华南理工网络教育离散数学同步练习册

离散数学同步练习册学号＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿专业＿＿＿＿＿＿＿＿教学中心＿＿＿＿＿＿＿＿华南理工大学二O一O年九月第一章命题逻辑一填空题（1）设：p：派小王去开会。

q：派小李去开会。

则命题：“派小王或小李中的一人去开会”可符号化为：p∨q。

（2）设A，B都是命题公式，A⇒B，则A→B的真值是T 。

（3）设：p：刘平聪明。

q：刘平用功。

在命题逻辑中，命题：“刘平不但不聪明，而且不用功”可符号化为：﹃p∧﹃q 。

（4）设A , B 代表任意的命题公式，则蕴涵等值式为A → B⇔﹃P∨Q 。

（5）设，p：径一事；q：长一智。

在命题逻辑中，命题：“不径一事，不长一智。

”可符号化为：﹃p→﹃q 。

（6）设A , B 代表任意的命题公式，则德•摩根律为⌝（A ∧ B）⇔﹃A∨﹃B 。

（7）设，p：选小王当班长；q：选小李当班长。

则命题：“选小王或小李中的一人当班长。

”可符号化为：(A∧﹃B)∨(﹃A∧B) 。

（8）设，P：他聪明；Q：他用功。

在命题逻辑中，命题：“他既聪明又用功。

”可符号化为：P∧Q 。

（9）对于命题公式A，B，当且仅当A→B 是重言式时，称“A 蕴含B”，并记为A⇒B。

（10）设：P：我们划船。

Q：我们跑步。

在命题逻辑中，命题：“我们不能既划船又跑步。

”可符号化为：﹃(P∧Q) 。

（11）设P , Q是命题公式，德·摩根律为：⌝（P∨Q）⇔﹃P∧﹃Q 。

（12）设P：你努力。

Q：你失败。

在命题逻辑中，命题：“除非你努力，否则你将失败。

”可符号化为：﹃P→Q。

（13）设p：小王是100米赛跑冠军。

q：小王是400米赛跑冠军。

在命题逻辑中，命题：“小王是100米或400米赛跑冠军。

”可符号化为：p∨q。

（4）设A，C为两个命题公式，当且仅当 A →C 为一重言式时，称C可由A逻辑地推出。

二．判断题1.设A，B是命题公式，则蕴涵等值式为A→B⇔⌝A∧B。

（F ）2.命题公式⌝p∧q∧⌝r是析取范式。

（T ）3.陈述句“x + y > 5”是命题。

（T ）4.110 (p=1,q=1, r=0)是命题公式((⌝(p∧q))→r)∨q 的成真赋值。

（T ）5.命题公式p→(⌝p∧q) 是重言式。

（ F ）6.设A，B都是合式公式，则A∧B→⌝B也是合式公式。

（ F ）7.A∨(B∧C)⇔( A∨B)∨(A∨C)。

（F ）8.陈述句“我学英语，或者我学法语”是命题。

（T ）9.命题“如果雪是黑的，那么太阳从西方出”是假命题。

（T ）10.“请不要随地吐痰！”是命题。

（ F ）11.P →Q ⇔⌝P∧Q 。

（ F ）12.陈述句“如果天下雨，那么我在家看电视”是命题。

（T ）13.命题公式（P∧Q）∨（⌝R→T）是析取范式。

（T ）14.命题公式(P∧⌝Q)∨R∨ (⌝P∧Q) 是析取范式。

（T ）三、选择题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的内。

1．设：P：天下雪。

Q：他走路上班。

则命题“只有天下雪，他才走路上班。

”可符号化为（1）。

（1）P→Q（2）Q → P（3）⌝ Q →⌝ P（4）Q ∨⌝P2．(1 ) 明年国庆节是晴天。

(2 ) 在实数范围内，x+y〈3。

