河南省商丘市2012届高三第二次模拟考试数学理试题(附答案)
河南省商丘市-高三第二次模拟考试文科数学试题Word版含答案
河南省商丘市2017-2018高三第二次模拟考试试题文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A2.） A3.） A．8 C. 1 D ．24.）A．．15.角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 B6.）A7.）A．10 B．15 C. 21 D．288.）A．1 B．9.）A10.）AD11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A12.则不）A第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的最小值为．14.的距离为．15. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲。
1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2018这2017个整数中能被2除余1且被3除余1的数按由小到大的顺序排成一列，则此数列的项数为．16.上任意一点的距离的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1（22.18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史，某陶瓷厂在生产过程中，对仿制100件工艺品测得其重量(数据，将数据分组如下表：（1）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值 2.25）作为代表.据此，估计这100个数据的平均值；（2）根据样本数据，以频率作为槪率，若该陶瓷厂生产这样的工艺品5000件，试估计重量（3）从第一组和第六组6件工艺品中随机抽取2个工艺品，求一个来自第一组，一个来自第六组的概率.19.（1（2在，说明理由.20.（1（221.（1（2（3）.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.（1（2积.23.选修4-5：不等式选讲（1（2.试卷答案一、选择题1-5: CBDAC 6-10: BABDD 11、12：CA 二、填空题三、解答题17. 解：（Ⅰ）证明：∵（Ⅱ），，，18.解：(Ⅰ) 这100个数据的平均值约为…4分所以某陶瓷厂生产这样的工艺品5000（Ⅲ）记第一组的4第六组2有：共有15种取法，8种，19..2的正三角形.（Ⅱ）在直线AA上存在点P ，使得//CP平面C C20.解：(Ⅰ)右.∴21.解: (Ⅰ)()0x '>;当,,.综上所述,,;递减.∴在.()g x22.解：.23.解：83⎛+∞⎝，()fx取最小值。
(优辅资源)河南省商丘市高考数学二模试卷(理科) Word版含解析
2017年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，则（）A．k＞e3B．k≥e3C．k＞e4D．k≥e42．i为虚数单位，若（a，b∈R）与（2﹣i）2互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣73．已知f（x）=sinx﹣x，命题p：∃x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：：∀x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：：∃x∈（0，），f（x）≥0C．P是真命题，￢p：：∀x∈（0，），f（x）≥0D．p是真命题，￢p：：∃x∈（0，），f（x）≥04．在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=60，则2a﹣a10的值为（）A．6 B．8 C．12 D．135．我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行如图算法的程序框图时，若输入的n=5，x=2，则输出V的值为（）A．15 B．31 C．63 D．1276．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm7．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．508．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足=+，则•的值为（）A．﹣B．﹣2 C．D．29．高考结束后高三的8名同学准备拼车去旅游，其中一班、二班、三班、四班每班各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置，）其中一班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一班的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．48种D．36种10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，2）C．（，+∞）D．（2，+∞）11．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）的部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为2，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．12．已知函数f（x）=，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x1，x2，则x1•x2的取值范围是（）A．[4﹣2ln2，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，4﹣2ln2]D．（﹣∞，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．设a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式（a﹣）6的展开式中含x2项的系数为．14．已知抛物线C：y2=4x与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k=．=x n 15．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{x n}满足x n+1﹣，设a n=ln，若a1=，x n＞2，则数列{a n}的通项公式a n=．16．已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cosC）=c（2﹣cosB）．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的面积为4，求c．18．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如表频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（Ⅰ）现从甲公司记录的100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：（i）记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ii）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E=．（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣B1的平面角的正弦值．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M （m，0）（m＞）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且•为定值．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．（Ⅰ）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+，若g（x）有极大值点x1，求证：＞a．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（4，3），直线l与圆C相交于A，B两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．2017年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，则（）A．k＞e3B．k≥e3C．k＞e4D．k≥e4【考点】元素与集合关系的判断．【分析】首先确定集合A，由此得到lnk＞4，由此求得k的取值范围．【解答】解：∵集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，∴A={2，3，4，…}，∴lnk＞4，∴k＞e4．故选：C．2．i为虚数单位，若（a，b∈R）与（2﹣i）2互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵=，（2﹣i）2=4﹣4i﹣1=3﹣4i，又（a，b∈R）与（2﹣i）2互为共轭复数，∴b=3，a=﹣4，则a﹣b=﹣7．故选：D．3．已知f（x）=sinx﹣x，命题p：∃x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：：∀x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：：∃x∈（0，），f（x）≥0C．P是真命题，￢p：：∀x∈（0，），f（x）≥0D．p是真命题，￢p：：∃x∈（0，），f（x）≥0【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题否定是全称命题写出结果．【解答】解：f（x）=sinx﹣x，x∈（0，），f′（x）=cosx﹣1＜0，∴f（x）是（0，）上是减函数，∵f（0）=0，∴f（x）＜0，∴命题p：∃x∈（0，），f（x）＜0是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0，故选：C．4．在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=60，则2a﹣a10的值为（）A．6 B．8 C．12 D．13【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式求解．