非线性动力学和混沌理论
非线性动力学与混沌现象
非线性动力学与混沌现象非线性动力学是研究非线性系统中粒子、流体、光、电磁场等物理现象的科学领域。
混沌现象是非线性动力学中的一个重要概念，指的是复杂系统中表现出难以预测的、极其敏感的、具有随机性的行为。
本文将基于非线性动力学与混沌现象展开讨论，探究其背后的科学原理和实际应用。
1. 动力学与线性动力学动力学研究的是物体受力以及运动状态的变化规律。
线性动力学假设系统的行为是可预测的并且呈线性关系，即物体的运动状态可以通过线性方程准确地描述。
然而，在现实世界中，很多系统的行为并不符合线性关系，这就需要引入非线性动力学的概念。
2. 非线性动力学的基本概念非线性动力学研究的是非线性系统中的运动规律。
非线性系统的特点是系统元素之间存在非线性的相互作用，导致系统行为的复杂性和难以预测性。
例如，弹簧振子系统中的弹簧力与位移之间并非线性关系，所以该系统不能简化为线性动力学模型。
3. 混沌现象的定义与特征混沌现象是非线性动力学中一个非常重要的概念，是指在初值微小变化的情况下，系统演化结果出现剧烈差异的现象。
混沌现象的特征包括：灵敏依赖于初始条件、确定性系统却具有随机性质、具有吸引子和奇异吸引子等。
4. 混沌理论的起源与发展混沌理论的起源可以追溯到1960年代，由于计算机处理能力的提高，科学家们开始对非线性动力学进行深入研究。
著名的洛伦兹系统是混沌理论的经典范例，揭示了混沌现象的重要特征。
5. 混沌现象的数学模型为了更好地理解混沌现象，科学家们提出了一系列的数学模型，如Henon映射、Logistic映射和帐篷映射等。
这些模型可以通过简单的迭代计算得到混沌现象的演化规律。
6. 混沌现象与自然界的关系混沌现象不仅仅在数学和物理学中有广泛应用，它在生物学、经济学、气象学等各个领域也都有重要的应用价值。
例如，在气象学中，混沌现象可以用于天气预测和气候模拟。
7. 混沌现象的工程应用混沌现象在工程领域中也有广泛的应用。
例如，在通信领域，混沌信号可以用于加密通信和抗干扰技术。
第七章 非线性动力学及混沌 讲义
i (t ) fi ( x10 1, x20 2 x j 0 j ) x
n
f f i ( x10 , x20 , , xn 0 ) ( i ) 0 j j 1 x j (t ) i 0 (t ) x i
f i i ( )0 j j 1 x j
1883年，英国流体力学家雷诺(Reynolds)的湍流实验。 （香烟） 1903年，法国数学家昂利•庞伽莱（Henri Poincare）从动力系统 和拓扑学的全局思想出发，指出动力学系统可能存在混沌特征。 1963，美国气象学家洛仑兹（Lorenz）在研究天气预报中大气流 动问题时发现了天气“对初始条件的极端敏感性”，将使长时间 的预测无法进行。后被形象地称为“蝴蝶效应” ：一只蝴蝶在巴 西扇一下翅膀，就可能在美国得克萨斯州引起龙卷风。
1 x2 x 2 x x1 2 0
2 x12 x2 1 2 2 A ( A0 )
x
x2
t
时空轨迹 相图
x1
阻尼弹簧振子
通解
2x x 0 x
2 0
x Aet
2 0
2 2 0
1 x2 x 2 x 0 x1 2 x2 2
第七章 非线性动力学与混沌 Chapter 7 Nonlinear Dynamics and Chaos
宋若龙 songrl@ 吉林大学物理学院
参考书
刘秉正， 《非线性动力学与混沌基础》， 东北师范大学出版社，1994
林振山，《非线性力学与大气科学》，南 京大学出版社，1993 刘式达，刘式适，《非线性动力学和复杂 现象》，气象出版社，1989
混沌理论在非线性动力学中的应用研究
混沌理论在非线性动力学中的应用研究在自然界和社会中，不少现象都呈现出难以预测的混沌态。
