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晋中 学 院本科毕业论文(设计)题 目 院 系 专 业 姓 名 学 号 学习年限 指导教师 申请学位 2010年5月 27ofofbarrier. We draw 2ψas a function of x by numerical calculation. From this figure, we can see clearly an important difference between classical mechanics and quantum mechanics.steps; Potential barriers;目 引 言 .........................................................................................................11 势垒模型与量子力学方程 (2)1.12 2 2 1.232 阶梯势垒散射 (5)2.1 模型与方程 (5)2.2 0E U >的情况 (6)2.3 0E U <的情况 (8)2.40U →∞的情况 (9)3 方形势垒散射 (12)3.1 模型与方程 (12)3.2 0E U >情况 (12)3.3 0E U <情况 (15)3.4 0E U →情况 (16)总 结 (17)致 谢 (17)注释 (17)参考文献 (17)附录 (19)1.1 势垒模型(U 点x (1.1) (1.2) m U 的“高度”, 则当粒子的初始动量0p >时, 粒子可以毫无阻碍地从左边向右边通过势垒; 而当粒子的初始动量0p <时,粒子通过势垒的方向正好相反.假设粒子是从左向右运动的, 其总能量E 小于m U . 于是在某一点1x , 势能1()U x E =,1()0P x =, 粒子将停止下来. 它的全部动能转化为势能, 因而运动将向相反的方向进行:1x 是反转点. 因此, 当m E U <时,从左边来的粒子不能穿过势能极大值的区域0()x x =, 因而便不能进入第二个区域0x x >去. 相似地, 如果粒子是从右向左运动的,而且m E U <, 则它便不能进入第二个反转点2x 后面的区域去, 因为在2x 点上2()U x E = (参阅图 1.1). 因此对于所有能量小于m U 的粒子来说,势垒都是一个“不透明”的壁垒. 相反地, 对于能量大于m U 的粒子, 势垒则是“透明”的. 这也就说明了“势垒”这个名称的来源.m U >m U =m U <x运动时. 在势垒附近发生的现象就完全不同了.在这种情况下, 与经典力学的结论相反, 能量E 大于势垒高度m U 的粒子有一部分为势垒反射,而能量小于m U 的粒子也有一部分会穿过势垒.在量子力学里, 必须知道波函数ψ, 因此必须要解薛定谔方程222()2i U x t xψψψμ∂∂=-+∂∂ (1.4) 一维散射问题是一个非束缚态问题(()U x 与时间无关, 而E 是正的).因此令(,)()E i t x t x eψψ-= (1.5)由此得到 222()2d U x E dx ψψψμ-+= (1.6) 按照势能()U x 的形式, 方程(1.6)一般需要分成几个部分求解.将上式改写成如下形式2220d k dxψψ+= (1.7) 2222112222,()[()]k E k k n x E U x μμ===-(1.8) 为了确定波函数要满足的边界条件, 我们把()U x 和()n x 看作是x 的缓变函数, 在图1.2中为方便取0l =, 于是,在0x =点附近对方程(1.7)求积分, 我们得到2220d dx k dx dx εεεεψψ++--+=⎰⎰ 即22212()0d dx k n x dx dx εεεεψψ++--+=⎰⎰ 由此得221()()()kn x dx εεψεψεψ+-''+--=⎰ (1.9)当取极限0ε→时, 我们得到一个边界条件 (0)(0)ψψ''+=- (1.10)其次, 根据波函数的连续性的普遍要求,我们有第二个边界条件:(0)(0)ψψ+=- (1.11)因为在0x =点并没有任何特殊之处, 所以条件(1.10)和(1.11)在任一点都能得到满足. 实际上上述边界条件在任何势能函数跃变的地方均可以满足.2 阶梯势垒散射2.1 模型与方程本章中,我们将讨论体系势能在无限远处为有限的情况,这时粒子可以在无限远处出现,波函数在无限远处不为零,由于没有无限远处波函数为零的约束,体系能量可以取任意值,即能级组成连续谱.这类问题属于粒子被势函数散射的问题,粒子从无限远处来,被势场散射后又到无限远处去.