(3 ) 请回答这个问题！(4 ) 明天下午有课吗？在上面句子中，是命题的只有(2 ) 。

3．命题公式A与B是等值的，是指(4 ) 。

（1）A与B有相同的命题变元（2）A↔B是可满足式（3）A→B为重言式（4）A↔B为重言式4．(1 ) 雪是黑色的。

(2 ) 这朵花多好看呀！。

(3 ) 请回答这个问题！(4 ) 明天下午有会吗？在上面句子中，是命题的是(1 ) 。

5．设：P：天下大雨。

Q：他乘公共汽车上班。

则命题“只要天下大雨，他就乘公共汽车上班。

”可符号化为（2）。

（1）Q→P（2）P → Q（3）⌝ Q →⌝ P（4）Q ∨⌝P6．设：P：你努力；Q：你失败。

则命题“除非你努力，否则你将失败。

”在命题逻辑中可符号化为（3）。

（1）Q→P（2）P→Q（3）⌝P→Q（4）Q∨⌝P7．(1 ) 现在开会吗？(2 ) 在实数范围内，x+y >5。

(3 ) 这朵花多好看呀！(4 )离散数学是计算机科学专业的一门必修课。

在上面语句中，是命题的只有(2 ) 。

8．设：P：天气好。

Q：他去郊游。

则命题“如果天气好，他就去郊游。

”可符号化为（1）（1）P→Q （2）Q → P（3）⌝ Q →⌝ P （4）Q ∨⌝P9．下列式子是合式公式的是（4）。

（1）（P∨→Q）（2）⌝（P→（Q∨R））（3）（P ⌝Q）（4）∧Q→R10．（1）1＋101＝110 （2）中国人民是伟大的。

（3）全体起立！（4）计算机机房有空位吗？在上面句子中，是命题的是（1）。

11．设：P：他聪明；Q：他用功。

则命题“他虽聪明但不用功。

”在命题逻辑中可符号化为（4）。

（1）P ∧Q（2）P→Q（3）P∨⌝Q（4）P∧⌝Q12．(1 ) 如果天气好，那么我去散步。

(2 ) 天气多好呀！(3 ) x=3。

(4 ) 明天下午有会吗？在上面句子中(1 ) 是命题。

13．设：P：王强身体很好；Q：王强成绩很好。

命题“王强身体很好，成绩也很好。

”在命题逻辑中可符号化为（4）。

（1）P ∨Q（2）P→Q（3）P∧⌝Q（4）P∧Q四、解答题1．设命题公式为（⌝p→q）→（q→⌝p）。

（1）求此命题公式的真值表；（2）给出它的析取范式；（3）判断该公式的类型。

（1）（2）（⌝p ∧⌝q）∨⌝p∨⌝q（3）可满足式2．设命题公式为（p → q）∧（p ∨ r）。

（1）求此命题公式的真值表；（2）给出它的析取范式；（3）判断该公式的类型。

（1）(2)(p∧q) ∨( ⌝p ∧r) ∨(p∧r)(3) 可满足式3．设命题公式为⌝Q∧（P→Q）→⌝P。

（1）求此命题公式的真值表；（2）求此命题公式的析取范式；（3）判断该命题公式的类型。

（1）(2) ⌝ P∨（P∧⌝Q）(3) 可满足式4．完成下列问题（1）求此命题公式⌝Q∧（P→Q）→⌝P 的真值表；（2）求命题公式（P∧（Q→R））→S的析取范式。

（1）同上表（2）⌝P∨(Q ∧⌝ R)∨S5．设命题公式为（P ∧（P→Q））→Q。

（1）求此命题公式的真值表；（2）判断该公式的类型。

（1）(2) 可满足式6．设命题公式为（（P ∨Q）∧⌝P）→Q。

（1）求此命题公式的真值表；（2）给出它的析取范式；（3）判断该公式的类型。

(1)(2) P ∨Q(⌝P∧⌝Q)(3)重言式7．用直接证法证明前提：P∨Q，P→R，Q→S结论：S→R证明：8．用直接证法证明前提：P→ (Q∨R)，S→⌝Q，P，S。

