初中数学锐角三角函数优质课教案教学设计

《锐角三角函数》教学设计

一、内容和内容解析

本节课选自北师大版教材九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》，第一节《锐角三角函数》的第一课时.

本章中所介绍的直角三角形的边角关系是现实世界中应用广泛的关系之一。.通过本章的学习，学生将进一步体会比和比例、图形的相似、推理证明等知识之间的联系，从而为将来一般性的学习三角函数的知识及其他数学知识奠定基础。本节从梯子的倾斜程度谈起，引入生活中用的最多的一个三角函数——正切，而正弦、余弦的概念是由正切类比得到的.因此，本节内容在本章教材中处于非常重要的位置，既是三角函数的起始课，引领整章的探究与学习；又是一般性三角函数知识板块的重要组成部分。同时在本节课中学生将进一步感受数形结合、从直观到抽象等思想，体会数形结合、从一般到特殊等方法，这些分析问题和解决问题过程中常用的思想方法将会对学生今后的数学学习乃至生活产生深远的影响.根据以上分析，本节课的教学重点在于，从现实情境中探索直角三角形的边角关系，理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系。二、目标和目标解析

根据教材地位、新课程标准的指导思想及九年级学生的认知心理特征及年龄特点，本节课的教学目标有以下三个方面：

1.理解正切的意义，能够运用tanA表示直角三角形中两边的比；

2.通过观察、探究和实践操作等活动，经历探索直角三角形边角关系的过程，体会正切概念的产生的必然性与合理性. 体验知识发生、发展的全过程；

3.在实际生活中发现数学问题，通过合作交流探索、感受生活中的数学，提高学数学用数学的意识，感受数学学习的价值.

三、教学问题诊断分析

在本节课中，学生通过生活常识和特殊情况可以体会到梯子的陡缓程度确实与铅直高和水平宽有着密切的关系，但是从众多关系中准确的找到比值关系却是一个难点，而这个比值关系又恰恰是正切概念的核心。其次，本节的三角函数与学生以前所学的一次函数、反比例函数有所不同，它反映的不是数值与数值的对应关系，而是角度与数值之间的对应关系，学生初次接触这种对应关系，理解起来有一定的困难，可是这种对应关系对学生深刻地理解函数又有很大帮助。基于以上认识，我认为本节课的难点在于，理解梯子的陡缓程度和铅直高与水平宽比值之间的关系，以及锐角与其对边和邻边之间的对应关系。同时，在探索过程中，不同学生对问题的理解和生活的经验可能是不一样的，给出的思考结果差异性较大.

教师应尊重学生间的差异，不要急于得出答案，要鼓励学生开展讨论，给学生提供展示的机会，培养学生的交流能力及学习数学的自信心.

四、教学支持条件分析

由于本节课的正切概念是从实际问题中产生又应用于实际问题，因此需要配合ppt给出大量的实际场景帮助学生理解。

五．教学过程

整体教学是依照《数学课程标准》提出要在课堂上充分发挥学生的主体作用，以及九年级学生的认知特征设计，本节课设计了：第一环节：创设情境，引出课题；第二环节：探索交流，获取新知；第三环节：随堂练习，巩固新知，第四环节：课堂小结，感悟数学；第五环节：布置作业，挑战自我.五个环节的教学模式，把课堂还给学生，培养学生课堂上的合作交流能力，自主探究能力、经历由“生活经验感觉”到“发现思考”到“数学推理”的数学新知的形成过程.并能让学生在实践应用中提高自己的综合能力.

第一环节：创设情境，引出课题

情景设置：展示一组图片：生活中的梯子

问题：（1）观察下图，你能判断哪个梯子更陡吗？

（2）如果用数据做出更准确的判断该怎么做呢？

学生活动：观察思考，初步感知，主动发现问题.

设计意图：从生活实际中提出问题，引导学生用数学的眼光去观察世界，同时对于提出的问题不但要勇于猜想，还要善于从数学角度思考原因。一步步引发学生思考：铅直高和水平宽与梯子的倾斜程度有何关系？

第二环节：探索合作，获取新知

（一）探索活动一：

引导学生将现实生活中的具体情景抽象成几何图形，并将探究问题尽可能的简

单化.

情景设置：展示两个铅直高相等，但水平宽不相等的梯子。

问题：在图中，梯子AB和BD哪个更陡?你是怎样判断的?

学生活动：鼓励学生先独立思考，然后与同桌探索与交流判断的方

法，并在全班交流。

设计意图：对于复杂难以处理的问题，我们不妨先从特殊的情况入

手，学生在探索活动中体会从特殊到一般的解决问题的方法。同时

类比铅直高相等的情况，自主探究水平宽相等时梯子的倾斜程度，为判断一般情况做好铺垫。

（二）探索活动二：

研究完特殊情况后，再次给出一般的问题。

情景设置：展示两个铅直高不相等，水平宽也不相等的梯子。

问题：

⑴图中，梯子AB 和EF 哪个更陡？

⑵你是怎样判断的？

⑶铅直高和水平宽与梯子的倾斜程度有何关系？

学生活动：该环节留给学生充分思维的时间，四人小组讨论探究，发散思维，解决问题。并在全班交流。

设计意图：从特殊到一般，逐层递进，并利用类比的思想将探索活动二中的问题转化为探索活动一中的问题加以解决.通过探索让学生感受梯子的倾斜程度与铅直高和水平宽的比值有关---比值越大，梯子越陡。在探索过程中体会“数形结合”，“转化”等思想方法，拓展学生的思维空间。

（三）探索活动三：

情景设置：你同意小明的看法吗？

问题：

(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系? (2) 11

1AC C B 和 222AC C B 有什么关系?