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a1+3a8+a15=60，∴a1+3（a1+7d）+a1+14d=5（a1+7d）=60，∴a1+7d=12，2a﹣a10=2（a1+8d）﹣（a1+9d）=a1+7d=12．故选：C．5．我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行如图算法的程序框图时，若输入的n=5，x=2，则输出V的值为（）A．15 B．31 C．63 D．127【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的x=2，n=5，故v=1，i=4，v=1×2+1=3i=3，v=3×2+1=7i=2，v=7×2+1=15i=1，v=15×2+1=31i=0，v=31×2+1=63i=﹣1，跳出循环，输出v的值为63，故选：C6．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则10﹣r+10﹣r=10cm，∴r=10﹣5≈3cm．故选：A．7．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．50【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．==【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△ABC区域Γ表示以D（）为圆心，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．∴芝麻落入区域Γ的概率为=．∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．故选A．8．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足=+，则•的值为（）A．﹣B．﹣2 C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，建立直角坐标系．利用向量坐标运算性质、数量积运算性质即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系：B（0，），A（，0），C（﹣，0）．=（，），=（3，0）=+=（2，）．=（，），∴=（﹣1，），=（，﹣）则•=﹣=﹣2．故选：B．9．高考结束后高三的8名同学准备拼车去旅游，其中一班、二班、三班、四班每班各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置，）其中一班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一班的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．48种D．36种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】分类讨论，第一类，同一班的2名同学在甲车上；第二类，同一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．【解答】解：由题意，第一类，同一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为C32=3，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C21C21=4，故有3×4=12种．第二类，同一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为C31=3，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21=4，这时共有3×4=12种，根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车方式，故选：B．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，2）C．（，+∞）D．（2，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】由右顶点M在以AB为直径的圆的外，得|MF|＞|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＜0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：由于双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），则直线AB方程为：x=﹣c，因此，设A（﹣c，y0），B（﹣c，﹣y0），∴=1，解之得y0=，得|AF|=，∵双曲线的右顶点M（a，0）在以AB为直径的圆外，∴|MF|＞|AF|，即a+c＞，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，∵e＞1，∴解之得1＜e＜2．故选：B．11．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）的部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为2，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．【考点】点、线、面间的距离计算；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象过点（0，1），结合φ的范围求得φ的值，再根据A、B两点之间的距离，求得T的值，可得ω的值，从而求得函数的解析式，从而求得f （﹣1）的值．【解答】解：由函数的图象可得2sinφ=1，可得sinφ=，再根据＜φ＜π，可得φ=．再根据A、B两点之间的距离为=2，求得T=4，再根据T==4，求得ω=．∴f（x）=2sin（x+），f（﹣1）=2sin（﹣+）=，故选：D．12．已知函数f（x）=，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x1，x2，则x1•x2的取值范围是（）A．[4﹣2ln2，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，4﹣2ln2]D．（﹣∞，）【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可知：当x≥1时，f（x）+1≥1，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），当x＜1，f（x）=1﹣＞，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），f[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，则x1x2=e t（2﹣2t），t＞，设g（t）=e t（2﹣2t），t＞，求导，利用导数求得函数的单调性区间，即可求得x1x2的取值范围．【解答】解：当x≥1时，f（x）=lnx≥0，∴f（x）+1≥1，∴f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），当x＜1，f（x）=1﹣＞，f（x）+1＞，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），综上可知：F[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，则f（x）+1=e﹣m，f（x）=e﹣m﹣1，有两个根x1，x2，（不妨设x1＜x2），当x≥1是，lnx2=e﹣m﹣1，当x＜1时，1﹣=e﹣m﹣1，令t=e﹣m﹣1＞，则lnx2=t，x2=e t，1﹣=t，x1=2﹣2t，∴x1x2=e t（2﹣2t），t＞，设g（t）=e t（2﹣2t），t＞，求导g′（t）=﹣2te t，t∈（，+∞），g′（t）＜0，函数g（t）单调递减，∴g（t）＜g（）=，∴g（x）的值域为（﹣∞，），∴x1x2取值范围为（﹣∞，），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．设a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式（a﹣）6的展开式中含x2项的系数为12．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出r的值，问题得以解决．【解答】解：由于a=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）|=﹣1﹣1=﹣2，=2r C6r•x3﹣r，∴（﹣2﹣）6=（2+）6的通项公式为T r+1令3﹣r=2，求得r=1，故含x2项的系数为2C61=12．故答案为：1214．已知抛物线C：y2=4x与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k=8．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算（x1，y1﹣2）（x2，y2﹣2）=0，即可求得k的值．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），∴直线AB的方程为y=k（x ﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，整理得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，则x1+x2==2+．x1x2=1．∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣4，∵•=0，（x1，y1﹣2）（x2，y2﹣2）=0，即x1x2+y1y2﹣2（y1+y2）+4=0，解得：k=8．故答案为：1．=x n 15．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{x n}满足x n+1﹣，设a n=ln，若a1=，x n＞2，则数列{a n}的通项公式a n=2n﹣2（n∈N*）．【考点】数列与函数的综合．=，【分析】由题意可得f（x）=a（x﹣1）（x﹣2），求出导数，可得x n+1=ln=2ln=2a n，运用等比数列的通项公式即可得到所求．求得a n+1【解答】解：函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，可得f（x）=a（x﹣1）（x﹣2），f′（x）=a（2x﹣3），=x n﹣=x n﹣=，则x n+1由a1=，x n＞2，=ln=ln=2ln=2a n，则a n+1即有a n=a1q n﹣1=•2n﹣1=2n﹣2．