《高数》第十一章-习题课：级数的收敛、求和与展开
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高等数学第十一章习题
第十一章总习题
1. 填空题
∞
∑ (1)
lim
n→∞
un
= 0 是级数 un 收敛的
n=1
必要
条件,
而不是
充分
条件;
∞
∞
∞
(2) 若级数 ∑un 绝对收敛, 则级数 ∑un 必定 收敛 ; 若级数 ∑un 条件收敛,
n=1
n=1
n=1
∞
则级数 ∑ un 必定 发散 ; n=1
∞
∞
(3) 级数 ∑un 按某一方式经添加括号后所得的级数收敛是级数 ∑un 收敛的
.
n=1 (n − 1)! 3
n=1 (n − 1)!
n=1 (n − 1)!
93
所以
S ( x)
=
x2 (
+
x
x
+ 1)e3
,
x ∈ (−∞, +∞) .
93
∑ ∑ (4) 令 t = x + 1, 则 ∞ (x + 1)n = ∞ tn . n=0 (n + 2)! n=0 (n + 2)!
设 an
−1)
,
而 lim un+1 n→∞ un
=
lim
n→∞
2(n + 1) 2n+1
−1 2n x2 2n −1
=
x2 2
,
当
x=±
2
时级数
∞
∑
2n
−
1
发散,
所 以 级 数 的 收 敛 区 间 为 (−
2,
2) .
设
n=1 2
∑ S ( x)
=
∞ n=1
1. 填空题
∞
∑ (1)
lim
n→∞
un
= 0 是级数 un 收敛的
n=1
必要
条件,
而不是
充分
条件;
∞
∞
∞
(2) 若级数 ∑un 绝对收敛, 则级数 ∑un 必定 收敛 ; 若级数 ∑un 条件收敛,
n=1
n=1
n=1
∞
则级数 ∑ un 必定 发散 ; n=1
∞
∞
(3) 级数 ∑un 按某一方式经添加括号后所得的级数收敛是级数 ∑un 收敛的
.
n=1 (n − 1)! 3
n=1 (n − 1)!
n=1 (n − 1)!
93
所以
S ( x)
=
x2 (
+
x
x
+ 1)e3
,
x ∈ (−∞, +∞) .
93
∑ ∑ (4) 令 t = x + 1, 则 ∞ (x + 1)n = ∞ tn . n=0 (n + 2)! n=0 (n + 2)!
设 an
−1)
,
而 lim un+1 n→∞ un
=
lim
n→∞
2(n + 1) 2n+1
−1 2n x2 2n −1
=
x2 2
,
当
x=±
2
时级数
∞
∑
2n
−
1
发散,
所 以 级 数 的 收 敛 区 间 为 (−
2,
2) .
设
n=1 2
∑ S ( x)
=
∞ n=1
高数11-2数项级数及审敛法.ppt
1) un un1 ( n 1, 2, );
2) lim un 0,
n
则级数 (1)n1un收敛 , 且其和 S u1, 其余项满足
n1
rn un1 .
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1 n1 1
收敛
2)
1
2 1
2!
3 1
3!
因此级数发散 ;
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1 时, 等比级数发散 .
例2. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln3 ln 2) ln(n 1) ln n
定理 1. ( Abel定理 )若幂级数 an xn
n0
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
时该幂级数发散 , 则对满足不等式
的一切 x , 该幂级数也发散 .
发散
收敛 发散
收o敛
发散x
收敛半径
收敛区间
收敛域
定理2. 若
的系数满足
则
1) 当 ≠0 时,
R
1
;
2) 当 ＝0 时, R ;
lim
n
un
0
满足
比值审敛法 nlimuunn1
根值审敛法
lim n
n
un
1
1
收敛
发散
不满足 发 散
比较审敛法
2) lim un 0,
n
则级数 (1)n1un收敛 , 且其和 S u1, 其余项满足
n1
rn un1 .
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1 n1 1
收敛
2)
1
2 1
2!
3 1
3!
因此级数发散 ;
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1 时, 等比级数发散 .