结论：R证明：S→⌝Q，S推出⌝Q （假言推论）P→ (Q∨R)，P推出Q∨R （假言推论）⌝Q ，Q∨R推出R （析取三段论）第二章谓词逻辑一填空题（1）若个体域是含三个元素的有限域{a，b，c}，则A(x)⇔ A(a)∨A(b)∨A(c)（2）取全总个体域，令F(x)：x为人,G(x)：x爱看电影。

则命题“没有不爱看电影的人。

”可符号化为__⌝(∃x_(F(x)∧⌝_ G(x)))_________________________________。

（3）若个体域是含三个元素的有限域{a，b，c}，则∀xA(x)⇔A(a) ∧A(b) ∧A(c) 。

（4）取全总个体域，令M(x)：x是人,G(y)：y是花, H(x,y)：x喜欢y。

则命题“有些人喜欢所有的花。

”可符号化为_∃x∃y (_M(x) ∧ H(x,y)∧G(y))_______________________。

（5）取个体域为全体人的集合。

令F(x)：x在广州工作,G(x)：x是广州人。

在一阶逻辑中，命题“在广州工作的人未必都是广州人。

”可符号化为_∃x (F(x)∧⌝ G(x))____________________________________。

（6）P(x)：x是学生，Q(x)：x要参加考试。

在谓词逻辑中，命题：“每个学生都要参加考试”可符号化为：∀x(P(x)→Q(x) ) 。

（7）M(x)：x是人，B(x)：x勇敢。

则命题“有人勇敢，但不是所有的人都勇敢”谓词符号化为_∃x(M(x) ∧B(x))∧⌝(∀x(M(x)→B(x)))__________________________________________。

（8）P(x)：x是人，M(x)：x聪明。

则命题“尽管有人聪明，但不是一切人都聪明”谓词符号化为_∃x(P(x) ∧M(x))∧⌝(∀x(P(x) →M(x)))_________________________________________。

（9）I(x)：x是实数，R(x)：x是正数，N(x)：x是负数。

在谓词逻辑中，命题：“任何实数或是正的或是负的”可符号化为：∀x(I(x) → R(x)∨R(x)。

（10）P(x)：x是学生，Q(x)：x要参加考试。

在谓词逻辑中，命题：“每个学生都要参加考试”可符号化为：∀x(P(x)→Q(x) ) 。

（11）令M(x)：x是大学生,P(y)：y是运动员, H(x, y)：x钦佩y。

则命题“有些大学生不钦佩所有运动员。

”可符号化为 __∃x∀y(M(x) ∧⌝P(y)∧H(x, y)) ______________ _______。

二．判断题1.设A，B都是谓词公式，则∀x A↔⌝B也是谓词公式。

（T ）2.设c是个体域中某个元素，A是谓词公式，则A(c)⇒∀xA(x)。

（F ）3.∀x∀yA(x,y)⇔∀y∀xA(x,y) 。

（T ）4.∀x∃yA(x,y)⇔∃y∀xA(x,y) 。

（F ）5.取个体域为整数集，则谓词公式∀x∀y(x ⨯ y = y ) 是假命题。

（T ）6.(∀x)（P(x)→Q(x)）⇔ (∀x)（⌝P(x) ∨Q(x)）。

（T ）7.命题公式(P∧⌝Q∨ R) ∨ (⌝P∧Q) 是析取范式。

（F ）8.谓词公式(∀x)(A (x) → B(x, y)) ∧R(x) 的自由变元为x, y。

（F ）9.（（∀x）A（x）→B）⇔（∃x）（A（x）→B）。

（F ）10.R(x)：“x是大学生。

”是命题。

（T ）三、选择题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的内。

1．设F（x）：x是火车，G（x）：x是汽车，H（x，y）：x比y快。

命题“某些汽车比所有火车慢”的符号化公式是(2) 。

（1）∃y（G（y）→∀x（F（x）∧H（x，y）））（2）∃y（G（y）∧∀x（F（x）→H（x，y）））（3）∀x ∃y（G（y）→（F（x）∧H（x，y）））（4）∃y（G（y）→∀x（F（x）→H（x，y）））2．设个体域为整数集，下列真值为真的公式是(3) 。