1.1.1正弦定理公式及练习题
(完整)1.1.1正弦定理(用)
解三角形.
C 30o, a c 4 3
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.
例2：在ABC中，a= 3,b 2, B 450,求A,C,c
解：
sin A a sin B
3 2 2
3
b
2
2
Q a b, A B,且00 A 1800 A 600 或A 1200
sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2sin A : sin B : sin C a : b : c
(3) a b c sin A sin B sin C
abc
k(k 0)
sin A sin B sinC
或a k sin A，b k sin B，c k sinC （k 0）.
(1)当A 600,C 1800 ( A B) 75（0 三角形中大边对大角）
c bsin C 2 6 2 6 2
sin B 2 4
2
2 (2)当A 1200,C 1800 ( A B) 150
c bsin C 2 6 2 6 2
k,由
正
弦
定理，
得
a ksinA,b ksinB,c ksinC
代入已知条件，得：
sinA
sinB
sinC
cosA cosB cosC
即 tanA tanB tanC
又A,B,C (0,π),A B C, 从而ΔABC为正三角形。
3．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c， 若b＝acos C，试判断△ABC的形状．
课时作业10：1.1.1 正弦定理
1.1.1 正弦定理一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°，∠C ＝75°，则BC 等于( )A ．3－3B ．2C ．2D ．3＋32．已知△ABC 的三个内角之比为A B C ＝321，那么对应的三边之比a b c 等于( )A ．321B ．321C ．321D ．2313．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A ．15 B ．59C ．53 D ．14．在锐角△ABC 中，角A 、B 所对的边长分别为a 、B ．若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A ．π12 B ．π6C ．π4 D ．π35．△ABC 中，b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形解的情况是( )A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定6．已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，∠B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是()A ．x >2B ．x <2C ．2<x <22D ．2<x <23二、填空题7．已知△ABC 外接圆半径是2 cm ，∠A ＝60°，则BC 边的长为__________．8．在△ABC 中，A ＝30°，C ＝45°，c ＝2，则边a ＝________.三、解答题9．在△ABC 中，B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255，求边BC 的长．10．在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝6，判断三角形解的情况．11．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ．(1)求cos A 的值；(2)求c 的值．12．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C ． (1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．参考答案1．【答案】A 【解析】由正弦定理，得BC sin A ＝AB sin C ，即BC sin45°＝3sin75°， ∴BC ＝3×sin45°sin75°＝3×226＋24＝3－ 3. 2．【答案】D 【解析】∵⎩⎨⎧ A B C ＝321A ＋B ＋C ＝180°， ∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.∴ab c ＝sin A sin B sin C ＝13212＝23 1. 3．【答案】B【解析】由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，∴313＝5sin B ，即sin B ＝59，选B ． 4．【答案】D【解析】由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝32， ∴A ＝π3. 5．【答案】B【解析】∵b ＝30，c ＝15，C ＝26°，∴c >b sin C ，又c <b ，∴此三角形有两解．6．【答案】C【解析】由题设条件可知⎩⎨⎧x >2x sin45°<2，∴2<x <2 2. 7．【答案】23cm【解析】∵BC sin A＝2R ， ∴BC ＝2R sin A ＝4sin60°＝23(cm)．8．【答案】1【解析】由正弦定理，得a sin A ＝c sin C，∴a ＝c sin A sin C ＝2×1222＝1. 9．解：由cos C ＝255，得sin C ＝1－cos 2C ＝55. sin A ＝sin(180°－45°－C )＝22(cos C ＋sin C )＝31010. 