关于洛伦兹混沌系统的仿真与应用
混沌系统理论及其应用
混沌系统理论及其应用混沌这个词汇曾经是描述一种凌乱的概念，但是在科学领域中，混沌系统是一种高度复杂和无序的动力学系统。
混沌理论已经被广泛应用于各种领域，例如经济学、气象学、工程学以及计算机科学等。
本文将介绍混沌系统的基础理论，以及其在实际应用中的价值。
混沌系统的基础理论在混沌系统的研究中，最具有代表性的就是洛伦兹吸引子。
1963年，美国气象学家Edward Lorenz用三个非线性微分方程来描述大气环流系统，他发现这个系统可以出现极其复杂的轨迹。
在数值模拟时，由于计算机精度的问题，他意外地发现微小的初始条件误差会在后来引起系统状态的强烈变化，从而导致结果的巨大不同。
这种现象被称为混沌。
根据混沌系统的定义，混沌是指无论初始状态如何微小，随着时间的推移都会渐渐加剧变化，并最终达到一个看似无序而非重复的状态。
在混沌系统的研究中，最具有代表性的就是洛伦兹吸引子，由三个非线性微分方程描述，表达式如下：$$\begin{aligned}\frac{dx}{dt} &= \sigma(y - x) \\\frac{dy}{dt} &= x(\rho - z) - y \\\frac{dz}{dt} &= xy-\beta z\end{aligned}$$其中，$x, y, z$是三个随时间变化的状态量，$\sigma, \rho,\beta$是系统的三个物理参数。
这一方程组描述了一个对流系统的演化过程。
洛伦兹吸引子表现出来的是一个“蝴蝶形状”，这也是混沌系统自身的内在特征之一。
洛伦兹吸引子的非线性巨大特点，例如混合状态、结构相对简单、吸引性等等，使得它在混沌理论基础研究和应用方面都有很广泛的应用。
混沌系统的应用混沌系统理论的应用非常广泛，下面简单介绍一些具体的应用。
1. 加密与通信混沌系统可以用来进行加密和通信，它的特点是出现的数字序列是随机的，因此具有较高的安全性。
这种随机性是由于混沌系统对初始条件和系统参数非常敏感，如果两者发生了极小的改变，就会出现严重的状态变化，从而产生一个看似无序的结果。
类LORENZ混沌系统及其电路实现
• 188•本文研究动力学特性更为复杂的新三维混沌系统。
首先利用数值建模分析了三维混沌系统的基本动力学特性，然后搭建新混沌系统硬件电路，通过Multisim软件进行硬件电路仿真模拟，最后验证了系统的物理可行性，结果表明仿真实验与理论分析结论吻合。
1963年MIT(Massachusetts Institute of Technology)气象学家Loren 发现已确定的三阶微分方程具有不规则的解，提出了“蝴蝶效应”理论，开启了研究混沌现象的序幕。
混沌作为非线性动力学的一个分支，在很多领域具有广泛应用。
复杂混沌系统的产生、分析和控制近年来引起了国内外同行的广泛关注。
经典的混沌系统诸如：Rössler 系统、Chen 系统及Lü系统等被提出，一些新的混沌系统被发现，它们具有更大的Lyapunov 指数和更强的混沌特性。
本文基于文献中Lorenz-Like 系统，搭建了新三维混沌系统，发现此系统的混沌特性比原系统复杂，在不同参数值下不仅折叠吸引子的涡卷数增加；并且发现在4.28＜b ＜10.5时，系统产生新的两翼折叠混沌吸引子，其最大Lyapunov 指数高达6.7872，比上述文献中混沌系统的Lyapunov 指数值均大。
1 混沌系统模型及特性分析1.1 混沌系统模型本文基于Lorenz-Like 系统构建了一个新三维自治混沌系统，该系统的数学模型可描述为：（1）式中，x ，y ，z 为状态变量。
当初值为(10，10，60)，参数a =10、b =3、c =50、h =-1时，系统存在一个典型混沌吸引子如图1所示。
图1 系统(1)相图1.2 三维系统参数的影响系统动力学特性随参数的变化而变化，系统的运行状态可以直观的由Lyapunov 指数谱及分岔图反映。
当固定参数a 、c 、h ，参数b 变化。
图2(a)反映在0＜b ≤2.256及b ＞12.39区域Lyapunov 指数谱符号为(-，-，-)或(0，-，-)，系统处于周期运动状态；在2.257＜b ≤12.35区域Lyapunov 指数谱符号为(+，0，-)，系统处于混沌运动状态。
简化Lorenz混沌仿真和控制实验平台开发
简化Lorenz混沌仿真和控制实验平台开发作者：赵海滨于清文颜世玉来源：《中国教育技术装备》2020年第06期摘要采用Python語言建立简化Lorenz混沌仿真和控制实验平台，能够进行简化Lorenz 混沌的仿真和镇定控制。
