高等数学(下)无穷级数
关于高等数学中无穷级数内容教学的一点思考
教改教法
关于高等数学中无穷级数内容教学的一点思考
刘小妹
（九江学院理学院数学系 江西・九江３３２００５）
中图分类号：Ｇ６３３．６６ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２—７８９４（２０１４）０７—００５６—０２
摘要无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，形式
上为相对独立的一块内容，理论上更为抽象．学生在学习这
章内容时大多感觉比较困难，在判别级数敛散性时往往思
路不清。针对这种状况，本文谈谈几点看法：（１）教师在开始 讲授这章内容时，应该向学生介绍清楚学＞－ｊ本章内容的作
用所在；（２）对于这章内容的教学，教师应该有所侧重讲解，
讲课的顺序也不能完全同于教材的排版顺序：（３）在讲授正 课时，教师应该对学生讲解最常用而又有简单有顺序的敛
散性判别法。
关键词 无穷级数 敛散性判别法 等价判别法 幂级数
傅立叶级数 Ｔｈｉｎｋｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｉｎｆｉｎｉｔｅ Ｓｅｒｉｅｓ Ｃｏｎｔｅｎｔ ｉｎ Ｈｉｇｈｅｒ Ｍａｔｈｅ－
ｍａｔｉｃｓ Ｔｅａｃｈｉｎｇ／／Ｌｉｕ Ｘｉａｏｍｅｉ
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｓｅｒｉｅｓ ｉｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｐａｒｔ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ ｍａｔｈｅｍａｔ—
ｉｃｓ．Ｉｔ ｉｓ ａ ｐｉｅｃｅ ｏｆ ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｃｏｎｔｅｎｔ ｆｏｒｍａｌｌｙ．Ｉｔ ｉｓ
ｍｏｒｅ ａｂｓｔｒａｃｔ ｉｎ ｔｈｅｏｒｙ．Ｓｔｕｄｅｎｔｓ ｆｉｎｄ ｉｔ ｍｏｒｅ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｉｎ ｓｔｕｄｙｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｎｔｅｎｔ ｏｆ ｔｈｉｓ ｃｈａｐｔｅｒ．ａｎｄ ｔｈｅⅡ１ｏｕｇｈｔ ｉｓ ｍｏｒｅ ｃｏｎｆｕｓｅｄ ｉｎ
ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｉｎｇ ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ．Ｉｎ ｖｉｅｗ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐｈｅ－
ｎｏｍｅｎｏｎ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｓｏｍｅ ｓｕｇｇｅｓｔｉｏｎｓ：（１）Ｔｅａｃｈｅｒｓ ｓｈｏｕｌｄ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｔｅｎｔ ｏｆ ｔｈｉｓ ｃｈａｐｔｅｒ ｆｉｒｓｔｌｙ；
高等数学中的无穷级数求和
高等数学中的无穷级数求和
引言：
无穷级数是高等数学中的一个重要概念，它在数学分析、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。无穷级数求和的问题一直以来都是数学家们关注的焦点之一。本教案将以高等数学中的无穷级数求和为主题，通过分析和讨论不同类型的无穷级数求和方法，帮助学生深入理解无穷级数的性质和求和技巧。
一、级数的定义与性质
1.1 级数的定义
无穷级数是由一列数的和组成的，形如：
S = a1 + a2 + a3 + ...
其中，a1、a2、a3...为级数的项。
1.2 级数的收敛与发散
级数的和S存在时，称该级数收敛，否则称级数发散。
1.3 级数的部分和
级数的部分和Sn表示级数前n项的和，即：
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an
二、常见的无穷级数求和方法
2.1 等差数列求和
当级数的项满足等差数列的形式时，可以利用等差数列求和公式进行求和。例如： S = 1 + 3 + 5 + ...
可以将其转化为等差数列的求和问题。
2.2 几何级数求和
几何级数是指级数的项之间的比值为常数的级数，形如：
S = a + ar + ar^2 + ...
