-2016年长沙市中考数学试题及答案

初中毕业学业水平考试数学试卷 第1页（共4页）

2016年长沙市初中毕业学业水平考试试卷

数 学

注意事项：

1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考

证号、考室和座位号；

2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；

4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁; 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；

6．本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分.

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意

的选项. 本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．下列四个数中，最大的数是

A ．2-

B ．1

3

C ．0

D ．6

2．大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于2016年年底通车. 通车后，从长沙到株洲只需24分钟，从长沙到湘潭只需25分钟，这条铁路线全长95500米，则数据95500用科学记数法表示为 A ．50.95510? B ．59.5510? C ．49.5510?

D ．49.510? 3．下列计算正确的是

A

B ．8

2

4

x x x ÷= C ．33(2)6a a = D ．326326a a a = 4．六边形的内角和是

A ．540?

B ．720?

C ．900?

D ．360?

5．不等式组215

840x x -≥??-

的解集在数轴上表示为

A B C D

6．下图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是

姓名 准考证号

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7．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是 A ．6 B ．3 C ．2

D ．11 8．若将点(1,3)A 向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B ，则点B 的坐标为

A ．(2,1)--

B ．(1,0)-

C ．(1,1)--

D ．(2,0)-

9．下列各图中，∠1与∠2互为余角的是

A B C D

10．已知一组数据75，80，80，85，90，则它的众数和中位数分别为 A ．75，80 B ．80，85 C ．80，90 D ．80，80 11．如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为

30?，看这栋楼底部C 处的俯角为60?，热气球A 处与楼的水平距离为

120m ，则这栋楼的高度为

A

．m B

． C ．300m

D

．

12．已知抛物线2(0)y ax bx c b a =++>>与x 轴最多有一个交点. 现有以下四个结论：

① 该抛物线的对称轴在y 轴左侧； ② 关于x 的方程2+2=0ax bx c ++无实数根；

③ 0a b c -+≥； ④ a b c b a

++-的最小值为3.

其中，正确结论的个数为 A ．1个 B ．2个

C ．3个

D ．4个

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13．分解因式：24x y y -= .

14．若关于x 的一元二次方程240x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围

是 .

15．如图，扇形OAB 的圆心角为120?，半径为3，则该扇形的弧长为 . (结果保留π) 16．如图，在⊙O 中，弦6AB =，圆心O 到AB 的距离2OC =，则⊙O 的半径长为 . 17．如图，ABC ?中，8AC =，5BC =，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点

E ，则BCE ?的周长为

.

18．若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是 .

三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、

24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19

．计算：4sin602

?--2016.

20．先化简，再求值：

111

()

a a

a b b a b

-

-+

-

, 其中

1

2,

3

a b

==.

21．为积极响应市委市政府“加快建设天蓝·水碧·地绿的美丽长沙”的号召，我市某街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种. 为了更好地了解社情民意，工作人员在街道辖区范围内随机抽取了部分居民，进行“我最喜欢的一种树”的调查活动（每人限选其中一种树），并将调查结果整理后，绘制成下面两个不完整的统计图：

请根据所给信息解答以下问题：

（1）这次参与调查的居民人数为；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数；

（4）已知该街道辖区内现有居民8万人，请你估计这8万人中最喜欢玉兰树的有多少人？22．如图，AC是□ABCD的对角线，BAC DAC

∠=∠.

（1）求证：AB BC

=；

（2）若2,

AB AC

==□ABCD的面积.

23．2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营，该线路连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受. 星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨.

（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？

（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？

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24．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD

的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ,DC ,DF . （1）求CDE ∠的度数； （2）求证：DF 是⊙O 的切线；

（3

）若AC =，求tan ABD ∠的值.

25．若抛物线L ：2y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0abc ≠)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且

抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系. 此时，直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”.

（1）若直线1y mx =+与抛物线22y x x n =-+具有“一带一路”关系，求m ,n 的值；

（2）若某“路线”L 的顶点在反比例函数6

y x

=的图象上，它的“带线”l 的解析式为24y x =-，求此“路线”L 的解析式；

（3）当常数k 满足1

22

k ≤≤时，求抛物线L ：22(321)y ax k k x k =+-++的“带线”l 与x

轴,y 轴所围成的三角形面积的取值范围.

26．如图，直线l ：1y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A , B 两点，点P , Q 是直线l 上的两个动点，

且点P 在第二象限，点Q 在第四象限，135POQ ∠=?. （1）求AOB ?的周长；

（2）设0AQ t =>，试用含t 的代数式表示点P 的坐标；

（3）当动点P , Q 在直线l 上运动到使得AOQ ?与BPO ?的周长相等时，记tan AOQ m ∠=.

若过点A 的二次函数2y ax bx c =++同时满足以下两个条件： ① 6320a b c ++=；

② 当2m x m ≤≤+时，函数y 的最大值等于2m

. 求二次项系数a 的值.

