直线的方程经典题型总结加练习题 含答案
(完整版)直线的一般式方程(附答案)
直线的一般式方程[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.知识点 直线的一般式方程1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x ，y 的二元一次方程；任何关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线方程的一般式.2.对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，其斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－C B ；当B ＝0时，在x 轴上的截距为－C A ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－CB .3.直线一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x ，y 的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列. (3)x 的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 思考 (1)当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示什么？ (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？答 (1)当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面； 当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0时才代表直线.(2)不是.当一般式方程中的B ＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C ＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.题型一 直线的一般形式与其他形式的转化例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )A.3x ＋4y ＋7＝0B.4x ＋3y ＋7＝0C.4x ＋3y －42＝0D.3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A. 3 B.－5 C.95 D.－33答案 (1)B (2)D解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项.又y ＝－43x ＋14过点(0,14)即直线过第一象限，所以只有B 项正确. (2)令y ＝0则x ＝－3 3.跟踪训练1 一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程.解 设所求直线方程为x a ＋yb ＝1，∵点A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.第二个方程组无解.故所求直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.题型二 直线方程的应用例2 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l 平行； (2)过点(－1,3)，且与l 垂直.解 方法一 l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.(1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.方法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1,3)代入上式得m ＝－9.∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.跟踪训练2 a 为何值时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0与x －ay －1＝0. (1)平行；(2)垂直.解 当a ＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；当a ≠0且a ≠1时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0的斜率为k 1＝－1＋a2，b 1＝2；直线x －ay －1＝0的斜率为k 2＝1a ，b 2＝－1a .(1)当两直线平行时，由k 1＝k 2，b 1≠b 2， 得1a ＝－1＋a 2，a ≠－12， 解得a ＝－1或a ＝2.所以当a ＝－1或2时，两直线平行. (2)当两直线垂直时，由k 1·k 2＝－1， 即1a ·(－1＋a )2＝－1，解得a ＝13. 所以当a ＝13时，两直线垂直.题型三 由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3 (1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足______. (2)当实数m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1.①倾斜角为45°；②在x 轴上的截距为1. (1)答案 m ≠－3解析 若方程不能表示直线，则m 2＋5m ＋6＝0且m 2＋3m ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2＋3m ＝0，得m ＝－3，所以m ≠－3时，方程表示一条直线. (2)解 ①因为已知直线的倾斜角为45°， 所以此直线的斜率是1， 所以－2m 2＋m －3m 2－m＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－(m 2－m )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1.