混沌现象一度被认为是无规则的，无法用科学方法解释和描述，但混沌理论的发展改变了这一观念，使得我们能够更好地理解并预测混沌现象。
如今，混沌理论已经在非线性动力学领域得到广泛应用。
什么是混沌理论？混沌现象是指一种非线性系统在微小因素下引起的复杂、随机的状态转换。
所谓混沌理论，就是指对混沌现象进行研究，找到其规律和特性的理论。
混沌理论的核心是混沌分形思想，即将混沌的非线性系统抽象成一些规则的几何图像，从而表述它们的结构和特性。
混沌理论的发展历程混沌理论的发展源于70年代。
当代生物学家洛伦茨在研究大气环流问题时得到了一组难以理解的计算结果。
洛伦茨发现，当他用一组非常简单的方程模拟空气流动时，该方程随着时间的变化轨迹从不同的起点展开后，结果却相差无几的奇怪现象。
这种结果使洛伦茨推断出，非线性系统的行为比我们一直认为的要复杂得多。
20世纪90年代初，混沌理论得到了进一步的发展。
通过大量的实验和模拟，研究者们发现：几乎任何的非线性系统都拥有某种形式的混沌现象。
此后，混沌理论在非线性动力学领域得到了大量应用。
混沌理论在非线性动力学中的应用研究非线性动力学是指由非线性系统引起的全部动力学研究。
非线性系统与线性系统的最大区别，在于前者的响应不仅取决于输入信号幅值，还取决于输入信号波形，即非线性系统的输出与输入信号之间存在非线性关系。
混沌理论在非线性动力学中具有重要的应用价值。
现在让我们从以下几个方面来说明。
1.混沌生物学混沌生物学是研究生态系统、种群动态、库仑生命现象等问题的一种新兴的生物学分支。
混沌生物学在描述生物种群量和生态系统变化时，采用了非线性动力学模型。
这些模型通过运用混沌理论，成功地描述了生态系统的特性和演化规律。
在生物多样性存亡问题上，混沌生物学研究可以辅助我们阐明生态系统演化的密度依赖和混沌稳定性。
2.混沌流体力学混沌流体力学是一种研究非线性动力学中的流体系统行为的学科。
物理学中的非线性动力学和混沌理论
物理学中的非线性动力学和混沌理论物理学中的非线性动力学和混沌理论是近年来备受关注的研究领域，其中包括了混沌现象、复杂性和非线性动力学的研究，以及分形和复杂网络的研究等方向。
这些研究领域为我们认识自然界中的各种现象提供了新的视角和思路。
一、非线性动力学传统的物理学研究的是线性系统，即系统在受到外界作用时只会产生与外力大小成比例的反应，这种响应也被称为线性响应。
然而，在实际的自然界中，很多系统的响应并不是线性的，而是出现了非线性现象。
非线性动力学就是研究非线性系统行为的一门科学。
与线性系统不同，非线性系统的行为往往会因为多种因素的复杂作用而产生不稳定、不规律、激烈或混乱的现象。
非线性动力学的研究内容包括了相变现象、自激振荡、混沌现象等。
以相变现象为例：当一个系统受到一个连续性的变化时，它可能发生相变，出现新的状态。
而这个过程不是线性的，相反，它往往是突变的，不能用连续函数来描述。
非线性动力学提供了研究这些相变现象的工具和方法。
二、混沌理论混沌理论是研究非线性系统行为的一个分支，主要研究的是混沌现象。
混沌现象的最重要特征是灵敏依赖初值，也就是说，初始条件的微小变化可能会导致系统最终出现完全不同的行为状态。
这一性质被称为“蝴蝶效应”。
在混沌理论中，研究的核心是混沌现象的产生机制和控制方法。
混沌现象的产生通常是由于非线性系统中的复杂相互作用导致系统行为出现无序、不可预测的特点，而混沌控制则是通过外部控制手段，通过稳定系统的特定状态来达到对混沌现象的控制。
混沌控制的研究对于现代工程、物理和生物学方面的技术应用都非常重要，例如，通过对人工心脏的非线性动力学行为的深入认识和控制，可以有效提高人工心脏的工作效率和稳定性。
三、非线性动力学在物理学中的应用非线性动力学的研究成果在物理学中的应用非常广泛，例如，在统计物理学中，非线性动力学的方法被成功地应用于研究非平衡态的物理行为。
