理论力学1-4分析力学1

分析力学
Analytical mechanics
分析力学
分析静力学基础 (虚位移原理) 分析动力学基础
第一章 分析静力学基础 虚位移原理) (虚位移原理)
虚位移原理
引论 约束及其分类 虚位移,理想约束 虚位移原理 自由度,广义坐标
虚位移原理
引论
刚体静力学的局限性 问题的引入
虚位移原理
刚体静力学的局限性
∑(Fi +FNi ) δri = ∑Fi δri + ∑FNi δr i > 0 ∴ ∑F δr > 0 ∵ ∑FNi δr i = 0 i i 与 ∑F δr = 0 矛盾. i i
所以,原质点系一定平衡.
虚位移原理
O
虚位移原理
例2,结构尺寸如图示,试问系统平衡时角应等于多大?
B
Q
rA = 7l sin rB = 2l cos δrA = 7l cosδ δrB = 2l sin δ
δ
虚位移原理
虚位移的计算
2,虚速度法
虚位移,理想约束
P
δrB δvB PA = = δrA δvA PB
sin( +θ ) = cosθ
δrA
O
A
θ
B
δrB
虚位移原理
理想约束 定义
虚位移,理想约束
如果约束力在系统的任何虚位移中的元功(虚功) 之和为零,则这种约束称为理想约束. 实例: 1,光滑固定曲面或曲线 2,用以连接两物体的光滑铰链 3,连接两质点的刚性杆 问题: 1,主动力的实功为零,其虚功是否一定为零? 2,系统约束力的虚功为零,实功是否一定为零?
i =1 2, n , , j = 1 2,, S ,
v
(x, y)
x2 + y2 = (l vt)2
虚位移原理
几何约束
约束及其分类
固执约束(双面约束): 约束方程以等式形式出现. f j (xi , yi , zi ) = 0
几何约束
i =1 2,, n , j = 1 2,, S ,
l
(x, y)
M(x, y, z) δ r = δ xi +δ y j +δ zk → M (x +δ x, y +δ y, z +δ z) 1 f (x +δ x, y +δ y, z +δ z) = 0 f 0 = δ f = f (x +δ x, y +δ y, z +δ z) f (x, y, z) f f f = δ x + δ y + δ z + o(δ r ) x y z f f f δ f ≈ δ x + δ y + δ z = f δ r = 0 x y z
虚位移原理
定义1
虚位移,理想约束
在不破坏系统约束的条件下,质点系或其中各个质 点可能发生的任何微小位移称为质点系的可能位移.
定义2
质点的任何两个可能位移之差称为虚位移.
虚位移与实位移 有何关系
虚位移原理
定理
虚位移,理想约束
约束在某曲面上的质点的虚位移,在曲面过该点的 切面上. 证明: 设质点的约束方程为 f (x, y, z) = 0
Fi δri +FNi δri = 0
∵
∑FNi δr i = 0
∑Fi δri + ∑FNi δr i = 0 ∴ ∑F δr = 0 i i
虚位移原理
证明:充分性(反证法)
虚位移原理
不妨假设仅质点i不平衡. 设∑F δr = 0,但质点系不平衡. i i 即: +F i ≠ 0 由: = δ = (F +FNi ) dr = (Fi +FNi ) δri > 0 dT W i F i N i
k n
∑
∑Qj δqj = 0 j
=1
∵δqj ≠ 0 而且完全独立
Q =0 j
具有理想,完整约束的系统,平衡的充分必 j = 1,2,,k 要条件是对应每一个广义坐标的广义力都为零.
虚位移原理
自由度,广义坐标
广义力的计算 n n yi r xi zi i +FZi = ∑(FXi +F ) 1 Qj = ∑F i Yi qj qj qj qj i =1 i =1
虚位移原理
δrA δrB
B A
虚位移,理想约束
例1,下图的分析是否正确?
