清北学堂数学高联一试模拟题(3)及答案
全国高联一试模拟题题集
全国高联一试模拟题题集一、选择题1. 全国高联考试中，以下哪个科目不属于数学类科目？A. 高等数学B. 数学分析C. 概率论与数理统计D. 线性代数答案是：D. 线性代数。
2. 在全国高联考试中，以下哪个选项不属于物理类科目？A. 力学B. 电学C. 电磁学D. 化学反应原理答案是：D. 化学反应原理。
3. 在全国高联考试中，以下哪个选项属于历史类科目？A. 古代史B. 文化史C. 自然史D. 社会学原理答案是：B. 文化史。
4. 下列哪个选项不属于地理类科目？A. 地质学基础B. 气象学原理C. 地理信息系统D. 世界地理答案是：C. 地理信息系统。
二、简答题1. 请简述全国高联考试中数学分析的重要性。
答：数学分析是数学学科的基础，是学习高等数学、概率论与数理统计等后续课程的基础。
数学分析的学习有助于培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力，提高学生的数学素养和综合素质。
因此，数学分析在高考中具有重要地位。
2. 请简述物理学在生活中的应用。
答：物理学在生活中的应用非常广泛，如力学、电学、电磁学等知识在建筑、交通、电子等领域都有广泛应用。
例如，建筑中的力学知识可以保证建筑物的稳定性和安全性；交通中的电磁学知识可以保证交通信号灯的准确性和稳定性；电子设备中的电学和电磁学知识可以保证设备的正常运行和稳定性。
三、论述题请论述历史学科在培养学生综合素质中的作用。
答：历史学科在培养学生综合素质中具有重要作用。
首先，历史学科可以培养学生的历史意识和文化认同感，增强学生的文化自信。
其次，历史学科可以帮助学生了解人类文明的发展历程和不同文化的差异，拓宽学生的视野和知识面。
此外，历史学科还可以培养学生的思维能力和批判性思维，提高学生的综合素质。
在历史学科的学习中，学生需要分析、比较、归纳、演绎等思维方式，这些思维方式不仅适用于历史学科的学习，还适用于其他学科的学习。
因此，历史学科在培养学生综合素质中具有重要地位。
清北学堂2018年数学联赛模拟试题三解答
易知 A B 当且仅当对任意 x R ，有 a sin x k (k Z, k 0) ，即 a ，故整数 a 的
最大值为 3．
6、过原点的直线 l 交双曲线 xy 2 2 于 P、Q 两点，其中 P 点在第二象限，现将上、下两
个半平面沿 x 轴折成直二面角，此时，点 P 的位置落到点 P 上，则线段 PQ 的最短长度
3 1 2 ， a4
7
3 1 ，…，
易得， a2k 3k 1
3 1 ， a2k1 3k 2
3 1 2 ；所以 a2017 3027 3 ．
3、抛物线
y
2x2 上两点
A x1,
y1 ,
B x2,
y2
关于直线
y
x m 对称，若
x1x2
是
．
答案：4.
解：解：设直线方程为 y kx (k 0) .由
xy 2 2, y kx,
得 P
2
2 ,
2
2k ， Q
2
2 ,
2
2k
k
k
过 P 作 PM ⊥ Ox 于 M ，连 MQ ，则 PM ⊥ MQ ，得△ PMQ 为直角三角形.