在材料科学中，非线性动力学的研究可以帮助我们更好地理解材料的形变和变形行为。
数学中的复杂系统理论及应用
数学中的复杂系统理论及应用复杂系统是由许多相互作用的个体组成的系统。
复杂系统理论是一种描述这种系统行为的方法，它研究的系统可以是物理、生物、社会、经济等各种领域中的系统。
在数学中，复杂系统理论主要包括混沌理论、非线性动力学、网络科学等分支。
本文将阐述复杂系统理论的基本概念及其应用。
基本概念1. 混沌理论混沌理论是研究非线性动力学系统中的混沌现象及其规律性的数学理论。
混沌现象指的是系统的初始条件对其演化过程的影响非常敏感，而这种敏感依赖于系统的非线性特性。
混沌理论主要研究混沌系统的性质及其应用，以及如何在混沌系统中产生随机性。
2. 非线性动力学非线性动力学是研究非线性系统中的动力学规律的数学理论。
与线性系统不同，非线性系统的响应不是线性的。
非线性动力学可以描述复杂系统中的许多现象，例如自我组织、模式形成、波动、周期等。
3. 网络科学网络科学是研究复杂网络结构及其动力学行为的交叉学科领域。
网络科学的主要研究对象是由节点和边组成的复杂网络，例如社交网络、物流网络、脑网络等。
网络科学可用于研究网络的基本结构及其演化、网络中的信息传递及其动力学机制、网络中的复杂性分析及其应用等。
应用案例1. 天气预报天气系统是一种复杂系统，混沌理论可用于描述天气系统中的复杂性。
现在的天气预报模型包括大气科学、数学、物理等多个领域，其中非线性动力学是一个重要的工具。
利用非线性动力学的方法，天气预报模型可以更准确地预测大气中的运动，从而提高预报的准确性。
2. 金融市场金融市场是一个典型的复杂系统，其中包括许多机构和个体之间的相互作用。
混沌理论可以用于揭示金融市场中的非线性动力学现象，例如金融市场中的价格波动和泡沫产生。
网络科学可用于揭示金融市场的结构及其动力学行为，例如金融市场中不同机构之间的关系及其演化。
3. 生物多样性生物多样性是世界上不同生物种类的多样性。
混沌理论可用于研究生物多样性中的非线性规律性，例如生态系统中的群落演变。
非线性动力学与混沌现象
非线性动力学与混沌现象是物理学、数学、工程学等学科中一个非常重要的研究领域。
随着科技的不断进步和人类认识世界的不断深入，非线性动力学和混沌现象越来越受到重视，成为了许多领域研究的热点之一。
一、非线性动力学的基本概念与理论非线性动力学是指动力学系统中存在非线性行为的系统。
在动力学系统中，线性行为是比较常见的，而非线性行为则是更为复杂、更为多变的。
因此，非线性动力学的研究也比较复杂。
其基本理论可以追溯到牛顿发现三体问题的时期，但是真正开始系统研究非线性动力学的发展史可以追溯到二十世纪中叶。
在非线性动力学中，一个系统的行为是由其初始状态以及外部的各种作用来决定的，而这些行为表现出来的生动画面对研究非线性动力学时非常重要。
非线性动力学中的许多系统包括其他学科中的经典问题，如生物学中的生长、物理学中的震荡，以及统计学中的随机演变等问题，这样就使得非线性动力系统独特而且复杂。
二、混沌现象的基本概念与理论混沌是指一种看似无序、无法预测的现象，而实际上它是一种高度复杂的有效性现象，并且遵循着特定的、可预测的规律。
混沌现象在自然界中很常见，比如在天气系统中，地震中，金融行业中，都存在着混沌现象。
混沌现象也是非线性动力学中的重要研究对象。
混沌系统具有三个关键性质：对初始条件敏感性（又叫鲁棒性差）、周期性（不是简单的周期）、以及统计规律。
这些性质决定了混沌系统的概率展现、时间演变、以及特征规律。
对于混沌系统而言，输入和输出之间的关系是逐渐变得复杂和混乱的。
对于某些系统，这种关系在特定的时间间隔内可能是非常清晰明了的，但在其他时候则可能变得难以理解。
