第二十二届希望杯全国数学邀请赛
个人教育教学工作总结
个人教育教学工作总结（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析(一)
历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析题 1 已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 .（第十一届高二第一试第11题）解法1 b b a a b b a x ++=-+=，ab b aa b b y -+=--=.y x a b b b b a b a <∴-+>++∴<<,,0 .解法2bb a ab b a b b b b a y x ++-+=---+=，y x y x a b b a <∴<∴->+,1, . 解法3a ab b a b b a ab b b b a y x -+-++=----+=-1111 =y x yx a a b b a <∴>-∴>--+,011,0.解法4 原问题等价于比较a b b a -++与b 2的大小.由,2)(222y x y x +≥+得b a b b a a b b a 4)(2)2=-++≤-++（，b a b b a 2≤-++∴. y x b a b b a a b b a <∴<-++∴-≠+,2, .解法5 如图1，在函数x y =的图象上取三个不同的点A （a b -，a b -）、B （b ，b ）、C （b a +，b a +）.由图象，显然有AB BCk k <，即)()(a b b ab b b b a b b a ----<-+-+， 即a b b b b a --<-+，亦即y x <.解法6 令()f t =，tt a at f ++=)( 单调递减，而a b b ->，)()(a b f b f -<∴，即a b b b b a --<-+，y x <∴.解法7 考虑等轴双曲线)0(22>=-x a y x .图1如图2，其渐近线为x y =.在双曲线上取两点 A （b ，a b -）、B （a b +，b ）. 由图形，显然有1>ABk ，即1>-+--bb a ab b ，从而y x <.解法8 如图3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，BC=a ，AC=b ，BD=b ，则AB=b a +，DC=a b -. 在△ABD 中，AB-AD<BD ，即-+b a AD b <，从而-+b a AD-DC<-b DC ， 即a b b b b a --<-+，故y x <.评析 比较大小是中学代数中的常见内容.其最基本的方法是作差比较法、作商比较法、利用函数的单调性.解法1通过分子有理化（处理无理式常用此法）将问题转化成比较两个分母的大小.解法2直接作商与1比较大小，顺理成章，也很简洁.要注意的是：0,>b a 时，1a a b b >⇔>；0,<b a 时，1aa b b>⇔<.此题直接作差难以确定差与0的大小，解法3对y x ,的倒数作差再与0比较大小，使得问题顺利获解，反映了思维的灵活性.解法6运用函数的单调性解题，构造一个什么样的函数是关键.我们认为构造的函数应使得y x ,恰为其两个函数值，且该函数还应是单调的（最起码在包含y x ,对应的自变量值的某区间上是单调的）.解法5与解法7分别构造函数与解几模型，将y x ,的大小关系问题转化成斜率问题加以解决，充分沟通了代数与几何之间的内在联系，可谓创新解法.解法8充分挖掘代数式的几何背景，构造平面图形，直观地使问题得到解决，这也是解决大小关系问题和证明不等式的常用方法.有人对此题作出如下解答：取,2,1==b a 则12112,23123+=-=+=-=y x，32+>10+>，.,121231y x <∴+<+可再取两组特殊值验证，都有y x <.故答案为y x <. 从逻辑上讲，取2,1==b a ，得y x <.即使再取无论多少组值（也只能是有限组值）验证，都得y x <，也只能说明y x >或y x ≥作为答案是错误的，而不能说明y x <一定是正确的,因为这不能排除x y =的可能性.因此答案虽然正确，但解法是没有根据的.当然，如果将题目改为选择题：已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是图2图3（ ）A 、y x >B 、y x ≥C 、y x =D 、y x <此时用上述解法，且不用再取特殊值验证就可选D ，并且方法简单，答案一定正确. 总而言之，特殊值法在解许多选择题时显得特别简捷，那是因为选择支中的正确答案是唯一的，从而通过特殊值排除干扰支，进而选出正确答案.但特殊值法只能排除错误结论，而不能直接肯定正确答案，因此，用此法解填空题（少数特例除外）与解答题是没有根据的.当然，利用特殊值指明解题方向还是十分可取的.题 2 设c b a >>N n ∈,，且11na b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值为 （ ）A 、2B 、3C 、4D 、5（第十一届高二第一试第7题）解法1 原式n c b c a b a c a ≥--+--⇔．mina c a c n ab bc --⎡⎤∴≤+⎢⎥--⎣⎦．而b a c a --+c b c a -- =b ac b b a --+-+b c a b b c -+--=2+b a c b --+c b b a --≥4，且当b ac b --=cb ba --，即bc a 2=+时取等号．mina c a c ab bc --⎡⎤∴+⎢⎥--⎣⎦4=．4n ∴≤．故选C ． 解法2 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ，已知不等式化为()()()2a c n a b b c -≤--．由()()()()22242a c a c ab bc a b b c --≥=---+-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()()4min2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---c b b a c a ，故由已知得4≤n ，选C ．解法3由cb a >>，知,0,0>->->-c a c b b a ，有()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11．又()()()[]()41111112=+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c b b a c b b a c a ，即()411min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a ，由题意，4≤n ．故选C ．解法4 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ．∴已知不等式可变形为()()()2a c n a b b c -≤--．记()()()2a c k ab bc -=--，则()()[]()()()()[]()()4222=----≥---+-=c b b a c b b a c b b a c b b a k ．由题意，4≤n ．故选C ．解法5 c b a >>110,0.a b b c∴>>--于是 ()()ca cb b ac b b a -=-+-≥-+-4411．比较得4≤n ．故选C ． 评析 由已知，可得()⎪⎭⎫⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11恒成立．根据常识“若()a f x ≤恒成立，则()min x f a ≤；若()x f a ≥恒成立，则()max a f x ≥,”()⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a 11的最小值就是所求n 的最大值，故问题转化为求()⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a 11的最小值，上述各种解法都是围绕这一中心的，不过采用了不同的变形技巧，使用了不同的基本不等式而已．解法1运用了2,,b a a b R a b ++≥∈“”；解法2运用了”“22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ；解法3运用了()”“411≥⎪⎭⎫⎝⎛++b a b a ；解法4运用了()”“+∈≥+R b a ab b a ,2；解法5运用了()”“+∈+≥+R b a ba b a ,411．虽解法异彩纷呈，但却殊途同归． 此题使我们联想到最新高中数学第二册（上）P 30第8题： 已知c b a >>，求证：0111>-+-+-ac c b b a ． 证：令()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．()22111111x y xya b b c c a x y x y xy x y ++∴++=+-=---++．0,0x y >>， 0111>-+-+-∴ac c b b a ． 此证法通过换元将分母中的多项式改写成单项式，使得推证更简单了．运用这一思路，又可得本赛题如下解法：设()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．ca nc b b a -≥-+-11恒成立，就是y x ny x +≥+11恒成立．也就是()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤y x y x n 11恒成立．()411≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x y x 恒成立，∴由题意得4≤n ．故选C ．再看一个运用这一思想解题的例子．例 设+∈R c b a ,,，求证：2222cb a b ac a c b c b a ++≥+++++． （第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）证明 设,,,z b a y a c x c b =+=+=+则()()0,,21>++=++z y x z y x c b a ． ()()()02222≥+-=++-+y x xy bx ay y x b a y b x a ，()222a b a b x y x y +∴+≥+ ①， ()()()()222222222a b a b c a b c a b c c a b c x y z x y z x y z a b c +++++++∴++≥+≥==+++++,即 2222c b a z c y b x a ++≥++，2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++∴． 本赛题还可直接由下面的命题得解．命题 若021>>>>n a a a ，则()nn n a a n a a a a a a --≥-++-+--12132211111 ． 证明 021>>>>n a a a ，n n a a a a a a ---∴-13221,,, 都大于0．