在这类问题中,粒子的能量是预先给定的.考虑在一维空间中运动的粒子,它的势能在有限区域()0x <<∞内等于常量()000>U U ,而在0x -∞<<区域内等于零,即()()0,00,0U x U x U x x =<<∞=-∞<< (2.1)我们称这种势为阶梯势垒(图2.1). 具有一定能量E 的粒子由势垒左方()0<x 向右方运动.在经典力学中,只有能量E 大于0U 的粒子才能越过势垒运动到0x >的区域;能量E 小于0U 的粒子运动到势垒左方边缘(0=x 处)时被反射回去,不能透过势垒.在量子力学中,情况却不是这样.能量E 大于0U 的粒子有可能越过势垒,但也有可能被反射回来;而能量E 小于0U 的粒子有可能被势垒反射回来,但也有可能贯穿势垒而运动到势垒右边0x >的区域中去. 粒子的波函数ψ所满足的定态薛定谔方程是()222,02d E x dx ψψμ-=< (2.2) 和()2202,02d U E x dx ψψψμ-+=> (2.3)或改写成()22220,0d E x dx ψμψ+=< (2.4)和()()202220,0d E U x dx ψμψ+-=> (2.5)O x图2.1 一维阶梯势垒下面我们分两种情况分别进行讨论.2.2 0E U >的情况现在令()221202222,k E k E U μμ==- (2.6) 则得()22120,0d k x dxψψ+=< (2.7)和()22220,0d k x dx ψψ+=> (2.8)容易得出方程(2.7)和(2.8)的解为111,(0)ik x ik x Ae A e x ψ-'=+< (2.9)222,(0)ik x ik x Be B e x ψ-'=+> (2.10)由(1.5)式可知,当(2.9)和(2.10)式中的波函数1ψ、2ψ乘上时间因子E i t e-后, 1ψ、2ψ中的第一项和第二项分别描述的是由左向右传播的平面波和由右向左传播的平面波. 由于在0x =处的边界条件并不足以确定(2.9)和(2.10)中的4个未知常数, 为确定这些常数我们假设粒子自左向右运动.当x 为很大的正值时, 波函数应该描述越过“壁顶”并沿x 轴的正方向运动的一个粒子, 它的渐近形式必然是22,(0)ik x Be x ψ=> (2.11)即取0b '=. 由0x =处的边界条件:()()0201===x x ψψ, (2.12)201==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x dx d dx d ψψ (2.13) 我们有,(0)A A B x '+== (2.14)112,(0)k A k A k B x '-== (2.15)(2.14)和(2.15)两式给出透射波和反射波振幅与入射波振幅之间的关系如下:1212k k A A k k '-=+ (2.16) 1122k B A k k =+ (2.17)由这两式可以求出透射波和反射波的几率密度与入射波几率密度之比.将入射波1ik x Ae 、透射波1ik x Be 和反射波1ik x A e -'依次代换下式()**2i J ψψψψμ=∇-∇ 中的ψ,得入射波的几率流密度为()()1111212ik x ik x ik x ik x **i d d k J Ae A e A e Ae A dx dx μμ--⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦ 透射波的几率流密度为22D k J B μ=反射波的几率流密度为21R k J A μ'=-透射波的几率流密度与入射波的几率流密度之比称为透射系数,以D 表示.这个比值也就是贯穿到0x >区域的粒子在单位时间内流过垂直于x 方向的单位面积的数目,与入射粒子(在0<x 区域)单位时间内流过垂直于x 方向的单位面积的数目之比.由上面的结果,有()221221124D J k B k k D J k A k k ===+ (2.18) 反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数,以R 表示.由上面结果,有()2122212411R A J k k R D J k k A '===-=-+ (2.19) 由上两式可见,D 和R 都小于1,D 和R 之和等于1.这说明入射粒子一部分贯穿势垒0x >区域,另一部分被势垒反射回去.为画出粒子分布的几率密度图,我们令入射波的振幅1A =,得到1112112,(0)ik x ik xk k e e x k k ψ--=+<+ (2.20)212122,(0)ik xk e x k k ψ=>+ (2.21)粒子的几率密度分布如图 2.2所示.