其中，a为首项，r为公比。
2.3 幂级数求和
幂级数是指级数的项是幂函数的系数，形如：
S = a0 + a1x + a2x^2 + ...
其中，a0、a1、a2...为系数。
三、常见的无穷级数求和技巧
3.1 逐项求和法
逐项求和法是指将级数的每一项分别求和，然后将这些部分和相加得到级数的和。这种方法适用于某些特殊的级数，如幂级数。
3.2 积分法
积分法是指将级数的每一项进行积分，然后求出积分结果的极限值。这种方法适用于某些特殊的级数，如幂级数。
3.3 求导法
求导法是指将级数的每一项进行求导，然后求出导数结果的极限值。这种方法适用于某些特殊的级数，如幂级数。
四、经典的无穷级数求和问题 4.1 调和级数求和
考研高数讲解新高等数学下册辅导讲解第十二章
第 0 页 第十二章 无穷级数
【本章网络构造图】 第 1 页 第一节 常数项级数概念与性质
一、常数项级数收敛与发散 给定一个数列将各项依次相加, 简记为，即，称该式为无穷级数，其中第项叫做级数一般项,级数前项与称为级数局部与。假设存在，那么称无穷级数收敛，并称为级数与,记作；假设不存在，那么称无穷级数发散。
当级数收敛时, 称差值为级数余项。显然。
【例1】〔93三〕级数与为 .
【答案】 结论：等比〔几何〕级数 ：收敛 当时
发散 当时
二、收敛级数与
假设收敛，那么其与定义为。
三、无穷级数根本性质
学习笔记：
〔1〕假设级数收敛于，即，那么各项乘以常数所第 2 页 得级数也收敛，其与为。
注：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变
（2）设有两个收敛级数，，那么级数也收敛, 其与为。
注：该性质说明收敛级数可逐项相加或相减
相关结论：〔1〕假设两级数中一个收敛一个发散,那么必发散。
〔2〕假设二级数都发散，不一定发散。 【例】取，，而。
〔3〕在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数敛散性。
〔4〕收敛级数加括弧后所成级数仍收敛于原级数与。
推论：假设加括弧后级数发散，那么原级数必发散。
注：收敛级数去括弧后所成级数不一定收敛。 【例】，但发散。
【例2】判断级数敛散性：
【解析与答案】
学习笔记： 不存在
故原级数发散
四、级数收敛必要条件 第 3 页 必要条件：假设收敛，那么。
逆否命题：假设级数一般项不趋于0，那么级数必发散。 【例】，其一般项为 ，当时，不趋于0，因此这个级数发散。 注：并非级数收敛充分条件
【例】调与级数，虽然 ，但是此级数发散。事实上，假设调与级数收敛于，那么， 但，矛盾！所以假设不真。
高等数学 第五章 无穷级数
第五章 无穷级数
教学要求
1.理解无穷级数收敛﹑发散以及和的概念,了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。
2.掌握几何级数和P—级数的收敛性。
3.掌握正项级数的审敛法。
4.了解交错级数的莱布尼兹定理。
5.了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。
6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念,了解幂级数的收敛特点。
7.掌握比较简单的幂级数收敛域的求法。
8.理解幂级数的和函数在其收敛区间内的连续性、可积性与可导性，会求简单幂级数的和函数。
9.了解函数展开为泰勒级数的意义，会利用间接法将一些较简单的函数展开成幂级数.了解幂级数的简单应用。
10.会将在[-π，π]上函数展开为傅里叶级数、会将在[0，π]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。
教学重点
级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛概念；正项级数三种审敛法的灵活运用；求幂级数的收敛半径与收敛域；求幂级数的和函数；常用幂级数开展式，利用间接法将函数展开成幂级数。