②因为已知直线在x 轴上的截距为1， 令y ＝0得x ＝4m －12m 2＋m －3，所以4m －12m 2＋m －3＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3，解得⎩⎨⎧m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.跟踪训练3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0. (1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围. (1)证明 直线方程变形为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15， 它表示经过点A ⎝⎛⎭⎫15，35，斜率为a 的直线. ∵点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，∴直线l 必过第一象限.(2)解 如图所示，直线OA 的斜率k＝35－015－0＝3.∵直线不过第二象限， ∴直线的斜率a ≥3. ∴a 的取值范围为[3，＋∞).一般式求斜率考虑不全致误例4 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －(2m －6)＝0，若此直线的斜率为1，试确定实数m 的值.分析 由直线方程的一般式，可转化为斜截式，利用斜率为1，建立方程求解，但要注意分母不为0.解 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，①2m 2＋m －1≠0. ② 由①，得m ＝－1或m ＝43.当m ＝－1时，②式不成立，不符合题意，故应舍去； 当m ＝43时，②式成立，符合题意.故m ＝43.1.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A.A ≠0 B.B ≠0 C.A ·B ≠0 D.A 2＋B 2≠02.已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限3.过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A.x －2y －1＝0B.x －2y ＋1＝0C.2x ＋y －2＝0D.x ＋2y －1＝04.若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A.－1 B.1 C.12 D.－125.已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a ＝________.一、选择题1.直线x ＋y －3＝0的倾斜角的大小是( ) A.45° B.135° C.1 D.－12.直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A.－2 B.2 C.－3 D.33.直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( ) A.C ＝0，B >0 B.A >0，B >0，C ＝0 C.AB <0，C ＝0D.AB >0，C ＝04.直线ax ＋3my ＋2a ＝0(m ≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k 等于( ) A.－3 B.3 C.13 D.－135.直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过定点( ) A.(3,2) B.(－3,2) C.(－3，－2) D.(3，－2)6.若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3构成三角形，则a 的取值范围是( ) A.a ≠±1 B.a ≠1，a ≠2 C.a ≠－1D.a ≠±1，a ≠27.直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )二、填空题8.已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝_______.9.若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝______.10.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是______________.11.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________.三、解答题12.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.13.(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值.(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？当堂检测答案1.答案D解析 方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0. 2.答案 C解析 由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋cb ，∵ab <0，∴直线的斜率k ＝－ab >0，直线在y 轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限. 3.答案 A解析 由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1,0).故所求直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y－1＝0. 