由正弦定理，得BC ＝AC sin A sin B ＝10×3101022＝3 2. 10．解：解法一：由题意知：c sin A ＝4·sin60°＝23， ∵23>6，∴c sin A >a ，∴此题无解．解法二：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ， ∴sin C ＝c sin A a ＝4·326＝2>1，∴此题无解． 11．解：(1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得3sin A ＝26sin2A， 所以2sin A cos A sin A ＝263，故cos A ＝63. (2)由(1)知cos A ＝63， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13. 所以sin B ＝1－cos 2B ＝223， 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539. 所以c ＝a sin C sin A＝5. 12．解：(1)由cos A ＝23，得sin A ＝53.又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝53cos C ＋23sin C ， ∴tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝306，cos C ＝66， ∴sin B ＝5cos C ＝306. 由正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝2×30653＝ 3.∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×2×3×306＝52.。
§1.1.1正弦定理(2)
第一章 1.1.1正弦定理（2）学习目标：加深对正弦定理的理解，熟练掌握正弦定理的应用。
1．正弦定理有哪几种变形？问题探究：探究问题（一）画图判断三角形的解的个数 （1）已知 △ABC 中，A= 30°，a=1，b=2，则 （ ） A 、有一解 B 、有两解 C 、无解 D 、不能确定 （2）已知△ABC 中,A=30°, a= 2，b=2，则 （ ）A 、有一解B 、有两解C 、无解D 、不能确定（3）已知 △ABC 中,A=30°, a= 21，b=2，则 （ ）A 、有一解B 、有两解C 、无解D 、不能确定总结：已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?探究问题（一）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: （1）若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,(b a bsinA )( bsinAasin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA（2）若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a说明：已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法：①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC 中，已知a ，b 和A ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，此弧与除去顶点A 的射线AB 的公共点的个数即为三角形的个数。
练习.画图判断满足下列条件的三角形的个数:(1)b=11, a=20, B=30o (2)c=54, b=39, C=120o (3)b=26, c=15, C=30o (4)a=2,b=6,A=30o探究问题（二） 利用正弦定理证明两个结论： 1、三角形内角平分线定理的证明：已知：如图，在ΔABC 中，∠A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，求证：BD ABDC AC=证明：如图在ΔABD 和ΔCAD 中，由正弦定理，得sin sin BD AB βα=，0sin sin(180)sin DC AC ACβαα==-，两式相除得BD ABDC AC = 三角形内角平分线定理:三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。
1.1.1正弦定理2012.4.26
(正确解法 正确解法)解：根据正弦定理， 正确解法
b ⋅ sin A 25 ⋅ sin 133 sin B = = ≈ 0.8311 a 22
0
∵00<B<1800且a<b 而A=1330 ∴这样的三角形不存在！ 这样的三角形不存在！
练习:P4 2
正弦定理的另一种证法
证二:如图，圆⊙O为△ABC的外接圆，
0
∴B≈640
错！
∵00<B<1800且a<b ∴B≈640或B≈1160 (1)当B≈640时，… (2)当B≈1160时，… 特别注意！
20 3 变例一：在△ABC中，已知a=20cm，b= 3
cm，A=600，解三角形（角度精确到10,边长精 确到1cm）. 解：根据正弦定理，
3 20 ⋅ sin 60 0 b ⋅ sin A 1 3 sin B = = = 20 2 a
例2：在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm， ABC中 已知a=20cm，b=28cm， a=20cm 解三角形（角度精确到1 A=400，解三角形（角度精确到10,边长精确到 1cm） 1cm）.
