记为 (predecessor(v)/前趋结
24
起点a的流出流量＝终点z的流入流量，这个流 量称作流量F的值
网络流中的核心问题：最大流量
b
3,2
码头a
5,3
d
22,2 e
炼油厂z
6
超级源、汇
6 b4A
6 b4A
w1
∞ w1
w2
3
22 c
∞3 a w2
w3 3
34
∞
d
B
∞
2
z
c
∞
34
w33 d
B
7
使用网络流表示问题
P458：例10.1.9 P459：习题1～7
8
最大流算法
传输网络G的一个最大流量是具有最大值 的流量，最大流可能存在多个；
基本思想：从初始流量开始，反复增加， 直至不能再增大。
9
通路
p= (v0, v1, …, vn)，v0=a，vn=z 是从a到z的 一条通路；
如果在p中边e是从 vi-1 指向 vi 则称是定向 的，否则称是非定向的
离散数学
黄晓宇 HuangSir@
1
本讲内容
网络模型的基本概念 最大流算法 最大流最小割 匹配
2
引例
b 3 码头a
5 d
2c 4
2 4
2e
炼油厂z
求出从码头到炼油厂的最大流量
3
定义
一个传输网络是一个满足下列条件的简 单加权有向图
1. 一个源 2. 一个汇 3. 有向边(i,j)的权 Cij 是非负数，称为容量
点，val(v)/结点v的流量增量
16
17
//没有新的通路
18
//正向边
19
//反向边
20
21
//增量F
22
b
2,0 c (b, 2)
3,0
(a, 3)
4,0
a
(-, ∞)
b 2,0
(c, 2)
(a, 5)
5,0
d
4,0 2,0 e
b
2,2 c (d, 2)
3,2
(a, 1)
4,2
a
(-, ∞)
10
通路（az）
11
四种情况
3，1 3，2
4，1 4，0
3，2 3，3
5，1 5，2
12
定义
设P是网络G中从 a 到 z 的通路，其中容 量为 C，流量为 F, 满足：
I. 对P中定向的边 (i,j), Fi,j < Ci,j II. 对P中非定向的边 (i,j), 0 < Fi,j
Ci,j – Fi,j如果(i,j)一致定向的边
b 2,0 (c, 2)
(a, 5)
5,0
(d, 2) 4,0
d
2,0 e
23
b 2,2 c
3,2
(a, 1)
4,4
a
(-, ∞)
b 2,2 (e, 2)
(a, 3)
5,2
d
(d, 2) 4,0 2,0 e
b 2,2 c
3,2
(a, 1)
4,4
a
(-, ∞)
b 2,2
(a, 1)
4,2
5,4
d
2,2 e
Xi,j =
Fi,j如果(i,j)是非一致定向的边
13
令 ∆ = mini {Xi,j} i,j= 1,...,n
定义 Fi,j*=
Fi,j
(i,j) 不在 P中
Fi,j + ∆ (i,j)是P中定向的边
Fi,j - ∆ (i,j)是P中非定向的边
则F* = {Fi,j*} 是一个流量比 F 增值 ∆d的流.
一个网络的流量是对每边赋流量值，该 值不超过所在边的容量。
4
定义（二）
G是一个传输网络， Cij是 (i,j)的容量。 G 的一个流量F 赋予 (i,j) 值Fij，满足：
Fij ≤ Cij
对非源点和收点i和j，有
Fij Fij
中间节点j 的流出流i量 ＝流入流量
5
定义（三）
网络流量