反复运用①式，可得: “若,(1,2,,)i i x y R i n +∈=,则22111n i ni i n i iii x x y y ===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑,当且仅当1212n nx x x y y y ===时取等号”.故有()()22122311223111111111n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a --+++-+++≥=----+-++--． 也可以这样证明：021>>>>n a a a ，12231,,,0n n a a a a a a -∴--->．故由柯西不等式，得()()()1223112231111()n n n na a a a a a a a a a a a --+++-+-++-⎡⎤⎣⎦---()()211111n -≥+++个()21n =-，即()()21132211)111(-≥--++-+--n a a a a a a a a n nn ．01>-n a a ，()nn n a a n a a a a a a --≥-++-+-∴-12132211111 ． 由此可得本赛题的如下解法：cb a >>，,0,0>->->-∴c a c b b a ，()ca cb b ac b b a -=-+-+≥-+-∴411112．由 题意，4≤n ．故选C ． 由此命题还可直接解决第七届高二培训题第8题：设12320002001a a a a a >>>>>，并且122320002001111m a a a a a a =+++---，200116104a a n -⨯=，则m 与n 的大小关系是 ( )A 、n m <B 、n m >C 、n m ≥D 、n m ≤解12320002001a a a a a >>>>>，2001162001121042000a a a a m -⨯=-≥∴．故选C ． 题 3 设实数y x n m ,,,满足a n m =+22，b y x =+22，则ny mx +的最大值为( )A 、21()b a + B 、2122b a + C 、222b a + D 、ab（第十一届高二培训题第5题）解法1 设,sin ,cos ααa n a m ==,sin ,cos ββb y b x ==则,)cos(sin sin cos cos ab ab ab ab ny mx ≤-=+=+βαβαβα即)(ny mx +max =ab .故选D ．解法2b n ab m a b a n m =+⇒=+2222,又b y x =+22,+=+∴mx abny mx ab)(≤nyab 2222()()2b m n x y a +++==.2b b a a b=+⋅ny mx +∴,ab ab b =≤当且仅当x =且,y =即my nx =时取等号，max )ny mx +∴（.ab =解法3 2222222222222()2mx ny m x mxny n y m x m y n x n y +=++≤+++()()2222,m n x y ab =++=mx ny ∴+≤当且仅当my nx =时取等号，故()max mx ny +.解法4设()(),,,,p m n q x y →→==则cos ,p q p q p q θ→→→→→→⋅=⋅⋅≤⋅222,p q p q →→→→∴⋅≤⋅()()222mx ny m n +≤+即()22,xyab +=当且仅当,p q →→共线，即my nx =时取等号，故()max mx ny +.解法5 若设mx ny k +=，则直线mx ny k +=与圆22x y b +=有公共点，于是≤()max k mx ny mx ny =+≤∴+=解法6设12,z m ni z x yi=+=-,则()()()()12,z z m ni x yi mx ny nx my i =+⋅-=++-∴1212,z z mx ny mx ny mx ny z z ⋅=≥=+≥+∴+≤12z z =⋅==当且仅当my nx =时取等号，故()max mx ny +．解法7 构造函数()()()222222f X m nXmx ny X x y =+++++，则()()()220.f X mX x nX y =+++≥故()()()2222244mx ny m nxy ∆=+-++()2440,mx ny ab =+-≤即()max mx ny mx ny +≤∴+.ab =解法8 由2222,m n a x y b +=+=还可构造图形（如图），其中90,ACB ADB ︒∠=∠=,AC =,BC =,,BD x AD y AB ===为圆的直径，由托勒密定理,AD BC BD AC ⋅+⋅2,AB CD AB =⋅≤得,x y b ⋅+⋅≤，从而得mx ny +≤，当且仅当my nx =且0mx >时取等号．()max mx ny ∴+=评析 解法1抓住已知条件式的结构特征，运用三角代换法，合情合理，自然流畅，也是解决此类型问题的通法之一．解法2运用基本不等式222b a ab +≤将ny mx +放大为关于22n m +与22y x +的式子，再利用条件求出最大值．值得注意的是，稍不注意，就会得出下面的错误解法：()()()22222222max ,22222m n x y m x n y a b a bmx ny mx ny ++++++++≤+==∴+=．故选A ．错误的原因就在于用基本不等式求最值时未考虑等号能否取到．上述不等式取等号的条件是x a =①且y b =②，而若①，②式同时取得，则2222m n x y +=+，即,a b =这与题设矛盾！即当a b ≠时，mx ny +取不到2a b+．解法2是避免这种错误的有效方法． 由于向量与复数的模的平方是平方和形式，与已知形式一致，故解法4与解法6分别运用了构造向量与构造复数的方法，新颖而简洁．解法5设k ny mx =+后，将其看作动直线，利用该直线与定圆b y x =+22有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，得ab ny mx k ≤+=，充分体现了等价转化的解题功能．解法7运用的是构造函数法．为什么构造函数()()()2222f X m n X mx ny X =+++2x +2y +呢？主要基于两点：①()f X 为非负式（值大于等于0），②由于()0≥X f ，故有0≤∆，而∆沟通了已知与未知的关系，故使问题得到解决．解法8抓住已知两条件式的特征，构造了两个有公共边的直角三角形，利用托勒密定理及圆的弦小于等于半径使问题获解，充分揭示了这一代数问题的几何背景．拓展 此题可作如下推广 若2222221212,,n n a a a p b b b q +++=+++=则()1122max n n a b a b a b +++=()1,2,,i i b i n ==时取得最大值）.证明 2222221212n n q q q a a a p a a a p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⇒+++ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.q = 1122a b a b ∴+++1122n n n nqa bb b a b p ⎫=⋅⋅++⋅⎪⎪⎭≤a p⎝++⎢⎥⎢⎥⎣⎦=(),22222222122221pq qp p q q p b b b a a a pq q p n n=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++ 当且仅当()().,,2,1max 2211pq b a b a b a n i b a pqn n i i =+++∴== 时取等号，本推广实际就是由著名的Cauchy （柯西）不等式()()()222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a +++⋅+++≤+++ （当且仅当nn b a b a b a === 2211时取等号）直接得到的一个结论． 推广有十分广泛的应用，现举一例： 例已知123,,,,,,234,8.a b c x y z R a bc x y z +∈++=++=且求最大值．解2221232344,8a b c x y z ++=⇒++=++=22⇒+2+＝8．由推广知=≤=当且仅当===即12ax by cz===时取等号．max∴=.24题4对于1≤m的一切实数m，使不等式221(1)x m x->-都成立的实数x的取值范围是＿＿＿＿（第十三届高二培训题第63题）解法1题设等价于⎪⎩⎪⎨⎧--<>-112122xxmx或⎪⎩⎪⎨⎧--><-112122xxmx或⎩⎨⎧>-=-1212xx，即⎪⎩⎪⎨⎧--<>-1121122xxx或⎪⎩⎪⎨⎧-->-<-1121122xxx或⎩⎨⎧>-=-1212xx,所以21<<x或113<<-x或1=x，即)2,13(-∈x.解法2 已知不等式即()()01212<---xmx，令()()121)(2---=xmxmf，则当012≠-x，即1±≠x时，)(mf是m的一次函数，因为1≤m，即11≤≤-m时不等式恒成立，所以)(mf在[]1,1-上的图象恒在m轴的下方，故有⎩⎨⎧<+--=<+-+-=-121)1(121)1(22xxfxxf，即⎩⎨⎧<->-+22222xxxx，解得213<<-x)1(≠x.又当1=x时，1)(-=mf，适合题意，当1-=x时，()3f m=不合题意.故x的取值范围是213<<-x.评析解决本题的关键是如何根据条件构建关于x的不等式或不等式组.解法1运用分离参数法，为了达到分离参数的目的，又对12-x分大于0、小于0、等于0三类情形分别构建关于x的不等式组，从而通过解不等式组解决了问题.解法2则转换思维角度，把已知不等式看成关于m的不等式，从而将原问题转化为函数()()121)(2---=xmxmf在[]1,1-上的图象恒在m轴下方的问题.这种方法称为变更主元法.用此方法，使得此题的解决显得既简捷，又直观易懂.题5 当0x a <<时,不等式2)(1122≥-+x a x 恒成立,则a 的最大值是________. (第十一届高二培训题第45题)解法 1 当0x a <<时, 2≥-+-x a x x x a ①,又有2)()(2222≥-+-x a x x x a ②,②+①×2,得6)(222222≥--+-x a x ax x x a ,6)()(122222≥---+-x a x a a x a ,8)(2222≥-+x a a x a ,即2228)(11a x a x ≥-+.由282≥a,得02a <≤,2max =∴a . 解法 2 2222)11()11()(112x a x x a x x a x--+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+ , 又 =-+x a x 11 +a 4(1a2)x a x x x a ---, 222)4()(112a x a x≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∴, 即2228)(11a x a x ≥-+, 当且仅当x a x x x a -=- 且 x a x -=11, 即 2ax = 时取等号. 2)(1122≥-+x a x 恒成立, ∴282,02a a ≥<≤. 