高等数学(下)无穷级数
高等数学讲义第4集——无穷级数
幂级数的收敛半径及其求法
定理：如幂级数
anxn
n0
系数满足 lim n
an 1 an
(或 lim n
n
an
)
则（1） 0
R1
（2） 0
R
（3）
R0
注意：当 x R
a
n
x
n
的敛散性不能确定，要讨论
an
(R)n
n0
n0
例 6：求下列幂级数的收敛域
(1) n 1
3n
x
n
n1
n
一、 知识网络图
常数项级数的一般概念和性质
常数项级数交正几错 项何级 级级数 数数，与条p级件数和绝对收敛
幂级数收敛半径
幂级数函数的幂级数展开
幂级数的和函数
傅里叶级数函三数角在级对数称区间上的的傅里叶展开
二、典型错误分析
例 1、判断级数 1 是否收敛。
n1 2n 1
[错解]
∵
lim
n
h0
f
n
x
n!
0
x
x
0
n
f x0
f
x
1!
0
x
x
0
f
x
2!
0
x
x
0
2
f n x 0 x
n!
x 0 n
称为 f x在 x x 0 点的泰勒级数
特别当 x 0 0 ，则级数
f n0 x n
f 0
f 0 x
f 0 x 2
f n0 x n
h0 n!
1!
2!
n!
称为 f x的麦克劳林级数
2、函数 f x展开成泰勒级数的条件 x x 0 R
高等数学下无穷级数习题课
(1, 5] .
例 2（2003A）设 x 2 = å an cos nx (-p £ x £ p) ，则 a2 =
¥ ¥
。= 1。 。
(-2, å an x n 的收敛半径为 3，则 å nan (x - 1)n +1 的收敛区间为
n =1 n =1
n =1
¥
2n -1
+ a2n ) 收敛 å an 收敛
n =1
¥
åa
n =1
¥
n
u (4) lim n = l ¹ 0 则 å un 和 å vn 有相同的敛散性 n ¥ v n
åa , åb
2
例 11（2006A）将函数 f (x ) = 例 10（2006C）求幂级数 å 收敛域为 [-1,1] 。
¥ ¥
x 展成 x 的幂级数。 2 + x - x2
n -1
1 ¥ æ 1ö n ç (-1)n +1 + n ÷ ÷ å ç ÷ x , x Î (-1,1) 。 è 3 n =0 2 ø
¥
例 5（2003C）求幂级数 1 + å (-1)n
n =1
x 2n （ x < 1 ）的和函数 f (x ) 及其极值。 2n
1 f (x ) = 1 - ln(1 + x 2 ) ， x < 1 , f (x ) 在 x = 0 处取得极大值，且极大值为 f (0) = 1 。 2
1+x 2 ì ¥ ï (-1)n ï x arctan x , x ¹ 0 试将 f (x ) 展开成 x 的幂级数，并求 å 的和。 例 4（2001A）设 f (x ) = í 2 ï 1, x =0 n =1 1 - 4n ï ï î
高等数学-无穷级数ppt
根据级数项的性质，无穷级数可分为正项级数、交错级数和任意 项级数。
收敛与发散性质பைடு நூலகம்
收敛性质
如果无穷级数的部分和数列有极限， 则称该无穷级数收敛，此时极限值称 为级数的和。
发散性质
如果无穷级数的部分和数列没有极限 ，或者极限为无穷大，则称该无穷级 数发散。
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛
如果无穷级数的每一项的绝对值所构 成的级数收敛，则称原级数为绝对收 敛。
在量子力学中，波函数通常表示为无穷级数形式，用于 描述微观粒子的状态和行为。
电磁学中的场强计算
通过无穷级数的展开，可以计算电磁场中各点的场强分 布，进而分析电磁现象。
在工程学中的应用，如信号处理、控制系统设计等
信号处理中的滤波
在信号处理领域，利用无穷级数设计的滤波器可以对 信号进行平滑处理、降噪等操作。
要点二
洛朗级数展开
将函数f(z)在圆环域D内展开成双边幂级数形式，即f(z) = ... + a-2/z^2 + a-1/z + a0 + a1z + a2z^2 + ...，其中an是 洛朗系数，可通过计算f(z)在D内的各阶导数求得。
泰勒级数与洛朗级数的比较
适用范围不同
泰勒级数适用于在一点处展开 的情况，而洛朗级数适用于在 圆环域内展开的情况。
控制系统设计中的稳定性分析
在控制系统设计中，通过无穷级数的稳定性分析方法 ，可以判断控制系统的稳定性并进行相应的优化设计 。
THANK YOU
感谢聆听
幂级数展开
幂级数是指形如$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$的级数，其 中$a_n$为常数。幂级数在收敛域内可以逐项求导和逐项积 分，具有连续性和可微性。
高等数学下册第十二章 无穷级数
边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
DMU
第一节 常数项级数
定义 给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
称为无穷级数， 其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
称为级数的部分和. 收敛 , 并称 S 为级数的和.
