正弦定理(下)三角形面积公式
正弦定理的几种证明方法
正弦定理的几种证明方法正弦定理是三角学中的重要定理，它可以用于求解任何三角形中的未知边和角，下面将介绍几种证明正弦定理的方法：证明方法一：三角形的面积法设三角形ABC的三边长度分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C。
根据三角形面积公式，可以得到：S(三角形ABC)=0.5*a*h1=0.5*b*h2=0.5*c*h3其中h1、h2、h3分别为三角形ABC对应边的高，可以通过正弦函数关系得到：h1 = b * sinCh2 = c * sinAh3 = a * sinB代入前面的面积公式，得到：S(三角形ABC) = 0.5 * a * b * sinC = 0.5 * b * c * sinA = 0.5 * c * a * sinB移项整理后得到正弦定理：a / sinA =b / sinB =c / sinC证明方法二：向量法在平面直角坐标系中，设三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
根据向量的定义，可以得到：\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (x2 - x1, y2 - y1)\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (x3 - x1, y3 - y1)根据向量的数量积公式，可以得到：\vec{AB}， = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2} = a\vec{AC}， = \sqrt{(x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2} = c又根据向量的叉积公式，可以得到：而叉积的模也可以通过坐标计算得到：综上，可以得到正弦定理的向量形式：证明方法三：海伦公式法根据海伦公式，三角形ABC的面积S可以通过三角形的周长p和三条边的长度a、b、c计算得到：S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}其中p=(a+b+c)/2、又根据三角形面积的定义，可以得到：S = 0.5 \cdot a \cdot b \cdot \sin\angle C将前面两个公式等式右边进行等式转换，得到：\sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)} = 0.5\cdot a \cdot b \cdot \sin\angle C两边平方，整理得到：16p^2 \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c) = a^2 \cdot b^2 \cdot \sin^2\angle C整理后得到：16(p-a)(p-b)(p-c)p = a^2 b^2 \cdot \sin^2\angle C再根据赫罗定理，可以得到：p(p-a)(p-b)(p-c)=S^2将上面两个等式联立，整理得到：16S^2 = a^2 b^2 \cdot \sin^2\angle C再开更号，得到：2S = ab \cdot \sin\angle C即得正弦定理。
三角形面积公式与正余弦定理
高三總複習第三單元、三角形面積公式及正餘弦定理練習題：1. ABC ∆，6=BC ，7=CA ，5=AB ，求(1) ABC ∆的面積 (2) BC 邊的高 (3) B cos 。
解：(1) 66))()((=---=∆c s b s a s s ABC(2) h BC ABC ⋅⋅=∆21，故62=h(3) 516527652cos 222222=⋅⋅-+=-+=ac b c a B 2. ABC ∆中，︒=∠75A ，其對邊長為26+， (1) 求外接圓的半徑。
(2) 若2=b ，求B ∠。
解：(1) 由正弦定理：R A a 275sin 26sin =︒+= 又42675sin +=︒ 故2=R (2)R B b 2sin = 21422sin ===⇒R b B 得︒∨︒=∠30150B 又大角對大邊，故︒=∠30B3. 三角形三高為2、3、4，求其面積及最大角的餘弦值。
解：∵c b a h c h b h a ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=∆212121∴3:4:641:31:211:1:1::===c b a h h h c b a∵大角對大邊∴最大角為A ∠且24112cos 222-=-+=bc a c b A ))()((21c s b s a s s h a ABC a ---=⋅⋅=∆272522132621t t t t t ⋅⋅⋅=⋅⋅⇒244556t t =⇒ ∴ 45524=t ∴455455144455144==∆ABC 4. ABC ∆的三邊長6,4,5===BC AC AB 且A ∠之內分角線交BC 於D ，求AD 。
解：由內分比知45===b c AC AB DC BD 得310=BD31022310222222252)(56524652cos ⋅⋅-+=⋅⋅-+=-+=AD ac b a c B得310=AD 練習：ABC ∆，3,7,5,6====BD BC AC AB 且AD 交BC 於D ，求AD 。
正余弦定理与三角形面积公式
正余弦定理与三角形面积公式(2009-7-7 16:45:00)【收藏】【评论】【打印】【关闭】这两天在看代码时发现关于三角形的这些基本定理和公式很有用，所以从网上搜了下，主要有三角形的正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式（包括海伦公式）。