Q
P
C
δrC
D
δrD
虚位移原理
虚位移的计算
虚位移,理想约束
sin( +θ ) δ xB = rδ δrA = (δ xA )2 + (δ yA)2 cosθ rA = rδ sin( +θ ) 2 2 A δrB = (δ xB ) + (δ yB ) = rδ B cosθ δrB sin( +θ ) O θ = δrA cosθ δrB
非固执约束(单面约束): 约束方程以不等式形式出现. f j (xi , yi , yi , t) ≤ 0
i =1 2, n , , j = 1 2,, S ,
虚位移原理
运动约束
约束及其分类
完整约束: 约束方程中不含坐标对时间的导数, 或,可积分为有限形式的无限形式.
运动约束
xC = r
非完整约束: 约束方程不可以积分成有限形式的.
{
xi = xi (q1,q2, , qk )
虚位移原理
自由度,广义坐标
以广义坐标表示的系统平衡条件 n k k n r r i F (∑ i δqj ) = 0 ∑Fi δri = 0 δ ri = ∑qj δqj ∑ i j =1 qj i =1 j =1 i =1
n r r 称为对应于 i (∑F )δqj = 0 令Q = F i 以广义坐标 ∑ i =1 i q j i qj j =1 j i =1 q j的广义力 k
( xi , yi )
A ( x, y )
ห้องสมุดไป่ตู้
xi yi =0 =1 y y yi = li cos( +i ) yi xi +F Q = ∑(FXi )= ∑F = 0 Xi x Yi x x yi xi Q = ∑(F +F )= ∑F = 0 y Xi Yi Yi y y yi xi Q = ∑(FXi +F ) = ∑m = 0 A Yi
虚位移原理
虚位移原理
虚位移原理
具有定常,理想,双面约束的质点系在某一位置 平衡的充分必要条件是:所有作用在该系统上的主动 力在任何虚位移上所做的虚功之和为零. 即:
∑δW = ∑Fi δri = 0
F +F i = 0 i N
证明:必要性 设质点系在某一位置平衡,则该质点 系中每一质点都是平衡的.即:
广义坐标
用来确定质点系位置的独立参数. 在完整约束的情况下,广义坐标的数目等于自由 度的数目.
虚位移原理
例
自由度,广义坐标
2 2 x1 + y1 = r2 (x2 x1)2 + ( y2 y1)2 = l 2 y2 = 0
r
O
A (x1, y1)
l
B (x2 , y2 )
x1 = r cos
2
l
C
δrC
D
E
Q
l
D
C
δrE
δ
E
Q
δ
A
A
B
δrD
δrB
FBx
B
虚位移原理
自由度
自由度,广义坐标
一个由n个质点所组成的质点系的虚位移并不是完 全独立的,是因为有约束的缘故. 一质点系所具有的独立虚位移的个数称为该质点 系的自由度. 受完整约束的质点系的自由度数为确定该质点系 位置的独立坐标的个数.
B
O
Bd B B B
虚位移原理
引论
问题 对于任意的非自由质点系是否都能 以功的形式给出平衡条件?
怎么办?
虚位移原理
约束
约束及其分类
限制质点系中各个质点的位置和运动的条件. 几何约束(位置约束): 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件. f j (xi , yi , zi , t) = 0 i =1,2,, n j =1,2,, S 运动约束(微分约束): 除了限制质点或质点系在空间的几何位置外, 还限制其速度的条件. r i =1,2,, n j =1,2,, S f (r , r , , t) = 0
O
y1 = r sin x2 = r cos + l 2 + r2 sin 2
2 2 2 x1 + y1 = l1
y2 = 0
2 (x2 x1)2 + ( y2 y1)2 = l2
l1
A (x1, y1)
ψ
B (x2 , y2 )
x1 = l1 cos y1 = l1 sin x2 = l1 cos + l2 cosψ y2 = l1 sin l2 sin ψ
∑F δr = 0,
i i
(7Pl cos 2Ql sin )δ = 0
A
P
7P = arctg 2Q
虚位移原理
1 δrE = δrB 2
l 2
虚位移原理
QδrE FBxδrB PδrD = 0
1 1 FBy = ?P Q 2 P 4
例3,求图示三铰拱B处的约束反力.
1 δrD = ? δrB 4 1 1 FBx = Q P 2 4 P l
虚位移原理
自由度,广义坐标
在一般情况下,具有k个自由度的完整系统,可用k 个广义坐标q1,q2,…,qk来确定系统的位置,此时系 统内任意一点的位置可以表示为广义坐标的函数.