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贝叶斯统计-习题答案)

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第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=⨯+⨯⨯=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==⨯+⨯⨯=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有.10,)1(504)|(504)6,4(/1)6,4(1)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(535311614531535315338533810<<-==-=--=--=--==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1(2)1()()|()()|()|(63631171463163631533853381<<-==-=--=--=----==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求1.5 解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<===<<=<<=+<<-==+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<< 】1.6 证明：设随机变量()XP λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝•∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x e x x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni ii【原答案： (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=•=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<-（实质是新解当n=1的情形）】 （2） 由题意可知.1},max{,1)/(1)/(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{2212211212121212122111<<∝=⨯⨯==<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=•=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝•∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222222251()()11252()11225252u x x u eeeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(768778774321321321433213213321>⨯====≥=>=====<<=⎰⎰⎰∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==, 计算错误】1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝•00111n n n ααααθθθθθ++++∝•∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。

贝叶斯统计大部分课后习题答案

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贝叶斯统计大部分课后习题答案习题讲解一、1,3,5,6,10,11,12,151.1记样本为x.226pxC(0.1)*0.1*0.90.1488,,,,8226pxC(0.2)*0.2*0.80.2936,,,,8后验分布:0.1488*0.7,,,0.10.5418x，，,,0.1488*0.70.2936*0.3，0.2936*0.3,,,0.20.4582x，，,,0.1488*0.70.2936*0.3，111233536mxpxdCdd,,,,,,,(|)(1)*2(1)112(1),,,,,,,,,,,，，，，8,,,00015 px(|)，，,,,36,,,,,x840(1),01，，,,,,,mx，，1.61.11 由题意设x表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布 U(0,), 1,,,0,,x,,px(), ,,0,其它,Xxxx,(,,)因为抽取3个样本，即，所以样本联合分布为 123 1,,,0,,,,xxx,1233 ,,pX(),,其它0,,4,192/,4,,, 又因为 (),,,,0,4,,,所以，利用样本信息得1192192,,,,,,,,,,,,,hXpXxxx(,)()() (8,0,,) 123347,,, ，,，,192,,,,,mXhXdd()(,)于是 7,,88,,的后验分布为76hX(,)192/68,,， ()X,,,,,7，,192mX(),d,,78,6,68，,8,,,7 ()X,,,,,,0,8,,,1.12样本联合分布为:1pxx,,,,,(),0n,,,，1,,,,,,/,,00(),,,,0,,,,,0,,,，，，，nn11 ,,,,,,,,,,,,()()()/1/,max,,,xpxxx,,,,,,,0101n ,，，n1,因此的后验分布的核为，仍表现为Pareto分布密度函数的核 1/, ,,，，，nn1,()/,,,,,,，,n11即 ()x,,,,0,,,,,1即得证。

贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案word精品

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加 I —W)W j04/(l -疔36840 (1 ) ,011.6习题讲解一、1,3,5,6,10,11,12,15 1.1记样本为X. p(x 0.1) Cs *0.1 2 *0.960.1488 p(x 0.2) C ；*0.22*0.86 0.2936 后验分布: 0.1 x 0.2 x 0.1488*0.70.1488*0.7 0.2936*0.3 0.2936*0.30.1488*0.7 0.2936*0.30.5418 0.4582苴它1o<e<iJ n1 m x 0p(x| ) [2(1® aG<e<i其它1 d°C ； 3(1)5*2(1 )d1112 3(1 )6d12( X)i …氏 设辱心…血 是栗ri 泊松分布praj 的 个样本swe 匚此样木的似然函数为匕现収仙也［分•仃Ga(fiL Q 粹为泊松分巾均们A 的址验匕们•即―oo < a v +c©的后验分布为192/ 7 6 86 192—87参故久的百验分布为兀(几斗)板I A)^(Z)'X /J+M jA服从伽玛分布Go辽対+桟申一八r-1 1.11由题意设x 表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布 U(0,)P(X )亠 0 X 0, 其它 因为抽取3个样本，即X (x 1,x 2, x 3)，所以样本联合分布为丄 p(X) 3,0, X i ，X 2,X 3其它又因为 192/ 0, 所以，利用样本信息得 h(X, ) p(X )() 1 ~3 192 ~4 192 (~7 (8,0 X i ,X 2,X 3 )于是 m(X) 8 h(X,)d192 , rdp(x\A) = —Xi—, -OC < XIX/ < +OCh(X,) m(X)21p(x )— ,0 x0,即(x) ( n)1/0,即得证。