三、在生产生活中的应用非线性动力学和混沌现象在生物学、地质学、医学、工业、交通运输等各个领域中都有广泛的应用。
其中，在物理学中应用最为广泛。
例如物理学中的混沌生成器，是一种运用混沌的产生和控制来实现各种复杂信号生成的电子仪器。
该装置可以生成一系列可以适用于不同方面的复杂信号。
生物学中的混沌与非线性动力学研究
生物学中的混沌与非线性动力学研究生物学中的混沌现象，指生物体内的系统呈现出的不规则、无序、不可预测的动态行为，这种行为远非简单的线性或周期性的运动可以描述。
混沌理论揭示了非线性系统内在的动态行为，尤其在自然界中的复杂系统中应用广泛，如气候、地震、心电图、神经系统、生态学等。
在生物系统中，混沌现象的研究对于理解机体内部的信息传递、信号调控、生命活动的协调等方面有着重要的作用。
混沌现象最早是由埃德华·洛伦兹在1963年提出的。
他研究了黄石国家公园热泉中的对流现象，发现该系统表现出了不确定、无序以及无周期的动态行为。
在此基础上，洛伦兹建立了混沌理论，揭示了非线性系统中动态行为的本质。
混沌理论对于物理学、数学、生物学等学科都产生了重要的影响。
非线性动力学则是研究复杂系统运动行为的数学理论。
这种系统一般是由多个相互作用的元件构成，其行为与系统各个元件间的剧烈耦合效应密切相关。
这种理论揭示了复杂系统的统计规律性，如复杂系统内部的同步现象、周期运动、混沌现象等。
在生物系统中，混沌与非线性动力学的研究是相对新近的。
最初，拜诊断技术的发展，科学家们才发现在生命体内存在着不规则、无序的动态行为。
例如，心脏的电生理活动中，可发现一些明显不规则的动态行为。
后来，随着计算机技术的进展，人们逐渐意识到混沌现象与非线性动力学的重要性，开始将这些理论应用到生物学中。
一方面，混沌理论可以用于生物体内的信号处理。
大多数生物体内的信号并不是单一、确定的信号，而是由众多分量构成的复杂信号，难以精确地进行分析和处理。
但是，混沌理论可以通过相空间、吸引子等技术对这些信号进行有效处理，从而揭示信号的本质和规律。
另一方面，非线性动力学在生物学中也有着广泛的应用。
比如，在神经生物学中，人们使用非线性动力学对神经元的单电脉冲行为、节律强制振荡等进行研究，建立了一些实际应用价值的模型。
此外，在生态学中，非线性动力学也被广泛应用，用于模拟和预测生态系统内物种种群相互作用的规律性，对于生态环境的制定和调控具有一定的参考意义。
非线性动力学与混沌理论
非线性动力学与混沌理论1. 引言在自然界中存在着许多复杂的系统，这些系统往往由大量相互作用的因素构成，并且呈现出复杂的非线性行为。
线性动力学已经无法很好地描述这些系统的行为，因此非线性动力学应运而生。
非线性动力学研究的对象是如何描述和预测这些复杂系统的行为，其中混沌现象是非线性动力学中一个极为重要的研究内容。
2. 非线性动力学基础非线性动力学是一门研究非线性系统行为的学科，它将微分方程和离散映射等数学工具运用到实际问题中。
相较于线性动力学，非线性动力学包含更加复杂和丰富的现象，如周期运动、共振、混沌等。
常见的非线性现象包括倍增现象、吸引子、分岔现象等。
3. 混沌现象及其特征混沌是一种似乎随机但实际上具有确定性规律的运动形式。
混沌系统表现出对初值极其敏感的特征，即所谓“蝴蝶效应”。
混沌系统的特征包括：确定性、不可预测性、灵敏依赖于初值、分形结构等。
混沌现象被广泛应用于信息加密、随机数生成、优化算法等领域。
4. 混沌理论的发展历程混沌理论产生于1970年代，起初是由洛伦兹（Lorenz）提出的天气系统中的混沌解。
随后，人们开始关注混沌现象在不同领域中的普遍存在，并逐渐建立起混沌理论框架。
混沌理论在探索系统内部复杂行为规律方面取得了重要进展。
5. 混沌系统建模与分析方法建立混沌系统的数学模型是研究混沌现象的首要任务之一。
