2017不等关系与不等式导学案.
高中数学《不等关系与不等式》导学案
第1课时不等关系与不等式1.不等式的定义所含的两个要点(1)□01<，≤，>，≥或□02≠.(2)□03不等关系．2．比较实数a，b大小的依据(1)文字叙述如果a－b是□04正数，那么a>b；如果a－b是□05零，那么a＝b；如果a－b是□06负数，那么a<b，反之也成立．(2)符号表示a－b>0⇔a□07>b；a－b＝0⇔a□08＝b；a－b<0⇔a□09<b.(3)结论确定任意两个实数a、b的大小关系，只需确定□10它们的差a－b与0的大小关系．3．比较大小的方法(1)作差：比较数(式)的大小常用作差与□110比较．(2)作商：两数(式)为同号时，作商与□121比较．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数a 不大于－2，用不等式表示为a ≥－2.( )(2)某隧道入口竖立着“限高4.0米”的警示牌，则经过该隧道的物体的高度h 应满足h <4.0.( )(3)若x 2>0，则x >0.( )(4)若x >1，则x 3＋2x 与x 2＋2的大小关系为x 3＋2x >x 2＋2.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．做一做(1)(教材改编P 74T 1(2))一桥头竖立的“限重40 t ”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使货车总重量T 不超过40 t ，用不等式表示为________．(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于3%，蛋白质的含量p 应不少于2.5%，写成不等式组就是________．(3)若x ≠1，则M ＝x 2＋y 2－2x ＋2y 的值与－2的大小关系为________． (4)x 2＋3与2x 的大小关系为________． 答案 (1)T ≤40 (2)⎩⎨⎧f ≥3%，p ≥2.5% (3)M >－2(4)x 2＋3>2x探究1 用不等式(组)表示不等关系例1 某中学为加强现代信息技术教学，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个计算机房只配置1台教师用机，若干台学生用机．其中初级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元；高级机房教师用机每台11500元，学生用机每台7000元．已知两机房购买计算机的总钱数相同，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元．则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机？解 设该校拟建的初级机房有x 台计算机、高级机房有y 台计算机，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0.8＋0.35(x －1)＝1.15＋0.7(y －1)，20≤0.8＋0.35(x －1)≤21，20≤1.15＋0.7(y －1)≤21.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，5567≤x ≤5857，271314≤y ≤29514.∵x ，y 均为整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝56，y ＝28或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝58，y ＝29，即该校拟建的初级机房、高级机房各应有56,28或58,29台计算机． 拓展提升将不等关系表示成不等式(组)的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．(2)用适当的不等号连接，应特别注意能否取等号． (3)多个不等关系用不等式组表示．【跟踪训练1】 已知甲、乙、丙三种食物的维生素A ，B 含量及成本如下表：若用甲、乙、丙三种食物各x kg 、y kg 、z kg 配成100 kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A 和63000单位维生素B.试用x ，y 表示混合食物成本c 元，并写出x ，y 所满足的不等关系． 解 依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z ，又x ＋y ＋z ＝100，∴c ＝400＋7x ＋5y .由⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＋400z ≥56000，800x ＋400y ＋500z ≥63000 及z ＝100－x －y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130.∴x ，y 所满足的不等关系为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，x ≥0，y ≥0.探究2 作差法比较大小例2 (1)设m ≠n ，x ＝m 4－m 3n ，y ＝n 3m －n 4，比较x 与y 的大小． (2)已知a >0且a ≠1，p ＝log a (a 3＋1)，q ＝log a (a 2＋1)，比较p 与q 的大小． 解 (1)x －y ＝(m 4－m 3n )－(n 3m －n 4) ＝(m －n )m 3－n 3(m －n ) ＝(m －n )(m 3－n 3) ＝(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)， ∵m ≠n ，∴(m －n )2>0.又∵m 2＋mn ＋n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＋3n 24>0，∴(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)>0. ∴x －y >0，∴x >y .(2)p －q ＝log a (a 3＋1)－log a (a 2＋1)＝log a a 3＋1a 2＋1.当a >1时，a 3＋1>a 2＋1， ∴a 3＋1a 2＋1>1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0； 当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1， ∴a 3＋1a 2＋1<1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0. 综上，p －q >0，∴p >q . 拓展提升1.第(1)题通过分解因式和配方判断差的符号，第(2)题通过分类讨论判断差的符号．可以看到，用作差比较法时，判断所作差的符号常用配方法、分解因式法、分类讨论法．2．作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤第一步：作差并变形，其目标应是容易判断差的符号．变形有两种情形： (1)将差式进行因式分解转化为几个因式相乘． (2)将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断． 第二步：判断差值与零的大小关系． 第三步：得出结论．【跟踪训练2】 (1)比较x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的大小； (2)设a ∈R 且a ≠0，比较a 与1a 的大小．解 (1)∵x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0，∴x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)． (2)由a －1a ＝(a －1)(a ＋1)a ，当a ＝±1时，a ＝1a ；当－1＜a ＜0或a ＞1时，a ＞1a ；当a ＜－1或0＜a ＜1时，a ＜1a . 探究3 作商法比较大小例3 已知a >0，b >0且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小． 解 a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ， ①当a >b >0时，a b >1，a －b >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1；②当0<a <b 时，0<a b <1，a －b <0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1.综上可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1，∴a a b b >a b b a .拓展提升作商法比较大小应注意的问题作商法：即通过判断商与1的关系，得出结论，要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤．解[规律小结]1.用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．2.关于a≤b或a≥b的含义(1)不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“或者a<b或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即，若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b 正确．