例2. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln3 ln 2) ln(n 1) ln n
定理 1. ( Abel定理 )若幂级数 an xn
n0
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
时该幂级数发散 , 则对满足不等式
的一切 x , 该幂级数也发散 .
发散
收敛 发散
收o敛
发散x
收敛半径
收敛区间
收敛域
定理2. 若
的系数满足
则
1) 当 ≠0 时,
R
1
;
2) 当 ＝0 时, R ;
lim
n
un
0
满足
比值审敛法 nlimuunn1
根值审敛法
lim n
n
un
1
1
收敛
发散
不满足 发 散
比较审敛法
《高等数学》(北大第二版 )第11章习题课
第十一章 无 穷 级 数
（习题课） 习题课） 10.1 敛散性判定的方法 10.1.1 直接判定法
∞
设级数
∑ a 的部分和数列 S = ∑ a
n =1 n n k =1
∞
n
k
. 为判定
∑a
n =1
∞
的敛
n
散性，只要直接讨论数列Sn 的敛散性即可。
1 例 1 判定级数∑ 的敛散性. n =1 (2n - 1)(2n + 1)
∞
∑u
n =1
n
= u1 + u2 + ⋅ ⋅ ⋅
(1)
∑v
n =1
∞
n
= v1 + v2 + ⋅ ⋅ ⋅ (2)
如果级数（2）收敛，并且当 n ≥ N时，un ≤ vn , 则级（1 ）收敛. 如果级数（1）发散，并且当 n ≥ N时，u n ≤ vn , 则级（2）发散.
例2 判定下列级数的敛散性 :
10.1.5 任意项级数收敛准则
判定任意项级数的敛散性，通常把它转化为相应的绝对值组成 的级数，即一正项级数而加以考虑，这时如果收敛，原级数也收 敛，称为绝对收敛。对于绝对收敛的任意项级数，正项级数的判敛 法都能直接用上.一般地，有关于级数收敛的Cauchy准则：级数
∑u
n
收敛的充要条件为，对于任意给定的ε>0,总存在N,使对任何
∞
1 . p n 1
比值判敛法
对于正项级数
∑ u , 如果
n =1 n
∞
un +1 lim = ρ, n →∞ u n
则当ρ < 1时级数收敛;当ρ > 1时级数发散.
根值判敛法 对于正项级数
（习题课） 习题课） 10.1 敛散性判定的方法 10.1.1 直接判定法
∞
设级数
∑ a 的部分和数列 S = ∑ a
n =1 n n k =1
∞
n
k
. 为判定
∑a
n =1
∞
的敛
n
散性，只要直接讨论数列Sn 的敛散性即可。
1 例 1 判定级数∑ 的敛散性. n =1 (2n - 1)(2n + 1)
∞
∑u
n =1
n
= u1 + u2 + ⋅ ⋅ ⋅
(1)
∑v
n =1
∞
n
= v1 + v2 + ⋅ ⋅ ⋅ (2)
如果级数（2）收敛，并且当 n ≥ N时，un ≤ vn , 则级（1 ）收敛. 如果级数（1）发散，并且当 n ≥ N时，u n ≤ vn , 则级（2）发散.
例2 判定下列级数的敛散性 :
10.1.5 任意项级数收敛准则
判定任意项级数的敛散性，通常把它转化为相应的绝对值组成 的级数，即一正项级数而加以考虑，这时如果收敛，原级数也收 敛，称为绝对收敛。对于绝对收敛的任意项级数，正项级数的判敛 法都能直接用上.一般地，有关于级数收敛的Cauchy准则：级数
∑u
n
收敛的充要条件为，对于任意给定的ε>0,总存在N,使对任何
∞
1 . p n 1
比值判敛法
对于正项级数
∑ u , 如果
n =1 n
∞
un +1 lim = ρ, n →∞ u n
则当ρ < 1时级数收敛;当ρ > 1时级数发散.
根值判敛法 对于正项级数
级数的收敛、求和与展开
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4.狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 （Dirichlet 判别法） 判别法）
k→∞
级数∑akbk
k =1
∞
若序列 ak }单调且lim ak = 0, 又级数∑bk {
k =1
∞
的部分和有界， 即存在常数 M>0 使
| ∑bk |≤ M, n =1,2,L
k =1 n
则级数∑akbk收敛 .
