利用正余弦定理三角形形状的判断
正、余弦定理与三角形形状判断附答案
正、余弦定理与三角形形状判断附答案一、使用正弦定理判断三角形性质的基本思路是将条件转化为边或角之间的关系，然后进一步判断。
二、使用余弦定理判断三角形性质的基本思路是关注特殊角的余弦值，将其转化为边与边之间的关系。
三、使用正弦和余弦定理综合判断三角形性质的基本思路是尽量统一边或角之间的关系，使得未知量的个数减少，从而可以得出结论。
常用的公式包括sinA=sin(π-A)=sin(B+C)，以及正弦值的比可以直接化为边的比值。
1、已知在△ABC中，b=c•cosA，可以通过正弦定理得到a²+b²=c²，因此可以判断△ABC为直角三角形。
2、已知在△ABC中，角A、B均为锐角，且cosA＞sinB，可以通过余弦定理得到cosA＞cos(π/2-B)，进一步得到A＜π/2-B，因此可以判断△ABC为钝角三角形。
3、已知在△ABC中，b=a•sinC，c=a•cosB，可以通过正弦和余弦定理得到a²+b²=c²和b=c，因此可以判断△ABC为等腰直角三角形。
4、已知在△ABC中，2sinA•cosB=sinC，可以通过正弦和余弦定理得到2a•cosB=c和a=b，因此可以判断△ABC为等腰三角形。
5、已知在△ABC中，sinA=2sinB•cosC，sinA=sinB+sinC，可以通过正弦定理得到a=b+c/2，进一步得到a=2bc/(b²+c²)，因此可以判断△ABC为等腰直角三角形。
6、已知在△ABC中，(a+b+c)(b+c-a)=3bc，sinA=2sinB•cosC，可以通过正弦和余弦定理得到a=b+c和a=b，因此可以判断△ABC为等边三角形。
已知在三角形ABC中，角B=60度，且b=ac。
根据余弦定理，cosB=b^2/(2ac)，化简得到ac=a^2+c^2-b^2=a^2+c^2-ac，进一步化简得到(a-c)^2=0，因此a=c。
判定三角形形状的十种常用方法
判定三角形形状的十种常用方法三角形是数学和几何学中非常基础且重要的概念。
根据三角形的边长和角度，我们可以将其划分为不同的形状。
本文将介绍十种常用的判定三角形形状的方法。
边长比较法：对于任意三角形ABC，若a² + b² = c²（其中a、b、c分别代表三边长度），则三角形ABC为直角三角形，c为斜边。
角度测量法：如果一个三角形中有一个角是90度，那么这个三角形就是直角三角形。
此外，如果三个角都是60度，那么它是等边三角形；如果两个角是45度，那么它是等腰直角三角形。
边长比例法：对于三角形ABC，如果三边长度满足a:b:c = 1:√3:2，那么它是一个30-60-90度的特殊三角形。
中线长度法：在任意三角形ABC中，如果一条中线（连接一个顶点和对边中点的线段）等于该三角形的一半，则这个三角形是直角三角形。
角平分线法：如果一个三角形的角平分线、中线和高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
余弦定理法：利用余弦定理，可以通过三角形的三边长度来计算其角度，从而判断其形状。
正弦定理法：正弦定理可以用来计算三角形的边长，通过边长关系可以进一步判断三角形的形状。
面积法：对于直角三角形，其面积等于两直角边乘积的一半；对于等边三角形，其面积等于边长的平方乘以√3再除以4。
向量法：在向量表示中，如果两个向量的点积为零，则这两个向量垂直。
因此，如果三角形两边的向量点积为零，则这个三角形是直角三角形。
代数法：通过代数运算，如求解二次方程等，可以判断三角形的形状。
例如，在三角形ABC 中，如果a² + b² - c² = 0，则三角形ABC是直角三角形。
这十种方法各有其特点和应用场景，可以灵活选择和使用。
在解决实际问题时，可以根据已知条件和需求选择合适的方法来判断三角形的形状。
利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
高中数学：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( D ) A ．等腰三角形 B.直角三角形C ．等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 解析：因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ，所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形．【条件探究1】 将典例中的条件变为：若cos A cos B ＝b a ＝2，则该三角形的形状是( A )A ．直角三角形B.等腰三角形 C ．等边三角形 D.钝角三角形解析：因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin2A ＝sin2B .由b a ＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝180°－2B ，即A ＋B ＝90°，所以C ＝90°，于是△ABC 是直角三角形．【条件探究2】 将典例中的条件改为“若2sin A cos B ＝sin C ”，那么△ABC 的形状为等腰三角形__．解析：方法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B .所以△ABC 为等腰三角形．方法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .所以△ABC 为等腰三角形．【条件探究3】 将典例条件变为“若b cos B ＋c cos C ＝a cos A ”，试判断三角形的形状．