(2)不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”，其含义是指“或者a>b或者a＝b”，等价于“a不小于b”，即，若a>b或a＝b之中有一个正确，则a≥b 正确．3.作差法比较两个实数大小的基本步骤(1)作差．(2)变形．将两个实数作差后变形为：①常数；②几个平方和的形式；③几个因式积的形式．(3)定号．即判定所得差是大于0，小于0，还是等于0.(4)结论．利用实数大小之间的关系得出结论．注意：变形中，可采用配方、因式分解、通分、有理化等手段进行恒等变形．4.作商法比较两个实数大小的基本步骤 (1)作商； (2)变形；(3)比较商与1的关系．注意：只有同号的两数才适用于作商法比较大小．[走出误区] 易错点⊳用不等式组表示实际问题时理解错误 [典例] 两种药片有效成分见下表：若要求至少提供12 mg 阿司匹林、70 mg 小苏打、28 mg 可待因，则两种药片的数量应满足怎样的不等关系？用不等式的形式表示出来．[错解档案] 设提供A 药片x 片，B 药片y 片，则由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，5x ＋7y ≥70，x ＋6y ≥28.[误区警示] 以上不等式对药品成分的限定额度是完全正确的，但是考虑到问题的实际应用性，还应保证两种药片的数量均为非负整数，这一隐含条件往往是容易被忽视的．[规范解答] 设提供A 药片x 片，B 药片y 片(x 、y ∈N )，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，5x ＋7y ≥70，x ＋6y ≥28，x ≥0(x ∈N )，y ≥0(y ∈N ).[名师点津] 用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤： (1)审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量． (2)列不等关系．列出待求量具备哪些不等关系(即满足什么条件)． (3)列不等式(组)．挖掘题意，建立已知量和待求量之间的关系式，并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件).1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关答案 A解析 ∵M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴M >N .2．高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h ，行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式(组)表示为( )A ．v ≤120 km/h 或d ≥10 m B.⎩⎨⎧v ≤120 km/h ，d ≥10 m C ．v ≤120 km/h D ．d ≥10 m 答案 B解析 依据题意直接将不等关系转化为不等式，即v ≤120 km/h ，d ≥10 m ，注意两个不等关系必须同时成立．3．用“>、<、≥、≤”符号填空(1)(2a ＋1)(a －3)________(a －6)(2a ＋7)＋45； (2)a 2＋b 2________2(a －b －1)． 答案 (1)< (2)≥解析 (1)因为(2a ＋1)(a －3)－[(a －6)(2a ＋7)＋45]＝－6<0，所以(2a ＋1)(a －3)<(a －6)(2a ＋7)＋45.(2)因为a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以a 2＋b 2≥2(a －b －1)．4．当m >2时，m m 与2m 的大小关系是________． 答案 m m >2m解析 由于m m >0,2m >0，故可采用作商法， ∴m m 2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m . ∵m >2，∴m 2>1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m >1.即m m >2m .5．(1)当x >1时，比较x 3与x 2－x ＋1的大小； (2)已知：a <b ，1a <1b ，判定a ，b 的符号．解 (1)x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1 ＝x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(x 2＋1)， 因为x >1，所以(x －1)(x 2＋1)>0， 所以x 3>x 2－x ＋1.(2)因为1a <1b ，所以1a －1b ＝b －aab <0，① 因为a <b ，所以b －a >0，②综合①②知ab <0，又因为a <b ，所以a <0<b .A 级：基础巩固练一、选择题1．某校对高一划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式组表示为( )A.⎩⎨⎧ x ≥95，y ≥380，z >45B.⎩⎨⎧ x ≥95，y >380，z ≥45C.⎩⎨⎧x >95，y >380，z ≥45D.⎩⎨⎧x ≥95，y >380，z >45答案 D解析 x 不低于95分，是x ≥95；y 高于380分，是y >380；z 超过45分，是z >45.2．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a >1b B ．2a >2b C ．|a |>|b | D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 答案 B解析 ∵a <b ，y ＝2x 单调递增，∴2a <2b .故选B.3．如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．bc >ac C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )<0 答案 C解析 ∵c <b <a ，且ac <0，∴a >0，c <0.∴ab －ac ＝a (b －c )>0，bc －ac ＝(b －a )c >0，ac (a －c )<0，∴A ，B ，D 均正确． ∵b 可能等于0，也可能不等于0. ∴cb 2<ab 2不一定成立. 故选C.4．某品牌彩电厂家为了打开市场，促进销售，准备对生产的某种型号的彩电降价销售，现有4种降价方案：(1)先降价a %，再降价b %； (2)先降价b %，再降价a %； (3)先降价a ＋b 2%；再降价a ＋b2%；(4)一次性降价(a ＋b )%，其中a >0，b >0，a ≠b . 上述方案中，降价幅度最小的是( )A ．方案(1)B ．方案(2)C ．方案(3)D ．方案(4)答案 C解析 设该品牌彩电的原价为“1”，降价后的彩电价格依次为x 1，x 2，x 3，x 4， 则x 1＝(1－a %)(1－b %)，x 2＝(1－b %)(1－a %)， ∴x 1＝x 2否定A ，B.x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 2%2，x 4＝1－(a ＋b )%，x 3－x 4＝14[(a ＋b )%]2>0.故降价幅度最小的是C.二、填空题5．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216解析 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ，∴0<x ≤18， 这时菜园的另一条边长为30－x 2＝15－x2. ∴菜园面积S ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2，依题意S ≥216，即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216，∴题中的不等关系用不等式组表示为⎩⎨⎧0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.6．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：________.答案a ＋mb ＋m >ab解析 ∵a ＋m b ＋m －a b ＝(a ＋m )b －a (b ＋m )(b ＋m )b ＝(b －a )m (b ＋m )b >0，∴a ＋m b ＋m >ab.答案>解析三、解答题8．已知a＞0，b＞0，a≠b，n∈N且n≥2，比较a n＋b n与a n－1b＋ab n－1的大小．解(a n＋b n)－(a n－1b＋ab n－1)＝a n－1(a－b)＋b n－1(b－a)＝(a－b)(a n－1－b n－1)，①∵当a＞b＞0时，a n－1＞b n－1，∴(a－b)(a n－1－b n－1)＞0；②∵当0＜a＜b时，a n－1＜b n－1，∴(a－b)(a n－1－b n－1)＞0；∴对任意a＞0，b＞0，a≠b，总有(a－b)(a n－1－b n－1)＞0.∴a n＋b n＞a n－1b＋ab n－1.9．若x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．解(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x2＋y2)(x－y)－(x－y)(x＋y)2＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x<y<0，∴x－y<0，xy>0，∴－2xy <0，－2xy (x －y )>0， 即(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．10．某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．