xx0
f
(x)
A
xnk
x0
(xnk
x0 )
(k )
f (xnk ) A
例如 lim n2 ((1 1)2n e2 )
n
n
(1 lim
x0
1
)
2 x
x
x2
e2
2 ln(1 1 )
ex x
lim
x0
x2
e2
e (e 2
2 ln(1 1 )2 xx
1)
lim
x0
x2
DMU
第一节 常数项级数
5)两边夹法则
n1
莱布尼茨定理： 如果交错级数 （-1）n-1un满足条件 ：
n1
（1）un un1(n 1, 2,3, );
（2）lim n
un
0,
则级数收敛，且其和s u1 ,
其余项rn的绝对值 rn un1.
DMU
第三节 一般常数项级数的收敛判别法
用莱布尼茨 判别法判别下列级数的敛散性:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1 n1 1
有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ）, 或写作 x 1.
又如, 级数
所以级数的收敛域仅为
DMU
级数发散 ;
高数无穷级数知识点总结
高数无穷级数知识点总结一、引言无穷级数是数学中一个重要的概念，它在数学和其他学科的研究中有着广泛的应用。
在高等数学中，无穷级数是一个重要的知识点。
本文将从无穷级数的基本概念、收敛性与发散性、常见的收敛判别法和应用等方面，对高数无穷级数进行总结。
二、无穷级数的基本概念无穷级数是指由一个数列的项求和而得到的数值。
具体地说，对于一个实数数列{an}，其无穷级数可以表示为∑an。
其中，an表示数列的第n项，∑表示对数列的所有项进行求和。
三、收敛性与发散性1. 收敛性当无穷级数的部分和Sn在n趋于无穷大时存在有限极限L，即lim (n→∞) Sn = L时，称该无穷级数收敛，L称为该无穷级数的和。
2. 发散性当无穷级数的部分和Sn在n趋于无穷大时不存在有限极限，即lim (n→∞) Sn不存在或为无穷大时，称该无穷级数发散。
四、常见的收敛判别法1. 正项级数判别法对于无穷级数∑an，若该级数的每一项an都是非负数，并且该级数的部分和Sn有上界，则该级数收敛；若Sn没有上界，则该级数发散。
2. 比值判别法对于无穷级数∑an，若lim (n→∞) |an+1/an| = L，其中L为常数，若L<1，则该级数收敛；若L>1，则该级数发散；若L=1，则判别不出。
3. 根值判别法对于无穷级数∑an，若lim (n→∞) |an|^1/n = L，其中L为常数，若L<1，则该级数收敛；若L>1，则该级数发散；若L=1，则判别不出。
4. 整项判别法对于无穷级数∑an，若存在另一个级数∑bn，使得|an|≤bn，且∑bn 收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。
五、应用无穷级数在数学和其他学科中有广泛的应用，下面举几个例子进行说明。
1. 泰勒级数泰勒级数是一种用无穷级数表示函数的方法。
根据泰勒级数，我们可以将一个函数在某个点的邻域内展开为无穷级数的形式，从而可以近似计算函数的值。
2. 统计学中的无穷级数在统计学中，无穷级数经常用于描述随机变量的分布。
高等数学无穷级数
【例9-6】讨论级数
n2
n
1 ln p
n
的敛散性，其中 p>0.
