正弦定理
正弦定理的四种证明方法
正弦定理的四种证明方法1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。
由此，得sin sin abAB =，同理可得sin sin cbCB=，故有sin sin abAB=sin cC =.从而这个结论在锐角三角形中成立.（2）当∆ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。
由此，得=∠sin sin abAABC ，同理可得=∠sin sin cbCABC故有=∠sin sin abAABCsin cC =.由(1)(2)可知，在∆ABC 中，sin sin abAB=sin cC=成立.从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即sin sin abAB=sin cC =.1’用知识的最近生长点来证明：实际应用问题中，我们常遇到问题：已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ， 需要定位点C ，即：在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝c ， 求边AC 的长b解：过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ，则cos AD c A =sin sin cos sin tan sin cos BD c A c A CDC C C C C ===sin cos (sin cos sin cos )sin cos sin sin sin c A C c C A A C c Bb AC AD DCc A C C C+==+=+==ab DABCAB CDba推论：sin sin b cB C= 同理可证：sin sin sin a b cA B C==2.利用三角形面积证明正弦定理已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD ⊥BC,垂足为 D.则Rt △ADB中,ABAD B =sin ,∴AD=AB·sinB=csinB. ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=•.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21sin 21=.∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 21sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即CcB b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与CB 的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得AB CB AC =+,为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到AB j CB AC j •=+•)( 由分配律可得AB j CB j AC •=•+.B∴|j |ACCo s90°+|j |CB Co s(90°-C )=|j |AB Co s(90°-A ). j∴asinC=csinA.∴CcA a sin sin =. A另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 的夹角为90°+B ,可得Bb Cc sin sin =.(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与AC 的夹角为90°-C ,j 与AB 的夹角为90°-B )∴CcB b A a sin sin sin ==.DC BA C(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与AC 垂直的单位向量j ,则j与AB 的夹角为A -90°,j 与CB 的夹角为90°-C .由AB CB AC=+,得j ·AC+j ·CB =j ·AB , j 即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),∴asinC=csinA.∴CcA a sin sin =另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 夹角为90°+B .同理,可得CcB b sin sin =.∴CcB b simA a sin sin == 4.外接圆证明正弦定理在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sin C =sin B′=R c B C 2sin sin ='=.∴R Cc2sin =.同理,可得R B b R A a 2sin ,2sin ==.∴R CcB b A a 2sin sin sin ===.这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式 CcB b A a sin sin sin ==.ACBA。
正弦定理含义
正弦定理含义
摘要：
1.正弦定理的定义和公式
2.正弦定理的应用场景
3.如何使用正弦定理解决问题
4.实际案例分析
正文：
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它可以帮助我们解决三角形的相关问题。
正弦定理的含义是：在一个三角形中，任意两角的正弦值之比等于它们所对的边长之比。
用数学公式表示就是：
sinA/sinB = a/b
其中，A、B是三角形的两个角，a和b是与这两个角对应的边长。
正弦定理的应用场景非常广泛，例如在解决三角形的角度、边长问题时，可以使用正弦定理来求解。
此外，正弦定理还可以应用于物理、工程等领域，帮助我们解决实际问题。
要使用正弦定理解决问题，我们需要按照以下步骤进行：
1.确定三角形的两个角和对应的边长。
2.根据正弦定理公式，计算第三个角或边长。
3.利用计算结果，解决问题。
下面我们通过一个实际案例来分析如何使用正弦定理解决问题：
假设一个三角形的两个角分别为30度和45度，其中一个角对应的边长为
3。
我们可以使用正弦定理来求解另一个角对应的边长。
首先，根据正弦定理公式，我们有：
sinA/sinB = a/b
已知sin30°/sin45° = a/3