解 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元(x >0)，坐甲车队的车需花y 1元，坐乙车队的车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx . 因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5，当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2； 当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．B 级：能力提升练1．若a ，b ，c ，d 均为实数，使不等式a b >cd >0和ad <bc 都成立的一组值(a ，b ，c ，d )是________(只要举出适合条件的一组值即可)．答案 (2,1，－1，－2)解析 由a b >c d >0知，a ，b 同号，c ，d 同号，且a b －c d ＝ad －bcbd >0. 由ad <bc ，得ad －bc <0，所以bd <0.所以在取(a ，b ，c ，d )时只需满足以下条件即可： ①a ，b 同号，c ，d 同号，b ，d 异号；②ad <bc . 令a >0，b >0，c <0，d <0， 不妨取a ＝2，b ＝1，c ＝－1， 则d <bc a ＝－12，取d ＝－2，则(2,1，－1，－2)满足要求．2．设a ＞0，a ≠1，t ＞0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小． 解 ∵12log a t ＝log a t ，t ＋12－t ＝t －2t ＋12＝(t －1)22，∴当t ＝1时，t ＋12＝t ；当t ＞0且t ≠1时，t ＋12＞t . ∵当a ＞1时，y ＝log a x 是增函数，∴当t ＞0且t ≠1时，log a t ＋12＞log a t ＝12log a t ； 当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t .∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是减函数，∴当t ＞0且t ≠1时，log a t ＋12＜log a t ＝12log a t ； 当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t .综上可知，当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t .当t ＞0且t ≠1时，若a ＞1，则log a t ＋12＞12log a t ；若0＜a ＜1，则log a t ＋12＜12log a t .。
不等关系与不等式教案
不等关系与不等式教案教学设计3．1.1 不等关系与不等式整体设计教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展．在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小．通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用．对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程．即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来．在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望．根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小．在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系．要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识．三维目标1．在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系．2．会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围．3．通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美．重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围．教学难点：准确比较两个代数式的大小．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课．思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系．这些不等关系怎样在数学上表示出来呢？让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着．这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课．推进新课新知探究提出问题1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系？2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗？3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系？4任意两个实数具有怎样的关系？用逻辑用语怎样表达这个关系？活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的．教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系．在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容．实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA＜xB.教师协助画出数轴草图如下图．实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零．实例4：两点之间线段最短．实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．实例6：限速40/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢？学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系．那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子．如－7＜－5，3＋4＞1＋4,2x ≤6，a＋2≥0,3≠4,0≤5等．教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来．实例1，若用t表示某天的气温，则26℃≤t≤32℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|Ac|＋|Bc|＞|AB|，如下图．|AB|＋|Bc|＞|Ac|、|Ac|＋|Bc|＞|AB|、|AB|＋|Ac|＞|Bc|.|AB|－|Bc|＜|Ac|、|Ac|－|Bc|＜|AB|、|AB|－|Ac|＜|Bc|.交换被减数与减数的位置也可以．实例6，若用v表示速度，则v≤40/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的．但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论．讨论结果：(1)(2)略；(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大．(4)对于任意两个实数a和b，在a＝b，a＞b，a＜b三种关系中有且仅有一种关系成立．用逻辑用语表达为：a－b ＞0 a＞b；a－b＝0 a＝b；a－b＜0 a＜b.应用示例例1(教材本节例1和例2)活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法．点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.变式训练1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是( )A．f(x)＞g(x) B．f(x)＝g(x)c．f(x)＜g(x)D．随x值变化而变化答案：A解析：f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)．2．已知x≠0，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小．解：由(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2.∵x≠0，得x2＞0.从而(x2＋1)2＞x4＋x2＋1.例2比较下列各组数的大小(a≠b)．(1)a＋b2与21a＋1b(a＞0，b＞0)；(2)a4－b4与4a3(a－b)．活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定．本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点．解：(1)a＋b2－21a＋1b＝a＋b2－2aba＋b＝a＋b 2－4ab2a＋b＝a－b22a＋b.∵a＞0，b＞0且a≠b，∴a＋b＞0，(a－b)2＞0.∴a－b22a＋b＞0，即a＋b2＞21a＋1b.