解三角形题型5正、余弦定理判断三角形形状(供参考)(新)
高考数学解三角形：正余弦定理专题(五)
A (0, ) 2
cos A 0 tan A 0
A
(
,
)
2
cos A 0
tan A 0
已知 sin A
没有能力判断锐钝角
方法二：大边对大角。
已知 sin A ，自身没有能力判断锐钝角，判断其锐钝角的方法：大边对大角。
大边对大角的内容：在三角形中，边越大，对角越大。
已知三角形的两条边 a 和 b ，判断 a 的对角 A 的锐钝角方法： （Ⅰ） a b A B A 不是最大角 A 是锐角； （Ⅱ） a b A B A 是较大的角 A 是锐角或者钝角，需要分类讨论。
1350
1500
第五步：计算 sin A 和 sin B ， tan A 和 tan B 的值。 （Ⅰ）计算 sin A 和 tan A 的值。 根据三角函数同角之间的基本关系得到： sin 2 A cos2 A 1 sin 2 A 1 cos2 A ， sin A 0
sin A
1 cos2 A 。 tan A sin A
方法三：钝角占位法。
2
（Ⅰ）钝角未出现时：已知正弦的角是锐角或者钝角，需要分类讨论；
（Ⅱ）钝角已经出现时：已知正弦的角是锐角。
题型使用知识点七：三角形面积公式。
S ① ABC
1 2
ab sin C
S ② ABC
1 2
ac sin
B
S ③ ABC
1 bc sin 2
A
第二部分：题型结构和解法剖析
题型：在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c 。
600
1200
1350
1500
cos C
3
2
正弦定理与余弦定理解三角形5大题型
正弦定理与余弦定理解三角形5大题型“解三角形”是每年高考常考内容，在选择题、填空题中考查较多，有时也会出现在解答题中。
对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；而是考查两个定理的综合应用，多与三角变换、平面向量等知识综合命题。
以实际生活为背景（如测量、航海、几何天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形问题，此类问题在近几年高考中虽未涉及，但深受高考命题者的青睐，应给予关注；在高考试题中出现有关解三角形的试题大多数为容易题、中档题。
一、解三角形中常用结论及公式1、解三角形所涉及的其它知识（1）三角形内角和定理：A+B+C=π.（2）三角形边角不等关系：B A B A B A b cos cos sin sin <⇔>⇔∠>∠⇔>.2、诱导公式在ABC ∆中的应用（1）()()C B A C B A C B A tan )tan(;cos cos ;sin sin -=+-=+=+；（2）2sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+；3、三角形中，最大的角不小于3π，最小的角不大于3π.二、已知三边（或三边之比，或三内角正弦之比）判定三角形的形状设a 是三角形中最长的边，则（1）若0222>-+a c b ，则ABC ∆是锐角三角形；（2）若0222=-+a c b ，则ABC ∆是直角三角形；（3）若0222<-+a c b ，则ABC ∆是钝角三角形；或（1）若0sin sin sin 222>-+A C B ,则ABC ∆是锐角三角形；（2）若0sin sin sin 222=-+A C B ,则ABC ∆是直角三角形；（3）若0sin sin sin 222<-+A C B ,则ABC ∆是钝角三角形；三、利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：1、选定理.（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。
正余弦定理解三角形题型
正余弦定理解三角形题型
正余弦定理是解决三角形题型的常用方法之一。
通过正余弦定理，我们可以求出三角形中任意一个角的正弦、余弦、正切值，并且可以求出三角形中任意一个边的长度。
对于一个三角形ABC，设三条边分别为a、b、c，且对应的角分
别为A、B、C，那么正余弦定理可以表示为：
正弦定理：$frac{a}{sin A}=frac{b}{sin B}=frac{c}{sin C}$ 余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bccos A$
$ b^2=a^2+c^2-2accos B $
$c^2=a^2+b^2-2abcos C$
其中，正弦定理可以用来求解三角形中任意一个角的正弦值，而余弦定理可以用来求解三角形中任意一个边的长度。
在使用余弦定理时，需要注意角度的单位应为弧度制。
通过正余弦定理，我们可以解决多种三角形题型，如求解三角形中某一个角的大小、求解三角形中某一边的长度等等。
同时，在解题过程中，还需要注意三角形的特殊性质，如等边三角形、等腰三角形等，以便更快、更准确地解决问题。
- 1 -。
用正、余弦定理解三角形
灵活应用正、余弦定理解三角形利用正余弦定理解三角形在近几年的高考中出现的频率比较频繁，因此，掌握好正、余弦定理在各种题型中的应用就显得尤其重要。
下面就正、余弦定理的几种应用作一个归纳，希望能帮助同学们更好地掌握。
一、直接利用定理求边和角。
例1：在△ABC 中，0060,30,366==+=+B A b a ，求边c 的长。
解：∵ )(1800B A c +-==090 由正弦定理：Cc B b A a sin sin sin ==及等比定理得 0060sin 30sin 366sin sin sin ++=++=B A b a C c ∴12)31(21)31(62321366=++=++=c 二、配凑公式求边和角。
例2：若a ，b ，c 分别表示△ABC 的顶点A 、B 、C 所对的边长，且（a +b+c ）（a +b －c ）=3a b ，求cos （A+B ）。
解： 由（a +b+c ）（a +b －c ）=3a b ，得ab c b a 3)(22=-+整理得：ab c b a =-+222， 故cos （A+B ）=－cosC =－2122222-=-=-+ab ab ab c b a 三、利用定理求边和角的求值范围。
