机器人静力学和雅克比实验
机器人运动学雅可比矩阵
05 雅可比矩阵的优化与改进
雅可比矩阵的稳定性分析
稳定性分析的重要性
在机器人运动控制中，雅可比矩阵的稳定性对机器人的运动性能 和动态响应具有重要影响。
稳定性判据
通过分析雅可比矩阵的特征值和特征向量，可以确定机器人的运动 稳定性，并为其运动控制提供依据。
通常使用齐次变换矩阵来表示机器人的位姿，该矩阵包含 了平移和旋转信息，能够完整地描述机器人在空间中的位 置和方向。
坐标系与变换
01
坐标系是用来描述物体在空间中位置和姿态的参照框架。
02
在机器人学中，通常使用固连于机器人基座的坐标系作为全局 参考坐标系，以及固连于机器人末端执行器的坐标系作为局部
参考坐标系。
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雅可比矩阵的物理意义
雅可比矩阵描述了机械臂末端执行器 的位置和姿态随关节变量变化的规律， 是机械臂运动学分析中的重要概念。
通过雅可比矩阵，可以分析机械臂的 可达工作空间、奇异性、运动速度和 加速度等运动学性能。
雅可比矩阵的计算方法
雅可比矩阵可以通过正向运动学和逆 向运动学两种方法计算得到。
在计算雅可比矩阵时，需要使用到线 性代数、微分方程等数学工具。
正向运动学是根据关节变量求解末端 执行器在参考坐标系中的位置和姿态； 逆向运动学是根据末端执行器的位置 和姿态求解关节变量。
04 雅可比矩阵在机器人运动 学中的应用
机器人的关节与连杆
关节
机器人的每个关节都有一个自由 度，决定了机器人的运动方式。 常见的关节类型包括旋转关节和 移动关节。
连杆
机器人学_第六讲 静力学与动力学
J
l1 sin1 l2 sin(1 2 )
l1
cos1
l2
cos(1
2
)
l2 sin(1 2 )
l2
cos(1
2
)
JT
l1 sin1 l2 sin(1 2 )
l2 sin(1 2 )
l1 cos1 l2 cos(1 2 )
l2 cos(1 2 )
J T (q)F
Y0
l1 sin1 l2 sin(1 2 )
1 90 2 90
1 l1Fx l2Fy 2 l2Fy
-90
l1 τ2
l2
Y0
τ1
90
X0
Fy F Fx
第六讲 2 动力学分析
机器人动力学是研究机器人的运动和作用力之间的关系。
机器人动力学的用途：
/projects/leglab/ robots/robots.html
相应满足静力平衡条件的关节驱动力矩
J T (q)F
2，已知关节驱动力，确定机器人手部对外界环境的作用力或
负荷的质量。
F J T (q)1
第六讲 1 静力学分析-机器人的静力计算
例，下图所示的二自由度平面关节机器人，已知手部端点力
F=[Fx,Fy]T,求相应于端点力F的关节力矩（忽略关节摩擦）。
m2 gl1(1 c1) m2 gp2 (1 c12 )
Ep Epi ,i 1,2
第六讲
2 动力学分析- 二自由度平面关节机器人的动力学方程
Y0
X0
l1
p1
θ1
m1
l2
m2
θ2
p2
5 系统动力学方程
L Ek Ep
Fi
2.1机器人的雅可比与静力分析
• 反之，假如给定机器人手部速度，可由逆 雅可比解出相应的关节速度。
（一）雅可比矩阵的定义
• 在数学上，机器人终 端手爪的广义位姿向
量 V 可写成：
x(q1, q2 , , qn )
y(q1, q2 ,
机器人工作空间的边界上或边界附近，出现逆雅可比奇异，机器人运 动受到物理结构的约束。这时相应的机器人形位叫做边界奇异形位。
(2) 内部奇异形位：两个或两个以上关节轴线重合时，机器人各关节运 动相互抵消，不产生操作运动。这时相应的机器人形位叫做内部奇异 形位。
• 当机器人处在奇异形位时会产生退化现象，丧失一个或更多的自由度。 这意味着在工作空间的某个方向上，不管怎样选择机器人关节速度， 手部也不可能实现移动。
• (1) 已知外界环境对机器人手部的作用力F， (即手部端点力F-F′)，利用力雅可比可求得 相应的满足静力平衡条件的关节驱动力矩τ。
• (2) 已知关节驱动力矩τ，确定机器人手部 对外界环境的作用力或负载的质量。
• 第二类问题是第一类问题的逆解。
力雅可比
例：2自由度机械手如图所示。取θ1＝0（rad）， θ2＝π/2（rad）的姿态时，分别求解生成手爪
V Jq• q J q• q
q J 1 V J• q
选择=结果
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结论
• 雅可比（Jacobian）矩阵反映了机械臂末端速度 和各关节速度之间的关系；
• 雅可比（Jacobian）矩阵不是一个常数矩阵，它 与关节变量有关，机械臂工作时，各关节协调运 动，关节变量是变化的，雅可比（Jacobian）矩 阵也是变矩阵；
并联机器人的雅可比,可操作性,条件数和精度
并联机器人的雅可比，可操作性，条件数和精度（翻译论文）虽然在最早的机器人研究中就已经有了雅可比矩阵的概念、可操纵性、条件数的概念，但是它们的真正意义并不是很好理解。