1.151样本的似然函数：p(x )1e服从伽马分布Ga n, nx-0.00024,20000.0.000121.12样本联合分布为:(X)6 867~0, (x) p(x )()1/1max 0,%丄，人因此的后验分布的核为1/n 1,仍表现为Pareto 分布密度函数的核参数的后验分布 (x) p(x )()n 1( nx)enX in— i 1en nxe1,2,3,5,6,7,8,10,11,12 2乙11)讥刈8)二&(1一&)\兀(&) = 1p 何0)兀(0)= &(1—胖 〜尿(2,4)E(&|X )"E =±W2)讽申)=，(1 — &)叫兀(&) = 1二 诃x) * p(x 0)兀(8)=护(1 一 0)10 〜%(4,11)i ・44E(& x) = 3¥ = -------- =——E 11 + 4 152.2解：由题意，变量t 服从指数分布： p(t )由伽玛分布性质知:0.2nt i 20 3.8 76，所以 ni 1由于伽玛分布是指数分布参数的共轭先验分布，而且后验分布0.04, 0.2又已知n=20,t 3.8(|t) P (T| )( )neti1en 1e (t i)即后验分布为Ga( n,t i ) Ga(20.04,76.2)E T() n t i20.0476.20.2631服从倒伽玛分布IGa(n,t i ) IGa(20.04,76.2)样本联合分布p(T )neti且~Ga(,)〒0 , E()0.2 Var (n20.04, t ii 176.2t-E T ( ) E |T (1) ---------- 4.002n 1n 12.8 由 x ~ Ga( , ), ~ IGa(,)可以得出(1}e(1) 的后验分布为:(3)样本分布函数为:的后验期望估计的后验方差为11 162.5 n 36.2.7的先验分布为：()/ 1, 0, 令1 max 0必丄,X -可得后验分布为：(x)(n) 1 n/0,后验方差为： Var( x)E( x)十, n 1 (n) 122(n 1) (n 2)(xpn -2n -2X1 xe 2 ,x 0(x)p(x 1)e^即为倒伽玛分布IGa(-,2所以的后验分布为IGa(n2 )的核。

(完整版)贝叶斯统计-习题答案)

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第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=⨯+⨯⨯=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==⨯+⨯⨯=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有.10,)1(504)|(504)6,4(/1)6,4(1)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(535311614531535315338533810<<-==-=--=--=--==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1(2)1()()|()()|()|(636311714631636315338533810<<-==-=--=--=----==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求1.5 解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<===<<=<<=+<<-==+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<< 】1.6 证明：设随机变量()XP λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝•∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x ex x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni ii【原答案： (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=•=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （实质是新解当n=1的情形）】（2） 由题意可知.1},max{,1)/(1)/(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{2212211212121212122111<<∝=⨯⨯==<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=•=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝•∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222222251()()11252()11225252u x x u eeeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(768778774321321321433213213321>⨯====≥=>=====<<=⎰⎰⎰∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==, 计算错误】1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝•00111n n n ααααθθθθθ++++∝•∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。