采用Tkinter建立软件的GUI界面，并采用Matplotlib进行图形的绘制，可以修改混沌系统的参数和初始状态以及控制器的参数。
采用主动控制器进行简化Lorenz 混沌的镇定控制，状态变量渐进收敛到零。
该实验平台可以进行简化Lorenz混沌的仿真和镇定控制，能够提高学生创新实验技能和工程实践能力。
关键词简化Lorenz混沌;实验平台;仿真实验;Python语言中图分类号：TP391.9 文献标识码：B文章编号：1671-489X（2020）06-0032-03Experimental Platform Development of Simplified Lorenz Chao-tic System Simulation and Control//ZHAO Haibin， YU Qingwen， YAN ShiyuAbstract A simulation and control experiment platform of simplified Lorenz chaotic system is established by Python， which can simulate and stabilize Lorenz chaos. The GUI of the software is built by Tkinter， and the graph is drawn by Matplotlib. The parameters of chaos system， initial state and controller can be modified. The active controller is used to stabilize simplified Lorenz chaotic system， and the state variables converges to zero gradually. The experimental platform can simulate and stabilize simplified Lorenz chaotic system， and improve students’ innovative experimental skills and engineering practice ability.Key words simplified Lorenz chaos; experimental platform; simula-tion experiment; Python language1 引言混沌是非线性动力系统的固有特性，对初始条件具有极端的敏感性，是非线性系统普遍存在的现象，广泛存在于自然界和人类社会中。
洛伦兹曲线的原理与应用
洛伦兹曲线的原理与应用1. 引言洛伦兹曲线，又称作洛伦兹吸引子，是一种描述混沌动力系统的数学模型。
它是根据荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹的名字命名的，用于描述非线性动力系统中的不可预测性特征。
洛伦兹曲线具有独特的形状，既美观又富有几何美感，因此在科学研究、艺术创作和信息安全等领域得到了广泛的应用。
本文将介绍洛伦兹曲线的原理以及它在各个领域中的应用。
2. 洛伦兹曲线的原理洛伦兹曲线的原理基于混沌动力学，它描述了一个物理系统中的三个变量之间的关系，这三个变量分别是：速度 (v)、位置 (x) 和时间 (t)。
洛伦兹曲线由以下三个微分方程组成：•dx/dt = σ * (y - x)•dy/dt = x * (ρ - z) - y•dz/dt = x * y - β * z其中，σ、ρ、β 是洛伦兹系统的参数。
这个方程组描述了一个三维空间中的运动轨迹，这个运动轨迹在坐标系中呈现出独特的形状，即洛伦兹曲线。
3. 洛伦兹曲线的特性洛伦兹曲线具有以下几个特性：•奇点吸引力：洛伦兹曲线中存在奇点，这些奇点对曲线起到吸引作用。
任何初始条件下，洛伦兹曲线都将以一定的方式向相应的奇点收敛。
•敏感依赖性：洛伦兹曲线对初始条件非常敏感。
微小的初始条件变化可能导致曲线演化出完全不同的轨迹，这是洛伦兹曲线混沌性的一个重要表现。
•细微结构：洛伦兹曲线具有复杂的细微结构，这些结构在不同的观察视角下呈现出不同的形态，给人以美感。
4. 洛伦兹曲线的应用洛伦兹曲线作为一种混沌动力学模型，在许多领域中都有广泛的应用。
4.1 科学研究洛伦兹曲线在科学研究中被广泛应用于非线性动力学、物理学、气象学等领域。
它可以用来描述大气运动、流体力学、电磁场耦合等现象，并帮助科学家深入研究动力系统的性质和行为。
