土中应力计算课件
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(1) o点在荷载面边缘 (2) o点在荷载面内 (3) o点在荷载面边缘外侧 (4) o点在荷载面角点外侧
(1)o点在荷载面边缘
σz＝（αcⅠ＋αcⅡ）p0
(2)o点在荷载面内
σz＝(αcⅠ＋αcⅡ＋αcⅢ＋αcⅣ)p0 o点位于荷载面中心，因αcⅠ=αcⅡ=αcⅢ=αcⅣ
σz=4αp0
(3)o点在荷载面边缘外侧
3、土中应力计算
3.1 土的自重应力 3.2 基础底面压力 3.3 土中附加应力
3.1 土中自重应力
在计算土中自重应力时，假设天然地面是一个无限 大的水平面，因而在任意竖直面和 水平面上均无剪 应力存在。可取作用于该水平面上任一单位面积的土 柱体自重计算(图2—2)，即：
地基中除有作用于水c平z 面上 z的竖向自重应力外，
以后各章节中把常用的竖向有效自重应力 cz ，
简称为自重应力，并改用符号 z 表示 。
地基土往往是成层的，成层土自重应力的计算公式： n c ihi i 1
自然界中的天然土层，一般形成至今已有很长的地 质年代，它在自重作用下的变形早巳稳定。但对于近期 沉积或堆积的土层，应考虑它在自应力作用下的变形。 此外，地下水位的升降会引起土中自重应力的变化(图 2—4)。
1、平面问题概念：
2、均布线荷载作用下土中应力计算
p pdy
z
d
3z3 pdy
2R5
2 pz3
R14
2 (x2
pz 3 z2
)2
3、均布条形荷载作用下土中应力计算
z
ຫໍສະໝຸດ Baidu
p0
[arctan
1
2n 2m
arctan
1
2n 2m
4m(4n2 4m2 1) (4n2 4m2 1)2 16m2
pk max Fk Gk M k
pk min
lb
W
M k (Fk Gk )e
W bl 2 6
pk max Fk Gk (1 6e)
pk min
lb
l
e Mk Fk Gk
e>L/6, 应力重新分布
pk max
2(Fk Gk 3bk
)
k l e 2
3.2.4 基底附加压力
3.2 基础底面压力
3.2.1 基本概念
（1）基底接触压力的产生
建筑物荷重 基础 地基在地基与基础的接触面上产生 的压力（地基作用于基础底面的反力）
（2）接触压力的大小影响因素
地基土和基础的刚度 荷载 基础埋深 地基土性质
3.2.2 基底压力分布形式
（1）柔性基础，基底压力大小、分布状况与上部荷 载的大小、分布状况相同。
z
F
d z
3z3
2
p(x, y)dd F (( x )2 ( y )2 z 2 )5/ 2
1、均布的矩形荷载
荷载微单元 p0dxdy
d z
3
2
( p0dxdy)z3 (x2 y2 z2 )5/2
z
p0 2
[ (l 2
lbz(l2 + b 2 2z2 ) z2 )(b2 z2 ) l2 b2
在竖直面上还作用有水平向的侧向自 重应力。由于 沿任一水平面上均匀地无限分布，所以地基土在自重 作用下只能产生竖 向变形，而不能有侧向变形和剪 切形。
cx cy K0 cz
xy yx zx 0
必须指出，只有通过土粒接触点传递的粒间应力，才 能使土粒彼此挤紧，从而引起土体的变形，而且粒间应力 又是影响土体强度的—个重要因素，所以粒间应力又称为 有效应力。因此，土中自重应力可定义为土自身有效重力 在土体中引起的应力。土中竖向和侧向的自重应力一般均 指有效自重应力。
r
y
x
R r2 z2
dz
y
Rz
dzy
dzx dxz
M
dyz dy dyx
dxy
dx
z
3P z3
3P
cos3
2 R5 2R 2
R r2 z2
z
3P
2
z3 R5
z
3P
2
(r 2
z3 z2 )5/2
3
2
1 [(r / z)2 1]5/ 2
P z2
z
P z2
3.3.3 矩形和圆形荷载下地基附加应力计 算——积分法
荷载
变形地面
反力
(柔性基础基底压力分布) 例如：油罐 土坝
（2）刚性基础则不同 马鞍形、抛物线形、钟形
荷载
变形地面
反力
(刚性基础基底压力分布) 例如：箱形基础 混凝土坝
