非线性方程与混沌
现代物理概论-第四章-非线性力学和混沌
（1）一方面从可积系统的一端，即从研究多自由度的非线 性偏微分方程的一端获得重大进展。如在浅水波方程中发现 了“孤子”，发展起一套系统的数学方法，如反散射法，贝 克隆变换等，对一些类型的非线性方程给出了解法；
现代物理概论
第一章 非线性力学和混沌
（2）另一方面，从不可积系统的极端，如在天文学、生态 学等领域对一些看起来相当简单的不可积系统的研究，都 发现了确定性系统中存在着对初值极为敏感的复杂运动。 促成这种变化的一个重要原因十计算机的出现和广泛应用。 科学家们以计算机为手段，勇敢地探索那些过去不能用解 析方法处理的非线性问题，从中发掘出规律性的认识，并 打破了原有的学科界限，从共性、普适性方面来探讨非线 性系统的行为。
对混沌的研究是从对微分方程求解开始的。二十世纪初， 著名的法国数学家和理论天文学家庞加莱发现某些特殊的微 分方程的可解性与解值对其初始条件极为敏感，初始条件的 细微差别可导致其解值的巨大偏差，甚至产生无解现象。但 他的发现没有引起数学家和物理学家的重视。1963年，美国 气象学家洛仑兹在计算机上用他建立的微分方程模拟气象变 化的时候，偶然发现输入的初始条件的极细微的差别，可以 引起模拟结果的巨大变化。洛仑兹打了个比喻说，在南半球 某地一只蝴蝶的翅膀的偶然扇动所引起的微小气流几星期后 可能变成席卷北半球某地的一场龙卷风，这就是天气的“蝴 蝶效应”。它的本质仍然是非现性耦合。洛仑兹的发现意味 着混沌理论的诞生。
现代物理概论
第一章 非线性力学和混沌
第四章 非线性力学和混沌简介
非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础学科。 它是自本世纪六十年代以来，在各门以非线性为特征的分 支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉为本世 纪自然科学的“第三次革命”。非线性科学几乎涉及了自 然科学和社会科学的各个领域，并正在改变人们对现实世 界的传统看法。科学界认为：非线性科学的研究不仅具有 重大的科学意义，而且对国计民生的决策和人类生存环境 的利用也具有实际意义。由非线性科学所引起的对确定论 和随机论、有序与无序、偶然性与必然性等范畴和概念的 重新认识，形成了一种新的自然观，将深刻地影响人类的 思维方法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。
物理学中的非线性和混沌现象
物理学中的非线性和混沌现象在自然界中，很多现象都具有非线性和难以预测的混沌特性。
而在物理学中，研究非线性和混沌现象也成为一门重要的学科。
本文将对非线性和混沌现象进行介绍和讨论。
一、什么是非线性？所谓非线性，就是指物理系统的变化不遵循线性关系。
简单来说，就是当输入变化时，输出不是简单地按比例变化。
举个例子，我们可以拿弹簧来说明。
在弹簧的弹性范围内，当我们给它施加一个力时，它的伸长量就是线性关系。
但是，当受力超过了弹性范围，弹簧就会变形。
这时，伸长量和受力之间的关系就不再是线性的了。
也就是说，非线性就是指当系统受到的输入越来越大时，输出会出现不同的反应，而且这种反应不是线性的。
二、什么是混沌？所谓混沌，就是指物理系统表现出的不规则、难以预测的运动。
混沌系统的特征是微小输入的差异可能导致系统演化发生巨大的变化，不同初始条件下的演化轨迹可能发生分叉，最终导致输出完全不同。
混沌系统看似无序，但实际上却有一定的规律性可循。
三、非线性和混沌的联系非线性和混沌之间有着紧密的联系。
在物理学中，混沌现象往往与非线性密切相关。
当系统呈现出非线性的特征时，它很容易出现混沌现象。
在一些物理系统中，只要其非线性程度足够高，就会出现混沌现象。
三个著名的混沌系统被称为洛伦兹吸引子、哈特曼-赫劳-曼吸引子和拉蒙诺夫吸引子。
这些吸引子的形状都很奇特，非常像一些有趣的图形。
四、物理系统中的非线性和混沌现象现在我们将介绍一些常见的物理系统中存在的非线性和混沌现象。
1.非线性振动非线性振动是指振动系统中存在的非线性项所导致的现象。
在简单振动中，振动的周期只依赖于振动系统的特性，而与振幅无关。
但是，当振幅超过一定范围时，振动系统就会呈现出非线性特性，出现倍周期振动、基频振幅受限振动、合频振动等现象。
2.混沌系统混沌系统是指那些表现出混沌特性的物理系统，比如双摆、电路、混沌发生器等。
混沌系统中往往会存在大量的非线性和未知因素，使得它们产生不可复制的运动轨迹。
第七章 非线性动力学及混沌 讲义
i (t ) fi ( x10 1, x20 2 x j 0 j ) x
n
f f i ( x10 , x20 , , xn 0 ) ( i ) 0 j j 1 x j (t ) i 0 (t ) x i
