计算几何
计算几何
思考如下图形：
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先看最简单的多边形——三角形
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三角形的面积：
在解析几何里， △ABC的面积可以通过 如下方法求得：
点坐标 => 边长 => 海伦公式 => 面积
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思考：此方法的缺点：
计算量大 精度损失
更好的方法？
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计算几何题的特点与做题要领
1.大部分不会很难，少部分题目思路很巧妙 2.做计算几何题目，模板很重要，模板必须高度可靠
。 3.要注意代码的组织，因为计算几何的题目很容易上
两百行代码，里面大部分是模板。如果代码一片混乱 ，那么会严重影响做题正确率。 4.注意精度控制。 5.能用整数的地方尽量用整数，要想到扩大数据的方 法（扩大一倍，或扩大sqrt2）。因为整数不用考虑浮 点误差，而且运算比浮点快。
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形。
P3 P4
P2
P0
P1
P5 P6
设你种了很多树，想用一个篱笆把所有的
树都包在里面。出于经济考虑，这个篱笆应该是越 小越好。
计算几何-多边形重心公式
计算⼏何-多边形重⼼公式计算⼏何-多边形的重⼼1. 1 累加和求重⼼设平⾯上有N 个离散数据点( xi , yi ) ( i = 1, 2, ., n) , 其多边形重⼼G( . x1, . y1) 为:这是求多边形最简单直观的⽅法。
可以直接利⽤离散数据点的x, y坐标就能求图形重⼼。
但是缺陷在于没有对离散数据点所围图形做任何处理和分析,精度不够。
1. 2算法⼀：在讲该算法时，先要明⽩下⾯⼏个定理。
定理1已知三⾓形△A1A2A3的顶点坐标Ai ( xi , yi ) ( i =1, 2, 3) 。
它的重⼼坐标为: xg = (x1+x2+x3) / 3 ;yg = (y1+y2+y3) / 3 ;定理2已知三⾓形△A1A2A3的顶点坐标Ai ( xi , yi ) ( i =1, 2, 3) 。
该三⾓形的⾯积为: S = ( (x2 - x1) * (y3 - y1) - (x3 - x1) * (y2 -y1) ) / 2 ;△A1A2A3 边界构成逆时针回路时取+ , 顺时针时取-。
另外在求解的过程中，不需要考虑点的输⼊顺序是顺时针还是逆时针，相除后就抵消了。
原理:将多边形划分成n个⼩区域, 每个⼩区域⾯积为σi ,重⼼为Gi ( xi , yi ) ,利⽤求平⾯薄板重⼼公式把积分变成累加和:由前⾯所提出的原理和数学定理可以得出求离散数据点所围多边形的⼀般重⼼公式:以Ai ( xi , yi ) ( i = 1, 2, ., n) 为顶点的任意N 边形A1A2 .An ,将它划分成N - 2个三⾓形(如图1) 。
每个三⾓形的重⼼为Gi (xi , . yi ) ,⾯积为σi。
那么多边形的重⼼坐标G( x2, .y2) 为:图1 多边形分解例题：HDU 1115 Lifting the Stone代码：如下。
1 #include2 #include3 #include4struct centre5 {6double x , y ;7 };8int cas , n ;9double Area( centre p0 , centre p1 , centre p2 )10 {11double area = 0 ;12 area = p0.x * p1.y + p1.x * p2.y + p2.x * p0.y - p1.x * p0.y - p2.x * p1.y - p0.x * p2.y;13return area / 2 ; // 另外在求解的过程中，不需要考虑点的输⼊顺序是顺时针还是逆时针，相除后就抵消了。