故答案为：2n﹣2（n∈N*）．16．已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是0＜m＜3+4．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】利用导数求得f（x）=x3﹣3x+3+m（m＞0），在区间[0，2]上的最小值、最大值，由题意构造不等式解得范围．【解答】解：f（x）=x3﹣3x+3+m，求导f′（x）=3x2﹣3由f′（x）=0得到x=1或者x=﹣1，又x在[0，2]内，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m+1，f（x）max=f（2）=m+5，f（0）=m+3．∵在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是构成直角三角形，∴（m+1）2+（m+1）2＜（m+5）2，即m2﹣6m﹣23＜0，解得3﹣4＜m＜3+4又已知m＞0，∴0＜m＜3+4．故答案为：0＜m＜3+4．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cosC）=c（2﹣cosB）．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的面积为4，求c．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinA+sinB=2sinC，从而可求a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求ab=16，进而利用余弦定理可得：c2=（a+b）2﹣3ab，结合a+b=2c，即可解得c的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵b（1+cosC）=c（2﹣cosB），∴由正弦定理可得：sinB+sinBcosC=2sinC﹣sinCcosB，可得：sinBcosC+sinCcosB+sinB=2sinC，∴sinA+sinB=2sinC，∴a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（Ⅱ）∵C=，△ABC的面积为4=absinC=ab，∴ab=16，∵由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，∵a+b=2c，∴可得：c2=4c2﹣3×16，解得：c=4．18．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如表频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（Ⅰ）现从甲公司记录的100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：（i）记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ii）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，可得P（M）=．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，可得当a=38时，X=38×5=190，以此类推可得：当a=39时，当a=40时，X的值．当a=41时，X=40×5+1×7，同理可得：当a=42时，X=214．所以X的所有可能取值为190，1195，200，207，214．可得X的分布列及其数学期望．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．【解答】解：（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，则P（M）==．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a=38时，X=38×5=190，当a=39时，X=39×5=195，当a=40时，X=40×5=200，当a=41时，X=40×5+1×7=207，当a=42时，X=40×5+2×7=214．所以X的所有可能取值为190，195，200，207，214．故X的分布列为：∴E（X）=190×+195×+200×+207×+214×=．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．所以甲公司送餐员日平均工资为70+4×39.5=228元．由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为192.2元．因为192.2＜228，故推荐小明去甲公司应聘．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E=．（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣B1的平面角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）先证AE⊥平面A1BC，再证A1D∥AE即可‘’（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴A1D∥AE，AE⊥BC，AE=BE=，∵A1A=4，A1E=．∴A1E2+AE2=，∴AE⊥A1E，∵A1E∩BC=E，∴AE⊥平面A1BC，∵A1D∥AE，∴A1D⊥平面A1BC．解：（Ⅱ）如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，可取．设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，可取．cos＜＞=又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M （m，0）（m＞）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且•为定值．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，即椭圆左焦点坐标，结合椭圆离心率可得长半轴长，再由b2=a2﹣c2求出短半轴，则椭圆E的标准方程可求；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0由•为定值，解得m，|AB|=|y1﹣y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积s=即可求得最值【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1，又椭圆E的离心率为，得a=，于是有b2=a2﹣c2=1．故椭圆Γ的标准方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0，，==（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣=．要使•为定值，则，解得m=1或m=（舍）当m=1时，|AB|=|y1﹣y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积s==．∴当t=0，△OAB面积的最大值为，21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．（Ⅰ）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+，若g（x）有极大值点x1，求证：＞a．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为x=在（0，+∞）上有解，求出a的范围即可；（Ⅱ）求出g（x）的解析式，通过讨论a的范围，问题转化为证明x1lnx1+1＞ax12，令h（x）=﹣﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．【解答】（Ⅰ）解：因为f′（x）=﹣2a，x＞0，因为函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，所以f′（x）=﹣在（0，+∞）上有解，即﹣2a=﹣在（0，+∞）上有解，也即x=在（0，+∞）上有解，所以＞0，得a＞，故所求实数a的取值范围是（，+∞）；（Ⅱ）证明：因为g（x）=f（x）+x2=x2+lnx﹣2ax，因为g′（x）=，①当﹣1≤a≤1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意，②当a＞1或a＜﹣1时，令g′（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2，因为x1为函数g（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2，又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，所以a＞1，0＜x1＜1，所以g′（x1）=x12﹣2ax1+=0，则a=，要证明+＞a，只需要证明x1lnx1+1＞ax12，因为x1lnx1+1﹣ax12=x1lnx1﹣+1=﹣﹣x1+x1lnx1+1，0＜x1＜1，令h（x）=﹣x3﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），所以h′（x）=﹣x2﹣+lnx，记P（x）=﹣x2﹣+lnx，x∈（0，1），则P′（x）=﹣3x+=，当0＜x＜时，p′（x）＞0，当＜x＜1时，p′（x）＜0，所以p（x）max=p（）=﹣1+ln＜0，所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）＞h（1）=0，原题得证．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（4，3），直线l与圆C相交于A，B两点，求+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C 的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，得，结合根与系数的关系进行解答．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），得直线l的普通方程为x+y﹣7=0．又由ρ=6sinθ得圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=9；（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，得，设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2=4，t1t2=7，∴t1＞0，t2＞0，所以+=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）分类讨论求得原不等式解集．（Ⅱ）由分段函数f（x）的解析式可得f（x）的单调性，由此求得函数f（x）的值域，求出的取值范围．再根据关于x的方程=a的解集为空集，求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解不等式|x﹣2|+|2x+1|＞5，x≥2时，x﹣2+2x+1＞5，解得：x＞2；﹣＜x＜2时，2﹣x+2x+1＞5，无解，x≤﹣时，2﹣x﹣2x﹣1＞5，解得：x＜﹣，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）；（Ⅱ）f（x）=|x﹣2|+|2x+1|=，故f（x）的最小值是，所以函数f（x）的值域为[，+∞），从而f（x）﹣4的取值范围是[﹣，+∞），进而的取值范围是（﹣∞，﹣]∪（0，+∞）．根据已知关于x的方程=a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（﹣，0]．2017年4月15日。