正弦定理（引自百度百科）Sine theorem在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍）这一定理对于任意三角形ABC，都有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2RR为三角形外接圆半径证明步骤1.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式。
意义正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，又由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好的描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。
余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
对于任意三角形三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质(注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。
a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。
)a^2=b^2+c^2-2*b*c*Cos Ab^2=a^2+c^2-2*a*c*Cos Bc^2=a^2+b^2-2*a*b*Cos CCos C=(a^2+b^2-c^2)/2abCos B=(a^2+c^2-b^2)/2acCos A=(c^2+b^2-a^2)/2bc证明：∵如图，有a→+b→=c→∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*Cos C同理可证其他，而下面的Cos C=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将Cos C移到左边表示一下。
正余弦定理与三角形面积公式
正余弦定理与三角形面积公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1正余弦定理与三角形面积公式(2009-7-7 16:45:00)【收藏】【评论】【打印】【关闭】这两天在看代码时发现关于三角形的这些基本定理和公式很有用，所以从网上搜了下，主要有三角形的正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式（包括海伦公式）。
正弦定理（引自百度百科）Sine theorem在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍）这一定理对于任意三角形ABC，都有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2RR为三角形外接圆半径证明步骤1.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式。
意义正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，又由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好的描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。
余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
对于任意三角形三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质(注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。
初中数学 如何计算三角形的面积
初中数学如何计算三角形的面积初中数学：如何计算三角形的面积三角形是由三条边和三个顶点组成的几何形状，计算三角形的面积是求其所包围的平面上的区域面积。
根据给定的信息，我们可以使用不同的方法来计算三角形的面积。
下面将介绍几种常见的计算方法：方法一：已知底边和高如果已知三角形的底边长度和垂直于底边的高的长度，可以使用面积公式：S = (底边长度× 高) / 2 来计算三角形的面积。
方法二：已知两边和夹角如果已知三角形的两边长度和它们之间的夹角，可以使用正弦定理或海伦公式来计算三角形的面积。
2.1 已知两边和夹角的情况下，可以使用正弦定理来计算三角形的面积：S = (1/2) × a × b × sin(C)其中，a、b分别为两边的长度，C为它们之间的夹角。
2.2 如果已知三边的长度，可以使用海伦公式来计算三角形的面积：S = √(p × (p - a) × (p - b) × (p - c))其中，p = (a + b + c) / 2，a、b、c分别为三边的长度。
方法三：已知顶点坐标如果已知三角形的三个顶点的坐标，可以使用行列式或海伦公式来计算三角形的面积。
3.1 使用行列式的方法：设三个顶点的坐标为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，则三角形的面积可以通过行列式计算：S = (1/2) × |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|3.2 使用海伦公式的方法：首先计算三边的长度，然后使用海伦公式计算三角形的面积。
这些是计算三角形面积的几种常见方法。
根据不同的已知信息，选择合适的方法来计算三角形的面积。
通过练习和实际问题的应用，我们可以更加熟练地运用这些方法，提高解决问题的能力。
三角形面积公式全归纳(初中学生必须掌握的面积公式)
根据公式 6，R = abc = 13 × 14 × 15 = 65 .