计算机科学中的计算几何学
计算机科学中的计算几何学计算几何学是计算机科学中一个重要的领域，它涵盖了许多与图形和几何有关的问题，例如计算多边形的面积和周长、求解几何元素之间的关系和位置、以及生成三维图形等等。
计算几何学在许多应用领域中都有广泛的应用，例如计算机辅助设计、虚拟现实、机器人技术等等。
在计算几何学中，最基本的问题是如何表示和存储几何对象。
传统的方式是使用点、线和面等基本元素来描述几何对象。
对于平面几何问题，经典的数据结构是平面直角坐标系（Cartesian coordinates）和极坐标系（polar coordinates）。
在三维几何问题中，一般使用欧几里得空间（Euclidean space）或齐次坐标系（homogeneous coordinates）来表示和计算。
此外，还可以使用参数曲线和曲面等高级数据结构来描述更复杂的几何对象。
计算几何学中的许多问题都涉及到了求解几何元素之间的关系和位置。
其中最常见的问题之一是交点问题（intersection problem），即求解两条或多条直线或曲线在二维或三维空间中的交点。
还有一类常见问题是求解点与线、点与面之间的位置关系。
例如，如何判断一个点是否在一个多边形内部？如何判断两个三角形是否相交？这些问题的解决方法涉及到了许多经典的算法，例如扫描线算法（scanline algorithm）、凸包算法（convex hull algorithm）和线性规划算法（linear programming algorithm）等等。
计算几何学的另一个重要领域是计算几何优化。
它涉及在给定约束条件下求解几何问题的最优解。
例如，在给定的几何对象中，如何找到包含最大面积的矩形？如何找到通过给定点的最短路径？这些问题需要一些经典的数学工具和算法，例如拉格朗日乘数法（Lagrange multiplier method）、离散化技术（discretization）和动态规划算法（dynamic programming algorithm）等等。
计算几何学复习
设f为p2在中垂线的方位标志；d为凸多 边形顶点在中垂线的方位标志
1 f 1 回答" hotter"时p2在中垂线上方或者回答 " colder"时p2在中垂线下方 回答" hotter"时p2在中垂线下方或者回答 " colder"时p2在中垂线上方
1 d [i] 1 0
f (n) f (n 1) t (n) 1 f (n 2) t (n 1) 1 t (n) 1 f (1) t (i ) n 1 t (i ) n 1
i 2 i 2 n n
u［1.. L］为线段序列，其中u[i]为第i条线段。计算 过程如下 T←0；｛交点数初始化｝ for i←1 to L do｛统计L条线段之间的交点个数｝ for j←i+1 to L do if u[i]与u[j]相交 then T←T+1； 输出T+L+1；
逆时针S
1 x2 2 x3
x1
y1 1 y2 1 y3 1
1 ( x1 y2 x2 y3 x3 y1 x1 y3 x2 y1 x3 y2 ) 2
1、某个均质物体（即物体的面积与质量成正比）的形状 为平面三角形的话，则物体的质量就是三角形面积，该 物体的重心位置为物体的质点。 2、利用系统内各物体间的质点关系计算系统的质心位置 （也是系统重心位置）和质量。假设平面上有两个质点， 坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，质量分别为m1,m2，则它们 组成的系统的质量m和质心位置（x,y）满足
机器蛇