例3：①在锐角△ABC 中，a =1，b=2则c 的取值范围是多少？②设a ,a +1, a +2为钝角三角形的三边，则a 的取值范围是__________.解:①由余弦定理得: =2c C C ab b a cos 45cos 222-=-+由0<cosC<1 得512<<c 即 51<<c②由余弦定理得: 0)1(2)2()1(cos 222<++-++=a a a a a C 30310322<<⇔<<-⇔<--⇔a a a a四、利用定理判断三角形的形状。
例4：在△ABC ，已知)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，判断△ABC 的形状。
解三角形题型及解题方法 初中
解三角形题型及解题方法（初中）在初中数学中，解三角形是一个重要的知识点，它涉及到三角形的性质、定义、概念、特点和规律等多个方面。
解三角形题型多样，解法灵活，需要掌握一定的方法和技巧。
下面我们将详细探讨解三角形的题型及解题方法，并通过具体的例子来加深理解。
一、三角形的概念与性质1. 三角形的概念三角形是由三条线段首尾顺次连接围成的平面图形。
这三条线段被称为三角形的边，相邻两边所夹的角被称为三角形的角。
2. 三角形的性质（1）三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在不受外力作用时保持不变。
（2）三角形的内角和为180°。
（3）三角形具有边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）和角角边（AAS）等全等判定条件。
（4）三角形具有中线、高线、角平分线等重要的线段。
二、解三角形的常见题型1. 已知两边及夹角求第三边例1：在△ABC中，已知AB=5cm，AC=3cm，∠BAC=60°，求BC的长。
解法：利用余弦定理，有BC²= AB²+ AC²- 2 ×AB ×AC ×cos∠BAC= 5² + 3² - 2 × 5 × 3 × cos60°= 25 + 9 - 30 × 0.5= 34 - 15= 19所以，BC = √19cm。
技巧：当已知两边及夹角时，通常使用余弦定理求解第三边。
2. 已知三边求角例2：在△ABC中，已知AB=5cm，AC=3cm，BC=4cm，求∠BAC的度数。
解法：利用余弦定理，有cos∠BAC = (AB²+ AC²- BC²) / (2 ×AB ×AC)= (5² + 3² - 4²) / (2 × 5 × 3)= (25 + 9 - 16) / 30= 18 / 30= 0.6所以，∠BAC = arccos(0.6)。
(完整版)解三角形题型总结(最新整理)
解三角形题型分类解析1、正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===（）(角化边公式）3::sin :sin :sin a b c A B C=（）sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C===做题大法：1）边化角：遇到分式或等式如（切记必须为齐次式，高B A b a BA b sin sin ,sin sin a =→=→考常考点）思考：若是否可行C B A bc sin sin sin a 22=−−−→−=是否可化为2）角化边形如这样的分式或等式b a B A bB A =→=→sin sin ,a sin sin 思路总结： 此为以上转换依据sin sin a b A B =2sin c R C ==⇒2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）；已知a ，b 和A ，不解三角形，求B 时的解的情况:AR sin 2a =B R sin 2b =B Rsin 2c =如果sin A ≥sin B ，则B 有唯一解；如果sin A <sin B <1，则B 有两解；如果sin B =1，则B 有唯一解；如果sin B >1，则B 无解.3、余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C=+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bca cb B aca b c C ab +-=+-=+-=4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角； （2）已知三边。
正弦余弦定理判断三角形形状专题
例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 222sin sin sin +=,试判断三角形的形状．例２：在△ABC 中，若Ｂ= 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状.例3：在△ABC 中，已知22tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状；例6 例7的形例8 ） 例9△1、状。
所以三角形为锐角三角形。
3、在△ABC 中，已知sin sin B C ＝cos 22A试判断此三角形的类型.故此三角形是等腰三角形.4、(06陕西卷) 已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC→|AC →| =12,则△ABC 为( )A 、三边均不相等的三角形B 、直角三角形C 、等腰非等边三角形D 、等边三角形.为锐角判断此三角形的形状。
故此三角形是等腰直角三角形。