（2）比较法的应用 现在我们已经知道一些级数的敛散性，主要是等比 级数和p级数，便可以利用这些级数作为比较对象， 判断某些级数的敛散性了。
n1
v
n
收敛；
如果
n1
vn
发散，则 n1un
发散。
（2）比较判别法的极限形式（定理9-3的推论9-2）
n1un 与
n1
vn
是正项级数，并设
n1
v
n从某一
项之后是严格正项的。设
lim un l n vn
（i） (0l) 两个级数有相同的敛散性。
（ii）(l 0)
如果
n1un 发散，则
n1
下面给出三个相对具体或可操作的判别法，除了判
别法自身的意义，还分别与这两类级数密切相关。
3.积分判别法与p级数
n
1
1 np
（1）积分判别法（定理9-2）：
非负函数 f (x) 在
[1,)上单调递减，则
n1
f(n)
与反常积分 1f(x)dx有相同的敛散性。
【例9-5】证明p-级数 n 1n 1p121p n 1p
（2）改变（包括增加和减少）级数中有限项， 不改变级数的敛散性，但可能改变收敛级数和的 值（性质3）。 （3）收敛级数可以任意增加括号，不改变收敛性 与级数和。 可称之为单向结合律，因为： 在有括号收敛的情况下，去括号可能改变敛散性； 由此可知，发散级数加括号也可能改变敛散性。 如果括号中各项符号一样，收敛级数可以去括号！
9.2.正项级数敛散性判别法
高等数学：无穷级数
化 为小数时,就会出现无限循环小
数,即 =0.3·.现在我们分析一下0.3·,看从中能得到什么 样的
表现形式:
无穷级数
无穷级数
1
这样, 这个有限的量就被表示成无穷多个数相加的形式.
3
从这个例子我们可以看出, 无穷多个数相加可能得到一个确
定的有限常数.也就是说,在一定条件下,无穷多个数相 加是有
无穷级数
无穷级数
无穷级数
三、 无穷级数的性质
性质10-1 若级数
也收敛,且收敛于kS.即,若
收敛于S,则对任意常数k,级数
则有
这说明,级数的每一项同乘以一个不为零的常数后,它的
敛散性不改变.
无穷级数
性质10-2 若级数
数
则有
分别收敛于S1 和S2,则级
也收 敛,且收敛于S1 ±S2.即,若
无穷级数
直接展开法的具体步骤为:
有直接展开
无穷级数
2.间接展开法
无穷级数
无穷级数
无穷级数
无穷级数
三、 幂级数的应用
1.利用幂级数进行近似计算
无穷级数
例10-21 【付款的现值问题】某基金会与一个学校签约,
合同规定基金会每年支付 300万元人民币用以资助教育,有效
期为10年,总资助金额为3000万元人民币.自签约之 日起支付
设想公式 (10-7)的项 数趋向无穷而成为幂级数,即
式(10-10)称为f(x)在点x0 处的泰勒级数.
无穷级数
当x0 =0时,幂级数
称为f(x)的麦克劳林级数.
无穷级数
无穷级数
无穷级数
二、 将函数展开成幂级数
将函数f(x)展开成x 的幂级数
高等数学(下)知识点总结归纳
欢迎共阅高等数学（下）知识点主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面1）椭圆锥面：22222z b y a x =+ 2）3）4）5）6）（二） 1、法向量：n2、3、两平面的夹角：),,(1111C B A n =，),,(2222C B A n =，⇔∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；⇔∏∏21//212121C C B B A A ==4、点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：（三） 空间直线及其方程 1、一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =，过点),,(000z y x3、两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s =，⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m ；⇔21//L L 212121p p n n m m ==4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，2、 微分法1）复合函数求导：链式法则若(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===，则z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂，z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ （二） 应用1）求函数),(y x f z =的极值解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==0y x f f 求出所有驻点，对于每一个驻点),(00y x ，令),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =，① 若AC ② 若AC ③ 若AC 2、 1）曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧Γ:z y x 2） 曲面:∑（一） 二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积1、 定义：∑⎰⎰=→∆=nk k k kDf y x f 1),(lim d ),(σηξσλ2、 计算： 1）直角坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ，21()()(,)d d d (,)d bx ax Df x y x y x f x y y φφ=⎰⎰⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ，21()()(,)d d d (,)d d y c y Df x y x y y f x y x ϕϕ=⎰⎰⎰⎰2） 极坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=βθαθρρθρθρ)()(),(21D ，21()()(,)d d (cos ,sin )d Df x y x y d f βρθαρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰（二） 三重积分1、 定义：∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk kk k kv f v z y x f 1),,(limd ),,(ζηξλ2、 计算： 1）⎰⎰⎰Ωx f ,(⎰⎰⎰Ωx f (2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x ρρ3）（三） 应用曲面z S :（一） 1、 2、设,(y x f 在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为),(ψ⎪⎩⎨=t y ，其中在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则（二） 对坐标的曲线积分 1、定义：设L 为xoy 面内从A 到B 的一条有向光滑弧，函数),(y x P ，),(y x Q 在L 上有界，定义∑⎰=→∆=nk kk k Lx P x y x P 1),(lim d ),(ηξλ，∑⎰=→∆=nk kk kLy Q y y x Q 1),(lim d ),(ηξλ.欢迎共阅向量形式：⎰⎰+=⋅LLy y x Q x y x P r F d ),(d ),(d2、计算：设),(,),(y x Q y x P 在有向光滑弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为):(),(),(βαψϕ→⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则 3、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为⎪⎩⎪⎨⎧==)()( t y t x L ψϕ：，L 上点),(y x 处的切向量的方向角为：βα,，cos α=则LP ⎰（三） 1、则有⎰⎰D 2、G 则x Q ∂∂（四） 1、 设∑定义⎰⎰∑2、:z =∑，xy ，则（五） 对坐标的曲面积分 1、 定义：设∑为有向光滑曲面，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 是定义在∑上的有界函数，定义1(,,)d d lim (,,)()ni i i i xy i R x y z x y R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰同理，1(,,)d d lim (,,)()ni i i i yz i P x y z y z P S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰；01(,,)d d lim (,,)()ni i i i zx i Q x y z z x R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰2、性质：1）21∑+∑=∑，则计算：——“一投二代三定号”),(:y x z z =∑，xy D y x ∈),(，),(y x z z =在xy D 上具有一阶连续偏导数，),,(z y x R 在∑上连续，则(,,)d d [,,(,)]d d x yD R x y z x y R x y z x y x y ∑=±⎰⎰⎰⎰,∑为上侧取“+”，∑为下侧取“-”.3、 两类曲面积分之间的关系：其中γβα,,为有向曲面∑在点),,(z y x 处的法向量的方向角。
(完整版)无穷级数期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第十一章无穷级数一、选择题1.在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A）∑∞=+1121n n(B)()()2311nnn∑∞=-(C)()∑--nn3111(D)()nnnn111--∑∞=2.()∑∞=-2!1nnnnx在-∞<x<+∞的和函数()=xf（A ）（A）e x2-(B) e x2(C) e x--2(D) e x2-3.下列级数中收敛的是（ B ）（A）∑+∞=11n nn(B)∑+∞=111n nn(C)()∑+∞=1121n n(D)()∑+∞=12111n n4.lim=∞→u nn是级数∑∞=1nnu收敛的（ B ）（A）充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 无关条件5.级数∑∞=1nnu收敛的充分必要条件是（ C ）（A）lim=∞→u nn(B)1lim1<=+∞→ruunnn(C)s nn∞→lim存在（s n=u1+u2+…+u n）(D) nu n21≤6.下列级数中，发散的级数是（ B ）（A）∑∞=121n n(B)∑∞=11cosnn(C)()∑∞=131nn(D)()∑∞=-1132nn7.级数()()nx nnn51111-∑-∞=-的收敛区间是（ B ）（A）（0，2）(B)(]2,0 (C)[)2,0(D) [0，2]8.()+∞<<∞-∑∞=xnnnx1!的和函数是（ B ）（A）e x(B) 1-e x(C) 1+e x(D) x-119.下列级数中发散的是（ A ）（A）∑∞=12sinnnπ(B)()∑-∞=-1111nnn(C) ∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=143nn(D)∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=131n n10.幂级数()∑∞=-13nnx的收敛区间是（ B ）（A）()1,1-(B)()4,2(C) [)4,2(D)(]4,211.在下列级数中发散的是（ D ）（A）∑∞=123nn(B)()nnn1111∑∞=--(C) ∑∞=+1312n nn(D)∑∞=+13)1(1n nn12.幂级数()()xnnnn120!121+∞=∑+-的和函数是（ D ）（A）e x(B) xcos(C)()x+1ln(D) xsin13. 级数()()nx nn n 51111-∑-∞=-的收敛区间是（B ）（A ）（0，2） (B) (]2,0 (C) [)2,0 (D) [0，2]14. 在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A ）∑∞=+1121n n (B)()()2311nn n∑∞=-(C)()∑--n n 3111 (D)()n n n n111--∑∞=15. 下列级数中不收敛的是（ A ）．A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-11)1(n n n C ．