2012LGOI试题
2012亚洲国际数学奥林匹克总决赛真题(四年级)
甲部：每題 3 分 甲部：每题 3 分 Section A – each question carries 3 marks 1) 求 1 3 5 7 ... 37 39 的值。 求 1 3 5 7 ... 37 39 的值。 Evaluate 1 3 5 7 ... 37 39 . 2) 求 200 40 200 50 200 10 的值。 求 200 40 200 50 200 10 的值。 Evaluate 200 40 200 50 200 10 . 3) 求 (633 324) (30 73) (163 137) 的值。 求 (633 324) (30 73) (163 137) 的值。 Evaluate (633 324) (30 73) (163 137) . 定義符號「 」的程序計算有以下的結果：
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2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(广东卷)(解析版)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（某某卷）A数学（理科）本试卷共21题，满分150分。
考试用时120分钟。
参考公式：主体的体积公式V=Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高。
锥体的体积公式为13V sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。
一 、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 为虚数单位，则复数56ii-= A ． 65i + B ．65i - C ．65i -+ D ．65i -- 2．设集合U ={1,2,3,4,5,6}， M ={1,2,4 } 则U C M =A ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}3．若向量BA =（2,3），CA =（4,7），则BC = A ．（-2,-4） B ．(2,4) C ．(6,10) D ．(-6,-10) 4．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A ．ln(2)y x =+B ．1y x =-+C ．y=12x⎛⎫⎪⎝⎭D ．1y x x =+5．已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z =3x +y 的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．1-6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A ．12π B.45π C.57π D.81π7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 A.49 B. 13 C. 29 D. 198.对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b = A ．12 B.1 C. 32 D. 52二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。
（一）必做题（9-13题）9.不等式21x x +-≤的解集为_____。
2012年高考理科数学北京卷(含详细答案)
A B=1,0}1,0,1}xy e=关于y轴对称，则()f x=()B.1x e-D.1xe--( )B.y=D.y=l与C所围成的图形的面积等于( )C.83D.表示的平面区域内存在点00(,)P x y，满足( )B.1(,)3-∞D.5(,)3-∞-第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上.9.在极坐标系中，点π(2,)6到直线sin2ρθ=的距离等于___________.10.若等比数列{}na满足2420a a+=，3540a a+=，则公比q=____；前n项和nS=____.11.如图，AB为圆O的直径，P A为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若3PA=，:PD9:16DB=，则PD=___________；AB=___________.12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是___________.13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb（λ，μ∈R），则λμ=________.14.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，E为BC的中点，点P在线段1D E上.点P到直线1CC的距离的最小值为___________.4的正方形，平面ABC ⊥平面，并求1BDBC 的值.. 19.（本小题满分14分）已知A ，B ，C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点.（Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； （Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由.20.（本小题满分13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项1n a +，2n a +，…的最小值记为n B ，n n n d A B =-.（Ⅰ）若{}n a 为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列（即对任意*n N ∈，4n n a a +=），写出1d ，2d ，3d ，4d 的值； （Ⅱ）设d 是非负整数，证明：()1,2,3,n d d n =-=的充分必要条件是{}n a 是公差为d 的等差数列；（Ⅲ）证明：若12a =，1(1,2,3,)n d n ==，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】2|3A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，利用二次不等式的解法可得{|3B x x =>或}1x <-，易得{}|3AB x x =>．【提示】求出集合B ，然后直接求解A B ．【考点】集合间的基本运算． 2.【答案】D【解析】题目中0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的区域表示正方形区域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122π24π4224P ⨯-⨯-==⨯，故选D ．【提示】本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可． 【考点】不等式组，平面区域与几何概率． 3.【答案】B【解析】当0a =时，如果0b =，此时i 0a b +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果i a b +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到0a =，因此是必要条件，故选B ． 【提示】利用前后两者的因果关系,即可判断充要条件． 【考点】复数的概念，充分、必要条件． 4.【答案】C【解析】0,11,12,23,8k s k s k s k s ==⇒==⇒==⇒==，循环结束，输出的s 为8，故选C ． 【提示】列出循环过程中s 与k 的数值，不满足判断框的条件即可结束循环． 【考点】循环结构的程序框图． 5.【答案】A【解析】由切割线定理可知2CE CB CD =，在直角ABC △中90,ACB CD AB ∠=⊥，则由射影定理可知2CD AD DB =，所以CE CB AD DB =．数学试卷 第10页（共36页）【提示】由题中三角形和圆的位置关系，通过条件求解即可． 【考点】几何证明选讲． 6.【答案】B【解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析3种选择，之后二位，有2种选择，最后百位2种选择，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有一种选择，共6种，因此总共12618+=种，选B ．【提示】选择数字进行排列，判断奇偶性即可． 【考点】排列组合． 7.【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和．利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10,10,10,65S S S S ====后右底左，因此该几何体表面积3065S =+，故选B ．【提示】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可． 【考点】由三视图求几何体的表面积． 8.【答案】C【解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C ． 【提示】由已知中图像表示某棵果树前n 年的总产量S 与n 之间的关系，结合图像可得答案． 【考点】函数图像的应用．第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】2【解析】直线转化为1x y +=，曲线转化为圆229x y +=，圆心(0,0)到直线1x y +=的距离132d =<，所以有两个交点．【提示】将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论． 【考点】直线和圆的位置关系． 10.【答案】1 【解析】23S a =，所以111211212a a d a d d a a d ++=+⇒=⇒=+=．【提示】由{}n a 是等差数列23S a =，解得12d =，由此能求出2a ． 【考点】等差数列的通项． 11.【答案】4【解析】在△ABC 中，得用余弦定理22214()()47()cos 2444a c b c b c b c b B ac c c+-++-+-=⇒-==，化简得8740c b -+=，与题目条件7b c +=联立，可解得4,3b c ==，答案为4．【提示】根据27a b c =+=，，1cos 4B =-，利用余弦定理可得，即可求得b 的值 【考点】余弦定理的运用． 12.【答案】3【解析】由24y x =，可求得焦点坐标为(1,0)F ，因为倾斜角为60，所以直线的斜率为tan603k ==，利用点斜式，直线的方程为33y x =-，将直线和曲线方程联立233123(3,23),,334y x A B y x⎧⎛⎫=-⎪⇒- ⎪⎨ ⎪=⎪⎝⎭⎩，因此11123322OAF A S OF y =⨯⨯=⨯⨯=△． 【提示】确定直线l 的方程，代入抛物线方程，确定A 的坐标，从而可求OAF △的面积．． 【考点】抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系． 13.【答案】1【解析】根据平面向量的点乘公式cos DE CB DE DA DE DA θ==，可知cos DE DA θ=，所以21DE CB DA ==；||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα==，又因为cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DE DC 最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为||DC ，所以长度为1． 【提示】直接利用向量转化，求出数量积即可． 【考点】平面向量在平面几何中的运用． 14.【答案】(4,2)--【解析】对于①∵()22xg x =-，当1x <时，()0g x <，又∵①()0x R f x ∀∈<，或()0g x <∴()(2)(3)0f x m x m x m =-++<在1x ≥时恒成立，则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在(1,0)的左边，则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩，∴40m -<<，即①成立的范围为40m -<<，数学试卷 第16页（共36页）又∵②(,4)x ∈∞--，()()0f x g x <， ∴此时()220x g x =-<恒成立∴()(2)(3)0f x m x m x m =-++>在(,4)x ∈-∞-有成立的可能，则只要4-比12x x ，中的较小的根大即可，（i ）当10m -<<时，较小的根为3m --，34m --<-不成立， （ii ）当1m =-时，两个根同为24->-，不成立，（iii ）当41m -<<-时，较小的根为224m m <，-即2m <-成立． 综上可得①②成立时42m -<<-．【提示】①由于()220x g x =->时，1x ≥，根据题意有()(2)(3)0f x m x m x m =-++<在1x >时成立，根据二次函数的性质可求．②由于(,4)x ∈∞--，()()0f x g x <，而()220xg x =-<，则()(2)(3)0f x m x m x m =-++>在(,4)x ∈∞--时成立，结合二次函数的性质可求 【考点】指数函数的性质，二次函数的性质． 三、解答题15.【答案】（Ⅰ）{|π,}x x k k ≠∈Z π（Ⅱ）ππ,π8k k k ⎡⎫-+∈⎪⎢⎭⎣Z 和3ππ,π8k k k ⎛⎤+∈ ⎥⎦⎝Z 【解析】（Ⅰ）(sin cos )sin2()sin x x xf x x-=(sin cos )2sin cos sin x x x xx-=2(sin cos )cos x x x =-sin 21cos 2x x =--π2sin 214x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，{|π}x x k k ≠∈Z ,原函数的定义域为{|π,}x x k k ≠∈Z ，最小正周期为π；（Ⅱ）由πππ2π22π+,242k x k k -≤-≤∈Z ． 解得π3πππ,,88k x k k -≤≤+∈Z 又{|π,}x x k k ≠∈Z ，原函数的单调递增区间为ππ,π8k k k ⎡⎫-+∈⎪⎢⎭⎣Z ，3ππ,π8k k k ⎛⎤+∈ ⎥⎦⎝Z ． 【提示】（Ⅰ）直接求出函数的定义域和最小正周期．（Ⅱ）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可． 【考点】三角函数的定义域，周期，单调性． 16.【答案】（Ⅰ）证明CD DE ⊥，1A D DE ⊥，又1CDA D D =，∴DE ⊥平面1A CD ，又1AC ⊂平面1A CD ， ∴1AC ⊥DE ，又1AC CD ⊥，CD DE D =∴1AC ⊥平面BCDE ． （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系C xyz -，则(2,0,0)D -，1(00,23)A ,，(0,3,0)B ，(2,2,0)E -，(0,0,0)C ， ∴1(0,3,23)A B =-，1(2,2,23)A E =--，设平面1A BE 法向量为(,,)n x y z =，则1100A B n A E n ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴323022230y z x y z ⎧-=⎪⎨---=⎪⎩∴322z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴(1,2,3)n =-又∵(1,0,3)M -∴(1,0,3)CM =-∴1342cos 2||||14313222CM n CM n θ+====+++∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45数学试卷 第22页（共36页）（Ⅲ）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为(0,,0)a ，则[0,3]a ∈则1(0,,23)A P a =-，(2,,0)DP a =设平面1A DP 法向量为1111(,,)n x y z =，则111123020ay z x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴11113612z ay x ay⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴1111(,,)(3,6,3)n x y z a a ==-，假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直，则10n n =， ∴31230a a ++=，612a =-，2a =- ∵03a ≤≤，∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直．