级数求和与函数展开习题课
级数求和与函数展开习题课
一、数项级数的审敛法√ 二、求幂级数收敛域的方法
4、5、7节
三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数
展开法
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三、幂级数和函数的求法
• 求部分和式极限
• 利用幂级数性质，借用已知幂级数的和函数求解 （在收敛区间内）
anxn
n0
难
逐项求导或求积分
an xn
n0
求和
S(x)
对和式积分或求导
S * ( x)
• 数项级数 直接求和: 求部分和等 求和 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
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常用函数的幂级数（或常用幂级数的展开式）
ex 1 x 1 x2 1 xn ,
2!
n!
x (, )
ln(1 x)
x
1x2 2
1 x3 1 x4 34
(1)n n 1
xn1
x (1, 1]
sin x x x3 x5 x7 (1)n x2n1
3! 5! 7!
(2n 1)!
x (, )
cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
2! 4! 6!
(2n)!
x (, )
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(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1)(m n 1) xn x (1, 1) n!
当 m = –1 时
1 1 x x2 x3 (1)n xn , 1 x
x (1, 1)
习题课级数的收敛求和与展开
逐项求导或求积分 难
求和
• 数项级数 求和
对和函数求积或求导
直接求和: 直接变换,
求部分和等
间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
例3. 求幂级数
法1 易求出级数的收敛域为
法2 先求出收敛区间
设和函数为
则
练习: P329 题9. 求下列幂级数的和函数：
解: (1)
x≠0
显然 x = 0 时上式也正确, 故和函数为
上的表达式为 将其展为傅氏级数 .
解答提示
延拓方法 它在
思考: 如何利用本题结果求级数 提示: 根据傅式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有
备用题 设幂级数
满足
(1) 证明
(2) 求 y(x) 的表达式.
解: 设
则由
内收敛, 其和函数
( 2007考研 )
代入微分方程得
可见 分析
(2) 由(1) 知
收敛
发散
3. 任意项级数审敛法
概念:
为收敛级数
若
收敛 , 称
若
发散 , 称
绝对收敛 条件收敛
Leibniz审敛法: 若 则交错级数
且 收敛 , 且余项
Dirichlet判别法
设{an },{bn }是两个数列, Sn a1 a2 L an ,
如果它们满足：
（1） {an }的部分和数列{Sn }有界；
故存在 N > 0,
当n >N 时
从而 再利用比较法可得结论
P328 题5. 设级数是否也Biblioteka 敛？说明理由.收敛 , 且
提示: 对正项级数,由比较判别法可知 但对任意项级数却不一定收敛 .
例如, 取
高等数学下册习题课件：幂级数的和函数与函数展开成幂级数
1 3n
1 2n
]xn
(2 x2) 。
四、解答题
1.求幂级数 xn1 的收敛域与和函数。 n1 n2n
解：∵
lim n
n
an
lim n
n
1 n2n
11 1 lim
n 2 n n 2
，
∴R2 ，收敛区间为（-2，2），
当 x 2 时，得 (1)n1 1 ，收敛的；
n1
2n
当 x2 时，得
]t
n
(
3 2
t
3 2
),
f
(
x
)
[
n0
1 2n1
(1)n
2n 3n1
](
x
1)n
(1 x 2
5 ).
2
3.
将函数
f
(
x
)
1 x2
展开成( x1) 的幂级数.
解:
∵
f
(
x
)
1 x2
(
1 x
)
，
而 1
1
(1)n( x 1)n , (0 x 2).