f i i ( )0 j j 1 x j
1883年，英国流体力学家雷诺(Reynolds)的湍流实验。 （香烟） 1903年，法国数学家昂利•庞伽莱（Henri Poincare）从动力系统 和拓扑学的全局思想出发，指出动力学系统可能存在混沌特征。 1963，美国气象学家洛仑兹（Lorenz）在研究天气预报中大气流 动问题时发现了天气“对初始条件的极端敏感性”，将使长时间 的预测无法进行。后被形象地称为“蝴蝶效应” ：一只蝴蝶在巴 西扇一下翅膀，就可能在美国得克萨斯州引起龙卷风。
1 x2 x 2 x x1 2 0
2 x12 x2 1 2 2 A ( A0 )
x
x2
t
时空轨迹 相图
x1
阻尼弹簧振子
通解
2x x 0 x
2 0
x Aet
2 0
2 2 0
1 x2 x 2 x 0 x1 2 x2 2
第七章 非线性动力学与混沌 Chapter 7 Nonlinear Dynamics and Chaos
宋若龙 songrl@ 吉林大学物理学院
参考书
刘秉正， 《非线性动力学与混沌基础》， 东北师范大学出版社，1994
林振山，《非线性力学与大气科学》，南 京大学出版社，1993 刘式达，刘式适，《非线性动力学和复杂 现象》，气象出版社，1989
非线性动力学中的混沌现象分析
非线性动力学中的混沌现象分析随着科技的进步，越来越多的系统在现实中被建立和研究。
而系统的复杂性增加，非线性动力学中的混沌现象也就显示出了特殊的表现。
在本文中，我们将主要介绍非线性动力学中的混沌现象以及相关的分析方法。
一. 混沌现象及其表现方式混沌现象是指一种非周期而又具有明显连续性的运动状态，它的变化看似毫无规律，但又似乎有着一定的规律可循。
混沌现象常常出现在一些比较复杂的系统中，例如气象系统、流体动力学、化学反应系统以及经济市场等。
混沌现象具有以下的表现方式：1. 敏感依赖性：混沌现象中微小的初始条件变化，往往会带来显著的结果差异。
2. 周期模糊性：混沌现象中周期的边界变得模糊不清，因为在不同的时间尺度上，周期的长度是不同的。
3. 统计规律性：混沌现象中有一些统计特性，例如自相似性、分形性等。
二. 分析混沌现象的基本方法针对混沌现象，人们提出了很多不同的分析方法。
以下是一些常用的分析方法。
1. 动力学系统的非线性微分方程建模：混沌现象常常可以从非线性动力学微分方程模型进行分析，在此基础上可以进一步分析系统的稳定性、周期行为、混沌现象等。
2. Poincare截面方法：该方法定义了一个截面，并将系统的运动状态在这个截面上投影，从而观察系统的周期性、混沌性等特征。
3. Lyapunov指数方法：该方法可以量化混沌现象中的灵敏度依赖，用于对比不同的混沌现象。
4. 分岔图法：该方法用于分析系统中出现的状态转换和稳定性变化。
5. 局部方差方法：该方法用于检测时间序列中的小尺度混沌性，并可以对其进行定量分析。
三. 混沌现象在实际中的应用混沌现象在生活中的应用十分广泛，下面主要介绍一些例子。
1. 加密传输：混沌信号可以用于加密通信，这是因为混沌信号的本性可以使得被传输的信息难以被窃取。
2. 噪声控制：利用混沌现象控制系统中的噪声，可以提高系统信噪比和精度，从而增强该系统的可靠性。
3. 脑电信号分析：可以运用混沌现象对脑电信号进行分析，以提高对脑部疾病和认知状态的诊断和研究。
物理学中的非线性动力学和混沌理论
物理学中的非线性动力学和混沌理论物理学中的非线性动力学和混沌理论是近年来备受关注的研究领域，其中包括了混沌现象、复杂性和非线性动力学的研究，以及分形和复杂网络的研究等方向。
这些研究领域为我们认识自然界中的各种现象提供了新的视角和思路。
一、非线性动力学传统的物理学研究的是线性系统，即系统在受到外界作用时只会产生与外力大小成比例的反应，这种响应也被称为线性响应。
然而，在实际的自然界中，很多系统的响应并不是线性的，而是出现了非线性现象。
非线性动力学就是研究非线性系统行为的一门科学。
与线性系统不同，非线性系统的行为往往会因为多种因素的复杂作用而产生不稳定、不规律、激烈或混乱的现象。
非线性动力学的研究内容包括了相变现象、自激振荡、混沌现象等。
以相变现象为例：当一个系统受到一个连续性的变化时，它可能发生相变，出现新的状态。
而这个过程不是线性的，相反，它往往是突变的，不能用连续函数来描述。
非线性动力学提供了研究这些相变现象的工具和方法。
二、混沌理论混沌理论是研究非线性系统行为的一个分支，主要研究的是混沌现象。
混沌现象的最重要特征是灵敏依赖初值，也就是说，初始条件的微小变化可能会导致系统最终出现完全不同的行为状态。
这一性质被称为“蝴蝶效应”。
在混沌理论中，研究的核心是混沌现象的产生机制和控制方法。