【提示】（Ⅰ）证明1A C ⊥平面BCDE ，因为1A C CD ⊥，只需证明1AC DE ⊥，即证明DE ⊥平面1A CD ． （Ⅱ）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面1A BE 法向量(1,2,3)n =-，(1,0,3)CM =-，利用向量的夹角公式，即可求得CM 与平面1A BE 所成角的大小；（Ⅲ）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为(0,,0)a ，则[0,3]a ∈，求出平面1A DP 法向量为1(3,6,3)n a a =-， 假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直，则10n n =，可求得03a ≤≤，从而可得结论．． 【考点】平面图形的折叠问题，立体几何．17.【答案】（Ⅰ）由题意可知，厨余垃圾600吨,投放到“厨余垃圾”箱400吨， 故生活垃圾投放错误的概率为：40026003= （Ⅱ）由题意可知，生活垃圾投放错误有200602020300+++=, 故生活垃圾投放错误的概率：20060403100010++=（Ⅲ）由题意可知：600a b c ++=，,,a b c 的平均数为200，222222211[(200)(200)(200)](120000)33S a b c a b c =-+-+-=++-，因此有当600a =，0b =，0c =时有280000S =．【提示】（Ⅰ）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率． （Ⅱ）生活垃圾投放错误有2006040300++=，故可求生活垃圾投放错误的概率．（Ⅲ）计算方差可得22221(120000)3S a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时，有280000S =． 【考点】概率，方差18.【答案】（Ⅰ）33a b =⎧⎨=⎩（Ⅱ）12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）由(1,)c 为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =，3()g x x bx =+，则2()=3g x x b '+，23k b =+，∴23a b =+①又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩．（Ⅱ）24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26ax =-；0a >，∴26a a-<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增 ①若12a -≤-，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126aa -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a -≥-时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 综上所述：当(02]a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-； 当(2,)a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【提示】（Ⅰ）根据曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a b ，的值．（Ⅱ）根据24a b =，构建函数3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++，求导函数，利用导数的正负，可确数学试卷 第28页（共36页）定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间(,1)-∞-上的最大值． 【考点】利用导数求函数单调区间及最值．19.【答案】（Ⅰ）原曲线方程可化简得：2218852x y m m +=--， 由题意可得：8852805802m m mm ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得：75.2m <<（Ⅱ）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)0k ∆->，解得：232k >．由韦达定理得：21621M N k x x k +=-+①，22421M Nx x k =+，② 设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(,1)G G x 则MB 方程为：62M Mkx y x x +=-，则3,16M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， ∴316M M x AG x k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,，(),2N N AN x x k =+，欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN 共线 即3(2)6MN N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+ 将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证． 【提示】（Ⅰ）原曲线方程，化为标准方程，利用C 是焦点在x 轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得m 的取值范围．（Ⅱ）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)0k ∆->，解得232k >设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(,1)G G x ，则MB 方程为：62M Mkx y x x +=-，则3,16M M x G kx ⎛⎫⎪+⎝⎭， 从而可得316M M x AG x k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,，(),2N N AN x x k =+，欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN 共线，利用韦达定理，可以证明．【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系．11 / 1220.【答案】（Ⅰ）0.7（Ⅱ）1（Ⅲ）212t t ++ 【解析】（Ⅰ）由题意可知1() 1.2r A =，2() 1.2r A =-，1() 1.1c A =，2()0.7c A =，3() 1.8c A =-∴()0.7k A =（Ⅱ）先用反证法证明()1k A ≤：若()1k A >，则1|()||1|11c A a a =+=+>，∴0a >同理可知0b >，∴0a b +>，由题目所有数和为0，即1a b c ++=-，∴11c a b =---<-与题目条件矛盾∴()1k A ≤．易知当0a b ==时，()1k A =存在∴()k A 的最大值为1．（Ⅲ）()k A 的最大值为212t t ++． 首先构造满足21()2t k A t +=+的,{}(1,2,1,2,...,21)i j A a i j t ===+： 1,11,21,1,11,21,211...1,...2t t t t t a a a a a a t +++-========-+，22,12,22,2,12,22,211...,...1(2)t t t t t t a a a a a a t t +++++========-+． 经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且1221|()||()|2t r A r A t +==+，2121121|()||()|...|()|11(2)22t t t t t c A c A c A t t t t ++++====+>+>+++，1221121|()||()|...|()|122t t t t t c A c A c A t t +++-+====+=++． 下面证明212t t ++是最大值． 若不然，则存在一个数表(2,21)A S t ∈+，使得21()2t k A x t +=>+． 由()k A 的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[,2]x 中． 由于1x >，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于1x -．设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g h <，则1g t h t ≤≥+，． 另外，由对称数学试卷 第34页（共36页）数学试卷 第35页（共36页） 数学试卷 第36页（共36页） 性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负．考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于1t +个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于1x -（即每个负数均不超过1x -）． 因此11|()|()1(1)(1)21(1)[21(2)]r A r A t t x t t x x t t x x =≤++-=+-+=++-+<，故A 的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾．因此()k A 的最大值为212t t ++ 【提示】（Ⅰ）由题意可知1() 1.2r A =，2() 1.2r A =-，1() 1.1c A =，2()0.7c A =，3() 1.8c A =-，其中的最小值，即可求出所求．（Ⅱ）先用反证法证明()1k A ≤，然后证明()1k A =存在即可．（Ⅲ）首先构造满足21()2t k A t +=+的,{}(1,2,1,2,...,21)i j A a i j t ===+，然后证明212t t ++是最大值即可． 【考点】合情推理．。
2012年北京(理科)高考数学试题与答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试数 学 (理) (北京卷)本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{320}A x x =∈+>R ，{(1)(3)0}B x x x =∈+->R ，则A B =I（2）设不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（3）设a ，b ∈R ．“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（5）如图，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆与交BC 于点E ．则（A ）(,1)-∞-（B ）2(1,)3--（C ）2(,3)3-（D ）(3,)+∞（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π- （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16S=S ∙2kk=k+1k=0, S=1k <3是否输出S结束开始C（6）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 （8）某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的 年平均产量最高，m 的值为第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（A ）CE CB AD DB ⋅=⋅ （B ）CE CB AD AB ⋅=⋅ （C ）2AD AB CD ⋅= （D ）2CE EB CD ⋅=（A ）24 （B ）18（C ）12（D ）6（A ）2865+（B ）3065+（C ）56125+（D ）60125+（A ）5（B ）7 （C ）9（D ）11俯视图侧（左）视图正（主）视图4324S nn4321567891011O（9）直线2(1x t t y t =+⎧⎨=--⎩为参数)与曲线3cos (3sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数)的交点个数为 ．（10）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则2a = ． （11）在ABC ∆中，若2a =，7bc +=，1cos 4B =-，则b = ． （12）在直角坐标系xoy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A 、B两点，其中，A 点在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60︒，则OAF ∆的面积为 ．（13）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅uuu r uu r的值为 ．（14）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22xg x =-．若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <； ②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=．（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间．（16）（本小题共14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且DE //BC ，2DE =，将A D E ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A C CD ⊥，如图2．（Ⅰ）求证：1AC ⊥平面BCDE ； （Ⅱ）若M 是1A D 的中点，求CM 与平面1A BE 所成角的大小； （Ⅲ）线段BC 上是否存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由．（17）（本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其 他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取 了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱厨余垃圾 400100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾20 20 60（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，a b c ++=600．当数据,,a b c 的方差2s 最大时，写出,,a b c的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值． （注：222121[()()s x x x x n=-+-+…2()]n x x +-，其中x 为数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数）（18）（本小题共13分）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+．（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值； （Ⅱ）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(]1-- ∞上的最大值．（19）（本小题共14分）已知曲线C ：22(5)(2)8m x m y -+-=()m ∈R ． （Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A 、B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M 、N ，直线1y =与直线BM 交于点G ． 