贝叶斯统计第二版第四章答案

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第四章决策者的收益、损失与效用4.1 解：令123::θθθ畅销，:一般，滞销；123::a a a 大批生产，:中批生产，小批生产（1）3121231005010(,)3040960206a a a Q a θθθθ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭（2）1,2,360,1min (,)20,26,3i j i j Q a j j θ=-=⎧⎪=-=⎨⎪=⎩1,2,31,2,3max min (,)6i j j i Q a θ==∴= 因此，在悲观准则下，最优行动为3a（3）1,2,3100,1max (,)50,210,3i j i j Q a j j θ==⎧⎪==⎨⎪=⎩1,2,31,2,3max max (,)100i j j i Q a θ==∴= 因此，在乐观准则下，最优行动为1a（4）1()0.81000.2(60)68H a =⨯+⨯-=23()0.8500.2(20)36()0.8100.269.2H a H a =⨯+⨯-==⨯+⨯=因此，在乐观系数为0.8时，最优行动为1a4.2（1）1,2,335,1max (,)30,2i j i j Q a j θ==⎧=⎨=⎩1,21,2,3max max (,)35i j j i Q a θ==∴= 因此，在乐观准则下，最优行动为1a（2）1,2,317,1min (,)13,2i j i j Q a j θ==⎧=⎨=⎩1,21,2,3max min (,)17i j j i Q a θ==∴= 因此，在悲观准则下，最优行动为1a（3）1()0.7350.31729.6H a =⨯+⨯=2()0.7300.31324.9H a =⨯+⨯=因此，在乐观系数为0.7时，最优行动为1a4.3解：由题可知()11000.6300.3(60)0.163Q a =⨯+⨯+-⨯=()()23500.6400.3(20)0.140100.690.360.19.3Q a Q a =⨯+⨯+-⨯==⨯+⨯+⨯=因此，在先验期望准则下，最优行动为1a4.4解;(1) {}:510θθΘ=∈≤≤A =Θ(2)()5,(,)5,a a Q a a a θθθθθ⎧--<=⎨≥⎩356124123456252423222120253029282726253035343332253035403938253035404544253035404550a a a a a a Q θθθθθθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (3)1,2,...,625,124,223,3min (,)22,421,520,6i j i j j j Q a j j j θ==⎧⎪=⎪⎪==⎨=⎪⎪=⎪=⎩ 1,2,...,61,2,...,6max min (,)20i j j i Q a θ==∴=因此，在悲观准则下，最优行动为6a(4)()1()2512525H a αα=⨯+-⨯=()2()30124246H a ααα=⨯+-⨯=+()3()351232312H a ααα=⨯+-⨯=+()4()401222218H a ααα=⨯+-⨯=+()5()451212124H a ααα=⨯+-⨯=+()6()501202030H a ααα=⨯+-⨯=+4.5解：3561241234560123455012341050123151050122015105012520151050a a a a a a L θθθθθθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ()[]11(,)50.09100.15150.4200.2250.114.45L a E L a θθ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ()[]22(,)10.0650.15100.4150.2200.19.81L a E L a θθ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 同理可得()()()()34565.71, 2.51, 1.71, 2.11L a L a L a L a ====因此，在该先验分布之下5a 为最优行动。

贝叶斯统计第二版第二章答案

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（1） 由题意可知 因此 又 所以
（2） 由题意可知且 因此 所以 2.5 解:设，则 令 设，则，且 其中
2.6 解：设X为1000名成年人中投赞成票的人数，则 （1）由题意可知 a. b. （2）a.
b. （3）由题意可知 a. b. -=-= 2.7 解：由题意可知 令，则 从而有 2.8 解： （1）由题意可知 因此 所以 （2）
（3） 由题意可知第二章 贝 Nhomakorabea斯推断2.1 解：由题意可知 设是从随机变量X中抽取的随机样本，则 从而有 所以
（1） 由题意可知 n=1,x=3 （2） 由题意可知 2.2 解：设X为银行为顾客服务的时间，则 设的先验分布为，则 由题意可知 从而有
因此有 所以有 2.3 解：设X为磁带的缺陷数，则 由题意可知 从而有 因此 2.4 解：设X为n个产品中不合格数，则 由题意可知

