非线性方程与混沌解析
非线性动力学中的混沌与分岔现象
非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。
在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。
混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。
混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。
他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。
这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。
这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。
混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。
这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。
一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。
σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。
这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。
分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。
简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。
分岔现象的经典例子是Logistic映射。
Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。
Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。
第七章 非线性动力学与混沌 讲义
2. 线性化方程组的解及其稳定性
12
111 21 1
122 222
试探解：1 Aet ,2 Bet
11
21
12
22
A B
0
ij
( fi x j
)0
11 12 0 21 22
2 T 0
T 11 22
系数矩阵的迹
11 22 12 21 系数行列式的值
特征根
❖ 刘式达，刘式适，《非线性动力学和复杂 现象》，气象出版社，1989
§7.1 引言
一. “非线性动力学”的表观含义
数学上：
f (x) ax b
f
(x)
ax2
bx
c
线性 非线性
定义：力或微分方程含有坐标或速度的非线性项的系 统，称为非线性动力学系统，反之称为线性动力学系统。
例：
mx kx 2x2
1. 定态解 xi 0 i 1,2, , n
x2
平衡点，奇点
x1
2. 发散解
xi 之一或几个随时间无限地偏离初值 x2
爆炸，散射
x1
3. 振荡解
既不趋于无穷大，也不终止于某一点，而是在一定区域内不断变化。
❖ 周期振荡
❖ 准周期振荡
x2 闭合曲线
x1
x2 非闭合曲线
x1
❖ 混沌
相轨迹没有确定的形状周 期、貌似随机的运动。
1,2 T
T 2 4 2
特征矩阵
A1 B1
A2 B2
1 c1 A1e1t c2 A2e2t
2
c1B1e1t
c2 B2e2t
渐进稳定
临界情况 不稳定
1,2 T
T 2 4 2
非线性科学中的混沌理论研究
非线性科学中的混沌理论研究随着科技的发展，人们的研究范围越来越广泛，包括非线性科学这一领域。
非线性科学涉及的研究对象有很多，而混沌理论则是其中的一个热点话题。
本文将探讨混沌现象的本质及其在非线性系统中的应用。
一、混沌现象的定义和特征混沌现象最早被人们发现于1960年代，这一时期，计算机的发明使科学家得以对复杂系统进行模拟和研究。
混沌是指一种表现为复杂、不可预测的系统行为的现象，它是一个动态系统经历了一系列非线性作用后的结果。
混沌系统具有以下几个特征：1. 敏感依赖：混沌系统对初始条件敏感，微小的初始差别会导致系统行为的巨大差异。
2. 突变：混沌系统行为经常突变且难以预测，哪怕是微小的变化也会使系统的行为几乎完全不同。
3. 持续不变：混沌系统常常不断变化，但在适当的参数范围内，其总体上呈现出稳定的态势。
由于混沌现象的规律性一般很难被准确地描述，因此比较难以对其中的特征进行量化分析。
二、混沌理论的研究意义混沌现象虽然被认为是复杂、混乱的特征，但实际上它具有深刻的意义。