于是2max =a . 解法 3 原不等式等价于12)(1122≥-+x a x ,由 0x a <<,可知10,x >10a x >-. 由 “两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”, 可知只需1)(2≥-+x a x , 即2≤a 即可, 故02a <≤, 于是2max =a .解法 422)(11x a x -+2≥ 即 2)(112222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++x x a x x ①成立，又2122≥+x x恒成立， ∴a 只要满足22)(1x x a --0≥②就能使①恒成立.由②式，得2x 2)(x a -1≤，1)(≤-x a x ，012≤-+-ax x ③.由于对称轴),0(2a ax ∈=，由二次函数的性质，当),0(a x ∈时，要③式恒成立，则24002a a ∆=-≤∴<≤ 2max =∴a .解法5 设αα22sin ,cos =-=a x a a x （0x a <<），则22)(11x a x -+=α42cos 1a + α42sin 1a ==+⋅αααα44442cos sin cos sin 1a =-⋅αα2sin 1612sin 2111422aαα2sin 2sin 28422-⋅a .)22(sin 2+αα2(sin 2－1）0≤，即2－αα2sin 2sin 42≥，则αα2sin 2sin 242-1≥)12sin (2时取等号当=α，于是2228)(11ax a x ≥-+，由已知，得282,02,a a≥∴<≤2max =∴a . 解法6 设11,(0,0),X Y X Y x a x==>>-则222X Y +≥表示在XOY 坐标系第一象限内以原点为圆心，2为半径的圆及其外部.由11,,X Y x a x==-得,aXY X Y =+又aXY X Y =+,4,22aXY XY ≥∴≥它表示双曲线24a XY =位于第一象限内的一支及其上方部分.依题意，双曲线2224(0)200XY X X Y X Y a=>+=>>与圆弧（，）相切或相离，从而282≥a，即02a <≤ 2max =∴a .解法7 运用结论“如果),,2,1(,n i R y x i i =∈+，则≥+++nn y x y x y x 2222121),()(21221*++++++nn y y y x x x 当且仅当k y x y x y x n n ==== 2211（常数）时取等号.”0x a<<，∴0.a x ->由柯西不等式，有22222)11())(11)(11(x a x x a x -+≥-++①，由)(*得xa x -+11a4≥②.故2 xO,)4())(11(2222a x a x ≥-+得2228)(11a x a x ≥-+，当且仅当2a x =时取等号，由282≥a，得02a <≤ 2max =∴a .解法8运用结论“212122311111(1),,n n n nn a a a a a a a a a a a -->>>+++≥----若则当且仅当n a a a ,,,21 成等差数列时取等号.”2222111122()(0)()x a x x a x ⎡⎤⎡⎤+=+≥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦2110x a x ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭222160)13(a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≥.∴2228)(11a x a x ≥-+，当且仅当x a x -=，即2a x =时取等号.令282≥a，得02a <≤ 2max =∴a . 评析2)(1122≥-+x a x 恒成立，∴2)(11min22≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x a x .故问题的实质就是求22)(11x a x -+的最小值（关于a 的式子）大于等于2的解.因而在0x a <<的条件下，如何求22)(11x a x -+的最小值成了问题的关键.解法1运用“两个互为倒数的正数的和大于等于2”, 解法2运用配方再放缩, 解法3运用均值不等式及“两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”,解法5运用三角代换，解决了这一关键问题.解法4巧妙地将原问题转化为一个含参（a ）一元二次不等式恒成立，求参数的范围问题，从而运用二次函数的性质解决问题.解法6将原问题转化为解析几何问题处理.解法7、8则是运用一些现成的结论（读者可自己证明），各种解法异彩纷呈，都值得细细品味.拓展 此题可作如下推广：推广1 若1210n x x x a -<<<<<，则≥-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x 23a n ，当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号.证明 由已知，1210n x x x a -<<<<<，则12x x -0>，23x x -0>，, 1--n x a 0>.根据柯西不等式及解法7运用的不等式（*）,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x n≥21211111n x x x a x -⎛⎫+++≥ ⎪--⎝⎭2242,n n a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭故≥-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x 23a n . 当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号.推广2 若1210n x x x a -<<<<<，,),,,2,1(++∈=∈N k n i R b i 则++kk x b 111kk n k n k n k k ab b b x a b x x b 121111212)()()(+-+++++≥-++- ，当且仅当∑==n i ii i b ab a 1时取等号. 证明 不妨设112211,,,--=-==n n x a a x x a x a ，=M ,)(11+=∑k ni i b 由已知得i a 0>且),,2,1(n i =,1a a ni i =∑=令a a c i i =，则∑=ni i c 1=111=∑=ni i a a .由均值不等式，++k i k i c b 1≥+++个k i i i Mc Mc Mc ,)1(11+++k k ik b M k 即k ik ic b 1+kn i b b b k kMc ))(1(21++++≥+ ib ⋅，则11111(1)()k nn n k i i i k i i i i b kM c k b c ++===+≥+∴∑∑∑1111()k n n k i i k i i i b b c ++==≥∑∑，即11k nki ki ib a a +=≥∑11()n k i i b +=∑， 11111()nk k i ni i k k ni ii i b b a a ++===≥⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑，当且仅当=i a ∑∑∑====⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n i i i i n i i n i i b ab b b a 111时取等号. ∴++kk x b 111++kk x b 212kn kn x a b )(1--+ k k n a b b b 121)(++++≥ . 题6 已知()⎪⎭⎫⎝⎛∈=2,0,log sin πθθx x f ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos sin θθf a ，()θθcos sin ⋅=fb ，⎪⎭⎫⎝⎛+=θθθcos sin 2sin f c ，那么c b a 、、的大小关系是 （ ）A 、b c a ≤≤B 、a c b ≤≤C 、a b c ≤≤D 、c b a ≤≤（第八届高二第一试第10题） 解法1 设p =θsin ，q =θcos .pq qp ≥+2，而()x f 是减函数，()pq fq p f ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴2，即b a ≤.2qp pq +≤，()2pq q p pq +≤∴，pq qp pq≤+2.()pq fq p pq f ≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∴2，即b c ≥.故c b a ≤≤.选D.解法2 由题意，令6πθ=，则21sin=θ，cos 2θ=，4312cos sin +=+θθ ，23cos sin 4=θθ，233cos sin cos sin 2cos sin 2sin -=+=+θθθθθθθ，()1,021sin ∈=θ ，()x f ∴是减函数，又233234314->>+，()⎪⎭⎫⎝⎛+<<⎪⎭⎫⎝⎛+∴θθθθθθθcos sin 2sin cos sin 2cos sin f ff ，即c b a <<.故选D.评析 这是一个比较函数值大小的问题，通常利用函数的单调性.若函数()x f 单调递增（减），则当21x x <时，()()()()()2121x f x f x f x f ><，当21x x >时，()()21x f x f >()()()21x f x f <.因此解决问题的关键有两个：一是确定函数的单调性，二是确定自变量的大小关系.解法1就是这样解决问题的.因为正确答案应对一切⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ都正确，故又可以运用特殊值法.对⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内的某个角不正确的选择支都是错误的，由正确选择支的唯一性，也可选出正确答案.解法2便是取特殊值6πθ=，排除了A 、B 、C 、而选D 的.当然，此题也可用作差比较法来解：⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ ，()1,0sin ∈∴θ，()x f ∴是单调减函数，0sin >θ，0cos >θ.=⋅-+=-∴θθθθθθcos sin log 2cos sin log sin sin b a01log cos sin 2cos sin log sin sin =≤⋅+θθθθθθ，b a ≤∴.