x 1 ( x 1) n0
∴
f (x)
0 n0
2n1
0 n0
2n1
(1)n
x 2n2 (1 x1)
n0(2n1))2n 2)
解法 2： arctan x (1)n1 x 2n1 ( 1 x1),
n1
2n1
ln
1 x 2
1ln(1 x 2 ) 1
(1)n1
x 2n ( 1 x1),
2
2 n1
n
∴ f ( x) xarctanxln 1 x2
高等数学级数的求和、函数（精品）
一、某些级数的部分和（小孩小孩，，像下面的要证明的话像下面的要证明的话，，就用数学归纳法就用数学归纳法！！） )1(21321+=++++n n n L)12)(1(613212222++=++++n n n n L223333)1(41321+=++++n n n L)133)(12)(1(30132124444−+++=++++n n n n n n L )122()1(1213212225555−++=++++n n n n n L )1363)(12)(1(421321346666+−+++=++++n n n n n n n L )2463()1(241321234227777+−−++=++++n n n n n n n L−+=−+−+−−为偶数为奇数n n n n n n ,2),1(21)1(3211L)1(21)1()1(321121222+−=−+−+−−−n n n n n L+−+−=−+−+−−为偶数为奇数n n n n n n n n ),32(41,)1)(12(41)1(3212231333L)1)(1(21)1()1(3212141444−++−=−+−+−−−n n n n n n n L)1(2642+=++++n n n L 2)12(531n n =−++++L)14(31)12(53122222−=−++++n n n L)12()12(531223333−=−++++n n n L)2)(1(31)1(433221++=+++⋅+⋅+⋅n n n n n L)3)(2)(1(41)2)(1(543432321+++=++++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅n n n n n n n L)4)(3)(2)(1(51)3)(2)(1(54324321++++=+++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅n n n n n n n n n L)!1()!1(21)()1(1−+++=++∑=n k n k k j j j nj L)53)(2)(1(121)1(12+++=+∑=n n n n j j nj)32)(3)(2)(1(101)2()1(12++++=++∑=n n n n n j j j nj)1(41)(22122−=−∑=n n j nj nj4)2(2)1(2211−+−=++=∑n n j j n nj j1111)1(1431321211+=+−=+++⋅+⋅+⋅n n n n n L)2)(1(2141)2)(1(1543143213211++−=++++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅n n n n n L )3)(2)(1(31181)3)(2)(1(1654315432143211+++−=+++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅n n n n n n n L)1(21214311)1)(1(1222+−−=−=−+∑∑==n n j j j nj nj12)12)(12(11+=+−∑=n nj j n j13)13)(23(11+=+−∑=n nj j nj)32)(12(41121)32)(12)(12(11++−=++−∑=n n j j j nj)43)(13(61241)43)(13)(23(11++−=++−∑=n n j j j nj)2)(1(212243)2)(1(121++++−=++−∑=n n n j j j j nj)3)(2)(1(34)3)(2(23313629)3)(1(21+++−++−+−=+++∑=n n n n n n j j j j nj2122)2)(1(211−+=++∑=−n j j j n nj j)2(34)1(32)2)(1(4112+−+=+++=∑n n j j j n nj jnnj jn j j j 2)1(112)1(21+−=++∑=nnj j n j j j 3)1(113)1(321+−=++∑=−+−+=−+−+−+++=++−∑1111111)1(2)1(131])1(2][)1(2[2)1(n n n nj j j j jj j−−+++++−=−++−++∑=b n a a a n b b b a b j a a a j b b b nj )1()1()()1(11)1()1()1()1(1L L L L二、乘法与因式分解公式（容易推导）ab x