常见的混沌系统包括Logistic映射、Henon映射、Lorenz系统等。
分岔图、极大Lyapunov指数、Poincare截面等方法被广泛用于对混沌系统进行分析和研究。
6. 混沌在实际应用中的价值混沌理论不仅仅是一种学术研究，更被广泛应用于各个领域。
在通信加密领域，利用混沌信号进行信息加密传输；在金融市场中，利用混沌理论预测股市走势；在生物医学领域，通过模拟生物体内复杂系统行为等方面都有重要应用。
7. 结语总而言之，非线性动力学与混沌理论作为一门交叉学科，在解释和描述复杂系统行为方面发挥着关键作用。
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非线性动力学和混沌理论非线性动力学随着科学技术的发展，非线性问题出现在许多学科之中，传统的线性化方法已不能满足解决非线性问题的要求，非线性动力学也就由此产生。
非线性动力学联系到许多学科，如力学、数学、物理学、化学，甚至某些社会科学等。
非线性动力学的三个主要方面：分叉、混沌和孤立子。
事实上，这不是三个孤立的方面。
混沌是一种分叉过程，孤立子有时也可以和同宿轨或异宿轨相联系，同宿轨和异宿轨是分叉研究中的两种主要对象。
经过多年的发展，非线性动力学已发展出了许多分支。
如分叉、混沌、孤立子和符号动力学等。
然而，不同的分支之间又不是完全孤立的。
非线性动力学问题的解析解是很难求出的。
因此，直接分析非线性动力学问题解的行为(尤其是长时期行为)成为研究非线性动力学问题的一种必然手段。
混沌理论是谁提出的？混沌理论，是系统从有序突然变为无序状态的一种演化理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨。
美国数学家约克与他的研究生李天岩在1975年的论文“周期3则乱七八糟(Chaos)”中首先引入了“混沌”这个名称。
美国气象学家洛伦茨在2O世纪 6O年代初研究天气预报中大气流动问题时，揭示出混沌现象具有不可预言性和对初始条件的极端敏感依赖性这两个基本特点，同时他还发现表面上看起来杂乱无章的混沌，仍然有某种条理性。
1971年法国科学家罗尔和托根斯从数学观点提出纳维-斯托克司方程出现湍流解的机制，揭示了准周期进入湍流的道路，首次揭示了相空间中存在奇异吸引子，这是现代科学最有力的发现之一。
1976年美国生物学家梅在对季节性繁殖的昆虫的年虫口的模拟研究中首次揭示了通过倍周期分岔达到混沌这一途径。
1978年，美国物理学家费根鲍姆重新对梅的虫口模型进行计算机数值实验时，发现了称之为费根鲍姆常数的两个常数。
这就引起了数学物理界的广泛关注。
与此同时，曼德尔布罗特用分形几何来描述一大类复杂无规则的几何对象，使奇异吸引子具有分数维，推进了混沌理论的研究。
20世纪70年代后期科学家们在许多确定性系统中发现混沌现象。
作为一门学科的混沌学目前正处在研讨之中，未形成一个完整的成熟理论。
混沌的理论要弄明白不可预言性如何可以与确定论相调和，可以来看看一个比整个宇宙次要得多的系统——水龙头滴下的水滴。
这是一个确定性系统，原则上流入水龙头中的水的流量是平稳、均匀的，水流出时发生的情况完全由流体运动定律规定。
但一个简单而有效的实验证明，这一显然确定性的系统可以产生不可预言的行为。
这使我们产生某种数学的“横向思维”，它向我们解释了为什么此种怪事是可能的。
假如你很小心地打开水龙头，等上几秒钟，待流速稳定下来，通常会产生一系列规则的水滴，这些水滴以规则的节律、相同的时间间隔落下。
很难找到比这更可预言的东西了。
但假如你缓缓打开水龙头，使水流量增大，并调节水龙头，使一连串水滴以很不规则的方式滴落，这种滴落方式似乎是随机的。
只要做几次实验就会成功。
实验时均匀地转动水龙头，别把龙头开大到让水成了不间断的水流，你需要的是中速滴流。