3.2.3 基底压力的简化计算
1. 中心荷载下的基底压力
F G p
A A l b
2．偏心荷载下的基底压力
三角形形心点 三角形形心点
mn 2
[
1
m2 n2 (1 n2 )
n2 ]
m2 n2 1
3. 均布的圆形荷载
z
d z
A
3 p0 z 3
2
2
0
r0 rddr
0 (r 2 z 2 )5 / 2
p0[1
(r02
z3 z2 )3/ 2
p 0 [1 (
1
1
] r p0
1)3 / 2
z 2 / r0 2
3.3.4 平面问题（线荷载和条形荷载）
z2
arctan
z
lb ]
(l 2 b2 z2 )
z c p0
c
1 2
(m2
mn(m2 2n2 1) n2 )(1 n2 ) m2 n2
arctan
1
n
m ]
(m2 n2 1)
c ——均布矩形荷载角点下的竖向附加应力系数，简称角点 应力系数，可查表得到。
* 对于均布矩形荷载附加应力计算点不位于角点下的情况：
[例题3—7] 某建筑场地的地质柱状图和土的有关指标 列于例图中。试计算地面 下深度为2.5m、5m和9m处的自重应力，并绘出分布图。
[解] 本例天然地面下第一层粉土厚6m，其中地下 水位以上和以下的厚度分别为3.6 m和2.4m，第二层为 粉质粘土层。依次计算2.5m、3.6m、5m、6m、9m各深度 处的土中竖向自重应力，计算过程及自重应力分布图一 并列于例图3—1中。
p0 p ch p 0h
3.3 土中附加应力
3.3.1 基本概念
1、定义
附加应力是由于外荷载作用，在地基中产生的应力增量。
2、基本假定
地基土是各向同性的、均质的线性变形体，而且在深度和水平 方向上都是无限延伸的。
3.3.2 竖向集中力作用时的地基附加应 力布辛奈斯克解答
P
x
r x2 y2
σz＝(αcⅠ－αcⅡ＋αcⅢ－αcⅣ)p0
(4)o点在荷载面角点外侧
σz＝(αcⅠ－αcⅡ－αcⅢ＋αcⅣ)p0
2. 三角形分布的矩形荷载
x b p0dxdy
d z
3
2
b(x 2
p0 xz 3 y 2 z 2)5/2
dxdy
z1 t1 p0
z2 t2 p0 (c t1) p0
t1
(1)o点在荷载面边缘
σz＝（αcⅠ＋αcⅡ）p0
(2)o点在荷载面内
σz＝(αcⅠ＋αcⅡ＋αcⅢ＋αcⅣ)p0 o点位于荷载面中心，因αcⅠ=αcⅡ=αcⅢ=αcⅣ
σz=4αp0
(3)o点在荷载面边缘外侧
3、土中应力计算
3.1 土的自重应力 3.2 基础底面压力 3.3 土中附加应力
3.1 土中自重应力
在计算土中自重应力时，假设天然地面是一个无限 大的水平面，因而在任意竖直面和 水平面上均无剪 应力存在。可取作用于该水平面上任一单位面积的土 柱体自重计算(图2—2)，即：
地基中除有作用于水c平z 面上 z的竖向自重应力外，
以后各章节中把常用的竖向有效自重应力 cz ，
简称为自重应力，并改用符号 z 表示 。
地基土往往是成层的，成层土自重应力的计算公式： n c ihi i 1
自然界中的天然土层，一般形成至今已有很长的地 质年代，它在自重作用下的变形早巳稳定。但对于近期 沉积或堆积的土层，应考虑它在自应力作用下的变形。 此外，地下水位的升降会引起土中自重应力的变化(图 2—4)。
1、平面问题概念：
2、均布线荷载作用下土中应力计算
p pdy
z
d
3z3 pdy
2R5
2 pz3
R14
2 (x2
pz 3 z2
)2
3、均布条形荷载作用下土中应力计算
z
ຫໍສະໝຸດ Baidu
p0
[arctan
1
2n 2m
arctan
1
2n 2m
4m(4n2 4m2 1) (4n2 4m2 1)2 16m2
pk max Fk Gk M k
pk min
lb
W
M k (Fk Gk )e
W bl 2 6
pk max Fk Gk (1 6e)
pk min
lb
l
e Mk Fk Gk
e>L/6, 应力重新分布
pk max
2(Fk Gk 3bk
)
k l e 2
3.2.4 基底附加压力
3.2 基础底面压力
3.2.1 基本概念