在本文中，我们重新审视这些作为并联机器人优化设计精度指标的概念。
首先，我们指出，通常的雅可比矩阵的输入—输入方程可能不足以分析平台的定位误差。
然后我们检验可操纵性的概念，表明其经典的解释是错误的。
我们考虑各种常见的局部灵巧指数，其中大部分是基于雅可比矩阵的条件数。
值得注意的是，即使对于一个给定的机器人，在一个特定的姿态也会有各种各样的条件数，这些条件数之间都不一致，和我们想得到的精度指标也不一致。
然后考虑了全局调节指数。
除了存在基于错误的局部准确性指数的问题外，还有一个忽略了大部分时间而进行计算的计算问题。
最后，我们检验了其他哪些指标可用于优化设计，并且介绍了计算它们的难度。
1 引言我们将使用一个相对通用的非冗余并联机构的定义。
当一个机构用至少两个运动链来控制自由度n<6的末端执行器时，我们定义它为并联机构，而其他的6-n 个自由度是一个恒定值通过单自由度驱动关节控制。
此外，如果将驱动器锁定，则末端执行器的自由度为0，非驱动关节有一个单自由度。
这样的定义涵盖了经典的六自由度机器人，比如Gough 和Hexa 平台，还有少于六自由度的机构，如Delta 和3-UPU 机构。
如今，并联机构的应用领域越来越广，如望远镜、精定位装置、包装速度快、机床、医疗。
对尺寸非常的敏感是并联机构优化设计的一个关键问题。
最优设计的方法有静力学性能指标。
精度显然是许多应用中的一个关键问题。
并联机构也有串联机构的一些关键问题，因此，针对这些问题做了很多广泛的研究，定义除了很多准确性指标，这些结果已经应用到并联机构上。
本文的目的是检验这些指标是否适用于并联机构。
雅可比矩阵和逆雅可比矩阵用于研究末端执行器的定位精度的，为了这个目的，很有必要研究它们的概念。
雅可比矩阵在对机械手关节速度与力矩分析中的应用
雅可比矩阵在对机械手关节速度与力矩分析中的应用
陈益民 （漳州职业技术学院 机械与自动化系， 福建 漳州 363000）
摘要：提出二自由度机械手末端执行器与各关节之间的运动速度分析方程式与静力学分析方程式，通过实例推
导和分析，可以得到机械手运动的瞬时状况和静态下的力或力矩平衡问题，并可说明雅可比矩阵在运动学和力学两
责任编辑：潘伟彬
Research on use of Jacobian matrix on analysis of manipulators joint velocity and torque
CHEN Yi-min （Dept. of Mechanical and Automation, Zhangzhou Institute of Technology，
而t可节表示从尺m空间到jrn空间的一种线性映射建立了机械臂关节空间和操作空间作用力之间的关系这种力的对应关系和微分运动之间的对应关系是类似的
第10卷第4期 2008年12月
闽西职业技术学院学报 Journal of Minxi Vocational and Technical College
Vol.10 No.4 December 2008
118
关 于 如 图 1 末 端 位 置 （x，y）和 关 节 位 移 （θ1，θ2） 位置运动学方程通过几何法容易求得为：
x=l1cosθ1+l2cos（θ1+θ2） （1）
y=l1sinθ1+l2sin（θ1+θ2） 由此建立了二自由度机械手臂顶端即机械爪运
动位置与各关节角度。
通过微分原理可得：
式中 JT 称为机械手的力雅可比。 它表示在静态
平衡状态下，操作力向关节力映射的线性关系。
并联机器人的雅可比,可操作性,条件数和精度
并联机器人的雅可比，可操作性，条件数和精度（翻译论文）虽然在最早的机器人研究中就已经有了雅可比矩阵的概念、可操纵性、条件数的概念，但是它们的真正意义并不是很好理解。
在本文中，我们重新审视这些作为并联机器人优化设计精度指标的概念。
首先，我们指出，通常的雅可比矩阵的输入—输入方程可能不足以分析平台的定位误差。
然后我们检验可操纵性的概念，表明其经典的解释是错误的。
我们考虑各种常见的局部灵巧指数，其中大部分是基于雅可比矩阵的条件数。
值得注意的是，即使对于一个给定的机器人，在一个特定的姿态也会有各种各样的条件数，这些条件数之间都不一致，和我们想得到的精度指标也不一致。
然后考虑了全局调节指数。
除了存在基于错误的局部准确性指数的问题外，还有一个忽略了大部分时间而进行计算的计算问题。
最后，我们检验了其他哪些指标可用于优化设计，并且介绍了计算它们的难度。
1 引言我们将使用一个相对通用的非冗余并联机构的定义。
当一个机构用至少两个运动链来控制自由度n<6的末端执行器时，我们定义它为并联机构，而其他的6-n 个自由度是一个恒定值通过单自由度驱动关节控制。
此外，如果将驱动器锁定，则末端执行器的自由度为0，非驱动关节有一个单自由度。
这样的定义涵盖了经典的六自由度机器人，比如Gough 和Hexa 平台，还有少于六自由度的机构，如Delta 和3-UPU 机构。