4.答案 B解析 由两直线垂直，得12×⎝⎛⎭⎫－2m ＝－1，解得m ＝1. 5.答案 －3或1解析 两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，所以a 3＝1a ＋2≠－21，解得a ＝－3或a ＝1.课时精练答案一、选择题 1.答案 B解析 直线x ＋y －3＝0，即y ＝－x ＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°，故选B. 2.答案 D 解析 由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，解得：m ＝3. 3.答案 D解析 通过直线的斜率和截距进行判断. 4.答案 D解析 由点(1，－1)在直线上可得a －3m ＋2a ＝0(m ≠0)，解得m ＝a ，故直线方程为ax ＋3ay ＋2a ＝0(a ≠0)，即x ＋3y ＋2＝0，其斜率k ＝－13.5.答案 A解析 由y ＝mx －3m ＋2，得y －2＝m (x －3).所以直线必过点(3,2). 6.答案 A解析 因为直线x ＋ay ＝3恒过点(3,0)，所以此直线只需不和x ＋y ＝0，x －y ＝0两直线平行就能构成三角形.所以a ≠±1. 7.答案 C解析 将l 1与l 2的方程化为斜截式得： y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C. 二、填空题 8.答案 35解析 由两直线垂直的条件，得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35.9.答案 2解析 线段AB 的中点为(1,1)，则m ＋3－5＝0，即m ＝2. 10.答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞)解析 当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求； 当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1，只要－a a ＋1>1或者－aa ＋1<0即可，解得－1<a <－12或者a <－1或者a >0.综上可知，实数a 的取值范围是 (－∞，－12)∪(0，＋∞).11.答案 2x ＋3y ＋4＝0解析 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＋4＝0，2a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求.三、解答题12.解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为0，当然相等，所以a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当a ≠2时，截距存在且均不为0，所以a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.所以a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，所以a ≤－1.综上，a 的取值范围是a ≤－1.13.解 方法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行. ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3. (2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直. ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直.③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1， 即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 方法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)， 解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2. ∴m 的值为2或－3. (2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1，将a＝±1代入方程，均满足题意.故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.。
(完整版)直线与方程练习题及答案详解
直线与方程练习题及答案详解一、选择题1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行， 则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．104．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．045,1 B ．0135,1- C ．090，不存在 D ．0180，不存在6．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________;若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________;若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________; 3．若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。
4．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________. 5．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。
直线方程习题带参考答案