（1）基底接触压力的产生
建筑物荷重 基础 地基在地基与基础的接触面上产生 的压力（地基作用于基础底面的反力）
（2）接触压力的大小影响因素
地基土和基础的刚度 荷载 基础埋深 地基土性质
3.2.2 基底压力分布形式
（1）柔性基础，基底压力大小、分布状况与上部荷 载的大小、分布状况相同。
z
F
d z
3z3
2
p(x, y)dd F (( x )2 ( y )2 z 2 )5/ 2
1、均布的矩形荷载
荷载微单元 p0dxdy
d z
3
2
( p0dxdy)z3 (x2 y2 z2 )5/2
z
p0 2
[ (l 2
lbz(l2 + b 2 2z2 ) z2 )(b2 z2 ) l2 b2
在竖直面上还作用有水平向的侧向自 重应力。由于 沿任一水平面上均匀地无限分布，所以地基土在自重 作用下只能产生竖 向变形，而不能有侧向变形和剪 切形。
cx cy K0 cz
xy yx zx 0
必须指出，只有通过土粒接触点传递的粒间应力，才 能使土粒彼此挤紧，从而引起土体的变形，而且粒间应力 又是影响土体强度的—个重要因素，所以粒间应力又称为 有效应力。因此，土中自重应力可定义为土自身有效重力 在土体中引起的应力。土中竖向和侧向的自重应力一般均 指有效自重应力。
r
y
x
R r2 z2
dz
y
Rz
dzy
dzx dxz
M
dyz dy dyx
dxy
dx
z
3P z3
3P
cos3
2 R5 2R 2
R r2 z2
z
3P
2
z3 R5
z
3P
2
(r 2
z3 z2 )5/2
3
2
1 [(r / z)2 1]5/ 2
P z2
z
P z2
3.3.3 矩形和圆形荷载下地基附加应力计 算——积分法
荷载
变形地面
反力
(柔性基础基底压力分布) 例如：油罐 土坝
（2）刚性基础则不同 马鞍形、抛物线形、钟形
荷载
变形地面
反力
(刚性基础基底压力分布) 例如：箱形基础 混凝土坝
3.2.3 基底压力的简化计算
1. 中心荷载下的基底压力
F G p
A A l b
2．偏心荷载下的基底压力
三角形形心点 三角形形心点
mn 2
[
1
m2 n2 (1 n2 )
n2 ]
m2 n2 1
3. 均布的圆形荷载
z
d z
A
3 p0 z 3
2
2
0
r0 rddr
0 (r 2 z 2 )5 / 2
p0[1
(r02
z3 z2 )3/ 2
p 0 [1 (
1
1
] r p0
1)3 / 2
z 2 / r0 2
3.3.4 平面问题（线荷载和条形荷载）
z2
arctan
z
lb ]
(l 2 b2 z2 )
z c p0
c
1 2
(m2
mn(m2 2n2 1) n2 )(1 n2 ) m2 n2
arctan
1
n
m ]
(m2 n2 1)
c ——均布矩形荷载角点下的竖向附加应力系数，简称角点 应力系数，可查表得到。
* 对于均布矩形荷载附加应力计算点不位于角点下的情况：
[例题3—7] 某建筑场地的地质柱状图和土的有关指标 列于例图中。试计算地面 下深度为2.5m、5m和9m处的自重应力，并绘出分布图。
[解] 本例天然地面下第一层粉土厚6m，其中地下 水位以上和以下的厚度分别为3.6 m和2.4m，第二层为 粉质粘土层。依次计算2.5m、3.6m、5m、6m、9m各深度 处的土中竖向自重应力，计算过程及自重应力分布图一 并列于例图3—1中。
p0 p ch p 0h
3.3 土中附加应力
3.3.1 基本概念
1、定义
附加应力是由于外荷载作用，在地基中产生的应力增量。
2、基本假定
地基土是各向同性的、均质的线性变形体，而且在深度和水平 方向上都是无限延伸的。
3.3.2 竖向集中力作用时的地基附加应 力布辛奈斯克解答
P
x
r x2 y2
σz＝(αcⅠ－αcⅡ＋αcⅢ－αcⅣ)p0
(4)o点在荷载面角点外侧
σz＝(αcⅠ－αcⅡ－αcⅢ＋αcⅣ)p0
2. 三角形分布的矩形荷载
x b p0dxdy
d z
3
2
b(x 2
p0 xz 3 y 2 z 2)5/2
dxdy
z1 t1 p0
z2 t2 p0 (c t1) p0
t1