锐角三角函数全章教案

28.1．1锐角三角函数初三备课组教学目标1．知识与技能（1）了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；（2）能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，•由已知三角函数值求出相应的锐角．2．过程与方法通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．3．情感、态度与价值观引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．重点与难点1．重点：正弦三角函数概念及其应用．2．难点：使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值也是固定的这一事实．用含有几个字母的符号组sinA表示正弦，正弦概念．教学过程情境引入比萨斜塔1350 年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1 m．至今，这座高54.5 m 的斜塔仍巍然屹立．你能用“塔身中心线与垂直中心线所成的角θ”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？问题1为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35 m，需要准备多长的水管？这个问题可以归结为:在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35 m，求AB．在上面的问题中，如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？思考：由这些结果，你能得到什么结论？结论：在直角三角形中，如果一个锐角的度数是30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值是一个固定值，为0.5 ．问题2：如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A 的对边与斜边的比．B22==∠AB BC A 斜边的对边如图，任意画一个 Rt △ABC ，使∠C =90°，∠A =60°，计算∠A 的对边与斜边的比23==∠AB BC A 斜边的对边在直角三角形中，如果一个锐角的度数是 45°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是一个固定值，为 22．22450==AB BC 斜边角的对边在直角三角形中，如果一个锐角的度数是 60°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是一个固定值，为 23．23600==AB BC 斜边角的对边在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，它的对边与斜边的比是一个固定值．问题3 任意画 Rt △ABC 和 Rt △'''C B A ，使得∠C =∠C ＇=90°．∠A =∠A ＇，那么 AB BC与 ''''B A C B 有什么关系．你能解释一下吗？解：∵ ∠C = ∠C ＇=90°，∠A =∠A ＇．∴ Rt △ABC ∽Rt △C B A ''' ∴B A C B ABBC ''''= ∴B A AB C B BC ''=''在 Rt △ABC 中，∠C =90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A ，即EMBED Equation.3 sin A=c a A =∠斜边的对边sin 30°=21，sin 45°= 22，sin 60°=23例 如图，在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求 sin A 和 sin B 的值． 练习提高，提升能力练习1 如下三幅图，在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求 sin A 和 B 的值练习2 判断下列结论是否正确，并说明理由．（1）在 Rt △ABC 中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sin A 的值也扩大 100 倍； （2）如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B= = ． 反思与小结1．本节课我们学习了哪些知识？2．研究锐角正弦的思路是如何构建的？课后作业1．教科书第 64 页练习．2．课外探究：在直角三角形中，锐角 A 的邻边与斜边的比是否也是一个固定值． 教学反思28.1．2 锐角三角函数 教学目标1．知识与技能（1）了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、tan A 表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；（2）能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，•由已知三角函数值求出相应的锐角．2．过程与方法通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．C 3 4 A B C C2 6 26BBC AC 4103．情感、态度与价值观引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯． 重点与难点1．重点：正弦、正切三角函数概念及其应用．2．难点：使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边、对边与邻边的比值也是固定的这一事实．用含有几个字母的符号组sinA 表示正弦、正切，正弦和正切概念．教学过程类比推理，提出概念请同学们回顾一下，我们是如何得到锐角正弦的概念的？在 Rt △ABC 中，∠C =90°，当∠A 确定时，∠A 的对边与斜边比随之确定．此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？证明推理，引出概念如图：在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠D ，∠C =∠F=90°， AB AC 与 DE DF 相等吗？ AC BC 与 DF EF呢？证明推理，得到概念在 Rt △ABC 中，当锐角 A 的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A 的邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是一个固定值．在直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦，记作 cos A ．在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切，记作tan A ．证明推理，得到概念∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数．巩固概念如图，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，BC =6，求 sin A ，cos A ，tan A 的值.小结反思1．通过本节课的学习，我们一共学习了哪几种锐角三角函数，它们是如何定义的？2．在本节课的学习中，我们用到了哪些数学思想方法？课后作业教科书第 68 页习题28.1 第 1 题．教学反思28.1．4 锐角三角函数课型：习题课教学目标：1.主进一步认识锐角三角函数2.准确把握锐角的正弦、余弦和正切间的联系与区别，进而灵活运用锐角三角函数的概念解决问题．学习目标:1．进一步认识锐角正弦、余弦和正切；2．能根据锐角三角函数的定义解决与直角三角形有关的简单计算．学习重点：根据锐角三角函数的定义解决与直角三角形有关的简单计算．知识梳理问题1 锐角三角函数是如何定义的？总结锐角三角函数的定义过程，并写出如图所示的直角三角形中两个锐角的三角函数．问题2 借助两块三角尺说明 30°， 45°，60°角的三角函数值．