4.2 艺术创作洛伦兹曲线的美丽形态使它成为了许多艺术家的创作灵感。
艺术家可以利用洛伦兹曲线的特性，创作出富有艺术性和灵动感的作品。
洛伦兹曲线在绘画、设计和雕塑等艺术形式中得到了广泛的应用。
Lorenz混沌系统的电路仿真
毕业论文（设计）题目Lorenz混沌系统的电路仿真指导教师：学生：学生学号：信息工程系一电气自动化专业一08自动化2班2011年04月15日摘要混沌学研究从早期探索到重大突破，经以至到本世纪70 年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果，不只是增添了一个新的现代科学学科分支，而且几乎渗透和影响着现代科学的整个学科体系。
混沌学的研究是现代科学发展的新篇章。
许多学者把混沌理论称为继量子力学和相对论以后二十世纪最有影响的科学理论之一，人们对混沌信号的产生和混沌振荡器等容的研究非常感兴趣。
本文将论述混沌的概念、混沌同步和混沌控制的一些方法，并针对Lorenz 系统提出了以一定的祸合比例系数，实现主动系统和被动系统的同步控制以及计算机仿真。
计算机仿真结果表明: 在控制的过程中，控制周期随着松弛系数值的增大而减小，较大的松弛系数导致较快的控制。
这个控制法则来源于雅普诺夫稳定性原理，可以用来控制非同步系统达到同步，最终实现所要求的P同步，即通过加入微小的控制可以在短时间按任意比例系数实现对主动系统的响应的放大或缩小。
电路实现证实了所提新方法的有效性，并且可以按照实际需要的祸合比例实现同步控制。
关键词: 混沌同步；控制；祸合比例系数；电路实现ABSTRACTChaos studies from early exploration to significant breakthrough in the 1970s by up to this century after the hot forming worldwide, the field that involves including mathematics, physics, biology, meteorology, engineering and economics, and so many subject, the research achievement, not just added a new modern scientific disciplines branch, and almost permeatesand affects the whole subject system of modern science. Chaos study of the development of modern science is a new chapter. Many scholars put chaos theory called after the quantum mechanics and relativity of the 20th century is one of the most influential, people on the scientific theory of chaotic signal is produced and chaotic oscillator content of the study very interested.Synchronous control of the master system and slave systems, matching the certain coupling coefficient aiming at the system of Lorenz, and computer numerical simulation are realized in this paper. The computer numerical simulation shows that the transient period of controlling is generally reduced with an increase of the value of the slack constant. Clearly, the larger slack constant leads to the faster convergence rate in the control. The control law derived from Lyapunov stability theory This control method could