求证：,,A G N 三点共线．（20）（本小题共13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零．记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S m n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之和(1≤i ≤)m ，()j c A 为A 的第j 列各数之和(1≤j ≤)n ．记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，…，|()|m r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，…，|()|n c A 中的最小值．（Ⅰ）对如下数表A ，求()k A 的值；1 1 0.8- 0.10.3- 1-（Ⅱ）设数表(2,3)A S ∈形如1 1 C ab 1-求()k A 的最大值；（Ⅲ）给定正整数t ，对于所有的(2,21)A S t ∈+，求()k A 的最大值．2012高考北京数学真题答案及简析一、选择题题号1 23 4 5 6 7 8 答案D DBCABBC二、填空题题号9 10 11 12 13 14答案 21；24n n +431；1()42--，三、解答题 15．解：(sin cos )sin 2(sin cos )2sin cos ()2(sin cos )cos sin sin x x x x x x x f x x x x x x--===-{}πsin 21cos 22sin 21|π4x x x x x k k ⎛⎫=-+=--≠∈ ⎪⎝⎭Z ，，（1）原函数的定义域为{}|πx x k k ≠∈Z ，，最小正周期为π．（2）原函数的单调递增区间为πππ8k k ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，k ∈Z ，3πππ8k k ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，k ∈Z16．解：（1） CD DE ⊥，1A E DE ⊥∴DE ⊥平面1A CD ， 又 1A C ⊂平面1A CD ， ∴1A C ⊥DE又1A C CD ⊥，∴1A C ⊥平面BCDE（2）如图建系C xyz -，则()200D -，，，()0023A ，，，()030B ，，，()220E -，，∴()10323A B =-，，,()1210A E =-- ，，设平面1A BE 法向量为()n x y z =，，则1100A B n A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴323020y z x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩∴322z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴()123n =-，， 又∵()103M -，， ∴()103CM =-，，∴1342cos 2||||14313222CM n CM n θ⋅+====⋅++⋅+⋅∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为()00a ，，，则[]03a ∈，则()1023A P a =-，，，()20DP a = ，，设平面1A DP 法向量为()1111n x y z =，，则111123020ay z x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴11113612z ay x ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()1363n a a =-，，zy x A 1 (0,0,23)D (-2,0,0)E (-2,2,0)B (0,3,0)C (0,0,0)M假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直 则10n n ⋅=，∴31230a a ++=，612a =-，2a =- ∵03a <<∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直17．（1）由题意可知：4002=6003 （2）由题意可知：200+60+403=100010（3）由题意可知：22221(120000)3s a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时，有280000s =． 18．解：（1）由()1c ，为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =， 3()g x x bx =+，则2()=3f x x b '+，23k b =+，∴23a b =+⎺又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩． （2） 24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26ax =-；0a >，∴26a a-<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增 ①若12a--≤，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a --≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．综上所述：当(]02a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-；当()2,a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．19．（1）原曲线方程可化简得：2218852x y m m +=--由题意可得：8852805802m m mm ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得：752m <<（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)k ∆-，解得：232k >由韦达定理得：21621M N k x x k +=+①，22421M Nx x k =+，② 设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(1)G G x ， MB 方程为：62M M kx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫⎪+⎝⎭，， ∴316M M x AG x k ⎛⎫=-⎪+⎝⎭ ，，()2N N AN x x k =+，， 欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN共线即3(2)6MN N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证。
2012年理数高考试题答案及解析-上海
2012 上海高考数学试题（理科）答案与分析一．填空题3-i1 ．计算：1+i =（ i 为虚数单位） .【答案】 1-2i【分析】 3-i = (3-i)(1-i)=2-4i=1-2i .1+i (1+i)(1-i)2【评论】 此题侧重考察复数的除法运算，第一，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可 .2 ．若会集 A { x | 2x 1 0} ， B { x || x1| 2}，则 AB.【答案】1,32【分析】 依据会集 A2 x 1 0 ，解得 x1 2,获得, 1x 3 ，所以，由 x 12A B1,3 .2【评论】 此题考察会集的观点和性质的运用，同时考察了一元一次不等式和绝对值不等式的解法 .解决此类问题，第一分清会集的元素的构成，而后，借助于数轴或韦恩图解决 .3 ．函数 f ( x)2cos x.sin x的值域是1【答案】5 32,2【分析】根 据题目 f ( x)sin x cos x 21sin 2x 2 ，由于 1sin 2x 1，所以5 f ( x) 3 .22 2【评论】 此题主要考察队列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于简单题，难度较小 .考纲中明确要求掌握二阶队列式的运算性质.4 ．若 n( 2,1) 是直线 l 的一个法向量，则 l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示） .【答案】 arctan2【分析】 设直线的倾斜角为，则 tan 2, arctan 2.【评论】 此题主要考察直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示 .直线的倾斜角的取值状况必定要注意，属于低档题，难度较小.5 ．在 ( x2) 6 的二项睁开式中，常数项等于.x【答案】160【分析】依据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是T4 C 63 x3 (2)3160 .x【评论】此题主要考察二项式定理.对于二项式的睁开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题 .6 ．有一列正方体，棱长构成以1为首项、1为公比的等比数列，体积分别记为V1， V2，， V n，，则2lim (V1V2V n ). n【答案】87 1为公比的等比数列，可知它们的体积则构成了一个以 1 为首项，1【分析】由正方体的棱长构成以1为首项，28为公比的等比数列，所以，lim (V1V2V n )18.17n18【评论】此题主要考察无量递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考察知识较综合 .7．已知函数f (x) e. f ( x)在区间[1,)上是增函数，则 a 的取值范围是.|x a | （ a 为常数）若【答案】,1【分析】依据函数 f ( x) e x a e x a , x a看出当 x a 时函数增函数，而已知函数 f (x) 在区间 1,上为e x a , x a增函数，所以 a 的取值范围为：,1 .【评论】此题主要考察指数函数单一性，复合函数的单一性的判断，分类议论在求解数学识题中的运用.此题容易产生增根，要注意弃取，切勿任意办理，致使不用要的错误.此题属于中低档题目，难度适中.8 ．若一个圆锥的侧面睁开图是面积为 2 的半圆面，则该圆锥的体积为.【答案】33【分析】依据该圆锥的底面圆的半径为r ，母线长为l ，依据条件获得 1 l22，解得母线长l 2 ，22 rl2, r 1所以该圆锥的体积为：V圆锥1Sh122123.333【评论】此题主要考察空间几何体的体积公式和侧面睁开图.审清题意，所求的为体积，不是其余的量，分清图形在睁开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题.9 ．已知y f ( x) x2是奇函数，且 f (1) 1 ，若 g( x) f ( x) 2 ，则 g (1).【答案】1【解析】因为函数y f ( x) x2为奇函数，所以g(1) f (1) 2, 又 f (1) 1, 所以， g(1)3,f ( 1)3, g(1) f (1)2 3 2 1 . f ( 1)f (1).【评论】此题主要考查函数的奇偶性 . 在运用此性质解题时要注意：函数y f ( x) 为奇函数，所以有f ( x) f (x) 这个条件的运用，平常要增强这方面的训练，此题属于中档题，难度适中.10．如图，在极坐标系中，过点M (2,0) 的直线l与极轴的夹角，6若将 l 的极坐标方程写成 f () 的形式，则 f ( ).【答案】1sin()6【分析】依据该直线过点M (2,0) ，能够直接写出代数形式的方程为：y 1( x2)，将此化成极坐标系下的参2数方程即可，化简得 f ()1. sin()6【评论】此题主要考察极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所波及，题目种类以小题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可 .对于不常有的曲线的参数方程不作要求 .此题属于中档题，难度适中 . 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的竞赛，若每人都选择此中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完整同样的概率是（结果用最简分数表示）.【答案】2 3【分析】一共有 27 种取法，此中有且只有两个人选择同样的项目的取法共有18 种，所以依据古典概型获得此种2状况下的概率为.3【评论】此题主要考察摆列组合概率问题、古典概型.要分清基本领件数和基本领件总数.此题属于中档题. 12．在平行四边形ABCD 中，A，边 AB 、 AD 的长分别为2、1，若 M 、 N 分别是边 BC 、 CD 上的3点，且知足| BM ||CN |，则AM AN 的取值范围是.|BC||CD |【答案】 2,5【分析】以向量 AB 所在直线为x 轴，以向量AD所在直线为y 轴成立平面直角坐标系，如下图，由于AB 2, AD1，所以A(0,0), B(2,0), C (5,1)D (1,1).设22N ( x,1)(1x5), 则BM1CN, CN5- x , BM5-1x , M (251x,(51x)sin).依据题22224284423意，有 AN( x,1), AM ( 21x , 5 3 23x) .8 4 8所以 AMAN x(21x )5 38 2 3x 1 x5 ，所以 2 AM AN 5.8 422642105246DNCMA B510【评论】 此题主要考察平面向量的基本运算、观点、平面向量的数目积的运算律 .做题时，要确实注意条件的运用 .此题属于中档题，难度适中 .13．已知函数 yf ( x) 的图象是折线段 ABC ，此中 A(0,0) 、 B(1,5) 、 C(1,0) ，2函数 y xf ( x) （ 0 x 1 ）的图象与 x 轴围成的图形的面积为.【答案】5410 x,0 x110x 2 ,0x1 【分析】 依据题意获得，f ( x)2进而获得 y xf ( x)2所以围成1110 x 10,x 110 x 2 10x, x 1221155的面积为 S210xdx10x)dx1( 10x2，所以围成的图形的面积为 .24 4【评论】 此题主要考察函数的图象与性质，函数的分析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用 .突出体现数形联合思想， 此题综合性较强， 需要较强的剖析问题和解决问题的能力， 在此后的练习中增强这方面的训练，此题属于中高档试题，难度较大.14．如图， AD 与 BC 是四周体 ABCD 中相互垂直的棱， BC 2，若 AD 2c ，且 AB BD ACCD 2a ，此中 a 、 c 为常数，则四周体ABCD 的体积的最大值是.【答案】 2c a 2 c 213【分析】 据题 AB BD AC CD 2a ，也就是说，线段 AB BD 与线段 AC CD 的长度是定值，由于棱AD 与棱 BC 相互垂直，当BC平面 ABD 时，此时有最大值，此时最大值为： 2 c a2 c 2 1 .3【评论】此题主要考察空间四周体的体积公式、空间中点线面的关系.此题主要考虑依据已知条件结构体积表达式，这是解决问题的要点，此题综合性强，运算量较大.属于中高档试题.二、选择题（20 分）15．若12i是对于x 的实系数方程 x2bx c 0 的一个复数根，则（）A．b2, c3B．b2,c3C．b2, c1D．b 2, c1【答案】B【分析】依据实系数方程的根的特色12i 也是该方程的另一个根，所以12i12i 2 b ，即b2，(12i )(12i ) 3 c ，故答案选择 B.【评论】此题主要考察实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，侧重对基本知识和基本技巧的考察，复习时要特别注意.16．在ABC中，若sin2A sin 2 B sin 2 C ，则ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不可以确立【答案】 C【分析】由正弦定理，得a sin A,b sin B, csinC, 代入获得a2b2c2，2R2R2R由余弦定理的推理得 cosC a2b2c20 ，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形.