河南省四校2012届高三第二次联考数学(文)试题
2012年高三第二次联考文科数学试题一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 已知复数1221,,1z z i a z i z 若+=+=为纯虚数，则a 的值（ ）A. -1B. 1C. -2D. 22.定义集合运算：A ⊙B=｛xy z z =|，x ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛1-，0｝，B=｛ααcos ,sin ｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为（ ）A ．1B ．1-C ．ααcos sin +D ．ααcos sin --A ．2B ．10C ．23D ．1024. 已知函数⎩⎨⎧<-≥-=-0,120,21)(x x x f x x ，则该函数是（ ）A ．非奇非偶函数，且单调递增 B.偶函数，且单调递减C .奇函数，且单调递增 D.奇函数，且单调递减5. 某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于（ ） A ．1 B ．3 C ．7 D ．156．函数)3sin()2cos(x x y -+-=ππ具有性质( )A，图象关于直线6x π=对称B ．最大值为1，图象关于直线6x π=对称C ，图象关于点(,0)6π对称D ．最大值为1，图象关于点(,0)6π对称7．已知函数(),(0,)(0)mf x x x m x=+∈+∞>，若不等式()4f x <的解集非空，则 （ ）A ．4m ≥B ．2m ≥C ．4<m D ．2<m8．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图侧视图俯视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积为（ ）A ．π12B ．π23C ．π3D ．π3129．椭圆22a x +22b y ＝1(a>b>0)的离心率是21，则a b 312+的最小值为（ ）A ．33 B ．1 C ．332 D ．2 10.记等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知,15,563==S S 则=9S （ ）A ．45 B.20 C.30 D.3511.已知[x]表示不超过x 的最大整数，如：[-0.1]=-1,[0.5]=0,现从]81[log ],...,4[log ],3[log ],2[log ],1[log 33333中任取一个数，其中该数为奇数的概率为（ ） A ．2720 B. 277 C. 2717 D. 32 12.已知函数)(x f 的导数92)('-=x x f ，且)0(f 的值为整数，当)](1,(*N n n n x ∈+∈时，)(x f 的值为整数的个数有且只有1个，则=n （ ） A.2 B.6 C.8 D.4 二、填空题（每小题5分，共20分）13．命题“∀x R ∈，都有311≤+--x x ”的否定是 14.= 80sin 70sin 50sin 10sin15.奇函数)(x f 满足对任意R x ∈都有0)4()(=-+x f x f ，且8)1(=f ，则)2012()2011()2010(f f f ++的值为16.已知函数⎩⎨⎧<<≥+-=10,log 1,)12()(x x x a x a x f a ，若)(x f 在),0(+∞上单调递减，则实数的取值范围为三、解答题 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足SB（a 2＋b 2－c 2）．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sinA ＋sinB 的取值范围．18.袋内装有6个球，每个球上都有标有从1到6的一个号码，设号码为n 的球重1262+-n n （单位：克），这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）。
2019-2020学年河南省商丘市高考第二次模拟考试文科数学模拟试卷有答案
2019-2020学年河南省商丘市⾼考第⼆次模拟考试⽂科数学模拟试卷有答案河南省商丘市⾼三第⼆次模拟考试试题⽂科数学第Ⅰ卷（共60分）⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1. 已知集合{}290A x x =-≤，集合{}10B x x =->，则A B ?=（） A ．()1,3 B ．(]1,3 C.[)3,1- D ．()3,1- 2.复数352z i=+（i 是虚数单位）的共轭复数z =（） A ．2i + B ．2i - C. 2i -- D ．2i -+3.设函数()()()2212log 02x x f x x x ?-≥?=?<上的投影为（） A ．5 B ．2 C.2 D ．15.设1F 和2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，若点()120,2,,P b F F 是等腰直⾓三⾓形的三个顶点，则双曲线的离⼼率为（） A ．2 B ．70 C. 23 D ．30 6.已知数列{}n a 满⾜()*111,2n n a a a n N +=-≥∈，则（）A ．21n a n ≥+B ．2n S n ≥ C. 12n n a -≥ D ．12n n S -≥ 7.执⾏如图的程序框图，若输⼊的是9k =，则输出的S =（）A ．10B ．15 C. 21 D ．288.将函数()sin 06y x πωω?=+>的图象向右平移3π个单位后，得到()y g x =，()g x 为偶函数，则ω的最⼩值为（）A ．1B ．2 C. 12 D ．329.函数()1ln1xf x x+=-的⼤致图像是（） A ． B ．C. D ．10.已知正⽅形ABCD 如图所⽰，其中,AC BD 相交于O 点，,,,,,E F G H I J 分别为,,,,,AD AO DO BC BO CO 的中点，阴影部分中的两个圆分别为ABO ?与CDO ?的内切圆，若往正⽅形ABCD 中随机投掷⼀点，则该点落在图中阴影区域内的概率为（）A ．(1222π+- B ．(14224π+- C.(1624π+- D ．(1624π+-11.某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为（）A ．3πB ．2π C.53π D ．43π 12.定义在R 上的函数()f x 满⾜：()()()1,05f x f x f >'=+，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()() 41x e f x ->(其中e 为⾃然对数的底数）的解集为（）A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞?+∞ C.()(),01,-∞?+∞ D ．()3,+∞第Ⅱ卷（共90分）⼆、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若实数,x y 满⾜1,20,3220,x y x y x y +≥??-≤??-+≥?则3z x y =-的最⼩值为．14. 已知球的表⾯积为8π，此球⾯上有,,A B C 三点，且2,2AB AC BC ==，则球⼼到平⾯ABC 的距离为．15.“中国剩余定理”⼜称“孙⼦定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙⼦算经》中“物不知数”问题的解法传⾄欧洲。
河南省平顶山许昌新乡2012届高三第二次调研考试数学(理)试题(扫描版)
（Ⅱ）当1n =时，112b a =，∴12b =． 当2n ≥时，3112231 (22222)n n n n n b b b b b a --++++＝， 31121231 (2222)n n n b b b b a ---+++＝， 两式相减得12n n n n b a a --＝，∴12n n b +=， 因此，12,12,2n n n b n +=⎧=⎨≥⎩．当1n =时，122S b ==；当2n ≥时，122123(12) (22612)n n n n b S b b b b -+-=++++=+=--． ∵当1n =时上式也成立，∴当n 为正整数时都有226n n S +=-．…… 12分18．（本小题满分12分）解：记该人被A 、B 、C 三种技工分别录用的事件为A 、B 、C ，则P (A )=0．8，P (B )=0．5 ，P (C )=0．2 ．（I ）该人被录用的概率P =1—P )(C B A ⋅⋅=1—0．2×0．5×0．8=0．92 ． ………4分（II ）设该人被录用的工种数为n ，则X =n (3—n )，n =0，1，2，3 ， ∴X =0或2 ． ………5分i)P (X =0)=P (A ·B ·C )+P )(C B A ⋅⋅=0．8×0．5×0．2+0．2×0．5×0．8=0．16 ，P (X =2)=1—P (X =0)=0．84 ．∴ EX =0×0．16+2×0．84=1．68 ． ……8分ii) 当X =0时，()3sin 4x f x π=是奇函数， 当X =2时，()3sin()3cos 244x x f x πππ=+=是偶函数， ∴ P (D )=P (X =2)=0．