要注意当12k k =, 即00U =时,势垒消失,因此反射为零,透射系数1D =.此时只有入射波而没有反射波,在0x <、0x >的区域粒子分布的几率密度相同,如图2.3所示.2.3E 22k i ρ== 2ρ= (2.22) 则我们得到:111,(0)ik x ik x Ae A e x ψ-'=+< (2.23)222,(0)x x Be B e x ρρψ-'=+> (2.24)由于当x →∞时,波函数应该保持有限,所以应取(2.24)中的0B '=.因此有1212k i A A k i ρρ'-=+ (2.25) 1122k B A k i ρ=+ (2.26) 此时反射系数为:22122121R A J k i R J k i A ρρ'-====+ (2.27)透射系数为:2210D B JD R J A===-= (2.27)与经典力学不同的是,虽然透射系数为零,但在0x >区域找到粒子的几率并不为零.如果我们取1A =,则可将波函数写作:1112112,(0)ik x ik xk i e e x k i ρψρ--=+<+ (2.28)212122,(0)x k e x k i ρψρ-=>+ (2.29)从(2.28)可以看出虽然入射波与反射波的振幅相同,反射系数为1,但由于/A A '为一复数,所以反射波相对于入射波有一相移因子.这与经典力学无共同之处,但与光在金属表面反射时的情况类似.造成这种原因是因为粒子进入了0x >区域延误所致.由(2.28)和(2.29)式我们可以画出在0x <和0x >区域中找到粒子的几率密度曲线.从图中可以明显的看出,在0x >找到粒子的几率随着x 的增加而指数衰减,在21/x ρ>的区域内,找到粒子的几率几乎可以忽略不计.值得注意的是由于反射波的振幅与入射波的振幅相同,所以入射波与反射波在0x <的区域中发生干涉,使得一些点20ψ=,这是干涉相消的结果.这与0E U >时的情况不同,因为在0E U >时入射波的强度大于反射波的强度,干涉相消的结果只使0x <的区域中的一些点的几率密度取极小值,另一点取极大值,但不会完全为零.当然当20k →时,反射波的振幅接近入射波的振幅,因而那些取极小值的点将趋于零.2.4 0U →∞的情况当势垒高度趋于无穷大时,即0U →∞时的解,可以由0E U <的情况中令2ρ→∞得到:21212lim 1k i A A k i ρρρ→∞'-==-+ (2.30) 21122lim 0k BA k i ρρ→∞==+ (2.31) 此时反射系数为:图2.4设12k =,21ρ=, 粒子几率密度图.图2.5设12k =,20.5ρ=, 粒子几率密度图.221212lim1R J k i R J k i ρρρ→∞-===+ (2.32)透射系数为:2lim10DJ D R Jρ→∞==-= (2.33) 如果我们令1A =,则可将波函数写成如下形式:111,(0)ik x ik x e e x ψ-=-< (2.34) 20,(0)x ψ=> (2.35)值得注意的是,由(2.34)和(2.35)式给出的波函数1ψ和2ψ,在0x =点处波函数连续,但波函数的导数并不连续.这是因为在0U →∞时,在(1.9)式中221()()()kn x dx εεψεψεψ+-''+--=⎰右端的积分在0ε→时,由于()n x →∞并不等于零.所以在这种情况下,波函数仍然保持连续但波函数的导数却不在连续.我们可以由方程(2.34)和(2.35)给出的波函数1ψ和2ψ,绘出在0x <和0x >区域找到粒子的几率曲线图 2.6.由于此时入射波与反射波的振幅相等,相位相差π,显然在0x <区域中入射波与反射波干涉相消会使得一些点的几率密度为零.实际上0U →∞时所给出的粒子几率分布曲线图2.6,是在0E U <时2ρ→∞的极限情况.为了说明这一点,我们利用方程(2.28)和(2.29)分别取2ρ为2、10和1000画出图2.7、图2.8和图2.9.从图中可以看出当210ρ=时与图2.6已经很接近,而当2ρ取1000时图2.9与图2.6已经无法区别.从这里可以理解实际上所谓0U →∞的情况实际上是势垒比粒子能量高的多时的一种理想近似.图2.6当0U →∞,取12k =,2ρ→∞时的粒子几率密度图.图2.7当0E U <,取12k =,22ρ= 时的粒子几率密度图.图2.8当0U →∞,取12k =,210ρ= 时的粒子的几率密度图.图2.9当0E U <,取12k =,21000ρ= 时的粒子几率密度图.3 方形势垒散射3.1 模型与方程考虑在一维空间中运动的粒子,它的势能在有限区域()0x a <<内等于常量()000>U U ,而在这个区域外等于零,即()()a x ,x x U ax ,U x U ><=<<=0000 (3.1)我们称这种势为方势垒(图 3.1).