应选择 A.2ab【评论】此题主要考察正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住处给式子的结构来选择定理，假如出现了角度的正弦值就选择正弦定理，假如出现角度的余弦值就选择余弦定理.此题属于中档题 .17．设10 x1x2x3x4 104， x510 5，随机变量1取值 x1、 x2、 x3、 x4、 x5的概率均为0.2，随机变量2取值x1x2 、x2x3 、x3x4 、x4x5 、x5x1的概率也均为 0.2 ，若记D1、D2分别为1、2的22222方差，则（）A．D1C．D1【答案】A DD2B．D1D2D．D1与D22的大小关系与x1、 x2、 x3、 x4的取值相关【分析】由随机变量1 , 2的取值情况，它们的平均数分别为： x11(x1 x2 x3 x4 x5 ), ，51x1x2x2 x3x3 x4x4 x5x5x1x1, x222222 5且随机变量 1 ,2 的概率都为0.2 ，所以有D1＞D2.应选择A.【评论】此题主要考察失散型随机变量的希望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，此题属于中档题 .18．设a n 1n， S n a1a2a n，在S1 , S2 , , S100nsin中，正数的个数是（）25A． 25B． 50C．75D． 100【答案】 C【分析】依照正弦函数的周期性，能够找此中等于零或许小于零的项.【评论】此题主要考察正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发能够看出来相邻的 14 项的和为0，这就是规律，考察综合剖析问题和解决问题的能力.三、解答题（74 分）：19．（ 6+6=12 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA 底面 ABCD ， E 是 PC 的中点，已知 AB 2，AD 2 2，PA 2 ，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小 .【答案及分析】所以三角形PCD的面积为12 23 2 3 ................6分2【评论】此题主要考察直线与直线、直线与平面的地点关系，考察空间想象能力和推理论证能力．综合考察空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考察空间几何体的体积公式的运用.此题源于《必修 2》立体几何章节复习题，复习时应侧重课本，简单出现找错角的状况，要考虑全面，考察空间想象能力，属于中档题．20．（ 6+8=14 分）已知函数f (x) lg( x1) ．（ 1）若0 f (1 2 x) f ( x) 1 ，求 x 的取值范围；（ 2）若g ( x)是以 2 为周期的偶函数，且当0 x 1 时，有g( x) f ( x) ，求函数 y g (x) （ x[1,2] ）的反函数 .【答案及分析】2 1，x3 3【评论】此题主要考察函数的观点、性质、分段函数等基础知识．考察数形联合思想，娴熟掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题．21．（6+8=14 分）海事营救船对一艘出事船进行定位：以出事船的目前地点为原点，以正北方向为 y 轴正方向成立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度），则营救船恰幸亏出事船正南方向 12 海里A处，如图．现假定：①出事船的挪动路径可视为抛物线y12 x 2；②定49位后营救船马上沿直线匀速前去营救；③营救船出发t 小时后，出事船所在地点的横坐标为7t ．（ 1）当t0.5 时，写出出事船所在地点P 的纵坐标．若此时两船恰巧会集，求营救船速度的大小和方向；（ 2）问营救船的时速起码是多少海里才能追上出事船？22．（ 4+6+6=16 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C1： 2x2y 21．（ 1）过C1的左极点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积；（ 2）设斜率为 1 的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2y 21相切，求证：OP OQ ；（ 3）设椭圆C2：4 x2y21，若M、N分别是 C1、 C2上的动点，且OM ON ，求证： O 到直线 MN 的距离是定值 .【答案及分析】过点 A 与渐近线y2x 平行的直线方程为y 2 x 2,即 y2x 1. 2ON 1，OM2, 则O到直线MN的距离为 3 .23设 O 到直线 MN 的距离为 d .【评论】此题主要考察双曲线的观点、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质 .特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线中间，最特别的为等轴双曲线，它的离心率为 2 ，它的渐近线为 y x ，而且相互垂直，这些性质的运用能够大大节俭解题时间，此题属于中档题．23 ．（ 4+6+8=18 分）对于数集X { 1， x1， x2，， x n } ，此中 0 x1x2x n，n 2 ，定义向量集Y { a | a (s,t), s X , t X } ，若对任意 a1Y ，存在 a2Y ，使得 a1 a20，则称 X 拥有性质 P ．例如 { 1,1,2} 拥有性质P．（ 1）若x 2 ，且{ 1,1,2, x}拥有性质 P ，求x的值；（ 2）若X拥有性质P，求证：1X ，且当x n1时， x11；（ 3）若X拥有性质P，且x11、 x2q （q为常数），求有穷数列x1， x2，， x n的通项公式.【答案及分析】必有形式 ( 1, b)明显有 a2知足 a1a20【评论】此题主要考察数集、会集的基天性质、元素与会集的关系等基础知识，此题属于信息赐予题，经过定义“X 拥有性质 P ”这一观点，考察考生剖析研究及推理论证的能力．综合考察会集的基本运算，会集问题向来是近几年的命题要点内容，应惹起足够的重视．。
2012年高考数学试题解析 分项版之专题14 复数 推理与证明 学生版 文
2012年高考数学试题解析分项版之专题14 复数推理与证明学生版文一、选择题:4.(2012年高考广东卷文科1)设i为虚数单位，则复数34ii+=（）A -4-3iB -4+3iC 4+3iD 4-3i5.(2012年高考天津卷文科1)i是虚数单位，复数534ii+-=（）（A）1-i （B）-1+I （C）1+I （D）-1-i6．(2012年高考北京卷文科2)在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为（）A．(1 ,3)B．(3,1) C．(-1,3) D．(3 ,-1)10. (2012年高考福建卷文科1)复数（2+i）2等于（）A.3+4iB.5+4iC.3+2iD.5+2i11.(2012年高考全国卷文科12)正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，13AE BF==。
动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）（A ）8 （B ）6 （C ）4 （D ）312. (2012年高考上海卷文科15)若1i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2,3b c == B.2,1b c ==- C.2,1b c =-=- D.2,3b c =-=15. (2012年高考江西卷文科5)观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y ）的个数为4 ， |x|+|y|=2的不同整数解（x,y ）的个数为8， |x|+|y|=3的不同整数解（x,y ）的个数为12 ….则|x|+|y|=20的不同整数解（x ，y ）的个数为（ ）A.76B.80C.86D.9216. (2012年高考上海卷文科18)若2sin sin ...sin 777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A ．16 B.72 C.86 D.100二、填空题:20. (2012年高考湖北卷文科17)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。
2012辽宁省NOI选拔赛试题
A．僵尸篮球赛僵尸们在一波又一波的进攻后决定修整一下，组队进行一个篮球联赛。
他们组成n个队后进行主客场双循环比赛。
现在他们已经进行了一些比赛，比赛结果用1个n*n的矩阵来表示，第i行第j列表示第i支队伍在主场与第j支队伍的比赛结果，W为主队胜，L为主队败，？为还没进行比赛。
现在请你算出当所有比赛进行完后排名第一的队伍（允许并列第一）最少要胜多少场比赛。
自己跟自己比赛用X（表示不能比赛）【输入】输入文件data1.in第一行输入一个整数n，表示有n支队伍，下面输入一个n*n的矩阵，表示已经进行的比赛的结果，没进行的比赛用？表示。
【输出】输出文件data1.out每个样例输出一个整数，表示所有比赛进行完后排名第一的队伍最少要胜多少场比赛。
【样例输入】2xW？x【样例输出】1【大致数据范围】100%数据2<=n<=5B．豌豆射手与僵尸一株植物如何才能在快速生长和射击豌豆方面如此突出？豌豆射手说：“勤奋工作、承担责任，以及一份健康的早餐：阳光与高纤维二氧化碳的合理搭配，这就是我的秘诀。
”一个豌豆射手可以在一个单位时间内积攒的阳光值为1。
豌豆射手在射击豌豆时候也会消耗一定的阳光值，假设为C。
当剩余的阳光值小于C的时候，豌豆射手将不能够射击豌豆。
由于每天不同时段的二氧化碳的浓度不同，射击豌豆的威力也会根据时间有所不同，亦即在不同的时间射击会对僵尸造成不同的伤害值。
现在给出豌豆在T时间中的每个单位时间对僵尸的伤害情况，每个单位时间内只可以射击一次，请求出在T时间内，该豌豆射手对僵尸可以造成的最大伤害。
【输入】输入文件data2.in输入包含3行数据。
第一行为一个整数T，表示某一段时间包含T个单位时间。
第二行为一个整数，豌豆消耗的阳光值C。
第三行为T个整数a[1]~a[T],其中a[i]代表第i个单位时间射击豌豆对僵尸造成的伤害值。
【输出】输出文件data2.out对于每组数据，输出一个整数，代表在T时间内豌豆射手可以对僵尸造成的最大伤害值。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学真题(上海卷)试题及点评
【解读报告作者】姓 名：邵红能工作单位：上海市城市科技学校2012年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（理工农医类）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．计算：=+-ii13 （i 为虚数单位）.2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A .3．函数1sin cos 2)(-= x x x f 的值域是 .4．若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 .6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为 ，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .7．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）．若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 .8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 .9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g .10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=，若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.12．在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD BC =⋅的取值范围是 .13．已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ， 函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 .14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=， 且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）A ．3,2==c b .B ．3,2=-=c b .C ．1,2-=-=c b .D ．1,2-==c b .16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形.B ．直角三角形.C ．钝角三角形.D ．不能确定.17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（ ）A ．21ξξD D >.B ．21ξξD D =.C ．21ξξD D <. D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关.18．设25sin1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．25. B ．50. C ．75. D ．100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求： （1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数)1lg()(+=x x f ．（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =（]2,1[∈x ）的反函数.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7． （1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求 救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：1222=-y x ．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OQ OP ⊥；（3）设椭圆2C ：1422=+y x ，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且ON OM ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分8分.对于数集}1{21n x x x X ，，，， -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s Y ∈∈==，若对任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X 具有性质P ．例如}2,1,1{-具有性质P ．（1）若2>x ，且},2,1,1{x -具有性质P ，求x 的值；（2）若X 具有性质P ，求证：X ∈1，且当1>n x 时，11=x ；（3）若X 具有性质P ，且11=x 、q x =2（q 为常数），求有穷数列n x x x ，，， 21的通项公式.2012年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（理工农医类）答案要点及解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．计算：=+-ii13 （i 为虚数单位）. 【解析】复数i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(3(13-=-=-+--=+-. 故答案为i 21-.2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A .【解析】集合}21{}012{->=>+=x x x x A ，}31{}21{<<-=<-=x x x x B ，所以}321{<<-=x x B A ，即)3,21(-. 故答案为)3,21(-. 3．函数1sin cos 2)(-= x xx f 的值域是 .【解析】函数x x x x f 2sin 212cos sin 2)(--=--=，因为12sin 1≤≤-x ，所以212sin 2121≤-≤-x ，232sin 21225-≤--≤-x ，即函数)(x f 的值域为]23,25[--. 故答案为]23,25[--.4．