静安区校级模拟）若，则sinA+cosA=5．（2014春?禅城区期末）已知：在△ABC 中，，则此三角形为（ ） A ．直角三角形 B ． 等腰直角三角形 C ． 等腰三角形 D ． 等腰或直角三角形 6．已知△ABC 满足，则△ABC 是（ ）7．（2014?马鞍山二模）已知非零向量与满足且=． 则△ABC为（ ）9．（2014?黄冈模拟）已知在△ABC中，向量与满足（+）?=0，且?=，则△ABC为（）A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形10．（2014?奉贤区二模）三角形ABC中，设=，=，若?（+）＜0，则三角形ABC的形状是（）．已知向量，则且，则成等差数列，，则，若金台区校级期末）双曲线和椭圆19．（2014?红桥区二模）在△ABC中，“”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件20．（2014秋?德州期末）在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形21．在△ABC中，已知sinA=2sinBcosc，则△ABC的形状为．22．在△ABC中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC的形状是．23．已知△ABC中，AB=，BC=1，tanC=，则AC等于．24．在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是三角形．25．在△ABC中，已知c=2acosB，则△ABC的形状为．26．（2014春?常熟市校级期中）在△ABC中，若，则△ABC的形状是．27．（2014春?石家庄期末）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则该△ABC是三角形（请你确定其是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形）．28．（2013春?遵义期中）△ABC中，b=a，B=2A，则△ABC为三角形．29．（2013秋?沧浪区校级期末）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC为（填锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．）30．（2014春?宜昌期中）在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为三角形．，则利用平方差公式，由，推出解：由，得：，∴故，从而得到cosC=﹣﹣﹣＜，=，即A=1+2sinAcosA=sinAcosA=（﹣﹣（，）＞5．（2014春?禅城区期末）已知：在△ABC中，，则此三角形为（）满足，则根据向量的加减运算法则，将已知化简得=+?，得?中，，∴=（﹣）+?=?+?即=+?，得?=0∴⊥7．（2014?马鞍山二模）已知非零向量与满足且=．则△ABC 为（），判断三角形是等腰三角形，通过求出等腰三角形的顶角，然后解：因为又因为abcosC==﹣＜9．（2014?黄冈模拟）已知在△ABC中，向量与满足（+）?=0，且?=，则△ABC=0解：设是菱形，|?=||?|BAC=，，∴∠中，设=，，若（+依题意，可知+；利用向量的数量积即可判断三角形解：∵=，=∴=+=∵（）＜∴?＜即||?||?cos||?|本题考查三角形的形状判断，=的应用是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．11．（2015?温江区校级模拟）已知向量，则由数量积的坐标运算可得=解：由题意可得：（，（）＞又向量的夹角且，则2==，cosA=，又根据余弦定理得：cosA=∴=，13．（2014?咸阳三模）△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，，则△ABC一定是（）+=2．又∵c+a+b=转化为以与解：∵=﹣，=﹣，c+a+b=c a（﹣c﹣（==（+c+b﹣（（+=﹣（变形为：，即sin2B=sin2A，所以，所以cosA==，金台区校级期末）双曲线和椭圆双曲线和椭圆=1，“解：∵||?|“sin2A=A+B=cosC=＞AB=，可知=2中，若中，利用正弦定理将=，=，?=．cosC=b=ab=a，B=2AsinB=sinAsin2A=sinAcosA=，A=，则B=，C=，为钝角三cosC=＜。
正余弦定理解三角形题型
正余弦定理解三角形题型正余弦定理是解决三角形题目的重要工具，可以通过以下参考内容来学习：1. 正余弦定理的概念及公式- 概念：正余弦定理是三角形中用于求边长或角度的重要定理。
- 公式：- a² = b² + c² - 2bc cosA- b² = a² + c² - 2ac cosB- c² = a² + b² - 2ab cosC2. 利用正余弦定理解三角形题的步骤- 确定需要求解的量，是边长还是角度。
- 根据已知条件选择使用哪个公式。
- 将已知量代入公式，计算出需要求解的量。
3. 例题分析及解法- 题目：已知三角形ABC，其中∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB的长度。
- 解法：- 根据已知条件可知，a=5，b=12，c=AB。
- 选择正弦定理求解：sinC=sin90°=1，sinA=a/c，因此有sinA=5/AB。
- 将已知量代入公式，得到sin²A+cos²A=1，等价于25/AB²+cos²A=1，化简得cos²A=1-25/AB²。
- 再选择余弦定理求解：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，代入已知量，得到cosA=1/3，代入cos²A的式子中，得到2/9=1-25/AB²，解得AB=√(225/7)。
以上参考内容可以帮助读者了解正余弦定理的基本概念和使用方法，并通过例题的解法展示如何应用到实际的题目中去。
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解三角形题型5：正、余弦定理判断三角形形状
1、（2013·陕西高考文科·Ｔ9）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a, b, c , 若
cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 ( )
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 不确定
2、（2010上海文数）18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，
则△ABC
（A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.