x0 B ，故 b f 0 f f x0 0 ，从而 f x asin x (a Z) ．
当 a 0 时，显然有 A B ．以下设 a 0 ，此时
A x a sin x 0 ， B x a sina sin x 0 x a sin x k, k Z ．
的整数部分和分数部分，则 a2018 __________．
清北学堂数学高联一试模拟题(1)及答案
清北学堂高联一试模拟题(一)答案1、|a+x|-|x+2019|的最大值是|2019-a|≤2a，解得a≥673。
2、2/√53、3i4、22005-1设集合A={1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024}，B=S\A。
`任取B的一个子集B1，恰有一个A的子集A1，使得B1的元素和与A1的元素和之和是2048的倍数。
于是S满足条件（但不一定是非空真子集）的子集个数等于B的子集个数22005。
去掉一个空集的情况，但是由于全集不满足条件，所以不用去掉，即为所求答案22005-1。
5、2064由容斥原理得到小于2018的完全平方数与完全5次方数共44+4-1=47个，注意到452=2025,因此a2018=2018+47+1=20646、15/57、31.从1开始逐项递推即可。
8、31.设两个账号的胜率分别是a/b＞c/d，都是最简分数。
那么0.0045≥a/b-c/d=（ad-bc）/bd≥1/bd，所以bd≥1/0.0045>222。
所以b+d≥2√222＞29。
若b+d=30，而bd＞223，所以（b-d）²≤30²-223×4=8。
而b与d同奇偶，所以（b，d）=（14,16）或（15,15）此时b与d不互素，这样的话a/b与c/d通分，分母≤bd/2<150，矛盾。
所以b+d≥31。
假设一个账号14局胜9局，另一个17局胜11局，那么两个胜率差就是(154-153)/(14×17)=1/238≈0.420%9.11.设抛物线方程为. , ,三条切线方程为, ,联立解得：, ,故的外接圆方程为：其中是三条切线方程的左边的式子.展开外接圆方程整理得：其中, ,因为该方程表示圆，故.从而，.故外接圆方程为：代入可知成立.故四点共圆.。
2009年全国高中数学联赛模拟试题答案
2009年清北学堂杯·全国高中数学联赛集训模拟试题班级 姓名 得分一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.已知(0,1)x ∈,,a b 为给定的正实数,则1a bx x+-的最小值为( A )(A)22 (C)a b + 2.已知集合A n={}Nn m 1,7m x ,221∈+=<<+、且n nx x ，则A 6中各元素的和为（ ）(A) 792 (B) 890 (C) 891 (D) 990解：答案：C ． A 6={}N m 1,7m x ,12864∈+=<<且x x ，当m=10时，x=71． 当m=18时，x=127．∴A 6中各元素的和为89129127)(71=⨯+．3. 已知函数6sin cos 2111)(++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x b x a x f x （a 、b 为常数，且1>a ），8)1000o (l g 8=g l f ，则)2lg (lg f 的值是（ ）(A) 8 (B) 4 (C) -4 (D) 与a 、b 有关的数 解：答案：Ｂ．∵x b x sin cos 211a 1g(x)x+⎪⎭⎫⎝⎛+-=为奇函数，8)1000o (lg 8=g l f ， 2lg lg 10lglog 1000o lg 28-==g l ．∴=)1000o (lg g 8g l =-)2lg lg (g )2lg (lg g -＝２，∴)2lg (lg f ＝)2lg (lg g ＋６＝－２＋６＝４． 4. 满足20073+++=x x y 的正整数数对（x ，y ）（ ）（A ） 只有一对（B ）恰有有两对（C ）至少有三对（D ）不存在解：（B ） 设2007,322+=+=x b x a ，其中a ，b 均为自然数，则y=a+b ，167322004))((222⨯⨯==+-=-a b a b a b 。
因为b+a 与b-a 有相同的奇偶性，且b+a>b-a,所以⎩⎨⎧=-=+21002a b a b 或⎩⎨⎧=-=+6334a b a b 解得⎩⎨⎧==502500b a 或⎩⎨⎧==170164b a5. 设F 1，F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1| : |PF 2|＝2 : 1，则三角形∆PF 1F 2的面积等于(A)．(A)4 (B)13 (C) 24 (D) 213解：设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a 、2b 、2c ，则由其方程知a ＝3，b ＝2，c ＝5，故，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又已知[PF 1|：|PF 2|＝2：1，故可得|PF l |＝4，|PF 2|＝2．在△PF l F 2中，三边之长分别为2，4，25，而22＋42＝(25)2，可见△PF l F 2是直角三角形，且两直角边的长为2和4，故△PF l F 2的面积＝4． 6. 