教学难点
级数的绝对收敛与条件收敛；求幂级数的和函数；利用间接法将函数展开成幂级数。
教学内容
第一节 数项级数
一、数项级数的定义与性质
1.数项级数的定义；2.数项级数的基本性质。
二、数项级数的审敛法
1.正项级数及其审敛法；2.交错级数及其审敛法；3.级数的绝对收敛与条件收敛。
第二节 幂级数
一、函数项级数的概念
二、幂级数及其收敛性
1.幂级数的定义；2.幂级数的性质。
三、函数的幂级数展开
1.泰勒公式与麦克劳林公式；2.泰勒级数与麦克劳林级数；3.将函数展开成幂级数的方法；4.幂级数的应用。
第三节 傅里叶级数
一、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数
高等数学（无穷级数判定方法总结）
⾼等数学（⽆穷级数判定⽅法总结）
对于⽆穷级数判断收敛与发散的⽅法。
定义：
对于⼀个级数他的前n项和如果n→+OO的极限存在就是收敛的，否则发散。 例⼦：
1等⽐级数：公⽐|q| < 1收敛，否则发散。
性质：
1满⾜相加相减性，其收敛性仍然满⾜相减相加。
2括号匹配后不该变收敛性质
3如果级数收敛，那么n→+oo时，⼀般项An必须趋近于0.但这仅仅是充分条件，调和级数可以说明。
4柯西审敛原理
（正项级数）⽐较⽅法：
1求出部分和并判断其有界性（⽐较蠢⼀般不能⽤）
2⽐较审敛法，说⽩了就是放缩法，证明收敛的时候找⼀个⽐他⼤的还收敛的，证明发散的时候就找⼀个⽐他⼩的还发散的。（⽐较有技术含量的⽅法，注意放缩的⽅法和⽬的，已经形式，⾼中数学曾多次在放缩⽅法中⼤做⽂章，考察⼀些⽐较难的放缩思想）。
3关于P级数，所谓p级数就是这样的形式，1/(n^p)，如果p>1收敛，反之发散。（p级数同样可以应⽤于分⼦分母的差，设分母－分⼦为p，判断⽅法与上述⼀致）
4关于⽐较审敛法，还有⼀种极限形式，就是两个⽐值的极限，⽐如An/Bn的极限如果是⼀个>=0且不为正⽆穷⼤的常数，Bn收敛，An也收敛。Bn发散，An也发散。若为⽆穷⼤则只能判断发散。（这⾥有⼀个⾮常重要的应⽤就是等价⽆穷⼩的应⽤，为1的常数让我可以⾃由的判断收敛还是发散。附上⽐较不容易被发现的等价⽆穷⼩，Ln（x+1）~ x，1 - cosx = x*x/2，arctanx~x）；
5⽐值审敛法。这个也是极限形式的，容易与⽐较审敛法的第⼆种形式弄混，他的形式是这样的：An+1/An的极限ρ，如果<1收敛，=1不确定，>1发散。（最常⽤于阶乘级数的判定）。 6根值审敛法。这个要求强度不⼤，就是对⼀般项开n次⽅求极限得到的ρ，收敛判断⽅法与壁纸收敛法⼀样（当题⽬中有⽐较明显的n次⽅的时候可以尝试⼀下这种办法） 7极限审敛法，感觉好冷门的判断⽅法，n*An的极限>0则原级数发散。n^p * An >=0 且不为⽆穷⼤ && （p>1），级数收敛。（感觉挺好⽤的样⼦，不错的极限判定⽅式，因为极限可以灵活的转换，思路缺乏时，可以考虑⼀下这种⽅法） 剩下的内容就是有关幂级数的问题，那⼀部分就是⼏个常⽤的展开式需要记住，剩下的都不容易混淆。附上我记不太住的⼀个吧，sinx= Σ（-1）^k / (2k+1)! * x^(2k+1)。
无穷级数求和函数
无穷级数求和函数
1.无穷级数求和函数
在收敛域内，可以如图两次应用求积求导法及等比级数求和公式求出这个和函数。
2.高等数学，无穷级数，幂级数，求和函数
根据几何级数的求和公式：所以这和划线部分是一样的。
3.无穷级数，求和函数
这个是利用逐项求导后求级数和，再求积分。把原来的级数每一项都求导，这个级数很好求和，就是等比数列求和了:Σx^(4n)=Σ(x^4)^n=lim(n->正无穷) x^4(1-(x^4)^n)/(1-x^4)因为上面求了一次导数。
4.常用的全面的幂级数展开公式
可以写开分别求，利用 1＋x＋x²＋x³＋........＝1/(1-x)，＝x /(1-x)²/n＝ - ln(1-x);