1 / 4一选择题1. 1. 已知直线经过点已知直线经过点A(0,4)A(0,4)和点和点B （1，2），则直线AB 的斜率为（的斜率为（B B B ））A.3 B.-2 C. 2 D. A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在不存在2．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（的直线方程为（A A A ））A ．072=+-y x B B．．012=-+y x C ．250x y --=D ．052=-+y x 3. 3. 在同一直角坐标系中，表示直线在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（C ）x yO x yO x yO xyO A B C D 4．若直线x +a y+2=0和2x +3y+1=0互相垂直，则a =（ A A ））A ．32-B B．．32C C．．23- D D．．235.5.过过(x 1，y 1)和(x 2，y 2)两点的直线的方程是两点的直线的方程是( C ) ( C ) 112121112112211211211211...()()()()0.()()()()0y y x x A y y x x y y x x B y y x x C y y x x x x y y D x x x x y y y y --=----=-------=-----=6、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K 1、K 2、K 3则（则（ A A A ））A A、、K 1﹤K 2﹤K 3B 、K 2﹤K 1﹤K3C C、、K 3﹤K 2﹤K 1D D、、K 1﹤K 3﹤K 27、直线2x+3y-5=0关于直线y=x 对称的直线方程为（对称的直线方程为（ A A A ））A 、3x+2y-5=0 B 3x+2y-5=0 B、、2x-3y-5=0两直线交点（两直线交点（11，1）L 1L 2x oL 3C 、3x+2y+5=0D 3x+2y+5=0 D、、3x-2y-5=0 对称点（对称点（-1-1-1，，4）8、与直线2x+3y-6=0关于点关于点(1,-1)(1,-1)(1,-1)对称的直线是（对称的直线是（对称的直线是（ D D D ）） A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=09、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,a,在在y 轴上的截距为b,b,则（则（则（ B B B ）） A.a=2,b=5; B.a=2,b=5-; C.a=2-,b=5; D.a=2-,b=5-.1010、直线、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（的交点是（ A A A ）） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1)1111、过点、过点P(4,-1)P(4,-1)且与直线且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（垂直的直线方程是（ A A A ）） A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0 C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=0二填空题（共20分，每题5分）分） 12. 12. 过点（过点（过点（11，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 y=2x 或x+y-3=013两直线2x+3y 2x+3y－－k=0和x －ky+12=0的交点在y 轴上，则k 的值是的值是 ±61414、两平行直线、两平行直线0962043=-+=-+y x y x 与的距离是2010。
直线的方程(解析版)
直线的方程题型一：倾斜角、斜率问题典例1、直线3310x y ++=的倾斜角为（ ）A ．150B ．120C ．30D ．60答案： A解析： 求出直线斜率，可得倾斜角．【详解】 直线3310x y ++=的斜率为33k =-，所以倾斜角为150°． 故选：A.【点睛】本题考查直线的倾斜角，解题时可先求得直线斜率，由斜率与倾斜角关系得倾斜角． 典例2、如果过P （-2，m ）,Q （m ，4）两点的直线的斜率为1，那么m 的值是（ ）A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4答案： A解析： 根据直线的斜率公式，列出方程，即可求解，得到答案.【详解】由题意，过过P （-2，m ）,Q （m ，4）两点的直线的斜率为1，根据直线的斜率公式，可得41(2)m m -=--，解得1m =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的斜率公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.典例3、直线2x ﹣3y+1=0的一个方向向量是（ ）A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣3，2）D ．（3，2） 答案： D解析： 由题意可得：直线2x ﹣3y+1=0的斜率为k=，所以直线2x ﹣3y+1=0的一个方向向量=（1，），或（3，2）故选D ．典例4、直线l 的一个法向量(cos 1)n θ=，（θ∈R ），则直线l 倾角α的取值范围是_______。
答案： 3[0][)44πππ⋃，，解析： 依题意可得，直线l 的方向向量为(1,cos )θ-，则tan cos [1,1]αθ=-∈-，所以3[0,][,)44ππαπ∈⋃典例5、已知线段AB 的端点()()2,1,1,4A B -，直线l 过原点且与线段AB 不相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是__________________答案： （-∞，-4+∞）解析： 求出直线,OA OB 的斜率，观察线段AB 是否过y 轴，即可得。