具有一定能量E 的粒子由势垒左方()0<x 向右方运动.粒子的波函数ψ所满足的定态薛定谔方程是()a x ,x ,E dx d ><=+002222ψμψ(3.2) 和()()202220,0d E U x a dx ψμψ+-=<< (3.3) 同第二章一样我们分两种情况分别进行讨论.3.2 0E U >情况与(2.6)式一样我们定义1k 和2k 将方程(3.2)和(3.3)改写为()a x ,x ,k dx d ><=+002122ψψ(3.4) 和()22220,0d k x a dxψψ+=<< (3.5) 此处21k ,k 都是大于零的实数.在0<x 区域内,波函数x ik x ik e A Ae 111-'+=ψ (3.6)是方程(3.4)的解.在a x <<0区域内,方程(3.5)的解是x ik x ik e B Be 222-'+=ψ, (3.7)在a x >区域内,方程(3.4)的解是Ox图3.1 一维方势垒x ik x ik e C Ce 113-'+=ψ (3.8)按照公式(1.5)()(),iEt x t x eψψ-=定态波函数是321ψψψ,,再分别乘上一个含时间因子Et i e-. 由此看出(3.6)—(3.8)三式右边第一项是由左向右传播的平面波,第二项是由右向左传播的平面波.在a x >区域内,没有由右向左运动的粒子,因而只应有向右传播的透射波,不应有向左传播的波,所以在(3.8)式中必须令0='C (3.9)在0=x 和a x =均可以用波函数和波函数导数的连续条件(1.8)和(1.9)来确定函数中的其它系数.由()()0201===x x ψψ,我们有B B A A '+='+由0201==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x dx d dx d ψψ有B k B k A k A k '-='-2211由()()a x a x ===32ψψ,有a ik a ik a ik Ce e B Be 122='+-由032==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛x a x dx d dx d ψψ有 a ik a ik a ik Ce k e B k Be k 122122='--解这一组方程组,可以得出A ,C '和A 的关系是()()A ek k ek k e k k C aik aik aik 221221221214--+=-- (3.10)()()()22221222212122sin ik aik ai k k ak A A k k ek k e--'=--+ (3.11)(3.10)和(3.11)两式给出透射波和反射波振幅与入射波振幅之间的关系.由这两式可以求出透射系数为:()222122222222122124sin 4D C J k k D J A k k ak k k ===-+ (3.12) 反射系数为:()()22222122222222212212sin 1sin 4Rk k ak A J R D J A k k ak k k -'====--+ (3.13)由上两式可见,D 和R 都小于1, D 和R 之和等于1.这说明入射粒子一部分贯穿势垒a x >区域,另一部分被势垒反射回去..特别要注意当2ak n π=,0,1,2,n = 时,反射为零,透射系数1D =,产生所谓共振透射.此时只有透射波而没有反射波.从系数方程解得:2221122221212211222212122()()()2()()()i ak i ak i ak k k k B A e k k k k e k k k B Ae k k k k +=---++'=--+令1,A =我们得到波函数的形式为:()()()11222212212212122sin ik xik x ik a ik ai k k ak e e k k e k k eψ---=+--+ (3.14) 2222221121122222222121212122()2()()()()()i ak ik x ik xi ak i ak k k k e k k k e e e k k k k e k k k k ψ-+-=-+--+--+ (3.15) ()()11221232212124ik aik x ik a ik ak k e e k k e k k e ψ--=+-- (3.16)设122,1k k ==,势垒宽度a 分别为1、2、3和π分别画出粒子分布的几率密度图图3.2 取122,1,1k a k ===时粒子几率密度分布. 