5.高数无穷级数，求和函数
可以写开分别求，利用 1＋x＋x²＋x³＋........＝1/(1-x)，得 ∑nxⁿ＝x / (1-x)²，∑ xⁿ/n＝ - ln(1-x)，所以和函数为 x/(1-x)² - ln(1-x) 。
6.无穷级数求和∑1/n2
1＋1/22＋1/32＋ … ＋1/n2→π2/6这个首先是由欧拉推出来的，将sinx按泰勒级数展开：sinx＝x－x^3/3!＋ …于是sinx/x＝1－x^2/3!＋ …令y＝x^2，有sin√y/√y＝1－y/3!＋ …而方程sinx＝0的根为0,…故方程sin√y/√y＝0的根为π2,＋…＝0的根为π2,根的倒数和＝一次项系数的相反数即1/π2＋1/(2π)2＋…＝1/3!无穷级数是研究有次序的可数或者无穷个数函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。只有无穷级数收敛时有一个和，发散的无穷级数没有和。用解析的形式来逼近函数，一般就是利用比较简单的函数形式。
北京邮电大学国际学院高等数学(下)幻灯片讲义(无穷级数)-Lecture 1
1Lecture 1
1Series of Constant TermsA Bouncing Ball
Drop a ball from Hmeters above a flat surface. Each time the ball
hits the surface after falling a distance h, it rebounds a distance rh,
where ris positive but less than 1. find the total distance the ball travels
up and down.
It is easy to see that the total distance is
23222sHHrHrHr=++++"
The question is that how to calculate the
2q
sum with infinite terms.
It is well known that, if there has finite terms
232222
2(1)
1n
n
nsHHrHrHrHr
Hrr
H
r=+++++
−
=+
−"
It is clear that2(1lim)2
lim.
11n
n
nnHrrHr
sHH
rr→∞
→∞−
=+=+
−−
Repeating Decimals
Express the repeating decimal 5.23 23 23 … as the ratio of two integers.
Solution
23232323
5.232323...5
100(100)(100)=++++"
223
311
51
100100100⎛⎞⎛⎞
=++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠"
23123518
55.
1000.999999⎛⎞
=+=+=⎜⎟
⎝⎠Infinite Series
If the terms of the sequence are numbers then the series is called a The following representation
高数无穷级数总结
高数无穷级数总结
高等数学中，无穷级数是一个重要的概念和工具。无穷级数可以理解为由无限多个数相加得到的结果。在无穷级数的研究中，主要考虑级数的收敛性、发散性以及求和的方法等问题。在这篇文章中，我将总结无穷级数的定义、收敛性和发散性以及几种常见的求和方法。
首先，我们来回顾一下无穷级数的定义。一个无穷级数可以表示为：
S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...