已知,,x y z R +∈,且1231x y z ++=,则23y zx ++的最小值是( D ) (A)5 (B)6 (C)8 (D)9 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7.如果边长顺次为25，39，52和60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为( )(A)62π (B)63π (C)64π (D)65π解析：设ABCD 为圆内接四边形，且AB=25，BC=39，CD=52，DA=60由圆内接四边形对角互补得∠C=180º－∠A连结BD ，在△ABD 与△BCD 中,由余弦定理,得:2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅∠＝222cos CB CD CB CD C +-⋅∠即22256022560cos A +-⨯⨯∠＝22395223952cos A ++⨯⨯⨯∠解得cos ∠A=0∴∠A=90º，故BD 为圆的直径∴65602522=+=BD ∴圆的周长为65π 8.已知整数t z y 、、、x 满足t z y x <<<，且13142222=+++t z y x ，则tz y x +++等于 ．解：答案：24．∵)2221(22222x x t x z x y t z y x ---+++=+++，括号内为奇数， 又１３１４＝65721⨯，∴1=x 且656222=++---x t x z xy ；由于4126564⨯＝，可得4x -y =且4022=+--y t y z ，∴5=y ；同理可得10t 8,z ==．∴t z y x +++＝２４． 9.已知数列{}n a 满足21=a ，52=a ，n n n a a a -=++12 (*N n ∈)， n S 是数列{}n a 的前n 项和，则2008S 的值是解：答案：８．数列{}n a 的各项依次为２，５，３，－２，－５，－３，２，５，…，呈周期性变化，周期为６，因为433462008 ＝÷，∴2008S ＝８．10. 已知椭圆221164x y +=的左右焦点分别为1F 与2F ，点P 在直线l：80x -++=上. 当12F PF ∠取最大值时，比12PF PF1.【解】 由平面几何知，要使12F PF ∠最大，则过12,F F ，P 三点的圆必定和直线l 相切于P 点。
清北学堂数学高联一试模拟题(2)及答案
1,……②
故直线
AB
:
x0 x 2
y0
y
1过点
P(1,
1 2
)
，则有
x0 2
y0 2
1
x0
y0
2 ……③
故 Q 的轨迹方程为 x y 2
（ 2 ） 对 直 线 AB ， 当 斜 率 不 存 在 时 ， 即 为 x 1 ， 此 时
A(1, 2 ), B(1, 2 ),Q(2, 0)
2
2
1
2
SABQ
当
arg z
arg w
4
时，
z,
w 的取法有
C42
6 种．当
arg z
arg w
时，若
z
不取 2 i 和
4 2i ，则每个 z 唯一对应一个 w i z ，有 4 种情形；若 z 取 2 i 或 4 2i ，则 w 1 2i 或 2 4i ，有 2 2 4种情形．这样总共 6 4 4 14 种情形． 综上可知， zw 为纯虚数的概率为 14 7 ．
1
1
a
,
f
(x)
g(a)
1, 2
1
a
a
,
a 1 a 1 0 a 1
故对 n N* ， bn1 g(a) 恒成立.
又 b2n
2an (1 an )2
g(a) ,
注意到 0 g(a) 1 ,解上式得
2
1
g(a) g(a) 1 2g(a)
1
g(a) 1 2g(a) g(a)
an
1
3)3 1)2
令
f
(k)
(4k 2 4k 3)3 (2k 2 1)2 (2k 1)2
清北学堂一试题附答案
2 3 7 ⎪ ⎨ y⎪1+ y z3清北学堂 2021 年 5 月全国高中数学联赛模拟题一、填空题(各 8 分,共 64 分)1. 若 x>0，y>0，且 2x 2 y 28，则 x 6＋2y 2的最大值是＋ ＝ 32. 过抛物线 y 2＝2x 的焦点且与 x 轴垂直的直线与抛物线交于 M 、N 两点，O 为坐标原点，则 • ＝3. 设复数 z = (1 + i )(1 + i )(1 +i) ⋅L ⋅ (1 + i) ，则 z 的值为 ．2 2224.设正数 a = 0.123456789101112L ……，其中全体正整数从小到大顺次接成一排，形成 a 的无限小数部分，则 a 的小数点后第 2017 位数字是．5 已知点 P （0，1），椭圆+y 2＝m （m ＞1）上两点 A ，B 满足＝2，则当 m ＝时，点 B 横坐标的绝对值最大．6 在四面体 ABCD 中，顶点 D 处的 3 个面角都是直角，顶点 A处的 3 个面角之和等于 90 度，若 DB=a ，DC=b 。