∑
= x 2 e x − x(e x − 1)
∴
∞
x ∑ n! n =1
∞
n
(n - 1)2 n 1 ∞ (n − 1)2 n +1 1 ∞ (n − 1) x n +1 = ∑ = ∑ | x = 2 = e 2 + 1. ∑ n! 2 n =1 n! 2 n =1 n! n =1
xn 例10 求 级数∑ 的和函数, 其中 x < 1. 1 n( n + 1) ∞ ∞ x n +1 xn xS(x) = ∑ 解 S(x) = 1 n ( n + 1) 1 n( n + 1)
第十章 习题课 级数的收敛、 级数的收敛、求和与展开
一、数项级数敛散性的判别法 二、求幂级数收敛域的方法 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数 展开法
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求和 展开
(在收敛域内进行) 时为数项级数; 时为幂级数;
(an , bn 为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数.
2
x = 2
2
x 当 <1, 即− 2 < x < 2 时 级数收敛; ， 2
高等数学无穷级数11-1
n0aqn当 当qq
1时, 收敛 1时, 发散
二、收敛级数的基本性质
性质1 设常数 k 0, 则 un与kun
有相同的敛散性.
n1 n1
证 令un与kun 的部分和分别为 sn 及n .
n1 n1
则 n k1u k2u kn u
k(u 1u 2 u n) ksn
于是 当sns, nksn ks ;
当sn不存在极k限 0时 且 ,
nksn 也不存在极限.
所以, un与kun 有相同的敛散性.
n1
n1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
性质2 设有两个级数 un与vn,
n1
n1
若 un s , v n , 则 (unvn)s.
n1
试判别级数 (un a) 的敛散性.
n1
解
因为 u n
n1
收敛, 故
ln im un 0.
从而 ln i m (una)a0
故级数 (un a) 发散.
n1
求级数
n1
5 n(n
1)
1 2n
的和.
解
收敛.
n0aqn当 当qq
1时, 收敛 1时, 发散
例 讨论级数 3lnna(a0) 的敛散性.
n1
解 因为 3 ln n a 是以 lna
n1
为公比的等比级数, 故
当1 ae时, |lna|1, 级数 收敛.
e
当0 a
高数下册第11章复习题与答案
第十一章-无穷级数练习题（一）.基本概念 收敛.Q Q 1.设v U n 为正项级数，下列四个命题 n -1(1)(2) 若limU n =0,则「U n 收敛； 若v U n 收敛，贝U v U n 100收敛; n=1 n W A.级数X |U n |收敛；n =1B.极限 lim Un =0 ;C. 极限 lim Un ^ = r ::: 1 ;F U nnD. 部分和数列Sn =•'.： Uk 有界.k 45.下列级数中条件收敛的是（).(3)若 lim U n 1 nY U n Q Q(4)若v U n 收敛，则 n -1 中，正确的是( ) A . (1)与 (2)；C . (3)与(4)；Q Q 1,则v U n 发散; n =1 lim 5^ ::: 1 . n匚U n■■ 1' 1 ；厂' n= - n cos 1;n 4 tnB.B .⑵与(3)；D . (4)与(1). C. 2.下列级数中，收敛的是（ 1 )• oO q' (-1)n 1 ; n 吕 .n 1001 A. ' -；n £ n□0 B .、 n ；n 壬 2n +1 QQD. ' （-1）nn 4 n, n6.下列级数中绝对收敛的是).8 1 、(-1)n— n=1 nC . 0.001 一 0.001 30.001; 1B. ' —nw nD . 4 32 43 443•在下列级数中，发散的是（ ).Q QC. (-1)n nM n旳1D.二.sin .n 吕 nQO *;（二）.求等比级数的和或和函数。
提示：注 意首项C . —1—；n - n 3n 17.幕级数nx n 1在(-2, 2)上的和函数 n=02s(x) = ___________ .八2 八3 八4333 ...23' 44 4 4oO8.幕级数(-1)nn=04ns(x)= ---------------4.条件（）满足时，任意项级数U n 定n=1在（-4 , 4）上的和函数9.无穷级数：］旳的和S=—（三）■判定正项级数的敛散性。
高数第十一章第1节
则圆内接正十二边形的面积为 a1 a2
如此继续,
4
圆内接正 3 2 n边形的面积为 a1 a2 an
即 A a1 a2 an
如果内接正多边形的边数无限增多, 即n无限增大, 则和a1 a2 an的极限就是所求圆面积A.