(2)a4－b4－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a －b)＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3－4a3)＝(a－b)[(a2b－a3)＋(ab2－a3)＋(b3－a3)]＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2)＝－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]．∵2a2＋(a＋b)2≥0(当且仅当a＝b＝0时取等号)，又a≠b，∴(a－b)2＞0,2a2＋(a＋b)2＞0.∴－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]＜0.∴a4－b4＜4a3(a－b)．点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.变式训练已知x＞y，且y≠0，比较xy与1的大小．活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系．解：xy－1＝x－yy.∵x＞y，∴x－y＞0.当y＜0时，x－yy＜0，即xy－1＜0.∴xy＜1；当y＞0时，x－yy＞0，即xy－1＞0.∴xy＞1.点评：当字母y取不同范围的值时，差xy－1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法．解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为，根据问题的要求a＜b，且ab≥10%，由于a＋b＋－ab＝b－a b b＋＞0，于是a ＋b＋＞ab.又ab≥10%，因此a＋b＋＞ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．点评：一般地，设a、b为正实数，且a＜b，＞0，则a ＋b＋＞ab.变式训练已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q ≠1，则( )A．a1＋a8＞a4＋a5 B．a1＋a8＜a4＋a5 c．a1＋a8＝a4＋a5D．a1＋a8与a4＋a5大小不确定答案：A解析：(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1＋a1q7－a1q3－a1q4 ＝a1[(1－q3)－q4(1－q3)]＝a1(1－q)2(1＋q＋q2)(1＋q)(1＋q2)．∵{an}各项都大于零，∴q＞0，即1＋q＞0.又∵q≠1，∴(a1＋a8)－(a4＋a5)＞0，即a1＋a8＞a4＋a5.知能训练1．下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2＞2(a－b－1)；③x2＋y2＞2xy.其中恒成立的不等式的个数为( )A．3B．2c．1D．02．比较2x2＋5x＋9与x2＋5x＋6的大小．答案：1．c 解析：∵②a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，③x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0.∴只有①恒成立．2．解：因为2x2＋5x＋9－(x2＋5x＋6)＝x2＋3＞0，所以2x2＋5x＋9＞x2＋5x＋6.课堂小结1．教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法；从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中．2．教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方．鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究．作业习题3—1A组3；习题3—1B组2.设计感想1．本节设计关注了教学方法的优化．经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式．各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动．也就是说，世上没有万能的教学方法．针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药．2．本节设计注重了难度控制．不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点．作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响．3．本节设计关注了学生思维能力的训练．训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线．采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化．变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升．备课资料备用习题1．比较(x－3)2与(x－2)(x－4)的大小．2．试判断下列各对整式的大小：(1)2－2＋5和－2＋5；(2)a2－4a＋3和－4a＋1.3．已知x＞0，求证：1＋x2＞1＋x.4．若x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．5．设a＞0，b＞0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小．参考答案：1．解：∵(x－3)2－(x－2)(x－4)＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)＝1＞0，∴(x－3)2＞(x－2)(x－4)．2．解：(1)(2－2＋5)－(－2＋5)＝2－2＋5＋2－5＝2.∵2≥0，∴(2－2＋5)－(－2＋5)≥0.∴2－2＋5≥－2＋5.(2)(a2－4a＋3)－(－4a＋1)＝a2－4a＋3＋4a－1＝a2＋2.∵a2≥0，∴a2＋2≥2＞0.∴a2－4a＋3＞－4a＋1.3．证明：∵(1＋x2)2－(1＋x)2＝1＋x＋x24－(x＋1)＝x24，又∵x＞0，∴x24＞0.∴(1＋x2)2＞(1＋x)2.由x＞0，得1＋x2＞1＋x.4．解：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0.∴－2xy(x－y)＞0.∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．5．解：∵aabbabba＝aa－bbb－a＝(ab)a－b，且a≠b，当a＞b＞0时，ab＞1，a－b＞0，则(ab)a－b＞1，于是aabb＞abba.当b＞a＞0时，0＜ab＜1，a－b＜0.则(ab)a－b＞1.于是aabb＞abba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb＞abba.。
人教A版高中数学必修5数学导学案不等关系与不等式(2)
§3.1不等关系与不等式（2）班级 姓名 学号1. 掌握不等式的基本性质；2. 会用不等式的性质证明简单的不等式；3. 会将一些基本性质结合起来应用.d ，B 为平面α上任意一点，则点A 与平面α的距离小于或等于A 、B 两点间的距离，请将上述不等关系写成不等式.2．在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质. 请同学们回忆初中不等式的的基本性质.（1）,___a b b c a c >>⇒（2）____a b a c b c >⇒++（3）,0____a b c ac bc >>⇒（4）,0____a b c ac bc ><⇒二、新课导学※ 学习探究问题1：如何比较两个实数的大小.问题2：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？并利用以上基本性质，证明不等式的下列性质：(1),;(2)0,0;(3)0,,1n n a b c d a c b d a b c d ac bd a b n N n a b >>⇒+>+>>>>⇒>>>∈>⇒>※ 典型例题例1 比较大小：（1）26+（2）221)；（3；（4）当0a b >>时，12log a _______12log b .变式：比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小.例2 已知0,0,a b c >><求证c ca b >.变式： 已知0a b >>，0c d >>>例3已知1260,1536,aa b a b b <<<<-求及的取值范围.变式：已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围.※ 动手试试练1. 用不等号“>”或“<”填空：（1）,____a b c d a c b d ><⇒--；（2）0,0____a b c d ac bd >><<⇒；（3）0a b >>（4）22110___a b a b>>⇒.练2. 已知x >012x +.三、总结提升※ 学习小结本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；1. 若2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为（ ）.A ．()()f x g x >B ．()()f x g x =C ．()()f x g x <D ．随x 值变化而变化2. 已知0x a <<，则一定成立的不等式是（ ）.A ．220x a <<B ．22x ax a >>C ．20x ax <<D ．22x a ax >>3. 已知22ππαβ-≤<≤，则2αβ-的范围是（ ）. A ．(,0)2π-B ．[,0]2π-C ．(,0]2π-D ．[,0)2π-4. 如果a b >，有下列不等式：①22a b >，②11a b<，③33a b >，④lg lg a b >，其中成立的是 .5. 设0a <，10b -<<，则2,,a ab ab 三者的大小关系为 .1. .2. 某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A 为一次性投资500万元；方案B 为第一年投资5万元，以后每年都比前一年增加10万元．列出不等式表示“经n 年之后，方案B 的投入不少于方案A 的投入”．。