(3)如果改变B 2在梯子上的位置呢? 由此你能得出什么结论?

学生活动：学生独立思考，并在全班交流。

设计意图：以问题串的形式帮助学生利用相似的知识解决情景设置中的问题，并体会B 点的位置从特殊到一般的变化中，在直角三角形中，对于任意的锐角，其对边与邻边之比是唯一确定的，这也是学生理解正切概念的关键所在。

（四）获取新知，深化理解

1.通过以上探究，我们得出结论

在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比随之确定，这个

比叫做∠A 的正切（tangent ），记作tanA. tanA=的邻边

的对边A A ∠∠ 2. 情景设置：游戏—你选我说。

问题：（1）你们用学过的知识，计算出这些锐角的正切值吗？

（2）老师三角板中的30。 角的正切值，和你们一样吗？这个三角形中的

30。的正切值呢？

（3）你能得出一个什么结论？

学生活动：完成游戏环节，熟悉正切概念。独立思考各个问题，深化对正切概念的理解。

设计意图：通过小游戏调节课堂气氛，同时让学生快速准确的运用tanA 表示直角三角形中两边的比。后续的问题设计是让学生体会正切是锐角A 的属性，与这个角处在哪一个或者怎样的三角形中无关，为正切函数的理解做好充分准备。

（五）学以致用

情景设置：tanA能解决我们的生活中的问题吗？

问题：（1）梯子的倾斜程度与tanA的关系吗？

（2）你能解决这样一个实际问题吗？

学生活动：独立思考，全班交流，学生口述例题思路，教师板书，作出规范指导。设计意图：再次回归到最初的实际问题，让学生体会数学来源于生活，又服务于生活，不仅可以进一步巩固加深理解正切的概念，感受正切在生活中的广泛应用。也能让学生体会用自己学到的知识可以解决现实生活中的具体问题感受数学学习的价值.

第三环节：随堂练习，巩固知识

1.随堂练习

（1）△ABC是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗? tan∠CBD吗？

观察数据，你发现了什么？你能证明你的猜想吗？

（2）如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的

点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结

果精确到0.001)

学生活动：独立完成，猜想互余两角正切的关系，并证明，在全班交流。

设计意图：巩固熟悉正切的概念，通过对第一个练习的补充问题，引出学生对于互余两角正切值关系的思考，并利用正切概念证明猜想，再将其拓展到任意三角形，进一步加深学生对互余两角正切关系的认识。

第四环节：课堂小结，感悟数学

情景设置：探索之旅即将结束，你收获到了什么？

1.知识上：正切，坡度的概念

2.学习方法上：数形结合的思想，类比的思想.

3.解决实际问题上：利用正切解决实际问题。

感悟：数学新知的产生，往往是先通过观察得到一个结论，然后才有后来的逻辑证明的.希望同学们在平时的生活中善于用数学的眼光观察世界，用数学的头脑思考世界，用数学的语言总结与表达你的发现与收获，相信你的数学学习之路上一定会越走越宽阔！

学生活动：整理思路，总结收获，与教师共同回顾，小结本节课所学内容。

设计意图：归纳总结，使学生明晰本节课的“形”——知识；“神”——数学思想与方法. 体会到数学与实际生活之间密不可分的关系。

第五环节：布置作业，挑战自我

1.课本：习题1.1第1、2题.

2.调查生活中正切应用实例，下节课课堂汇报.

学生活动：完成作业

设计意图：巩固课堂所学知识，深化认知，积累数学活动经验，体会数学的有用性.

六.课后反思

本节课通过现实生活中搭梯子的现象引入课题，设计了一系列的探究活动引导学生将具体问题抽象成数学问题并利用已有的数学知识解决，理解正切的概念，感受其产生的必然性和合理性。同时通过“小游戏—你选我指”、“你能解决这个实际问题”等板块进一步反馈、提高学生对正切概念的认知水平．另外，本节的三角函数与学生以前所学的一次函数、反比例函数有所不同，它反映的不是数值与数值的对应关系，而是角度与数值之间的对应关系，学生初次接触这种对应关系，理解起来有一定的困难，可是这种对应关系对学生深刻地理解函数又有很大帮助。所以我充分利用教具设计将同一个角放入不同的三角形，加深学生对于角和数值之间的对应关系的理解，顺利突破难点。另外，课标对于本节函数部分的说明中提到“把握好三角函数值的变化规律研究的定位，切莫提高要求！”，而本节课的教学对象是交大附中的学生，具有较好基础，思维敏捷，和良好的学习习惯，因此，我在学生理解函数的基础之上，略作适当的延伸，让学生感受tanA随锐角A的变化趋势，课堂实践证明，我们的学生也能顺利并且出色的完成了挑战。因此，我认为这节课的设计完成了预期的教学目标的三个维度的要求。

但是，对于学生回答问题后的及时评价及鼓励部分做的还远远不够，也感觉自己包办的还是有些过多，没有完全挖掘学生的潜力，调动他们的积极性。

这不得不说是我本节课教学的一个遗憾。

再次，众所周知，北师大版教材的设计往往都是体现数学的生活性，在很多的知识点上都是由生活实例引入.我在这里也曾经思考过我能不能从纯数学的角度，先利用几何图形的变化，直接给出正切的概念，再将正切的概念应用到生活中，这样的设计，会不会更好一些呢？