则四面体 ABCD 的体积为= y 7 方程组 ⎪ = z 满足 z xyz ≠ 0的实数解为⎪ = x ⎩1+ 8. 在 坐 标 平 面 上 画 出 63 条 直 线 ：y = b , y = 3x + 2b , y = -3x + 2b , 其 中2 b = -10, -9, -8, ,8, 9,10 ，这些直线将平面分割成若干个等边三角形，其中边长为的等边三角形的个数是.⎧ ⎪x⎪1+ xn 二、解答题(共 56 分,其中第 9 题 16 分,其余两题各 20 分)9、已知函数 f (x ) = log x - 3, a > 0, a ≠ 1 ，若存在实数 m , n (m < n ) 及 a ，使得 f (x ) 的 ax + 3定义域为(m , n )，值域为(1 + log a (n -1),1 + log a (m -1)) ，分别求 m 和 a 的取值范围.10.、已知椭圆 C ：+＝1（a ＞b ＞0），四点 P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（﹣1，），P 4（1，）中恰有三点在椭圆 C 上．（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 相交于 A ，B 两点．若直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点．11、设0 ≤ p ≤1，i = 1, 2, , n ，证明存在0 ≤ x ≤1 ，使 ∑1≤ 8n ⎛1 + 1++ 1 ⎫i | x - p | 32n - 1 ⎪i =1 i⎝ ⎭42 6＋2y 21 +1 4 k i k 22 2 2 2 2 2 2 7 清北学堂 2020 年 5 月全国高中数学联赛模拟题答案2x ＋y 21. (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 3 ≤3· 22 9 2 ＝3× 2 .当且仅当 2x 2 ＝1 y 23 9 ＋ ， 即 x ＝ 3，y ＝ 时，等号成立．故 x 的最大值为 3.2. y 2＝2x 的焦点坐标是（，0），则过焦点且垂直 x 轴的直线是 ，代入 y 2＝2x 得 y ＝±1， 故 •，1）•（）＝﹣1＝﹣．3 答案：330．128 解：由于 1 + i= = 1 × k + 4 ，故2 k2 71 1k 7 k + 4 1 8 创 9 10 11 z = 照 + = k = 1 ×2 k = 1 k = × 128 1 创 234 ． 4 答案： 7 ．解：全体一位数占 9 个数位，全体两位数占 2´ 90 = 180 个数位．由于2017 - 9 - 180 = 1828 = 3´ 609+1 ，因此 a 的小数点后第 2017 位数字是从小 到大第 610 个三位数的首位数字，即 709 的首位数字 7．5. 设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由＝2，可得﹣x 1＝2x 2，1﹣y 1＝2（y 2﹣1）， 即有 x 1＝﹣2x 2，y 1+2y 2＝3， 又 x 12+4y 1 ＝4m ，即为 x 2 +y 1 ＝m ，① x 2 +4y 2 ＝4m ，②①﹣②得（y 1﹣2y 2）（y 1+2y 2）＝﹣3m ，可得 y 1﹣2y 2＝﹣m ， 解 得，y 2＝， 则 m ＝x 22+（）2，1＋y 23 330 2x1 +x5 - 1 233332 2⎪ 2 2即有 x 2 ） ＝＝ ，即有 m ＝5 时，x 22 有最大值 4， 即点 B 横坐标的绝对值最大． 故答案为：5．6.ab(a+b)/65 - 1 ⎫, ⎪⎭解：注意到函数 y =在[0,+∞)上单调递增x yy z若 x > y ，则 y = >= z ，从而 z = > = x ，于是 y > z > x ， 1 + x 1 + y 1 + y 1 + z矛盾，同理，若 y > x 也有矛盾⎛5 - 1 5 - 1 ⎫从而 x = y = z ，解得(x , y , z ) = , , ⎪ ⎪ ⎝⎭8.660.20六条最外面的直线决定了一个边长为 的正六边形，穿过原点O 的三条直线将这个正六边20形分成六个边长为的等边三角形.因为每个这样的大三角形的边长是小三角形边长的 10倍，且每个大三角形被分成102个小三角形，所以正六边形的内部共有边长为 2的三角形 600 个，另外，与正六边形每条边相邻的外部都有 10 个边长为 2600+60=660 个. 的正三角形，故共有9.由x - 3> 0 得 x 的取值范围为 (-∞, -3) ⋃ (3, +∞) ，因为 f (x ) 的定义域为 (m , n ) ，且 x + 3m > 1, n > 1，故 m ≥ 3 .又 m -1 < n -1, log a (n -1) < 1+ log a (m -1) ，所以0 < a < 1.7 , ⎛ 5 - 1 ⎝2 5 - 1 222 -3 x - 3 6易知u == 1-在(m , n )上单调递增，而log a u 单调递减，所以 f (x ) 在(m , n )上x + 3x + 3单 调 递 减 ， 又 f (x ) 的 值 域 为 (1 + log a (n -1),1 + log a (m -1))n - 3 ， 所 以 有1+ log a (n -1) = f (n ) = log a n + 3 ，m - 3 n - 3 m - 31+ log a (m -1) =方程f (m ) = log am + 3，故 a (n -1) =n + 3 , a (m -1) = m + 3，所以 m , n 是a (t -1) =t - 3 t + 32，即 at 2+ (2a -1)t + 3(1- a ) = 0 的两个不相等的实数根，且3 < m < n ，令 2a -1 g (t ) = at + (2a -1)t + 3(1 - a ) ，则 ∆ > 0, g (3) > 0, - > 3 ，解得0 < a < .2a 410. （1） 根 据 椭 圆 的 对 称 性 ），P 4（1，） 两 点 必 在 椭 圆 C上 ， 又 P 4 的横坐标为 1，∴椭圆必不过 P 1（1，1）， ∴P 2（0，1），P 3（﹣1，），P 4（1，）三点在椭圆 C上． 