又-⋅=-θθθcos sin log sin c b 01log cos sin 2cos sin log cos sin cos sin 2cos sin log cos sin 2sin log sin sin sin sin =≤+=+⋅=+θθθθθθθθθθθθθθθθθ，即c b ≤，c b a ≤≤∴.选D.题7 已知21=a ，不等式49321log <⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a的解是 . （第三届高二第二试第13题）解 原不等式即2log 32321-⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛-x a. 指数函数x⎪⎭⎫⎝⎛32是减函数，21=a ，∴原不等式化为2log121->-x ，即22121121loglog-⎪⎪⎭⎫⎝⎛->x .又对数函数logx 是减函数，2211-⎪⎭⎫⎝⎛<-∴x ，即21<-x ，解得31<<-x . 对数函数121log-x 的定义域是1≠x 的实数，∴原不等式的解是11<<-x 或31<<x .评析 此题涉及到指数不等式、对数不等式、绝对值不等式的解法.解指数不等式与对数不等式的基本方法是同底法，即先将不等式两边的指数式或对数式化成底数相同的指数式或对数式，然后根据底数所属区间是()1,0或()+∞,1，确定以该底数为底的指数函数或对数函数的单调性，再去掉底数或对数符号，转化成别的不等式.主要依据如下：⑴若01a <<,则()()()()f x g x a af xg x <⇔>；⑵若1a >,则()()()()f x g x aaf xg x <⇔<； ⑶若01a <<,则()()()()log log 0f x g x a af xg x <⇔>>；⑷若1a >,则()()()()log log 0f x g x aaf xg x <⇔<<.有时需要将常数化为指数式或对数式，其化法如下： ⑴ac ca log =（,0,0>>c a 且1≠c ）；（化为指数式）⑵log ac a c =（,0>c 且1≠c ）.（化为对数式） 例如，23log 32=将常数2化为3为底的指数式，233log 2=将常数2化为3为底的对数式.解指数不等式不需检验，但解对数不等式必须保证解使得对数式有意义，这点常被忽略. 若一个指数不等式的指数部分是对数式，常常采用取对数法求解. 例 不等式()x x x>lg的解集是 .（第十一届高二培训题第40题）解 两边取常用对数，得()x xlg lg2>，即0lg ,0lg 4lg ,0lg lg 4122<>->-x x x x x 或10,4lg <<∴>x x 或410>x .故所求解集是()()+∞,101,04.应当指出，两边取对数后，不等号的方向变不变，关键看取的是什么底数.如果底数大于1，则不等号方向不变，如果底数大于0且小于1，则不等号方向改变.关于绝对值不等式，主要是根据绝对值的几何意义求解.下列结论应当理解并熟记（a 为常数）.⑴()0≤<a a x 的解集是φ； ⑵()0><a a x 的解集是()a a ,-； ⑶()0<>a a x 的解集是R ；⑷()0x a a >>的解集是()()+∞-∞-,,a a . 下列题目供练习：⑴已知常数⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πθ，则不等式()()8103cot tan 2--->x x x θθ的解集是 .（第八届高二第一试第16题）⑵若函数()⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=4222log log x x x f 的定义域是不等式211222log 7log 30x x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭的解集，则()x f 的最小值= ；最大值= .（第十届高二第一试第23题）⑶不等式22222log 2log x x x x x x ++>的解集是 .（第九届高二培训题第23题）⑷不等式1323>--x 的解是（ ）（A ）6>x 或232<≤x （B ）6>x 或2<x （C ）6>x （D ）2<x答案 ⑴(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∞-1374,52, ⑵43 ；2 ⑶⎪⎭⎫⎝⎛2,21 ⑷A题8 不等式t x x +≥-21 的解集是∅ ,实数t 的取值范围(用区间形式)是 .(第一届高二第一试第18题)解法1 由t x x +=-21两边平方并整理得012222=-++t tx x ,此方程无实根,故()084184222<+-=--=∆t t t ,22>t .又0>t ,2>∴t .故填()+∞,2.解法2 作出函数21x y -=的图象(即图中的半圆)及函数t x y +=的图象(即图中斜率为1的直线系).由题意,直线应在半圆的上方,由图象可知直线t x y +=在y 轴上的截距2>t .故填()+∞,2.解法3 由012≥-x ,得11≤≤-x .故设θcos =x ,[]πθ,0∈,则已知不等式就是t +≥θθcos sin ,即θθcos sin -≤t .⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-4sin 2cos sin πθθθ ,又⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,44πππθ,()sin cos [1θθ∴-∈-.由题意得2>t . 故填()+∞,2.评析 这是一道蕴含着丰富数学思想方法的好题.解法1﹑2﹑3分别运用方程思想﹑数形结合思想﹑化归转换思想,从不同的角度解决了问题,体现了这道题的丰富内涵.解法2揭示了本题的几何背景.解法3的依据是:不等式t x x +≥-21 的解集是∅等价于不等式x x t -->21恒成立.有人认为不等式t x x +≥-21 的解集是∅等价于不等式x x t -->21有解,这种观点是错误的.事实上,21=t 时,不等式x x t -->21就有解(比如53=x 就是其一个解),而21=t 时,不等式t x x +≥-21即2112+≥-x x 的解集却不是∅ (比如0就是它的一个解).拓展 通过上面的分析,并作进一步的研究,我们便有下面的 结论 已知t 为参数, ()f x 的值域是[],a b . (1) 若()t f x ≤恒成立,则t a ≤. (2) 若()t f x ≥恒成立,则t b ≥.(3) 若()t f x ≤的解集是∅,则t b >. (4) 若()t f x ≥的解集是∅,则t a <. (5) 若()t f x ≤有解,则t b ≤. (6) 若()t f x ≥有解,则t a ≥.若将()f x 的值域改为[),a b 、(],a b 、(),a b 等，也会有相应的结论，限于篇幅，不再一一列出．根据这一结论，请回答下列问题：1.t ≥+的解集是∅，则实数t 的取值范围是 ． 2.t ≤+的解集是∅，则实数t 的取值范围是 ． 3.t ≥+有解，则实数t 的取值范围是 ． 4.t ≤+有解，则实数t 的取值范围是 ． 5.t >+恒成立，则实数t 的取值范围是 ． 6.t <+恒成立，则实数t 的取值范围是 ． 答案 1. ()2,+∞2.(,-∞3.)⎡+∞⎣4.(],2-∞5.(,-∞6.()2,+∞题9不等式3422≥+---x x x 的解集是（ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-255,253C 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-,255253,D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-253,255 （第十三届高二第二试第8题）解法1 当0342≥+-x x ，即1≤x 或3≥x 时，原不等式就是,03422≥-+--x x x 即0552≤+-x x ，解得2553.255255+≤≤∴+≤≤-x x . 当2430,13x x x -+<即<<时，原不等式就是，03422≥+-+-x x x 即，0132≥+-x x 解得253-≤x 或3535322x x ++≥∴≤<，. 综上，所求解集为3555,33,,22⎡⎫⎡⎤++⎪⎢⎢⎥⎪⎣⎭⎣⎦即⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253.故选A. 解法2 如图，作函数2-=x y 和342+-=x x y 的图象.要求的解集就是21y y ≥，即1y 在2y 上方时x 的区间，即图中线段AB 上的点所对应的横坐标所组成的区间[]B A x x ,.又(),1234222--=+-=x x x y 当32<<x 时，().2122--=x y 由()2212-=--x x 可解得253+=A x .当3>x 时，(),1222--=x y 由()2122-=--x x 可解得255+=Bx ，∴所求不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253，故选A.解法 3 同解法2画出图形后，可知解集为一个闭区间[]b a ,，且()3,2∈a ，对照 选择支.可知选A.解法4 当5.1=x 时，03422<+---x x x 时，故1.5不是原不等式的解，从而排除含1.5的B 、C 、D ，故选A.评析 解含绝对值的不等式，一般是先去掉绝对值符号，然后再求解.解法1正是运用分类讨论思想这样解决问题的，也是一种通法.我们知道，方程()()x g x f =的解就是函数()x f y =与()x g y =的图象交点的横坐标；若图象无交点，则方程无解.而不等式()()x g x f >的解集则是函数()x f y =的图象在()x g y =的图象上方部分的点的横坐标的集合；若()x f y =的图象都不在()x g y =的图象的上方，则不等式无解.解法2正是运用这种数形结合思想解决问题的.许多超越不等式的近似解或解的所属范围也都运用此法解决.选择题的正确答案就在选择支中，只是要求我们把它选出来而已.因此,不是非要求出答案再对照选择支选择答案不可的.基于此，解法3运用估算的方法选出了正确答案(注意：估算能力是高考明确要求要考查的能力之一).而解法4则运用特殊值排除了干扰支，进而选出了正确答案.类似这种不等式（方程）的解集是什么的选择题几乎都可用这种方法解，而且十分方便.值得注意的是，特殊值只能否定错误结论，根据正确选择支的唯一性才能肯定正1 3A B确答案.另外，如何选取特殊值也是很有讲究的，读者可在解题实践中体会并加以总结.题10 不等式199920003224>-+-x x 的解集是 . （第十一届高二培训题第41题）解 设y=x x -+-3224 ，由⎩⎨⎧≥-≥-03024x x ，得定义域为[21，3]. 1999200010,106144410)3)(24(4)3(42422>≥∴≥-+-+=--+-+-=y x x x x x x y 即原不等式在定义域内恒成立，故所求解集为[21，3]. 评析 解无理不等式，通常是通过乘方去掉根号，化为有理不等式后再解.但从此题中不等式右边的数可以想象该有多么复杂，若将题目改为“276.571623.93224+>-+-πx x 的解集是 ”，还会有谁想通过平方化为有理不等式去解呢？显然，常规方法已难以解决问题，怎么办呢？考虑到不等式中的x ∈[21，3]，从而左边1999200010>≥，故解集就是定义域，这就启示我们，当常规思维受阻或难以奏效时，就应积极开展非常规思维，另辟蹊径，寻求解决问题的新方法.拓展 根据上面的分析，并加以拓广，我们可得结论 设a,b,c 是常数，若[,],()[,],()[,]x a b f x m n g x p q ∈∈∈,则当m c >时,不等式()f x c >的解集是[,],()a b f x c ≤的解集是φ；当n c <时, 不等式()f x c ≥的解集是φ,()f x c <的解集是[,]a b ;当n p >时, 不等式()()f x g x ≥的解集是φ, ()()f x g x <的解集是[,]a b ;当m q >时，不等式()()f x g x >的解集是[,]a b ，()()f x g x ≤的解集是φ.根据这一结论，不难求得下列不等式的解集：1、 2sinx+3cosx>4;2、 322163-->-x x ;3、 x x x -<-+-433)1(log 4;4、 sinx-cosx<32+x .答案：1、φ 2、[2，+∞) 3、φ 4、R。