如果你调节得合适，就可以在好多分钟内听不出任何明显的模式出现。
１９７８年，加利福尼亚大学圣克鲁斯分校的一群年青的研究生组成了一个研究动力学系统的小组。
他们开始考虑水滴系统的时候，就认识到它并不像表现出来的那样毫无规则。
他们用话筒记录水滴的声音，分析每一滴水与下一滴水之间的间隔序列。
他们所发现的是短期的可预言性。
要是我告诉你３个相继水滴的滴落时刻，你会预言下一滴水何时落下。
例如，假如水滴之间最近３个间隔是０.６３秒、１.１７秒和０.４４秒，则你可以肯定下一滴水将在０.８２秒后落下这些数只是为了便于说明问题。
事实上，如果你精确地知道头３滴水的滴落时刻，你就可以预言系统的全部未来。
那么，拉普拉斯为什么错了? 问题在于，我们永远不能精确地测量系统的初始状态。
我们在任何物理系统中所作出的最精确的测量，对大约１０位或１２位小数来说是正确的。
但拉普拉斯的陈述只有在我们使测量达到无限精度即无限多位小数，当然那是办不到的时才正确。
在拉普拉斯时代，人们就已知道这一测量误差问题，但一般认为，只要作出初始测量，比如小数点后１０位，所有相继的预言也将精确到小数点后１０位。
误差既不消失，也不放大。
不幸的是，误差确实放大，这使我们不能把一系列短期预言串在一起，得到一个长期有效的预言。
例如，假设我知道精确到小数点后１０位的头３滴水的滴落时刻，那么我可以精确到小数点后９位预言下一滴的滴落时刻，再下一滴精确到８位，以此类推。
误差在每一步将近放大１０倍，于是我对进一步的小数位丧失信心。
所以，向未来走１０步，我对下一滴水的滴落时刻就一无所知了。
精确的位数可能不同：它可能使每６滴水失去１位小数的精度，但只要取６０滴，同样的问题又会出现。
这种误差放大是使拉普拉斯完全确定论破灭的逻辑缺陷。
要完善整个测量根本做不到。
假如我们能测量滴落时刻到小数点后１００位，我们的预言到将来１００滴或用较为乐观的估计，６００滴时将失败。
这种现象叫“对初始条件的敏感性”，或更非正式地叫“蝴蝶效应”当东京的一只蝴蝶振翅时，可能导致一个月后佛罗里达的一场飓风。
它与行为的高度不规则性密切相关。
任何真正规则的东西，据定义都是完全可预言的。
但对初始条件的敏感性却使行为不可预言—从而不规则。
因此，呈现对初始条件敏感性的系统被称为混沌系统。
混沌行为满足确定性的定律，但它又如此不规则，以至在未受过训练的眼睛看来显得杂乱无章。
混沌不仅仅是复杂的、无模式的行为，它要微妙得多。
混沌是貌似复杂的、貌似无模式的行为，它实际上具有简单的、确定性的解释。
混沌的发现是由许多人多得在此无法一一列举作出的。
它的出现，是由３个相互独li的进展汇合而成的。
第一个是科学注重点的变化，从简单模式如重复的循环趋向更复杂的模式。
第二个是计算机，它使得我们能够容易和迅速地找到动力学方程的近似解。
第三个是关于动力学的数学新观点——几何观点而非数值观点。
第一个进展提供了动力，第二个进展提供了技术，第三个进展则提供了认识。
动力学的几何化发端于大约１００年前。
法国数学家昂利·庞加莱Henri Poincare是一个特立独行的人如果有的话，但他非常杰出，以致他的许多观点几乎一夜之间就成了正统的观点，当时他发明了相空间概念，这是一个虚构的数学空间，表示给定动力学系统所有可能的运动。
为了举一个非力学的例子，让我们来考虑猎食生态系统的群体动力学。
此系统中捕食者是猪，被捕食者是块菌一种味道奇特、辛辣的真菌。
我们关注的变量是两个群体的规模——猪的数目和块菌的数目两者都相对于某个参考值，如１００万。
这一选择实际上使得两个变量连续，即取带小数位的实数值，而不取整数值。
例如，假如猪的参考数目是１００万，则１７４３９头猪相当于值０.０１７４３９。
现在，块菌的自然增长依赖于有多少块菌以及猪吃块菌的速率：猪的增长依赖于猪的头数以及猪吃的块菌数目。
