土中应力计算概述
4土中应力的计算
y x
) xz x (1 P(1 )P xz x 2 u ( 1 ) u (1 2 3 ) 3E 2 R ( R z ) R 2E R R( R z ) 1 ) yz y (yz P (1v )P y ( 1 2 ) 2 3 v ( 1 ) E R R ( R z ) 2 3 2E P R R ( R z ) 2 1 (1 2 ) z w 12 (1 ) 3 P (1 ) 2 z E R R ) w 3 2(1 2E R R
第4章
土中应力的计算
土体受到力的作用，以内力的形式作出响 应，即产生内力，内力的集度称为应力。 应力按起因可分为：自重应力和附加应力。
土中某点的总应力=
该点的自重应力与附加应力之和。
应力按分担作用可分为： 有效应力和孔隙应力（孔隙压力）。
土中某点的总应力=
该点的有效应力与孔隙应力之和。
均质土中的自重应力
关于基底压力简化计算的说明
基底压力的简化计算
（一） 中心荷载下的基底压力P(kPa)
室内设计地面 G
d d
F
+0.00
+0.00
G
F
室外设计地面
b
b
p (a) (b)
p
d — 基础埋 深(m)；必 须从设计地 面或室内外 平均设计地 面算起。
F G p A
F — 作用任基础上的竖向力设计值(kN)； G — 基础自重设计值及其上回填土总重 (kN)；G=GAd , 其中G为基础及回填土之 平均重度，一般取20kN/m3。
单向偏心荷载下的基底压力
单向偏心荷载 下，设计时通常 取基底长边方向 与偏心方向一致， 此时两短边边缘 最大压力设计值 pmax 与最小压力设 计 值 pmin 按 材 料 力学短柱偏心受 压公式计算：
土力学：第三章土中应力计算
附加应力的分布规律
平面分布规律
附加应力在平面上的分布呈扩散状，随着深度的 增加而减小。
深度分布规律
在一定深度范围内，附加应力随深度的增加而增 大，达到一定深度后基本保持稳定。
方向分布规律
附加应力在不同方向上的分布不同，与外部荷载 的方向和土体的性质有关。
附加应力的影响因素
01
外部荷载
外部荷载的大小、分布和作用方 式直接影响附加应力的分布和大 小。
在水平方向上，自重应力 表现为均匀分布。
侧向应力
在土体边缘，自重应力表 现为侧向应力，对土体的 稳定性产生影响。
自重应力的影响因素
土的密度
土的密度越大，自重应力越大。
重力加速度
重力加速度越大，自重应力越大。
土体的几何形状和尺寸
土体的几何形状和尺寸对自重应力的分布和大小有显著影响。
04 土中附加应力计算
02
03
土体的性质
边界条件
土体的容重、压缩性、内摩擦角、 粘聚力等性质对附加应力的影响 较大。
土体的边界条件，如固定边界、 自由边界等，对附加应力的分布 和大小也有影响。
05 土中有效应力计算
CHAPTER
有效应力的概念与计算方法
有效应力的概念
有效应力是指土壤颗粒之间的法向应 力，是土壤保持其结构稳定和防止剪 切破坏的主要因素。
土中应力计算的重要性
01
02
03
工程安全
准确的土中应力计算是确 保工程安全的前提，能够 预测可能出现的危险和制 定应对措施。
设计优化
通过土中应力计算，可以 优化设计方案，提高工程 结构的稳定性和经济性。
科学研究
土中应力计算有助于深入 研究土力学性质和规律， 推动土力学学科的发展。
土体中的应力计算
土体中的应力计算在土体中，应力是指单位面积上的力的作用，可以分为垂直应力和水平应力。
垂直应力是指垂直于土体中其中一点的力的作用，通常用σ表示，单位为N/m²或Pa；水平应力是指与土体中其中一点切向的力的作用，通常用τ表示，单位为N/m²或Pa。
在计算土体中的应力时，需要先确定作用力的大小和方向。
作用力可以分为自重应力、表面荷载和边界条件所引起的应力。