C b A a c B
解：根据正弦定理，
b ⋅ sin A 28 ⋅ sin 40 sin B = = ≈ 0.8999 a 20
π
a C
a = sin A c
B
b = sin B c
c A
b
二、提出问题： 提出问题： 三角形中的边与角的关系能够通过哪些式子准 确量化的表示？ 确量化的表示？ 探究一： 探究一：在Rt△ABC中，结合三角函数，探究 △ 中 结合三角函数， 边角关系？ 边角关系？
A
a b = sin A = sin B c c a b ⇒ = = c sinC=1 sin A sin B a b c ⇒ = = sin A sin B sin C
1.1.1正弦定理
C/
1 1 1 另证2: S absin C = bc sin A = ac sin B ∆ABC = 2 2 2
A
c
B
b
ha
1 证明： S∆ABC = aha ∵ 2
Da 同理 ∴
S∆ABC = absin C = bc sin A = ac sin B 2 2 2
1 1 S∆ABC = acsin B = absinC 2 2 1 S∆ABC = bcsin A 2 1 1 1
D
b c = , 所以AD=csinB=bsinC, 即 sin B sin C
a c 同理可得 = , sin A sin C
a b c 即： = = sin A sin B sinC
若三角形是钝角三角形 且角 如图2, 若三角形是钝角三角形,且角 是钝角如图 钝角三角形 且角C是 过点A作AD⊥BC， 交BC延长线于D, 此时也有 sin B =
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： 正弦定理： = = = 2R sin A sin B sinC
2、A+B+C=π 3、大角对大边，大边对大角 大角对大边，
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： 正弦定理： = = = 2R sin A sin B sinC
4、一般地，把三角形的三个角A，B，C 一般地，把三角形的三个角A 和它们的对边a 叫做三角形的元 和它们的对边a，b，c叫做三角形的元 素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫解三角形 的过程叫解三角形
a
B
N
一解
已知A、a、b；求B
(1)A < 90°时 d = asin A
d < a < b时
第1章1.1正弦定理
第章解三角形正弦定理级基础巩固一、选择题．在△中，已知边长＝，∠＝°，∠＝°，则边长等于( )．．解析：由正弦定理得°)＝°)，解之得＝.答案：．在△中，∠＝°，＝，＝，则∠等于( )．°．°或°．以上答案都不对．°解析：因为＝)＝＝，所以∠＝°或°.但当∠＝°时，不符合题意，所以∠＝°.答案：．若)＝)＝)，则△为( )．等边三角形．有一个内角为°的直角三角形．等腰直角三角形．有一个内角为°的等腰三角形解析：由)＝)＝)，故＝，＝，所以＝＝°.答案：．在△中，若∠＝°，∠＝°，则∶∶＝( )．∶∶．∶∶．∶∶．∶∶解析：由正弦定理得∶∶＝∶∶＝∶∶.答案：．在△中，若 > ，则与的大小关系为( )．>．<．、的大小关系不能确定．≥解析：＞⇔＞⇔＞⇔＞(大角对大边)．答案：二、填空题．已知△中，＝，∠＝°，∠＝°，则△的面积为．解析：由正弦定理得)＝，解得＝，所以△＝··＝×××＝.答案：．在△中，角，，所对的边分别为，，.已知＝，＝，＝，则＝．解析：由正弦定理)＝).把＝，＝，＝代入，解得＝.因为>，所以>，结合题意可知＝或.答案：或．在△中，＋＝，＝°，＝°，则＝，＝．。
正弦定理1.1.1(二)
1.1.1正弦定理(二)学习目标 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题(重点)；2.能根据条件，判断三角形解的个数(难点)；3.能利用正弦定理、三角恒等变换解决较为复杂的三角形问题(难点).知识点1对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a，b和A解三角形为例，从两个角度予以说明：(1)代数角度由正弦定理得sin B ＝b sin A a，①若b sin Aa＞1，则满足条件的三角形个数为0，即无解.②若b sin Aa＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解.③若b sin Aa＜1，则满足条件的三角形个数为1或2.(2)几何角度图形关系式解的个数A为锐角①a＝b sin A；②a≥b一解b sin A＜a＜b 两解a＜b sin A 无解A 为 钝角 或直 角a ＞b 一解a ≤b 无解【预习评价】1.已知三角形的两边及其中一边的对角往往得出不同情形的解，有时需舍去一解，有时又不能舍.那么我们怎么把握舍不舍的问题？提示 例如在△ABC 中，已知a ，b 及A 的值.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可求得sin B ＝b sin Aa .在由sin B 求B 时，如果a ＞b ，则有A ＞B ，所以B 为锐角，此时B的值唯一；如果a ＜b ，则有A ＜B ，所以B 为锐角或钝角，此时B 的值有两个. 2.已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？提示 如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等.即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题.知识点2 三角形面积公式 任意三角形的面积公式为：(1)S △ABC ＝12bc sin__A ＝12ac sin__B ＝12ab sin__C ，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.(2)S △ABC ＝12ah ，其中a 为△ABC 的一边长，而h 为该边上的高的长.(3)S △ABC ＝12r (a ＋b ＋c )＝12rl ，其中r ，l 分别为△ABC 的内切圆半径及△ABC 的周长.(4)S △ABC ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫其中p ＝a ＋b ＋c 2. 