贝叶斯统计第二版第二章答案

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第二章 贝叶斯推断2.1 解：由题意可知 ()1,01πθθ=<<设12,,...,n X X X 是从随机变量X 中抽取的随机样本，则11()()(1)nii nx ni i p x p x θθθθ==∑==-∏从而有 ()()1()(1),01nii x nx p x πθθπθθθθ=∑∝∙∝-<<所以 1(1,1)ni i xBe n x θ=++∑（1） 由题意可知 n=1,x=3 ∴(2,4)xBe θ∴21ˆ243Eθ==+ （2） 由题意可知 1233,3,2,5n x x x ====∴(4,11)x Be θ∴44ˆ41115Eθ==+ 2.2 解：设X 为银行为顾客服务的时间，则()x p x e λλλ-=设λ的先验分布为(,)Ga αβ，则20.20.040.21ααβαββ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩ 由题意可知 3.8x =从而有 ()()()x p x πλλπλ∝∙ ()11111n ni ii i x x nx n n n e e eeλβλλβαλβααλλλλ==⎛⎫⎪-+- ⎪-+--+-+-⎝⎭∑∑∝∙==因此有 (,)(20.04,76.2)xGa n nx Ga λαβ++=所以有 20.04ˆ()0.2676.2E x λλ=== ()()()1110ˆ() 4.0021nnx n nx nx E x e d n n αλβαββθλλλλαα++∞-+--+-++==∙==Γ++-⎰ 2.3 解：设X 为磁带的缺陷数，则()Xp θ∴3133311()()!ii x i i ii e p x p x x θθθθ=-==∑==∏∏由题意可知 ()21,02e θπθθθ-=>从而有 ()()3132104()ii x x p x e e e θθθπθθπθθθθ=---∑∝∙∝= 因此 (11,4)xGa θ11ˆ()()16EMSE Var x θθ== 2.4 解：设X 为n 个产品中不合格数，则(,)X bin n θ由题意可知 ()49(1),01πθθθθ∝-<< （1） 由题意可知(20,)Xbin θ∴317()(1)p x θθθ∝-∴()()()x p x πθθπθ∝∙31749726(1)(1)(1)θθθθθθ∝-∙-=-因此 (8,27)x Be θ又626725()7(1)26(1)0x πθθθθθ'∝---所以 7ˆ33MDθ= （2） 由题意可知(20,)Xbin θ且()726(1)πθθθ=-∴20()(1)p x θθ∝-∴()()()x p x πθθπθ∝∙72620746(1)(1)(1)θθθθθ∝-∙-=-因此 (8,47)x Be θ所以 78ˆˆ,5355MD Eθθ== 2.5 解:设2(,2)X N θ，则222σ=令2204nnσσ==设(,1)N u θ，则1τ=，且211(,)xN u θτ其中 2201222200u x u στστστ------=+++2221111τστ=+214ˆ()()0.14E MSE Var x n θθτ===≤+ 2.6 解：设X 为1000名成年人中投赞成票的人数，则(1000,)Xbin θ（1）由题意可知 7107102901000(710)(1),01p C θθθθ=-<<a.()()710290711290710(710)(1)(1)A p πθθπθθθθθθ∝∙∝-∙=-∴710(712,291)Be θb.()()7102903713290710(710)(1)(1)B p πθθπθθθθθθ∝∙∝-∙=-∴710(714,291)Be θ（2）a.712ˆ(710)0.7098712291EE θθ===+b. 714ˆ(710)0.7104714291EE θθ===+ （3）由题意可知10001000()(1),01xx x p x C θθθθ-=-<<a.()()100011000()(1)(1)x x x x A x p x πθθπθθθθθθ-+-∝∙∝-∙=-∴(2,1001)xBe x x θ+-∴2ˆ()1003EAx E x θθ+== b.()()1000331000()(1)(1)x x x x B x p x πθθπθθθθθθ-+-∝∙∝-∙=-∴(4,1001)xBe x x θ+-∴4ˆ()1005EBx E x θθ+==∴ˆEA θ-ˆEB θ=21003x +-41005x +=2.7 解：由题意可知 1(),0p x x θθθ=<<1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ∴=<<=令{}1012max ,,,...,n x x x θθ=，则()101()()()n m x p x d n ααθαθθπθθαθ+∞+=∙=+⎰从而有 ()()111()(),()n n p x n x m x ααθπθαθπθθθθ++++==>11111()1ˆ()(1)n E n n n E x d n αααθαθθθθθθαθ++∞+++-+===+-⎰ 1221121()1()(2)n n n n E x d n αααθαθθθθθαθ++∞+++-+==+-⎰22222(1)1111ˆ()()()()(2)(1)En n MSE Var x E x E x n n ααθθθθαθαθ+-+-==-=-+-+- 2.8 解：（1）由题意可知 21221()2n x n p x x e θθθ--⎛⎫∝ ⎪⎝⎭()(1)e βαθπθθ--+∝因此 ()221(1)(1)22212xnx nn x x e e eββααθθθπθθθθ+-----++-+⎛⎫∝∝ ⎪⎝⎭所以 (,)22n xx IGa θαβ++（2）222()1222x Var x n n βθαα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2()12x E x nβθα+=+-（3） 由题意可知 2221()n nx p x eθθθ-⎛⎫∝ ⎪⎝⎭()22(1)2nx n x eβαθπθθ+--++∝2(,)22n nx xIGa θαβ∴++22ˆ12MDnx n βθα+∴=++ 22ˆ12E nxn βθα+=+-。