第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛福建赛区获奖名单
贺信在全省各地教研部门的精心组织和各参赛学校领导、教师的大力支持下，第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛已经圆满结束。
经“希望杯”全国数学邀请赛组委会审定，福建赛区共有393名同学获奖，我们向获奖学生及优秀教练员、优秀辅导员表示最热烈的祝贺！福建省特级教师协会福建省数学学会初等数学分会杰出（福建）教育网络开发有限公司2011年5月26日获奖名单公布如下一等奖（3名）年级学校（全称）姓名指导教师初一漳州立人学校蔡伟华涂开能初二福州第十九中学林克廉黄巧红高一仙游县私立第一中学严江鹏李志明二等奖（28名）年级学校（全称）姓名指导教师初二长乐航城中学陈诚许碧容高一福建师范大学附属中学吴秉杰连信榕高一福建师范大学附属中学涂霁原连信榕高一福建师范大学附属中学林弘韬连信榕初一福州第十八中学林瀚峣韩振卿初一福州第十八中学高奕飞韩振卿初二福州第十八中学林心乔陈立羽初二福州第十八中学杨家璇郭炜颖初一福州华伦中学陈潘钺胡春来初一福州时代中学翁家翌戴炜初一福州时代中学陈晔林晶初二福州时代中学潘君坦范达铭初二福州时代中学林铖陈宏文初二福州第十九中学庄子安刘钟初二福州屏东中学叶冀平赵觅初二福州延安中学张瑞喆陈钦初二福州延安中学黄超陈碧初一连江启明中学余心乐张立群高一仙游第一中学胡群学刘金星高二仙游第一中学曾林陈凤龙高二仙游县私立第一中学彭潜陈凤灿高二云霄第一中学孙泗泉庄泽海高二漳州第一中学胡泓昇林良勇初一漳州立人学校刘锦平涂开能初一漳州立人学校杨锦昌涂开能初一漳州立人学校吴楚红涂开能初一漳州立人学校林绍锐韩建山高二漳州平和正兴学校庄勇临杨泽望三等奖（共362名）年级学校（全称）姓名指导教师初一长乐第二中学林锦航叶玉娟初一长乐第二中学杨心语陈传述高一长乐第二中学王嘉铭黄春生初二长乐航城中学陈明旭黄英初二长乐航城中学林梓航魏锦红初一福建东侨经济开发区中学周国锦阮慧初一福建东侨经济开发区中学陈友文章杰初一福建闽江学院附属中学陈辉宇郭妮亚初一福建闽江学院附属中学张寒琼李霞初一福建闽江学院附属中学陈见非郭妮亚初二福建闽江学院附属中学陈杨鄢坚初二福建闽江学院附属中学杨骏涵余秀莲初二福建闽江学院附属中学翁杭鄢坚初二福建师范大学第二附属中学叶锦辉陈文磊初二福建师范大学第二附属中学倪钰超蔡文萍初二福建师范大学第二附属中学张煜奇林燕高一福建师范大学第二附属中学程林鑫林瑞菊高二福建师范大学第二附属中学叶志辉林钊、陈莺高一福建师范大学附属中学叶韫盛连信榕高一福建师范大学附属中学吴志鹏连信榕高一福建师范大学附属中学杨志灿连信榕高一福建师范大学附属中学陈群连信榕高一福建师范大学附属中学朱睿连信榕初一福州八中鳌峰初级中学严若诗丁一意初二福州八中鳌峰初级中学林冰颖刘健初二福州八中鳌峰初级中学黄宇恒刘健初一福州八中江南水都分校曾宇涵黄智灵初二福州八中江南水都中学王星慧陈恩敏初一福州城门中学章文长龙小华初一福州第二十四中学张恩泽吴件灯初一福州第二十四中学魏杰陈雯初一福州第二十四中学章逸舟陈永清初一福州第二十四中学郑翔鹏陈永清初一福州第二十四中学林炜吴件灯初二福州第二十四中学陈泽安林艳群初二福州第二十四中学吴嘉伟游益初二福州第二十四中学陈锦榕林艳群初二福州第二十四中学余成明林森初二福州第二十四中学刘郭蕙游益初二福州第二十四中学江志鸿赵梅霞初二福州第二十四中学杨文婷赵梅霞初二福州第二十四中学郭逸菲林森初一福州第二十五中学陈孝强郑咏初一福州第二十中学陈奇俞铭初二福州第二十中学林斌辜敏霞初一福州第六中学何明城林燕云初一福州第六中学兰文国宋晓洁初一福州第七中学林东邹广华初一福州第七中学邱志勇吴红初一福州第七中学王衍舒邹广华初一福州第七中学李强魏道耀初一福州第三十六中学张毓琦陈英平初二福州第三十六中学陈嘉晞郑晚霞初二福州第三十六中学练云杉徐鉴明初二福州第三十六中学陈鸿锐徐鉴明初二福州第三十六中学林雪翎徐鉴明初二福州第十八中学陈德郭炜颖初二福州第十八中学林乐德郭炜颖初一福州第十八中学黄松睿詹春华初一福州第十八中学黄悦冬吴毓星初一福州第十八中学林晗璇吴毓星初一福州第十八中学孙宋源韩振卿初一福州第十八中学余佳秀陈英初二福州第十八中学林翰桢郭炜颖初二福州第十八中学游志航陈露初二福州第十八中学张旸帆郭炜颖初二福州第十八中学曾豪陈露初二福州第十八中学赖子萱郭炜颖初二福州第十八中学王渝婧陈露初二福州第十八中学陈颖峰陈立羽高一福州第十八中学陈天元于倩倩初一福州第十二中学张铖祥张云锋初一福州第十二中学陈晓桐张黎初二福州第十二中学江磊思林李初二福州第十二中学吴燕金阮佩洁初二福州第十二中学江心如林李初二福州第十二中学李龙翔阮佩洁初二福州第十二中学王柄基林李初一福州第十九中学卢政先周韧初一福州第十九中学叶景晨陈祥初一福州第十九中学邱晧晨张辉初一福州第十九中学刘劭荣吴崧初一福州第十九中学林振宇吴崧初一福州第十九中学徐寅宁赵娟初二福州第十九中学王晨杜石水初二福州第十九中学叶铠逞刘钟初二福州第十九中学洪智源刘钟初二福州第十九中学林昊翔刘钟初二福州第十九中学王乐平刘钟初二福州第十九中学翁才智刘钟初一福州第十六中学林听侯雪花初一福州第十六中学姜希远陈国光初一福州第十六中学陈至桐胡秀碧初二福州第十六中学阮浩椿吴燕初二福州第十六中学陈诗涵郭晓灵初二福州第十六中学陈超然郭晓灵初一福州第十四中学陈新杰高瑜玫初一福州第十四中学李莹钱江初二福州第十四中学林旭珍郑艳媚初二福州第十四中学吴榕彬康萍初二福州第十四中学黄瑜阳康萍初一福州第十一中学仇忱忻陈梅初一福州第十一中学周泽晖林维初一福州第十中学陈柏涛翁燕珠初一福州第十中学陈华卓始裕初一福州第十中学龚洋洋卓始裕初二福州第十中学潘智赟林武初二福州第十中学郑洵张夏英初二福州第十中学冯子鑫张夏英高一福州第四十中学赵旭如林柯高二福州第四十中学郑魁陈永星初一福州第四十中学宋智行俞云妹初二福州第四十中学任筠玉郑秋萍俞云妹初二福州第四十中学陈琳连玉凤俞云妹初二福州第四十中学吴昀皓连玉凤俞云妹高一福州高级中学蔡伯文赖晓晖高一福州高级中学王丹健赖晓晖高一福州格致中学苏涵陈怡高一福州格致中学何捷李颂京高一福州格致中学陈偲尔李颂京高二福州格致中学林志滨王秀桦初一福州格致中学鼓山校区阙慧敏徐朝和初一福州格致中学鼓山校区黄薇徐朝和初二福州格致中学鼓山校区虞黄凯林静初一福州鼓山中学郑榕郭祥镜初二福州鼓山中学贾龙生黄道清初二福州鼓山中学黄嘉嘉严学钦初一福州华伦中学黄宏飞胡春来初一福州华伦中学余秉鸿胡春来初一福州华伦中学黄国是胡春来初一福州华伦中学洪博展胡春来初一福州华伦中学郑琪胡春来初一福州华伦中学林晖虎胡春来初一福州华伦中学杨啸宇胡春来初一福州华伦中学林枢徐婷婷初二福州华伦中学林郁杨景文初二福州华伦中学郑戈言章兴姬初二福州华伦中学吴领峰钟昭初二福州华伦中学杨仕达杨景文初一福州华南实验中学欧树文陈闽旭初一福州华南实验中学陈鸿杰陈闽旭初二福州华南实验中学陈志文侯付兵高一福州华侨中学陈鸿晖叶家旺高一福州华侨中学黄秋远欧延高二福州华侨中学施林侯惠婷高二福州华侨中学魏雄周建梅初一福州屏东中学陈洛晖陈鸿燕初一福州屏东中学余君珺林航初一福州屏东中学林虹灏林航初一福州屏东中学黄嘉宜林航初一福州屏东中学甘露胡碧莲初一福州屏东中学程晓楠林航初一福州屏东中学黄迎松朱爱斌初一福州屏东中学施恭和林航高一福州屏东中学洪延捷吴林津初二福州屏东中学赵新涌陈晶磊初二福州屏东中学陈吉帆叶蓉初二福州屏东中学杨涛叶蓉初二福州屏东中学林乙杰叶蓉初二福州屏东中学赖澄烨翁希凡初二福州屏东中学林位麒叶蓉初二福州屏东中学陈雯孙阳初一福州时代中学陈烨嘉王清初一福州时代中学何辰星林晶初一福州时代中学刘烨镔魏正余初一福州时代中学刘彬立王清初一福州时代中学陈歆萍吴婷初一福州时代中学江典健吴婷初一福州时代中学李浩阳冉爱凤初一福州时代中学吴迪冉爱凤初一福州时代中学林沁炜吴婷初一福州时代中学陈竑屹林晶初二福州时代中学张昊陈宏文初二福州时代中学张鹏超刘昕初二福州时代中学魏旭鹏黄秋超初二福州时代中学叶秉奕周芝峰初二福州时代中学陈楚范达铭初二福州时代中学曾沁杉夏林初二福州时代中学黄乐鋆范达铭初二福州时代中学潘南黄秋超初二福州时代中学余之涵夏林初二福州时代中学林艳艳周芝峰初二福州时代中学蔡子弦周芝峰初二福州时代中学张仑刘昕初一福州树德学校郑阳洋何锦阳初一福州树德学校林晨钮桂桂初一福州树德学校黄凌浩陈登旺初二福州树德中学林清华魏凤金初二福州树德中学陈贵刘梅珠初二福州树德中学林成崴张宇初二福州树德中学张玥郑娟云初一福州四中桔园洲中学张爽高晓晴初一福州四中桔园洲中学刘以荣王玲娟初一福州铜盘中学池丞翁举闻初一福州铜盘中学陈禹睿郑圳杭初二福州铜盘中学林在培俞波初二福州铜盘中学李宇桢俞波初二福州铜盘中学王琪王子楚高二福州铜盘中学李锦如柳榕初一福州外国语学校柯景龙郑球初一福州外国语学校黄河清郑球初一福州秀山中学黄圣杰俞和贞初一福州秀山中学林枭彬俞和贞初二福州秀山中学黄亨利张璇初一福州延安中学杨文韬江烽初一福州延安中学江应丰周惠艳初一福州延安中学李启轩江烽初一福州延安中学史博文欧之海初一福州延安中学柳嘉鸿余盛怀初一福州延安中学陈思怡周惠艳初二福州延安中学江舒媛陈虹初二福州延安中学陈翔倩陈钦初二福州延安中学陈轲陈国平初二福州延安中学林天宇陈国平初二福州延安中学许嘉宜陈钦初二福州延安中学林浚杰刘敦玲初二福州延安中学陈雨淅刘敦玲初二福州延安中学徐鑫翁珠芳初一福州杨桥中学柳林森王娟初一福州杨桥中学方紫薇陈清松初一福州杨桥中学李卓林陈清松初二福州杨桥中学冯子诚邱惠西初二福州杨桥中学张陈怿旸赵凌志初二福州杨桥中学范玮辰邱惠西初二福州杨桥中学许佳明赵凌志初二福州英才中学林威高丽丽初一福州英才中学潘梓明蓝菊华初一福州则徐中学方玮江淹初二福州则徐中学张睫茹杨怀宇初一蕉城区教师进修学校附属中学王建锋林挺锋初一蕉城区教师进修学校附属中学林悦林挺锋初一连江凤城中学董梁立方圆初一连江凤城中学郑思远吴兆强初一连江凤城中学孙新胜方圆初一连江凤城中学林大海陈节长初一连江启明中学林乾喜陈祖强初一连江启明中学陈理键陈祖强初一连江启明中学詹志坚游姗初一连江启明中学林泽胤翁孝团初一连江启明中学李崧张立群初二连江启明中学陈祖栋谢建凤初二连江启明中学周耕宇缪伟初二连江启明中学连天虹谢建凤初二连江启明中学江鸿轩谢建凤初一连江文笔中学黄毅王先锋初一连江文笔中学林辛怡陈武用初二连江文笔中学杨先航肖良宇初二连江文笔中学蔡若琛郑维高初二连江文笔中学杨浩郑锋初