2012年级电磁场理论期末试题_带答案及解析

课程编号:INF05005 北京理工大学2013-2014学年第一学期
2011级电子类电磁场理论基础期末试题B 卷
班级________ 学号________ 姓名________ 成绩________
一、简答题（12分）
1．请写出无源媒质中瞬时麦克斯韦方程组积分形式的限定形式。

（4分） 答：媒质中无源，则0su J =，0ρ=
()l s E H dl E ds t ∂εσ∂⎡⎤
⋅=+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎰⎰
()l
s
H E dl ds t
∂μ∂⋅=-⋅⎰⎰
=0s
E ds ε⋅⎰
=0s
H ds μ⋅⎰
（评分标准：每式各1分）
2．请写出理想导体表面外侧时变电磁场的边界条件。

（4分）
答：⎩
⎨⎧==⨯00ˆt E E n
,
⎩⎨
⎧==⋅s n
s
D D n ρρ
ˆ, ⎩⎨⎧==⋅00
ˆn
B B n
, ⎩
⎨
⎧==⨯s t s
J H J H n
ˆ
3．请利用动态矢量磁位A 和动态电位U 分别表示磁感应强度B 和电场E ；并简要叙述引入A 和U 的依据条件。

（4分）
答：B A =∇⨯，A
E U t
∂=-∇-
∂； 引入A 的依据为：0B ∇⋅=，也就是对无散场可以引入上述磁矢位；引入U 的依
据为：0A E t ⎛⎫
∂∇⨯+= ⎪∂⎝⎭
，也就是对无旋场，可以引入势函数。

二、选择题（共20分）（4题）
1. 以ˆz
为正方向传播的电磁波为例，将其电场分解为x ，y 两个方向的分量：(,)cos()x xm x E z t E t kz ωφ=-+和(,)sin()y ym y E z t E t kz ωφ=-+。

判断以下各项中电磁波的极化形式：线极化波为（ B ）；右旋圆极化波为（ C ）。

（4分）
A. x y φφπ-=,
3ym xm
E E = B. 2
x y π
φφ-=
，
3ym xm
E E =
C. 0x y φφ-=， xm ym E E =
D. x y φφπ-=-， xm ym E E =
2. 以下关于导电媒质中的均匀平面电磁波论述正确的是（ BC ）。

（双选）（4分） A. 电磁波的相速度与频率无关。

B. E ，H ，k 满足正交关系。

C. 磁场在相位上比对应的电场有一个滞后角。

D. 电场能量密度和磁场能量密度相等。

3. 下列电场矢量表达式中表示行波的是（ A ），表示行驻波的是（ B ），表示纯驻波的是（ CD ）。

（不定项选择）（8分）
A. ˆˆ2jkx jkx E ye jze =+
B. ˆˆ2jkx jkx E ye
ye -=+ C. ˆˆ22jkx jkx E ye
ye -=-
D. ()ˆ2cos sin E t y
kx t ω= 4. 对于一般的非磁性介质，（ A ）极化波存在全折射现象，当入射角（ D ）布儒斯特角时，会产生全折射现象。

（4分） A. 平行
B. 垂直
C. 大于等于
D. 等于
三、（15分）
在半径为a 的无限长导体圆柱外有一根与圆柱轴线平行的无限长线电荷，电荷线密度为l ρ，圆柱轴线与线电荷的距离为d 。

导体圆柱不接地，且导体圆柱上没有净电荷。

求导体圆柱外P 点的电位分布和圆柱面上的感应电荷面密度与总电荷。

解：
（解题思路简述）
导体圆柱不接地且表面上不带电荷，若在导体圆柱附近放置线电荷l ρ，它与球心的距离为d （d>a ）,则此时导体圆柱的电位不为零，而柱面上的净电荷为零，即在圆柱面上靠近q 的表面和远离q 的表面感应有等量异号的面电荷分布。