如今，并联机构的应用领域越来越广，如望远镜、精定位装置、包装速度快、机床、医疗。
对尺寸非常的敏感是并联机构优化设计的一个关键问题。
最优设计的方法有静力学性能指标。
精度显然是许多应用中的一个关键问题。
并联机构也有串联机构的一些关键问题，因此，针对这些问题做了很多广泛的研究，定义除了很多准确性指标，这些结果已经应用到并联机构上。
本文的目的是检验这些指标是否适用于并联机构。
雅可比矩阵和逆雅可比矩阵用于研究末端执行器的定位精度的，为了这个目的，很有必要研究它们的概念。
机器人技术基础实验报告
实验一、Matlab 验证斯坦福机械手雅可比矩阵 一、实验目的1.加深对雅可比矩阵的认识，熟练其计算原理；2.熟练掌握D-H 连杆坐标系的确定方法和过程及各种变换矩阵；3.熟悉Matlab 的操作与运用。
二、实验原理对机械手的操作和控制，除了需要确定机械手操作空间与关节空间之间静态位资的映射转换关系以外，还需要对某一时刻机械手运动速度和关节速度之间的关系进行转换和分析，也就是机械手瞬时速度分析。
而我们利用雅可比矩阵来对机械手的速度进行了分析。
其中雅可比矩阵包括了两个方面：1.雅可比矩阵平移速度部分的分析；2.雅可比矩阵旋转速度部分的分析。
T 矩阵由以下公式计算可得：1111111111s 0001iii i i i i i i i i ii i i i i i c a s c c c s s d T s s c s c c d θθθαθαααθαθααα-----------⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、实验步骤1、已知计算各级T 矩阵665544445436546655221132210321220000000010001000000000100001000100011000000000100101000001001---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-c s c s c s s c T T T s c s c c s c s d d T T T s c 1100001001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦s c 2、计算出各连杆坐标系到基坐标系0的变换矩阵：11110111212112112121121022221211213212121121321203222000000001010010000000100-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦---+++=-可知可知c s s c T z c c c s s s d s s c s s c c d c T z s c c c s c s c d s s d s c c s s s d s c d T s c c d 12123320010⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦可知c s s s z c 1241412414121231212414124141212312042424223124141251241451251241412312124145050001()()()----⎡⎤⎢⎥+-++⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦--------+-=++c c c s s c c s s c c s c s d s d s c c c s s c s c c s s s s d c d T s c s s c c d c c c s s c s s c c c s s s c s c c c s s c c s d s d s c c c s c s T 12512414512512414123122423124514512512312124514512512312062455223()2452524525000112345600⎡⎤⎢⎥-+--+--+++⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-+-++++=-s s s c c c s s s s c s c s c c s s d c d s c c c s s c s c c s s c d X X c c c s s s s c s c c s d s d X X s c c s c s s s s c s s d c d T X X s c s c c c d 01⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Matlab 计算过程如下：>> clear>> syms c1 s1 c2 s2 c3 s3 c4 