首先，混沌现象是自然界中普遍存在的一个现象，其涉及的许多问题都与我们的日常生活相关。
其次，混沌现象的存在对线性系统控制理论提出了挑战，让人们认识到人类对于自然规律的掌握仍有很多不足之处。
最后，混沌现象也为人类带来了新的科学思想，即“复杂系统”的概念。
在实际应用方面，混沌理论的研究成果在通信、物理、生物、经济等领域中都得到了广泛应用，取得了很好的效果。
在信息保密通信方面，混沌技术可以使密码更安全可靠；在科学研究中，混沌系统可以被用来模拟气象系统、生物系统，从而更准确地预测系统的变化趋势。
三、混沌理论的数学基础混沌理论是非线性科学中的一部分，其数学基础主要来自于微积分和动力学理论。
在微积分中，混沌现象可以用微分方程来描述，而在动力学中，混沌现象可以用相空间中的相轨迹来表示。
1. 非线性微分方程非线性微分方程是研究混沌现象的基础。
它通常描述了一个动力系统中的状态。
非线性振动系统及混沌的基本概念概述：混沌的发现.pdf
θ
=
ω
ω
=
−
γ
m
ω
−
g l
sinθ
+
F ml
cos
Ωt
显含t ，在二维相空间中为非自治系统。
10
引入新变量φ = Ω t ，可将方程化为 ω
ω
=
−
γ
m
ω
−
g l
sinθ
+
F ml
cosφ
φ = Ω
θ
θ
O
自治系统的相空间与相轨线
●一个自治系统在其相空间上的相轨线不会相交， 即通过每一相点的轨线是唯一的。
令β =0，退化为线性方程
d2x dt 2
+δ
dx dt
+αx
=
f
cos Ωt
三种情况： a. f=δ = β = 0；b. f = β =0；c. β =0，相
应得出简谐振动、阻尼和受迫振动方程。
★简谐振动的相轨线：闭合圈---周期环---。
★阻尼振动的相轨线：从外向内收缩的螺旋线，最终停 止于中点---不动点吸引子--- 。
从周期运动到倍周期分岔
◎当 f = 0.8，系统的运动仍是 一个简单的周期运动。
17
◎当 f =0.89，其结果为一个二倍周期的运动，即出 现了倍周期分岔。
说明：图中看上去的每一条曲 线实际上是完全重合的两条曲 线，它们的初始值略有差异：
a. x0=1，υ0=0； b. x0=1.001，υ0=0.001.
1
为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输 入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果， 再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机却偏 离了上次的结果。
第七章-非线性动力学与混沌
f i ij ( ) 0 x j
11 12 0 21 22
T 11 22 系数矩阵的迹 11 22 12 21 系数行列式的值
特征矩阵
T 0
2
特征根
T T 2 4 1, 2 2
A1 B 1
t
原点 i 0 是渐进稳定的
参考态
xi 0 也是渐进稳定的。
(2) 两特征根中至少有一个实部为正 原点 i 0 是不稳定的 lim i
t
参考态
xi 0 也是不稳定的。
(3) 两特征根中至少有一个实部为零，另一个实部为负
原点 i 0 是Lyapunov稳定的 参考态 xi 0 处于临界情况。
x
x2
t
时空轨迹 相图
x1
小结
非线性动力学系统
决定性系统与不可预测性（初值敏感性）
一阶自治常微分方程组
相空间
§7.2 运动稳定性分析
一. 非线性方程解的各种形式
i fi ( x1 , x2 ,, xn ) x
1. 定态解
i 1,2,, n i 1,2,, n
x2 x1
代入方程
2 02
当阻尼为正阻尼且很小时 0 0
i , 02 2
x1 x Ae t cos(t ) Ae t [ cos(t ) sin(t )] x2 x 2 2 Ae t sin(t 0 )
x1 x, x2 x
3 x3 cost , x4 x
1 x2 x k 3 F x x x x x3 2 1 1 2 m m m m x 3 x4 2 x x3 4
非线性力学和混沌简介