人教A版数学必修五 《不等式与不等关系》导学案
高中数学必修5 1.1.2《不等式与不等关系》导学案姓名: 班级: 组别: 组名: 【学习目标】1﹑感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系，了解不等式（组）的背景. 2﹑知道不等式的一些基本性质.3、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系. 【重点难点】▲重点：1、不等式的基本性质.2、一元二次不等式的解法.▲难点：1、一元二次不等式的解法.2、理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系.【知识链接】20XX 年经济危机风暴继续在世界各国漫延，我国的房地产业受到很大的冲击，20XX 年8月深圳房价20570元/2m ，而到了10月房价低于19680元/2m ，这三个月内平均降价的百分比是多少？你能列出不等式求解吗？ 【学习过程】阅读课本第72页至第73页的内容，去刻画客观事物的基本数量关系，尝试回答以下问题： 知识点1:不等关系与不等式基本性质问题1﹑完成课本第74页练习1、2，并举出几个现实生活中与不等式有关的例子.问题2﹑不等式的基本性质： 性质1：对称性a bba性质2：传递性 ,a b bcac性质3：可加性a bac bc性质4：可乘性,0a b cacbc性质5：加法法则,a b c d a c b d 性质6：乘法法则0,0a b c d acbd性质7：乘方法则0(,2)nn a b a b nN n 性质8：开方法则0(,2)nnaba b nN n练习： 1、比较22xax 与2223a a 的大小(,)a x R点拨：可用作差法比较大小，解题步骤：作差分解因式或作差确定符号判断大小阅读课本第76页至第77页的内容，尝试回答以下问题： 知识点2: 一元二次不等式的解法问题1、从课本第77页的图3.2-2可知，一元二次方程的根就是二次函数的零点. 问题2﹑观察图3.2-2知： ①当x ，函数位于x 轴上方，此时y 0，即25xx 0. ②当x，函数位于y 轴下方，此时y 0，即25xx 0.问题3、从以上问题1、2中可知观察函数图像可获得不等式解集问题4、如何确定一元二次不等式20(0)ax bx c a或20(0)ax bx c a 的解集.练习：解不等式①28150xx ②223x x点拨：首先判断其所对应的一元二次方程判别式的符号，求根，然后根据不等号的方向及二次项函数的符号写出解集，这是解一元二次不等式的基本方法.知识点3: 一元二次不等式与二次函数及一元二次方程之间的联系.24b ac2(0)y ax bx c a的图像20(0)ax bx c a 的根20(0)ax bx c a 的解集20(0)ax bxca解集知识点4:一元二次不等式及可转化为一元二次不等式的指、对、分数不等式的解法 例1、求不等式24410xx 的解集问题1、先求方程24410x x 的根，再根据二次函数2441yx x 的图像写出解集问题2、你能归纳求解一般一元二次不等式的过程吗？请试一试例2、解不等式201x x问题1、若0ab，则只需a 与b 同号，即00ab b，则分式不等式201x x 可转化为：问题2、尝试写出本题的完整过程例3、求解不等式2lg()lg(3)xx x点拨：利用对数函数单调性脱去对数符号时，必须使原不等式中的所有真数均大于零，而不仅仅是变形后的最简不等式中的真数大于零【基础达标】 A1、解不等式①22150x x ②221x x ③222x xB2、解不等式222312513()3x x x x . C3、解不等式222306x x x xC4﹑定义在(1,1)上的奇函数()f x 在定义域上式减函数，且2(1)(1)0f a f a ，求a 的取值范围. D5、若不等式20x px q 的解集为|12x x，求不等式22056x px q xx 的解集【小结】 【当堂检测】若已知二次函数()yf x 的图像过原点，且有1(1)2f ，3(1)4f ，求(2)f 的范围.【课后反思】本节课我最大的收获是 我还存在的疑惑是 我对导学案的建议是。
高中数学《不等关系与不等式》导学案
第三章不等式§3.1 不等关系与不等式一、学习目标1.了解不等式的意义,会列不等式表示数量关系.2.掌握常用不等式的基本性质.3会用不等式的性质证明简单的不等式.【重点、难点】教学重点：不等式的意义及不等式的基本性质。
教学难点：不等式的意义及不等式基本性质的应用。
二、学习过程【情景创设】咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯分别用奶粉9 g,咖啡4 g,糖3 g;乙种饮料每杯分别用奶粉4 g,咖啡5 g,糖10 g.已知每天使用原料限额为奶粉3600 g,咖啡2000 g,糖3000 g,设每天应配制甲种饮料x杯,乙种饮料y 杯,你能写出满足上述条件的所有不等式吗?【导入新课】1 .上述情景中的x,y满足的不等式分别为. . .x≥0,y≥02．作差法比较大小的依据是什么?(1)a>b⇔;(2)a=b⇔;(3)a<b⇔.要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的与的大小关系即可.3．作商法比较大小的依据是什么?设a,b∈R,且a>0,b>0(1)a>b⇔;(2)a=b⇔;(3)a<b⇔.要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的与的大小关系即可.4．不等式的基本性质(1)对称性:a>b⇔b a;(2)传递性:a>b,b>c⇒a c;(3)可加性:a>b⇒a+c b+c;(4)a>b,c>d⇒a+c b+d;(5)可乘性:a>b,c>0⇒ac bc;(6)a>b>0,c>d>0⇒ac bd;(7)a>b,c<0⇒ac bc;(8)乘方性:a>b>0⇒a n b n(n∈N,n≥2);(9)开方性:a>b>0⇒错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
(n∈N,n≥2);(10)a>b,ab>0⇒错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
高三数学必修五《不等关系与不等式》教案
高三数学必修五《不等关系与不等式》教案【导语】高考竞争异常激烈，千军万马争过独木桥，秋天到了，而你正以凌厉的步伐迈进这段特别的岁月中。
这是一段青涩而又平淡的日子，每个人都隐身于高考，而平淡之中的张力却只有真正的勇士才可以破译。
为了助你一臂之力，无忧考网高中频道为你精心准备了《高三数学必修五《不等关系与不等式》教案》助你金榜题名！教案【一】整体设计教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.三维目标1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.教学难点：准确比较两个代数式的大小.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.推进新课新知探究提出问题1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系?4任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a>b”“a教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.实例1：某天的天气预报报道，气温32℃，最低气温26℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4：两点之间线段最短.实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.实例6：限速40km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26℃≤t≤32℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.实例6，若用v表示速度，则v≤40km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论.讨论结果：(1)(2)略;(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(4)对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a0��a>b;a-b=0��a=b;a-b<0��a应用示例例1(教材本节例1和例2)活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.变式训练1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是()A.f(x)>g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)答案：A解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.