典型例题例1 已知，如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC =30°，延长 CA 至 D 点，使AD =AB ．求∠D ，tan D ．例2 已知，如图，⊙O 的半径 OA =4，弦 AB = 34 ，求劣弧 AB 的长．例3 已知，如图，钝角△ABC 中，AC =12 cm ，AB =16 cm ，sin A =31．求 tan B ． 小结与反思回顾上述三个例题的解题思路，思考：在解题过程中，求一个锐角的三角函数的实质是求什么？已知一个锐角的三角函数值可以转化为怎样的条件？在这一过程中应该注意什么？布置作业1．如图，在平面直角坐标系中，直径为 10 的⊙A 经过点C （0，5）和点O （0，0），与x 轴交于另一点D ，点 B 是优弧 ODC 上一点，求∠OBC 的余弦值．2．已知：如图，⊙O 的半径 OA =16 cm ，OC ⊥AB 于 C 点，sin ∠AOC =43，求 AB 及 OC 的长．3．已知：如图△ABC 中，D 为 BC 中点，且∠BAD =90°，tan B =31，求∠CAD 三角函数值．28.2．1解直角三角形及其应用课型：新授课教学目标1.结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理，研究解直角三角形的方法．2．了解解直角三角形的意义和条件；3．能根据已知的两个条件（至少有一个是边），解直角三角形．教学重点、难点：解直角三角形的依据和方法．教学过程实例引入，初步体验问题1 设塔顶中心点为 B ，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A ，过点 B 向垂直中心线引垂线，垂足为点 C （如图）．在 Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =5.2 m ， AB = 54.5 m ，求∠A 的度数．概念一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．（1）三边之间的关系a 2+b 2=c 2（勾股定理） ；（2）两锐角之间的关系∠A +∠B =90°；（3）边角之间的关系sin A =c a ， cos A =c b ， tan A =b asin B =c b ， cos B =c a ， tan B = a b．问题3 从问题 1 的解答过程看，在直角三角形中，知道斜边和一条直角边，可以求其余的三个元素．那么，“知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边） ，可以求其余元素”，还有哪几种情况呢？例题示范，方法探究例1 在 Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =2 ，BC =6，解这个直角三角形．例2 如图，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =35°，b =20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）．应用迁移，巩固提高练习：编写一道解直角三角形的题并解答．归纳：在直角三角形中，知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），我们就可以解这个直角三角形．一般有两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角．归纳交流，总结反思1．什么叫解直角三角形？直角三角形中，除直角外，五个元素之间有怎样的关系？2．两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中，已知一条边和一个锐角，或两边，就能解这个直角三角形？3．你能根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三角形的方法吗？课后作业教科书第74 页练习；教科书习题28.2第1 题．教学反思28.2．2解直角三角形及其应用课型：习题课教学目标1.利用解直角三角形进行几何图形的简单计算．2.熟练掌握解直角三角形的方法；3.能灵活运用解直角三角形解决与直角三角形有关的图形计算问题．教学重难点灵活运用解直角三角形解决与直角三角形有关的图形计算问题．知识梳理问题1什么叫解直角三角形？为什么在直角三角形中已知一条边和一个锐角，或已知两边，能够解这个直角三角形？问题2根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三角形的方法，完成下表填空.典型例题例1在Rt△ABC 中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：（1）a=3，c=6；（2）∠B =60°，b =4；（3）∠A =60°，△ABC 的面积 S = 312 ．例2 在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 是∠BAC 的角平分线，与 BC 相交于点 D ，且 AB =4，求 AD 的长．例3 在△ABC 中，∠B =30°，∠C =45°，AC =4，求 AB 和 BC ．布置作业1．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为 D ，若∠B =30°，CD =6，求 AB 的长．2．AD ⊥CD ，AB =10，BC =20，∠A =∠C =30°，求 AD ，CD 的长．教学反思28.2．3 解直角三角形及其应用教学目标1.能利用直角三角形中的这些关系解直角三角形．2.使学生把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决，进一步提高数学建模能力3.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．教学重点将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题．教学过程复习引入，知识储备问题1 如图，P A 切⊙O 于点 A ，PO 交⊙O 于点 B ，⊙O 的半径为 1 cm ，PB =1.2 cm ，则∠AOB = ， 弧AB= ．问题2三种：重叠、向上和向下．应用知识，解决问题问题3 2012 年 6 月 18轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面 表面最远P 点的距离是多少（地球半径约为 6 400 km ，π 取3.142，结果取整数）？ P 水平线铅垂视线视点俯从组合体中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？从组合体中能直接看到的地球表面最远点，应是视线与地球相切时的切点．在平面图形中，用什么图形可表示地球，用什么图形表示观测点，请根据题中的相关条件画出示意图．如图，用⊙O 表示地球，点 F 是组合体的位置，FQ是⊙O 的切线，切点Q 是从组合体观测地球时的最远点．问题中求最远点与P 点的距离实际上是要求什么？需先求哪个量？怎样求？弧PQ的长就是地面上P、Q 两点间的距离，为计算弧PQ 的长需先求出∠POQ（即α）．应用知识，解决问题问题4热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？（1）从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°→α=30°（2）从热气球看一栋楼底部的俯角为60°→β=60°（3）热气球与高楼的水平距离为120 m→AD=120 m，AD⊥BC．（4）这个问题可归纳为什么问题解决？怎样解决？在直角三角形中，已知一锐角和与这个锐角相邻的直角边，可以利用解直角三角形的知识求这个锐角所对的直角边，再利用两线段之和求解．归纳总结应用解直角三角形的方法解决实际问题的一般步骤：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形中的量．布置作业教科书习题28.2第2，3，4 题教学反思28.2．4解直角三角形及其应用教学目标1.“在航海中确定轮船距离灯塔有多远”的实际问题理解解直角三角形的理论在实际中的应用，进一步领悟解直角三角形的知识也是解决实际问题的有效数学工具。