二连江文笔中学陈桂冰陈勇彬高一罗源第一中学郭丽超张贵根高一罗源第一中学郑俊杰张贵根高二罗源第一中学郑赐灵尤永礼高二罗源第一中学郑剑韬尤永礼初一宁德第十中学卢嵩蔡作斌初一宁德第十中学吴倩雯陈新军初二宁德第十中学章晓婷陈云玉初二宁德第十中学林凡琳魏玉生初二宁德第十中学游以琳彭光清初二宁德第十中学刘东祚陈云玉初二宁德蕉城中学陈子楠陈序述高二宁德市柘荣第一中学缪宇杰陈坤其高二宁德市柘荣第一中学吴余群袁诗钟初一宁德树德学校陈曦张翔飞初一宁德树德学校林省建张翔飞初一宁德树德学校傅永浩杨鼎莺高一仙游第一中学陈集懿刘金星高一仙游第一中学林毓斌黄开云高一仙游第一中学张鑫黄秀平高一仙游第一中学张钊颖刘金星高一仙游第一中学郭帅李新岳高一仙游第一中学李阳李新岳高一仙游第一中学郑依依刘金星高二仙游第一中学郑汉极陈凤龙高二仙游第一中学柯逸臻陈凤龙高二仙游第一中学柯延钊许世敬高二仙游第一中学王玮铭陈凤龙高二仙游第一中学郑侃炜陈凤龙高二仙游第一中学陈晓煜陈凤龙高一仙游县华侨中学张杰林朝辉高二仙游县华侨中学吴进喜林朝辉高一仙游县私立第一中学吴江峰陈明辉高一仙游县私立第一中学张煌舜陈明辉高一仙游县私立第一中学陈承响李志明高二仙游县私立第一中学杨伟康陈凤灿高二仙游县私立第一中学张达陈凤灿高二仙游县私立第一中学吴宇雳陈凤灿高二仙游县私立第一中学黄健男陈凤灿初二仙游现代中学柯延宇郑绍红初二仙游现代中学林伟郑绍红初二仙游现代中学岳建理郑绍红初二仙游现代中学郑哲蔚郑绍红初二仙游现代中学张之山张金标初一漳州程溪中学王艺军陈林云初一漳州程溪中学许淑君叶舒文高一漳州程溪中学蒋凌欣林荣耀初一漳州第三中学王毅航林艺彬高二漳州第三中学李捷英徐桂锦高二漳州第三中学林莉莉吴攀高一漳州第一中学陈炳森胡彩霞高一漳州第一中学游宇铭李彬高二漳州第一中学姚秋黄林良勇高二漳州第一中学程曦林良勇高二漳州第一中学陈虹婷林良勇高一漳州港尾中学江宗棋杨锡鑫初二漳州广兆中学林宏锴谢荣玉初一漳州华安第一中学赵凌杰郑荣坤初一漳州华安第一中学李勋虎郑荣坤初一漳州华安第一中学廖陆枭郑荣坤初二漳州华安第一中学王彦哲张旺金初二漳州华安第一中学李靖张旺金高一漳州华安第一中学戴琦炜汤炜国高二漳州华安第一中学林杰超吴德发初一漳州立人学校朱天培吴洋辉初一漳州立人学校罗东阳吴洋辉初一漳州立人学校邱德志吴洋辉初二漳州立人学校李燕婷李幼华初二漳州立人学校薛文溢李幼华初二漳州立人学校林任奇许亚梅高一漳州龙海二中蔡艺玲郭文俊高一漳州龙海二中徐昱群郭文俊高一漳州龙海二中苏志鹏郭文俊高二漳州龙海二中黄安庆姚惠美高二漳州南靖第一中学黄欣培许耀德高二漳州南靖第一中学戴国雄许耀德高二漳州南靖第一中学陈朴许耀德高二漳州南靖第一中学洪权许耀德高二漳州南靖第一中学卢菁华许耀德高一漳州南靖一中黄睿阮宏忠高一漳州南靖一中沈讷宏阮宏忠高二漳州平和第一中学张荣杰吴建来高一漳州平和第一中学黄慧华赖平民初一漳州平和正兴学校吴婕庄文超初一漳州平和正兴学校李鸿庄文超初一漳州平和正兴学校张志祥游斗忠初二漳州平和正兴学校林子童赖清峰初二漳州平和正兴学校罗文源叶炳耀初二漳州平和正兴学校李姝彦叶炳耀高一漳州平和正兴学校林文智周可忠高一漳州平和正兴学校赖美榕周可忠高二漳州平和正兴学校卢明炷杨泽望高二漳州平和正兴学校林艺杨杨泽望高二漳州平和正兴学校杨文杰杨泽望初一漳州五寨中学林鹏煌庄燕瑜高一漳州云霄一中汤灿伟陈文芳高二漳州云霄一中吴鑫辉庄泽海高一漳州云霄一中吴伟鑫陈文芳高一漳州云霄一中吴泽桂陈文芳初一漳州平和正兴学校李靖豪游斗忠初一漳州平和正兴学校陈炎生游斗忠初一漳州平和正兴学校陈柏宏游斗忠初一漳州平和正兴学校吴日恒庄文超初一漳州平和正兴学校卢泽宾游斗忠初一漳州平和正兴学校李泉贵游斗忠初一漳州平和正兴学校林书煜庄文超初一周宁县第十中学叶国文蒋学坚初二周宁县第十中学詹斌谢蔡忠高一周宁县第十中学陈英玉周文文初一周宁县狮城中学陈书琪叶宝才初一周宁县狮城中学许含颖汤胜周初二周宁县狮城中学吴文杰詹妙芳初二周宁县狮城中学郑宇萍郑木森。
第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛厦门市八年级获奖情况公布
初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二 初二
厦门外国语学校 肖 宜 厦门外国语学校 郑润丰 厦门双十中学 张煜风 厦门双十中学 王晨霖 厦门十一中 张宇辰 厦门一中 吴凡 厦门一中 曾正 厦门一中 游路加 厦门一中 吴品萱 厦门同安一中 陈秀梅 厦门同安一中 高 恬 厦门同安一中 林 薇 厦门同安一中 黄雅兰 厦门同安一中 洪 妍 厦门同安一中 张剑岚 厦门同安一中 邵禹铭 厦门翔安一中 郭增佳 厦门英才学校 方艺鸿 厦门五缘实验学校 纪聪杰 厦门五缘实验学校 江薇 厦门五缘实验学校 曾昊 厦门外国语学校 陈 轲 厦门外国语学校 曲玥玥 厦门外国语学校 黄 宇 厦门双十中学 白若泰 厦门市莲花中学 王维 厦门市湖里区蔡塘学校 郑晓婷 厦门市槟榔中学 荆远方 厦门九中 卜昕月 厦门一中 陈见淳 厦门一中 陈嘉琪 厦门一中 许文熙 厦门一中 郑佳欣 厦门第六中学 涂锦程 厦门第六中学 李欧阳 厦门第六中学 刘雅文 厦门大同中学（兴华校区） 姚毓群 厦门同安一中 张睿 厦门市启悟中学 苏文宇 厦门五缘实验学校 刘航尔 厦门外国语学校 陈思曲 厦门外国语学校 阮聪逸 厦门市汀溪中学 叶栋梓 厦门一中 李途越 厦门一中 康梓屹 厦门五中 罗蔚榕 厦门五缘实验学校 刘豪
全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖
第二十二届希望杯”全国数学邀请赛获奖名单
第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛获奖名单黑龙江省哈尔滨市文化学校一等奖（7名）初一：松雷中学李云泽哈工大附中韩昊辰哈工大附中李奕兴初二：松雷中学李佳明哈工大附中刘畅高一：师大附中于鹏飞高二：哈三中学苏宇鸿二等奖（13名）初一：松雷中学张文慧松雷中学于泊远哈工大附中朱健宇哈69中学赵天睿松雷中学刘泓松雷中学张峭铭兴才中学武文博兴才中学李国昕初二：松雷中学李雨阳哈工大附中孙铄高一：师大附中李菁华高二：师大附中蒋胜千哈三中学刘策三等奖（191名）初一：松雷中学刘川楷哈工大附中孙博文松雷中学秦家琰哈工大附中孙浩卿松雷中学董俊良松雷中学钟博元哈工大附中宿禹祺兴才中学金祉樵松雷中学武序洲松雷中学卢天成松雷中学程墨松雷中学王泽豪哈工大附中张与之69中崔泽邦哈工大附中魏兰69联中彭雨竹松雷中学宋若冲松雷中学龚柏芃风华中学冯家铭松雷中学李金儒兴才中学于泽哈工大附中李逸萱松雷中学李宇航松雷中学常敬东哈76中学苏春博松雷中学郁琪松雷中学刘梓铭松雷中学刘诺奇兴才中学毕翔宇哈工大附中刘立北哈工大附中陶铭绪哈工大附中刘睿哈工大附中杨博凯哈工大附中郝志博哈工大附中周逸哈工大附中李彦泽哈工大附中史宇辰松雷中学缪艺兵松雷中学杨金朔松雷中学侯欣然松雷中学陈楚元哈工大附中芦云昊哈工大附中李浩然哈工大附中周卓哈工大附中刘洺毓松雷中学张未松雷中学马平川松雷中学耿睿彤哈工大附中贺麟惠哈工大附中付警锋松雷中学赵子昊哈工大附中索德森秋实中学张宝梁松雷中学张雨晴哈工大附中戴瑞函哈工大附中王如意秋实中学卜奇松雷中学付尧松雷中学宁擎113中金锡涵哈工大附中于海博秋实中学金松柏松雷中学李洪宇松雷中学白钰哈工大附中岳一伦哈工大附中杜瑶哈工大附中钟一铭松雷中学李宏举松雷中学胡金泉69中吴畏哈工大附中王树鹏松雷中学朱元英杰德强中学曹轩铭松雷中学王格非荣智学校刘思源69中王瑞阳松雷中学孙添69中张新我松雷中学吴蔷哈工大附中单逸飞德强中学李文圣松雷中学赵思琦旭东中学张岩松雷刘洋松雷杨琪璘47中罗凯方剑桥三中尹子豪松雷中学王泽锋工附于卓洋荣智学校陆春雷剑桥三中李潘洋荣智学校闫家贺荣智学校周琛哈76中学贾志鑫剑桥三中罗嘉滨绥化六中吴同七十中王硕剑桥三中张建旭东中学孙诣宸荣智学校程泽俊旭东中学于新歌荣智学校冯鹳霖黑大附中赵炜祎七十中关善元荣智学校王靖博荣智学校孙悦荣智学校鲁一鸣荣智学校王悦荣智学校宿浩荣智学校时宇荣智学校赵一瑾荣智学校郭雨欣荣智学校付乐瑶荣智学校孙欣月荣智学校马凯迪黑大附中宋金峰黑大附中于浩然黑大附中宋闻笛医大逸夫学校鞠雨晴医大逸夫学校吴思思医大逸夫学校刘毓初二：69联中马竞恒松雷中学付饶松雷中学张健瑀哈工大附中许镭瀚哈工大附中刘博156中李思煊德强中学周子沛松雷中学葛靖暄松雷中学孟冠含哈工大附中陈文浩哈工大附中刘雨桐松雷中学郑松林哈工大附中李昕泽秋实中学姜旭松雷中学李百双松雷中学刘梦哲松雷中学高建华松雷中学孙睿瑄德强中学银大成秋实中学许健宇69中学刘洋松雷中学李烜博松雷中学冯西洋松雷中学曹琬靖秋实中学李欣宇秋实中学郭庆秋秋实中学张敖楠秋实中学丁家鹏松雷中学季正秋实中学武诗杰荣智学校罗艺涵七十中学刘仕丰旭东中学邹云鸿剑桥三中白冰童黑大附中车雪峰哈76中王嘉宝哈76中纪澜荣智学校周昊楠荣智学校孙胜男荣智学校王海琦荣智学校戴秉泽高一：师大附中林彤哈三中学殷鉴远师大附中孔德申哈三中学郭赫哈九中谭立璘哈三中学郎福泽哈三中学刘自晓哈三中学那瑞师大附中郭宝迪哈三中学熊万峰哈三中学肖天泽哈三中学郎睿哈三中学姚帅哈九中郭鹏博师大附中赵昱师大附中许孙武师大附中汤沛雯师大附中李雪玮哈九中刘一平哈九中宋宏飞哈九中姜百伦哈九中郭珊高二：师大附中邓迪哈三中学张翰驰哈三中学李莹雪优秀辅导教师名单吕国胜、刘利益、曲伟成、范莹、赵峰明、韩长城、侯翠华、李英敏、李建华、潘铁柱、王东升姜昕金石、张治宇、张树军、姜同启、曲晋华、姜殿军、魏广忠、王雪松、宋彬、郝淑芬、贾洪霞、何淑华、程丽敏、杨婕、张训伟、王凤伟、耿鑫、胡军、刘博宇、程丽敏、黄健、刘莹、苏佳怡、刘淑芳、王秀芳、关颖、黄玉明、郑国、潘伟超、周宏、马东娜、程金波、王清芳、马卓、战利超、白艳超、张双庆、李成、董海萍、岳振、吕喜平、杜江龙、张明爽、朱卫东、李新阳、李成、阴艳梅、张丽丽、经红、董海萍、王金玉、郑志贤、景宏宇、客仪香、邵继桂、何丽梅、白广全、李新阳、景宏宇、杜江龙、高金、陈忠祥、张洪梅、高峰、武树明、李新阳、马娜、张明星、王雪莲、杨丽娜、毕彦维、刘旭飞、张成广、张亚芬、康凯、原义春、孙熙君、刘丹阳、姜树财、石波、何秋艳、于立波、祁兴刚、潘兴梅、陈永春、汝玉坤、王忠堂、崔瑶、贾秀琴、李洋、蔡运生、孙文录、何威、陆婷、李振武、张岩、王琳、张焕英、孔琳、。
第二十三届“ 希望杯” 全国数学邀请赛高二第2试试题