自重应力是由土体自身的重力引起的应力，可以通过土体的密度和重力加速度来计算；表面荷载是由于外界施加在土体上的荷载，可以通过荷载的大小和分布情况来计算；边界条件所引起的应力是由于土体边界的约束而产生的应力，可以根据边界条件的空间限制来计算。
计算垂直应力时，需要将作用力作用在单位面积上，即垂直应力等于作用力的大小除以土体的面积。
例如，对于自重应力来说，垂直应力可以通过土体的密度乘以重力加速度来计算。
而对于表面荷载来说，垂直应力可以通过荷载的大小和分布情况来计算。
计算水平应力时，需要考虑土体的弹性特性。
根据弹性理论，水平应力的大小与垂直应力的大小和土体的弹性模量有关。
弹性模量是反映土体抵抗应力的能力的指标，可以通过试验或经验公式估算得到。
一般来说，弹性模量越大，土体的抵抗应力能力越强，水平应力的大小也越大。
在应力计算时，还需要考虑土体的变形特性。
土体的变形可以分为弹性变形和塑性变形两种。
弹性变形是指在荷载作用后，土体恢复到无荷载状态时的变形，是可逆的，可以通过应力和应变之间的线性关系进行计算。
而塑性变形是指在荷载作用后，土体不完全恢复到无荷载状态时的变形，是不可逆的，需要通过试验或经验公式来确定。
总之，土体中的应力计算是根据应力平衡原理和弹性力学原理进行的，需要考虑土体的类型、作用力的大小和方向以及土体的弹性和变形特性。
通过合理的应力计算，可以为土壤工程和土木工程的设计和施工提供基础数据。
土力学与地基基础(土中的应力计算)
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk =A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1
土体中的应力计算
第五章 土体中的应力计算第一节 概述大多数建筑物是造建在土层上的，我们把支承建筑物的这种土层称为地基。
由天然土层直接支承建筑物的称天然地基，软弱土层经加固后支承建筑物的称人工地基，而与地基相接触的建筑物底部称为基础。
地基受荷以后将产生应力和变形，给建筑物带来两个工程问题，即土体稳定问题和变形问题。
如果地基内部所产生的应力在土的强度所允许的范围内，那么土体是稳定的，反之，土体就要发生破坏，并能引起整个地基产生滑动而失去稳定，从而导致建筑物倾倒。
地基中的应力，按照其因可以分为自重应力和附加应力两种：自重应力：由土体本身有效重量产生的应力称为自重应力。
一般而言，土体在自重作用下，在漫长的地质历史上已压缩稳定，不再引起土的变形（新沉积土或近期人工充填土除外）。
附加应力：由于外荷（静的或动的）在地基内部引起的应力称为附加应力，它是使地基失去稳定和产生变形的主要原因。
附加应力的大小，除了与计算点的位置有关外，还决定于基底压力的大小和分布状况。
一、应力～应变关系的假定真实土的应力～应变关系是非常复杂的，目前在计算地基中的附加应力时，常把土当成线弹性体，即假定其应力与应变呈线性关系，服从广义虎克定律，从而可直接应用弹性理论得出应力的解析解。
1、关于连续介质问题弹性理论要求：受力体是连续介质。
而土是由三相物质组成的碎散颗粒集合体，不是连续介质。
为此假设土体是连续体，从平均应力的概念出发，用一般材料力学的方法来定义土中的应力。
2、关于线弹性体问题理想弹性体的应力与应变成正比直线关系，且应力卸除后变形可以完全恢复。
土体则是弹塑性物质，它的应力应变关系是呈非线性的和弹塑性的，且应力卸除后，应变也不能完全恢复。
为此进行假设土的应变关系为直线，以便直接用弹性理论求土中的应力分布，但对沉降有特殊要求的建筑物，这种假设误差过大。
3、关于均质、等向问题理想弹性体应是均质的各向同性体。
而天然地基往往是由成层土组成，为非均质各向异性体。
土力学完整课件土中应力计算
积分,得
z t p
Y
t f (m l / b, n z / b)
三角分布矩形荷载角点下的竖向附加应 力系数.可查表. 注意l—荷载不变化边 的长度; b—荷载变化边的长度.