若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【解析】 设倾斜角为α，由题意可知，直线的一个方向向量为（1,2），则2tan =α， ∴α=2arctan . 故答案为2arctan .5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 . 【解析】二项展开式的通项为k kk k k kk x C xx C T )2()2(26666661-=-=----+，令026=-k ，得3=k ，所以常数项为160)2(3364-=-=C T .故答案为160-.6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为 ，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，81为公比的等比数列， ∴1V +2V +…+n V =811811--n =)811(78n -，∴=+++∞→)(lim 21n n V V V 78. 故答案为78.7．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）．若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 .【解析】令a x t -=，则a x t -=在区间),[+∞a 上单调递增，而te y =为增函数，所以要是函数ax e x f -=)(在),1[+∞单调递增，则有1≤a ，所以a 的取值范围是]1,(-∞.故答案为]1,(-∞.8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 .【解析】因为半圆面的面积为ππ2212=l ，所以42=l ，即2=l ，即圆锥的母线为2=l ，底面圆的周长πππ22==l r ，所以圆锥的底面半径1=r ，所以圆锥的高322=-=r l h ，所以圆锥的体积为πππ33331313=⨯=h r . 故答案为π33. 9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g . 【解析】因为2)(x x f y +=为奇函数，所以22)()(x x f x x f --=+-，所以22)()(x x f x f --=-，32)1()1(=+=f g ，所以1)1(22)1(2)1()1(-=-=+--=+-=-f f f g . 故答案为1-.10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=， 若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .【解析】设直线上的任一点为P ),(θρ,因为6π=∠PAB ,所以θπ-=∠6OPA , 根据正弦定理得OPAOAOAP OP ∠=∠sin sin , 即)6sin(2)6sin(θπππρ-=-，即)6sin(1)6sin(6sin2θπθππρ-=-=．故答案为)6sin(1θπρ-=.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有27232323=C C C 中，若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有18122323=C C C ，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为322718=. 故答案为32. 12．在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||CD CN BC BM =，则AN AM ⋅的取值范围是 .【解析】设CDCN BCBM==λ（0≤λ≤1），则BM λ==λ,)1(λ-==)1(λ-，则AN AM ⋅=))((DN AD BM AB ++=])1()[(λλ-++ =⋅+2)1(λ-+2λ+⋅-)1(λ, 又∵⋅=2×1×3cosπ=1，2=4，2=1，∴AM ⋅=6)1(5222++-=+--λλλ，∵0≤λ≤1，∴2≤AM ⋅≤5，即⋅的取值范围是[2,5]. 故答案为[2,5].13．已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ， 函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 .【解析】当210≤≤x ，线段AB 的方程为x y 10=，当121≤<x 时． 线段BC 方程为121150--=--x y ， 整理得1010+-=x y ，即函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤==121,1010210,10)(x x x x x f y ， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤==121,1010210,10)(22x x x x x x xf y ，函数与x 轴围成的图形面积为dx x x dx x )1010(102121212+-=+⎰⎰12123213)5310(310x x x +-+=45=. 故答案为45. 14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=，且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最 大值是 ．【解析】过点A 做AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，由AD ⊥BC 可知，BC ⊥平面ADE ， 所以BC S V V V ADE ADE C ADE B ⋅=+=--31=ADE S 32， 当AB=BD=AC=DC=a 时，四面体ABCD 的体积最大.过E 做EF ⊥DA ，垂足为点F ，已知EA=ED ，所以△ADE 为等腰三角形，所以点E 为AD 的中点，又12222-=-=a BE AB AE ，∴EF=12222--=-c a AF AE ，∴ADE S =EF AD ⋅21=122--c a c ， ∴四面体ABCD 体积的最大值=max V ADE S 32=13222--c a c .故答案为13222--c a c .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）A ．3,2==c b B ．3,2=-=c b C ．1,2-=-=c b D ．1,2-==c b 【解析】因为i 21+是实系数方程的一个复数根，所以i 21-也是方程的根，则b i i -==-++22121，c i i ==-+3)21)(21(，所以解得2-=b ，3=c ．故答案选B ．16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 【解析】根据正弦定理可知由C B A 222sin sin sin <+,可知222c b a <+，在三角形中02cos 222<-+=abc b a C ，所以C 为钝角，三角形为钝角三角形．故答案选C ．17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（ ）A ．21ξξD D >B ．21ξξD D =C ．21ξξD D < D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关 【解析】由题意可知21ξξE E =，又由题意可知，1ξ的波动性较大，从而有21ξξD D >. 注意：本题也可利用特殊值法． 故答案选A ． 18．设25sin1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．25 B ．50 C ．75 D ．100【解析】当1≤n ≤24时，n a ＞0，当26≤n ≤49时，n a ＜0，但其绝对值要小于1≤n ≤24时相应的值，当51≤n ≤74时，n a ＞0，当76≤n ≤99时，n a ＜0，但其绝对值要小于51≤n ≤74时相应的值，∴当1≤n ≤100时，均有n S ＞0． 故答案选D ．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求： （1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.【解析】（1）∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥CD ， 又∵CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥PD ， 又∵32)22(222=+=PD ，CD=2，∴△PCD 的面积为3232221=⨯⨯． （2）解法一：取PB 的中点F ，连接EF,AF, 则EF ∥BC ，∴∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与AE 所成的角．在△ADF 中，EF=2、AF=2,AE=2， ∴△AEF 是等腰直角三角形， ∴∠AEF=4π， ∴异面直线BC 与AE 所成的角大小为4π． 解法二：如图所示，建立空间直角坐标系， 则B(2,0,0),C(2，22,0),E(1，2,1)，∴AE =(1，2,1)，BC =(0,22,0), 设AE 与BC 的夹角为θ，则ACAE AC AE =θcos =222224=⨯,, 又∵0＜θ≤2π，∴θ=4π．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数)1lg()(+=x x f ．（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =（]2,1[∈x ）的反函数．【解析】（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x .因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . （2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==.由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为yx 103-=，所以所求反函数是xy 103-=，]2lg ,0[∈x ．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7． （1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求 救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【解析】（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912x y =中，得P 的纵坐标y P =3. 由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时.由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度.（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v . 因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：1222=-y x ．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OQ OP ⊥；（3）设椭圆2C ：1422=+y x ，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且ON OM ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值．【解析】（1）双曲线1:21212=-y C x ，左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过点A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为)(222+=x y ，即12+=x y . 解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x .所以所求三角形的面积1为8221||||==y OA S .（2）设直线PQ 的方程是b x y +=.因直线与已知圆相切， 故12||=b ，即22=b .由⎩⎨⎧=-+=1222y x b x y ，得01222=---b bx x . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎩⎨⎧--==+1222121b x x bx x .（lb ylfx ） 又2，所以221212121)(2b x x b x x y y x x OQ OP +++=+=⋅022)1(2222=-=+⋅+--=b b b b b ，故OP ⊥OQ .（3）当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |=1，|OM |=22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为kx y =（显然22||>k ），则直线OM 的方程为x y k1-=. 由⎩⎨⎧=+=1422y x kx y ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k k ON ++=.同理121222||-+=k k OM . 设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+， 所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d =33.综上，O 到直线MN 的距离是定值.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分8分.对于数集}1{21n x x x X ，，，， -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==，若对任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X 具有性质P ．例如}2,1,1{-具有性质P ．（1）若2>x ，且},2,1,1{x -具有性质P ，求x 的值；（2）若X 具有性质P ，求证：X ∈1，且当1>n x 时，11=x ；（3）若X 具有性质P ，且11=x 、q x =2（q 为常数），求有穷数列n x x x ，，， 21的通项公式.【解析】（1）选取)2,(1x a =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -，所以x =2b ，从而x =4. （2）证明：取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a .由0)(1=+x t s 得0=+t s ，所以s 、t 异号.因为-1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为-1，另一为1，故1∈X .假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101.选取Y x x a n ∈=),(11，并设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a ，即01=+n tx sx ，则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1.若s =-1，则2，矛盾；若t =-1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾.所以x 1=1．（3）[解法一]猜测1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .记},,,1,1{2k k x x A -=，k =2, 3, …, n .先证明：若1+k A 具有性质P ，则k A 也具有性质P.任取),(1t s a =，s 、t ∈k A .当s 、t 中出现-1时，显然有2a 满足021=⋅a a ；当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1.因为1+k A 具有性质P ，所以有),(112t s a =，1s 、1t ∈1+k A ，使得021=⋅a a ，从而1s 和1t 中有一个是-1，不妨设1s =-1. 假设1t ∈1+k A 且1t ∉k A ，则11+=k x t .