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数学参考答案及评分标准

13．(2)(2)y x x +- 14．4m >-

15．2π 16

17． 13

18．

56

三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、

24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．解：原式=42

11--=- ……………………………………（6分） 20．解：原式111=

=+=a a b a a a

a b ba b b b b

---?+- ……………………………………（4分）

故当 1

2,3

a b ==时，原式=

236b

a

=?= ……………………………………（6分）

21． 解（1）1000 ……………………………………（2分） （2）见图

……………………………………（4分）

（3）100360=361000

O O ? ……………………………………（6分）

（4）25080000=20000

1000

?（人） ……………………………………（8分） 22．（1）证：四边形ABCD 是平行四边形 AD ∴∥BC

BCA DAC ∴∠=∠，又BAC DAC ∠=∠

BCA BAC ∴∠=∠

AB BC ∴= ····························· （4分）

（2）AB BC =

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∴□ABCD 是菱形

连接BD 交AC 于点O ,则90AOB ∠=?

1

2AO AC ∴==

1BO ==

1

222

ABCD S ∴=?= ·················································· （8分）

23．解：（1）设一辆大型渣土运输车一次运输土方x 吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方y 吨 由题意可得23315670x y x y +=??+=?，解得8

5x y =??=?

答：一辆大型渣土运输车一次运输土方8吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方5吨. ····························································································· （4分）

（2）解：设渣土运输公司决定派出大型渣土运输车m 辆，则派出小型渣土运输车20m -（）辆，

由题意可得

85(20)148m m +-≥ 348m ≥

解得16m ≥，又因为202m -≥且m 为整数 所以m 可取16或17或18 因此有如下三种派车方案：

方案一：派出大型渣土运输车16辆，小型渣土运输车4辆； 方案二：派出大型渣土运输车17辆，小型渣土运输车3辆；

方案三：派出大型渣土运输车18辆，小型渣土运输车2辆. ········ （9分）

24． 解（1）对角线AC 为⊙O 的直径

90ADC ∴∠=? 90CDE ∴∠=? …………………（2分） （2）（方法一）连接,OF OD ，在Rt CDE ?中，点F 为斜边CE 的中点 DF FC ∴=

在DOF ?和COF ?中

DF CF OF OF OD OC =??

=??=?

∴DOF ?≌COF ?

∴90ODF OCF ∠=∠=? ∴D F O D ⊥ ∴DF 是⊙O 的切线 ……………（5分）

（方法二）证明：连接OD ，

AC 为⊙O 的直径，CE AC ⊥

90ADC CDE O ∴∠=∠=, 90ACF O ∠=

又在Rt CDE ?中，点F 为斜边CE 的中点 ,DF FC CDF DCF ∴=∠=∠

又OD OC = O D C O C D ∴∠

=∠

90ODF ODC CDF OCD DCF ∴∠=∠+∠=∠+∠=?

∴DF 是⊙O 的切线 …………………（5分）

（方法三）证明：连接OD，

CE AC

⊥,AC为⊙O的直径

90

ADC ADO ODC

∴∠=∠+∠=?

90

DAO ACD

∠+∠=?

90

ACD DCF

∠+∠=?

D A O D C F

∴∠=∠

又OA OD

=D A O A D O

∴∠=∠

ADO DCF

∴∠=∠

又在Rt CDE

?中，点F为斜边CE的中点

,

DF FC CDF DCF

∴=∠=∠

ADO CDF

∴∠=∠

90

ODF ODC CDF ODC ADO

∴∠=∠+∠=∠+∠=?

∴DF是⊙O的切线…………………（5分）（3）（方法一）由圆周角定理可得A B D A C D

∠=∠

由题中条件可得90,

A D C C D E C A D E C D

∠=∠=?∠=∠,

ADC

∴?∽CDE

?∴

A D D C

C D D E

=∴2

C D A D D E

=?………………（6分）

由于AC=所以可令,,

DE a AD b

==

则有,

AC CD

==

在Rt ACD

?中,由勾股定理可得

222

)5)

b a

+=

上式两边同时除以2a并整理后得到

2

()200

b b

a a

+-=解之可得4

b

a

=或5

b

a

=-（舍去）…………………（8分）

t a n t a n2

A D

A B D A C D

D C

∴∠=∠====…………………（9分）（方法二）设DE x

=，AD y

=

，AC=

易证ACD

?∽AED

?∴2

AC AD AE

=?

2

)()

y x y

=?+

（即22

20x y yx

=+

2

()200

y y

x x

+-=解得4

y

x

=或5

y

x

=-（舍去）

∴2

CD x

=

∴

4

tan tan2

2

x

ABD ACD

x

∠=∠==

（方法三）设DE a

=，tan ABD m

∠=，则

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AC =，

AC m EC =，CD

m DE

=

∴AC EC m =

=

，

CD mDE ma == 在Rt CDE ?中222CD DE CE +=

∴222()ma a += ∴2220

1m m

+= ∴222()200m m +-= ∴22(5)(4)0m m +-= ∴24m =或25m =-（舍去） ∴tan 2ABD ∠=

25．解 （1）由题意可知：1y mx =+与y 轴的交点0,1P （）在抛物线22y x x n =-+上 所以=1n 从而222221(1)y x x n x x x =-+=-+=-的顶点(1,0)Q 又 在直线1y mx =+上，故1m =-

所以1,n = 1m =- …………………（3分） （2）由题意可知：抛物线L 的“带线”l 就是直线PQ ,点P 是抛物线L 与y 轴的交点，

点Q 是抛物线L 的顶点, （方法一）顶点Q 就是“带线”l ：

24y x =-与反比例函数6

y x

= 的图象的交点， 联立24

6y x y x =-??