在未来的某次战争中，我军计划了一次军事行动，目的 是劫持敌人的航母。由于这个计划高度保密，你只知道 你所负责的一部分：机器蛇的通信网络。计划中要将数 百条机器蛇投放到航母的各个角落里。由于航母内部舱 室、管线错综复杂，且大部分由金属构成，因此屏蔽效 应十分强烈，况且还要考虑敌人的大强度电子干扰，如 何保持机器蛇间的联系，成了一大难题。每条机器蛇的 战斗位置由作战计划部门制定，将会及时通知你。每条 机器蛇上都带有接收、发射系统，可以同时与多条机器 蛇通讯。由于整个系统承载的数据量庞大，需要一个固 定的通讯网络。情报部门提供了极其详尽的敌方航母图 纸，使你对什么地方有屏蔽了如指掌。 请你设计一个程序，根据以上信息构造通讯网络， 要求信息可以在任意两条机器蛇间传递，同时为了避免 干扰，通讯网络的总长度要尽可能的短。
计算几何入门及应用
计算几何入门及应用计算几何是计算机科学的一个重要分支，它结合了几何学与计算，研究如何使用计算方法解决几何问题。
随着计算机技术的发展，计算几何所涉及的问题越来越多，应用也变得愈加广泛。
本文将对计算几何的基本概念、应用以及相关算法进行详细讨论。
什么是计算几何计算几何是研究几何对象及其关系，使用算法和数据结构来解决几何问题的领域。
其主要研究内容包括点、线、面、体及其组合的性质和运算，如距离、夹角、面积、交点等。
它在处理具有空间特征的问题时显得尤为重要，例如计算机图形学、机器人导航、地理信息系统（GIS）、CAD（计算机辅助设计）等领域。
基本概念几何对象：在计算几何中，最基本的几何对象包括点、线段、多边形、多面体等。
空间维度：计算几何可分为一维（线）、二维（平面）和三维（空间）。
不同维度的几何问题解决方法有所不同。
组合几何：研究有限点集之间的组合关系，例如点与点之间的连线构成的图形。
算法复杂性：在解决几何问题时，算法的时间复杂性与空间复杂性是一个重要考量因素。
常用的数据结构包括平衡树、链表、栈等。
计算几何中的基本算法在计算几何中，有许多经典算法可以用来解决各种问题。
以下是一些重要的算法：凸包算法凸包是指一个点集的最小凸形状。
在二维平面上，凸包可以想象成一个橡皮筋套在点集周围。
常用的计算凸包的算法有：Graham扫描算法：先选择一个基准点，然后根据极角对其他点进行排序，最后通过规则判断哪些点构成凸包。
Jarvis行走法：从一个极点开始，不断找到下一个最远的点，直到回到起始点。
最近点对给定一组点，寻找其中距离最近的一对点。
常见的方法有：暴力搜索法：逐一比较每对点，时间复杂度为O(n^2)。
分治法：通过划分空间减少比较次数，时间复杂度降至O(n log n)。
线段相交判断两条线段是否相交是一个基本问题，可用于图形碰撞检测。
常用方法包括：扫动线法：以一条假想的垂直线从左到右移动，并利用事件队列存储可能相交的线段。
计算几何 算法与应用 第3版
计算几何算法与应用第3版（原创实用版）目录1.计算几何学概述2.计算几何：算法与应用第三版的主要内容3.计算几何的应用领域4.计算几何算法的设计与分析5.计算几何的未来发展趋势正文一、计算几何学概述计算几何学是计算机科学与几何学相结合的一门学科，它主要研究如何使用算法来解决几何问题。
计算几何学的产生可以追溯到 20 世纪 70 年代末，它从算法设计与分析中孕育而生，并逐渐形成了自己的学术刊物和学术会议。
二、计算几何：算法与应用第三版的主要内容《计算几何：算法与应用》第三版是由 Mark de Berg、Otfried Cheong、Marc van Kreveld 和 Mark Overmars 等人编写的一本关于计算几何的经典教材。
全书共分 11 章，内容包括预备知识、几何查找（检索）、多边形、凸壳及其应用、Voronoi 图、三角剖分及其应用、交与并及其应用、多边形的获取及相关问题、几何体的划分与等分、算法的运动规划、几何拓扑网络设计、随机几何算法与并行几何算法等。
三、计算几何的应用领域计算几何在许多领域都有广泛的应用，如计算机图形学、图像处理、计算机辅助设计、虚拟现实、地理信息系统、机器人学等。
