2015年湖南省高考数学试卷(理科)答案与解析

2015年湖南省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分

1．（5分）（2015•湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）

A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i

考点：复数代数形式的乘除运算．

专题：数系的扩充和复数．

分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．

解答：

解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===

﹣1﹣i，

故选：D．

点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．

2．（5分）（2015•湖南）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题：集合；简易逻辑．

分析：直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可．

解答：解：A、B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”，

“A⊆B”，可得“A∩B=A”．

所以A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件．

故选：C．

点评：本题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，基本知识的应用．

3．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）

A．B．C．D．

考点：程序框图．

分析：列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．

解答：解：判断前i=1，n=3，s=0，

第1次循环，S=，i=2，

第2次循环，S=，i=3，

第3次循环，S=，i=4，

此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：

S===

故选：B

点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力

4．（5分）（2015•湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1D．2

考点：简单线性规划．

专题：不等式的解法及应用．

分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．

解答：

解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，最优解为A，

联立，解得C（0，﹣1）．由解得A（﹣2，1），由，

解得B（1，1）

∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．

故选：A．

点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．易错点是图形中的B点．

5．（5分）（2015•湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）

A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数

C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数

考点：利用导数研究函数的单调性．

专题：导数的综合应用．

分析：求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．

解答：解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．

排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f （0）=0；

x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函

数，所以B错误，A正确．

故选：A．

点评：本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．

6．（5分）（2015•湖南）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．﹣C．6D．﹣6

考点：二项式定理的应用．

专题：二项式定理．

分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为求得r，再代入系数求出结果．

解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项，

T r+1==；

展开式中含x的项的系数为30，

∴，

∴r=1，并且，解得a=﹣6．

故选：D．

点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．

7．（5分）（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）

附“若X﹣N=（μ，a2），则

P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．

p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．

A．2386 B．2718 C．3413 D．4772

考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

专题：计算题；概率与统计．

分析：

求出P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，即可得出结论．

解答：

解：由题意P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，

∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，

故选：C．

点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．

8．（5分）（2015•湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）

A．6B．7C．8D．9

考点：圆的切线方程．

专题：计算题；直线与圆．

分析：

由题意，AC为直径，所以||=|2+|=|4+|．B为（﹣1，0）时，|4+|≤7，即可得出结论．

解答：

解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|=|4+|．

所以B为（﹣1，0）时，|4+|≤7．

所以||的最大值为7．

故选：B．

点评：本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

9．（5分）（2015•湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得

到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）

A．B．C．D．

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

专题：三角函数的图像与性质．

分析：利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．

解答：

解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，

不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，

此时φ=，不合题意，