例2比较下列各组数的大小(a≠b).(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);(2)a4-b4与4a3(a-b).活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点.解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号)，又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.∴a4-b4<4a3(a-b).点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差――变形――判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.变式训练已知x>y，且y≠0，比较xy与1的大小.活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.解：xy-1=x-yy.∵x>y，∴x-y>0.当y<0时，x-yy<0，即xy-1<0.∴xy<1;当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了?请说明理由.活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法.解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a由于a+mb+m-ab=m b-a b b+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，因此a+mb+m>ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.点评：一般地，设a、b为正实数，且a0，则a+mb+m>ab.变式训练已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则()A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8C.a1+a8=a4+a5D.a1+a8与a4+a5大小不确定答案：A解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).∵{an}各项都大于零，∴q>0，即1+q>0.又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.知能训练1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为()A.3B.2C.1D.02.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小.答案：1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.∴只有①恒成立.2.解：因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，所以2x2+5x+9>x2+5x+6.课堂小结1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中.2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.作业习题3―1A组3;习题3―1B组2.设计感想1.本节设计关注了教学方法的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药.2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点.作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响.3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.备课资料备用习题1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小.2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.3.已知x>0，求证：1+x2>1+x.4.若x5.设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小.参考答案：1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)=1>0，∴(x-3)2>(x-2)(x-4).2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)=m2-2m+5+2m-5=m2.∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.∴m2-2m+5≥-2m+5.(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)=a2-4a+3+4a-1=a2+2.∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.∴a2-4a+3>-4a+1.3.证明：∵(1+x2)2-(1+x)2=1+x+x24-(x+1)=x24，又∵x>0，∴x24>0.∴(1+x2)2>(1+x)2.由x>0，得1+x2>1+x.4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y).∵x0，x-y<0.∴-2xy(x-y)>0.∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，当a>b>0时，ab>1，a-b>0，则(ab)a-b>1，于是aabb>abba.当b>a>0时，0则(ab)a-b>1.于是aabb>abba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba. 教案【二】教学准备教学目标熟练掌握不等式的证明问题教学重难点熟练掌握不等式的证明问题教学过程不等式的�C明二【基�A��】1.若，，�t下列不等始�K正�_的是()2.�Oa，b����担�且，�t的最小值是()4.求�C：�θ魏问��x，y，z，下述三��不等式不可能同�r成立。
初中数学八年级《不等关系与不等式》教学设计导学案
不等关系与不等式（1）教学目标：知识目标：了解不等式的意义.能力目标：经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化的能力.情感目标：1、感受生活中存在着大量的不等关系.2、初步体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型之一.教学重、难点：1、重点：不等式的意义.2、难点：经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化的能力。
教学准备：教学设计过程：一、创设情境：1、下列问题中的数量关系能用等式表示吗？若不能，应该用怎样的式子来表示？（1）公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过40km/h.用v(km/h)表示汽车的速度，怎样表示v与40之间的关系？（2）据科学家测定，太阳表面的温度不低于6000℃。
设太阳表面的温度为t （℃）怎样表示t与6000之间的关系？（3）天平左盘放3个乒乓球，右盘放5g砝码，天平倾斜。
设每个乒乓球的质量为x（g），怎样表示x与5之间的关系？（4）小聪与小明玩跷跷板。
大家都不用力时，跷跷板左低、右高，小聪的身体质量为p（kg），书包的质量为2 kg，小明的身体质量为q （kg），怎样表示p，q之间的关系？（5）要使代数式有意义，x的值与3之间有什么关系？二、探究新知：2、议一议：观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同的特点？像v≤40，t≥6000，3x＞5，q＜p+2，x≠3这样，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连成的数学式子，叫不等式（inequality）。
这些用来连接的符号统称不等号（inequality symbol）3、讲解例题例1 根据下列数量关系列不等式：（1）a是正数；（2）y的2倍与6的和比1小；（3）x2减去10不大于10；（4设）a，b，c为一个三角形的三条边长，两边之和大于第三边.3、做一做：（1）已知x1=1，x2=2，请在数轴上表示出x1，x2的位置；（2）x＜1表示怎样的数的全体？4、归纳：x＜a表示小于a的全体实数，在数轴上表示a左边的所有点，不包括a在内（如图5—4）；x≥a表示大于或等于a的全体实数，在数轴上表示a右边的所有点，包括a在内（如图5一5）；b＜x＜a（b＜a＝表示大干b而小于a的全体实数，在数轴上表示如图5一6.你能在数轴上分别类似地表示x＞a，x≤a和b≤x＜a（b＜a＝吗？5、讲解例2一座小水电站的水库水位在12～20m（包括12m，20m）时，发电机能正常工作。
高中数学必修5《不等关系与不等式》教案
高中数学必修5《不等关系与不等式》教案一、教学内容不等关系与不等式二、教学目标1. 理解不等关系和不等式的概念；2. 掌握表示不等式的方法；3. 掌握一元一次不等式的解法；4. 掌握二元一次不等式的解法；5. 能够应用不等式解决实际问题。
三、教学重点1. 不等关系与不等式的概念；2. 一元一次不等式的解法；3. 能够应用不等式解决实际问题。
四、教学难点1. 二元一次不等式的解法；2. 能够应用不等式解决实际问题。