由0),1(),(1=-⋅+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与s ∈k A 矛盾.所以1t ∈k A .从而k A 也具有性质P.现用数学归纳法证明：1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .当n =2时，结论显然成立；假设n=k 时，},,,1,1{2k k x x A -=有性质P ，则1-=i i q x ，i =1, 2, …, k ；当n=k +1时，若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A 有性质P ，则},,,1,1{2k k x x A -=也有性质P ，所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A .取),(11q x a k +=，并设),(2t s a =满足021=⋅a a ，即01=++qt s x k .由此可得s 与t中有且只有一个为-1.若1-=t ，则1，不可能；所以1-=s ，kk k q q q qt x =⋅≤=-+11，又11-+>k k q x ，所以k k q x =+1.综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .[解法二]设),(111t s a =，),(222t s a =，则021=⋅a a 等价于2211st t s -=.记|}|||,,|{t s X t X s B ts >∈∈=，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于原点对称. 注意到-1是X 中的唯一负数，},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ 共有n -1个数，所以),0(∞+ B 也只有n -1个数.由于1221x x x x x x x x n n n n n n<<<<-- ，已有n -1个数，对以下三角数阵1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<--113121x x x x x x n n n n n -----<<<……12x x注意到,12111x x x x x x n n >>>- 所以,12211x x x x x x n n n n ===--- 从而数列的通项公式为n k q xx x x k k k ,,2,1,11121 ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--.2012年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（文史类）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、计算：31ii-=+ （i 为虚数单位）2、若集合{}210A x x =->，{}1B x x =<，则A B ⋂＝3、函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是4、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）5、一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为6、方程14230xx +--=的解是7、有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++=8、在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于9、已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -=10、满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）12、在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是13、已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为14、已知1()1f x x =+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=， 若20102012a a =，则2011a a +的值是二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、若1+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A 、2,3b c ==B 、2,1b c ==-C 、2,1b c =-=-D 、2,3b c =-=16、对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件17、在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定18、若2sin sin (i)777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A 、16B 、72C 、86D 、100三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝2π，2AB =，23AC =，2PA =，求：（1）三棱锥P ABC -的体积（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知()lg(1)f x x =+（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =（[]1,2x ∈）的反函数21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:21C x y -=（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，若MF =M 的坐标； （2）过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为k （k <）的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP ⊥OQ .23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5.（1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a （2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：k k b a =（1,2,...,k m =）（3）设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-.2012年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（文史类）答案要点及解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、计算：31ii-=+ （i 为虚数单位） 【解析】复数i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(3(13-=-=-+--=+-. 故答案为i 21-.2、若集合{}210A x x =->，{}1B x x =<，则A B ⋂＝【解析】集合}21{}012{>=>-=x x x x A ，}11{}1{<<-=<=x x x x B ，所以}121{<<=x xB A ，即)1,21(. 故答案为)1,21(. 3、函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是【解析】函数x x x x f 2sin 212)2(cos sin )(+=--=，周期ππ==22T ，即函数)(x f 的周期为π. 故答案为π.4、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【解析】因为直线的方向向量为),1(2)21,1(2)1,2(k ==，即直线的斜率21=k ，即21tan =α，所以直线的倾斜角21arctan =α. 故答案为21arctan .5、一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为【解析】底面圆的周长ππ22=r ，所以圆柱的底面半径1=r ，所以圆柱的侧面积为π4 两个底面积为ππ222=r ．，所以圆柱的表面积为π6. 故答案为π6. 6、方程14230xx +--=的解是【解析】原方程可化为0322)2(2=-⋅-xx ，解得32=x，或12-=x （舍去），∴3log 2=x . 故答案为3log 2.7、有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++=【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，81为公比的等比数列， ∴1V +2V +…+n V =811811--n =)811(78n -，∴=+++∞→)(lim 21n n V V V 78.故答案为78.8、在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于【解析】r rrr xx C T )1(661-=-+=r r r x C 266)1(--，令r 26-=0，得r =3．故常数项为336)1(-C =－20.故答案为－20.9、已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= 【解析】由12)1()1(=+=f g ，得1)1(-=f ，所以32)1(2)1()1(=+-=+-=-f f g . 故答案为3.10、满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是【解析】作出约束条件表示的平面区域可知，当2=x ，0=y 时，目标函数取最小值，为－2.故答案为－2.11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）.【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有27232323=C C C 中，若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有18122323=C C C ，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为322718=. 故答案为32. 12、在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是【解析】==λ（0≤λ≤1），则BM λ==λ,DC DN )1(λ-==AB )1(λ-，则AM ⋅=))((++=])1()[(AB AD AD AB λλ-++ =AD AB ⋅+2)1(AB λ-+2AD λ+AB AD ⋅-)1(λ, 又∵⋅=0， ∴AM ⋅=λ34-，∵0≤λ≤1，∴1≤AM ⋅≤4，即⋅的取值范围是[1,4]. 故答案为[1,4].13、已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为【解析】⎪⎩⎪⎨⎧+-=,22,2)(x x x f ,121,210≤<≤≤x x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧+-=,22,222x x x y ,121,210≤<≤≤x x∴围成的面积⎰⎰+-+=12122102)22(2dx x x dx x S =213310x +12123)5310(x x +-=41. 故答案为41. 14、已知1()1f x x =+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=， 若20102012a a =，则2011a a +的值是【解析】由题意得，213=a ，325=a ，…，13811=a ， ∵20122010a a =，且.n a ＞0，∴2512010+-=a ，易得2010a =2008a =…=24a =22a =24a =.20a ， ∴.20a +11a =251+-+138=265133+.故答案为265133+. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、若1+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A 、2,3b c ==B 、2,1b c ==-C 、2,1b c =-=-D 、2,3b c =-= 【解析】因为i 21+是实系数方程的一个复数根，所以i 21-也是方程的根，则b i i -==-++22121，c i i ==-+3)21)(21(，所以解得2-=b ，3=c ，选D.故答案选D.16、对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件 【解析】∵mn ＞0，∴⎩⎨⎧>>,0,0n m 或⎩⎨⎧<<,0,0n m ．方程22ny mx +=1表示的曲线是椭圆，则一定有⎩⎨⎧>>,0,0n m 故“mn ＞0”是“方程22ny mx +=1表示的是椭圆”的必要不充分条件． 故答案选B ．17、在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定【解析】根据正弦定理可知由C B A 222sin sin sin <+,可知222c b a <+，在三角形中02cos 222<-+=abc b a C ，所以C 为钝角，三角形为钝角三角形，选A.故答案选A ． 18、若2sin sin (i)777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A 、16B 、72C 、86D 、100【解析】由题意可知，1413S S ==2827S S ==4241S S ==…=9897S S ==0，共14个，其余均为正数，故共有100-14=86个正数． 故答案选C ．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝2π，2AB =，AC =2PA =，求：（1）三棱锥P ABC -的体积（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）【解析】（1）3232221=⨯⨯=∆ABC S ， 三棱锥P -ABC 的体积为3343131232=⨯⨯=⨯=∆PA S V ABC ．（2）取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线 BC 与AD 所成的角．在三角形ADE 中，DE=2，AE=2，AD=2， 4322222222cos ==∠⨯⨯-+ADE ，所以∠ADE =43arccos ． 因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是43arccos ． 12分20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知()lg(1)f x x =+（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =（[]1,2x ∈）的反函数 【解析】 （1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x .因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .PA BCDE由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . （2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==.由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为yx 103-=，所以所求反函数是xy 103-=，]2lg ,0[∈x ．21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【解析】（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912x y =中，得P 的纵坐标y P =3． ……2分 由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时．由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度．