因此在移去导体圆柱后，应设两个镜像线电荷来代替它们。

解：如图所示建立坐标。

1）镜像线电荷'l l ρρ=-，位置2
a d d
'=； （2）
镜像线电荷''l l ρρ=，位置圆柱轴线； （2） 2）球外任意点P 电位分布：
000''ln ln ln 222l l l MB O B a
U R R r
ρρρπεπεπε''=
++'
000''ln ln ln 222l l l R R r d a a d a
ρρρπεπεπε''=---'--
000ln ln 222l l l
R d r
Ra a
ρρπεπερπε'=-=
（6）
3）利用电位可求出导体圆柱面上的电荷密度与总电荷：
220
22
()
2(2cos )2l l
s r a
d a U
r
a a d ad a
ρρρεπφπ=-∂=-=-
+
∂+- （3）
4）由电荷守恒公理可知，闭合面内总电荷应为包裹的净电荷，所以总电荷：0Q = （2）
四、（12分） 已知在圆柱坐标系下放置着一无限长直导线，直导线横截面为圆形，导线轴线与z 轴重合（直导线的磁导率为0r μμμ=），直导线内部存在着恒定电流，导线外部为真空，此电流确定的磁感应强度在圆柱坐标系下表示为：
2
003
00ˆ()
3ˆ()
3J a B J a a μρϕρμϕρρ
⎧≤⎪⎪
=⎨⎪>⎪⎩
求：（1）空间中的磁场强度矢量H 和磁化强度矢量M ；
（2）空间中的电流密度分布； （3）求在导线表面上的磁化电流面密度mS J 。

解： （1）
（4分）
磁场强度
2
2
0003
30000
ˆˆ()()
33ˆˆ()
()
33r J J a a B H J a J a a a μρρϕρϕρμμμμϕ
ρϕρρμρ
⎧⎧≤≤⎪⎪
⎪
⎪===⎨
⎨⎪⎪>>⎪⎪⎩⎩
因为0
B
H M μ=
-，所以磁化强度矢量为
22000200
330
0000ˆ()1
33ˆ1()3ˆ()
()
33r r J J a J a B M H J a J a a a μρρϕρρμμϕρμμμϕ
ρρρμρ⎧⎡⎤
-≤⎧⎪⎛⎫⎢⎥-≤⎪⎣⎦⎪
⎪=-==⎨
⎨⎝⎭
⎡⎤⎪⎪->>⎩⎢⎥⎪⎣
⎦⎩
（2）
（6分）
①利用安培回路定律微分形式求解体电流分布：
a ρ<时 30020ˆˆˆˆ1ˆ330
3r r r
z
J J z
J H z z J ρ
ρϕρρρρ
ϕρρμμρρμ⎡⎤∂
∂∂∂=∇⨯=
==
⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦
a ρ>时 3030ˆˆˆˆ1030
3z
J a z J H z J a ρ
ρϕρρ
ϕρρρρ
⎡⎤∂
∂∂∂=∇⨯=
==⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦ ②利用磁场边界条件求解面电流分布：
a ρ=时 ()222000121
ˆˆˆˆ1333S a
r r J a J a J a J n
H H z ρρϕμμ=⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=⨯-=⨯-=-⎢⎥ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
（3）
（2分）
()22
001ˆˆˆˆ1133mS
r a
a r r
J J J M n z ρρρρϕ
ρμμμ==⎡⎤⎛⎫=⨯=-⨯=-⎢⎥
⎪⎝⎭⎣⎦
五、（15分）真空中一平面电磁波的电场瞬时表达式为（已知真空中光速为
8310m/s ⨯）： ˆˆ(,)10c o s (40)10s i n (40)
E r t y t x z t x ωπωπ=+++ 求：1) 电磁波的传播方向；
2) 波长及工作频率的具体数值； 3) 磁场强度的复矢量和瞬时值表达式； 4) 平均坡印廷矢量； 5) 电磁波的极化形式。

解： 六、（16分）矩形波导管的横截面尺寸为259a b mm mm ⨯=⨯，管壁为理想导体，内部为真空。

若所传输的10TE 波的工作频率为1010f Hz =，电场的复矢量为
100ˆsin j z x
E yE
e a
βπ-=
求：(1)磁场强度的复矢量表达式H ；
(2)相位常数β、相速度p v 和波阻抗10TE Z 的数值； (3)单模传输10TE 波的工作频率范围；
(4)若用1, 2.25r r με==的电介质填充此波导管，此波导管中还能传输哪些模式的电磁波？
解： 七、（10分） 赫兹偶极子天线在真空中的远区辐射磁场表达式为
r k j e r
H
j H -=θϕ
s i n ˆ0 求远区辐射电场的表达式和天线波瓣宽度5.02θ。

此时E 和H
不严格满足麦克斯韦方程组，请说明原因。