接下来，我们可以求解sin45°：
sin45° = √2/2
将已知条件代入公式，得到：
sin30°/√2/2 = a/3
解方程，得到：
a = 3√2/2
所以，另一个角对应的边长为3√2/2。
通过这个案例，我们可以看到，正弦定理可以帮助我们轻松地解决三角形相关问题。
三角函数正余弦定理公式大全
三角函数正余弦定理公式大全三角函数是数学中的一项重要内容，其常用到的公式有正弦定理和余弦定理。
这两个定理在解决三角形问题时起着非常关键的作用，可以帮助我们求解三角形的各个边长和角度。
下面将详细介绍三角函数的正弦定理和余弦定理的公式及其应用。
1.正弦定理：在任意三角形ABC中，边长分别为a，b，c，对应的角度为A，B，C，则有以下公式成立：sinA / a = sinB / b = sinC / c其中，a，b，c为三角形ABC的边长，A，B，C为对应的角度。
正弦定理可以用来求解三角形的边长或角度，只要已知任意两个角或边长即可。
应用1：已知三角形两边和夹角的情况下，可以利用正弦定理求解第三边的长度。
例如：已知三角形ABC中，边AB = 5 cm，边AC = 7 cm，∠BAC = 60°，求边BC的长度。
解：根据正弦定理可得：sin∠BAC / 5 = sin∠ABC / BC将∠BAC=60°代入，可得：sin60° / 5 = sin∠ABC / BC√3 / 2 / 5 = sin∠ABC / BC√3 / 10 = sin∠ABC / BC再将sin∠ABC的值代入，求得BC的值。
2.余弦定理：在任意三角形ABC中，边长分别为a，b，c，对应的角度为A，B，C，则有以下公式成立：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC其中，a，b，c为三角形ABC的边长，A，B，C为对应的角度。
余弦定理可以用来求解三角形的边长或角度，只要已知任意一个角的两边长度即可。
应用2：已知三角形两边和夹角的情况下，可以利用余弦定理求解第三边的长度。
例如：已知三角形ABC中，边AB = 5 cm，边AC = 7 cm，∠BAC = 60°，求边BC的长度。
解：根据余弦定理可得：BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos∠BAC将已知数值代入，可得：BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 * 5 * 7 * cos60°BC^2=25+49-70*0.5BC^2=25+49-35BC^2=39BC=√39求得边BC的长度。
正弦定理
正弦定理三角学中的一个定理，它指出了三角形三边、三个内角以及外接圆半径之间的关系。
∙中文名称：正弦定理∙外文名称：sine theorem∙应用学科：数学∙适用领域范围：几何内容：在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。
则有即，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，该比值等于该三角形外接圆的直径长度。
证明：在锐角△ABC中，设BC=a, AC=b, AB=c。
作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式。
应用领域在解三角形中，有以下的应用领域：（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
意义正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。
由正弦定理在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。
一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
扩展一.三角形面积公式：1.海伦公式:设P=1/2(a+b+c)S△=根号下P(P-a)(P-b)(P-c)解释:假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/22.S△ABC=ab·sinC/2=bc·sinA/2=ac·sinB/2=abc/(4R)[R为外接圆半径]3.S△ABC=ah/2二. 正弦定理的变形公式(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;（条件同上）在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解似的唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题(3)相关结论:a/sinA=b/sinB=c/sinC=a+b/sinA+sinB=a+b+c/sinA+sinB+sinC。
正弦定理的概念与余弦定理的概念
正弦定理的概念与余弦定理的概念正弦定理和余弦定理是在三角形中用于计算边长和角度的重要定理。
1. 正弦定理（Sine Rule）：正弦定理是用来计算三角形中的边长和角度的关系。
对于一个三角形ABC，正弦定理可以表述为：
a/sinA = b/sinB = c/sinC
其中a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C分别表示对应边的角度。
2. 余弦定理（Cosine Rule）：余弦定理是用来计算三角形中的边长和角度的关系。
对于一个三角形ABC，余弦定理可以表述为：
c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC
其中a、b、c分别表示三角形的边长，C表示对应边的角度。
正弦定理和余弦定理都可以在解决三角形问题时使用，它们提供了计算边长和角度的方法，可以帮助我们求解各种三角形相关的问题。
正弦定理
发展简史
历史上，正弦定理的几何推导方法丰富多彩。根据其思路特征，主要可以分为两种。
第一种方法可以称为 “同径法 ”，最早为13世纪阿拉伯数学家、天文学家纳绥尔丁和15世纪德国数学家雷 格蒙塔努斯所采用。“同径法 ”是将三角形两个内角的正弦看作半径相同的圆中的正弦线（16世纪以前，三角 函数被视为线段而非比值），利用相似三角形性质得出两者之比等于角的对边之比。纳绥尔丁同时延长两个内角 的对边，构造半径同时大于两边的圆。雷格蒙塔努斯将纳绥尔丁的方法进行简化，只延长两边中的较短边，构造 半径等于较长边的圆。17~18世纪，中国数学家、天文学家梅文鼎和英国数学家辛普森各自独立地简化了“同径 法”。