be employed to enforce a nonsynchronous system to be synchronized, and manipulate the ultimate state of projective synchronization to any desired ratio. It allows us to usetiny control inputs to amplify or reduce the response of the driven system to any scale in a short transient period. The numerical simulation result confirms the effectiveness of the new method, and the method can realize the synchronous control according to the coupling ratio of demand.Key Words: Synchronization of chaos；Control; Coupled scale factor; Circuit implementation.目录ABSTRAC.T (II)第一章绪论. (1)1.1选题的目的及意义. (1)1.2混沌学 (2)1.2.1混沌的发展. (2)1.2.2混沌的定义. (3)1.2.3通向混沌的道路. (5)1.3奇怪吸引子 (5)1.3.1洛伦兹吸引子. (5)1.3.2伊侬吸引子. (6)1.3.3奇怪吸引子特性. (6)第二章混沌的同步研究及其应用 (8)2. 1 混沌的同步 (8)2.1.1同步的定义. (8)2.1.2广义同步的定义. (9)2.1.3相位同步的定义. (9)2.2谈谈几种典型的同步方法. (10)2.2.1驱动响应同步法. (10)2.2.2变量反馈微扰同步方法. (11)2. 2. 3 相互祸合的同步方法. (12)2.2.4自适应同步方法. (13)2.3 混沌同步的研究进展. (13)2.4混沌同步的应用. (14)第三章针对Lorenz 系统的混沌同步控制电子电路设计 (15)3.1Loren: 系统的科学价值和历史意义 (15)3.2Lorenz 系统的动力学行为. (15)3.2.1L orenz 系统的基本动力学行为 (15)3.2.2平衡点和分岔. (17)3.3 电子电路的应用设计. (17)3.3.1简单混沌现象研究. (20)4.3.2电路图 (21)第四章计算机仿真与电路的实现 (22)4.1软件设计 (22)4.1.1软件设计的基本原则. (22)4.1.2软件选择 (22)4.1.3电路的实现. (23)4.2 仿真与分析 (23)4.2.1M atlab 仿真. (23)4.2.2结果分析 (24)论文总结与展望 (26)致. (27)参考文献. (28)第一章绪论1.1选题的目的及意义混沌学研究从早期探索到重大突破，经以至到本世纪70 年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果，不只是增添了一个新的现代科学学科分支，而且几乎渗透和影响着现代科学的整个学科体系。
Lorenz系统的混沌同步控制及计算机仿真
２ ａｙｎ ｅｈ ｏ ｇ ａ Ｕ ｉ ｒｔ， ３ ７ ８Ｓｎａｏｅ ．Ｎ ｎａｇＴ ｃｎ ｌ ｉ ｌ ｎｖ ｓｙ ６９ ９ ｉ ｐｒ） ｏｃ ｅｉ ｇ
ＡＢＳ ＴＲＡＣＴ： ｙ ｃ ｒ ｎ ｕ ｏ ｔ ｌ ｆｔｅ ｍａ ｔｒｓ ｓｅ ａ ｄ ｓａ ｅ ｓ ｓｅ ｒ ｈ ｙ ｔｍ ｆＬ ｒ ｎ ｎ ｏ ｕｅ ｕ Ｓ ｎ ｈ ｏ ｏ ｓ ｃ ｎ ｒ ｓ ｙ ｔｍ ｎ ｌｖ ｙ ｔ ｍｓｆ ｅ ｓ ｓｅ ｏ ｏ ｅ ｚ ａ ｄ ｃ ｍｐ ｔｒｎ — ｏｏ ｈ ｅ ｏ ｔ
于李雅普诺夫稳定性原理 ， 可以用来 控制非 同步系统达到同步 ， 最终实现所要求的 Ｐ一同步 ， 即通过加 入微 小的控制可 以在
短时间内按任意 比例系数实现对主动系统的响应的放大或缩小 。数值仿真结 果证实 了所提新方法的有效性 ， 可以按照 并且
实 际需要的耦 合比例实现同步控制； 计算机仿真
中图分类号：Ｐ ９ ． Ｔ ３ １９ 文献标识码 ： Ｂ
Ｓ ｎ ｈｒ ｎ ｕ ｎ ｒ ｌｉ ｙ ｃ ｏ ｏ ｓ Ｃｏ ｔ ｏ ｎ Ｃｈａ ｔｃ Ｓ ｓｅ ｓｏ ｒ ｎ ｎｄ ｏ ｉ ｙ ｔｍ ｆＬｏ ｅ ｚ ａ ｔ ｅ Ｃｏ ｐ ｅ ｉ ｕ ａ ｉｎ ｈ ｍ ｕｔ ｒ Ｓ ｍ ｌ ｔｏ