∑∞=-1321)1(n n n D ．∑∞=-121)1(n nn16．在下列级数中发散的是（C ）（A ）∑∞=131n n（B ）Λ+++++321161814121 （C ）Λ+++3001.0001.0001.0（D ）()()()Λ+-+-53535353432 17．幂级数x n n nn ∑∞=++11)1ln(的收敛区间是（C ） （A ）[]1,1- (B)（-1，1）(C) [)1,1- (D) (]1,1-18．下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．∑∞=--11)32()1(n n n B ．∑∞=--11)1(n n nC ．∑∞=--11)31()1(n nn D ．∑∞=-+-1212)1(n n n n19．幂级数∑∞=++11)21(n nn x 的收敛区间是（ C ） A ．)2123(,- B ．]2123[,- C ．)2123[,-D ．]2123(,-20.在下列级数中，条件收敛的是（ B ）（A ）()111+∑-∞=n n n n(B) ()n n n 111∑-∞= (C)()∑-∞=1211n nn (D)∑∞=11n n21.级数∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=+1152n n 的和Ｓ＝（ D ）（A ）23 (B) 35 (C) 52 (D) 3222. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=x, 若f(x)的傅立叶级数 展开式为∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则=n a [D] A.1)1(2+-n n B.n n )1(2- C. 1)1(1+-n nD. 0 23. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=2x , 若f(x)的傅立叶级数 展开式为∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则=n b [A] A. 0 B.n n)1(4- C. 1)1(2+-n n D. 1)1(4+-n n二、填空题 1．幂级数()∑∞=-02!1n nnn x的和函数是 e x 2-2.幂级数∑∞=02n nnx的收敛半径为21=R 。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(下册)复习笔记及课后习题和考研真题详解(无穷级数)【圣才出品】
设 un 和 vn 都是正项级数，且 un≤vn（n＝1，2，…）。若级数 vn 收敛，则级
n1
n 1
n 1
数 un 收敛；反之，若级数 un 发散，则级数 vn 发散。
n1
n1
n 1
推论：设 un 和 vn 都是正项级数，如果级数 vn 收敛，且存在正整数 N，使当
n1
n 1
n 1
x
s
0
t dt
x 0
n0
ant n
dt
n0
x 0
ant ndt
n0
an n 1
xn1
xI
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
（3）幂级数 an xn 的和函数 s（x）在其收敛区间（－R，R）内可导，且有逐项求导 n0
公式
s x
n0
an xn
n≥N 时有 un≤kvn（k＞0）
成立，则级数 un 收敛；如果级数 vn 发散，且当 n≥N 时有 un≥kvn（k＞0）成立，则
n1
n 1
级数 un 发散。 n1
②比较审敛法的极限形式
设 un 和 vn 都是正项级数，则：
n1
n 1
a．如果
lim
n
un vn
l
0 l
，且级数 vn 收敛，则级数 un 收敛；
n 1
n1
b．如果
lim
n
un vn
l
0
或
lim
n
un vn
，且级数 vn
n 1
发散，则级数 un
n1
发散。
③比值审敛法（达朗贝尔判别法）
设
un
n1
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数 条件收敛 .
例如
：
(1)n1
1
为条件收敛
.
n1
n
(1)n1
n1
n 10n
均为绝对收敛.
定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .
说明：上述逆定理不一定成立。即
un 发散
un 发散
例9. 证明下列级数绝对收敛 :
(1) n1sinn4n ;
(2)
(1)n
n1
n2 en
.
证: (1)
sin n
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
比值审敛法 nlimuunn1
根值审敛法
lim n
n
un
1
1
收敛
发散
不满足 发 散
比较审敛法
1
不定
部分和极限
用它法判别
积分判别法
3. 任意项级数审敛法
概念:
为收敛级数
绝对收敛
Leibniz判别法:
一、正项级数及其审敛法
若 un 0, 则称 un 为正项级数 .
n1
定理 1. 正项级数
收敛
部分和序列
有界 .
定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
(常数 k > 0 ),
则有 (1) 若强级数 收敛 , 则弱级数 也收敛 ;
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
例1.
un un1 0
lim
n
un
0
条件收敛
则交错级数 (1)nun收敛
n1
例1、（06，一，三）若 an c 则级数（ ）
A、 an c
B、 (1)n an c
C、 anan1 c
D、
an an1 c 2
例2、（05，三）设 un 0, n 1, 2,L , 若
un发散， (1)nun收敛，则下列结论正确的是（ ）
n1
说明:
(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( un vn )
必发散 .
n1
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1,
性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数
的敛散性. 性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和.