84 ． ……12分20．（本小题满分12分）……7分21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵2'()(1)()(1)x x f x x a x a e x a x e ⎡⎤=+--=+-⎣⎦， ……2分 ∵1a ≥，∴(,)x a ∈-∞-时，()f x 递增，(,1)x a ∈-时，()f x 递减，(1,)x ∈+∞时，()f x 递增，所以()f x 的极大值点为1x a =-，极小值点为21x =， ……4分而(1)(1)0f a e =-≤，3()0aa f a e +-=>， ……5分由于，对二次函数2(3)23y x a x a =+--+，对称轴为32a x a -=>-，()30y a a -=+>，∴当x a ≤-时，2(3)230y x a x a =+--+>，∴()0f x >． ……6分当x a >-时，()f x 的最小值为(1)(1)f a e =-．所以，()f x 的最小值是(1)a e -． ……7分（II ）由（Ⅰ）知()f x 在(0,)+∞的值域是： 当1a ≥时，为[(1),)a e -+∞，当01a <<时，为(0,)+∞． ……8分 而4()21g x a x x =---+在(0,)+∞的值域是为(,1)a -∞--， ……9分 所以，当1a ≥时，令(1)(1)1a e a ----<，并解得1e a e >-， 当01a <<时，令0(1)1a ---<，无解．因此，a 的取值范围是1e a e >-． ……12分（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）由ρθ=，可得220x y +-=，即圆C的方程为22(5x y +=．由322x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得直线l的方程为30x y +=．所以，圆C 的圆心到直线l2=． ………… 5分 （Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22(3)()522t -+=，即240t -+=．由于△24420=-⨯=>．故可设12t t 、是上述方程的两个实根，所以1212 4.t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩，又直线l过点(3P ，故由上式及t的几何意义得1212||||||||PA PB t t t t +=+=+= ………… 10分。
河南省郑州市2012届高三第二次质量预测数学理试题
2012年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题)两部分。
考试时间120分钟，满分150分，考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。
第I卷一、选择題(本大题共12小题，舞小题5分，共60分。
在毎小题给出的四个选项中，只有一顼是符合題目要求的1。
设(i是虚数单位），则=A. –IB. i C。
O D。
12。
在等差数列中，,则数列的前10项的和为A。
100 B。
110 C. 120 D。
1303 1名老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法共有A. 450 B。
460 C. 480 D。
5004. 在等比数列中，若是方程的两根，则a6的值是A. B. C. D.5. 某校航模小组在一个棱长为6米的正方体房间试飞一种新型模型飞机，为保证模型飞机安全，模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1米,则模型飞机“安全飞行”的概率为A。
B. C. D.6。
已知函数,若是函数的零点,且，则的值A.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于07。
-个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，其中正(主)视图是直角三角形，侧（左〉视图是半圆，俯视图是等腰三角形,则这个几何体的体积是（单位cm3）A。
B.C.D。
8。
若向量相互垂直，则的最小值为A. 12B.C.D. 69. 设是三个互不重合的平面，m、n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是A.若，则B.若,则C.若,则D.若，则10。
若双曲线的左、右焦点分别为，线段被抛物线的焦点分成7 ：3的两段，则此双曲线的离心率为A。
B。
C。
D。
11. 如图曲线和直线所围成的图形（阴影部分）的面积为A。
B.C。
D.12. 已知集合,定义函数。
若点的外接圆圆心为D，且，则满足条件的函数有A. 6 个B. 10 个C. 12 个D。
16 个第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2012年河南高考数学试题及参考答案
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(河南卷)数 学(文史类)本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．第1部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案打在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k kn k n n P k C P P -=-第一部分（选择题 共60分）1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上． 2．本大题共12小题，每小题5分，共60分．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1．若全集{1,2,3,4,5}M =，{2,4}N =，则M N =ð（A ）∅ （B ）{1,3,5} （C ）{2,4}（D ）{1,2,3,4,5} 答案：B解析：∵{1,2,3,4,5}M =，则M N =ð{1,3,5}，选B ．2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5，27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5，39.5) 7 [39.5，43.5) 3 根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占（A ）211 （B ） 13（C ）12 （D ）23答案：B解析：大于或等于31.5的数据共有12+7+3=22个，约占221663=，选B ．3．圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是（A ）(2，3) （B ）(－2，3) （C ）(－2，－3) （D ）(2，－3)答案：D解析：圆方程化为22(2)(3)13x y -++=，圆心(2，－3)，选D ．4．函数1()12x y =+的图象关于直线y =x 对称的图象像大致是答案：A解析：1()12x y =+图象过点(0,2)，且单调递减，故它关于直线y =x 对称的图象过点(2,0)且单调递减，选A ． 5．“x ＝3”是“x 2＝9”的（A ）充分而不必要的条件 （B ）必要而不充分的条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要的条件答案：A解析：若x ＝3，则x 2＝9，反之，若x 2＝9，则3x =±，选A ． 6．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（A ）12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒（B ）12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥（C ）233////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面（D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面答案：B解析：由12l l ⊥，23//l l ，根据异面直线所成角知1l 与3l 所成角为90°，选B ． 7．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=（A ）0 （B ）BE （C ）AD（D ）CF答案：D解析：BA CD EF CD DE EF CF ++=++=，选D ．8．在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（A ）(0,]6π （B ）[,)6ππ （C ）(0,]3π（D ）[,)3ππ答案：C解析：由222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-得222a b c bc ≤+-，即222122b c a bc +-≥，∴1cos 2A ≥，∵0A π<<，故03A π<≤，选C ．9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6=（A ）3 × 44（B ）3 × 44+1（C ）44（D ）44+1答案：A解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，选A ．10．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为 （A ）4650元 （B ）4700元 （C ）4900元 （D ）5000元 答案：C解析：设派用甲型卡车x （辆），乙型卡车y （辆），获得的利润为u （元），450350u x y =+，由题意，x 、y 满足关系式12,219,10672,08,07,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≥⎨⎪≤≤⎪≤≤⎪⎩作出相应的平面区域，45035050(97)u x y x y =+=+在由12,219x y x y +≤⎧⎨+≤⎩确定的交点(7,5)处取得最大值4900元，选C ．11．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为（A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)- 答案：A解析：令抛物线上横坐标为14x =-、22x =的点为(4,114)A a --、(2,21)B a -，则2AB k a =-，由22y x a a '=+=-，故切点为(1,4)a ---，切线方程为(2)60a x y ---=，该直线又和圆相切，则d ==，解得4a =或0a =（舍去），则抛物线为2245(2)9y x x x =+-=+-，定点坐标为(2,9)--，选A ．