图 3.3 取122,1,2k a k ===时的粒子几率密度分布.图3.4 取122,1,3k a k ===时的粒子几率密度分布. 图 3.5 取122,1,k a k π===时的粒子几率密度分布.3.2、图3.3、图3.4和图3.5.其中图3.5对应共振散射的情形.如果我取 1.5a =、12k =而分别令2k 为1和0.1我们得到图3.6、图3.7.从两图中可以看出当,当2k 减小,对应势垒增高.相应的粒子穿过势垒的几率变小,反射几率增大,反射波的强度与入射波的强度接近.所以在0x <的区域内入射波与反射波干涉相消使得一些点波函数的密谋接近零.3.3 0E U <情况这时2k 是虚数,令22k i ρ=则2ρ是实数:()120222U E μρ⎡-⎤=⎢⎥⎣⎦(3.17) 把2k 换成2i ρ,前面的计算仍然成立. 经过简单计算后(3.10)式可改写为()1122221221222sh 2ch ik aik e C A ka ik aρρρρρ-=-+ (3.18)透射系数D 的公式可改写为()2212222222122124sh 4k D ka k ρρρρ=++ (3.19)在(3.14)、(3.15)和(3.16)式样中分别令120.5,2,0.2a k ρ===和122,2,1a k ρ===可画出在0E U <时粒子分布的几率图3.8和图3.9.由图可以看出当势垒变高变宽透射过势垒粒子的几率迅速减小.从而同样使反射的几率增加.与0E U >的情况类似,这时反射波的强度和入射波的强度接近从而使在0x <的区域中入射波和反射波的干涉出现图3.6取122,1, 1.5k a k ===时的粒子几率密度分布.图3..7取122,0.1, 1.5k a k ===时的粒子几率密度分布.相消而使得一些点上找到粒子的几率接近于零.3.4 0E U →情况对于0E U →情况,我们选择较“不透明的势垒”,即满足220/8U a μ= ,此时有1112220122022U E E k U μμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()111222002220221E U U E k U μμ⎡-⎤⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 由(3.19)式可以给出2/D C A=和0/E U 的关系图 3.10,当0E U →时,120212mU a D -⎛⎫→+ ⎪⎝⎭ ,当所选参数满足220/8U a μ= 时,0.2D →,在图 3.10中当0/1E U =时, 0.2D →.图3.10 透射系数D 与0/E U 关系曲线图图3.8 取122,0.2,k ρ==0.5a =时的粒子几率密度分布. 图 3.9 取122,1,2a k ρ===时的粒子几率密度分布.总 结我们在本文中对粒子在一维阶梯势垒和方形势垒的散射中的可能存在的各种情况作了较详细的讨论.并根据所给出的波函数用数值计算的方法画了粒子的几率密度曲线.在存在阶梯势垒的情况,如果0E U >,在0x <的区域由于入射波与反射波的干涉效应,几率密度呈现出随x 的变化而波动,而在0x >的区域由于只有透射波存在,所以几率密度曲线为一直线(几率密度为一常量);如果0E U <,透射系数为零,在0x <的区域由于入射波与反射波振幅相同,干涉相消使得一些x 点几率密度为零,而在0x >的区域由于透射波随着x 的增加而呈指数衰减,几率密度曲线很快单调下降至零.在方形势垒情况,如果0U a 有限,则透射波不为零.与阶梯势垒的情况类似,由于在0x >的区域内只存在透射波,所以几率密度曲线为一直线(几率密度为一常量);而在0x <的区域由于存在入射波和反射波的干涉效应,使得粒子的几率密度随x 不同而波,特别是注 释:[1]文中长度单位取()1/220/U μ 为单位长度. [2] [1] . 48～48[2] ～108[3] J. 北京: 科学出版社.1981[4]E.H.Wichmann. [美] 复旦大学物理译. 量子物理学[M]. 北京: 科学出版社.1978. 347～348[5] Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë. Quantum Mechanics[M]. Paris: Hermann. 1977.67～68[1]王传昌．高分子化工的研究对象[J]．天津大学学报，1997，53（3）：1~7附录:为了加强我院本科生毕业论文（设计）的管理与指导，切实提高毕业论文（设计）的水平与质量，根据《中华人民共和国学位条例暂行实施办法》特制定本《工作规定》。