4S
4 × 84
8
例 2: 三角形三边中线长分别为 3, 4, 5，其面积是多少？
解:
根据公式
9，s
=
1 (3
2
+
4
+
5)
=
6, S
=
4√ 6(6
3
−
3)(6
−
4)(6
−5)ຫໍສະໝຸດ =8.1例题中面积的求解方法可能有多种，本文仅说明利用上述公式来求解。
4R 4R
2 三角形面积公式全归纳
第三页
公式 7
已知三角形的三个顶点 A, B, C 到内切圆的切线长分别为 x, y, z，如右图 所示，则三角形的面积：
√ S = xyz(x + y + z)
公式 8
已知三角形两角及其夹边，则三角形面积公式为： a2 sin B sin C b2 sin A sin C c2 sin A sin B
公式 4
在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), 则三角形的面积：
1 S = 2 |x1y2 + x2y3 + x3y1 − x1y3 − x2y1 − x3y2| 对于初中学生可以这样处理：先算出任意两组点的坐标差值，再代入下面 公式计算即可，例如计算 A, B 和 A, C 的坐标差值：
AB = (x2 − x1, y2 − y1), AC = (x3 − x1, y3 − y1)
然后计算三角形面积为： 1
S = 2 |(x2 − x1)(y3 − y1) − (x3 − x1)(y2 − y1)| 即 AB 和 AC 的坐标差值交叉相乘相减。 在初中数学里平面直角坐标系内容章节中经常出现已知三角形三顶点坐标 求面积的问题（有时可能是四边形等，但可以转化为三角形），该公式对这 类问题秒杀。
正弦定理和余弦定理三角形面积公式
正弦定理和余弦定理三角形面积公式好的，以下是为您生成的文章：在我们学习数学的漫漫长路中，有两个家伙就像数学王国里的“哼哈二将”，那就是正弦定理和余弦定理。
这俩定理不仅是解决三角形问题的神器，还和三角形面积公式有着千丝万缕的联系。
先来说说正弦定理。
它就像是一个神奇的魔法咒语，“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”。
这听起来是不是有点绕？其实说白了，就是如果一个三角形的三条边分别是 a、b、c，它们所对应的角分别是 A、B、C，那么就有a/sinA = b/sinB = c/sinC。
我记得有一次，我在课堂上讲正弦定理的时候，有个调皮的学生突然举手说：“老师，这定理有啥用啊，感觉好复杂！”我笑了笑，给他出了一道题：“一个三角形，其中两条边分别是 3 和 4，它们夹角是 60 度，能算出第三条边吗？”这学生一下子懵了，然后我就引导他用正弦定理来思考。
先通过正弦定理求出角 A 和角 B 的正弦值，再根据三角形内角和 180 度求出角 C 的大小，最后就能轻松算出第三条边的长度啦。
那孩子眼睛一下子亮了，直说：“原来这么神奇！”接下来再聊聊余弦定理。
它就像是一个侦探，能通过已知的边和角的信息，把未知的边或者角给揪出来。
余弦定理说的是“对于任意三角形，任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍”。
用公式表示就是 a² = b² + c² - 2bc·cosA ，b² = a² +c² - 2ac·cosB ，c² = a² + b² - 2ab·cosC 。
有一次我带学生们去操场上做实地测量。
我们想知道操场边上那个三角形花坛的面积。
同学们有的拿尺子量边，有的测角度。
然后我就引导他们用刚学的余弦定理先求出未知的边，再用正弦定理求出某个角的正弦值，最后算出面积。
三角函数定理公式大全
三角函数定理公式大全在数学中，三角函数是一组基本的函数，用于描述角度和边长之间的关系。
三角函数定理是描述三角形中角度和边长之间的关系的公式集合。
三角函数定理被广泛应用于三角形的计算和解决各种实际问题。
在本篇文章中，我们将介绍三角函数的各种定理公式。
1. 正弦定理（Sine Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC这意味着一个三角形的任意一边的长度与它所对应的角的正弦值成比例。
2. 余弦定理（Cosine Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：c² = a² + b² - 2ab*cosCb² = a² + c² - 2ac*cosBa² = b² + c² - 2bc*cosA这意味着一个三角形的任意一边的平方与其他两边的平方以及其夹角的余弦值有关。
3. 正切定理（Tangent Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：tanA = a/btanB = b/atanC = c/a这意味着一个三角形的任意一边的长度与其他两边的长度之间的比率与对应的角的正切值成比例。
4. 正割定理（Secant Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：secA = 1/cosAsecB = 1/cosBsecC = 1/cosC这意味着一个三角形的任意一边的长度与对应的角的余弦值的倒数成比例。
5. 余割定理（Cosecant Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：cosecA = 1/sinAcosecB = 1/sinBcosecC = 1/sinC这意味着一个三角形的任意一边的长度与对应的角的正弦值的倒数成比例。
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CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.
C
分析:解答本题有几点要弄清,(1)圆
内接四边形的性质,(2)四边形的面积 计算没有公式,需对四边形进行分割
D
或补形,(3)必须求三角形的一个角.
解答一:分割.连结BD,则
A
B
BD2 AD2 AB2 2AD AB cos A CD2 CB2 2CDCB cos( A).
点评:将多边形转化为三角形是解三角形中的一重要手段.
归纳总结
三角形面积公式
S
△
＝
1 2
aha
＝
1 2
absinC
＝
abc 4R
＝
1 2
(a
＋
b
＋
c)r
＝
2R2sinAsinBsinC＝ pp－ap－bp－c，
其中 r 为△ABC 内切圆半径，R 为外接圆半径， p 为半周长．
结束寄语
由 tanB＝ 3，得 B＝60°，∴sinB＝ 23，cosB＝12.