完整版)直线与方程测试题及答案解析
完整版)直线与方程测试题及答案解析1.若过点(1,2)和(4,5)的直线的倾斜角是多少？A。
30° B。
45° C。
60° D。
90°2.如果三个点A(3,1)。
B(-2,b)。
C(8,11)在同一直线上，那么实数b等于多少？A。
2 B。
3 C。
9 D。
-93.过点(1,2)，且倾斜角为30°的直线方程是什么？A。
y + 2 = (3/√3)(x + 1) B。
y - 2 = 3/2(x - 1) C。
3x - 3y + 6 - 3 = 0 D。
3x - y + 2 - 3 = 04.直线3x - 2y + 5 = 0和直线x + 3y + 10 = 0的位置关系是？A。
相交 B。
平行 C。
重合 D。
异面5.直线mx - y + 2m + 1 = 0经过一定点，则该点的坐标是多少？A。
(-2,1) B。
(2,1) C。
(1,-2) D。
(1,2)6.已知ab < 0，bc < 0，则直线ax + by + c = 0通过哪些象限？A。
第一、二、三象限 B。
第一、二、四象限 C。
第一、三、四象限 D。
第二、三、四象限7.点P(2,5)到直线y = -3x的距离d等于多少？A。
√(23/2) B。
√(2/23) C。
√(23+5) D。
√(22)8.与直线y = -2x + 3平行，且与直线y = 3x + 4交于x轴上的同一点的直线方程是什么？A。
y = -2x + 4 B。
y = (1/2)x + 4 C。
y = -2x - 3 D。
y = (2/3)x - 39.如果直线y = ax - 2和直线y = (a+2)x + 1互相垂直，则a 等于多少？A。
2 B。
1 C。
-1 D。
-210.已知等腰直角三角形ABC的斜边所在的直线是3x - y + 2 = 0，直角顶点是C(3,-2)，则两条直角边AC，BC的方程是什么？A。
3x - y + 5 = 0.x + 2y - 7 = 0 B。
直线方程经典题型总结
直线与直线方程经典题型题型一：倾斜角与斜率【例1】下列说法正确的个数是（ ）①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②倾斜角为030的直线有且仅有一条；③若直线的斜率为θtan ，则倾斜角为θ；④如果两直线平行，则它们的斜率相等A. 0个B.1个C.2个D.3个【练习】如果0<AC 且0<BC ，那么直线0=++C By Ax 不通过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例2】如图，直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则( )A ．k sin α>0B ．k cos α>0C ．k sin α≤0D ．k cos α≤0【练习】图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )．A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2【例3】经过点()2,1P 作直线l ，若直线l 与连接()10—，A ，()1,4B 的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α与斜率k 的取值范围。
【练习】已知两点()4,3-A ，()2,3B ，过点()1-2，P 的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围。
【例4】若直线l 的方程为2tan +=αx y ，则（ ）A.α一定是直线l 的倾斜角B.α一定不是直线l 的倾斜角C.α—π一定是直线l 的倾斜角D.α不一定是直线l 的倾斜角【练习】设直线0=++c by ax 的倾斜角为α，且0cos sin =+αα，则b a 、满足（ ）A.1=+b aB.1=b a —C.0=+b aD.0=b a —题型二：斜率的应用【例5】若点()()()4,0,0,2,2C a B A ，共线则a 的值为_________________.【练习】若三点()()()b C a B A ,0,0,2,2， ()0≠ab 共线，则b a 11+的值为_____________. 【例6】已知实数y x 、满足82=+y x ，当32≤≤x 时，求x y 的最大值为_______，最小值为_________________ 【练习】1、若45ln ,23ln ,12ln ===c b a ，则（ ） A.c b a << B.a b c << C.b a c << D.c a b <<2、求函数1212+=x x y —的值域.题型三：两直线位置关系的判断已知，两直线21,l l 斜率存在且分别为21,k k ，若两直线平行或重合则有21__________k k ，若两直线垂直则有21__________k k .【例7】已知直线1l 的倾斜角为 60，直线2l 经过点()3,1，A ，()322—，—B ，判断直线1l 与2l 的位置关系.【练习】1、已知点()3,2P，()5,4Q ,()a A ，—1，()2,2a B 当a 为何值时，直线PQ 与直线AB 相互垂直？2、已知直线1m 经过点()()3,23—，，a B a A ，直线2m 经过点()()5,6,3N a M ，，若21m m ⊥，求a 的值.【例8】在平面直角坐标系中，对R a ∈，直线012:012:21=+=+—和—y ax l ay x l （ ）.A 互相平行 .B 互相垂直.C 关于原点对称 .D 关于直线x y —=对称【练习】直线()()()()07425084123=++=+++——与—y a x a y a x a 垂直，求a 的值.题型四：求直线方程（一）点斜式【例9】根据条件写出下列直线的方程：（1）经过点A(1,2),斜率为2；（2）经过点B （—1,4），倾斜角为 135；（3）经过点C （4,2），倾斜角为 90；（4）经过点D （—3，—2），且与x 轴平行.