非线性力学和混沌简介非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础学科;它是自本世纪六十年代以来,在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科,被誉为本世纪自然科学的“第三次革命”;非线将;描述线性系统的方程遵从叠加原理,即方程的不同解加起来仍然是原方程的解;这是线性系统最本质的特征之一;“非线性”是指两个量之间的关系不是“直线”关系,在直角坐标系中呈一条曲;最简单的非线性函数是一元二次方程即抛物线方程;简单地说,一切不是一次的函数关系,如一切高于一次方的多项式函数关系,都是非线性的;由非线性函数关系描述的系统称为非线性系统;线性与非线性的区别定性地说,线性关系只有一种,而非线性关系则千变万化,不胜枚举;线性是非线性的特例,它是简单的比例关系,各部分的贡献是相互独立,2线性系统对外界影响的响应平缓、光滑,而非线性系统中参数的极微小变动,在一些关节点上,可以引起系统运动形式的定性改变;在自然界和人类社会中大量存在的相互作用都是非线性的,线性作用只不过是非线性作用在一定条件下的近似;非线性问题研究的历史概况非线性问题的“个性”很强,处理起来十分棘手;历史上曾有过一些解非线性方程的“精品”,但与大量存在的非线性方程相比,只能算是“凤毛麟角”;因此,长期以来,对非线性问题的研究一直分散在自然科学和技术科学的各个领域;本世纪六十年代以来,情况发生了变化;人们几乎同时从非线性系统的两个极端方向取得了突破：;非线性科学的研究范围究竟有多大目前尚无定论;有人主张,非线性科学应包括那些可以定量分析、精确计算、有数学理论或实验研究的领域;也有人认为,耗散结构、协同学、突变论等应划归非线性科学,因为这“三论”中的许多定量分析,有些概念和方法如分岔、自组织、图形、分维等——是和非线性科学相同的;值得注意的是,这“三论”中有些内容是带有哲理性或思辩色彩的;但非线性科学的主体是明确的,这就是混沌Chaos、分形Fractral、孤子Soliton;——孤立波与孤立子孤子或孤波为一种特殊的相干结构,是由于系统中的色散与非线性两种作用相互平衡的结果;事实上,虽然孤立子或孤立波一词常在广泛的范围内被引用,持形状不变,而是汇合、分裂;最引人注目的是各种尺度的涡旋;几个流体涡旋可集合成一个大斡,一个大涡可被强大的外力作用打碎;对这些结构形成机理的认识和它们之间的相互作用的研究仍是非线性科学的前沿;混沌混沌是确定性系统中由于内禀随机性而产生的一种外在复杂的、貌似无规的运动;混沌并不是无序和紊乱,更像是没有周期的秩序;在理想模型中,它可能包含着无穷的内在层次,层次间存在着“自相似性”;混沌的行为归宿就是奇怪吸引子,即分形;在着无穷层次,具有见微知著、由点及面的自相似结构;自相似即局部与整体的相似性;适当放大或缩小几何尺寸,分形的真个结构并不改变,这就是标度不变性;海岸线,闪电,松花蛋或数枝等,就具有分形特征;换言之,分形是局部以某种方式与整体相似的形态;分形可分多种类型,如简单分形、自仿射分形、多分形、随机分形、胖分形及复平面上的分形等;描述分形特征的参数叫分维;据称,分形理论开创了20世纪数学的新阶段,是刻画混沌运动的直观的几何语言,是更接近于现实生活的数学;它是美籍法国数学家罗德尔布罗特在本世纪70年代中期创立的;小波。
Matlab非线性方程与混沌
折了一匹战马，伤了一位骑士；
伤了一位骑士，输了一场战斗；
输了一场战斗，亡了一个帝国。
马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的 十分微小的变化，但其“长期”效应却是一个帝 国存与亡的根本差别。 这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。
2. 将参数r取0，0.3，0.6，0.9，1.2，…，3.9的迭代序列
收敛情况放置到同一坐标系中观察其变化
程序
clear;clf; hold on axis([0,4,0,1]);grid for r=0:0.3:3.9
x=[0.1]; for k=2:150
x(k)=r*x(k-1)*(1-x(k-1)); end pause(0.05) for k=101:150
混沌学的任务：就是寻求混沌现象的规律，加以 处理和应用。
60年代混沌学的研究热悄然兴起，渗透到物理学、 化学、生物学、生态学、力学、气象学、经济学、 社会学等诸多领域，成为一门新兴学科。
科学家给混沌下的定义是：混沌是指发生在确定性 系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论 描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、 不可预测，这就是混沌现象。
经典动力学的传统观点认为：系统的长期行为 对初始条件是不敏感的，即初始条件的微小变化 对未来状态所造成的差别也是很微小的。可混沌 理论向传统观点提出了挑战。混沌理论认为在混 沌系统中，初始条件的十分微小的变化经过不断
放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。
一则西方寓言：
丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；