混沌现象的产生通常是由于非线性系统中的复杂相互作用导致系统行为出现无序、不可预测的特点，而混沌控制则是通过外部控制手段，通过稳定系统的特定状态来达到对混沌现象的控制。
混沌控制的研究对于现代工程、物理和生物学方面的技术应用都非常重要，例如，通过对人工心脏的非线性动力学行为的深入认识和控制，可以有效提高人工心脏的工作效率和稳定性。
三、非线性动力学在物理学中的应用非线性动力学的研究成果在物理学中的应用非常广泛，例如，在统计物理学中，非线性动力学的方法被成功地应用于研究非平衡态的物理行为。
在材料科学中，非线性动力学的研究可以帮助我们更好地理解材料的形变和变形行为。
非线性动力学中的混沌效应分析
非线性动力学中的混沌效应分析简介：非线性动力学是研究复杂系统行为的学科，它的核心是分析系统中各个部分之间的相互作用关系，通过建立数学模型来解释和预测系统的行为。
而混沌效应则是非线性动力系统中最引人注目的现象之一，它展现了系统的极端敏感性和长期不可预测性。
本文将对非线性动力学中的混沌效应进行分析，探讨其原理和应用领域。
一、混沌的定义及起源混沌是指非线性动力系统中，微小的初值差异能够导致系统在演化过程中产生巨大的变化。
它起源于1970年代初期，当时人们通过计算机模拟发现，一些看似简单的动力学方程在特定条件下会出现混沌行为。
混沌行为是由系统非线性性质引起的，非线性的效应使得系统不再呈现周期性的运动，而是表现出无限接近于随机的运动。
二、混沌效应的数学描述混沌效应的数学描述通常采用迭代映射模型。
迭代映射模型是一种离散动力学系统，通过迭代运算可以描述系统从一个状态转移到下一个状态的过程。
最著名的混沌迭代映射就是著名的“Logistic映射”，它的形式为：xn+1 = rxn(1-xn)。
其中，xn表示系统在第n次迭代时的状态，r为控制参数。
三、混沌效应的特征混沌效应具有以下几个重要特征：1. 灵敏依赖于初值：小的初值差异会导致系统最终的状态差异越来越大，这种现象被称为初始条件敏感性。
2. 难以预测性：由于混沌现象的长期不可预测性，即使系统的方程和初值都已知，也无法准确预测其未来的演化。
3. 统计规律性：尽管混沌现象本身表现出随机性，但其统计规律性是可测量和可描述的，这为混沌效应的应用提供了可能性。
四、混沌效应的应用领域混沌效应的应用涵盖了众多领域，下面主要介绍其中几个典型的应用。
1. 通信领域：混沌序列的伪随机性质使得其在通信加密中得到了广泛应用。
例如，混沌扩频技术可以提高通信系统的安全性和抗干扰性。
2. 经济学领域：金融市场的波动和变化具有明显的非线性和混沌特征，混沌理论可以用来描述和预测股票价格和汇率等经济场景。
Matlab非线性方程与混沌
折了一匹战马，伤了一位骑士；
伤了一位骑士，输了一场战斗；
输了一场战斗，亡了一个帝国。
马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的 十分微小的变化，但其“长期”效应却是一个帝 国存与亡的根本差别。 这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。
2. 将参数r取0，0.3，0.6，0.9，1.2，…，3.9的迭代序列
收敛情况放置到同一坐标系中观察其变化
程序
clear;clf; hold on axis([0,4,0,1]);grid for r=0:0.3:3.9
x=[0.1]; for k=2:150
x(k)=r*x(k-1)*(1-x(k-1)); end pause(0.05) for k=101:150
混沌学的任务：就是寻求混沌现象的规律，加以 处理和应用。
60年代混沌学的研究热悄然兴起，渗透到物理学、 化学、生物学、生态学、力学、气象学、经济学、 社会学等诸多领域，成为一门新兴学科。
科学家给混沌下的定义是：混沌是指发生在确定性 系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论 描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、 不可预测，这就是混沌现象。
经典动力学的传统观点认为：系统的长期行为 对初始条件是不敏感的，即初始条件的微小变化 对未来状态所造成的差别也是很微小的。可混沌 理论向传统观点提出了挑战。混沌理论认为在混 沌系统中，初始条件的十分微小的变化经过不断
放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。
一则西方寓言：
丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；
end
参数r的微小变化引起结果巨大的变化