此时上面和式变为无穷多项相加 a1 a2 an
n ku1 ku2 kun ksn 于是 lim n lim ksn k lim sn ks ,
n n n
所以,级数 kun 也收敛, 且其和为ks.
n 1
20
由上讨论可知, 如果 un发散, 则{sn }没有极限, 如
n 1
所以 lim Ak lim sn .即
k
n
级数 vm 也收敛, 且 vm un .
m 1 m 1 n 1
29
注:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如, 级数 (1 1) (1 1) 收敛于0.
而级数 1 1 1 1 却发散.
1 n 例如 级数 ( ) , n 1 2
sn u1 u2 un ,
为级数（1）的部分和数列。
1 i 1 n 其部分和Sn ( ) 1 ( ) 1 ( n ) 2 i 1 2
n
7
给定一个级数，可以作出它的部分和数列； 反之，给定一个级数的部分和数列，也可以作出 该级数，即令：u1 s1 , u2 s2 s1 , , un sn sn1 , , 显然级数 的部分和数列就是 sn 。 u1 +u2 + +un +
如此继续,
4
圆内接正 3 2 n边形的面积为 a1 a2 an
即 A a1 a2 an
如果内接正多边形的边数无限增多, 即n无限增大, 则和a1 a2 an的极限就是所求圆面积A.
此时上面和式变为无穷多项相加 a1 a2 an
n ku1 ku2 kun ksn 于是 lim n lim ksn k lim sn ks ,
n n n
所以,级数 kun 也收敛, 且其和为ks.
n 1
20
由上讨论可知, 如果 un发散, 则{sn }没有极限, 如
n 1
所以 lim Ak lim sn .即
k
n
级数 vm 也收敛, 且 vm un .
m 1 m 1 n 1
29
注:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如, 级数 (1 1) (1 1) 收敛于0.
而级数 1 1 1 1 却发散.
1 n 例如 级数 ( ) , n 1 2
sn u1 u2 un ,
为级数（1）的部分和数列。
1 i 1 n 其部分和Sn ( ) 1 ( ) 1 ( n ) 2 i 1 2
n
7
给定一个级数，可以作出它的部分和数列； 反之，给定一个级数的部分和数列，也可以作出 该级数，即令：u1 s1 , u2 s2 s1 , , un sn sn1 , , 显然级数 的部分和数列就是 sn 。 u1 +u2 + +un +
高等数学-幂级数
28
其中
称为傅里叶级数. 称为傅里叶级数.
(3)
狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) 狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) (Dirichlet)充分条件
∑=u ( x) + u ( x) ++ u ( x) +
n=1 1 2 n
∞
上的(函数项)无穷级数. 称为定义在区间 I 上的(函数项)无穷级数.
(2)
收敛点与收敛域
收敛, ∑u ( x ) 收敛,
n=1 n 0
13
如果 x0 ∈ I , 数项级数
∞
则称 x0 为级数
收敛点, ∑u ( x) 的收敛点,
n=1 n
∞
否则称为发散点. 否则称为发散点. 发散点
的所有收敛点的全体称为收敛域 收敛域, 函数项级数 ∑un ( x)的所有收敛点的全体称为收敛域,
n=1 ∞
所有发散点的全体称为发散域. 所有发散点的全体称为发散域. 发散域
(3)
和函数
在收敛域上, 在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 s(x),
∞
∑ un
∞
∞
收敛, 为绝对收敛; 收敛, 则称 ∑un 为绝对收敛;
发散, 收敛, 为条件收敛. 若 ∑ un 发散,而 ∑un 收敛, 则称 ∑un 为条件收敛.
n=1 n=1 n=1
12
5、函数项级数
(1) 定义
设u1( x), u2 ( x),, un ( x),是定义在 I R 上的 函数, 函数,则
1 (1) 则当 ρ ≠ 0 时, R = ; ρ (2) 当 ρ = 0 时, R = +∞;
(3) 当 ρ = +∞ 时, R = 0.