（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 3、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．由增加的长度决定
4、在△ABC 中，已知2a b c =+，2
sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。
5、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形
6、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=
12
7
, 则ΔABC 是______三角形. 7、在△ABC 中，若c
C
b B a A sin cos cos =
=，则△ABC 是（ ） A ．有一内角为30°的直角三角形
B ．等腰直角三角形
C ．有一内角为30°的等腰三角形
D ．等边三角形
8、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是
（ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
9、（2010辽宁文数17）在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，
且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；
（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ∆的形状.
10、在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +⋅-=-⋅+,判断该三角形的形状。
11、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状：
①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC=
B
A B
A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).
题型5：正、余弦定理判断三角形形状答案
1、【解题指南】在含有边角关系式的三角函数恒等变形中,利用正弦定理将边的关系式化为角的正弦式或利用余弦定理将余弦式化为边的关系式,这是判断三角形形状的两个转化方向.
【解析】选A.因为bcosC+ccosB=asinA ,所以由正弦定理得
sinBcosC+sinCcosB=sin 2A,所以sin(B+C)=sin 2
A,
sinA=sin 2
A, sinA=1,所以三角形ABC 是直角三角形.
2、解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13
由余弦定理得0
115213115cos 2
22<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角
3、解析：设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2＝a 2＋b 2，a ＋b >c .新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、 c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．
而(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝x 2＋2(a ＋b －c )x >0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．答案：A
4、解：由正弦定理2sin sin sin a b c R A
B
C
===得：sin 2a A R
=，sin 2b
B R
=
，sin 2c C R
=。
所以由2
sin sin sin A B C =可得：2(
)222a b c R R R
=⋅，即：2a bc =。
又已知2a b c =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即2()0b c -=， 因而b c =。
故由2a b c =+得：22a b b b =+=，a b =。
所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。
5、B 解析：2sin A cos B ＝sin C =sin （A ＋B ）=sinAcosB+cosAsinB
∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B 另解：角化边
点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，
通畅解题途径 6、纯角
9、解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得c b c b c b a )2()2(22
+++= 即bc c b a
++=222
由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=
故︒=-=120,2
1
cos A A
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.sin sin sin sin sin
222
C B C B A ++=
又1sin sin =+C B ，得2
1sin sin ==C B
因为︒<<︒︒<<︒900,900C B ，
故B C =
所以ABC ∆是等腰的钝角三角形。
10、【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。
方法一：22[sin()sin()][sin()sin()]a A B A B b A B A B --+=-+--
222cos sin 2cos sin a A B b B A ∴=
由正弦定理，即知22sin cos sin sin cos sin A A B B B A =
sin sin (sin cos sin cos )0A B A A B B ∴-=
sin 2sin 2A B ∴= 由0
2,22A B
π，得22A B =或22A B π=-
即ABC ∆为等腰三角形或直角三角形
方法二：同上可得222cos sin 2cos sin a A B b B A =
由正、余弦定理，即得：2222222222b c a a c b a b b a bc ac
+-+-=
22222222()()a b c a b a c b ∴+-=+-
即22222()()0a b c a b ---=
a b ∴=或222c a b =+
即ABC ∆为等腰三角形或直角三角形
【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）
二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。
（边化角）
11、分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. ①由余弦定理
ac ac c a ac b c a ac b c a =-+⇒=-+⇒-+=︒222222222
1
2260cos 0)
(2=-∴c a ，
c a =∴. 由a=c 及B=60°可知△ABC 为等边三角形. ②由A
A
b B a A b cos sin tan tan 22
2
⇒=
,2sin 2sin ,cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos sin 22222B A B B A A A
B a b B A A B B B a =∴=∴==⇒=∴A=B 或
A+B=90°，∴△ABC 为等腰△或Rt △. ③B
A B A C cos cos sin sin sin ++= ，由正弦定理：
,)cos (cos b a B A c +=+再由余弦定理：b a ac
b c a c bc c b a c +=-+⨯+-+⨯222
22222
∆∆∴+=∴=--+∴Rt ABC b a c b a c b a 为,,0))((222222. ④由条件变形为2
22
2)sin()sin(b a b a B A B A +-=+-
︒=+=∴=∴=⇒=--+-++∴90,2sin 2sin sin sin sin cos cos sin ,)sin()sin()sin()sin(2
222B A B A B A B
A B A B A b a B A B A B A B A 或. ∴△ABC 是等腰△或Rt △.。