b a x b x a x +++=++)())((2 2222)(b ab a b a +±=± 3223333)(b ab b a a b a ±+±=± ))((22b a b a b a +−=− ))((2233b ab a b a b a +±=±m)())((122321为正整数n b ab b a b a a b a b a n n n n n n n −−−−−+++++−=−L )())((122321为偶数n b ab b a b a a b a b a n n n n n n n −−−−−−+−+−+=−L )())((122321为奇数n b ab b a b a a b a b a n n n n n n n −−−−−+−−+−+=+Lca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a −−−++++=−++三、有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式)0,1()1ln(1)0,1(1)0,1(11)0(11)0 为自然数，(!!21)0,1(11)0(121,104)1(sin 2031tan )0(61sin )0,(211cos 222sin )0(1sin cos 20tan sin 112332≠−><+<+≠−>+<≠−>−<+≠−>>++++>≠<−<≠+>≠<<<−<<<+>>−>≠∞<<−∞−><<−><<<<<<<<+−−x x x x xxx x x ex x e x xx x e x n n x x x e x x xe x x e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x xx x x x x xx x x xn xxx L ππππππππ 特别取)(1为自然数n nx =，有 nn n 111ln 11< +<+)0,1(1)1(210tan sin 21sec ln )0,0()1(ln )0,1(1)1ln()0(1ln 1>>+>+<<⋅<>>−≤≠<−<−−<>−≤x x x x xx x x n x n x x x xx x x x x x nααα四、组合公式C n k C k n C k n k C n n k C C C C C C C C C C CC C n k n k n k n k n k n k n n kn k n k n k n k n j k jj kn k n n jnj km nk m jn k jj k ==++=+−=−==+===−−+++−−+−+−−=++++=+−=∑∑∑1111111111100111五、、函数的概念与分类[函数与反函数] 设D 是给定的一个数集.若有两个变量x 和y ，当变量x 在D 中取某个特定值时，变量y 依确定的关系f 也有一个确定的值，则称y 是x 的函数，f 称为D 上的一个函数关系上的一个函数关系，，记为y =f (x )，x 称为自变量称为自变量，，y 称为因变量.当x 取遍D 中各数，对应的y 构成一数集R ，D 称为定义域或自变数域，R 称为值域或因变数域.反过来，若把y 视为自变量，x 视为因变量，用y 写出x 的表达式：x =ϕ(y )，则称y =f (x )与x =ϕ(y )互为反函数.例如例如：：y = x + sin(x+3)[实变函数与复变函数] 当自变数域为实数域时，函数称为实变函数.当自变数域为复数域时，函数称为复变函数.[一元函数与多元函数] 只有一个自变量的函数称为一元函数.有两个或两个以上自变量的函数称为多元函数.[显函数与隐函数] 因变量可以由自变量用数学式子直接表示出来的函数称为显函数.例如例如：：y = x + 3, 这就叫显式表示这就叫显式表示，，显函数若函数关系包含在一个方程式或一组方程式中，自变量与因变量无明显区分，则称为隐函数.例如例如：：sin(x) + tg(2y) = 5, 这就叫隐式表示这就叫隐式表示，，隐函数[简单函数与复合函数] 若y 是u 的函数y =f (u )，而u 又是x 的函数，u =ϕ(x )，则y 称为x 的复合函数，u 称为中间变量，记作y =f [ϕ(x )]，无中间变量的函数称为简单函数.例如例如：：y = sin[exp(cos(x+2))][有界函数与无界函数] 若存在两个数m , M (m ≤M )，使m ≤f (x )≤M ，对定义域上的任意x 都成立，则称f (x )为定义域上的有界函数，m 为其下界，M 为其上界.若这样的数m 和M 至少有一个不存在，则称f (x )为定义域上的无界函数.例如例如：：sin(x)就是有界函数就是有界函数，，{-1，1}[单调函数与非单调函数] 若对于区间[a , b ]中的任意x 1>x 2有f (x 1)≥f (x 2)[或f (x 1)≤f (x 2)]，则称f (x )为[a , b ]中的递增函数(或递减函数).递增函数和递减函数通称为单调函数.不是递增(或递减)的函数称为非单调函数.