（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t ． 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .……10分 因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:21C x y -=（1）设F 是C 的左焦点，M 是C右支上一点，若MF =M 的坐标； （2）过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为k（k <）的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP ⊥OQ . 【解析】（1）双曲线1:2212=-y C x ，左焦点)0,(26-F .设),(y x M ，则22222262)3()(||+=++=x y x MF ， 由M 是右支上一点，知22≥x ，所以223||22=+=x MF ，得26=x .所以)2,(26±M .（2）左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为：)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x .所求平行四边形的面积为42||||==y OA S .（3）设直线PQ 的方程是b kx y +=.因直线与已知圆相切，故11||2=+k b ，即122+=k b (*).由⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y ，得012)2(222=----b kbx x k . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==+----22221212221k b k kbx x x x . ))((2121b kx b kx y y ++=，所以2212122121)()1(b x x kb x x k y y x x OQ OP ++++=+=⋅22222222221222)1)(1(k k b k b k k b k --+-----+=+.由(*)知0=⋅，所以OP ⊥OQ .23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5（1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a （2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：k k b a =（1,2,...,k m =）（3）设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-。
2012年IGCSE物理真题qusetion paper1.3
This document consists of 17 printed pages and 3 blank pages.IB12 11_0625_13/4RP© UCLES 2012[Turn over*8400222432*UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary EducationPHYSICS 0625/13Paper 1 Multiple Choice Octob e r/Nov e mb e r 201245 minutesAdditional Materials: Multiple Choice Answer Sheet Soft clean eraserSoft pencil (type B or HB recommended)READ THESE INSTRUCTIONS FIRSTWrite in soft pencil.Do not use staples, paper clips, highlighters, glue or correction fluid.Write your n ame, Cen tre n umber an d can didate n umber on the An swer Sheet in the spaces provided unless this has been done for you.There are forty questions on this paper. Answer all questions. For each question there are four possible answers A , B , C and D .Choose the one you consider correct and record your choice in soft pencil on the separate Answer Sheet.Read the instructions on the Answer Sheet very carefully.Each correct answer will score one mark. A mark will not be deducted for a wrong answer. Any rough working should be done in this booklet.w w w .X t r e m e P a pe r s .c o m© UCLES 2012 0625/13/O/N/121 A pendulum is set in motion and timed. The time measured for 20 complete swings is 30 s.What is the time for one complete swing of the pendulum? A 0.67 s B 0.75 s C 1.5 s D 3.0 s2 Two stones of different weight fall at the same time from a table. Air resistance may be ignored. What will happen and why?what will happenwhyA both stones hit the floor at the same time acceleration of free fall is constantB both stones hit the floor at the same time they fall at constant speedC the heavier stone hits the floor first acceleration increases with weightD the heavier stone hits the floor firstspeed increases with weight3 The speed-time graph shown is for a bus travelling between stops. Where on the graph is the acceleration of the bus greatest?speedtime4 A large bag of feathers and a steel block balance each other on some scales.bag offeathersWhat does this s how about the mas s es and the weights of the bag of feathers and the s teel block?A It shows that the masses are equal and the weights are equal.B It shows that the masses are equal, but the weights might be different.C It shows that the masses might be different and the weights might be different.D It shows that the weights are equal, but the masses might be different.5Which row identifies quantities that are measured in newtons?electromotive force(e.m.f.)mass weightA no noyesB no yes yesC yes nonoD yes yes no6 A liquid has a density of 0.80g/cm3.Which could be the volume and mass of this liquid?volume/cm3 mass/gA 2.0 16B 8.0 10C 10 8.0D 16 2.0© UCLES 2012 0625/13/O/N/12 [Turn over7The diagram shows sections of four objects of equal mass. The position of the centre of mass of each object has been marked with a cross.Which object is the most stable?A B C D8 A large parcel is on a horizont al conveyor belt. The conveyor belt moves t he parcel t owards alorry.conveyor beltThe parcel travels towards the lorry at a constant speed. Only two horizontal forces act on the parcel: air resistance, and friction with the conveyor belt.Which row correctly compares the directions and the sizes of these two forces?direct ions sizestA opposit e differensamet het eB opposiC the same differentD the same the same9 A power station uses nuclear fission to obtain energy.In this process, nuclear energy is first changed intoA chemical energy.B electrical energy.C gravitational energy.D thermal (heat) energy.© UCLES 2012 0625/13/O/N/12© UCLES 2012 0625/13/O/N/12[Turn overWhich quantity will not affect the work done by the person? A the height of the platform above the ground B the number of boxes lifted C the time taken to lift the boxesD the weight of the boxes11 A skier walks from the bottom of a ski slope to the top and gains 10 000 J of gravitational potentialenergy.She skis down the slope. At the bottom of the slope, her kinetic energy is 2000 J.How much energy was convert ed int o t hermal energy and sound energy as t he skier moved down the slope?A 2000 JB 8000 JC 10 000 JD 12 000 J12The diagram shows a mercury barometer.cmWhich distance is used to calculate the pressure of the atmosphere?A 25cmB 75cmC 80cmD 100cm13 A dam across a lake is divided into two sections by a rock. Section X is longer than section Y butth e two sections are oth erwise identical. Th e water in th e lake by th e dam is th e same depth everywhere. The diagram shows a view from above of the lake and the dam.The water creates a force on each section of the dam and a pressure on each section of the dam.Which statement is correct?A The force on X equals the force on Y.B The force on X is less than the force on Y.C The pressure on X equals the pressure on Y.D The pressure on X is less than the pressure on Y.© UCLES 2012 0625/13/O/N/1214 A car tyre contains a constant volume of air.During use, the air gets hotter and the air pressure increases.What explains this increase in pressure in terms of the motion of air molecules?number of air molecules in tyreforce between airmolecules and tyre wallnumber of collisions per secondbetween air molecules and tyre wallA increased increased decreasedB increased unch anged decreasedC unch anged increased increasedD unch anged unch anged increased15The table lists the melting points and the boiling points of four different substances.Which substance is a liquid at 0°C?melting point/°C boilingpoint/°CA –219 –183B –7 58C 98 890D 1083 258216 A student wishes to calibrate a mercury-in-glass thermometer with a °C scale.Which values should she use for the lower fixed point and for the upper fixed point?lower fixed point upper fixed pointA freezing point of mercury boiling point of mercuryB freezing point of mercury boiling point of waterC freezing point of water boiling point of mercuryD freezing point of water boiling point of water© UCLES 2012 0625/13/O/N/12 [Turn over© UCLES 2012 0625/13/O/N/1217 The graph shows the temperature of a substance as it is heated steadily.In which part of the graph is the substance boiling?18 Four blocks, made from different materials, are each heated so that they have the same increasein internal energy.Which block has the smallest thermal capacity?A temperature rise = 3°C B temperature