解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式ppt课件
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版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理(一)课件 新人教B版必修5.pptx
12
跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的 边分别为a，b，c.求证：sina A ＝2R. 证明
13
类型二 用正弦定理解三角形
例2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：a＝20，A＝30°，C＝ 45°. 解答 ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由正弦定理得 b＝assiinnAB＝20ssiinn3100°5°＝40sin(45°＋60°)＝10( 6＋ 2)， c＝assiinnAC＝20sisnin3405°°＝20 2， ∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2)，c＝20 2.
A.直角三角形 C.锐角三角形
√B.等腰三角形
D.钝角三角形
由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
1 2 3 247
3.在△ABC中，已知BC＝ 5 ，sin C＝2sin A，则AB＝_2__5___.
答案 解析
由正弦定理，得 AB＝ssiinn CABC＝2BC＝2 5.
18
命题角度2 运算求解问题
例4
在△ABC中，A＝
π 3
，BC＝3，求△ABC的周长的最大值.
解答
19
反思与感悟
利用sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 或正弦定理的变形公式 a＝ksin A，b＝ ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
22
跟 踪 训 练 3 在 △ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c ， 若 A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值. 解答
23
当堂训练
25
1. 在△ABC中，一定成立的等式是 答案 解析
跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的 边分别为a，b，c.求证：sina A ＝2R. 证明
13
类型二 用正弦定理解三角形
例2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：a＝20，A＝30°，C＝ 45°. 解答 ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由正弦定理得 b＝assiinnAB＝20ssiinn3100°5°＝40sin(45°＋60°)＝10( 6＋ 2)， c＝assiinnAC＝20sisnin3405°°＝20 2， ∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2)，c＝20 2.
A.直角三角形 C.锐角三角形
√B.等腰三角形
D.钝角三角形
由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
1 2 3 247
3.在△ABC中，已知BC＝ 5 ，sin C＝2sin A，则AB＝_2__5___.
答案 解析
由正弦定理，得 AB＝ssiinn CABC＝2BC＝2 5.
18
命题角度2 运算求解问题
例4
在△ABC中，A＝
π 3
，BC＝3，求△ABC的周长的最大值.
解答
19
反思与感悟
利用sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 或正弦定理的变形公式 a＝ksin A，b＝ ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
22
跟 踪 训 练 3 在 △ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c ， 若 A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值. 解答
23
当堂训练
25
1. 在△ABC中，一定成立的等式是 答案 解析
正弦定理、余弦定理及解三角形
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考点突破 考点四 正、余弦定理在实际问题中的应用
训练 4 (2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向 上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上， 仰角为 30°，则此山的高度 CD＝________m.
∴sin B＝ 1－cos2B
＝2 3
2×79－13×4
9
2＝1027
2 .
第3页
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考点突破 考点一 利用正、余弦定理解三角形
规律方法
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要 考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则 考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有 可能用到．
＝sin∠6(海AB里C)＝．ACsBinC120°＝2×623＝ 22. ∴∠ABC＝45°，易知 CB 方向与正北方向垂直，
从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD 中，根据正弦定理，可得 sin∠BCD＝BDsinC∠D CBD＝10t·1s0in31t20°＝12， ∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝ 6(海里)，
则有 10t＝ 6，t＝106≈0.245 小时＝14.7 分钟．
故缉私船沿北偏东 60°方向，需 14.7 分钟才能追上走私船．
第14页
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考点突破 考点三 和三角形面积有关的问题
规律方法
解三角形应用题的两种情形： (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一 个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解； (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或 两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角 形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角 形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
正弦定理和余弦定理课件PPT
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个 角的正弦.
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对 边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做 解三角形.
A. 3
B.2
C. 5
D. 7
【解析】选D.因为a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×
cos 60°=7，所以a=
7.
3.在△ABC中，a=3，b=4，c= ，则此三角形的最大角为
37
.
【解析】由c>b>a知C最大，
因为cosC=
a2
所以C=120°.
b2 c2 2ab
32 42 37 234
【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和 勾股定理证明余弦定理 ①当△ABC为锐角三角形时，如图， 作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA， DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；
b
b 2R, a 2R. 即得 :
A
sin B
sin A
C′
a b c 2R. R为三角形外接圆的半径
sin A sin B sin C
A
C
c
b aO
B
C
B`
Ob a B A` A c
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对 边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做 解三角形.
A. 3
B.2
C. 5
D. 7
【解析】选D.因为a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×
cos 60°=7，所以a=
7.