在这些领域中，计算几何算法可以用来解决诸如几何形状的建模、几何关系的计算、几何图形的裁剪和划分等问题。
四、计算几何算法的设计与分析计算几何算法的设计与分析是计算几何学的核心内容。
设计一个好的计算几何算法，需要对几何问题进行深入的理解，并运用计算机科学的知识来巧妙地解决问题。
在算法的分析方面，主要涉及到算法的正确性、时间复杂度和空间复杂度等方面的研究。
五、计算几何的未来发展趋势随着计算机技术的不断发展，计算几何也在不断地拓展新的领域和应用。
计算几何入门及应用
计算几何入门及应用计算几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形的性质和空间关系，并通过数学方法进行计算和推导。
在现代社会中，计算几何不仅在数学领域有着广泛的应用，还在计算机图形学、计算机辅助设计、地理信息系统等领域发挥着重要作用。
本文将介绍计算几何的基本概念和常见应用，帮助读者了解和掌握这一领域的知识。
一、基本概念1. 点、线、面：在计算几何中，点是最基本的几何对象，用来表示位置；线由两个点确定，是一维的几何对象；面由三个或三个以上的点确定，是二维的几何对象。
2. 向量：向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示，常用来表示位移、速度等物理量。
在计算几何中，向量可以用来表示线段、直线等几何对象。
3. 坐标系：坐标系是用来描述空间位置的工具，常见的有直角坐标系、极坐标系等。
在二维空间中，直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴构成；在三维空间中，直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴构成。
4. 向量运算：向量的加法、减法、数量积、向量积等运算是计算几何中常见的操作，可以用来求解几何问题。
5. 几何变换：平移、旋转、缩放等几何变换是计算几何中常用的操作，可以改变几何对象的位置、方向和大小。
二、常见应用1. 点、线、面的位置关系：计算几何可以用来判断点是否在直线、线段、射线、多边形内部，以及线段、直线、射线的相交关系等。
2. 几何问题求解：计算几何可以用来求解距离、角度、面积等几何问题，如求两点之间的距离、判断三角形的形状、计算多边形的面积等。
3. 几何构图：计算几何可以用来进行几何构图，如画出两点之间的直线、作出与已知直线垂直的直线、求两圆的交点等。
4. 几何优化：计算几何可以用来进行几何优化，如求解最短路径、最大面积、最小包围矩形等问题，对于一些实际应用具有重要意义。
5. 计算机图形学：计算几何在计算机图形学中有着广泛的应用，可以用来表示和处理图形对象，实现图形的绘制、变换、渲染等功能。
6. 地理信息系统：计算几何在地理信息系统中也有着重要的应用，可以用来处理地理数据、分析地理空间关系，实现地图的绘制、导航、遥感等功能。
计算几何在机器人运动规划、计算机图形学、虚拟现实等领域的应用研究
计算几何在机器人运动规划、计算机图形学、虚拟现实等领域的应用研究摘要计算几何作为计算机科学的一个重要分支，研究使用计算机处理几何图形的算法和数据结构。
它在机器人运动规划、计算机图形学、虚拟现实等领域有着广泛的应用。
本文将从计算几何的基本概念和常用算法入手，深入探讨其在上述领域中的具体应用，并分析其优势和局限性。
同时，针对未来发展趋势和研究方向进行展望。
关键词：计算几何，机器人运动规划，计算机图形学，虚拟现实，算法，数据结构一、引言计算几何研究的是使用计算机处理几何图形的算法和数据结构。
它涉及到对几何对象的创建、存储、操作、分析和渲染等方面，是计算机图形学、机器人学、计算机辅助设计、地理信息系统等众多领域的基石。
随着计算机硬件性能的提升和算法的不断优化，计算几何在各个领域的应用越来越广泛。