已知直线过一点，可设点斜式【练习】已知ABC ∆中，()()()0,26,241—，，—，C B A ，BC AD ⊥于D ,求AD 的直线方程.（二）斜截式【例10】根据条件写出下列直线的方程：（1）斜率为2，在y 轴上的截距是5；（2）倾斜角为 150，在y 轴的截距为—2；（3）倾斜角为 45，在y 轴上的截距为0.已知斜率时，可设斜截式： 【练习】求斜率为43，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线l 的方程.（三）截距式【例12】根据条件写出下列直线的方程：（1)在x 轴上的截距为—3，在y 轴上的截距为2；（2)在x 轴上的截距为1，在y 轴上的截距为—4；与截距相关的问题，可设截距式【练习】直线l 过点()3,4P ，且在轴轴、y x 上的截距之比为1:2，求直线l 的方程.（四）两点式【例11】求经过下列两点的直线方程：（1)A(2,5),B(4,3) (2)A(2,5),B(4,5) (3)A(2,5),B(2,7)适时应用“两点确定一条直线”【练习】过点()1,0M作直线l ，使他被两条已知直线04:103:21=+++y x l y x l 和—所截得的线段AB 被点M 平分.求直线l 的方程.【例12】1、已知点A （3,3）和直线l ：2543—x y =.求： （1）经过点A 且与直线l 平行的直线方程；（2）经过点A 且与直线l 垂直的直线方程.2、已知三角形三个顶点的坐标分别为A （—1,0），B （2,0），C （2,3），试求AB 边上的高的直线方程.(思考：如果求AB 边上的中线、角平分线呢？）【例13】已知直线l 的斜率为2，且l 和两坐标轴围成面积为4的三角形，则直线l 的方程为________________．【练习】已知，直线l 经过点（—5，—4），且与两坐标轴所围成的三角形面积为5，则直线l 的方程为________________【例14】直线l 不经过第三象限，其斜率为k ，在y 轴上的截距为b （0≠b ），则（ ）A.00>≤b k 且B.00<≥b k 且C.00><b k 且D.00>>b k 且【练习】两条直线y=ax+b 与y=bx+a 在同一直角坐标系中的图象位置可能是（ ）A五、直线的交点坐标与距离公式1、求两条直线的交点（联立方程组）例（1）若三条直线：2x+3y+8=0,x-y-1=0 和x +ky +k+21=0相交于一点，则k=（2）已知直线l 1：x+y+2=0, l 2：2x-3y-3=0,求经过的交点且与已知直线3x +y -1=0平行的直线l 的方程。
直线的方程题及答案
直线的方程题及答案本文将探讨一些关于直线方程的题目，并提供详细的解答。
直线方程是数学中的重要概念，掌握好直线方程的求解方法对理解几何学和代数学都至关重要。
题目一：求直线的斜率和截距已知直线通过点P(2, 3)，斜率为2，求此直线的方程。
解答：直线的一般方程为：y = mx + c，其中m为直线的斜率，c为直线的截距。
已知直线通过点P(2, 3)且斜率为2，代入上述方程得：3 = 2 * 2 + c，解得c = -1。
因此，直线的方程为：y = 2x - 1。
题目二：两条直线的交点已知直线l1过点A(1, 2)，斜率为3；直线l2过点B(2, 4)，斜率为-2。
求直线l1和l2的交点坐标。
解答：设直线l1的方程为y = 3x + c1，直线l2的方程为y = -2x + c2。
由已知，直线l1经过点A(1, 2)，代入方程得：2 = 3 * 1 + c1，解得c1 = -1。
直线l2经过点B(2, 4)，代入方程得：4 = -2 * 2 + c2，解得c2 = 8。
将c1和c2带入对应方程，得到直线l1的方程为y = 3x - 1，直线l2的方程为y = -2x + 8。
为求两条直线的交点，令它们的y值相等，解方程得：3x - 1 = -2x + 8，解得x = 1，将x = 1代入任一方程得到y = 2。
因此，直线l1和l2的交点为(1, 2)。
题目三：两直线平行或垂直判断已知直线l1的方程为2x + 3y = 4，直线l2经过点C(1, -1)，斜率为-2。
判断直线l1和l2是否平行或垂直。
解答：两条直线平行的条件是它们的斜率相等。
直线l1的斜率可用标准形式y = (-a/b)x + c得到，即斜率为-2/3；直线l2的斜率为-2。
由此可知，直线l1和l2的斜率不相等，因此它们不平行。
两条直线垂直的条件是它们的斜率乘积为-1。
直线l1的斜率为-2/3，直线l2的斜率为-2，它们的乘积不等于-1。
直线方程综合训练题集及答案
直线方程综合训练1一、选择题1、三角形中，已知三边a,b,c依次所对应的三内角α,β,γ满足lgsinα+lgsin γ=2lgsinβ, 则直线xsin2α+ysinα=α与xsin2β+ysinγ=c的位置关系是( ) (A) 平行(B) 斜交(C) 垂直(D) 重合2、点(a,b)关于直线x+y=0对称的点是( )(A) (－a,－b) (B) (a,－b) (C) (b,a) (D) (－b,－a)3、已知l 平行于直线3x+4y－5=0, 且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24,则直线l的方程是( ) (A) 3x+4y－122=0 (B) 3x+4y+122=0(C) 3x+4y－24=0 (D) 3x+4y＋24=04、点(4,0)关于直线5x+4y+21=0对称的点是（）(A) (－6,8) (B) (－8,－6) (C) (6,8) (D) (－6,－8)5、若直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线l的条数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)46、平面上两点A(4cosα，4sinα)与B(3cosβ，3sinβ)之间的距离的最大值与最小值顺序为（）(A)7与1 (B)6与1 (C)7与2 (D)6与27、直线x+2y-1=0的倾斜角为( )(A)43)D (22arctan )C (22arctan )B (4π-ππ8、经过点A （－3，2）和B （6，1）的直线与直线x ＋3y －6=0相交于M ，M 分AB 所成的比是 ( )（A ）－1 （B ）21 （C ）1 （D ）29、如图所示，直线l 1：ax －y ＋b=0与l 2：bx －y ＋a=0(ab ≠0,a ≠b)的图象只可能是( )10、由方程11-+-y x =1确定的曲线所围成的图形面积是 ( )（A ）1 （B ）2 （C ）π （D ）411、一平行于y 轴的直线把顶点为(0,0)、(1,1)、(9,1)的三角形分成面积相等的两部分，那么这条直线是 （ ）（A ）x=2.5 （B ）x=3 （C ）x=3.5 （D ）x=412、经过原点，且倾斜角是直线y=22x ＋1倾斜角2倍的直线是 ( )（A ）x=0 （B ）y=0 （C ）y=2x （D ）y=22x13、已知菱形的三个顶点为（a,b ）、（－b,a ）、（0，0），那么这个菱形的第四个顶点为 （ ）（A ）(a －b,a ＋b) （B ）(a ＋b, a －b) （C ）(2a,0) （D ）(0,2a)14、直线kx －y=k －1与ky －x=2k 的交点位于第二象限，那么k 的取值范围是( )（A ）k ＞1 （B ）0＜k ＜21 （C ）k ＜21（D ）21＜k ＜115、直线ax ＋by=ab(a ＞0,b ＜0)的倾斜角等于 ( )（A ）π－arctg(－b a ) （B ）π－arctg b a （C ）arctg(－b a ) （D ）arctg ba二、填空题1、过点A （－1，2）且倾斜角正弦值为53的直线方程是______。
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（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即tan
kα
=。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当
[)ο
ο90
,
∈
α
时，0
≥
k；当
()ο
ο180
,
90
∈
α
时，0
<
k；当ο
90
=
α时，k不存在。
②过两点的直线的斜率公式：
)
(
2
1
1
2
1
2x
x
x
x
y
y
k≠
-
-
=
所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率
概念考查
1、已知经过点A（－2，0）和点B（1，3a）的直线
1
λ与经过点P（0，－1）和点Q（a，
－2a）的直线
2
λ互相垂直，求实数a的值。
2、直线b
ax
y+
=与a
bx
y+
=在同一坐标系下可能的图是（）
3、直线3
)2
(+
-
=x
k
y必过定点，该定点的坐标为（）
A．（3，2）B．（2，3）C．（2，–3）D．（–2，3）
4、如果直线0
=
+
+c
by
ax（其中c
b
a,
,均不为0）不通过第一象限，那么c
b
a,
,应满足的关系是（）
A．0
>
abc B．0
>
ac C．0
<
ab D．c
b
a,
,同号
5、若点A（2，–3），B（–3，–2），直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则l的斜率k 的取值范围是（）
A．
4
3
≥
k或4-
≤
k B．
4
3
≥
k或
4
1
-
≤
k C．
4
3
4≤
≤
-k D．4
4
3
≤
≤k
（3）两点间距离公式：设1122
(,),
A x y
B x y
，（）
是平面直角坐标系中的两个点，则
||
AB=
（4）点到直线距离公式：一点
()
00,y x P 到直线0:1
=++C By Ax l 的距离
2
200B A C
By Ax d +++=
概念考查
（1） 求两平行线1l ：3x+4y=10和2l ：3x+4y=15的距离。
（2） 求过点M （-2，1）且与A （-1，2），B （3，0）两点距离相等的直线方程。
（3） 直线l 经过点P （2，-5），且与点A （3，-2）和点B （-1,6）的距离之比为1:2，求
直线l 的方程
（4） 直线1l 过点A （0,1），2l
过点（5,0），如果
1//l 2
l ，且1l 与2l 的距离为5，求1l 、2l
的
方程
（5）已知点P （2，-1）
a 、求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程
b 、求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少 （5）、求关于点对称的对称问题的方法。
（1）求已知点关于点的对称点。
（距离相等，三点同线） （2）求直线关于点的对称直线。
（平行，点到线距离相等） （3）求点关于直线的对称点。
（在垂直线上，距离相等） （4）求直线关于直线的对称直线。
（平行：距离相等；相交：过交点，点对称） 概念考查
已知直线l ：y=3x+3，求：
（1） 点P （4，5）关于l 的对称点坐标；
（2）直线y=x-2关于l的对称直线的方程；
（3）直线l关于点A（3，2）的对称直线的方程。
（6）直线上动点与已知点距离的最大最小值
a. 在直线l上求一点P使|PA|+|PB|取得最小值时，若点A、B位于直线l的同侧，则作点A
（或点B）关于l的对称点A'（或点B'），连接A B'（或AB'）交l于点P，则点P即为所求。
若点A、B位于直线l的异侧，直接连接AB交l于P点，则点P即为所求。
可简记“同侧对称异侧连”。
即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可。
b. 在直线l上求一点P使||PA|-|PB||取得最大值时，方法与a恰好相反，即“异侧对称同侧连”。
概念考查
=，在直线l上求一点P，使|PA|+|PB|（1）已知两点A（3，-3），B（5,1），直线:l y x
最小。
||PA|-|PB||最大
（2）求一点P，使
直线的方程经典例题
经典例题透析
类型一：求规定形式的直线方程
1．(1)求经过点A(2，5)，斜率是4直线的点斜式方程；
(2)求倾斜角是，在轴上的截距是5；直线的斜截式方程；
(3)求过A(-2，-2)，B(2，2)两点直线的两点式方程；
(4)求过A(-3，0)，B(0，2)两点直线的截距式方程.