五、教学方法1. 讲授法；2. 举例法；3. 练习法。
六、教学过程1. 引入（10分钟）教师先用几道小学的例题，考察学生的知识储备，比如：“如果a>b，b>c，那么a>c吗？”，“a+b+b+c>c+c+a，a+b的大小关系是什么？”，建议让学生互相出题。
2. 讲授（40分钟）(1) 不等关系与不等式- 定义：如果两个数x、y之间存在大小关系，那么我们就称它们之间是一种关系，叫做不等关系。
而$x>y$、$x\geqslanty$等代数形式表示的关系就叫做不等式。
- 内容：不等关系的分类（大于、小于、大于等于、小于等于、等于），不等式的基本性质（两侧都加或减同一个有理数，符号不变；两侧都乘或除同一个正数，符号不变；两侧都乘或除同一个负数，符号不变反）（2）表示不等式的方法- 直观法：把不等式中的数相对数线上表示出来，即可得到不等式的关系。
- 求解法：对于 $a \space \Delta \space b$型的不等式，可以将它化为$a-b\space \Delta \space 0$型的不等式，即将不等式移到一个边上，然后求解。
（3）一元一次不等式的解法- 一元一次不等式：$ax+b\space \Delta \space0(ax+b\geqslant0\text{或} ax+b>0)$- 思路：先将不等式移到一个边上，然后根据系数a的正负以及$b\neq 0$的情况分类讨论解不等式。
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不等关系与不等式导学案命制学校：沙市五中命制教师：王旭俐学习目标：1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．学习重点：比较两实数大小．学习难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号学法指导：人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系知识：在日常生活中，我们经常看到下列标志：问题1：你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？提示：①最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里；②限制质量：装载总质量G不得超过10 t；③限制高度：装载高度h不得超过3.5米；④限制宽度：装载宽度a不得超过3米；⑤时间围：t∈．问题2：你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？提示：①v≥50；②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10.自主学习：不等式的概念我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．1．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的。
2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不多于，不超过符号语言＞＜≥≤实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．问题1：怎样判断两个实数a、b的大小？提示：若a－b是正数，则a＞b；若a－b是负数，则a<b；若a－b是零，则a＝b.问题2：你能否由问题1得出两个实数比较大小的方法？提示：能．通过两个实数作差，判断差的正负比较大小．比较两个实数a、b大小的依据文字语言符号表示如果a＞b，那么a－b是正数；如果a＜b，那么a－b是负数；如果a＝b，那么a－b等于0，反之亦然a>b⇔a－b>0 a<b⇔a－b<0 a＝b⇔a－b＝01．上面的“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出．2．“⇔”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序，二者结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系.不等式的基本性质问题1：若a>b，b>c，则a>c，对吗？为什么？提示：正确．∵a>b，b>c，∴a－b>0，b－c>0.∴(a－b)＋(b－c)>0.即a－c>0.∴a>c.问题2：若a＞b，则a＋c＞b＋c，对吗？为什么？提示：正确．∵a＞b，∴a－b＞0，∴a＋c－b－c＞0即a＋c＞b＋c.问题3：若a ＞b ，则ac ＞bc ，对吗？试举例说明．提示：不一定正确，若a ＝2，b ＝1，c ＝2正确．c ＝－2时不正确．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c . 推论(同向可加性)：⎭⎪⎬⎪⎫a >b c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：⎭⎪⎬⎪⎫a >b c >0⇒ac >bc ；⎭⎪⎬⎪⎫a >b c <0⇒ac <bc ；推论(同向同正可乘性)：⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ；(5)正数乘方性：a >b >0⇒a n>b n(n ∈N *，n ≥1)； (6)正数开方性：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N *，n ≥2)．1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件． 2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性． 合作探究：某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，10×6x ＋6×8y ≥360，0≤x ≤4，0≤y ≤7，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，5x ＋4y ≥30，0≤x ≤4，0≤y ≤7，x ∈N ，y ∈N .用不等式表示不等关系的方法(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系．(2)找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．用代数式表示相应各量，并用关键词连接．特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到．1．用不等式(组)表示下列问题中的不等关系： (1)限速80 km/h 的路标； (2)桥头上限重10 吨的标志；(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不多于2.5%，蛋白质的含量p 不少于2.3%.解：(1)设汽车行驶的速度为v km/h ， 则v ≤80.(2)设汽车的重量为ω吨，则ω≤10.(3)⎩⎪⎨⎪⎧f ≤2.5%，p ≥2.3%.比较两数(式)的大小(1)x 2＋3与2x ；(2)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． (1)(x 2＋3)－2x ＝x 2－2x ＋3 ＝()x －12＋2≥2＞0，∴x 2＋3＞2x .(2)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝a 2(a －b )－b 2(a －b )＝(a －b )(a 2－b 2) ＝(a －b )2(a ＋b )， ∵a ＞0，b ＞0，且a ≠b ， ∴(a －b )2＞0，a ＋b ＞0. ∴(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＞0， 即a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.比较两个代数式大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差； (2)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； (4)作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．2．比较x 3＋6x 与x 2＋6的大小． 解：(x 3＋6x )－(x 2＋6) ＝x 3－x 2＋6x －6 ＝x 2(x －1)＋6(x －1) ＝(x －1)(x 2＋6) ∵x 2＋6＞0.∴当x ＞1时，(x －1)(x 2＋6)＞0， 即x 3＋6x ＞x 2＋6.当x ＝1时，(x －1)(x 2＋6)＝0， 即x 3＋6x ＝x 2＋6.当x ＜1时，(x －1)(x 2＋6)＜0， 即x 3＋6x ＜x 2＋6.不等式的性质已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：a －c ＞b －d.∵c ＜d ＜0， ∴－c ＞－d ＞0， 又∵a ＞b ＞0，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )＞0， 即a －c ＞b －d ＞0， ∴0＜1a －c ＜1b －d， 又∵e ＜0， ∴ea －c ＞eb －d.利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.3．已知a ＞b ，m ＞n ，p ＞0，求证：n －ap ＜m －bp . 证明：∵a ＞b ，又p ＞0，∴ap ＞bp . ∴－ap ＜－bp ， 又m ＞n ，即n ＜m . ∴n －ap ＜m －bp .4.探究利用不等式性质求取值范围已知1＜a ＜4,2＜b ＜8.