换句话说换句话说：：对于区间[a , b ]，f’(x)>0，则为单调递增函数则为单调递增函数；；而f’(x)<0,递减函数[奇函数与偶函数] 若对于定义域中的任意x 恒有()()x f x f −=−，则称f (x )为奇函数；若对于定义域中的任意x 恒有()()x f x f =−，则称f (x )为偶函数.例如例如：：sin(x)，tg(x), ctg(x)是奇函数是奇函数、、而cos(x)是偶函数[周期函数与非周期函数] 若有一实数T ≠0，使对定义域中的任意x 恒有f (x +T )=f (x )，则f (x )称为以T 为周期的周期函数；否则称f (x )为非周期函数.孩子，注意周期的求法：按照定义来（保持T 为最小！！！） 例如：sin(x)=sin(2PI +x),所以，2PI 是函数sin(x)的周期Sin^2(x)=1/2[1-cos(2x)]=1/2[1-cos(2PI+2x)]=1/2[1-cos2(PI+x)]=sin^2(PI+x)所以，PI 是sin 平方的周期[单值函数与多值函数] 若对于自变量x 的一个值，因变量y 有一个而且只有一个值与其对应，则称y 为x 的单值函数.若对于自变量x 的一个值，与其对应的y 值不止一个，则称y 为x 的多值函数.[初等函数] 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数通称为“基本初等函数”，凡是由基本初等函数经过有限次四则运算以及有限次的复合步骤而构成，并能用一个数学式子表示的函数都属于初等函数.[幂函数的图形与特征]方程与图形 特 征曲线通过点(0,0)和(1,1)；当x >1时，α越大曲线上升越快.当α为偶数，函数为偶函数，在区间(0,∞)中为递增函数，在区间(-∞,0)中为递减函数.当α为奇数，函数为奇函数和递增函数.曲线通过点(1,1).当α为负偶数，函数为偶函数，在区间(-∞,0)中为递增函数，在区间(0, ∞)中为递减函数.当α为负奇数，函数为奇函数和递减函数.方程与图形 特 征指数函数曲线与y 轴相交于点A(0,1). 渐近线为y=0.曲线与x 轴相交于点A(1,0). 渐近线为x=0.[三角函数的图形与特征] 标准正弦曲线周期：π2=T与x 轴交点（同拐点）：L ,2,1,0),0,(±±=k k B k π极值点（极大点或极小点）：L ,2,1,0,)1(,21(±±=−+k k A k k π余弦曲线周期：π2=T与x 轴交点（同拐点）：L ,2,1,0,0,)21(±±=+k k B k π极值点：L ,2,1,0),)1(,(±±=−k k A k k π 一般正弦曲线)sin(0ϕω+=x A y 周期：ωπ2=T式中A >0为振幅，ω为角频率，0ϕ为初相 与x 轴交点（同拐点）：L ,2,1,0,0,0±±=−k k B k ωϕπ极值点：,)1(,21(0−−+A k A k k ωϕπL ,2,1,0±±=k 同时，)cos(1ϕω+=x A y 也属于一般正弦曲 它是将标准正弦曲线在y 轴方向上伸线(设210πϕϕ+=，可化为))2sin(1πϕω++x A 长A 倍，在x 轴方向上压缩ω倍，并向左平移ωϕ0一段距离而得到.正切曲线周期：π=T与x 轴交点（同拐点）：L ,2,1,0),0,(±±=k k A k π，该点切线斜率为1.渐近线：π21(+=k x余切曲线周期：π=T与x 轴交点（同拐点）： L ,2,1,0,0,)21(±±=+k k A k π，该点切线斜率为－1.渐近线：πk x =y =tan x正割曲线周 期：π2=T极大点：)1,)12((−+πk A k 极小点：L ,2,1,0),1,2(±±=k k B k π渐近线：π)21(+=k x余割曲线周 期：π2=T极大点：−+1,232(πk A k极小点：+1,)212(πk B kL ,2,1,0±±=k渐近线：πk x =反三角函数的图形与特征]反正弦曲线 反余弦曲线拐点（同曲线对称中心）： 拐点（同曲线对称中心）：)0,0(O ，该点切线斜率为12,0(πA ，该点切线斜率为－1反正切曲线 反余切曲线拐点（同曲线对称中心）： 拐点：)0,0(O ，该点切线斜率为1 )2,0(πA ，该点切线斜率为－1渐进线：2π±=y曲线对称中心：)2,0(πA渐近线：π==y y ,0反正割曲线反余割曲线顶点：),1(),0,1(π−B A 顶点：)2,1(),2,1(ππ−−B A渐近线：2π=y渐近线：0=y六、双曲函数1. 双曲函数的定义、图形与特征[双曲函数的图形与特征]双曲正弦曲线 双曲余弦曲线x y sh =x y ch =曲线关于原点对称. 曲线关于y 轴对称. 拐点（同曲线对称中心）： 顶点（同极小值点）：)1,0(A )0,0(O ，该点切线斜率为1双曲正切曲线 双曲余切曲线 x y th =x y cth =曲线关于原点对称.曲线关于原点对称. 拐点（同曲线对称中心）： 不连续点：0=x)0,0(O ，该点切线斜率为1 渐近线：1,0±==y x 渐近线：1±=y双曲正割曲线 双曲余割曲线 x y sech =x y csch =曲线关于y 轴对称. 曲线关于原点对称.