水平均布荷载
q
z
x z
2
2 pz 3
2
2
(二)条形荷载下的附加应力计算 1.均布条形荷载下的附加应力 p O x b/2 b/2 z x M z 2. 三角形荷载的附加应力 pt O x b z x M z
z u p
z x u f u m , n b b
l
pmax pmin
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=(bl2)/6
讨论：
N 6e pmax 1 bl l min
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分布
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
3.基底中点下附加压 力计算
1.5m 2m 112.6kPa
0 ＝18.5kN/m3
292.0kPa
179.4kPa
112.6kPa
分析步骤Ⅳ:
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
1.5m
1m 1m 2m 2m 2m
0 ＝18.5kN/m3
3． r 0 ，随 z 从 0 开始增大， z 先随之增大，后随之减小；
第四章土体中的应力计算详解
土体中的应力计算
§4 土体中的应力计算
地基中的应力状态 应力应变关系 土力学中应力符号的规定
强度问题 变形问题
应力状态及应力应变关系
自重应力 附加应力
建筑物修建以前，地基 中由土体本身的有效重 量所产生的应力。
基底压力计算 有效应力原理
建筑物修建以后，建筑物 重量等外荷载在地基中引 起的应力，所谓的“附加” 是指在原来自重应力基础 上增加的压力。
§4 土体中的应力计算 §4.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律 (2)侧限压缩试验
应力应变关系－以某种粘土为例
z p
非线性 弹塑性
1 Ee
1 Es
z
e0 (1 e0 )
侧限变形模量：
Es
z z
§4 土体中的应力计算 §4.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律
常规三轴试验与侧限压缩试验应力应变关系曲线的比较
z p
侧限压缩试验
常规三轴试验
z
e0 (1 e0 )
§4 土体中的应力计算 §4.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律
变形模量 E 与侧限变形模量 Es 之间的关系
§4 土体中的应力计算 §4.3 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
P
o
αr
x R
y M’
βz
x
z
zx
y
xy
x
M
y yz
z
R2 r2 z2 x2 y2 z2 r / z tg
第3章土中应力计算
n z/b
角点法求矩形面积均布荷载下竖向应力 一般计算步骤 （1）将待求点水平投影在荷载作用面上； （2）过投影点将荷载作用面划分为若干矩形 面积，且投影点必须是各矩形的公共角点； （3）计算单个矩形作用下某深度处的附加应 力并求代数和。 （4）p55，见例3.3，3.4。
计算点在基础内部
p
III IV
3F
2
yz 2 R5
zx
3F
2
xz 2 R5
单个竖向集中力作用 集中力作用下的地基竖向
应力系数
oF
xq r
R
x y
M(x,y,0)
z
z
F z2
y M(x,y,z)
z
对竖向应力进行推导可得
3
1
2
1
(
r z
)
2
5
/
2F
2 z 2
1
1
(
r z
)
2
5
/
2
F
z2
（P52，例3.2）
（5）竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四 周无限传播，在传播过程中，应力强度不断降低 （应力扩散）
力的叠加原理
由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、 应力或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该参 数值的代数和
F1
F2
两个集中力
作用下σz的
z
叠加
1
2
多个集中力及不规则分布荷载作用
等代荷载法
（3）侧限应力状态：侧向应变为0的状态。地基在