其中
称为傅里叶级数. 称为傅里叶级数.
(3)
狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) 狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) (Dirichlet)充分条件
∑=u ( x) + u ( x) ++ u ( x) +
n=1 1 2 n
∞
上的(函数项)无穷级数. 称为定义在区间 I 上的(函数项)无穷级数.
(2)
收敛点与收敛域
收敛, ∑u ( x ) 收敛,
n=1 n 0
13
如果 x0 ∈ I , 数项级数
∞
则称 x0 为级数
收敛点, ∑u ( x) 的收敛点,
n=1 n
∞
否则称为发散点. 否则称为发散点. 发散点
的所有收敛点的全体称为收敛域 收敛域, 函数项级数 ∑un ( x)的所有收敛点的全体称为收敛域,
n=1 ∞
所有发散点的全体称为发散域. 所有发散点的全体称为发散域. 发散域
(3)
和函数
在收敛域上, 在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 s(x),
∞
∑ un
∞
∞
收敛, 为绝对收敛; 收敛, 则称 ∑un 为绝对收敛;
发散, 收敛, 为条件收敛. 若 ∑ un 发散,而 ∑un 收敛, 则称 ∑un 为条件收敛.
n=1 n=1 n=1
12
5、函数项级数
(1) 定义
设u1( x), u2 ( x),, un ( x),是定义在 I R 上的 函数, 函数,则
1 (1) 则当 ρ ≠ 0 时, R = ; ρ (2) 当 ρ = 0 时, R = +∞;
(3) 当 ρ = +∞ 时, R = 0.
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概念:
为收敛级数
若
收敛 , 称
若
发散 , 称
绝对收敛 条件收敛
Leibniz判别法: 若
且
则交错级数
收敛 , 且余项
4
例1. 若级数
均收敛 , 且
证明级数
收敛 .
证: 0 c n a n bn a n (n 1 , 2 , ), 则由题收敛
(1)n
n0
x2n ,
x (1,1)
arctan
x
x
01
1 x2
d
x
(1)n x2n1, n02n 1
x [1,1]
于是
f (x) 1 (1)n x2n (1)n x2n2
n1 2n 1
n02n 1
25
f
a 1 时收敛 ; a 1 时发散.
s 1 时收敛;
a 1 时, 与 p 级数比较可知 s 1 时发散.
7
P257 题3. 设正项级数 和 都收敛, 证明级数
也收敛 .
提示:
因
lim
n
un
lim
n
vn
0
,存在
N
>
0, 当n
>N
时
又因
2( un2 vn2 )
思考: 如何利用本题结果求级数
提示: 根据付式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有
e 1 1
2 n1
f (0 ) f (0 ) 1
2
2
28
作业
P257 6 (2); 7 (3); 9(1) ; 10 (1) ;
8 (3) ;
29
利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.
8
P257 题4. 设级数
收敛 , 且
是否也收敛？说明理由.
提示: 对正项级数,由比较判别法可知
但对任意项级数却不一定收敛 . 例如, 取
vn
(1)n n
1 n
lim vn 1 lim (1)n 1
n un
n n
级数
收敛 , 级数
(c n a n ) 收敛
n 1
n 1
[(c n a n ) a n ]
n 1
(c n a n ) a n 收敛
n 1
n 1
练习题: P257 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5
5
解答提示: P257 题2. 判别下列级数的敛散性:
提示: (1) lim n n 1 , 0 , N , n 1 n n 1
练习:
P257 题7. 求下列级数的敛散区间:
13
解:
lim n
n
an
lim (1 1)n e n n
R 1 , 即 1 x 1 时原级数收敛 .
e
ee
当 x 1 时, e
un
(1
1) n
n
n
e
(1 1)n1 e n
1 1 0 (n ) e
26
2. 函数的付式级数展开法
系数公式及计算技巧; 收敛定理; 延拓方法
练习:
P258 题11. 设 f (x)是周期为2的函数, 它在 [ , )
上的表达式为
y
将其展为傅氏级数 .