例如，在机器人运动规划中，计算几何可以帮助机器人规划出一条安全的、无碰撞的路径；在计算机图形学中，计算几何可以用来生成逼真的三维模型和场景；在虚拟现实中，计算几何可以用来构建虚拟世界，并使用户能够与虚拟环境进行交互。
本文将深入探讨计算几何在机器人运动规划、计算机图形学、虚拟现实等领域中的应用，并分析其优势和局限性。
二、计算几何概述2.1 基本概念计算几何涉及到以下几个基本概念：*几何对象:包括点、线段、直线、多边形、多面体等。
*几何操作:包括点集运算、线段交点、多边形面积、凸包计算、Voronoi 图、Delaunay 三角剖分等。
*数据结构:包括点线树、网格、Kd 树、R 树等。
2.2 常用算法计算几何中常用的算法包括：*凸包算法:寻找给定点集的最小凸多边形。
*最近邻搜索算法:寻找给定点集中的最近邻点。
*Voronoi 图算法:将平面划分成多个区域，每个区域内的点距离某个特定点最近。
*Delaunay 三角剖分算法:将给定点集剖分成三角形网格，并满足特定条件。
*线段交点检测算法:判断两条线段是否相交。
三、计算几何在机器人运动规划中的应用3.1 问题描述机器人运动规划是指在给定的环境中，为机器人规划出一条安全的、无碰撞的路径，使其能够从起点到达终点。
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三、现代计算几何在各应用 领域的进展
平面上四次Bezier曲线， Bezier曲线 2. 平面上四次Bezier 曲线 ，五次有理整曲 线 ， n 次有理整曲线的仿射不变量和奇 拐点分布问题. 点、拐点分布问题.进一步证明了高维仿 射 空 间参 数 曲线 的 内在 仿 射不 变 量 ： 维仿射空间n n>m>3 “ m 维仿射空间 n （ n>m>3 ） 次曲线一 般具有n(n m)- 个在内的仿射不变量” n(n般具有n(n的A.R.Forrest首次提出计算 首次提出计算 几何的定义： 几何的定义：
计算几何就是几何外形信息的计算机表 分析和综合. 示、分析和综合.
所谓几何外形信息， 所谓几何外形信息，包括诸如平面或空间曲 线曲面的型值点， 线曲面的型值点，特征多边形的顶点和型值 点外的导数等值. 点外的导数等值
通过这些信息， 通过这些信息，可以建立多种多样 的几何外型的数学模型， 的几何外型的数学模型，并通过计算机 进行插值计算， 进行插值计算，以求得任意中间点的几 何信息，这就是所谓的计算机表示， 何信息，这就是所谓的计算机表示，然 后对所建立的数学模型特征及误差等进 行分析和综合， 行分析和综合，以便逼真的反映出几何 形体. 形体
苏先生是一位卓越的数学家， 苏先生是一位卓越的数学家，更是一位卓越的教 育家。从抗战时期的浙江大学到50年代初全国 育家。从抗战时期的浙江大学到 年代初全国 高校院系调整后的复旦大学， 高校院系调整后的复旦大学，苏师培养了一批像 谷超豪先生、 谷超豪先生、胡和生先生这样杰出的数学家和教 育家。在苏师的脑海中， 育家。在苏师的脑海中，学术研究总是和人才培 养联系在一起，计算几何也不例外。但是， 养联系在一起，计算几何也不例外。但是，计算 几何与微分几何有点不同， 几何与微分几何有点不同，它的生命力在于工业 应用，更加强调和CAD紧密结合。国际上重要 紧密结合。 应用，更加强调和 紧密结合 的计算几何会议，总是有IBM、波音飞机公司和 的计算几何会议，总是有 、 通用汽车公司等大企业代表参加。 通用汽车公司等大企业代表参加。
• 在苏步青先生的组织和推动下， 在苏步青先生的组织和推动下， 1982年，中国召开了第一届计算几 年 何和CAD学术会议. 学术会议. 何和 学术会议
孙步青为培养计算几何和CAD相结合的应用型人才所作行动： 孙步青为培养计算几何和 相结合的应用型人才所作行动： 相结合的应用型人才所作行动