正弦定理
三角学中的基本定理
01 发展简史
03 验证推导 05 定理推广
目录
02 定理定义 04 定理意义
正弦定理（The Law of Sines）是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它 所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为 直径）。
在解三角形中，有以下的应用领域：
物理学中，有的物理量可以构成矢量三角形。因此,在求解矢量三角形边角关系的物理问题时,应用正弦定理， 常可使一些本来复杂的运算，获得简捷的解答。
定理推广
推论 △ABC中，若角A，B，C所对的边为a，b，c，三角形外接圆半径为R，直径为D，正弦定理进行变形有 1. 2.,, 3. 4. （等比，不变） 5. （三角形面积公式） 三面角正弦定理 若三面角的三个面角分别为α、β、γ，它们所对的二面角分别为A、B、C,则 多边形的正弦关系
18世纪初，“同径法”又演化为“直角三角形法”，这种方法不需要选择并作出圆的半径，只需要作出三角 形的高线，利用直角三角形的边角关系，即可得出正弦定理。19世纪，英国数学家伍德豪斯开始统一取R=1，相 当于用比值来表示三角函数，得到今天普遍采用的 “作高法”。
正弦定理内容及证明
正弦定理内容及证明正弦定理是指在一个任意三角形ABC中，三个边的长度a、b、c与对应的角A、B、C之间存在以下关系：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)证明正弦定理一般有两种方法：几何证明和代数证明。
几何证明：1. 过点B作AC的垂线BD，使得BD与AC交于点D。
则三角形ABD与BCD为直角三角形。
2. 由于三角形ABD、BCD为直角三角形，可得：sin(A) = BD / AB，sin(C) = BD / CD。
3. 对于三角形ABD和BCD，因为角B为共对角，所以可得：BD / AB = CD / BC。
4. 根据上面三个等式可以得到：sin(A) = BD / AB = CD / BC = sin(C)。
5. 再利用BD / AB = CD / BC，可以得到BD / CD = AB / BC = sin(B)。
6. 整理可得出正弦定理：a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)。
代数证明：1. 通过三角形ABC的两边b和c之间的夹角A，可构造一个高为h的直角三角形ADE（D在BC上）。
2. 根据正弦的定义可得：sin(A) = h / c，sin(90°-A) = h / b。
3. 注意到sin(90°-A) = sin(B)（余角公式），那么可以得到：sin(A) = h / c = sin(B) * b。
4. 类似地，可以通过三角形ABC的两边a和c之间的夹角B，构造一个高为h的直角三角形BEF（E在AC上）。
5. 根据正弦的定义可得：sin(B) = h / a，sin(90°-B) = h / c。
6. 注意到sin(90°-B) = sin(A)（余角公式），那么可以得到：sin(B) = h / a = sin(A) * c。
7. 把第3步的公式和第6步的公式相比较，可以得到：h / a =h / c，即a = c * sin(A)。
正弦定理和余弦定理
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[研一题] [例 2] B、b. π 在△ABC 中，c＝ 6，C＝3，a＝2，求 A、
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[自主解答] π 3 ∴A＝4或4π.
a c asin C 2 ∵sin A＝sin C，∴sin A＝ c ＝ 2 .
π 又∵c>a，∴C>A.∴A＝4. 5π 6· sin 1n C ＝ π ＝ 3＋1. sin 3
第四章
三角函数
四
正弦定理和余弦定理
• 1、正、余弦定理
定理 正弦定理
a b c ＝ ＝ sin A sin B sin C =2R
余弦定理 a2＝ a2＋c2－2accos B b2＝a2＋b2－2abcosC c2 ＝
b2＋c2－2bccos A
内
； ； .
容
定理
变 形 形 式
正弦定理 余弦定理 ①a＝ 2Rsin A ， b＝ 2Rsin B ， c＝ 2Rsin C ； b2＋c2－a2 cosB= a b 2bc ②sin A＝2R，sin B＝2R， 2 a ＋c2－b2 c 2ac sin C＝2R； cos B＝ ； 2 2 2 a ＋ b － c (其中 R 是△ABC 外接圆半径) cos C＝ 2ab . ③a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B， asin C＝csin A.
(2)由正弦定理知sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c正确，即
(2)正确．
返回
2．在△ABC中，若A>B，是否有sin A>sin B？反之，是 否成立？
提示：∵A>B，∴a>b. a b 又∵sin A＝sin B，∴sin A>sin B. 反之，若 sin A>sin B， 则 a>b，即 A>B. 故 A>B⇔sin A>sin B.
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英德市第一中学
学习目标
• 理解并掌握正弦定理,能初步运用解斜三角形 • 理解向量方法推导正弦定理的过程,进一步巩
固向量知识,体现向量的工具性
自学提纲
• 1.正弦定理的内容是什么?
• 2.自学课本正弦定理的证明，动手证明三角 形是钝角三角形的情况。
• 思考利用向量法来证明正弦定理。
正弦定理
形式1.： a b c 2R sin A sin B sin C
A 形式2：
c
b
形式3：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
B
a
C
直角三角形边角关系
• 在Rt⊿ABC中，已知BC=a,AC=b,AB=c,则有
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• sinA= ,sinB= ,sinC= 1 . • 即c= ,c= , c= •∴
A
c b
Ca
B
课堂小结
• 本节所学内容： 正弦定义的内容及证明
作业布置
思考正弦定理还有哪些证明方法？ 可参考课本P11 B组 1.