顶点（同极大点）：)1,0(A 不连续点：0=x拐点：22,22th Ar B 渐近线：0,0==y x−22,22th Ar C 渐近线：0=y1csch cth ,1th sech ,1sh ch 1cth th ,cth sh ch ,th ch sh 222222=−=+=−===x x x x x x x x x xxx x x [双曲函数基本公式]和差的双曲函数y x yx y x y x y x y x y x y x y x yx y x y x cth cth cth cth 1)cth(th th 1th th )th(sh sh ch ch )ch(sh ch ch sh )sh(±±=±±±=±±=±±=±双曲函数的和差yx y x y x y x y x y x yx y x y x yx y x y x yx y x y x sh sh )sh(cth cth ch ch )sh(th th 2sh2sh 2ch ch 2ch2ch 2ch ch 2ch 2sh2sh sh ±±=±±=±−+=−−+=+±=±m倍 元 公 式 x xx x x x x x x x x x x x x x x x cth 2cth 12cth th 1th 22th ch 3ch 43ch ch sh 2ch sh 4sh 33sh ch sh 22sh 223223+=+=−=+=+== 半 元 公 式xx x x x x x x x x x x x x x x sh 1ch 1ch sh 2cth 1ch sh sh 1ch 2th 21ch 2ch,0,021ch 2sh +=−=+=−=+=<>−±=取负号取正号[反双曲函数的图形与特征] 反双曲正弦曲线 反双曲余弦曲线 x y sh Ar =x y ch Ar =曲线关于原点对称. 曲线关于x 轴对称. 拐点（同曲线对称中心）：顶点：)0,1(A)0,0(O ，该点切线斜率为1反双曲正切曲线 反双曲余切曲线 x y th Ar =x y cth Ar =曲线关于原点对称. 曲线关于原点对称. 拐点（同曲线对称中心）： 不连续点：1±=x )0,0(O ，该点切线斜率为1 渐近线：1,0±==x y反双曲正割曲线 反双曲余割曲线 x y sech Ar =x y csch Ar =曲线关于x 轴对称. 曲线关于原点对称.顶点：)0,1(A不连续点：0=x拐点： 22th Ar ,22B 渐近线：0,0==y x和−22th Ar ,22C4. 反双曲函数的相互关系与基本公式[基本公式]xyy x y x y x xy y x x y y x y x ±±=±−−±=±+±+=±1thAr th Ar th Ar ])1)(1(ch[Ar ch Ar ch Ar )11sh(Ar sh Ar sh Ar 2222。
函数展开成幂级数公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
f (x) (1)n x2n1, x [1, 1] 4 n02n 1
第21页
2. 将 f (x) ln(2 x 3x2 ) 在x = 0处展为幂级数.
解:
f
(
x)
ln(1
x)
ln
2
ln(1
3 2
x)
2 x 3x2
ln(1
x)
n1
xn n
(1 x)(2 3x) (1 x 1)
解:
sin
x
sin
4
(
x
4
)
sin
4
cos(
x
4
)
cos
4
sin(
x
4
)
1 2
cos(x
4
)
sin(
x
4
)
1 2
1
1 (x 2!
4
)2
1 (x 4!
4
)4
( x
)
4
1 (x 3!
)3
4
1 (x 5!
)5
4
1 1 (x ) 1 (x )2 1 (x )3
2
4 2! 4 3! 4
•
ln(1 x)
x 1x2 2
1 x3 1 x4 34
(1)n n 1
xn1
x (1, 1]
第18页
• sin x x x3 x5 x7 (1)n x2n1
3! 5! 7!
(2n 1)!
x ( , )
• cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
数” 有何不同 ?
勒级
提醒: 后者必需证实 lim Rn (x) 0, 前者无此要求.
《高数》第十一章-习题课：级数的收敛、求和与展开
概念:
为收敛级数
若
收敛 , 称
若
发散 , 称
绝对收敛 条件收敛
Leibniz判别法: 若
且
则交错级数
收敛 , 且余项
4
例1. 若级数
均收敛 , 且
证明级数
收敛 .
证: 0 c n a n bn a n (n 1 , 2 , ), 则由题收敛
(1)n
n0
x2n ,
x (1,1)
arctan
x
x
01
1 x2
d
x
(1)n x2n1, n02n 1
x [1,1]
于是
f (x) 1 (1)n x2n (1)n x2n2
n1 2n 1
n02n 1
25
f
a 1 时收敛 ; a 1 时发散.
s 1 时收敛;
a 1 时, 与 p 级数比较可知 s 1 时发散.
7
P257 题3. 设正项级数 和 都收敛, 证明级数
也收敛 .