又 sinC＝ 1－cos2C＝232，应用正弦定理，得
c＝bssiinnBC＝3
6×2
3×
3 2
2＝8.
∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC
＝ 23×13＋12×232
＝
63＋
2 3.
故 S△ABC＝12bcsinA＝6 2＋8 3.
即 16 4 242cos A 16 36 246cos A.
解得 cos A 1 , 所以 sin A sin C 3 ,
2
2
所以
S ABCD
1 2
AB
AD sin
A
1 2
CB CD sin
C
8
3.
解答二:补形.延长CD,BA交于点E,
C
设DE=x,AE=y,由于EAD ECD
25
5
5
所以 sin A sin( B C) sin(B C) 2 (sin B cos B) 7 2 .
由 a c 得 c 10 .
2
10
sin A sin C
7
所以
SABC
1 2
ac sin
B
4. 7
三角形的面积公式
湖南省耒阳市振兴学校 高中数学老师欧阳文丰制作
温故知新
一、三角形的面积公式：
A
1
1
1
SABC 2 aha 2 bhb 2 chc
c
b
ha
B
aC
二、三角形的面积公式还有其他表达形式吗?
SABC
1 2
absin C
1 bc sin 2
A
1 2
ac sin
B
abc S△＝ 4R ，R 为外接圆半径．
附:根据已知条件选择适当公式使用。
例2 在△ABC 中，已知∠B＝30°，AB＝2 3， AC＝2，求△ABC 的面积．
【分析】 要求S△ABC，已知AB、AC，只需求∠A， 根据已知条件：两边及一边的对角，用正弦定理可以 先求出AB的对角∠C，使问题得到解决．
【解】
由正弦定理，得
sinC＝ABA·sCinB＝
所以 AD ED EA ,
D
CB EB EC
即 4 x y , 6 y2 x4
E
A
B
解得 x 28 , y 32 .
5
5
在△EAD中,根据余弦定理得
cos
E
11 ,
从而
sin
E
5
3.
14
14
所以
S ABCD
1 2
EC
EB sin
E
1 2
EA
ED sin
E
8
3.
sin A
6 2
4
SABC
1 absinC 2
1 2( 2
3 1) 4 ( 3) 6 2 2
3
1
1
1
SABC
2
absin C
bc sin 2
A
ac sin B 2
2 在△ABC 中，已知 tanB＝ 3，cosC＝13，
AC＝3 6，求△ABC 的面积．
解：设 AB、BC、CA 的长分别为 c、a、b，
3 2.
∵0°＜∠C＜150°，∴∠C＝60°或∠C＝120°.
当∠C＝60°时，∠A＝90°，S△ABC＝12AB·AC＝
2 3. 当∠C＝120°时，∠A＝30°，S△ABC＝12AB·AC·sin A＝ 3.
∴△ABC 的面积为 2 3或 3.
例3.已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,
4.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边，若a=2，
cos B 2 5 , 求三角形ABC的面积．A源自25C ,4
分析：题中已知三角形中三个条件，
故三角形是可解的，根据三角形的面
积公式知，只需求出b或c即可.
B
C
解答：因为cos B 2 5，由二倍角公式得：cos B 4 ,sin B 3 .
S△＝2R2sinAsinBsinC
三角形面积公式的推导
因为: SABC
1 2
aha
1 2
bhb
1 2
chc
A
又 ha =bsinC hb =csinA
c
b
ha
B
aC
hc =asinB
所以:
SABC
1 2
absin C
1 bc sin 2
A
1 2
ac sin
B
三角形面积公式的推导
下课了!
•在数学领域中,重视
学习的过程比重视学 习的结果更为重要.
课后补充练习
1、 在 ABC 中，B 45,C 60,
a 2( 3 1) ，求 ABC 的面积S．
解 A 180 (B C) 75
∴由正弦定理得 b a sin B 2(
3 1)( 2 ) 2 4
因为:
SABC
1 2
absin C
1 2
bc sin
A
1 2
ac sin
B
a b c 2R (R为三角形外接圆半径） sin A sin B sin C
所以:
abc S△＝ 4R ，R
为外接圆半径．
和
S△＝2R2sinAsinBsinC
三角形面积的其他相关公式
三角形面积公式 S△＝12(a＋b＋c)r＝ pp－ap－bp－c， 其中 r 为△ABC 内切圆半径， p 为半周长．