12．在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b =α，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数为m ，则mn=（A ）215 （B ）15 （C ）415 （D ）13答案：B解析：∵以原点为起点的向量(,)a b =α有(2,1)、(2,3)、(2,5)、(4,1)、(4,3)、(4,5)共6个，可作平行四边形的个数2615n C ==个，结合图形进行计算，其中由(2,1)(4,1)、(2,1)(4,3)、(2,3)(4,5)确定的平行四边形面积为2，共有3个，则31155m n ==，选B ．第二部分（非选择题 共90分）注意事项：1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．2．本部分共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．9(1)x +的展开式中3x 的系数是_________．（用数字作答）答案：84解析：∵9(1)x +的展开式中3x 的系数是639984C C ==． 14．双曲线2216436x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么P 到左准线的距离是____． 答案：16 答案：16解析：离心率54e =，设P 到右准线的距离是d ，则454d =，则165d =，则P 到左准线的距离等于2641616105⨯+=．15．如图，半径为4的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________． 答案：32π解析：如图，设球一条半径与圆柱相应的母线夹角为α，圆柱侧面积24sin 24cos S παα=⨯⨯⨯＝32sin 2πα，当4πα=时，S 取最大值32π，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32π．16．函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数．例如，函数()f x =2x +1(x ∈R )是单函数．下列命题：①函数2()f x x =（x ∈R ）是单函数；②指数函数()2x f x =（x ∈R ）是单函数；③若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号） 答案：②③④解析：对于①，若12()()f x f x =，则12x x =±，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题共l2分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14、12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12、14；两人租车时间都不会超过四小时． （Ⅰ）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率． 本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算，考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A 、B ，则111()1424P A =--=，111()1244P A =--=．答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14、14．（Ⅱ）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C ，则1111111111113()()()()4244222442444P C =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为3418．（本小题共l2分）已知函数73()sin()cos()44f x x x ππ=++-，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知4cos()5βα-=，4cos()5βα+=-，02παβ<<≤．求证：2[()]20f β-=．本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识和基本运算能力，函数与方程、化归与转化等数学思想．（Ⅰ）解析：7733()sin cos cos sin cos cos sin sin4444f x x x x x ππππ=+++x x 2sin()4x π=-，∴()f x 的最小正周期2T π=，最小值min ()2f x =-． （Ⅱ）证明：由已知得4cos cos sin sin 5αβαβ+=，4cos cos sin sin 5αβαβ-=-两式相加得2cos cos 0αβ=，∵02παβ<<≤，∴cos 0β=，则2πβ=．∴22[()]24sin 204f πβ-=-=．19．（本小题共l2分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于D ．（Ⅰ）求证：PB 1∥平面BDA 1；（Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值；本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力． 解法一：（Ⅰ）连结AB 1与BA 1交于点O ，连结OD ，∵C 1D ∥平面AA 1，A 1C 1∥AP ，∴AD =PD ，又AO =B 1O ， ∴OD ∥PB 1，又OD ⊂面BDA 1，PB 1⊄面BDA 1， ∴PB 1∥平面BDA 1．（Ⅱ）过A 作AE ⊥DA 1于点E ，连结BE ．∵BA ⊥CA ，BA ⊥AA 1，且AA 1∩AC =A ，∴BA ⊥平面AA 1C 1C ．由三垂线定理可知BE ⊥DA 1． ∴∠BEA 为二面角A －A 1D －B 的平面角． 在Rt △A 1C 1D中，1A D =，又1111122AA D S AE ∆=⨯⨯=，∴AE =． 在Rt △BAE中，BE =，∴2cos 3AH AHB BH ∠==．故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23． 解法二：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A 1－B 1C 1A ，则1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ，(0,2,0)P ．（Ⅰ）在△P AA 1中有1112C D AA =，即1(0,1,)2D ．∴1(1,0,1)A B =，1(0,1,)A D x =，1(1,2,0)B P =-． 设平面BA 1D 的一个法向量为1(,,)a b c =n ，则11110,10.2A B a c A D b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 令1c =-，则11(1,,1)2=-n ． ∵1111(1)2(1)002B P ⋅=⨯-+⨯+-⨯=n ，∴PB 1∥平面BA 1D ，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA 1D 的一个法向量11(1,,1)2=-n ．又2(1,0,0)=n 为平面AA 1D 的一个法向量．∴12121212cos ,3||||312⋅<>===⋅⨯n n n n n n ．故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23． 20．（本小题共12分）已知{}n a 是以a 为首项，q 为公比的等比数列，n S 为它的前n 项和． （Ⅰ）当1S 、3S 、4S 成等差数列时，求q 的值；（Ⅱ）当m S 、n S 、l S 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列．本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力．解：（Ⅰ）由已知，1n n a aq -=，因此1S a =，23(1)S a q q =++，234(1)S a q q q =+++．当1S 、3S 、4S 成等差数列时，1432S S S +=，可得32aq aq aq =+．化简得210q q --=．解得q =． （Ⅱ）若1q =，则{}n a 的每项n a a =，此时m k a +、n k a +、l k a +显然成等差数列．若1q ≠，由m S 、n S 、l S 成等差数列可得2m l n S S S +=，即(1)(1)2(1)111m l na q a qa q q q q ---+=---．整理得2m l n q q q +=．因此，11()22k m l n k m k l k n k a a aq q q aq a -+-++++=+==． 所以，m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列． 21．（本小题共l2分）过点C (0，1)的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，椭圆与x 轴交于两点(,0)A a 、(,0)A a -，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．（I ）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； （Ⅱ）当点P 异于点B 时，求证：OP OQ ⋅为定值．本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．解：（Ⅰ）由已知得1,c b a ==，解得2a =，所以椭圆方程为2214x y +=．椭圆的右焦点为，此时直线l 的方程为 1y =+，代入椭圆方程得270x -=，解得120,x x ==，代入直线l 的方程得 1211,7y y ==-，所以1)7D -，故16||7CD =． （Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为11(0)2y kx k k =+≠≠且．代入椭圆方程得22(41)80k x kx ++=．解得12280,41kx x k -==+，代入直线l 的方程得2122141,41k y y k -==+，所以D 点的坐标为222814(,)4141k k k k --++．