提示:
因
lim
n
un
lim
n
vn
0
,存在
N
>
0, 当n
>N
时
又因
2( un2 vn2 )
思考: 如何利用本题结果求级数
提示: 根据付式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有
e 1 1
2 n1
f (0 ) f (0 ) 1
2
2
28
作业
P257 6 (2); 7 (3); 9(1) ; 10 (1) ;
课件：函数展开成幂级数
n1
n n1 n
(1)n1 3n xn( 1 x 1 )
n1
n
3
3
22
思考：
如何将下列函数 展开成 x 的幂级数.
（1）f
(
x)
ln
1 1
x x
（2）f (x) ln(1 x x2 )
23
例10. 将f (x) arcsinx 展开x的幂级数。
解: 因为 f ( x) (arcsin x) 1
12
对应
m
1 2
,
1 2
,1
的二项展开式分别为
1 x 1 1 x 1 x2 13 x3 135 x4 2 24 246 2468
( 1 x 1)
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1
x
1 x2 2!
1 x3 3!
1 xn n!
其收敛半径为
R lim
n
1 n!
1 (n 1)!
对任何有限数 x , 其余项满足
e xn1 e x (n 1)!
n
( 在0与x 之间)
故 ex 1 x 1 x2 1 x3 1 xn ,
2! 3!
n!
7
例2. 将
展开成 x 的幂级数.
解: f (n) (x)
•
ln(1
x)
xln221xn211n13[x13(14 x234)n] xn
(1)n (n321
xxn132)
x (1, 1]
高等数学-幂级数
其中
称为傅里叶级数. 称为傅里叶级数.
(3)
狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) 狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) (Dirichlet)充分条件
∑=u ( x) + u ( x) ++ u ( x) +
n=1 1 2 n
∞
上的(函数项)无穷级数. 称为定义在区间 I 上的(函数项)无穷级数.
(2)
收敛点与收敛域
收敛, ∑u ( x ) 收敛,
n=1 n 0
13
如果 x0 ∈ I , 数项级数
∞
则称 x0 为级数
收敛点, ∑u ( x) 的收敛点,
n=1 n
∞
否则称为发散点. 否则称为发散点. 发散点
的所有收敛点的全体称为收敛域 收敛域, 函数项级数 ∑un ( x)的所有收敛点的全体称为收敛域,
n=1 ∞
所有发散点的全体称为发散域. 所有发散点的全体称为发散域. 发散域
(3)
和函数
在收敛域上, 在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 s(x),
∞
∑ un
∞
∞
收敛, 为绝对收敛; 收敛, 则称 ∑un 为绝对收敛;
发散, 收敛, 为条件收敛. 若 ∑ un 发散,而 ∑un 收敛, 则称 ∑un 为条件收敛.
n=1 n=1 n=1
12
5、函数项级数
(1) 定义
设u1( x), u2 ( x),, un ( x),是定义在 I R 上的 函数, 函数,则
1 (1) 则当 ρ ≠ 0 时, R = ; ρ (2) 当 ρ = 0 时, R = +∞;
(3) 当 ρ = +∞ 时, R = 0.
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dx
1 x
x
0
1
1
x
dx
1ln1(x) (0x1及 x1) x
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S(x) 1ln1(x), x
(0x1及 x1)
而
S(0) 1, xl i0m ln(1xx)1,
因此由和函数的连续性得:
1ln1( x), S(x) x
1,
x [ 1 ,0 ) (0 ,1 ) x0
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例4. 求级数
x n
n0n 1
的和函数
S(x) .
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 且x1时级数
收敛 ,x=1时级数发散，则 当x0时,有
Байду номын сангаас
S(x)
xn
1
x n 1
1
x
xn dx
n0n1 x n0 n 1 x n0 0
1 x xn
x 0 n0
1 xtn x
0
dt
x
t n1
d t
1x
tn
d t
0 n1
x 0 n1
x
1
dt 1x
t
dt
1t
0
x 1t
0
(0x1)
ln1 (x)11ln(1x) x
1(11)ln(1x) x
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即得
x n
n1 n(n 1)
1(11)ln(1x), x
0 x 1
显然 x = 0 时, 和为 0 ; x = 1 时, 级数也收敛 .
1 2n 0(( 21n))n!n 0(2( n1)n 1)!