3.在△ABC中，a=3，b=4，c= ，则此三角形的最大角为
37
.
【解析】由c>b>a知C最大，
因为cosC=
a2
所以C=120°.
b2 c2 2ab
32 42 37 234
【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和 勾股定理证明余弦定理 ①当△ABC为锐角三角形时，如图， 作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA， DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；
b
b 2R, a 2R. 即得 :
A
sin B
sin A
C′
a b c 2R. R为三角形外接圆的半径
sin A sin B sin C
A
C
c
b aO
B
C
B`
Ob a B A` A c
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一. 正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R( 其中R 是三角形外接圆的半径）sin A sinB sinC2. 变形：1)a b c a b csin sin sinC sin sin sinC 2）化边为角：a:b:c sin A:sin B:sinC；a sin A;b sin B a sin Ab sinBc sinC c sin C3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC4）化角为边：sin A a;sin B b ; sin A asin B b sinC c sinC c5）化角为边：sin A a sinB b,sinC c2R2R2R3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=18o0 ，求角A,由正弦定理 a sinA; b sinB; b sin B c sin C a sin A; 求出 b 与cc sinC ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理 a sin A求出角B,由A+B+C=18o0 求出角C，再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出c边c sinC4. △ABC中，已知锐角A，边b，则① a bsin A 时，B 无解；② a bsin A 或 a b 时， B 有一个解；③ bsinA a b 时， B 有两个解。
如：①已知 A 60 ,a 2,b 2 3,求 B （有一个解 ）②已知 A 60 ,b 2,a 2 3,求 B （有两个解 ） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
解三角形(正弦定理、余弦定理、三角形面积公式)
2020年9月11日11时45分
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考点突破 考点一 余弦定理应用——2、判断三角形的形状
【训练1】（3）在△ABC中，a : b : c 3+1: 6:2， 判断三角形的形状并求三角形的最小角.
解析 由a : b : c 3+1: 6:2知，a b c
所以∠A ∠B ∠C，即∠A为最大角，∠C为最小角
【例1】（3）已知在△ABC中，a 2，b 3，c 4， 那么这个三角形的形状是______.
解析
由题意可知：c b a，
所以∠C ∠B ∠A，即∠C为最大角，
由余弦定理得：cosC= a2 b2 c2 2ab
4 9 16 1 0
2 23
4
所以∠C为钝角，即△ABC为钝角三角形。
2020年9月11日11时45分
11
余弦定理、正弦定理和三角形面积公式
➢ 夯基释疑
概要
➢ 考点突破
➢ 课堂小结
2020年9月11日11时45分
考点一 考点二
例 1 训练1 例 2 训练2
考点三
例 3 训练3
12
考点突破 考点二 正弦定理的应用——求三角形的边角
【例2】（1）在△ABC中，a=2，∠A=300，∠C =450 , 则b等于_______.
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
cos C a2 b2 c2 2ab
2020年9月11日11时45分
S 1 ab sin C 2
S 1 bc sin A 2
S 1 ac sin B 2
高考数学一轮复习正弦定理余弦定理及解三角形课件理
基础诊断 考点突破
课堂总结
解 (1)由题意可知 c＝8－(a＋b)＝72.
由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝22＋2×5222×－52722
＝－15.
(2)由 sin Acos2B2＋sin Bcos2A2＝2sin C 可得：
sin
1＋cos A· 2
B＋sin
1＋cos B· 2
a2＋b2－c2 2ab
基础诊断 考点突破
课堂总结
2.S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B＝a4bRc＝12(a＋b＋c)·r(r 是 三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.
基础诊断 考点突破
课堂总结
• 3．实际问题中的常用角
• (1)仰角和俯角
• 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线
1－2419＝2
7 7.
而∠AEB＝23π－α，所以
cos∠AEB＝cos23π－α＝cos23πcos α＋sin23πsin α
＝－12cos
α＋
3 2 sin
α
＝－12·2 7 7＋
3 21 2 ·7
＝
7 14 .
基础诊断 考点突破
课堂总结
在
Rt△EAB
中，cos∠AEB＝EBAE＝B2E，故
课堂总结
5．(人教 A 必修 5P10B2 改编)在△ABC 中，acos A＝bcos B， 则这个三角形的形状为________． 解析 由正弦定理，得 sin Acos A＝sin Bcos B， 即 sin 2A＝sin 2B，所以 2A＝2B 或 2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＋B＝2π， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形． 答案 等腰三角形或直角三角形
第3章 第6节正弦定理和余弦定理
2．(1)(2012· 陕西高考，9)在△ABC 中，角 A，B，C 所 对边的长分别为 a，b，c，若 a2＋b2＝2c2，则 cos C 的最小 值为( 3 A. 2 1 C.2 ) 2 B. 2 1 D．－2
(2)(2012· 北京高考，11)在△ABC 中，若 a＝2，b＋c＝7， 1 cos B＝－4，则 b＝________.