end
参数r的微小变化引起结果巨大的变化
请同学们再次加密r取值进行实验，回答 下面问题
（１）是否由４支分叉为８支，并依次类 推呢？
流体力学中的非线性问题和混沌现象
流体力学中的非线性问题和混沌现象流体力学是研究流体运动行为和性质的学科，涉及广泛的物理现象和工程应用。
在流体力学中，非线性问题和混沌现象引起了研究学者的广泛关注。
本文将探讨流体力学中的非线性问题和混沌现象，并讨论其在科学研究和工程应用中的重要性。
一、非线性问题的定义与特点在流体力学中，非线性问题指的是流体运动方程存在非线性项的情况。
一般来说，非线性问题的解析解难以得到，需要借助数值模拟等方法进行研究和求解。
非线性问题的特点主要包括以下几个方面：1. 非线性项引起的混合效应：流体运动方程中的非线性项会引起不同物理量之间的相互作用和耦合效应，使得流体运动的预测变得更加困难。
2. 非线性项的不可忽略性：在某些情况下，非线性项对流体运动行为的影响是不可忽略的，对于精确预测和分析流体运动具有重要意义。
3. 非线性问题的复杂性：非线性问题的求解往往需要借助高级的数值方法和计算技术，涉及到大规模的计算和复杂的数值求解算法。
二、非线性问题的研究与应用非线性问题在流体力学研究和应用中起着重要的作用。
例如，在天气预报、气候模拟和自然界环境研究中，非线性问题的研究可以帮助我们更好地理解大气运动和涡旋的形成机制，提高天气预报的准确性和精度。
此外，非线性问题的研究还在航空航天、海洋工程和环境科学等领域具有广泛的应用价值。
通过研究非线性问题，我们可以深入探究流体运动的特性和规律，为工程设计和科学研究提供有力的支持和指导。
三、混沌现象的出现和原理混沌现象指的是在动力系统中出现随机、不可预测、复杂甚至混乱的运动行为。
在流体力学中，混沌现象是由于非线性项引起流体运动方程无法用简单的数学公式来描述和解析的情况。
混沌现象的出现主要由以下几个原理解释：1. 灵敏依赖于初值条件：在动力系统中，初始条件的微小变化会导致系统演化出完全不同的轨迹，这种现象被称为灵敏依赖于初值条件。
2. 神经网络的局部性质：由于流体力学系统的复杂性和非线性特点，局部扰动可以导致整个系统的混沌行为。
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经典动力学的传统观点认为：系统的长期行为 对初始条件是不敏感的，即初始条件的微小变化 对未来状态所造成的差别也是很微小的。可混沌 理论向传统观点提出了挑战。混沌理论认为在混 沌系统中，初始条件的十分微小的变化经过不断
放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。
一则西方寓言：
坏了一只丢蹄失铁一，个折钉子了，一坏匹了战一马只；蹄铁； 折了一匹战马，伤了一位骑士；
混沌学的任务：就是寻求混沌现象的规律，加以 处理和应用。
60年代混沌学的研究热悄然兴起，渗透到物理学、 化学、生物学、生态学、力学、气象学、经济学、 社会学等诸多领域，成为一门新兴学科。
科学家给混沌下的定义是：混沌是指发生在确定性 系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论 描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、 不可预测，这就是混沌现象。
长期的大变化。
2.对初始条件的敏感性。 对原本西方的科学基本理念来说，「如果你
正在计算台面上的一颗撞球，就不用去理会 室外一片树叶的掉落。很轻微的影响可以被 忽略，事物进行总会殊途同归，任意的小干 扰，并不致于膨胀到任意大的后果。」
1960年，美国麻省理工学院教授洛伦兹研究“长期 天气预报”问题时，在计算机上用一组简化模型模拟 天气的演变。他原本的意图是利用计算机的高速运算 来提高技期天气预报的准确性。但是，事与愿违，多 次计算表明，初始条件的极微小差异，均会导致计算 结果的很大不同。
0.1 0 0
10 20
30 40
50 60 70
80 90 100
plot(t,y,'k-');
grid
将参数r取为3.6时迭代序列的收敛情况：
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0
10 20 30 40
50 60 70
80 90 100
2. 将参数r取0，0.3，0.6，0.9，1.2，…，3.9的迭代序列
hold on
axis([0 100 0 1])
1
for i=1:100
0.9
0.8
x=r*x*(1-x);y=[y,x];
0.7
0.6
