反比例函数知识点总结

反比例函数知识点总结

知识点1 反比例函数的定义

一般地，形如x

k

y =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数。可以从以下几个

方面来理解：

⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分；

⑷反比例函数有三种表达式： ①x

k

y =

（0k ≠）； ②1kx y -=（0k ≠）； ③k y x =⋅（定值）（0k ≠）； ⑸函数x k y =

（0k ≠）与y

k

x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。

（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x

k

y =，就不是反比例函数了。

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式

由于反比例函数x

k

y =

（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴确定自变量的取值范围，列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；

②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；

③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；

④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 知识点4反比例函数的性质

☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：

当0k >时，y 随x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k 的符号决定的；反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号。

如x

k

y =

在第一、第三象限，则可知0k >。 ☆反比例函数x

k

y =（0k ≠）中比例系数k 的绝对值k 的几何

意义。（1）如图1所示，过双曲线上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线，E 、F 分别为垂足，则O EPF S PE PF y x xy 矩形=⋅=⋅==k （2）如图2所示，过双曲线上任一点B （x ，y ）分别作x 轴

（或y 轴的垂线），A 为垂足，连接AO ，则AOB S ∆=k 2

1。

☆ 反比例函数x k y =

（0k ≠）中，k 越大，双曲线x

k

y =越远离图1 图2

y

A B C D

坐标原点；k 越小，双曲线x

k

y =

越靠近坐标原点。 ☆ 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直

线y=x 和直线y=－x 。

反比例函数知识点的应用

一、例题

【例1】如果函数2

22

-+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k 的值

是多少？

【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数x

k y =，（0≠k ）即kx y =1

-（0≠k ）

又在第二，四象限内，则0

解：由反比例函数的定义，得：

⎩⎨⎧<-=-+01222k k k 解得⎪⎩

⎪⎨⎧<=

-=0211k k k 或

1-=∴k

1-=∴k 时函数222-+=k k kx y 为x

y 1

-=

【例2】在反比例函数x

y 1

-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。

若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）

A ．213y y y >>

B ．123y y y >>

C ．321y y y >>

D ．231y y y >> 【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。 解法一：由题意得111x y -

=，221x y -=，3

31x y -= 3210x x x >>> ，213y y y >>∴所以选A 解法二：用图像法，在直角坐标系中作出x

y 1

-

=的图像 描出三个点，满足3210x x x >>>观察图像直接得到213y y y >>选A 解法三：用特殊值法

213321321321,1,1,2

1

1,1,2,0y y y y y y x x x x x x >>∴=-=-=∴-===∴>>>令

【例3】如果一次函数()与反比例函数x

m

n y m n mx y -=≠+=30相交于点（22

1

，），那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）

解：⎩⎨

⎧==⎪⎩

⎪⎨⎧=-=+∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=12132212213n m m n n m x x m n y n mx y 解得，，相交于与双曲线直线 ⎪⎩⎪⎨⎧==

⎩⎨⎧-=-=⎪⎩

⎪

⎨⎧=+==+=∴2

2

1111121,122211y x y x x y x y x y x y ，得解方程组双曲线为直线为

()11--∴，另一个点为

【例4】 如图，在AOB Rt ∆中，点A 是直线m x y +=与双曲线x

m

y =在第一象限 的交点，且2=∆AOB S ，则m 的值是_____.

解:因为双曲线x m y =过点A , m 2

1

2=. 所以m =4，双曲线x

m

y =图像在第一象限，

所以4=m

二、练习题 1.反比例函数x

y 2

-

=的图像位于（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限 2.若y 与x 成反比例，x 与z 成正比例，则y 是z 的（ ）

A 、正比例函数

B 、反比例函数

C 、一次函数

D 、不能确定

3.如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数图象大致为（ ）

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