22＋ 6＋ 22－2 22 2 ＝ ＝2， 2×2× 6＋ 2 ∴B＝45° ，C＝180° －A－B＝180° －30° －45° ＝105° .
第四章 第二单元
北师数学
第三章
三函数、三角恒等变换、解三角形
(3)cos 15° ＝cos(45° －30° ) 6＋ 2 ＝cos 45° cos 30° ＋sin 45° sin 30° ＝ 4 . ∵c2＝a2＋b2－2abcos C 6＋ 2 ＝(2 2) ＋(2 3) －2×2 2×2 3× 4
第四章 第二单元
北师数学
第三章
三角函数、三角恒等变换、解三角形
a2＋c2－b2 解析：∵由余弦定理可知 2ac ＝cos
2 2 2
B，
3 ∴(a ＋c －b )tan B＝ 3ac 可化为 cos B· tan B＝ 2 . ∴sin 3 π 2π B＝ 2 .又∵B 为△ABC 的内角，∴B＝3或 3 .
在△ABC 中，设 a、b、c 分别是角 A、B、C 的对 边，试根据以下已知条件解三角形． (1)a＝2 3，b＝ 6，A＝45° ； (2)a＝2，b＝2 2，c＝ 6＋ 2； (3)a＝2 2，b＝2 3，C＝15° .
第四章 第二单元
北师数学
第三章
三角函数、三角恒等变换、解三角形
§2 三角形中的几何计算
(10 分) (12 分)
栏目，c 间的关系，再利用余弦定理，是本题关键．
栏目 导引
第二章 解三角形
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．( √ ) (2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．( × ) (3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积．( × )
栏目 导引
第二章 解三角形
在△ABC 中，若 a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC 的面积等于
栏目 导引
第二章 解三角形
(2)由 S△ABC＝12acsin B＝ 3，得 ac＝4. 又 b2＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16. 所以 a＋c＝2 5，所以△ABC 的周长为 4＋2 5.
栏目 导引
第二章 解三角形
解三角形综合问题的策略 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角 形面积公式、三角恒等变形等知识联系在一起，要注意选择合 适的方法、知识进行求解． (2)解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变形等知识综合考 查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条 件，然后要根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．
2.在△ABC 中，A，B，C 是三角形的三内角， a，b，c 是三内角对应的三边，已知 b2＋c2－a2＝bc.若 a＝ 13， 且△ABC 的面积为 3 3，求 b＋c 的值． 解：cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2bbcc＝12， 又 A 为三角形内角， 所以 A＝π3.
栏目 导引
第二章 解三角形
＝
1－2
5
52＝
55，sin
A＝sin(B＋∠ACB)
＝sin Bcos ∠ACB＋cos Bsin ∠ACB
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解
知识回顾：
（ 2） 由 a2b2c2bc可 得 ， 已知三角
b2c2a2=bc 则 cosAb2c2a2bc1
2bc 2bc 2
函数值求角的 步骤：
1、定象限 2、找锐角
因 为 0 0 ∠ A 1 8 0 0所 以 ∠ A = 1 2 0 0 3、写形式
2020/1/2
解析 （ 2 ） co sA A C 22 A A C B 2 A B B C 24 2 + （ 2 （ 3 + 1 ） 3 2 + 1 ） 2 23
因 为 0 0 ∠ A 1 8 0 0 所 以 ∠ A = 3 0 0
B C 2 A B 2 A C 2 2 + （ 3 + 1 ） 2 4 2
三角函数的应用——解三角形
授课人：张凤喜 授课班级：13级1班 授课时间：15年12月1日
余弦定理、正弦定理和三角形面积公式
夯基释疑
概要
考点突破
课堂小结
2020/1/2
考点一 考点二
例 1 训练1 例 2 训练2
考点三
例 3 训练3
2
夯基释疑
熟记公式是本节的基本要求。
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
32 52 235(3) 52 5
所以BC=2 13
2020/1/2
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考点突破 考点一 余弦定理应用——1、求三角形的边角
【 例 1】 （ 1） 在 △ ABC中 ， sinA=4， 且 A为 钝 角 ， AB=3， 5
AC=5， 则 BC等 于 _______.