ｐｏｅｔ ｅｓｎ ｈｏｉ ｔ ｎｔ ａｙｄｓ ｅ ｔ ． ｔ ｌ ｗ Ｓｏｕｅ ｉｙ ｏｔ ｌｎ ｕｓｏａ ｐｉ ｒｅ ｕｅ ｈ ｓｏ ｓ ｒ ｃｉ ｃｒｎ ａｏ ｎ ｅｉ ｄｒ ｉ Ｉ ａｏ ｓ ｓ ｎ ｎｒ ｐ ｔｔ ｍ ｌｙｏ ｄ ｃ ｅｒ ｐｎｅ ｊ ｖ ｙ ｚｉ ｏ ｒ ａｏ ｌ Ｕ ｔ ｔ ｃ ｏｉ ｆ ｒ ｔ ｅ
ｍｅ ｉａ ｉ ｌｔ ｎ ａｅ ｒ ａｉｅ ｎ ｔ ｉ ｐ ｐ ｒ Ｔ ｅ ｃ ｍｐ ｔｒ ｎ ｍｅ ｃ ｌｓｍｕ ａｉｎ ｓ ｏ ｓ ｔ ａ ｈ ｒ ｎ ｉｎ ｅ ｏ ｆ ｒｃ ｓｍｕ ａｉ ｒ ｅ ｚ ｄ ｉ ｈｓ ａ ｅ ． ｈ ｏ ｕ ｅ ｕ ｒ ａ ｉ ｌｔ ｈ ｗ ｈ ｔｔ ｅ ｔ ｓｅ ｔｐ ｒ ｄ ｏ ｌ ｏ ｌ ｉ ｏ ａ ｉ ｃ ｎ ｒ ｌ ｓ ｇ ｎ ｒ ｌ ｅ ｕ ｅ ｉ ｎ ｉ ｃ ｅ ｓ ｆｔ ｅ ｖ ｕ ｆｔ ｅ ｓａ ｋ ｃ ｎ ｔｎ ． Ｃ ｅ ｒ ｏ ｔ ｅ ｅ ａ ｙ ｒｄ ｃ ｄ ｗ ｔ ａ ｎ ｒａ ｅ ｏ ｈ ａ ｅ ｏ ｈ ｌ ｃ ｏ ｓ ｔ ｌａ ｌ ｏ ｉ ｌ ｈ ｌ ａ ｙ，ｔ ｅ ｌｒ ｅ ｌｃ ｏ ｓ ｎ ｈ ａ ｇ ｒ ｓ ｋ ｃ ｎ ｔ ｔ ａ ａ ｌａ ｓｔ ｉｈ ｒｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｒ ｔ ｈ ｏ ｔ １ ｈ ｏ ｔ ｌ ａ ｓｄ ｒ ｅ ｏ Ｌ ａ ｕ ｏ ｔ ｂｌ ｙ ｔ ｅ ｒ ． ｈ ｓｃ ｎｒ ｌ ｅ ｄ ｏｈ ｇ ｅ ｏ ｖ ｒｅ ｃ ａｅ ｉ ｔ ｅ ｃ ｎｒ ．Ｔ ｅｃ ｎ ｒ ｗ ｉ ｅ ｖ ｄ ｆ ｍ ｙ ｐ ｎ ｖ ｓａ ｉ ｔ ｈ ｏ ｙ Ｔ ｉ ｏ ｔ ｎ ｏ ｏｌ ｉ ｒ ｉ ｏ ｍｅ ｈ ｄ ｃ ｕ ｄ ｂ ｍｐｏ ｅ ｏ ｍａ ｅ ａ ｎ ｎ ｙ ｃ ｒ ｎ ｕ ｙ ｔ ｍ ｅ ｓ ｎ ｈ ｏ ｉｅ ｔ ｏ ｏ ｌ ｅ ｅ ｌｙ ｄ ｔ ｋ ｏ ｓ ｎ ｈ ｏ ｏ ｓ ｓ ｓｅ ｂ ｙ ｃ ｒ ｎ ｚ ｄ，ａ ｄ ｍａ ｉｕ ａ ｅ ｔ ｅ ｕ ｔ ｔ ｔｔ ｆ ｎ ｎ ｐ ｌｔ ｌ ｍａｅ ｓａｅ ｏ ｈ ｉ
混沌系统介绍及例子
混沌系统介绍及例子混沌系统（Chaos system）是指具有混沌行为特征的非线性动力学系统。
混沌行为表现为系统的状态在一定的参数范围内非周期性地演化，表现出高度敏感的初始条件和小幅的参数变化所引起的状态的剧烈变化。
混沌系统的研究不仅在理论物理领域有重要意义，也在生物学、经济学、工程学和社会科学等领域有广泛应用。
混沌系统的行为是非周期的，无法以简单的数学公式进行预测。
混沌系统有三个关键属性：灵敏度依赖于初始条件、确定性演化以及混沌的周期特征。
混沌系统可以用混沌图、Lyapunov指数、诺依曼熵等方式进行分析和描述。
下面是两个著名的混沌系统的例子：1. 洛伦兹系统（Lorenz system）：洛伦兹系统是由麻省理工学院的气象学家Edward Lorenz于1963年提出的模型，用于描述大气中气流的运动。
这个三维非线性微分方程组由以下三个方程组成：dx/dt = σ(y - x)dy/dt = x(ρ - z) - ydz/dt = xy - βz其中，x,y,z是系统状态变量，σ,ρ,β是系统参数。
当参数取特定值的时候，洛伦兹系统展现出复杂的混沌行为，形成漂亮的吸引子，称为洛伦兹吸引子。
2. 常微分方程混沌系统（Ordinary differential equation chaos system）：该系统是一个由非线性常微分方程描述的混沌系统，最经典的例子是由Mackey-Glass方程提出的混沌系统。
Mackey-Glass方程用于描述生物学和医学领域中的物理现象，其表达式为：dx/dt = β * x(t - τ)/(1+x(t - τ)^n) - γx(t)其中，x是系统状态变量，β, τ, γ, n是系统参数。
当参数取一定的范围时，Mackey-Glass方程会显示出混沌行为，从而产生混沌状态。
混沌系统的研究对于理解复杂系统的行为具有重要意义。
混沌系统的特点使得其具有很大的应用潜力，例如，混沌系统已经被应用于随机数生成、数据加密、通信系统、生物学系统和金融市场等领域。
混沌系统的理论与应用研究
混沌系统的理论与应用研究混沌系统是一类非线性动力学系统，其特点是有着灵敏的初始条件依赖性、不可预测性和复杂性。
在自然界和工程实践中，很多现象可以被描述为混沌现象。
因此混沌系统的理论和应用研究已经成为了一个热点话题。