试求2a ＋3b 与a －b 的取值围． ∵1＜a ＜4,2＜b ＜8， ∴2＜2a ＜8,6＜3b ＜24 ∴8＜2a ＋3b ＜32. ∵2＜b ＜8， ∴－8＜－b ＜－2. 又∵1＜a ＜4，∴1＋(－8)＜a ＋(－b )＜4＋(－2)， 即－7＜a －b ＜2.故2a ＋3b 的取值围是(8,32)，a －b 的取值围是(－7,2)． 【探究一】利用几个不等式的围来确定某个不等式的围要注意：同向不等式的两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值围．【探究二】同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求围，注意变形的等价性．在本例条件下，求ab的取值围．∵2＜b ＜8，∴18＜1b ＜12，而1＜a ＜4，∴1×18＜a ·1b ＜4×12，即18＜ab＜2.故a b 的取值围是(18，2)．不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变，同乘以一个负数，不等号方向改变，求解中，应明确所乘数的正负．例：已知－6＜a ＜8,2＜b ＜3，求ab的取值围． 解：因－6＜a ＜8,2＜b ＜3. ∴13＜1b ＜12， (1)当0≤a ＜8时，0≤a b＜4； (2)当－6＜a ＜0时，－3＜a b＜0. 由(1)(2)得：－3＜a b＜4.利用不等式性质求围，应注意减少不等式使用次数． 已知－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的取值围．设a ＋3b ＝λ1(a ＋b )＋λ2(a －2b )＝(λ1＋λ2)a ＋(λ1－2λ2)b ，解得λ1＝53，λ2＝－23. 又－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23，所以－113≤a ＋3b ≤1.(注：本题可以利用本章第三节容求解)1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500无，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则工人满足的关系式是( )A ．5x ＋4y ＜200B ．5x ＋4y ≥200C ．5x ＋4y ＝200D ．5x ＋4y ≤200解析：选D 据题意知，500x ＋400y ≤20 000，即5x ＋4y ≤200，故选D. 2．若x ≠－2且y ≠1，则M ＝x 2＋y 2＋4x －2y 的值与－5的大小关系是( ) A ．M ＞－5 B ．M ＜－5 C ．M ≥－5D ．M ≤－5解析：选A M －(－5)＝x 2＋y 2＋4x －2y ＋5 ＝(x ＋2)2＋(y －1)2， ∵x ≠－2，y ≠1，∴(x ＋2)2＞0，(y －1)2＞0，因此(x ＋2)2＋(y －1)2＞0.故M ＞－5.3．如果a ＞b ，那么c －2a 与c －2b 中较大的是________． 解析：c －2a －(c －2b )＝2b －2a ＝2(b －a )＜0. 答案：c －2b4．若－10＜a ＜b ＜8，则|a |＋b 的取值围是________． 解析：∵－10＜a ＜8， ∴0≤|a |＜10， 又－10＜b ＜8， ∴－10＜|a |＋b ＜18. 答案：(－10,18)5．(1)已知x ≤1，比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小； (2)若－1＜a ＜b ＜0，试比较1a ，1b，a 2，b 2的大小．解：(1)3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1)＝3x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(3x 2＋1)．∵x ≤1，∴x －1≤0. 又3x 2＋1＞0， ∴(x －1)(3x 2＋1)≤0， ∴3x 3≤3x 2－x ＋1. (2)∵－1＜a ＜b ＜0， ∴－a ＞－b ＞0， ∴a 2＞b 2＞0. ∵a ＜b ＜0， ∴a ·1ab ＜b ·1ab＜0，即0＞1a ＞1b，∴a 2＞b 2＞1a ＞1b.一、选择题1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ＞N B ．M ＝N C ．M ＜ND ．与x 有关解析：选A M －N ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34＞0.∴M ＞N .2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式(组)表示就是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95y ≥380z >45 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z ≥45C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95y >380z >45D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >45解析：选D 由题中x 不低于95即x ≥95，y 高于380即y >380， z 超过45即z >45.3．若abcd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则( ) A ．b ＜0，c ＜0 B ．b ＞0，c ＞0 C ．b ＞0，c ＜0D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜0解析：选D 由a ＞0，d ＜0，且abcd ＜0，知bc ＞0， 又∵b ＞c ，∴0＜c ＜b 或c ＜b ＜0.4．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则2α－β3的围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，56πB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，56π C.()0，πD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π 解析：选D 0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，由同向不等式相加得到－π6＜2α－β3＜π.5．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋b C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞bdD ．若a 2＞b 2，则－a ＜－b解析：选B 选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立，选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B.二、填空题6．比较大小：a 2＋b 2＋c 2________2(a ＋b ＋c )－4. 解析：a 2＋b 2＋c 2－＝a 2＋b 2＋c 2－2a －2b －2c ＋4＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2＋1≥1＞0， 故a 2＋b 2＋c 2＞2(a ＋b ＋c )－4. 答案：＞7．已知|a |＜1，则11＋a 与1－a 的大小关系为________．解析：由|a |＜1，得－1＜a ＜1. ∴1＋a ＞0,1－a ＞0. 即11＋a 1－a ＝11－a 2 ∵0＜1－a 2≤1， ∴11－a 2≥1， ∴11＋a≥1－a . 答案：11＋a≥1－a 8．某公司有20名技术人员，计划开发A 、B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：产品种类每件需要人员数每件产值(万元/件)A 类 12 7.5B 类136今制定计划欲使总产值最高，则A 类产品应生产________件，最高产值为________万元．解析：设应开发A 类电子器件x 件，则开发B 类电子器件(50－x )件，则x 2＋50－x 3≤20，解得x ≤20.由题意，得总产值y ＝7.5x ＋6×(50－x )＝300＋1.5x ≤330，当且仅当x ＝20时，y 取最大值330. 所以应开发A 类电子器件20件，能使产值最高，为330万元．答案：20 330三、解答题9．某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人不超过200人；每个工人的年工作时间约为2 100 h ；预计此产品明年的销售量至少为80 000袋；生产每袋需用4 h ；生产每袋需用原料20 kg ；年底库存原料600 t ，明年可补充1 200 t ．试根据这些数据预测明年的产量．解：设明年的产量为x 袋，则⎩⎪⎨⎪⎧4x≤200×2 100x ≥80 0000.02x ≤600＋1 200， 解得80 000≤x ≤90 000.预计明年的产量在80 000到90 000袋之间．10．(1)a ＜b ＜0，求证：b a ＜ab ；(2)已知a ＞b ，1a ＜1b ，求证：ab ＞0.证明：(1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab＝b ＋a b －aab ，∵a ＜b ＜0，∴b ＋a ＜0，b －a ＞0，ab ＞0，∴b ＋a b －aab ＜0，故b a ＜ab .(2)∵1a ＜1b ，∴1a －1b ＜0，即b －aab ＜0，而a ＞b ，∴b －a ＜0，∴ab ＞0.。