A、 u2n1收敛， u2n发散 B、 u2n1发散， u2n收敛
C、 （u2n1 u2n）收敛 D、 （u2n1 u2n）收敛
第十一章
第三节 幂级数
一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算
一、 函数项级数的概念
设 un (x) (n 1, 2, ) 为定义在区间 I 上的函数, 称
n1
rn un1 .
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1 n1 1
收敛
2)
234 1 1 1 1
2! 3! 4!
un1 n (u1n)n1
(n10n1)1! n1!1n01n!n
1 1n 1 10n 收1n敛
3)
1 10
2 102
n4
1 n4
,
而
1 n1 n4
收敛
,
n1
sin n
n4
收敛
因此 sin n 绝对收敛 . n1 n4
(2) 令
(n 1)2
lim un1 lim en1 n un n n2
en
lim
n
1 e
n
n
12
1 e
1
n1
(1)n
n2 en
收敛,
因此
(1)n
n1
n2 en
绝对收敛.
内容小结
利用 “拆项相消” 求 和
二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数
收敛于 S , 即 S un , 则各项
n1
乘以常数 c 所得级数
也收敛 , 其和为 c S .
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
性质2. 设有两个收敛级数
S un, vn
n1
n1
则级数 (un vn )也收敛, 其和为 S .
例3. 判别级数
sin
n1
1 n
的敛散性
.
sin
1 n
～
1 n
解: limn sin 1 lim n 1 1
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
sin
n1
1 n
发散
.
例4. 判别级数 ln1
n1
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n2
n
ln
1
1 n2
lim
考1虑强2 p1级1数 n22
p1(n1113)
1
pp11
np11
n的p1部1分 (和n
1 1)
p1
n
n k 1
k
1
p 1
(k
1 1) p1
1
(n
1 1) p1
n 1
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在N Z , 对一切 n N ,
讨论
p
级数1
1 2p
1 3p
1 np
(常数
p
>
0)
的敛散性.
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
而调和级数
n1
1 n
发散
,
由比较审敛法可知
p
级数
发散 .
2) 若 p 1,因为当
1
np
n n1
1 np
d
x
时,
1 np
1 xp
,
故
n1 n1 x p
d
x
1 p 1
1 (n 1) p1
n
1
p1
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如，(11) (11) 0 , 但
发散.
三、级数收敛的必要条件
性质5、设收敛级数
则必有
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如,
其一般项为
不趋于0, 因此这个级数发散.
注意:
lim
1, 1 x
x 1 即是此种情形.
定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 an xn n0 则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
时该幂级数发散 , 则对满足不等式
的一切 x , 该幂级数也发散 .
发散
收敛 发散
收o敛
发散x
由Abel 定理可以看出, an xn 的收敛域是以原点为
(3) 当 l =∞
是两个正项级数,
(1) 当0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当l 0 且 vn收敛时,
也收敛 ;
(3) 当l 且 vn 发散时,
也发散 .
特别取
ห้องสมุดไป่ตู้vn
1 np
,
对正项级数
un ,
可得如下结论
:
0l
lim n p nn l
n
p 1, 0l
un 发散 un 收敛
则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
因此级数发散 .
aa qn 1q
从而
lim Sn
n
a 1q
从而
lim
n
Sn
,
2). 若
则 级数成为
因此级数发散 ;
第十一章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
傅氏级数（数一）
第十一章
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件
一、常数项级数的概念
引例 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
收敛 发散
发散
收o敛
发散x
定理2. 若
的系数满足
则
1) 当 ≠0 时,
R
1
;
2) 当 ＝0 时, R ;
3) 当 ＝∞时, R 0 .
说明:据此定理
的收敛半径为 R lim an n an1
例1.求幂级数
的收敛半径及收敛域.
1
解: R lim an lim n an1 n
为定义在区间 I 上的函数项级数 .
对
若常数项级数
收敛, 称 x0 为其收
敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ;
若常数项级数
发散 , 称 x0 为其发散点, 所有
发散点的全体称为其发散域 .
在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 为级数的和函数 , 并写成
称它
若用
表示函数项级数前 n 项的和, 即
例6. 讨论级数