【预习评价】1.在△ABC 中，若B ＝30°，a ＝2，c ＝4，则△ABC 的面积为________.2.在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________.题型一 三角形解的个数的判断【例1】 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答.(1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°； (2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.规律方法 判断三角形解的情况：先判断角，若有一个为钝角，则有一解或无解；若无钝角，则有一解、两解或无解，然后再由大边对大角来具体判断解的情况.【训练1】 根据下列条件，判断三角形是否有解，若有解，有几个解： (1)a ＝3，b ＝2，A ＝120°； (2)a ＝60，b ＝48，B ＝60°； (3)a ＝7，b ＝5，A ＝80°； (4)a ＝14，b ＝16，A ＝45°.题型二 判断三角形形状问题【例2】 在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状.规律方法 判断三角形形状的常用方法有：(1)化边为角.将题目中的条件，利用正弦定理化边为角⎝ ⎛⎭⎪⎫若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；(2)化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2)，进而确定三角形的形状.【训练2】在△ABC中，已知3b＝23a sin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形方向1 三角函数式的化简、证明及求值【例3－1】如图所示，D是Rt△ABC的斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC ＝β.(1)求证：sin α＋cos 2β＝0；(2)若AC＝3DC，求β的值.规律方法在三角形中，进行三角函数式的化简、证明或求值时，一要注意边角互化，二要注意三角函数公式的灵活应用，特别是三角恒等式变形的技巧.方向2 与三角形面积有关的问题【例3－2】在△ABC中，∠A＝60°，c＝3 7a.(1)求sin C的值；(2)若a＝7，求△ABC的面积．方向3 求范围或最值【例3－3】在锐角△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，且a＝2b sin A，求cos A＋sin C的取值范围.规律方法 三角函数、三角恒等变换与解三角形的综合问题是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理，能够对边角关系进行互相转化.课堂达标1.△ABC 满足下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°.其中有两个解的是( ) A.①② B.①④ C.①②③ D.③④2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＝1，b ＝3，B ＝60°，则△ABC 的面积为( ) A.12 B.32 C.1 D. 33．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( ) A ．a ＝2b B ．b ＝2a C ．A ＝2BD ．B ＝2A4.在△ABC 中，lg(sin A ＋sin C )＝2lg sin B －lg(sin C －sin A )，则此三角形的形状是________.5.在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.课堂小结1.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况：可能无解，也可能一解或两解.首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值.2.判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式.3.结合正弦定理，同时注意三角形内角和定理及三角形面积公式、三角恒等变换等知识进行综合应用.基础过关1.在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π32.在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝4，则满足条件的△ABC ( ) A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定3.在△ABC 中，a cos B ＝bcos A，则△ABC 一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4.已知c＝50，b＝72，C＝135°，则三角形解的个数为________.5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a cos A＝b sin B，则sin A cos A＋cos2B＝________.6.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若tan A＝3，cos C＝5 5，(1)求角B的大小；(2)若c＝4，求△ABC的面积.7.在△ABC中，求证：a2－b2c2＝sin（A－B）sin C.能力提升8.已知方程x2－(b cos A)x＋a cos B＝0的两根之积等于两根之和，且A，B为△ABC 的两内角，a，b为角A，B的对边，则此三角形为()A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形9.在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为角A的平分线，AC＝3，AB＝6，则AD等于()A.2B.2或4C.1或2D.510.在△ABC中，A＝π3，BC＝3，则△ABC的周长为________(用B表示).11.在△ABC中，C＝90°，M是BC的中点，若sin∠BAM＝13，则sin∠BAC＝________.12.在△ABC中，已知c＝10，cos Acos B＝ba＝43，求a、b及△ABC的内切圆半径.创新突破13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(2b－3c，cosC)，n＝(3a，cos A)，且m∥n.(1)求角A的大小；(2)求2cos2B＋sin(A－2B)的最小值.。