把 P 2（0，1），P 3（﹣1， ）代入椭圆 C ，得：，解得 a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆 C 的方程＝1．证明：（2）①当斜率不存在时，设 l ：x ＝m ，A （m ，y A ），B （m ，﹣y A ）， ∵直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率的和为﹣1，∴ ＝＝﹣1，解得 m ＝2，此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设 l ：y ＝kx+t ，（t ≠1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立，整理，得（1+4k 2）x 2+8ktx+4t 2﹣4＝0，，x 1x 2＝，n n n -1 n n n n则＝ ＝＝＝﹣1，又 t≠1，∴t ＝﹣2k ﹣1，此时△＝﹣64k ，存在 k ，使得△＞0 成立， ∴直线 l 的方程为 y ＝kx ﹣2k ﹣1， 当 x ＝2 时，y ＝﹣1， ∴l 过定点（2，﹣1）．11 证明：若否，设∀0 ≤ x ≤1， ∑1> 8n ⎛1 + 1 + + 1 ⎫ = B .| x - p | 3 2n - 1 ⎪i =1 i⎝ ⎭考察 2n 个开区间 I = ⎛ k ,k + 1⎫, k = 0,1, , 2n - 1 .至少有 n 个 I 不包含任何 p .以 x 表k 2n 2n ⎪k i j ⎝ ⎭示该区间的中点（ j = 1, 2, , n ）.令| x - p |= d ，则∀i ∈{1, 2, , n } ，d ≥ 1.对至多两个 j ， j i ijij4n3 d ij ≥ 4n 5，不成立;对至多 4 个 j ， d ij ≥ 4n，不成立；于是 ∑ 1 ≤ 2∑ 4n = B ，所以∑∑ 1 ≤ nB .j =1 d ij n =0 1 + 2n j =1 i =1 d ij而假设 ∑∑ 1> nB ，矛盾.故原命题成立.j =1 i =1 d ij。
清北学堂数学高联一试模拟题(10)及答案
∴ ． VPABC :VPBCD :VPCDA :VPABD 8 :1: 2 : 4
4、直线 y kx 2 交抛物线 y2 8x 于 A, B 两点，若 AB 中点的横坐
标为 2 ，则 AB
.
答案： 2 15 ．
解：设
A x1,
y1 , B x2,
y2
，由
y
P 分别是线段 PA 、 QB 、 RC 、 SD 的中点，若用VPABC 表示三棱 锥 P ABC 的 体 积 ， 其 余 的 类 推 ． 则
VPABC :VPBCD :VPCDA :VPABD
．
答案：8:1: 2: 4 ．
解：记 dP,BCD 为点 P 到平面 BCD 的距离．其余类推．设VPBCD 1．
2
2
1000 p(0) .设 x1, x2 , x3 是 p(x) 的
3
个根，则 1 1 1 的值
x1x2 x1x3 x2 x3
为
.
答案：1996.
4
22
所以 m
1
2m
1 2
,
所以
m
1 2
m 3.
m 3.
1
2m,
所以
m
1 2
，或
3 2
m
3
．
2、一列数 a1, a2, a3, 满足对于任意正整数 n，都有 a1 a2 an n3 ，
则11 1
．
a2 1 a3 1
a2017 1
ky2 8
2
，即
ky2
8y
2022-2023学年北京市清华附中高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析
【解析】（1）根据指数函数和幂函数的性质可得合适的函数的模型.
（2）根据选择的函数模型可求最小月份.
小问1详解】
指数函数 随着自变量的增大其函数的增长速度越大，幂函数 随着自变量的增大其函数的增长速度越小，因为凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故选择 较为合适.
故 ，故 ， .
所以 .
【小问2详解】
1．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC且AB=BC=1，SA= ，则球O的表面积是（）
A. B.
C. D.
2．已知命题“ ， ”是假命题，则实数单价为40元的商品按60元一个售出时，能卖出400个．已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得最大利润，售价应定为
【详解】∵幂函数y＝xα的图象过点（2， ），
∴ 2α，解得α ，
故f（x） ，即 ，
故选A
【点睛】本题考查了幂函数的定义，是一道基础题
11、A
【解析】首先理解圆锥体中母线与底面所成角的正弦值为它的高与母线的比值，结合圆锥的体积公式 及已知条件即可求出正弦值.
【详解】如图，根据圆锥的性质得 底面圆 ，
故选：D.
8、C
【解析】如图所示，补成直四棱柱 ，
则所求角为 ，
易得 ，因此 ，故选C
平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
当 时， ，
得 恒成立，
所以 ,得 ,
综上所述，得 .