?=??

解得32x y =??

=? 或者16x y =-??=-? 从而所求的“路线”L 的解析式为 2(3)2y a x =-+ 或者2(1)6y a x =+-

又由题意可得点(0,4)P -在它的图象上，代入可分别求得 2

23

a =-或

故所求的“路线”L 的解析式为 2

222(3)24433

y x x x =--+=-+-

或者222(1)6244y x x x =+-=+- …………（6分）

（方法二）设“路线”L 的表达式为 2(0y ax bx c abc =++≠）

易求得点2

(,)24b b Q c a a --，点(0,)P c ，设它的“带线”l 的解析式为

(0)y k x m k =+≠ 将点P ，点Q 的坐标依次代入可得

2()42m c b b

c k m a

a =??

?-=?-+?? 从而=2m c

b k =????? 所以“带线”l 的解析式为2

b

y x c =+ 比较题中所给l 的解析式可得

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4,4b c ==- 从而由点24(,4)Q a a ---在反比例函数6

y x

=的图象上 可得24()(4)6a a ---= 解之得 2

23

a =-或

故此二次函数的解析式为 2244y x x =+-或2

2443

y x x =-+- …………（6分）

（3）（方法一）由（2）的方法二可知 二次函数2(0)y ax bx c abc =++≠ 的“带线”

l 的解析式为2

b

y x c =+，

设它与x 轴的交点为点M ，易求得点2(,0)c

M b

-，点(0,)P c 所以“带线”l 与x 轴,y 轴所围成的三角形MOP ?面积

2

122MOP c c S c b b

?=?= …………………（7分）

从而由题意可知 函数22(321)y ax k k x k =+-++的“带线”l 与x 轴,y 轴所围成的三角形

面积22

2=321

MOP

c k S b k k ?=-+ ，显然23210k k -+> …………………（8分） 所以222211

2113213(1)2MOP k S k k k k k

?===-+-+-+

令2

1(1)2t k =-+ 由于 122k ≤≤ 所以1122k ≤≤

结合二次函数的图象可得 23t ≤≤ 故11

32

MOP S ?≤≤ 为所求 …………………（10分） （方法二）抛物线L 的顶点222

3214(321)(,)24k k ak k k a a -+--+-

设“带线”l ：y tx k =+，∴2224(321)321

=42ak k k k k t k a a

--+-+-?+

解得23212k k t -+= ∴2321

y 2

k k x k -+=+ …………………（7分）

当0x =时，y k =；当0y =时，22321

k

x k k -=-+；

222211

2113213(1)2MOP k S k k k k k

?∴===

-+-+-+ …………………（8分）

令2

1(1)2t k =-+ 由于 122k ≤≤ 所以1122k

≤≤

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结合二次函数的图象可得 23t ≤≤

故

11

32

MOP S ?≤≤ 为所求 …………………（10分） 26．解: （1

）易求得1,OA OB AB == 所以AOB ?

的周长为2 …………………（3分） （2）由题意可得 45BAO ABO ∠=∠=? 135PBO OAQ ∠=∠=?

135,9045P O Q A O B B O P A O Q ∠=?∠=?∴∠+∠=? 又45AOQ AQO ∠+∠=?

AQO BOP ∴∠=∠ A Q O ∴?∽BOP ?

AQ BO

AO BP

∴= 1AQ BP AO BO ∴?=?= 因为0QA t =>，所以1

BP t

= 过点P 分别作x 轴,y

轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质，容易求得点P

的坐标为(22t t

-

+ …………………（6分）

（3）首先由第（2）问可知必有AQO ?∽BOP ? 得到 1A Q B P

= 当动点,P Q 在直线l 上运动到使得AOQ ?与BPO ?的周长相等时， 从而必有AOQ ? 与BPO ?全等，则有,AQ BO =从而1AQ BP ==

此时易求得

tan 1,21m AOQ m =∠=+=

2m x m ≤≤+

11x ≤ 由于该二次函数经过点(1,0)A , 所以0a b c ++=

又因为 6320a b c ++=,

从而40a b += 所以二次函数2y ax bx c =++的对称轴为直线 22b

x a

=-=

设二次函数2y ax bx c =++与x 轴相交得到的另一个交点为2(,0)D x ， 由抛物线的对称性可得点(3,0)D

所以可设抛物线为 2(1)(3)43y a x x ax ax a =--=-+

①当0a <时

11x ≤≤,由图象可得：当2x =时，函数值y 取得最大值2m

由(21)(23)1)a --=

解得1)a =-

②当0a >时

11x ≤≤,

由图象可得：当1x =时，函数值y 取得最大值2m

由113)1)a --=

解得a =

综上所述

1)

a=-

或a= ································（10分）

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