正弦定理练习题
正弦定理练习题正弦定理练习题正弦定理是解决三角形问题中常用的重要定理之一。
它描述了三角形中边长和角度之间的关系，能够帮助我们求解未知的边长或角度。
在这篇文章中，我们将通过一些练习题来巩固对正弦定理的理解和应用。
练习题一：已知三角形ABC，边长分别为a、b、c，角度分别为A、B、C。
如果我们知道边长a和角度B，如何求解边长b呢？解答：根据正弦定理，我们可以得到以下公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC由已知条件可知，边长a和角度B已知，因此可以得到：a/sinA = b/sinB通过交叉相乘，我们可以得到：b = a*sinB/sinA练习题二：已知三角形ABC，边长分别为a、b、c，角度分别为A、B、C。
如果我们知道边长a和b，如何求解角度C呢？解答：根据正弦定理，我们可以得到以下公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC由已知条件可知，边长a和b已知，因此可以得到：a/sinA = b/sinB通过交叉相乘，我们可以得到：a*sinB = b*sinA通过移项，我们可以得到：sinC = sin(A+B) = sin(180°-C)由此可得：C = 180° - (A+B)练习题三：已知三角形ABC，边长分别为a、b、c，角度分别为A、B、C。
如果我们知道边长a、b和角度A，如何求解角度C呢？解答：根据正弦定理，我们可以得到以下公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC由已知条件可知，边长a、b和角度A已知，因此可以得到：a/sinA = b/sinB通过交叉相乘，我们可以得到：a*sinB = b*sinA通过移项，我们可以得到：sinC = sin(180°-A-B) = sin(A+B)由此可得：C = A + B通过以上的练习题，我们可以看到正弦定理在解决三角形问题中的重要性。
它不仅可以帮助我们求解未知的边长或角度，还能够帮助我们理解三角形的性质和关系。
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一、引入
我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢？这就是我们今天要学习的内容：正弦定理，故此，正弦定理是刻画任意三角形中各个角与其对边之间的关系。
二、新授
1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R C
c B b A a 2sin sin sin ===（注：为△ABC 外接圆半径） 2、正弦定理常见变形：
（1）边化角公式：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=
（2）角化边公式：R a A 2sin =，R b B 2sin =，R
c C 2sin = （3）C B A c b a sin :sin :sin ::=
（4）R C
B A c b a
C c B b A a 2sin sin sin sin sin sin =++++=== (5) C c B b C c A a B b A a sin sin sin sin sin sin ===，， （6）B c C b A c C a A b B a sin sin ,sin sin ,sin sin ===
3、三角形中的隐含条件：
（1）在△ABC 中，c b a >+,c b a <-(两边之和大于第三边，两边只差小于第三边)
（2）在△ABC 中，B A b a B A B A B A B A >⇔><⇔>>⇔>；；cos cos sin sin
（3）在△ABC 中，,cos )cos(sin )sin(C B A C B A C B A -=+=+⇒=++，π
2
cos 2sin C B A =+ 考试·题型与方法
题型一：解三角形
例1：（1）在△ABC 中，已知A=45°，B=30°，c=10，解三角形；
（2）在△ABC 中，B=30°，C=45°，c=1,求b 的值及三角形外接圆的半径。
变式训练：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形：
（1）；，，︒===602010A b a
（2）；，，︒===606510C c b
（3）；，，︒===4532A b a
例2：下列条件判断三角形解得情况，正确的是（ ）
A.有两解︒===30,16,8A b a
B. 有一解︒===60,20,18B c b
C. 无解︒===90,2,15A b a
D. 有一解︒===150,25,30A b a
题型二：判断三角形的形状
例3：若c
C b B a A cos cos sin ==,则△ABC 为（ ） A.等边三角形
B.等腰三角形
C.有一个内角为30°的直角三角形
D. 有一个内角为30°的等腰三角形
变式训练：
在△ABC 中，若C B A C B A 222sin sin sin ,cos sin 2sin +==且,试判断△ABC 的形状。
题型三：范围与最值问题
例4：设锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为c b a ,,,且A b a sin 2=
（1） 求B 得大小；
（2） 求C A sin cos +的取值范围。
题型四：正弦定理与三角恒等变换
例5：设函数.,cos 2
3sin 21)(R x x x x f ∈+= （1）求函数)(x f 的最小正周期和值域；
（2）设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，若,2
3,23)(b a A f ==
且 求C 得值。