第二十三届 希望杯 全国数学邀请赛高二㊀第2试试题一㊁选择题(每小题4分,共40分.)1.已知集合P ={x |0ɤx ɤ5,x ɪZ },Q ={y |y =|x 2-1|,x ɪP },则P ɘQ 中元素的个数是()(A )3.(B )6.(C )8.(D )9.2.方程l o g 13|x |=s i n (π2-12x )的实根的个数是()(A )2.(B )4.(C )6.(D )8.3.命题p :不经过第一象限的图象所对应的函数一定不是幂函数.命题q :函数y =x +2x的单调递增区间是[-2,0)ɣ[2,+ɕ),则下列命题中,真命题是()(A )p ɡq .(B )(ʏp )ᶱq .(C )(ʏp )ɡ(ʏq ).(D )p ɡ(ʏq ).4.设a ,c 是正实数,则对于每个实数t ,抛物线y =a x 2+t x +c 的顶点在x O y 平面内组成的图形是()(A )一条直线.(B )一条抛物线.(C )一条抛物线的一部分而不是全部.(D )双曲线的一支.5.T h em i n i m u mv a l u e o f t h e f u n c t i o n y =x 2-2x +5+x 2+4i s ()(A )4.(B )32.(C )25.(D )17.6.若对于任意实数x ,都有t 2+5t ɤ|2x -4|-|x +2|恒成立,则t 的取值范围是()(A )[1,4].(B )[-4,-1].(C )(-ɕ,1]ɣ[4,+ɕ).(D )(-ɕ,-4]ɣ[-1,+ɕ).7.已知数列{a n }的通项公式为a n =(49)n -1-(23)n -1(n ɪN ∗),则数列{a n }()(A )有最大项,没有最小项.(B )有最小项,没有最大项.(C )既有最大项又有最小项.(D )既没有最大项也没有最小项.8.已知函数f (x )=(1-t a n 2x 1+t a n 2x )2,则f (x )的最小正周期是()(A )2π.(B )32π.(C )π.(D )π2.9.双曲线x 2-y 22=1在点(-2,2)处的切线的方程是()(A )y =-x +2.(B )y =-x +32.(C )y =-2x -2.(D )y =-2x +32.10.已知向量O A ң=(-2,0),O B ң=(2,2),B C ң=(2c o s θ,2s i n θ)(0ɤθ<2π),则向量O A ң与O C ң的夹角的取值范围是()(A )[7π6,11π6].(B )[7π12,11π12].(C )[2π3,5π3].(D )[5π4,7π4].二㊁填空题(每小题4分,共40分.)11.函数f (x )=l n x x -1的定义域是.12.三角式6t a n 10ʎ+42c o s 80ʎ的值等于.13.已知数列{a n }中,a 1=2,a n +1=1+a n 1-a n .记数列{a n }的前n 项的乘积为ᵑn ,则ᵑ2012=.14.H o w m a n yp o s i t i v e r o o t sd o e s t h ee q u a t i o n (x +12)2012-x 2012+2x +12=0h a v e ?.15.不等式c o s 2θ+22c o s θ>1的解集是.16.已知向量a ,b ,c 是三个具有公共起点的非零向量,且|a |=2|b |=2,又a ㊃b =-1, a -c ,b -c ⓪=π3,则当|a -c |=7时,向量a 与c 的夹角是.17.若数列{x n }满足条件x 1=3,x n +1=x 2n +12x n,则该数列的通项公式x n =.18.已知点M 是әA B C 所在平面内的一点,且满足MA 2+M B 2+M C 2=4,那么әA B C 三条边长之积A B ㊃B C ㊃C A的最大值是.图119.如图1,正方体A B C D A ᶄB ᶄC ᶄD ᶄ中,E E ᶄʊF F ᶄʊB B ᶄ,平面A E E ᶄA ᶄ与平面A B B ᶄA ᶄ成15ʎ角,平面A F F ᶄA ᶄ与平面A D D ᶄA ᶄ成30ʎ角.如果正方体的棱长为1,那么几何体A E F A ᶄE ᶄF ᶄ的体积等于.20.已知A ,B 是抛物线y 2=4x 上的两个动点,且|A B |=3,则当A B 的中点M 到y 轴的距离最短时,点M 的横坐标是.三㊁解答题每题都要写出推算过程.21.(本题满分10分)解不等式l o g a (x 2+1+x )+l o g a (x 2-2x +10+x -1)ȡl o g a 3(a >0且a ʂ1).22.(本题满分15分)已知正三棱锥底面的一个顶点与它所对的侧面的重心的距离为4,求此正三棱锥的体积的最大值.23.(本题满分15分)图2椭圆C :x 2+y 24=1(0ɤx ɤ1,0ɤy ɤ2)在第一象限内的一段弧记为A B ,点P (x ,y )在弧A B 上,如图2.(1)用t (P )表示椭圆C 在P 点处的切线的单位向量,方向是依椭圆的逆时针走向.求向量t (P )的解析式;(2)令函数f (P )=t (P )㊃O P ң,写出函数f (P )ʉf (x )的解析式;(3)求函数f (P )的最大值及取得最大值时的点P 的坐标,并确定函数f (P )ʉf (x )的值域.。
28.重心向量
杨老师高考数学丛书,给您一个智慧的人生！请尊重知识产权,不得翻印！高考数学母题[母题]Ⅰ(12-28):重心向量(288) 727重心向量 [母题]Ⅰ(12-28):(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)若点G 在ΔABC 内,且GA +GB +GC =0,则点G 是ΔABC 的( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心[解析]:取BC 的中点E,则GB +GC =2GE ;由GA +GB +GC =0⇒GA +2GE =0⇒点G 在中线AE 上,且AG=2GE ⇒点G 是ΔABC 的重心.故选(C). [点评]:重心是物理学中的概念,是物体所受重力的作用点;质地均匀的多边形的物理重心就是多边形的几何重心;特别地,三角形的重心是三条中线的交点,四边形的重心是对角线中点连线的中点;重心具有稳定性,由这种物体稳定性可得重心的向量性质:点G 是多边形Γ的重心的充要条件是以点G 为始点,多边形Γ的各顶点为终点的所有向量和为零向量;特别地,点G 是ΔABC 的重心⇔GA +GB +GC =0. [子题](1):(2014年全国高中数学联赛山东初赛试题)设G 为ΔABC 的重心,PQ 过重心G, 且满足AP =m AB ,AQ =n AC ,则m 1+n1= . [解析]:由点G 为ΔABC 的重心⇒GA +GB +GC =0⇒AG =GB +GC =(AB -AG )+(AC -AG )⇒AG =31(AB +AC );又由P,G,Q 三点共线⇒AG =λAP +(1-λ)AQ =λm AB +(1-λ)n AC ⇒λm=31且(1-λ)n=31⇒m 1+n 1=3λ+3(1-λ)=3. 注:若PQ 过ΔABC 的重心G,且满足AP =m AB ,AQ =n AC ,则:①m 1+n 1=3;②94≤ABC APQ S S ∆∆≤21. [子题](2):(2011年上海春招试题)若a 1,a 2,a 3均为单位向量,则“a 1=(33,36)”是“a 1+a 2+a 3=(3,6)”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件[解析]:由a 1,a 2,a 3均为单位向量⇒a 1,a 2,a 3均在单位圆上;由a 1+a 2+a 3=(3,6)⇒ΔABC 的重心G(33,36)也在单位圆上⇒a 1,a 2,a 3均相等⇒a 1=a 2=a 3=(33,36);反之,由a 1=(33,36)⇒/a 1+a 2+a 3=(3,6).故选(B). 注:根据性质:点G 是ΔABC 的重心⇔PA +PB +PC =3PG ;由三个向量的和,构造三角形的重心解题,称为重心法. [子题](3):(2004年全国高中数学联赛试题)设O 点在三角形ABC 内部,且有OA +2OB +3OC =0,则△ABC 的面积与△A0C 的面积的比为( ) (A)2 (B)23 (C)3 (D)35 [解析]:设ΔABC 的重心为G,则OA +OB +OC =3OG ;由OA +2OB +3OC =0⇒2(OA +OB +OC )+(OC -OA )=0⇒6OG +AC =0⇒OG ∥AC ⇒S △A0C =S △AGC ⇒S △ABC :S △AOC =S △ABC :S △AGC =3.故选(C).注:构造三角形的重心解决向量问题,即重心法可巧解一类面积比问题,由此可见三角形重心向量性质的重要性. [子题系列]:1.(2002年第十三届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)在以下关于向量的命题中,不正确的是( ) (A)若向量a =(x,y),向量b =(-y,x)则a ⊥b ; (B)四边形ABCD 是菱形的充要条件是AB =DC 且|AB |=|AD | (C)点G 是ΔABC 的重心,则GA +GB +GC =0 (D)ΔABC 中,AB 和CA 的夹角等于1800-A 2.(2011年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知△ABC 中,G 是重心,三角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且56a GA +40b GB + 35c GC =0,则∠B= . 728 [母题]Ⅰ(12-28):重心向量(288) 3.(2010年湖北高考试题)已知ΔABC 和点M 满足MA +MB +MC =0.若存在实数m 使得AB +AC =m AM 成立,则m=( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)54.(2007年全国Ⅱ高考试题)设F 为抛物线y 2=4x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若FA +FB +FC =0,则|FA |+|FB |+ |FC |=( ) (A)9 (B)6 (C)4 (D)35.(2009年广东高考试题)一质点受到平面上的三个力F 1,F 2,F 3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.己知F 1,F 2,成600角,且F 1,F 2,的大小分别为2和4,则F 3的大小为( ) (A)6 (B)2 (C)25 (D)276.(2006年全国Ⅱ高考试题)设平面向量a 1,a 2,a 3的和a 1+a 2+a 3=0.如果平面向量b 1,b 2,b 3满足|b i |=2|a i |,且a i 顺时针旋转300后与b i 同向,其中i=1,2,3,则( ) (A)-b 1+b 2+b 3=0 (B)b 1-b 2+b 3=0 (C)b 1+b 2-b 3=0 (D)b 1+b 2+b 3=07.(2006年浙江高考试题)设向量a 、b 、c 满足:a +b +c =0,且a ⊥b ,|a |=1,|b |=2,则|c |2=( ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)58.(2006年浙江高考试题)(理)设向量a 、b 、c 满足:a +b +c =0,(a -b )⊥c ,a ⊥b ,若|a |=1,则|a |2+|b |2+|c |2的值是 .9.(2011年上海高考试题)设A 1,A 2,A 3,A 4,A 5是平面上给定的5个不同点,则使1MA +2MA +3MA +4MA +5MA=0成立的点M 的个数为( ) (A)0 (B)1 (C)5 (D)1010.(2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)如图,直线MN 过△ABC 的重心G,且AM =m AB ,AN =n AC (其中m>0,n>0),则mn 的最小值是 . 11.(2008年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知点O 在△ABC 内部,OA +2OB +2OC =0.△ABC 与△OBC 的面积之比为 .12.(2006全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知P 为△ABC 内一点,且满足3PA +4PB +5PC =0,那么,△PAB 、△PBC 、△PCA 的面积之比为 .13.