解：由已知得b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a ·b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(a 2＋b 2－c 2)＝a 2(b 2＋c 2－a 2)．∴(a 2＋c 2－b 2)(b 2＋a 2－c 2)＝0.∴a 2＋c 2＝b 2或b 2＋a 2＝c 2，即B ＝π2或C ＝π2. ∴△ABC 为直角三角形．1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，若sin 2B 2＝c －a 2c ，则△ABC 的形状一定是直角三角形__．解析：由题意，得1－cos B 2＝c －a 2c ，即cos B ＝a c ，又由余弦定理，得a c ＝a 2＋c 2－b 22ac ，整理得a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 为直角三角形．(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .①求角A 的大小；②若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．解：①由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C 及正弦定理， 得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°.②∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°.由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin120°cos B －cos120°sin B ＝ 3.∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1.∵0°＜B ＜120°，∴30°＜B ＋30°＜150°.∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．。
正、余弦定理判定三角形的形状
正、余弦定理之判定三角形的形状一、运用正弦定理进行判断基本思路：运用正弦定理将条件全部转化为边（或角）之间的关系，进一步判断。
二、运用余弦定理进行判断基本思路：关注特殊角余弦值，往往向边与边之间的关系进行转化。
三、运用正、余弦定理综合判断基本思路：尽量统一边（或角）之间的关系，使3个未知量减少为2个未知量之间的关系往往可以导出结果；常用到sinA=sin(π-A)=sin(B+C)；正弦值的比可以直接化为边的比值。
1、已知在△ABC 中，A c b cos ∙=，试判断△ABC 的性状。
2、已知在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且B A sin cos ＞，试判断△ABC 的形状。
3、已知在△ABC 中，C a b sin ∙=，且)2sin(B a c -∙=π，试判断△ABC 的形状。
4、已知在△ABC 中，C B A sin cos sin 2=∙，试判断△ABC 的性状。
5、已知在△ABC 中，C B A cos sin 2sin ∙=，且C B A 222sin sin sin +=，试判断△ABC 的性状。
6、已知在△ABC 中，3bc a)-c c)(b b (a =+++，且cosC 2sinB sinA ∙=，试判断△ABC 的性状。
7、已知在△ABC 中，︒=∠60B ，且ac b =2，试判断△ABC 的性状。
8、已知在△ABC 中，︒=∠60B ，且c a b +=2，试判断△ABC 的性状。
9、已知在△ABC 中，c C b B a A cos cos sin ==，试判断△ABC 的性状。
10、已知在△ABC 中，)sin()()sin()(2222B A b a B A b a -∙+=+∙-，试判断△ABC 的性状。
11、在△ABC 中，B a C B A c b a sin 3)sin sin )(sin (∙=-+++，且B a A b cos cos ∙=∙，试判断△ABC 的性状。
如何判断三角形的形状
利用正、余弦定理判断三角形的形状（1）在ABC △中,分别为角 的对边),则ABC △的形状为A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形（2）已知ABC △的三个内角满足sin sin sin 511:13A B C =:::，则ABC △是 A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形（3）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2222b c a bc +=+，且cos 0C =，则△ABC 是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【参考答案】（1）A ；（2）D ；（3）D ． 【试题解析】（1）∵2cos,22B a c c +=∴1cos ,22B a c c ++=∴cos ,a B c= ∴由余弦定理,得2222a c b aac c+-=,∴22222a c b a +-=，∴222.a b c += ∴ABC △为直角三角形.故选A.（2）由正弦定理可得::5:11:13a b c =，令5,11,13a t b t c t ===，则c 为最长的边，故角C 最大，由余弦定理可得22223cos 02110a b c C ab +-==-<，所以角C 为钝角，故ABC △是钝角三角形．故选D ．（3）由余弦定理，可得222cos 222b c a A bc bc +-===，[来源:学,科,网] 所以45A =︒，又cos 0C =，所以90C =︒，所以△ABC 是等腰直角三角形．