rise = 6 °C C temperature rise = 9 °CDtemperature rise = 12 °C19 A convector heater is fixed to a wall.Which diagram shows how warm air near the heater moves because of convection in the air?wallAwallBmovementof airwall CwallDmovementof air© UCLES 2012 0625/13/O/N/12 [Turn over© UCLES 2012 0625/13/O/N/1220 A double-glazed window consists of two panes of glass with a vacuum between them.The vacuum reduces the amount of thermal energy transferred through the window.vacuumglassWhich row shows how much thermal energy is transferred through the vacuum by conduction, by convection and by radiation?conduction convection radiation Anone none some B none some some C some none none Dsome some none21 The diagram shows a water wave in a ripple tank.Which line represents a wavefront?22 Which statement about radio waves is correct?A They travel as longitudinal waves.B They travel at the same speed as sound waves.C They travel by means of molecular vibration.D They can travel through a vacuum.23 The converging lens in a camera is used to make an image on a film.At which labelled point could a large object be placed so that it makes a smaller image?focal length24 A ray of light in water is incident on the surface. The angle of incidence is much smaller than thecritical angle.airwaterWhat happens to this ray? A It is completely reflected. B It is completely refracted.C It is partially reflected and partially refracted.D It is refracted at an angle of refraction of 90°.25 Sound waves may cause an echo.What happens to sound waves to cause an echo and what is the nature of sound waves?what an echo is caused bynature of sound wavesA reflection longitudinalB reflection transverseC refraction longitudinalD refraction transverse26 In a test, a car horn is found to be too loud and the pitch of the note is too high.What information does this give about the amplitude and the frequenc y of the sound wave produced?amplitude frequenc yA too large too largeB too large too smallC too small too largeD too small too small27Which row shows whether iron and steel are ferrous or non-ferrous?iron steelA ferrous ferrousB ferrous non-ferrousC non-ferrous ferrousD non-ferrous non-ferrous28The N pole of a magnet repels one end of bar X.repelsWhat happens when the other end of bar X is placed near to the poles of the magnet?other end nearN pole other end nearS poleA attrac ts attrac tsB attrac ts repelsC repels attrac tsD repels repels 29Which is the worst electrical conductor?A aluminiumB c arbon (graphite)C ironD sulfur30The circuit shows a 24V battery connected to two resistors in series.The reading on the ammeter is 2.0A and the reading on the voltmeter is 8.0V.What is the resistance of resistor R?A 0.25ΩB 4.0ΩC 10ΩD 16Ω31 A relay allows a small current in one circuit to control a different circuit.Which type of force is produced by the small current to activate the relay?A electricalB frictionalC gravitationalD magnetic32The diagram shows a circuit containing two identical lamps.Which switches must be closed to light both of the lamps?A P and Q onlyB P and R onlyC Q and R onlyD P, Q and R33The diagram shows a potential divider circuit.The temperature of the thermistor increases.What happens to the resistanc e of the thermistor, and what happens to the reading on the voltmeter?resistance of thermistor voltmeter readingA dec reases dec reasesB dec reases inc reasesC inc reases dec reasesD inc reases inc reases34An elec tric oven is c onnec ted to the mains supply using insulated c opper wires. The wires become very warm.What can be done to prevent so much heat being produced in the connecting wires?A Use thicker copper wires.B Use thinner copper wires.C Use thicker insulation.D Use thinner insulation.35 Which graph shows how the voltage of a simple a.c. generator varies with time?voltagevoltage36 In the construction of a transformer, which items must be included?A an iron core and a permanent magnetB an iron core and two coils of wireC a steel core and a permanent magnetD a steel core and two coils of wire37 The metal filament shown is heated by passing a c urrent through it. This makes it hot and itreleases electrons.What is the name of this process of releasing electrons? A c onve c tion B evaporation C radioa c tive emission D thermioni c emission38How do the ionising effec t and the penetrating ability of α-partic les c ompare with those of β-particles and γ-rays?ionising effect penetrating abilityA higher higherB higher lowerC lower higherD lower lower39 A student is investigating how the radiation from a radioactive source changes with time.The table shows the results from the detector.time /mincount-rate/ counts per min0 3402 1804 1006 608 40The experiment is repeated by other students, who also measure the c ount-rate every two minutes.The half-life of the source is known to be exactly two minutes.Why is the measured count-rate always higher than half the previous value?A Radioactive emissions occur randomly with time.B The detector used is very close to the source.C There is background radiation present.D The radioactive source is decaying.40Which of the following is not a charged particle?Aα-particleBβ-particleC neutronD protonBLANK PAGEPer mission to r epr oduce items wher e thir d-par ty owned mater ial pr otected by copyr ight is included has been sought and clear ed wher e possible. Ever y reasonable effort has been made by the publisher (UCLES) to trace copyright holders, but if any items requiring clearance have unwittingly been included, the publisher will be pleased to make amends at the earliest possible opportunity.University of Cambridge International Examinations is part of the Cambridge Assessment Group. Cambridge Assessment is the brand name of University of Cambridge Local Examinations Syndicate (UCLES), which is itself a department of the University of Cambridge.。
2012年普通高等学校招生全国统一考试理数北京卷pdf版含答案
( )
∴= A1B 0 ，3，− 2 3 , A1E =(−2 ，−1，0)
设平面 A1BE 法向量为 n = ( x ，y ，z)
则
A1B
⋅
n
=0
A1E ⋅ n =0
∴
3
y
−
2
3z
= 0 ∴
z
=
3y 2
−2x − y =0
x
=
−y 2
( )
∴ n = −1，2 ， 3
( ) 又∵ M −1，0 ， 3
( ) ( ) ( ) （求： s2=
1 n
2
x1 − x +
2
x2 − x + +
xn
−
x
2
，其中
x
为数据
x1
，
x2
，…，
xn
的平均数）
18．（本小题共 13 分）
已知函数 f ( x) = ax2 + 1(a > 0) ， g ( x=) x3 + bx ． （1）若曲线 y = f ( x) 与曲线 y = g ( x) 在它们的交点 (1，c) 处具有公共切线，求 a ，b 的值；
4
5
6
7
8
答案
D
D
B
C
A
B
B
C
二、填空题
题号 答案
9
10
11
n2 + n
2
1；
4
4
12
13
14
3
1；1
(−4 ，− 2)
三、解答题 15．
解：
= f (x) (sin x − cos x)s= in 2x (sin x − cos x)2sin x= cos x 2(sin x − cos x) cos x
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合唱队形
(song.pas/c/cpp)
【问题描述】
小明所在的合唱队共有N个人( N为奇数)。
为了准备一次演出，老师开始为他们安排合唱队形了。
大家都知道，合唱队形通常是中间高两端低的。
老师是这样安排他们的队形的：先让所有的同学按高个儿在前的顺序排成一队。
然后，最高的那位同学单独站出来，这是合唱队形的中心，再让第二位同学站在他的右边，让第三位站在他的左边，再一次向两端安排其他人……
事先给定所有人的升高，请输出他们站成合唱队形之后的身高顺序。
【输入】
第一行是一个整数，表示合唱队的总人数，已知N为奇数(1≤N≤51)。
第二行是N个整数，表示以厘米为单位的所有人的身高。
【输出】
只有N 个整数，表示她们按老师的要求站成合唱队形之后的身高顺序，相邻两个整数之间用一个空格隔开。
【输入样例】
7
154 160 157 162 159 152 163
【输出样例】
152 157 160 163 162 159 154
去除重复数字
(number.pas/c/cpp)
【问题描述】
给你N个数(n≤100),每个数都在(0~1000)之间，其中有很多重复的数字，请将重复的数字只保留一个，并将剩下的数由小到大排序并输出。
【输入】
输入有2行，第1行为1个正整数，表示数的个数：N
第2行有N个用空格隔开的整数
【输出】
输出也是2行，第1行为1个正整数M，表示不相同数的个数。
第2行为M 个用空格隔开的整数，为从小到大排好序的不相同的数。
【输入样例】
10
20 40 32 67 40 20 89 300 400 15
【输出样例】
8
15 20 32 40 67 89 300 400
整数拆段
(multi.pas/c/cpp)
【问题描述】
将一个位数为L (4≤L≤10) 的自然数N拆成4段，使各段对应的数的乘积最小
【输入】
一个自然数N
【输出】
一个整数，最小乘积
【输入样例】
321427
【输出样例】
2268
爬楼梯
(stair.pas/c/cpp)
楼梯有N级台阶，上楼可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶。
计算共有多少种不同的走法。
【输入】
一行，一个整数n（1《=n《=30），表示台阶的级数
【输出】
一个整数，走法的总数
【输入样例】
3
【输出样例】
3。