于是每个变量的变化率都依赖于这两个变量，我们可把注意力转向群体动力学的微分方程组。
我不把方程列出来，因为在这里关键不是方程，而是你用方程干什么。
这些方程原则上确定任何初始群体值将如何随时间而变化。
例如，假使我们从１７４３９头猪和７８８４４４株块菌开始，则你对猪变量引入初始值０.０１７４３９，对块菌变量引入初始值０.７８８４４４，方程会含蓄地告诉你这些数将如何变化。
困难的是使这种含蓄变得清晰：求解方程。
但在什么意义上求解方程呢? 经典数学家的自然反应是寻找一个公式，这个公式精确地告诉我们猪头数和块菌株数在任何时刻将是多少。
不幸的是，此种“显式解”太罕见，几乎不值得费力去寻找它们，除非方程具有很特殊的、受限制的形式。
另一个办法是在计算机上求近似解，但那只能告诉我们这些特定韧始值将发生什么变化，以及我们最想知道的许多不同的初始值将发生什么变化。
庞加莱的思想是画一幅图，这幅图显示所有初始值所发生的情况。
系统的状态--在某一时刻两个群体的规模——可以表示成平面上的点，用坐标的方法即可表示。
例如，我们可能用横坐标代表猪头数，用纵坐标代表块菌株数。
上述初始状态对应于横坐标是０.０１７４３９、纵坐标是０.７８８４４４的点。
现在让时间流逝。
坐标按照微分方程表达的规则从一个时刻变到下一个时刻，于是对应点运动。
依动点划出一条曲线；那条曲线是整个系统未来状态的直观表述。
事实上，通过观察这条曲线，不用搞清楚坐标的实际数值，你就可以“看出”重要的动力学特征。
例如，如果这曲线闭合成环，则两个群体遵从周期性循环，不断重复同样一些值就像跑道上的赛车每一圈都经过同一个旁观者那样。
假如曲线趋近某个特定点并停在那，则群体稳定到一个定态，它们在此都不发生变化——就像耗尽了燃料的赛车。
由于幸运的巧合，循环和定态具有重要的生态意义—特别是，它们给群体规模设置了上限和下限。
所以肉眼最易看出的这些特征确实是实际事物的特征。
并且，许多不相关的细节可以被忽略——例如，不必描述其精确形状，我们就可以看出存在一种闭合环它代表两个群体循环的合成“波形”。
假如我们试一试一对不同的初始值，那将会发生什么情况? 我们得到第二条曲线。
每一对初始值定义一条新曲线。
通过画出一整族的此种曲线，我们可以抓住所有初始值之下系统所有可能的行为。
这族曲线类似于围绕平面盘旋的一种虚拟数学流体的流线。
我们称此平面为系统的相空间，那族盘旋曲线是系统的相图。
取代具有各种初始条件的以符号为基础的微分方程概念，我们有了流经猪块菌空间的点的直观几何图象。
这仅在其许多点是潜在点而非实际点而有别于普通平面：它们的坐标对应于在适当初始条件下可能出现，但在特定情况下可能不会出现的猪头数和块菌株数。
所以，除了从符号到几何的心理转移，还存在从实际向潜在的哲理性的转移。
对于任何动力学系统，都可以设想同一种类型的几何图象。
有相空间，其坐标是所有变量的值；有相图，即一族表示从所有可能的初始条件出发的所有可能行为的盘旋曲线，这些曲线为微分方程所刻划。
这一思想是一大进展，因为我们无需关心微分方程解的精确数值，而可以把注意力集中于相图的宽广范围，使人发挥其最大优势即惊人的图象处理能力。
作为把全部潜在行为编织起来的一种方式自然界从中选择实际观察到的行为的相空间图，在科学中已被广为应用。
庞加莱这一大创新所带来的结果，是动力学可借助被称为吸引子attractor的几何形状来加以直观化。
假如你使一动力学系统从某个初始点出发，观察它长期运作的情况，你往往会发现，它最终围绕相空间中某个明确的形状游荡。
例如，曲线可以向一个闭合环旋进，然后绕环永远兜圈子。
而且，初始条件的不同选择会导致相同的终末形状。
倘若如此，那形状就叫做吸引子。
系统长期的动力学特性受其吸引子支配，吸引子的形状决定产生何种类型的动力学特性。