[来源:学&科&网Z&X&X&K] 故选D ．【解题必备】判断三角形的形状有以下几种思路： ①转化为三角形的边来判断；②转化为角的三角函数（值）来判断． 可简记为“化角为边”、“化边为角”．1．在ABC △中， ， ，则ABC △一定是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2．在ABC △中，cos cos a bB A=，则ABC △一定是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2cos aB c=，则此三角形的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形4．已知在ABC △中， ，则ABC △的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形1．【答案】D【解析】由余弦定理可知 ， 而 ， ，所以 ，[来源:学#科#网Z#X#X#K] 而 ，所以ABC △一定是等边三角形. 故选D ． 2．【答案】D【解析】由正弦定理可知：sin sin a bA B=，[来源:学*科*网] 而已知cos cos a b B A =，所以cos sin cos sin B AA B=，[来源:学_科_网] 即sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B ⋅=⋅⇒=，而,(0,π),A B ∈即2,2(0,2π)A B ∈， 所以22A B =或22πA B +=， 即A B =或π2A B +=， 所以ABC △是等腰三角形或直角三角形.故选D 3．【答案】B【解析】因为2cos a B c=，所以由正弦定理可得sin 2cos sin AB C =，即2sin cos sin C B A =，所以2sin cos sin cos cos sin C B B C B C =+， 因此sin cos sin cos C B B C =，所以tan tan C B =，所以B C =，即ABC △为等腰三角形.故选B. 4．【答案】D【解析】根据正弦定理，原式可变形为： ， 所以，整理得 ，，即ABC △是直角三角形.故选D ．。
用正、余弦定理解三角形
灵活应用正、余弦定理解三角形利用正余弦定理解三角形在近几年的高考中出现的频率比较频繁，因此，掌握好正、余弦定理在各种题型中的应用就显得尤其重要。
下面就正、余弦定理的几种应用作一个归纳，希望能帮助同学们更好地掌握。
一、直接利用定理求边和角。
例1：在△ABC 中，0060,30,366==+=+B A b a ，求边c 的长。
解：∵ )(1800B A c +-==090 由正弦定理：Cc B b A a sin sin sin ==及等比定理得 0060sin 30sin 366sin sin sin ++=++=B A b a C c ∴12)31(21)31(62321366=++=++=c 二、配凑公式求边和角。
例2：若a ，b ，c 分别表示△ABC 的顶点A 、B 、C 所对的边长，且（a +b+c ）（a +b －c ）=3a b ，求cos （A+B ）。
解： 由（a +b+c ）（a +b －c ）=3a b ，得ab c b a 3)(22=-+整理得：ab c b a =-+222， 故cos （A+B ）=－cosC =－2122222-=-=-+ab ab ab c b a 三、利用定理求边和角的求值范围。
例3：①在锐角△ABC 中，a =1，b=2则c 的取值范围是多少？②设a ,a +1, a +2为钝角三角形的三边，则a 的取值范围是__________.解:①由余弦定理得: =2c C C ab b a cos 45cos 222-=-+由0<cosC<1 得512<<c 即 51<<c②由余弦定理得: 0)1(2)2()1(cos 222<++-++=a a a a a C 30310322<<⇔<<-⇔<--⇔a a a a四、利用定理判断三角形的形状。
例4：在△ABC ，已知)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，判断△ABC 的形状。
正弦定理判断三角形形状
正弦定理判断三角形形状正弦定理是高中数学中重要的一个定理，它可以帮助我们计算三角形的各种属性。
在这篇文档中，我们将探讨正弦定理如何判断三角形的形状。
正弦定理的表达式如下：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为它们所对应的角度。
这个定理告诉我们，当我们知道了三角形的任意三个元素时（边、角度、角的正弦值），我们就可以求出这个三角形的所有属性。
在判断三角形的形状时，我们需要考虑三边之间的关系。
根据正弦定理，当我们知道第一个角的正弦值和边长时，就可以求出三角形的其他属性。
下面我们给出一些例子：1. 等边三角形等边三角形的三条边的长度相等，每个角的度数为60度。
因此，sin(60)相等于根号三除以二。
我们应用正弦定理，可以得出：a/sin(60) = b/sin(60) = c/sin(60)由于三个边相等，因此可以得到a=b=c。
因此，等边三角形与正三角形是等价的。
2. 直角三角形直角三角形的两个角的正弦值都可以通过特殊三角函数求出。
例如一个直角三角形，它的直角边长为4，所在角的正弦为1/2。
应用正弦定理，我们可以求出另外两条边的长度：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)我们可以将B视为直角。