（ 2） 在 △ ABC中 ， a2b2c2bc， 则 ∠ A等 于 ______.
【 例 1 】 （ 3 ） 已 知 在 △ A B C 中 ， a 2 ， b 3 ， c 4 ， 那 么 这 个 三 角 形 的 形 状 是 _ _ _ _ _ _ .
解析
由 题 意 可 知 ： cba ， 所 以 ∠ C ∠ B ∠ A ， 即 ∠ C 为 最 大 角 ，
由 余 弦 定 理 得 ： cosC =a2b2c2 2ab
491610 223 4
所 以 ∠ C 为 钝 角 ， 即 △ A B C 为 钝 角 三 角 形 。
2020弦定理应用——2、判断三角形的形状
【 训 练 1 】 （ 3 ） 在 △ A B C 中 ， a :b :c3 + 1 :6 : 2 ， 判 断 三 角 形 的 形 状 并 求 三 角 形 的 最 小 角 .
即△ABC为锐角三角形.
cosC=a2b2c2 ( 3+1)264 2
2ab
2( 3+1) 6 2
因 为 ∠ C是 三 角 形 的 内 角 ， 所 以 ∠ C=450
2020/1/2
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考点突破 考点一 余弦定理的应用
规律方法
1、运用余弦定理解决两边及其夹角和已知三边求三角 的题目，是春季高考重点考查的知识点，而熟记公式是 解题的关键。 2、（1）判断三角形的形状时，要依据大边对大角求出 最大角的余弦值；
cos A b 2 c2 a 2 2bc
cos B a 2 c2 b 2 2ac
cos C a 2 b 2 c2 2ab
S 1 a b s in C 2
S 1 b c s in A 2
S 1 a c s in B 2
a b c 2R sinA sinB sinC
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考点突破 考点一 余弦定理应用——1、求三角形的边角
【 训 练 1 】 （ 1 ） 在 △ A B C 中 ， a = 5 ， b = 6 ， ∠ C = 1 2 0 0 ， 则 c = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
解析
（ 1 ） 由 c 2 = a 2 b 2 2 a b c o s C 可 得
2020/1/2
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余弦定理、正弦定理和三角形面积公式
夯基释疑
概要
考点突破
课堂小结
2020/1/2
考点一 考点二
例 1 训练1 例 2 训练2
考点三
例 3 训练3
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考点突破 考点一 余弦定理应用——1、求三角形的边角
【 例 1】 （ 1） 在 △ ABC中 ， sinA=4， 且 A为 钝 角 ， AB=3， 5
（2）根据大角的余弦值的正负判断大角是锐角还是 钝角。如果余弦值是正值，最大角为锐角，则三角形是 锐角三角形；如果余弦值是负值，最大角为钝角，则三 角形是钝角三角形；如果余弦值是0，最大角为直角， 则三角形是直角三角形。
c 2 = 5 2 + 6 2 2 5 6 c o s 1 2 0 0 2 5 3 6 2 5 6 c o s (1 8 0 0 6 0 0 )
61256(1) 2
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2020/1/2
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考点突破 考点一 余弦定理应用——1、求三角形的边角
【 训 练 1 】 （ 2 ） 在 △ A B C 中 ， A B =3 + 1 ， A C = 2 ， B C =2 ， 求 三 角 形 的 三 个 内 角 .
AC=5， 则 BC等 于 _______.
（ 2） 在 △ ABC中 ， a2b2c2bc， 则 ∠ A等 于 ______.
解
（ 1 ） 因 为 sinA =4， 且 A 为 钝 角 ， 5
所 以 cosA 1(4)2 3,
5
5
则BC2=AB2 AC2 2AB ACcosA
c o sB
2 B C A B 2 2 （ 3 + 1 ） 2
因 为 0 0 ∠ A 1 8 0 0 所 以 ∠ A = 4 5 0
所 以 ∠ C = 1 8 0 0 3 0 0 4 5 0 = 1 0 5 0
2020/1/2
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考点突破 考点一 余弦定理应用——2、判断三角形的形状
解析 由 a :b :c 3 + 1 : 6 : 2 知 ， a b c
所 以 ∠ A ∠ B ∠ C ， 即 ∠ A 为 最 大 角 ， ∠ C 为 最 小 角
由余弦定理得：cosA=b2 c2 a2 64( 3+1)2
2bc
2 62
3 30，所以∠A为锐角， 26