解答提示
o x
an
1
0
ex
cos nx d x
1
ex (n sin nx cos nx) 1 n2
15
例2. 解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数
注意:
∵ 原级数 =
∴
其收敛半径
R
min{R1,
R2}
1 4
极限不存在
16
三、幂级数和函数的求法
• 求部分和式极限
• 初等变换法: 分解、套用公式
• 映射变换法（在收敛区间内）
anxn
n0
难
逐项求导或求积分
S(x)
对和式积分或求导
an xn
因调和级数发散, 据比较判别法, 原级数发散 .
6
利用比值判别法, 可知原级数发散.
(3)
n
n1
cos2 2n
n
3
:
用比值法, 可判断级数
收敛,
再由比较法可知原级数收敛 .
因
n
充分大时
1 n
1 ln10 n
,
∴原级数发散 .
发散,
(5)
n1
an ns
(a 0, s 0): 用比值判别法可知:
显然 x = 0 时上式也正确, 而在 x 2 级数发散,
故和函数为
20
原式
n1
1 n
1 n 1
xn
x0
n1
1 x
x
tn
0
dt
1 x
x
1
t
t
d
t
0
(0 x 1)
1 1 ln (1 x)
1
(
1
1)
ln
(1
x x)
展开成 x 的幂级数.
解:
1 (2 x)2
1 2x
1 2
1
1
x 2
1 2
xn
n0 2n
1 2
n1
nx n 1 2n
,
24
2. 设
, 将 f (x)展开成
x 的幂级数 , 并求级数
的和. ( 01考研 )
解:
1 1 x2
(1)n
n1
(n 1)! n n 1
因
un1
un
n 2 (1 1 )n1 n n1 n1
所以原级数绝对收敛 .
12
二、求幂级数收敛域的方法
• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 x R
处的敛散性 . 通过换元转化为标准形式
• 非标准形式幂级数 直接用比值法或根值法
因此级数在端点发散 , 故收敛区间为( 1 , 1 ) . ee
14
解: 因 lim un1(x) lim
x2
n un (x) n
2
当 x2 1 , 即 2 x 2 时，级数收敛; 2
当 x 2时, 一般项 un n 不趋于0, 级数发散;
故收敛区间为 ( 2 , 2 ) .
2
2
x sin x 2
19
练习: P258 题8. 求下列幂级数的和函数：
x≠0
解: (1)
原式
n1
1 2n
( x 2n 1 )
1 x
(
n1
x2
2
)
n
1 x
x2
1
2
x2 2
x 2 x2
2 x2 (2 x2 )2
(0 x2 1) 2
n0
求和
S * ( x)
• 数项级数 直接求和: 直接变换, 求部分和等 求和 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
17
例3. 求幂级数 法1 易求出级数的收敛域为
x
1 sin x x cos x ,
2
2
18
法2 先求出收敛区间
设和函数为 则
1 2
S(x) 1 sin x x cos x,
x
21
即得
1 ( 1 1) ln (1 x) , x
0 x 1
显然 x = 0 时, 和为 0 ; x = 1 时, 级数也收敛 . 根据和函数的连续性 , 有
22
练习: P258 题9(2). 求级数
的和 .
解:
原式=
1 2
n0
(1)
n
(
(2n
2n
1) 1)!
2
一、数项级数的审敛法
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性
2. 正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
不满足 发 散
比值审敛法
lim
n
un1 un
1 不定
部分和极限
根值审敛法 lim n
n
un
用它法判别 比较审敛法
1
1
收敛
发散
3
3. 任意项级数审敛法
0
1
e
(1)n 1 n2
1
(n 0, 1, 2,)
27
bn
1
0
ex
sin nx d
x
1
ex (sin nx n cos nx) 1 n2
0
n
1
e 1
(1)n n2
(n 1, 2,)
f
(
x)
e
2
1
1