plot(i,x,'k.','markersize',10) 0.5
fprintf('x(%d)=%.10f\n',i,x); 0.4 0.3
end
0.2
t=1:100;
进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特 性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理 论能够充美处理的多为线性系统，而线性系统大多 是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实 际工程技术问题中，混沌是无处不在的！
混沌的特征
1.差之毫厘，失之千里、牵一发而动全身。 一个小小初始条件的差异可以严重影响系统
个数列： x1, x2 ,, xn
考察迭代格式(Logistic方程 ) xn1 rxn(1 xn ) 初值 x0 0.1
1. 当参数r取值分别为1.2，2.5，3.2，3.5，3.8 考察其迭代序列的收敛情况
程序
clc;clf;
x=0.1; y=[ ];
r=1.2;
%改变取值得到相应的图形
程序
clear;clf; axis([2.7,4,0,1]);grid
hold on
for r=2.7:0.005:3.9 x=[0.1]; for i=2:150 x(i)=r*x(i-1)*(1-x(i-1)); end pause(0.1) fprintf('r=%.3f\n',r) for i=101:150 plot(r,x(i),'k.'); end
一只蝴蝶在巴西扇动翅 膀，有可能在美国的德克萨
斯引起一场龙卷风吗？
Logistic方程与混沌
在生物学中，有一个刻画生物种群个体总量增长情 况的著名的方程——Logistic方程： xn1 rxn(1 xn ) r为比例系数
其体中所x能n为达某到生的物最群大体保的有第量n时代的的个个体体数总之数比与。该群 选定初值和比例系数r的值后，由方程就能生成一
end
参数r的微小变化引起结果巨大的变化
请同学们再次加密r取值进行实验，回答 下面问题
（１）是否由４支分叉为８支，并依次类 推呢？
（２）这些分叉点处r的取值，是否有规律？
混沌现象
什么是混沌呢？
混沌（译自英文Chaos）的原意是指无序和混乱 的状态。这些表面上看起来无规律、不可预测的 现象，实际上有它自己的规律。
1
r=3.9
r=3.6
0.9 r=3.3
0.8
r=3
0.7
r=2.7
r=2.4 0.6
r=2.1
0.5
r=1.8
参参参参x
0.4
r=1.5
0.3
0.2
r=1.2
0.1
r=0 r=0.3 r=0.6 r=0.9
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
参参r
3.现在对取值在2.7到3.9之间进行加密迭代并作图， 取步长为0.005时
３蝴蝶效应
1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会 的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀， 有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他 的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从 此以后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，名 声远扬了。 从科学的角度来看，“蝴蝶效应”反映了混沌 运动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条 件的敏感依赖性。
收敛情况放置到同一坐标系中观察其变化
程序
clear;clf; hold on axis([0,4,0,1]);grid for r=0:0.3:3.9
x=[0.1]; for i=2:150
x(i)=r*x(i-1)*(1-x(i-1)); end pause for i=101:150
plot(r,x(i),'k.'); end text(r-0.1,max(x(101:150))+0.05,['\it{r}=',num2str(r)]) end
由于气候变化是十分复杂的，所以在预测天气时， 输入的初始条件不可能包含所有的影响因素（通常的 简化方法是忽略次要因素，保留主要因素），而那些 被忽略的次要因素却可能对预报结果产生重大影响， 导致错误的结论。由此，洛伦兹认定，尽管拥有高速 计算机和精确的测量数据（温度、风速、气压等）， 也难以获得准确的长期天气预报。