1[cos 1 sin1] 2
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四、函数的幂级数和付式级数展开法
1. 函数的幂级数展开法 • 直接展开法 — 利用泰勒公式
• 间接展开法 — 利用已知展式的函数及幂级数性质
1
例如. 将函数
1
x2
•ln(1x)x 1 x 2 2
1 x 3 1 x4 34
(1)n n 1
xn1
x(1,1]
• sinxx x 3 x 5 x 7 (1)n x2n1
3 ! 5 ! 7!
(2n1)!
x (, )
•coxs1 x 2 x 4 x 6 (1)n x2n
2 ! 4 ! 6!
(2n)!
n0
难
逐项求导或求积分
a
n
xn
n0
求和
S(x)
对和式积分或求导
S * ( x)
• 数项级数 直接求和: 求部分和等 求和 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
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常用函数的幂级数（或常用幂级数的展开式）
• e x 1 x 1 x 2 1 xn ,
2!
n!
x (, )
2 n2n 1 2x n2n 1
(x0)
x x n 1 xn
2 n1 n 2x n3 n
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S(x)
2x21xn 1xnn
1 2x
(x
x2 2
)
(x0)
而
xn
x
x
x
xn1 dx xn1 dx
dx
n 1 n n1 0
0 n1
01 x
ln1 (x)
x (, )
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• (1x)m1mx m(m1) x2 2!
m (m1)(mn1)xnx(1,1) n!
当 m = –1 时
1 1 x
1 x x 2 x 3 ( 1 ) n x n ,x(1,1)
1 1 x
1xx2x3 Lxn L, x(1,1)
练 习 ： 求 幂 级 数 x2n-1的 和 函 数 。
n12n-1
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例5. 求数项 n 2(级 n2 11数 )2n的.和
解: 设
S(x)
n2
nx2n1,
x(1,1), 则所求级数和
＝S(1/2)
S(x)n 21 2n1 1n1 1xn x xn1 1 xn1
x 2 x2
2 x2 (2 x2 )2
(0 x2 1) 2
显然 x = 0 时上式也正确, 而在 x 2 级数发散,
故和函数为
S(x)
2x2 (2x2)2
,
x (2,
2).
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(4) 原式 n 11 nn11xn
x0
n1
x
t n1 d t
0
n1
第十一章 函数级数 级数的收敛、求和与展开
一、数项级数的审敛法√ 二、求幂级数收敛域的方法
4、5、7节
三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数
展开法
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三、幂级数和函数的求法
• 求部分和式极限
• 利用幂级数性质，借用已知幂级数的和函数求解 （在收敛区间内）
anxn
S(x)1x2ln 1(x)2x
2x
4
故
1
n2(n2 1)2n
S 1
2
5 3ln2 84
(x0)
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例6. 求幂级数 n 0(1)n(2nn 11)!x2n1的和函 .
法1 易求出级数的收敛域为( ,)
原 式 1((1)n 1 x2n2) 2n0 (2n1)!
12xn 0(2( n1)1n)!x2n1
展开成 x 的幂级数.
因为 1 1 x x2 ( 1 )nxn (1x1) 1 x
把 x 换成 x 2 , 得
1 1 x2
1 x 2 x 4 ( 1 )nx 2 n (1x1)
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例7. 将
1
展成 x－1 的幂级数.
x2 4x 3
解:
x21 4x3(x1)1x (3)
根据和函数的连续性 , 有
1 (1 1 )l( n 1 x ), 0 x 1 及 x 1 x
S(x) 0 ，
x 0
1 ，
x 1
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P258
题9(2).
求级数
(1)n
n0
n1 (2n1)!
的和
.
解:
原式=
1 2
n 0(1)n(2(n2 n 1 )1 !) 1
x 2
sin
x
S(x)1sixnxcox,sx (, ) 22
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P258 题8. 求下列幂级数的和函数：
(1) n 12n2n1x2(n1);
(4) n1n(nxn1).
x≠0
解: (1)
原式(
n1
1 x2n1) 2n
1xn1(x22)n
1 x
x2
1
2
x2 2
1(xsinx) 2
1sinxxcoxs, x (, ) 22
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法2 先求出收敛区间( , ), 设和函数为S(x),则
x
S(x)dx (1)n
n1
x
x2n 1dx
0
n0
(2n1)!
0
1 (1)n x2n2
2 n0(2n1)!
x (1)n x2n1
2n0(2n1)!