一、混沌系统的理论1.混沌现象的起源混沌现象的起源可以追溯到19世纪60年代的洛伦兹方程。
洛伦兹方程描述了三维空间中的流体运动，但是当参数取值在一定范围内时，方程的解会呈现出复杂的非周期性演化，这就是洛伦兹吸引子，也是混沌现象的一个自然表现。
2.混沌系统的行为特征混沌系统主要有三个基本特征，即灵敏性依赖初值、不可预测性和指数式的增长或衰减。
灵敏性依赖初值是指对于微小的初值扰动会导致系统演化完全不同的结果，导致系统的预测变得不可靠。
不可预测性是指混沌系统的演化严格遵循确定性方程，但是由于初值误差的影响，相邻的状态演化会趋于不同的方向。
指数式的增长或衰减则体现了混沌系统的无限扩张性和不稳定性。
3.混沌理论的基本工具混沌理论的基本工具包括相空间、特征指数和混沌分析等。
相空间是混沌理论的核心概念，它是由混沌系统状态构成的空间，反映了混沌系统状态的演化规律。
特征指数是描述混沌系统演化速率的指标，它可以用于判断混沌系统的稳定性和预测系统的行为。
混沌分析则是一种基于神经网络、小波分析、频域分析等方法对混沌时序序列的分析手段，可以提取出混沌系统中蕴含的信息。
二、混沌系统的应用1.混沌系统在密码学中的应用由于混沌系统的伪随机性和不可预测性，因此在密码学中得到了广泛运用。
混沌加密算法是一种基于混沌映射的加密方法，可以提供高强度的数据保护。
2.混沌系统在通信中的应用混沌通信是一种新兴的通信技术，它通过利用混沌系统的非周期性、高灵敏性和无规律性来实现通信系统的保密性和抗干扰性。
3.混沌系统在金融领域中的应用混沌系统在金融领域中的应用主要包括金融市场预测和金融风险控制。
混沌理论的应用可以提高预测模型的精度，在金融市场瞬息万变的环境下，提高预测准确率对于投资者和交易员来说都是至关重要的。
洛伦兹混沌系统的电路仿真与设计
洛伦兹混沌系统的电路仿真与设计【摘要】本文基于Lorenz混沌系统的动力学方程，利用Matlab软件中的simulink模块搭建方程进行仿真，并将Lorenz方程进行标度变换为一个新的标准方程，使用Mutisim软件进行电路设计与模拟，得到了理想的结果。
【关键词】Lorenz混沌系统；Matlab仿真；模拟电路设计0 引言混沌系统对初始值非常敏感，并且具有类随机性，可控及同步性。
近年来，混沌保密通讯、混沌电路及加密发展成为一个前沿领域。
混沌加密等应用问题首先要解决的问题即混沌电路的设计。
本文基于Lorenz混沌系统，分析其基本特性，并进行了电路仿真及模拟电路的设计。
1963年著名的气象学家E.N.Lorenz研究大气热对流运动时发现了一种特殊的混沌现象，即蝴蝶效应。
Lorzen吸引子是目前文献记载最早的奇怪吸引子，因此Lorenz也被成为“混沌之父”。
至今，Lorzen系统族的发展虽然有很长的历史，但是Lorzen系统族丰富的动力学行为依然值得更加深入的研究，并进行更多的应用发展。
lorenz系统的动力学方程为：■=-σx+σy■=-y+rx-xz■=-bz+xy （1）式中，x，y和z表示对流强弱，水平温差和与温差有关的变量；σ、γ和b 则分别为Rayleigh数、Rayleigh数和容器大小有关的参数。
当σ =10，b=8/3，γ=28时，lorenz系统出现混沌现象。
1999年，我国学者陈关荣等人提出了一个新的混沌吸引子，即Chen吸引子，它的动力学方程为：■=a（y-x）■=（c-a）x-xz+cy■=-bz+xy （2）当a=35，b=3，c=28时，Chen系统产生混沌现象。
2002年，吕金虎提出了LU系统，它的动力学方程为：■=a（y-x）■=-xz+cy■=xy-bz （3）当a=36，b=3，c=20时，LU系统出现混沌现象。
这三个系统具有类似却不相同的动力学行为，被称为Lorzen系统族[1]，它对于混沌系统的理论研究以及控制、同步、加密应用等都具有重要的意义。
混沌系统的演化特性及其在通信中的应用
混沌系统的演化特性及其在通信中的应用混沌系统是指那些对初始条件非常敏感、混沌且难以预测的系统。
它们的行为是非线性的、复杂的和不可预测的，但是它们却常常存在于自然及人工系统中，并且有很多实际应用。
在现代通信领域，混沌系统的演化特性已经被广泛研究和应用，例如通信加密、同步、调制等。
混沌系统的演化特性混沌系统的演化特性指的是，在这种系统中，微小的初始条件变化会导致系统的演化出现很大的不同，使得系统的演化非常不可预测。
通常来说，混沌系统都是非线性的，而且它们会产生周期性和非周期性的行为。
一个例子是洛伦兹吸引子，这是在1963年由美国气象学家洛伦兹研究的一种混沌现象。