(1) 1982年 1月 ， 在复旦大学 ， 举办同行邀请式的 “ 计算几何研讨 年 月 在复旦大学， 举办同行邀请式的“ 当时， 会”。当时，浙江大学梁友栋教授和山东大学汪嘉业教授刚刚分别从 美国和英国访问两年回国，带来了国际上最新的研究成果和研究动向。 美国和英国访问两年回国，带来了国际上最新的研究成果和研究动向。 在这次会议上，按照苏师的提议，决定由复旦、浙大、山大3校联合 在这次会议上，按照苏师的提议，决定由复旦、浙大、山大 校联合 举办面向全国的更大规模的研讨会和学习班。 举办面向全国的更大规模的研讨会和学习班。 (2) 1982年7月，在青岛，3校联合主办“计算几何学习班”。国内高校、 校联合主办“ 年 月 在青岛， 校联合主办 计算几何学习班” 国内高校、 研究所、工业界共有120名代表参加。代表们普遍反映收获很大，希望 名代表参加。 研究所、工业界共有 名代表参加 代表们普遍反映收获很大， 能够一两年再举办一次。 能够一两年再举办一次。 (3) 1984年7月，在烟台 校联合主办“计算几何和 校联合主办“ 学习班” 年 月 在烟台3校联合主办 计算几何和CAD学习班”。讲课 学习班 内容除了计算几何外，特别增加了开发CAD技术所必需的计算机图形学、 技术所必需的计算机图形学、 内容除了计算几何外，特别增加了开发 技术所必需的计算机图形学 数据库和软件工程等课程。 会议之前，只是在《计算机世界》 数据库和软件工程等课程。 会议之前，只是在《计算机世界》报上发 了一条消息，却有360名代表出席，变成大型学习班。 名代表出席， 了一条消息，却有 名代表出席 变成大型学习班。
•
1981年 月苏步青和刘鼎元的专著《 1981年1月苏步青和刘鼎元的专著《计 算几何》 出版， 第一次印刷12 000册 12, 算几何 》 出版 ， 第一次印刷 12,000 册 。 当 时 ， 无论在国际或国内， 正值计算几何和 无论在国际或国内 ， CAD迅速发展期 国内自是空白， 迅速发展期， CAD迅速发展期，国内自是空白，国际上也 只 是 在 1979 年 出 版 了 唯 一 一 本 由 Faux 和 Pratt 合 著 的 《Computational Geometry Manufacture》 for Design and Manufacture》 ， 对 象 是 设计和制造业的工程师， 内容较为浅近通 设计和制造业的工程师 ， 俗.
3.几类非线性样条曲线的几何特征 把适用于数控加工和数控绘图双圆弧插值方法 拓广为二次曲线偶插值， 拓广为二次曲线偶插值，并给出完整的理论分 析.
4. 凸闭曲线理论.（属整体微分几何范畴） 凸闭曲线理论. 属整体微分几何范畴） 当平面上凸闭曲面域E 保持和两定直线OA OA、 当平面上凸闭曲面域 E 保持和两定直线 OA 、 OB相切而旋转一周时 相切而旋转一周时， OB相切而旋转一周时，该平面上任一点的轨 迹设为A(P) A(P). 迹设为A(P). A(P)面积取充分小 面积取充分小P steiner曲率重心 曲率重心C A(P)面积取充分小P为E的steiner曲率重心C.
二、计算几何在中国的发展
•
在中国，1972年前后 年前后， 在中国，1972年前后，各个高校都自制成 功集成电路器件的小型计算机， 功集成电路器件的小型计算机，老师和学生捧 着一盘盘黑色穿孔纸带， 着一盘盘黑色穿孔纸带，到新成立的校计算中 心上机，计算机在各行业的应用自此开始有了 心上机， 规模的发展. 也就是在70 年代中期， CAD在中 70年代中期 规模的发展 . 也就是在 70 年代中期 ， CAD 在中 国的造船和飞机制造工业中开始发展. 国的造船和飞机制造工业中开始发展.包括成功 和不成功的项目在内，这段时期，大约有10 10来 和不成功的项目在内，这段时期，大约有10来 所大学的数学系与10来家船厂合作“ 10来家船厂合作 所大学的数学系与10来家船厂合作“船体数学 放样”. 放样”
1972年 在美国举行CAGD CAGD第一 1972 年 ， 在美国举行 CAGD 第一 次国际会议， 次国际会议，这标志着计算几何学 科的形成. 科的形成.