又直线AC 的方程为12x y +=，又直线BD 的方程为12(2)24ky x k +=+-，联立得4,2 1.x k y k =-⎧⎨=+⎩ 因此(4,21)Q k k -+，又1(,0)P k-．所以1(,0)(4,21)4OP OQ k k k⋅=--+=．故OP OQ ⋅为定值． 22．（本小题共l4分）已知函数21()32f x x =+，()h x =（Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值；（Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33lg[(1)]2lg ()2lg (4)24f x h a x h x --=---；（Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1()()[(1)(2)()]6f n h n h h h n -+++≥．本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．解：（Ⅰ）223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥，2()312F x x '∴=-+．令()0F x '∴=，得2x =（2x =-舍去）．当(0,2)x ∈时．()0F x '>；当(2,)x ∈+∞时，()0F x '<，故当[0,2)x ∈时，()F x 为增函数；当[2,)x ∈+∞时，()F x 为减函数． 2x =为()F x 的极大值点，且(2)824925F =-++=．（Ⅱ）方法一：原方程可化为42233log [(1)]log ()log (4)2f x h a x h x --=---，即为4222log (1)log log log x -=，且,14,x a x <⎧⎨<<⎩①当14a <≤时，1x a <<，则14a xx--=，即2640x x a -++=， 364(4)2040a a ∆=-+=->，此时3x ==1x a <<， 此时方程仅有一解3x = ②当4a >时，14x <<，由14a xx x--=-，得2640x x a -++=，364(4)204a a ∆=-+=-，若45a <<，则0∆>，方程有两解3x =若5a =时，则0∆=，方程有一解3x =； 若1a≤或5a>，原方程无解．方法二：原方程可化为422log (1)log (4)log ()x h x h a x -+-=-， 即2221log (1)log log 2x -+=10,40,0,(1)(4).x x a x x x a x ->⎧⎪->⎪⇔⎨->⎪⎪--=-⎩214,(3) 5.x x a a x ⎧<<⎪⇔<⎨⎪=--+⎩ ①当14a <≤时，原方程有一解3x = ②当45a <<时，原方程有二解3x =± ③当5a =时，原方程有一解3x =；④当1a ≤或5a >时，原方程无解．（Ⅲ）由已知得(1)(2)()]12h h h n n +++=+++，11()()66f n h n -=．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1()()6n S f n h n =-（*n ∈N ）从而有111a S ==，当2100k ≤≤时，1k k k a S S -=-又1[(4(46k a k k =+-2216=106=>． 即对任意2k ≥时，有k a >，又因为11a ==，所以1212n a a a n +++≥+++．则(1)(2)()n S h h h n ≥+++，故原不等式成立．。
河南商丘高三第二次模拟考试数学理科
河南省商丘市2009年高三第二次模拟考试试题数 学（理科）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答在答题卷（Ⅱ卷）上，答在试题卷上的答案无效。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前将密封线内的项目及座号填写清楚。
3．请把第I 卷中每小题你认为正确选项的代号填写在答题卷（Ⅱ卷）中选择题答案栏内。
4．答第Ⅱ卷时，用0．5毫米的黑色墨水笔书写在答卷（Ⅱ卷）上。
考试终了，只交答卷（Ⅱ卷）。
参考公式如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P (A ＋B )＝P (A )十P (B ) S ＝4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P (A ·B )＝P (A )·P (B ) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那 V ＝πR 3么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 P n (k )＝P k (1一P )n －k （k ＝0，1，2，…，n ） 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）(1)集合A ＝{y ｜y ＝x 2，x ∈R}，B ＝{－2，－1，1，2}，则下列结论正确的是(A )A ∪B ＝(0，＋∞) (B )(C R A )∪B ＝(－∞，0](C )A ∩C R B ＝[0，＋∞) (D )(CR A )∩B ＝{－2，－1}(2)若复数(1＋bi )(2＋i )是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b ＝ (A )2 (B )12 (C )－12(D )－2 (3)已知cos (θ＋6π)＝513，0<θ<3π，则cos θ＝ (A )31226＋ (B )125313- (C )5326＋ (D )65313＋ (4)等差数列{a n }中，2a 3－27a ＋2a 11＝0，数列{b n }为等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8的值为(A )2 (B )4 (C )8 (D )16(5)在x 3x24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有(A )3项 (B )4项 (C )5项 (D )6项(6)若直线ax －by ＋2＝0(a>0，b>0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为(A )14 (B 2 (C )322 (D )32＋2 (7)在三棱锥A －BCD 中，P 、Q 分别是棱AC 、BD 上的点，连结AQ 、CQ 、BP 、DP 、PQ ，若三棱锥A －BPQ 、B －CPQ 、C －DPQ 的体积分别为6、2、8，则三棱锥A －BCD 的体积是(A )20 (B )28 (C )40 (D )88(8)已知O 为直角坐标系原点，P ，Q 的坐标均满足不等式组4250200x y x y x -⎧⎪-⎨⎪-⎩＋3≤＋2≤1≥，则tan ∠POQ的最大值等于(A )12(B )1 (C )32 (D )0 (9)如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是弧AB 的三等分点，M 、N是线段AB 的三等分点，若OA ＝6，则MD u u u u r ·NC u u u r 的值是(A )2 (B )5(C )26 (D )29(10)已知边长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O的表面上，E 、F 分别为棱AB 、A 1D 1的中点，则经过E 、F 球的截面面积的最小值为(A )38π (B )2π (C )58π (D )78π (11)已知函数f (x )的导函数为'f (x )＝4＋3cosx ，x ∈(－1，1)，且f (0)＝0，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则实数a 的取值范围为(A ) (0，1) (B ) (12(C ) (－22) (D ) (－∞，－2)∪(1，＋∞)(12)已知一组抛物线y ＝12ax 2＋bx ＋l ，其中a 为2、4、6、8中任取的一个数，b 为1、3、5、7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x ＝1交点处的切线相互平行的概率是(A )112 (B )760 (C )625 (D )516第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）(13)若ξ－N (1，σ2)，且P (1<ξ<3)＝0．4，则P (ξ>3)＝_____________．(14)已知函数f (x )＝11,0m x x x x x ⎧⎪⎨⎪2,⎩-＋＜0＋log ≥,(m>0，m ≠1)在x ＝0处连续，则m 的值为_________． (15)在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BAC ＝2π，AB ＝AC ＝AA l ＝1．已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为____________．(16)已知命题：①函数f (x )＝1lg x在(0，＋∞)上是减函数；②函数f (x )的定义域为R ， 'f (x 0)＝0是x ＝x 0为极值点的既不充分也不必要条件；③函数f (x )＝2sinxcos ｜x ｜的最小正周期为π；④在平面上，到定点(2，1)的距离与到定直线3x ＋4y －10＝0的距离相等的点的轨迹是抛物线；⑤已知a ＝(3，4)，b ＝(0，－1)，则a 在b 方向上的投影为4．其中正确命题的序号是______________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(17)(本小题满分10分)已知函数f (x )＝sin (x －6π)·cosx ，x ∈(0，2π)． (Ⅰ)求函数f (x )的值域； (Ⅱ)若曲线y ＝f (x )在x 0处的切线倾斜角α∈[arctan12，4π]，求x 0的取值范围．(18)(本小题满分12分)已知四棱锥P －ABCD ，底面是边长为1的正方形，侧棱PC 长为2，且PC ⊥底面ABCD ，E 是侧棱PC 上的动点．(Ⅰ)证明BD ⊥AE ；(Ⅱ)求点C 到平面PDB 的距离；(Ⅲ)若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小．(19)(本小题满分12分)下面玩掷骰子放球的游戏：若掷出1点，甲盒中放入一球；若掷出2点或3点，乙盒中放入一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放入一球．