请同学们再次加密r取值进行实验，回答 下面问题
（１）是否由４支分叉为８支，并依次类 推呢？
流体力学中的非线性问题和混沌现象
流体力学中的非线性问题和混沌现象流体力学是研究流体运动行为和性质的学科，涉及广泛的物理现象和工程应用。
在流体力学中，非线性问题和混沌现象引起了研究学者的广泛关注。
本文将探讨流体力学中的非线性问题和混沌现象，并讨论其在科学研究和工程应用中的重要性。
一、非线性问题的定义与特点在流体力学中，非线性问题指的是流体运动方程存在非线性项的情况。
一般来说，非线性问题的解析解难以得到，需要借助数值模拟等方法进行研究和求解。
非线性问题的特点主要包括以下几个方面：1. 非线性项引起的混合效应：流体运动方程中的非线性项会引起不同物理量之间的相互作用和耦合效应，使得流体运动的预测变得更加困难。
2. 非线性项的不可忽略性：在某些情况下，非线性项对流体运动行为的影响是不可忽略的，对于精确预测和分析流体运动具有重要意义。
3. 非线性问题的复杂性：非线性问题的求解往往需要借助高级的数值方法和计算技术，涉及到大规模的计算和复杂的数值求解算法。
二、非线性问题的研究与应用非线性问题在流体力学研究和应用中起着重要的作用。
例如，在天气预报、气候模拟和自然界环境研究中，非线性问题的研究可以帮助我们更好地理解大气运动和涡旋的形成机制，提高天气预报的准确性和精度。
此外，非线性问题的研究还在航空航天、海洋工程和环境科学等领域具有广泛的应用价值。
通过研究非线性问题，我们可以深入探究流体运动的特性和规律，为工程设计和科学研究提供有力的支持和指导。
三、混沌现象的出现和原理混沌现象指的是在动力系统中出现随机、不可预测、复杂甚至混乱的运动行为。
在流体力学中，混沌现象是由于非线性项引起流体运动方程无法用简单的数学公式来描述和解析的情况。
混沌现象的出现主要由以下几个原理解释：1. 灵敏依赖于初值条件：在动力系统中，初始条件的微小变化会导致系统演化出完全不同的轨迹，这种现象被称为灵敏依赖于初值条件。
2. 神经网络的局部性质：由于流体力学系统的复杂性和非线性特点，局部扰动可以导致整个系统的混沌行为。
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将参数r取为3.6时迭代序列的收敛情况：
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2. 将参数r取0，0.3，0.6，0.9，1.2，…，3.9的迭代序列 收敛情况放置到同一坐标系中观察其变化
2.对初始条件的敏感性。 对原本西方的科学基本理念来说，「如果你 正在计算台面上的一颗撞球，就不用去理会 室外一片树叶的掉落。很轻微的影响可以被 忽略，事物进行总会殊途同归，任意的小干 扰，并不致于膨胀到任意大的后果。」
1960年，美国麻省理工学院教授洛伦兹研究“长期 天气预报”问题时，在计算机上用一组简化模型模拟 天气的演变。他原本的意图是利用计算机的高速运算 来提高技期天气预报的准确性。但是，事与愿违，多 次计算表明，初始条件的极微小差异，均会导致计算 结果的很大不同。 由于气候变化是十分复杂的，所以在预测天气时， 输入的初始条件不可能包含所有的影响因素（通常的 简化方法是忽略次要因素，保留主要因素），而那些 被忽略的次要因素却可能对预报结果产生重大影响， 导致错误的结论。由此，洛伦兹认定，尽管拥有高速 计算机和精确的测量数据（温度、风速、气压等）， 也难以获得准确的长期天气预报。
参数r的微小变化引起结果巨大的变化
请同学们再次加密r取值进行实验，回答 下面问题
（１）是否由４支分叉为８支，并依次类 推呢？ （２）这些分叉点处r的取值，是否有规律？
混沌现象
什么是混沌呢？
混沌（译自英文Chaos）的原意是指无序和混乱 的状态。这些表面上看起来无规律、不可预测的 现象，实际上有它自己的规律。 混沌学的任务：就是寻求混沌现象的规律，加以 处理和应用。
考察迭代格式(Logistic方程 )
xn1 rxn (1 xn ) 初值 x0 0.1
1. 当参数r取值分别为1.2，2.5，3.2，3.5，3.8 考察其迭代序列的收敛情况
程序 clc;clf; x=0.1; y=[ ]; r=1.2; %改变取值得到相应的图形 hold on axis([0 100 0 1]) for i=1:100 x=r*x*(1-x);y=[y,x]; plot(i,x,'k.','markersize',10) fprintf('x(%d)=%.10f\n',i,x); end t=1:100; plot(t,y,'k-'); grid
３蝴蝶效应