思路点拨：
直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，要根据条件写出直线方程.
解：(1)由于直线经过点A(2，5)，斜率是4，由直线的点斜式可得；
(2)；
；
.
总结升华：
写规定形式的方程，要注意方程的形式.
举一反三：
【变式1】
(1)写出倾斜角是，在轴上的截距是-2直线的斜截式方程；
(2)求过A(-2，-3)，B(-5，-6)两点直线的两点式方程；
(3)求过A(1，0)，B(0，-4)两点直线的截距式方程.
【答案】
(1)；
；
.
类型二：直线与坐标轴形成三角形问题
2．过点P(2，1)作直线与x轴、y轴正半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.
思路点拨：
因直线已经过定点P(2，1)，只缺斜率，可先设出直线的点斜式方程，且易知k<0，
再用k表示A、B点坐标，结合函数及不等式知识求解.
解析：
解法一：设直线的方程为:y-1=k(x-2)，
令y=0，得:x=；
令x=0，得y=1-2k，
∵与x轴、y轴的交点均在正半轴上，
∴>0且1-2k>0
故k<0，
△AOB的面积
当且仅当-4k=-，即k=-时，
S取最小值4，
故所求方程为y-1=-(x-2)，即:x+2y-4=0.
总结升华：
解法一与解法二选取了直线方程的不同形式，解法三考虑到图形的直观性，利用了形数结合的思想，体现了解题的“灵活性”. 已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.
类型三：斜率问题
3．求过点，且与轴的交点到点的距离为5的直线方程.
思路点拨：
要对直线是否存在斜率的不同情况加以分类解析，结合题目中的相关条件设出对应的直线方程，然后求解.
解析：
(1)当直线斜率存在时，因为直线与轴相交，所以，设直线的斜率为，
已知直线过点，代入点斜式方程，得，
所以直线与轴的交点为则有，解得，
故所求直线方程为；
(2)当直线斜率不存在时，经过点A且垂直于轴的直线与轴的交点(-4，0)到
的距离也恰好
为5，所以直线也满足条件.
综上所述，所求直线方程为或.
总结升华：
解答此类问题时，容易忽视直线斜率不存在时的情况，同学们在实际解答时要全面考虑.斜率不存在的直线(即垂直于轴的直线)不能用点斜式、斜截式方程求解，点斜式、斜截式方程的使用条件是直线斜率必须存在.因此，用点斜式、斜截式方程求解直线方程时要考虑斜率不存在的情况，以免丢解.
类型四：截距问题
4．求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
思路点拨：
要对直线截距的不同情况加以分类解析，结合题目中的相关条件设出对应的直线方程，然后求解.直线在两轴上截距相等，直接考虑截距式方程，也可以用由图形性质，得到k=-1时截距相等，从而选用点斜式. 解题时特别要注意截距都是0的情况，这时选用函
数.
解析：
(1)当截距不为零时，设所求直线方程为，将点代入得，解得
，
故所求直线方程为；
(2)当截距为0时，直线方程为
综上所述，所求直线方程为或.
总结升华：
注意截距与距离的区别，截距可正、可负、可为零，不可与距离混为一谈.截距式方程的使用条件是直线在轴、轴上的截距都存在且不为零，垂直于坐标轴和过原点的直线不能用该方程求解，因此用截距式方程要考虑截距为零的情况.解答此类问题时，容易遗漏所求直线在在轴、轴上的截距为0的情况，在实际解答时要全面考虑.
P。