s4 c5 s5 c6 s6 d1 d2 d3 d4 d5 d6 a1 a2 a3 a4 a5 a6>> T10=[c1 -s1 0 0;s1 c1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1]>> T21=[c2 -s2 0 0;0 0 1 d2;-s2 -c2 0 0;0 0 0 1] >> T32=[1 0 0 0;0 0 -1 -d3;0 1 0 0;0 0 0 1] >> T43=[c4 -s4 0 0;s4 c4 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1] >> T54=[c5 -s5 0 0;0 0 1 0; -s5 -c5 0 0;0 0 0 1] >> T65=[c6 -s6 0 0;0 0 -1 0;s6 c6 0 0;0 0 0 1]>> T20=T10*T21； >> T30=T20*T32； >> T40=T30*T43； >> T50=T40*T54； >> T60=T50*T65；>> T60=simplify(T60)3、用速度矢量合成的方法计算雅可比矩阵Jv 部分：356124123456102040506016263465666124561020162631245600000⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⨯⨯=⎢⎥⎣⎦v v v v v v J J J J J J J J J J J J J z p z p z z p z p z p z z z z z z p z p z z z z z z ωωωωωω 1） 计算1016⨯z p1z 为连杆1坐标系的z 轴单位向量在基坐标系0中的描述；16p 为连杆1坐标系原点到连杆6坐标系原点连线矢量16O O，在基坐标系0中的描述，计算过程为：计算矩阵T61，T61的第四列即为16O O，由于坐标系1相对于坐标系0有绕Z 轴的转动，故需要对其进行转换，转换方法为；0116O O ⋅ R ，01R为T10中旋转部分注：Matlab 中向量叉积方法：e=cross (a,b)>> T61=T21*T32*T43*T54*T65 %计算出16O O在坐标系1中的描述>> P161=[s2*d3;d2;c2*d3]>> Rot10=[c1 -s1 0;s1 c1 0;0 0 1] %由T10知道旋转部分变换3*3矩阵 >> P160= Rot10* P161 % 与P60最后一列比较 >> z1=[0;0;1]>> e=cross(z1,P160) %可得到Jv 第一列： e =[ -s1*s2*d3-c1*d2; c1*s2*d3-s1*d2;0]2） 计算2026⨯z p2z 为连杆2坐标系的z 轴单位向量在基坐标系0中的描述；206p 为连杆2坐标系原点到连杆6坐标系原点连线矢量26O O，在基坐标系0中的描述，计算过程为：计算矩阵P62，P62的第四列即为26O O，由于坐标系2相对于坐标系0有姿态变化，故需要对其进行转换，转换方法为；0226O O ⋅ R ，02R为T20中旋转部分注：Matlab 中向量叉积方法：e=cross (a,b)>> T62= T32*T43*T54*T65 %计算出26O O在坐标系2中的描述>> P262=[0;-d3;0]>> Rot20=[c1*c2 -c1*s2 -s1;s1*c2 -s1*s2 c1;-s2 -c2 0] %由T20知旋转部分变换3*3矩阵>> P260= Rot20* P262 >> z2=[-s1;c1;0]>> e=cross(z2, P260) %可得到Jv 第一列：e =[c1*c2*d3; s1*c2*d3; -s1^2*s2*d3-c1^2*s2*d3]3） 由于连杆3坐标系为移动坐标系，故起对连杆6的速度贡献不能计算为3036⨯z p ，而应该为Z3的单位向量在基坐标系0中的表示；故由T30直接可得Jv 第三列为：1212320⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦c s s s z c4)由于坐标系4、5、6和坐标系6的坐标原点重合故对应6066)=⨯=⨯ i i ()q(q i i O i i i v z O O z p 的计算结果均为0 ，于是可得 35612412345612123123121212312312232112414124141245145125112414124141245000000000000⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦---+-=------+-+-++v v v v v v J J J J J J J J J J J J J c d s s d c c d c s s d c s d s c d s s s d c s c c s s c c c s s c c c c s s s s c s c c s c s c c s c s c c s c c s c ωωωωωω14512524242455210⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦s s s s c s s s s s c s c c 5) 用直接求导的方法验证上面Jv 的计算的正确性：在matlab 中用B=jacobian(f,v)方法直接求导可以获取雅可比矩阵四、实验总结机器人雅可比矩阵能够很好地反映出操作空间与关节空间的速度映射关系，而Matlab 则很好的简化了这种关系求导手段。