它的动力学方程式非常简单，但是却非常复杂，它主要描述了一个天气系统中罕见的现象：反常扰动。
通过一定的控制手段，可以将洛伦兹吸引子引入到人工系统中，以实现通信加密等类似的应用。
另一个例子是Henon映射，与另一种经典的混沌映射系统：二次映射一样，都是在一个二维平面上研究的。
Henon映射的演化非常复杂，常常呈现出不同的面貌，例如分形、波动、周期和混沌等等。
这里的重点是，Henon映射通常被用来建模高速同步和加密通信系统。
混沌系统在通信中的应用混沌系统在通信中有许多应用，包括加密、同步和调制等。
通信加密：混沌系统通常被用来代替传统的加密和解密算法，因为混沌系统的演化是非常不可预测的，因此它提供了一种更高效、更强大的加密方式。
其中一个主要的思想是，利用混沌映射或者类似于哈希算法的方式，可以将明文转换成混沌序列，从而实现对数据的有效加密。
只有在得到特定的密钥，才能恢复出原始的明文信息。
同步通信：混沌同步是混沌系统中比较有用的技术之一。
它利用了混沌系统的非线性特性来实现两个通信设备之间的高速数据传输。
这种技术可以使得混沌系统中的一个设备产生的混沌信号与另一个设备产生的混沌信号同步。
同步通信可以用于CDMA （码分多址）技术，以及某些其他通信应用。
混沌调制：混沌调制是另外一种利用混沌系统的特性进行通信的技术，它通常用于无线通信系统或者宽带通信系统中。
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238 论述
2019 年 3 月
图1
线为对初始条件经过微小地改动后得出的图像袁 可以发现在 一段时间后袁两条曲线出现偏差遥 第二尧三张图分别是 y-t尧z-t 图袁也同样是在初始条件有微小差异情况下袁两线的图像有明 显的不同遥 由这三张图袁很好地验证了袁其对初始条件敏感的 特点遥
图 2 四幅图表示的是 x尧y尧z 的轨迹坐标图遥 第一列第一 幅图是 x-y-z 的三维坐标图袁表示的在设定初始条件下袁三维 坐标轨迹遥 第一列第二幅图是第二幅图在 x-z 轴上的映射袁第 二列第一幅图是在 y-z 轴上的映射袁第二列第二幅图是在 x-z 轴上的映射遥 由三幅图可以发现袁在各自投影上袁轨迹都显示 出明显的双吸引子特点袁轨迹都绕着两个中心运动袁但又不重 叠遥 通过对这四张图的分析袁验证了其看似无规则袁但隐含着 规律的行为以及双吸引子的图像性质遥
渊Rayleigh冤袁茁 是容器大小相关的方向比遥
我们可以对洛伦兹方程进行简单的线性稳定性分析袁首
先我们可以确认渊0袁0袁0冤是洛伦兹系统的一个稳定的解遥
其他解的求解方式袁另方程渊1冤中三式的右边为 0袁等到院
z=籽-1袁x2=y2=茁渊籽-1冤
渊2冤
对方程渊2冤进行分析袁分为 籽跃1曰籽约1 两种情况袁对于 籽约1
2019 年 3 月
关于洛伦兹混沌系统的仿真与应用
周敏慎（浙江省杭州第四中学，浙江省 杭州市 310000）
论述 237
【摘 要】自 1963 年洛伦兹提出了模拟大气变化的洛伦兹系统之后，得到了各个领域的学者的关注和应用，本文分析洛伦兹系统的动力学行
为，利用 MATLAB 进行洛伦兹系统的仿真，根据仿真结果深入了解学习洛伦兹系统在通信加密来自大气变化、电路设计等领域的应用。
因为洛伦兹方程是用于研究大气对流的简化模型袁 这里
面是三个变量都有各自的物理意义遥 其中 x 正比于对流运动
的强度袁 即对流运动的振幅曰y 表示的对流时上升与下降的对
流温差袁正比于水平方向温度的变化袁曰z 表示的是对流造成的
垂直方向的温差的偏离遥 关于三个参数都是无量纲的参数袁具
有各自的物理意义袁滓 是普朗克常数 渊Planck冤袁籽 是瑞利常数
系统遥 混沌系统的特性也折射出混沌的特性遥
图 1 是通过对初始条件的微小改变袁得出的 x尧y尧z 与 t 的
关系图遥 第一张图是 x-t 图袁实线是原先设定的初始条件袁虚
领域和物理尧化学尧生物尧地理等实验性演示性课程中的应用袁 构建虚拟教室袁虚拟实验室等教育教学环境袁发展虚拟备课尧 虚拟授课尧虚拟考试等教育教学新方法遥 冶有了政策的引领袁虚 拟现实技术在教育中的应用将迈入快速发展的大道遥 展望未 来袁我看到虚拟现实技术走进了学校教育尧走进了每所校园尧 走进了每个学生袁中国实现了教育发展的平衡性袁实现了人们 心中的教育公平遥
参考文献 [1]李振华.虚拟现实技术基础.北京院清华大学出版社袁2017. [2]刘光然.虚拟现实技术.北京院清华大学出版社袁2015. [3]刘向东.一本书读懂虚拟现实.北京院清华大学出版社袁2017. [4]淘 VR.虚拟现实院从梦想到现实.北京院电子工业出版社袁2017.