1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会 的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀， 有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他 的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从 此以后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，名 声远扬了。 从科学的角度来看，“蝴蝶效应”反映了混沌 运动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条 件的敏感依赖性。
程序
3.现在对取值在2.7到3.9之间进行加密迭代并作图， 取步长为0.005时 clear;clf; axis([2.7,4,0,1]);grid
hold on
for r=2.7:0.005:3.9 x=[0.1]; for i=2:150 x(i)=r*x(i-1)*(1-x(i-1)); end pause(0.1) fprintf('r=%.3f\n',r) for i=101:150 plot(r,x(i),'k.'); end end
经典动力学的传统观点认为：系统的长期行为 对初始条件是不敏感的，即初始条件的微小变化 对未来状态所造成的差别也是很微小的。可混沌 理论向传统观点提出了挑战。混沌理论认为在混 沌系统中，初始条件的十分微小的变化经过不断
放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。
一则西方寓言：
丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马；
1 r=3.6 0.9 0.8 r=3 0.7 r=2.7 r=2.4 r=2.1 r=1.8 r=1.5 r=3.3
r=3.9
ÁÐx Ðò ú ´ ü µ
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 r=0 0 0 r=1.2
r=0.3 r=0.6 r=0.9 0.5 1 1.5 2 ² Î Êý r 2.5 3 3.5 4
折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国。 马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的 十分微小的变化，但其“长期”效应却是一个帝 国存与亡的根本差别。 这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。
一只蝴蝶在巴西扇动翅 膀，有可能在美国的德克萨 斯引起一场龙卷风吗？
Logistic方程与混沌
在生物学中，有一个刻画生物种群个体总量增长情 况的著名的方程——Logistic方程：
xn1 rxn (1 xn )
r为比例系数
其中xn为某生物群体的第n代的个体总数与该群 体所能达到的最大保有量时的个体数之比。 选定初值和比例系数r的值后，由方程就能生成一 个数列： x1 , x2 ,, xn
60年代混沌学的研究热悄然兴起，渗透到物理学、 化学、生物学、生态学、力学、气象学、经济学、 社会学等诸多领域，成为一门新兴学科。
科学家给混沌下的定义是：混沌是指发生在确定性 系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论 描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、 不可预测，这就是混沌现象。
程序 clear;clf;
hold on axis([0,4,0,1]);grid for r=0:0.3:3.9 x=[0.1]; for i=2:150 x(i)=r*x(i-1)*(1-x(i-1)); end pause for i=101:150 plot(r,x(i),'k.'); end text(r-0.1,max(x(101:150))+0.05,['\it{r}=',num2str(r)]) end
进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特 性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理 论能来的。因此，在现实生活和实 际工程技术问题中，混沌是无处不在的！
混沌的特征
1.差之毫厘，失之千里、牵一发而动全身。 一个小小初始条件的差异可以严重影响系统 长期的大变化。