雅可比矩阵
Dt 0
J11 J 21 v J 31 w J 41 J 51 J 61
教材例题2.1：逆雅可比矩阵的示例： 例2.1 如图2.2所示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正 向以1.0 m/s的速度移动，杆长l1=l2=0.5 m。设在某瞬时θ1=30°， θ2=60°，求相应瞬时的关节速度。
解 由式(2.6)知，二自由度机械手速度雅可比为
因此，逆雅可比为
2.1.3 机器人雅可比讨论 机器人的奇异形位分为两类： (1) 边界奇异形位：当机器人臂全部伸展开或全部折 回时，使手部处于机器人工作空间的边界上或边界附 近，出现逆雅可比奇异，机器人运动受到物理结构的 约束。这时相应的机器人形位叫做边界奇异形位。 (2) 内部奇异形位：两个或两个以上关节轴线重合时， 机器人各关节运动相互抵消，不产生操作运动。这时 相应的机器人形位叫做内部奇异形位。
对力雅可比矩阵的补充说明：
虚功方程力雅可比分析：
2.2.3 机器人静力计算
机器人操作臂静力计算可分为两类问题： (1) 已知外界环境对机器人手部的作用力F，(即手部端点力 F-F′)，利用式(2.20)求相应的满足静力平衡条件的关节驱动力 矩τ。 (2) 已知关节驱动力矩τ，确定机器人手部对外界环境的作用 力或负载的 质量。 第二类问题是第一类问题的逆解。逆解的关系式为
或写成
根据虚位移原理，机器人处于平衡状态的充分必要条件是对任意 符合几何约束的虚位移有δW=0，并注意到虚位移δq和δX之间符合 杆件的几何约束条件。利用式δX=Jδq，将式(2.18)写成
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实验（4)机器人机器人静力学与雅克比实验
一、实验目得：
1）理解机器人角速度得相关概念;
2）对构建得机器人进行速度分析;
3）了解与熟悉机器人雅克比矩阵得含义，
4）能够使用simulｉnk构建机器人仿真模型．
二、雅克比矩阵
图1 机器人雅克比矩阵
在机器人学中，通常使用雅克比将关节速度与操作臂末端得笛卡尔速度联系起来:
在maｔlａｂ工具箱中，求取机器人雅克比矩阵函数为，
Ｊ = p560、jａcｏb０(qｒ) ，其中p560为机器人名。
逆雅克比矩阵：
分析雅克比矩阵:
其中，
在maｔlａb工具相中对应函数为,
推导可得,
变换为,
简化模型化为，
在ｍａtlａb工具箱中，对应得RPY得雅克比速度映射函数,
该函数为从RＰY角速度到角速度得雅克比变换函数.即上式中得。
在ｍaｔlab工具箱中,对应得ZYZ欧拉角得雅克比速度映射函数，
>> eｕl2jaｃ(０、1,0、2，0、3）
ans ＝
0 —0、09980、19７7
0 0、9950 ０、0198
1、００00０0、9801
对应书中p１１3页中公式（5-41与5－42).
综上可得到解析型雅克比,
三、基于sｉmｕliｎk得机器人仿真模型建立,要求机器人末端以一定得速度运行。
simulink/Math Operations simulink/Sources DSP System Toolbox/Math
图机器人库
图关节伺服单元(joinｔsｅrvｏ)与常量所在库
图输出（out)与matlab自定义函数库（matlab fｕnｃtion)
图矩阵多通道库
各模块得参数设置如下图:
5）命令窗口中运行m ｄl_ｐuma ５60； 6)运行建立得模型ｔe ｓtrobo ｔJ ； 7）查瞧仿真结果。
-0.5
0.5
-0.50
0.5
1
-1-0.500.5
1X
z
x
y 456
Puma 560
1
3
2
Y
Z
图 仿真结果
四、实验内容
(1)用simul ｉｎk 建立如下图所示得机器人仿真模型,机器人模型为puma56０,可
然后点击上图中subsysteｍ右键,点击mask-〉Creａt Mａsk…
增加如上ｅdiｔ参数:radius与pｒeq.点击应用就可.
然后在subsystem xｙ模块上双击。
修改参数如下;
Cirｃlｅcenｔre参数与XＹGｒaph参数设置
Wｏrkｓpaｃe参数设置举例（2)书中mａｔｌab习题实现。
P12９-Ｐ130、选做。