因为sin(B)等于1，我们可以将sin(A)左右同时乘以a，得到：a = c*sin(A)应用余弦定理，我们可以将cos(A)表示为：cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc由于a等于直角边，因此cos(A)等于0。
因此，我们可以得到b^2 + c^2 = a^2。
因此这个三角形是一个直角三角形。
3. 等腰三角形在等腰三角形中，两条腰的长度相等。
因此，我们可以将正弦定理中的a和c替换为相同的值，得到：b/sin(B) = 2a/sin(A)由于B和A对应的边长都相同，我们可以将它们视为同一条边。
因此，sin(B)等于1。
正弦余弦定理判断三角形形状专题
例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 222sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 例２：在△ABC 中，若Ｂ=60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状.例3：在△ABC 中，已知22tan tan ba B A =，试判断△ABC 的形状． 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA=CB CB cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状．例5：在△ABC 中，（1）已知a －b=ccosB －ccosA ，判断△ABC 的形状． （2）若b=asinC,c=acosB,判断△ABC 的形状． 例6：已知△ABC 中，54cos =A ，且3:2:1)2(::)2(=+-c b a ，判断三角形的形状． 例7、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边abc,若abc 成等比数列，且c=2a ，则△ABC 的形状为（ ）∴△ABC 为钝角三角形。
例8 △ABC 中，sinA=2sinBcosC,sin 2A=sin 2B+sin 2C,则△ABC 的形状为（ ）例9△ABC 中A 、B 、C 的对边abc ，且满足（a 2+b 2）sin(A-B)=(a 2-b 2)sinC,试判断△ABC 的形状。
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形。
1、 在三角形ABC 中，三边a 、b 、c 满足::2:6:(31)a b c =+，试判断三角形的形状。
所以三角形为锐角三角形。
3、在△ABC 中，已知sin sin B C ＝cos 22A 试判断此三角形的类型.故此三角形是等腰三角形.4、(06陕西卷) 已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )A 、三边均不相等的三角形B 、直角三角形C 、等腰非等边三角形D 、等边三角形 5、在ABC ∆中，设,,,BC a CA b AB c ===若,a b b c c a ⋅=⋅=⋅判断ABC ∆的形状。
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又Ａ，Ｂ，Ｃ∈(０，π)，所以Ａ＝Ｂ＝Ｃ， 从而三角形ＡＢＣ为正三角形．
法二？
变1.在ABC中，a, b, c为边长，A，B，C为a,
b, c所对的角，若 a b c , sin B sin C sin A
试判断ABC的形状.
例3、在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC, 试判断该三角形的形状．
4
2
1 (b c)2 1 bc(1 sin A) 0
4
2
1 (b c)2 0, 1 bc(1 sin A) 0
4
2
b c 1 sin
A
0
A
2
且b
c
作业点评： 在ABC中， 若b2 ac, 则B的取值范围？
A B C为等腰直角三角形.
旧知回顾： 正余弦定理，及其推论
三角形形状的判断
在ABC中， 有a cos A b cos B, 试判断此三角形的形状 。
利用正余弦定理推论进行边角互化！ 划归思想！！！
类例：1.在ABC中，已知a2 tan B b2 tan A, 试判断ABC的形状.
变1''.已知方程x2 (b cos A)x a cos B 0的两根 之积等于两根之和，且a, b为ABC的边， A，B为a, b的对角， 试判断ABC的形状.
方法小结：三角形形状的判断主要是利 用正弦余弦定理边角互化，化成纯粹的 角或纯粹的边，实现“纯粹化”
这一“纯粹化”的方法，不光可用在形 状的判断上，也可在解三角形中也可应 用。
思考提升：
例4.已知ABC的面积S 1 (b2 c2 )，试确定ABC的形状.
4
解：S 1 (b2 c2 ) 1 bc sin A
解：由正弦定理及余弦定理，得
sin A a , cos C a2 b2 c2 ,
sin
所以
B a
2
b
a2
b2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c2
,
2ab
b
2ab
法二？
整理，得 b2 c2
因为b>0,c>0,所以b=c，因此，三角形ABC 为等腰三角形．
若再加上条件(a+b+c)(b+c-a)=3bc呢?
作业点评：
在ABC中，若B 600，2b a c, 试判断ABC的形状？
例试2判、断在三三角角形形AABBCC的中形，状已．知c
a os
A
b cosB
c，
cosC
解：令 a k ，由正弦定理，得
sin A
a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.
代入已知条件，得 sin A sin B sin C cos A cosB cosC
即tanA=tanB=tanC