收稿日期：2019-2-18
【关键词】洛伦兹系统；MATLAB；仿真
【中图分类号】O415.5
【文献标识码】A
【文章编号】1006-4222（2019）03-0237-02
1 引言
野一只蝴蝶在南美洲亚马逊热带雨林煽动了几下翅膀袁若 干周后导致了美国得克萨斯州的龙卷风遥 冶这是广为大众熟知 的蝴蝶效应遥 然而这不是真正发生了这样的一件事袁所谓蝴蝶 效应是为了形象的表示拓扑学连锁反应遥 不起眼的一个小动 作可能引起一系列的巨大反应遥 正是印证了非线性动力学的 分支要要 要混沌渊chaos冤遥 混沌一词最早是由法国数学家庞加莱 研究天体运动时发现了混沌现象袁到 20 世纪中后期袁混沌学 才开始兴起袁在接下来袁直至今日袁依旧是很多领域关注的热 门问题遥 其混沌学应用到地球科学尧天体物理尧电路设计尧经济 学尧人类学和军事通信等各个领域遥 适用于宏观中天体到微观 粒子袁 应用范围及广遥 混沌现象是自然界中一个基本运动形 式遥 混沌现象是一种在确定的系统中袁表现出对初始条件敏感 的动力学行为袁其动力学行为看似无规则袁但隐含着规律的行 为遥 其包含了随机和规则动力学行为遥
28袁茁=
8 3
袁该参数为典型的混沌解袁在参数条件下袁系统处于
混沌状态遥
洛伦兹系统具有一些重要特征袁 即使保守系统尧 耗散系
统尧同样对初始条件非常敏感遥 所谓保守系统即相体在一定的
相空间为运动袁不会超过它的边界袁同样在固定的相空间内相
体随着时间的演化最终演化到零点袁 即最终被吸引到相空间
的稳定点袁这个点即为吸引子袁所有洛伦兹系统同样也是耗散
时袁只有一个解袁就是渊0袁0袁0冤袁对于 籽跃1 时袁有三个解袁其中一
个是渊0袁0袁0冤袁另外两个是渊依 姨茁渊籽-1冤 袁依 姨茁渊籽-1冤 袁籽-1冤袁再 通过稳定点分析袁我们可以确定系统进行湍流态的参数范围袁
即混沌袁即
籽跃
滓渊滓+茁+3冤 滓-茁-1
遥
3 MATLAB 仿真分析
通过上面对洛伦兹系统的介绍和分析袁 接着利用 MAT鄄 LAB 对洛伦兹系统进行数值仿真袁 直观的观察洛伦兹系统的 动力学行为袁 这里我们选取的洛伦兹方程的参数为 滓=10袁籽=
2 模型
洛伦兹仿真大气对流的模型为院一个二维的流体室袁对底 部加热和底部冷却袁从而产生对流袁然后进行试验袁对模型进 行数学建模袁最终化简为我们熟知的洛伦兹方程遥
洛伦兹方程是三个线性微分方程组成的方程组袁 其方程 形式为院
扇设设x觶 =滓渊y-x冤
设
缮设设y觶 越籽x-y-xz
渊1冤
设
墒设设z觶 越xy-茁z