自重作用下的应力状态。对于半无限弹性体，同深度处的 土单元受力相同，仅能发生竖向变形，不能发生侧向变形； 任何竖直面均为对称面，故任何竖直面和水平面均不会有 剪应力存在。
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k0
1
式中：
k0：土的侧压力系数；
：土的泊松比。
三、自重应力分布规律
1、均质土中线性分布；
2、随深度逐渐增加；
3、一般呈折线分布；
4、隔水层面处，突然增加。
第三节 基底压力计算
基底压力(contact pressure of foundation base)：作用 于基础底面处土层单位面积上的压力。
1、土体表面为无限大的水平面。 2、土体在自重的作用下已压缩稳定。
二、竖向自重应力计算
1、成层土
n
cz ihi i 1
式中
n
hi z
i 1
z ：计算点到地表的距离，m；
i ：第i层土的重度，地下水位以下采用浮重度；
hi ：第i层土的厚度，m。
第二节 土中自重应力计算
2、按分担物质分 有效应力：由土骨架传递或承担的应力。是土体产
生变形和强度的真正应力。 孔隙水应力：由土中孔隙水传递或承担的应力。
二、分析计算方法
1、弹性力学法 2、数值计算方法，比如差分法、有限元法等。
第二节 土中自重应力计算
自重应力（geostatic stress）是由土体自重产生的
应力。
一、假定
第三章 土中应力计算
主要内容
第一节 概述 第二节 土中自重应力计算 第三节 基底压力计算 第四节 土中附加应力计算 第五节 有效应力原理
第一节 概述
土中应力（stress in soil）是由地基上的作用在土中 引起的应力。
一、分类
1、按引起的原因分 自重应力：由土体自重产生的应力。 附加应力：由外部作用，在土中产生的应力。
式中:
l 3( l e) 2
l：基底和地基的实际接触长度，m。
第三节 基底压力计算
三、基底附加压力
基底附加压力是基础底面处地基土在初始应力的基 础上增加的压力。
p0 p cd
式中：
cd:基础底面处土的自重应力。
建筑物引起的基底压力一部分补偿由基坑开挖所卸 除的土的自重应力，一部分使地基土产生附加应力和沉 降变形，基底附加压力是地基中附加应力计算的依据。
二、习题
4.1，4.4，4.5，4.7
e:偏心矩，m；
M:作用于基础底面形心上的力矩，kNm。
第三节 基底压力计算
讨论: 当6e/l<1.0时，基底压力呈
梯形分布。
当6e/l=1.0时，基底压力呈 三角形分布。
当6e/l>1.0时， pmin<0，基底 和地基之间局部脱开，上式不再
适用 。此时，基底压力可由静
力平衡条件求得:
2R pmax lb
1.矩形基础底面积为4m×3m，在基底长边方向作用着 偏心荷载1200kN。当最小基底压力pmin等于零时， 最大基底压力pmax最接近下列哪个数值？
A. 120 ； B. 150 ； C. 170 ； D. 200 。
作业题
一、思考题
4.1 土的自重应力分布有什么规律? 4.2 影响基底压力分布的因素有哪些? 4.6 土中附加应力计算公式中p、z和R的物理意义是什么？ 4.7 附加应力分布有什么规律? 4.9 地下水降低对地基中的应力有何影响? 4.10 何谓有效应力原理？渗流对地基中的应力有何影响？
2、有隔水层时 ⑴隔水层效应
隔水层面以上水的静压力使隔水层面以下土的有效 应力增加 。 ⑵计算公式
n
cz ihi whw i 1
式中：
w :水的重度，可取10.0kN/m3；
hw:地下水位到隔水层面的距离，m。
第二节 土中自重应力计算
二、水平自重应力计算
cx cy k0 cz
一、影响基底压力分布的因素
1、荷载大小和分布。 2、地基土的性质和分布。 3、基础和上部结构与地基的相对刚度。 3、基础大小、形状和埋深。
第三节 基底压力计算
二、基底压力简化计算
1、假设：基底压力为线性分布。
2、轴心荷载作用
p F G A
G G Ad
式中：
F:上部结构传至基础顶面上的轴向力，kN； G:基础和其上覆土的总重量，kN；
G:基础及其上覆土的平均重度，初步设计时可取
20kN/m3；
d:基础埋深，从设计地面或室内外平均设计地面起算；
A:基础底面积，max R (1 6e )
p m in
A
l
R F G
e M R
式中：
pmax:基底最大压力，kPa； pmin :基底最小压力，kPa； R:竖向荷载的合力，kN；