(2006年全国高中数学联赛陕西初赛试题)设P 为△ABC 内一点,且AP =52AB +51AC ,则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为 .14.(2012年全国高中数学联赛山东初赛试题)设O 为△ABC 内一点,AO =31AB +41AC ,则△OAB 的面积与△OBC 的面积之比为 . [子题详解]: 1.解:当a =0时,(A)不正确.故选(A). 2.解:由G 是重心,且56a GA +40b GB +35c GC =0⇒56a=40b=35c;设a=5k,则b=7k,c=8k,由余弦定理可得∠B=600.3.解:由M 是ΔABC 的重心⇒m=3.故选(B). 4.解:由FA +FB +FC =0⇒x A +x B +x C = 3⇒|FA |+|FB |+|FC |=x A +x B +x C +3=6.故选(B). 5.解:由|F 2|=|F 1+F 2|=27.故选(D). 6.解:故选(D).7.解:由a +b +c =0知,a 、b 、c 构成△ABC,其中G 是△ABC 的重心,由a ⊥b 知GA ⊥GB ⇒|c |2=AB 2=5.故选(D).8.解:由a +b +c =0知,a 、b 、c 构成△ABC.其中G 是△ABC 的重心,由a ⊥b 知GA ⊥GB,由(a -b )⊥c 知GC ⊥AB ⇒△ABG 是等腰直角三角形⇒GA=GB=1 GC=2GD=AB=2⇒|a |2+|b |2+|c |2=4. 9.解:由重心的唯一性.故选(B). 10.解:由3=m 1+n 1≥mn 2⇒mn ≥94. 11.解:设ΔABC 的重心为G,则OA +OB +OC =3OG ;由OA +2OB +2OC =0⇒6OG -OA =0⇒△ABC 与△OBC 的面积之比=5:1. 12.解:设PD =3PA ,PE =4PB ,PF =6PC ,则P 是ΔDEF 的重心⇒△PDE 、△PEF 、△PFD 的面积相等=m ⇒S △PAB =12m ,S △PBC =20m ,S △PCA =15m ⇒S △PAB :S △PBC :S △PCA =12m :20m :15m =5:3:4.13.解:由AP =52AB +51 AC ⇒2PA +2PB +PC =0,设PD =2PA ,PE =2PB ,则P 是ΔCDE 的重心⇒S △ABP =41S △PBC =4m ,S △PCA =2m ,S △PCD =2m ⇒S △ABC =45m ⇒S △ABP :S △ABC =51. 14.解:由AO =31AB +41AC ⇒5OA +4OB +3OC =0,设OD =5OA ,OE =4OB ,OF =3OC ,则O 是ΔDEF 的重心⇒△ODE 、△OEF 、△OFD 的面积相等=m ⇒S △OAB =20m ,S △OBC =12m ⇒S △OAB :S △OBC =20m :12m =3:5.。
2011年 第22届 希望杯全国数学邀请赛 初一 第2试试题与答案
第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛 初一 第2试一、选择题(每小题4分，共40分。
)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正 确的英文字母写在每题后面的圆括号内。
1. 有理数a ，b 满足20a +11| b |=0 (b ≠0)，则2ba 是 (A) 正数 (B) 负数 (C) 非正数 (D) 非负数 。
2. 如图1，直线MN //直线PQ ，射线OA ⊥射线OB ，∠BOQ =30︒。
若以点O 为旋转中心，将射线OA 顺时针旋转60︒后，这时图 中30︒的角的个数是 (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 。
3. 有理数a ，b 在数轴上对应的位置如图2所示， 那么代数式1|1|++a a -aa ||+||b a a b +--|1|1--b b 的值是(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 。
4. 如图3，ABCD ，AEFG ，BIHE 都是平行四边形，且E 是DC 的 中点，点D 在FG 上，点C 在HI 上。
△GDA ，△DFE ，△EHC ， △BCI 的面积依次记为S 1，S 2，S 3，S 4，则(A) S 1+S 2>S 3+S 4 (B) S 1+S 2<S 3+S 4 (C) S 1+S 2=S 3+S 4 (D) S 1+S 2与S 3+S 4大小关系不确定 。
5. If x is a prime number, y is an integer, and x 21-x =322+y , than xy 2= (A) 8 (B) 16 (C) 32 (D) 64 。
(英汉小辞典：prime number 质数，integer ：整数)6. 如图4，AB //CD //EF //GH ，AE //DG ，点C 在AE 上，点F 在DG 上。
设与∠α相等的角的个数为m ，与∠β互补的角的个数为n ，若α≠β，则m +n 的值是(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 。
雅礼实验中学2014年学科竞赛喜报
1205唐若凡108铜奖
1211张钰哲106铜奖
1213万易106铜奖
（四）2014年长沙市“学用杯”数学能力创新大赛（复赛）
班级姓名分数等级备注
1210曾新昊120一等奖长沙市第1名（唯一满分）
1206刘哲贤119一等奖长沙市第2名（全市共2人）
1205赵厚然116一等奖
1208曹博宇116一等奖
唐子及
金奖
杨吉胤陈三才黄嘉竟刘宗卓熊子恽陈子博欧阳乐陶
段昱王泽轩王志彪唐迦润李书展赵昶旭欧阳子绚
席铭基王佳骏
银奖
刘成之王钒唐家铮王奕桥谭婷方胡祖瑜刘子豪
许昶陈智鹏龚宇洁左常睿吴峒匡博文全若山
陈可铨吕新昱华宇阳陈一豪林湘宁刘洁松张子南
周昆煜陈凯旋张秋雨蔡语鸿欧阳慧杨运城金鹏
杨彦博李晟阳彭孝妍向晨宇何凌志彭洋漾
（二）2014长沙市初中八年级应用物理知识读书竞赛（复赛）
一等奖
王泽宇银浩然罗嘉铭彭毓聪张佳怡唐一忱
姜唯周谭吉张涵琦陈沫璇唐若凡黄思源
刘哲贤刘一苇李嘉懿黄千驰杨若漪周胤妤
李岚宇黄玺洋曾新昊童年伍树刘砚博
二等奖
方逸飞唐钰琪徐金健李尹汝刘雨潇伍欣仪
张千帆胡泷文张雅淇邹正阳刘臻睿杨思科
胥清雅
三等奖
李典和徐芊杨清云林毅欧阳悠悠
又，2014年中国青少年英语能力大赛湖南赛区竞赛（初赛）揭晓，我校初一、初二参赛学生发挥出色，成绩优异，共有448名同学获竞赛奖，其中一等奖112名，二等奖152名，三等奖174名。
特向全校师生报喜！
在各类比赛准备期间，我校参赛学生始终保持端正的学习态度和饱满的学习热情，他们凭着自己的兴趣和刻苦执著、力争上游的学习精神挑战强手如林的赛场。他们优异成绩的获得，离不开学校各级各部门的大力支持，离不开老师的精心指导，更离不开自己的扎实准备与奋勇拼搏。他们的优异成绩，充分体现了我雅实学子在语文、数学、物理及英语等方面的优良素养。
教育教学工作总结(5篇)
教育教学工作总结____—____第一学期，已经结束，我校在各级领导和家长朋友的大力支持和深切关怀下，顺利完成本学期的各项工作，本学期，我们坚持____基本原则，认认真真，踏踏实实，爱岗敬业，无私奉献，全体教师和领导紧密配合形成一股强大的教育教学回流，赢来了一个可喜的突变。
回顾过去的一学期，不仅有淡淡的忧愁也有淡淡的喜悦。
我由于到次校任教不久，对学校的各方面工作以及状况不太清楚，造成工作思路稍乱，故而不能按原计划完成。
要想提升本校成绩，既要了解教师又要有足够的教学条件，为此，我非常犯难。
本校教师，绝大多数都是一些代课教师，他们都是从本村聘任的水平不一、素质不等的中青年妇女，还有一名即将一年要退休的老教师，这些条件不等的教师，多年在本校任教，没有功劳也有苦劳，多年来次校在教学和建设上从来没有大的改变，唯独一名正式中青年教师在本校成绩较有显现，不过他们都是传统的老教学方法教育孩子、传授知识。
因为次校向来就很偏僻，反正没有检查的可能，只要能看好孩子不乱跑，上课不说话，会听写课文生字，会读读课文就是一堂课了。
新时代的教学方法跟他们却是对牛弹琴，即便是讲师送到耳边也无济于事。
为此造成学生的学习方法古老而陈旧，初到次校对于从中心校调任而来的我来说，要想教好这里的学生甚是困难，所以面对自己遇到的困境，浮想联翩。
于是下定决心，改变传统教学方法，尝试新的教学理念。
要求教师慢慢适应新的教学方法，改变思想态度，以及工作作风，几个月过去了，为了解情况，就有了针对全校进行单元考试，每月考试，期中考试，期末考试的尝试。
结果学生成绩都是____多分、____多分，就连全校最好的教师班级成绩也是平平淡淡，可叹啊！这多年沉淀的教育方法和教学手段要我一下子扭转乾坤却是何等的艰难尽管如此，但我还是要想方设法改变古老的传统教师观念、学生观念，引领他们走向新时代的教学领域和学习天地，我把学校一直没用的一体机开通，也把学校没有的教学设备买齐，（电视、音响、音柱、evd，）给老师学习带来了很大的方便，即便是不外出学习，也能看到全国著名的专家、学者讲课，哪怕是收益甚少也值得付出，为搞好教育教学工作，我制定了教学计划，要求教师每礼拜互相听一次交流课，写一篇交流反思。
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答案及评分标准 初一
1．答案 （1） 选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 C 5 D 6 B 7 D 8 C 9 D 10 C
第1试
（2）A 组填空题 题号 答案 11 2 12 2011 13 20 14 72 15 24 16 117 17 126 18 61,83 19 —2 20
第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛
答案及评分标准 初二 第1试
1．答案 （3） 选择题 题号 答案 1 A 2 Ｄ 3 Ｃ 4 C 5 Ｃ 6 Ａ 7 Ａ 8 C 9 Ａ 10 C
（2）A 组填空题 题号 答案 11 12 k＞3 13 4；3 14 130 15 1 16 17 121 18 218 19 10 20 （—1,0）
2 5
16 15
（3）B 组填空题 题号 答案 21 75°；100° 22 2；384 23 6， 24 25 37；15
1 6
a；
a3 a 1
2．评分标准 （1）第 1～10 题：答对得 4 分；答错或不答，得 0 分． （2）第 11～20 题：答对得 4 分；答错或不答，得 0 分． （3）第 21～25 题：答对得 8 分，每空 4 分；答错或不答，得 0 分．
1 15
（3）B 组填空题 题号 答案 21 1；⑥ 22 3；2 23 60；120 24 —9996；—10396 25 —4；5
2、评分标准 （1）第 1～10 题：答对得 4 分；答错或不答，得 0 分． （2）第 11～20 题：答对得 4 分；第 18 题答对 1 个得 2 分；答错或不答，得 0 分． （2） 第 21～25 题：答对得 8 分，每空 4 分；答错或不答，得 0 分．