其中，a1、a2、a3等为数列中的元素，n为数列中的项数。当n趋向无穷大时，无穷级数的求和结果就是S。
接下来，我们来探讨无穷级数的收敛性和发散性。一个无穷级数可能是收敛的，也可能是发散的。如果一个无穷级数的部分和逐渐趋于一个有限的数S，那么我们说这个无穷级数是收敛的，并且收敛于S。如果一个无穷级数的部分和没有趋于一个有限的数，那么我们说这个无穷级数是发散的。
收敛的无穷级数是非常重要的，因为它们在实际应用中经常出现。我们可以通过几种方法来判断一个无穷级数的收敛性。其中，比较判别法、比值判别法和积分判别法是最常用的三种判别法。比较判别法是通过将无穷级数与一个已知的收敛级数或发散级数进行比较来判断收敛性。比值判别法是通过计算无穷级数的相邻项比值的极限来判断收敛性。积分判别法是通过将无穷级数中的项与函数进行比较来判断收敛性。
除了收敛性判别外，我们还有几种常见的方法来求解收敛的无穷级数的和。其中，部分和法、数学归纳法、特殊级数和特殊函数是常用的求和方法。部分和法是通过计算无穷级数的前n项和来逼近无穷级数的和。数学归纳法是通过递归地将级数的前n项和与第n+1项进行比较来求和。特殊级数是一类特殊形式的无穷级数，常见的有几何级数、调和级数和幂级数等。特殊函数是一类与无穷级数有密切关系的函数，例如指数函数、对数函数和三角函数等。
在实际应用中，无穷级数有着广泛的应用。例如，泰勒级数是一种常见的无穷级数，它可以将一个函数表示为无穷项多项式的形式，从而在计算和研究函数时提供了便利。另外，无穷级数还在物理、工程等领域中有重要的应用，例如在电路分析、信号处理等方面。
高等数学下册(第7章无穷级数)-教案
1 高等数学教学教案
第7章无穷级数
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题 第7章 第1节 常数项级数的概念与性质 课的类型 新知识课
教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合
教学重点 级数的基本性质及收敛的必要条件，几何级数的收敛与发散的条件 教学难点 几何级数的收敛与发散的条件
参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置
大纲要求 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.
2．掌握几何级数的收敛与发散的条件.
教 学 基 本 内 容
一．常数项级数的基本概念
1.常数项级数的定义
（1）两个具体问题（一个收敛，一个发散的例子）．
（2）无穷级数定义：如果给定一个数列,,,,,,321nuuuu 则表达式nuuuu321
叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记作1nnu，即1nnunuuuu321，其中,,,,,321nuuuu叫做级数的项，1u叫做级数的首项，级数的第n项nu叫做级数的通项或一般项．
2．常数项级数的敛散性
（1）部分和：级数1nnu的前n项和叫做级数的部分和，记为ns．即niinnuuuuus1321．
（2）级数收敛与发散：若级数1nnu的部分和数列}{ns收敛于s，即ssnnlim，则称级数1nnu收敛，
1 其和为s，也称级数1nnu收敛于s，记为1nnsu．若级数的部分和数列}{ns极限不存在，则称级数1nnu发散．
（3）余项：级数和s与部分和ns的差称为级数1nnu的余项，记为nr．即
nr=sns21nnuu．
用部分和ns替代级数和s所产生的误差就是这个余项nr的绝对值，即误差是||nr．
高等数学无穷级数知识点总结
高等数学无穷级数知识点总结
无穷级数是高等数学中的一个重要内容，它涉及到很多重要的概念和定理。以下是一些高等数学无穷级数的知识点总结:
1. 无穷级数的基本概念：无穷级数是指一个数列的项按一定规律相加而成的数列。其中，无穷级数的定义域可以是实数集或复数集。
2. 无穷级数的分类：无穷级数可以分为数项级数和函数项级数两大类。数项级数是指以常数项级数的形式表示的无穷级数，而函数项级数则是以函数项的形式表示的无穷级数。
3. 无穷级数的敛散性：无穷级数的敛散性是指级数是否收敛或发散。如果一个无穷级数收敛，则称其为收敛级数，反之则称为发散级数。
4. 无穷级数的判别法：无穷级数的判别法是指判断一个无穷级数是否收敛的方法。常用的判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法和莱布尼兹判别法等。
5. 无穷级数的和应用：无穷级数在数学中有着广泛的应用，例如求和、积分、微积分等。在实际应用中，无穷级数往往被用来求解各种问题。
6. 无穷级数的和函数：无穷级数的和函数是指级数的每一项相加得到的总和。无穷级数的和函数具有很多重要的性质，例如连续性、可导性等。
7. 无穷级数的广义性质：无穷级数的广义性质是指关于无穷级数的一些扩展概念和定理。例如，无穷级数的前 n 项和的广义性质、无穷级数的广义收敛性等。
以上是高等数学无穷级数的一些重要知识点总结。希望能对读者有所帮助。