是一门由代数几何、微分几何、 计算几何，是一门由代数几何、微分几何、 函数逼近、 计算数学， 函数逼近 、 计算数学 ， 特别是数控技术等相 互结合而形成的边缘学科， 专门研究几何图 互结合而形成的边缘学科 ， 形信息（ 曲面和三维实体） 的计算机表示、 形信息 （ 曲面和三维实体 ） 的计算机表示 、 分析、修改和综合. 分析、修改和综合
50年代后期，数控机床开始涌现， 50年代后期，数控机床开始涌现，制模和 年代后期 生产更可以由计算机编程序进行. 生产更可以由计算机编程序进行. 为了充分发挥其作用，需要解决好一个问题， 为了充分发挥其作用，需要解决好一个问题， 即怎样设计好一个“数学模型” 即怎样设计好一个“数学模型”，把存在的 曲面翻译成计算机易于处理的格式.起初 起初， 曲面翻译成计算机易于处理的格式 起初，得 把曲面数字化，即把曲面分成一大堆点坐标， 把曲面数字化，即把曲面分成一大堆点坐标， 现在这项工作可以由计算机进行， 现在这项工作可以由计算机进行，这也是计 算机辅助几何设计（ 算机辅助几何设计（GAGD）的工作之一 ）的工作之一.
一、背景 二、计算几何在中国的发展 三、现代计算几何在各应用领域的进展
一、背景
GAGD—计算机辅助几何图形设计 GAGD 计算机辅助几何图形设计 （Computer Aided Gemoetric Design）的简写， Design）的简写，国内经常把它称 为计算几何. 为计算几何.
实际上， 实际上，这门学科研究的是几何曲线和曲面用 计算机处理时，它们的逼近和再生.这门学科是一门 计算机处理时，它们的逼近和再生 这门学科是一门 特别强调计算机作用，涉及领域非常广阔的学科.计 特别强调计算机作用，涉及领域非常广阔的学科 计 算几何是二十世纪七十年代初形成的一门新兴边缘 学科，属于应用数学的一个分支. 学科，属于应用数学的一个分支 早在第二次世界大战期间， 早在第二次世界大战期间，人们已首次用计算 几何的方法解决实际问题.当时尤其是航空工业的发 几何的方法解决实际问题 当时尤其是航空工业的发 展激励了新的设计方法的形成和发展. 展激励了新的设计方法的形成和发展
1962年被认为是美国和欧洲CAD开始发展的一年。 1962年被认为是美国和欧洲CAD开始发展的一年。 年被认为是美国和欧洲CAD开始发展的一年 首先的应用领域是汽车、飞机和造船工业。 首先的应用领域是汽车、飞机和造船工业。这3 个行业，由于其产品的外形曲面特别复杂， 个行业，由于其产品的外形曲面特别复杂，要求 特别苛刻，而成为CAD首先应用的领域。 CAD首先应用的领域 特别苛刻，而成为CAD首先应用的领域。 与此同时，也就发展出了一门新兴学科——计算 与此同时，也就发展出了一门新兴学科 计算 几何，它在美国常常被称为CAGD(Computer 几何，它在美国常常被称为CAGD(Computer Design， Aided Geometric Design，计算机辅助几何设 计 )。
苏步青先生对计算几何的主要贡献： 苏步青先生对计算几何的主要贡献：
1.把代数曲面论中的仿射不变量方法首创性的引入到
计算几何中去. 计算几何中去.首先找到平面三次参数曲线的一个特 征仿射不变量， 征仿射不变量 ， 从它出发可以对应为常用的平面上 的三次参数样条曲线、 三次Bezier曲线和三次B Bezier曲线和三次 的三次参数样条曲线 、 三次 Bezier 曲线和三次 B 样条 曲线的奇点和拐点分布给出完整分析， 曲线的奇点和拐点分布给出完整分析 ， 特别是对 Bezier曲线作完整分类方法 曲线作完整分类方法. Bezier曲线作完整分类方法.