设掷n 次后，甲、乙、丙盒内的球数分别为x ，y ，z.(Ⅰ)当n ＝6时，求x 、y 、z 成等比数列的概率；(Ⅱ)当n ＝4时，若甲盒和乙盒中球的个数差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和期望E ξ．(20)(本小题满分12分)等差数列{a n }中，a 1＝1，S n 为其前n 项和，等比数列{b n }的公比q 满足｜q ｜<1，T n 为其前n 项和，若S 2＝4b 1，S 6＝2T 2＋33，又b 1＝2(1－q )．(Ⅰ)求{a n }、{b n }的通项公式；(Ⅱ)若c 1＝a l ，c 2＝a 2＋a 3，c 3＝a 4＋a 5＋a 6，…，求c n 的表达式；(Ⅲ)若f (n )，求证f (2n b )>2n ＋1(n ≥2)．(21)(本小题满分12分)已知△ABC 一边的两个端点为B，0)，C (，0)，另两边所在直线的斜率之 积为12，动直线l 过定点(－3，0)，Q 点坐标为(2，0)． (Ⅰ)求顶点A 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线E 交与两点M ，N (在y 轴左侧)，QM QN u u u u r u u u r 是否存在最小值?若存在，求出最小值，若不存在，说明理由；(Ⅲ)若△MQN 的面积记为S ，对任意适合条件的直线l ，不等式S ≥λ·tan ∠MQN 恒成立，求λ的最大值．(22)(本小题满分12分)函数f (x )＝x 3－3tx ＋m (x ∈R ，m 和t 为实常数)是奇函数，设g (x )＝｜f (x )｜在[－1， 1]上的最大值为F (t )．(Ⅰ)求F (t )的表达式；(Ⅱ)求F(t)的最小值．。
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河南省商丘市2012届高三第二次模拟考试
数 学（理科）
本试卷分试题卷和答题卷两部分，试题卷共4页，答题卷共6页。请按要求把答案涂、
写在答题卷规定的范围内，超出答题框或答在试题卷上的答案无效。满分为150分。考试时
间为120分钟。考试结束只收答题卷。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．已知集合M＝{y｜y＝2x}，N＝{y｜2x＋2y＝2}，则M∩N＝
A．{（1，1），（－1，1）} B．{1}
C．[0，1] D．[0，2]
2．已知复数z＝13ii＋2－（i是虚数单位），则复数z的虚部是
A．710 B．710i C．110 D．710i
3．抛物线2y＝2px（p＞0）的准线过双曲线221613xyp2－＝的左焦点，则该抛物线的焦点坐
标为
A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．（32， 0）
4．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为
A．533 B．433
C．536 D．3
5．已知m＞0，且mcosα－sinα＝5sin（α＋），则
tan＝
A．－12 B．12 C． 2 D．－2
6．已知等比数列{na}中，各项都是正数，且a1，12a3，2a2成等差数列，则8967aaaa＋＋＝
A．1＋2 B．1－2 C．3＋22 D．3－22
7．下列命题中的说法正确的是
A．命题“若2x＝1，则x＝1”的否命题为“若2x＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“2x－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“x∈R，使得x2＋x＋1＜0”的否定是：“x∈R，均有2x＋x＋1＞0”
D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆否命题为真命题
8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s值为
A．102 B．410
C．614 D．1638
9．关于方程3x＋2x＋2x－1＝0，下列说法正确的是
A．方程有一负实根，一零根
B．方程有一正实根，一零根
C．方程有两个不相等的负实根
D．方程有两个不相等的正实根
10．值域为{2，5，10}，其对应关系为y＝2x＋1的函数的个数为
A．1 B．8
C．27 D．39
11．已知两个非零向量a＝（m－1，n－1），b＝（m－3，n－3），且a
与b的夹角是钝角或直角，则m＋n的取值范围是
A．（2，32）B．（2，6） C．[2，32] D．[2，6]
12．已知2221xab2y＋＝（a＞b＞0），M，N是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任意一点，且直
线PM、PN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若｜k1｜＋｜k2｜的最小值为1，则椭圆
的离心率为
A．12 B．22 C．32 D．33
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．二项式（1＋sinx）6的展开式中二项式系数最大的一项的值为52，则x在 [0，2π]内的
值为__________．
14．设实数x，y满足不等式组1,1,0,yxxy＋≤y－≤≥则2yx＋的取值范围是________．
15．一个四棱锥的底面是正方形，其顶点在底面的射影为正方形的中心．已知该四棱锥的各
顶点都在同一个球面上，且该四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积是_________.
16．数列{na}的前n项和为nS，若数列{na}的各项按如下规律排列：
12，13 ，23，14，24，34，15，25，35，45…，1n，2n，…，1nn
，…有如下运
算
和结论：
①a24＝38;
②数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比数列；
③数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n项和为nT＝24nn＋；
④若存在正整数k，使Sk＜10，Sk＋1≥10，则ak＝57．
其中正确的结论是__________．（将你认为正确的结论序号都填上）
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC＝（3a—c）cosB．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若BAuuur·BCuuur＝2，且b＝22，求a和c的值．
18．（本小题满分12分）
2011年8月28日－30日，第六届豫商大会在“三商之源、华商之都”的商丘市举行，
为了搞好接待工作，大会组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这
30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括
175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，
且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．
（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”中和“非
高个子”中提取5人，再从这5人中选2人，
那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?
（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X
表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人
数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图，AA1、BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直
径，D、E分别是AA1、CB1的中点，DE⊥面CBB
1
（Ⅰ）证明：DE∥面ABC；
（Ⅱ）若BB1＝BC，求CA1与面BB1C所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
已知圆C1的方程为2x＋（y－2）2＝1，定直线l的方程为
y＝－1．动圆C与圆C1外切，且与直线l相切．
（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹M的方程；
（Ⅱ）斜率为k的直线m与轨迹M相切于第一象限的点P， 过点P作直线m的垂线恰
好经过点A（0，6），并交轨迹M与另一点Q，记S为轨迹M与直线PQ围成的
封闭图形的面积，求S的值．
21．（本小题满分12分）
设函数f（x）＝xlnx（x＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）设F（x）＝ax2＋()fx（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；
（Ⅲ）斜率为k的直线与曲线y＝()fx交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，
求证：1x2＜k＜1x1．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分．做答时
用2B铅笔在答题卷上把所选题目的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，在△ABC和△ACD中，∠ACB＝
∠ADC＝90°，∠BAC＝∠CAD，⊙O是
以AB为直径的圆，DC的延长线与AB的
延长线交于点E．
（Ⅰ）求证：DC是⊙O的切线；
（Ⅱ）若EB＝6，EC＝62，求BC的长．
23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy内，点M（x，y）在曲线G：1cos,x＝＋y＝sin（θ为参数，
θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ＋4）
＝0．
（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，试求△ABM面积的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数f（x）＝｜x＋1｜，g（x）＝2｜x｜＋a．
（Ⅰ）当a＝0时，解不等式f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．