贝叶斯统计第二版第一章答案

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第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有1111122()()()0.4582()()()()P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+2221122()()()0.5418()()()()P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有 351()()()504(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ==-<<⎰（2）361()()()47040(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ==-<<⎰1.5 解：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<<1.6 证明：设随机变量()X P λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则 (),0!x e P x x λλλλ-=> 1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝∙∝=所以 (,1)xG a x λαβ++ 1.7 解：（1）由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=∙=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （2） 由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=∙=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<< 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝∙∝--=- 由上可知 (5,297)A Be θ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝∙222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝∙∝因此 (174.64,1.26)xN θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝∙22222251()()11252()1225252u x x u e eeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝∙00111n n n ααααθθθθθ++++∝∙∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。

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第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=⨯+⨯⨯=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==⨯+⨯⨯=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有.10,)1(504)|(504)6,4(/1)6,4(1)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(535311614531535315338533810<<-==-=--=--=--==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1(2)1()()|()()|()|(636311714631636315338533810<<-==-=--=--=----==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求1.5 解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<===<<=<<=+<<-==+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<< 】1.6 证明：设随机变量()XP λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝•∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x ex x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni ii【原答案： (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=•=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （实质是新解当n=1的情形）】（2） 由题意可知.1},max{,1)/(1)/(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{2212211212121212122111<<∝=⨯⨯==<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=•=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝•∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222222251()()11252()11225252u x x u eeeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(768778774321321321433213213321>⨯====≥=>=====<<=⎰⎰⎰∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==, 计算错误】1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝•00111n n n ααααθθθθθ++++∝•∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。

1.13 解：由题意可知()()213316451ααβααββαβαβ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪+++⎩ 1.15 解：（1）设λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知 由题意可知.0,)()|,,(),,|(.0,)()(.,2,1,0,)|()|,,()(121211112111>∑∝•∝>Γ==>∑===+--+---=-===∏∏λλλπλλπλλαβλπλλλλλβαβλααλλni i ni iix n n n i x nni x ni i n ex x x p x x x e n i x eex p x x x p所以(,)Ga αβ是参数λ的共轭先验分布。

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